UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA

INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

OPERACIÓN ECONÓMICA Y PLANIFICACIÓN DE SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

MCs. Ing. Armengol Blanco Benito

Versión 1.0

Oruro, enero 2010

i

PREFACIO

n la actualidad, la energía eléctrica, es la energía más ‘limpia’ y de mayor consumo final en el mundo entero. Por esas razones, es necesario que la operación y construcción de sistemas de generación y transporte, sean más económicos, seguros, confiables y ambientalmente

sostenibles. Desde la última década, con la desregulación del sector eléctrico, el mercado de la energía eléctrica experimentó un profundo proceso de liberalización, fruto del cual, actualmente en muchos países es un negocio que se desarrolla en un modelo de alta competitividad. En los recientes años, los sistemas eléctricos de potencia aumentaron en complejidad debido a las interconexiones y el uso de nuevas tecnologías. Los problemas, tradicionalmente, enfocados en los sistemas eléctricos de potencia, tales como: cortocircuitos, flujos de potencia y estabilidad fueron resueltos mediante programas de computadoras. Hoy en día los nuevos problemas enfocados en el control y operación de los sistemas eléctricos de potencia, son los relacionados con la operación económica y expansión óptima de los sistemas. Con la desregulación del mercado eléctrico, en la operación de un sistema eléctrico de potencia, prima el aspecto económico y se supone que el sistema eléctrico presenta un amplio margen de estabilidad y es un sistema robusto y confiable. Con los nuevos paradigmas planteados por el modelo neoliberal –‘modelo de libre mercado’, no obstante ser resistido por los sectores populares, sin embargo, éste modelo está vigente-, los precios son definidos por la oferta y la demanda, pero los precios de algunos bienes estratégicos siempre son caros, ése es el caso de la electricidad. Por otra parte, el índice del consumo de energía eléctrica por habitante, es decir, los kilovatios-hora per cápita de una región, es un indicador del grado de desarrollo alcanzado por la región. Por consiguiente, se hace necesario determinar políticas óptimas para abastecer la demanda de electricidad y abaratar el precio de éste bien para favorecer el desarrollo tan anhelado por los países en vías de desarrollo. La operación económica de sistemas eléctricos de potencia, tiene como uno de sus objetivos: minimizar los costos de operación del sistema, sujeto a las restricciones de red y operación. Para lo cual, se deberán desarrollar modelos matemáticos del sistema eléctrico, tales como los modelos de las centrales eléctricas -térmicas e hidráulicas-, de la red y la demanda. El fundamento del problema de la operación económica, se basa en el conjunto de características de entrada - salida de las unidades de generación: térmica convencional - vapor, fuel, carbón, diesel y gas -, nuclear e hidráulica. Este problema, conocido también con el nombre del despacho económico, busca un nivel de generación para cada uno de los generadores disponibles, tal que el costo total de operación sea mínimo para satisfacer a toda la carga y las pérdidas. El sistema consiste en N unidades térmicas de generación conectadas al sistema que suministran energía a la demanda, las unidades hidráulicas se pueden consideran como unidades térmicas equivalentes. Las pérdidas de transmisión son importantes, luego, éstas se deberán incluir en la modelación del sistema. El propósito de este modelo, es encontrar una política óptima de operación, para estas N unidades. Por otra parte, el problema de entrada en servicio de una unidad u otra, es más complejo y se denomina predespacho de carga -unit commitment-. El problema es dificultoso de resolver matemáticamente,

E

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debido a que se involucran variables enteras binarias (1 - 0, on - off). Puesto que, un generador en particular tienen que estar conectado o desconectado de la red, pero no todos los generadores estarán conectados al sistema, sino de acuerdo a los requerimientos operacionales; satisfacer la demanda y disponer de suficiente reserva en giro para enfrentar una contingencia, sin embargo la cuestión es; ¿cuál será la política óptima?. Para resolver el problema, existen tres técnicas ampliamente empleadas, las mismas son: la lista de prioridad, la programación entera y la programación dinámica. Un otro problema, es el uso racional del agua, éste, es un recurso estratégico en épocas de sequía, si bien los costos variables de la generación hidráulica son despreciables, se debe tener una política óptima del gasto de agua. Por consiguiente, la coordinación hidrotérmica, consiste en la determinación de una política óptima para el gasto del agua en las plantas hidráulicas, combinando con el uso de combustible en las plantas térmicas, para satisfacer la demanda, sujeta a limitaciones físicas y de operación. Por otra parte, es necesario conocer el estado del sistema eléctrico, éste cometido se logra, si se conocen las tensiones en cada una de las barras del sistema. El flujo de potencia, se refiere al problema de resolución de las ecuaciones de la red, con el objeto de conocer todas las variables eléctricas para determinar el estado de operación del sistema. Y el flujo óptimo de potencia, se refiere a un estado de operación en las que algunas variables son optimizadas, sujeto a limitaciones sobre las variables y funciones. El crecimiento de la demanda y requisitos de calidad impuestos al suministro eléctrico, obligan a las empresas del sector eléctrico a realizar la ampliación de su parque generador y expandir los sistemas de transporte y distribución, los cuales representan altos costos de inversión. La planificación de sistemas eléctricos consiste en planificar su expansión que se traduce en determinar el número de centrales generadoras, líneas de transporte y redes de distribución mediante modelos de planificación que determinan políticas óptimas de inversión para satisfacer la demanda. El gran número y diversidad de alternativas obligan a buscar modelos de planificación y formas de resolución adecuadas. Las características de los modelos de planificación (lineales, no-lineales) dependen, por un lado, del tipo de sistema eléctrico que se esté intentando modelar, y por el otro, de la representación que se haga a cada uno de los elementos que lo conforman: sistemas de generación, transporte y distribución de potencia. Las metodologías de planificación aplicables a ampliar generación, sistema de transmisión y distribución son diferentes básicamente por las restricciones de operación y red propias de cada sistema. En algunos capítulos, se incluyen problemas resueltos, con el fin de clarificar los aspectos teóricos abordados en el capítulo correspondiente. Con el presente texto -que tiene su origen en los apuntes impartidas en clases-, se pretende facilitar el proceso de comprensión de la operación económica y planificación de sistemas eléctricos de potencia. Está dirigido a los alumnos, futuros ingenieros eléctricos, a los profesionales y personas dedicadas a esta área.

Armengol Blanco Benito Enero, 2010

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Índice General

Tabla de contenido PREFACIO ................................................................................................................................. i Índice General ......................................................................................................................... iii Capítulo I ................................................................................................................................... 1 CARACTERÍSTICAS DE LAS PLANTAS TÉRMICAS E HIDRÁULICAS .................................... 1

1.1 Introducción....................................................................................................................... 1 1.2 Operación de Sistemas Eléctricos de Potencia ....................................................................... 1 1.3 Características de Centrales Térmicas [2] .............................................................................. 1

1.3.1 Características de Entrada – Salida de Plantas Térmicas ................................................... 4 1.4 Características de las Centrales Hidráulicas ........................................................................... 9

1.4.1 Gasto Marginal de Agua ............................................................................................. 13 Capítulo II ................................................................................................................................ 14 DESPACHO ECONÓMICO DE PLANTAS TÉRMICAS ............................................................. 14

2.1 Introducción..................................................................................................................... 14 2.2 Costos de Generación ....................................................................................................... 14 2.3 Modelación del Sistema .................................................................................................... 15 2.4 Despacho Económico sin Considerar Pérdidas de Transmisión .............................................. 17 2.5 Despacho Económico Considerando las Pérdidas de Transmisión .......................................... 18 2.6 Métodos de Solución ........................................................................................................ 19

2.6.1 Método Iterativo Lambda ............................................................................................ 19 2.6.2 Método del Gradiente de 1er Orden .............................................................................. 21 2.6.3 Método del Gradiente de Segundo Orden ...................................................................... 24 2.6.4 Factores de Participación ............................................................................................ 25

2.7 Pérdidas de Transmisión ................................................................................................... 27 2.7.1 Matriz B de la Fórmula de Pérdidas.............................................................................. 28 2.7.2 Factores de Penalización ............................................................................................. 29

2.8 Despacho Económico de Sistemas Térmicos Empleando Programación Dinámica .................. 31 Ejemplo 2.1 Despacho Económico........................................................................................... 32

Capítulo III ............................................................................................................................... 38 PREDESPACHO DE CARGA ................................................................................................... 38

3.1 Introducción..................................................................................................................... 38 Ejemplo 3.1 Combinación de Unidades .................................................................................... 38 3.2 Restricciones de Operación en el Predespacho ..................................................................... 40

3.2.1 Reserva en Giro ......................................................................................................... 40 3.2.2 Restricciones de las Unidades Térmicas ........................................................................ 41 3.2.3 Restricciones Hidráulicas ............................................................................................ 42 3.2.4 Potencia Reactiva ....................................................................................................... 43 3.2.5 Restricción de Combustible ......................................................................................... 43 3.2.6 Flujo de Potencia Activa ............................................................................................. 43

3.3 Restricciones de Red ......................................................................................................... 43 3.4 Métodos de Solución del Problema del Predespacho ............................................................ 43

3.4.1 Método de las Combinaciones Secuenciales .................................................................. 44 3.4.2 Método de la Lista de Prioridad ................................................................................... 44 3.4.3 Programación Dinámica .............................................................................................. 45

Ejemplo 3.2 Predespacho de Carga [9] ..................................................................................... 46

iv

3.5 Formulación Alternativa del Predespacho [10]..................................................................... 53 Capítulo IV ............................................................................................................................... 54 COORDINACIÓN HIDROTERMICA ........................................................................................ 54

4.1 Introducción .................................................................................................................... 54 4.2 Despacho de Energía con Límites....................................................................................... 54 4.3 Coordinación Hidrotérmica a Corto Plazo ........................................................................... 57

4.3.1 Plantas Acopladas Hidráulicamente (Plantas en Serie) ................................................... 62 4.4 Coordinación Hidrotérmica Multimáquinas ......................................................................... 63 4.5 Coordinación Hidrotérmica a Largo Plazo ........................................................................... 66

4.5.1 Modelo de Optimización ............................................................................................. 66 Ejemplo 4.1 Coordinación Hidrotérmica .................................................................................. 67

Capítulo V ................................................................................................................................ 73 FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA .............................................................................................. 73

5.1 Introducción..................................................................................................................... 73 5.2 Flujo de Potencia en Variables de Estado ............................................................................ 73

5.2.1 Algoritmo de Newton-Raphson ................................................................................... 76 5.3 Formulación Conceptual del Flujo Óptimo de Potencia ........................................................ 77

5.3.1 Flujo Óptimo de Potencia Activa ................................................................................. 77 5.3.2 Flujo Óptimo de Potencia Reactiva .............................................................................. 79

5.4 Formulación Matemática ................................................................................................... 79 Ejemplo 5.1 Flujo Óptimo de Potencia Activa........................................................................... 81

Capítulo VI ............................................................................................................................... 86 PLANIFICACION DE LA EXPANSIÓN DE LOS SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA ...... 86

6.1 Introducción..................................................................................................................... 86 6.2 Componentes de un Sistemas Eléctricos .............................................................................. 86 6.3 Criterios de Planificación y Restricciones ........................................................................... 86

6.3.1 Criterios de Confiabilidad ........................................................................................... 87 6.3.2 Criterios Económicos ................................................................................................. 87 6.3.3 Restricciones Ambientales .......................................................................................... 87 6.3.4 Impactos Sociales ....................................................................................................... 87

6.4 Planteamiento del Problema de Planificación de la Expansión del SEP .................................. 88 6.4.1 Planificación de la Expansión de la Red de Transporte ................................................... 88

6.5 Expansión del Sistema de Transporte: Modelo de Transbordo ............................................... 92 6.5.1 Planificación de la Expansión del Sistema de Transmisión: Modelo de Flujo DC .............. 92 6.5.2 Planificación de Expansión de la Generación [19].......................................................... 94

Referencias Bibliográficas .......................................................................................................... 97 ANEXO A OPTIMIZACIÓN ................................................................................................. 98

A.1 Introducción .................................................................................................................... 98 A.2 Fases de la Optimización [21] ........................................................................................... 98 A.3 Ejemplos ........................................................................................................................ 99

A.3.1 Fabricación de Pinturas [21] ....................................................................................... 99 A.3.2 Fabricación de Vidrios [20] ...................................................................................... 100

A.4 Solución gráfica ............................................................................................................ 102 A.5. Método Simplex ........................................................................................................... 103

ANEXO B PROGRAMACION NO LINEAL ........................................................................ 106 B.1 Introducción .................................................................................................................. 106 B.2 Método de Resolución .................................................................................................... 106

B.2.1 Multiplicadores de Lagrange, Kuhn-Tucker ................................................................ 107 Ejemplo B.1 Programación No lineal ..................................................................................... 108

B.2.2 Método de la Gradiente de Descenso más Pronunciado ................................................ 110

v

Ejemplo B.2 Gradiente del Ascenso más Pronunciado ............................................................. 112 Ejemplo B.3 Minimización sin restricciones con paso óptimo ................................................... 113

ANEXO C PROGRAMACION DINAMICA ......................................................................... 116 C.1 Introducción .................................................................................................................. 116 C.2 El Principio de Optimalidad ............................................................................................ 116 Ejemplo C.1 Cargamento de un Barco [21] ............................................................................. 117 C.3 Algoritmo de la Programación Dinámica .......................................................................... 118 C.4 Algoritmo de Dijstra ...................................................................................................... 119 Ejemplo C.2 Distancia Mínima entre Dos Nodos ..................................................................... 120

ANEXO D TÉCNICAS HEURÍSTICAS ................................................................................ 121 D.1 Introducción .................................................................................................................. 121 D.2 Templado Simulado ....................................................................................................... 121 D.3 Algoritmos Genéticos [23] .............................................................................................. 121 D.4 Búsqueda Tabú .............................................................................................................. 122 D.5 Redes Neuronales .......................................................................................................... 123

1

Capítulo I

CARACTERÍSTICAS DE LAS PLANTAS TÉRMICAS E HIDRÁULICAS

1.1 Introducción

ara analizar los problemas asociados con el control y operación de los sistemas eléctricos de potencia (SEP), es necesario modelar los diferentes elementos que componen el SEP y conocer muchos de los parámetros de interés involucrados, principalmente los relacionados con el

comportamiento de las plantas de generación térmicas e hidráulicas.

1.2 Operación de Sistemas Eléctricos de Potencia Para determinar la operación económica de un sistema eléctrico, se supone que el sistema está en un estado normal [1], donde se satisfacen las restricciones de red y operación. Además, se supone que existen suficientes márgenes de estabilidad transitoria y permanente, las tensiones en cada una de las barras están dentro de lo permitido, no existen fluctuaciones de tensión en el sistema, la distorsión armónica es despreciable, la variación de frecuencia es mínima, el sistema es equilibrado y balanceado, es decir, el sistema cumple con los requisitos de calidad de servicio, en esta condición, se puede buscar una operación óptima del sistema. En la actualidad, con la desregulación del mercado eléctrico, en la operación de un sistema eléctrico de potencia, prima el aspecto económico, se deja de lado el aspecto técnico.

1.3 Características de Centrales Térmicas [2] Entre las características de mayor interés para la operación de las plantas de generación térmica, son las curvas de costo de generación versus potencia generada. Las centrales térmicas típicas, son: las centrales de vapor, centrales a gas y centrales nucleares. a) Centrales a Vapor En este tipo de centrales, el vapor es generado en una caldera que es alimentada con agua; el calor es extraído de la combustión del carbón mineral en polvo ó petróleo u otro tipo de combustible primario. El vapor es sobrecalentado en las diferentes etapas de la caldera y es alimentado a la turbina de vapor, en ésta, existe una transformación de energía, el vapor se enfría, pierde energía y se convierte en energía mecánica, la cual impulsa al generador y se obtiene la energía eléctrica. En la Fig. 1.1, se muestra el esquema típico de generación térmica a vapor.

P

2

Fig. 1.1 Esquema típico de una central térmica a vapor.

donde: B Caldera de vapor T Turbina de vapor G Generador eléctrico S/A Servicios auxiliares

Una turbina de vapor típica, requiere de 2 al 6 % de la potencia de salida del generador para alimentar los servicios auxiliares que comprende, entre otros, las bombas de alimentación de la caldera, ventiladores, bombas para la circulación de agua en el condensador, etc. La salida eléctrica, no está conectado solamente al sistema eléctrico de potencia, sino también al sistema de potencia auxiliar en la central eléctrica. La salida neta de la planta, es la potencia eléctrica disponible para ser utilizado por el sistema eléctrico de potencia, y es una información útil para planificar la generación. En la Fig. 1.4, se muestra la característica entrada -salida típica de una planta térmica. b) Turbina de Gas de Ciclo Simple En ésta planta, la turbina de gas, aprovecha los gases de combustión para convertirlo en potencia mecánica y consiste en un compresor de gas y turbina, conectados por un eje único a una unidad generadora. El compresor comprime los gases de combustión y en la turbina se expande el gas y se produce la conversión de energía calorífica en energía mecánica la cual acciona al generador obteniéndose energía eléctrica. En la Fig. 1.2 se muestra un esquema típico de una planta de este tipo.

Fig. 1.2 Esquema típico de una central a turbina de gas.

T

S/A

B Combustible

Pneta G Pbruta

Agua Vapor

C TG

Gases de Combustión

G

3

donde: C Compresor TG Turbina de gas G Generador eléctrico

La turbina de gas de ciclo simple, tiene un rendimiento en el rango de 25 al 30 % (es decir, la tasa de calor de la unidad es de 13.600 a 11.400 MBtu/kW-h, basado en el valor del calentamiento más alto del combustible), requiere diesel o gas natural como combustible. Estas unidades se utilizan principalmente, para horas punta en los sistemas eléctricos. c) Planta Nuclear Una planta nuclear emplea un reactor nuclear para la generación térmica. El reactor nuclear, utiliza como combustible, uranio ligeramente enriquecido, como fuente de suministro de energía básica. En la Fig. 1.3 se muestra el esquema típico de una central nuclear. Durante el período de tiempo en que el combustible está en el reactor, se genera calor y vapor que acciona una turbina de vapor convencional, y la potencia eléctrica se obtiene del generador que es accionado por la turbina. Con el paso del tiempo la cantidad de material fisionable utilizado va decreciendo, y no es capaz de mantener un nivel de potencia adecuado, de modo que el combustible tiene que ser retirado y el reactor se recarga con un nuevo combustible. Durante este tiempo -4 a 6 meses- la planta está fuera de servicio y se aprovecha para realizar un mantenimiento general de la central. Para la instalación de una planta sobre la base de reactores nucleares, será necesario tomar en cuenta que los reactores comerciales disponibles, tienen una capacidad mínima de 1000 MW para una operación rentable. En la operación de sistemas eléctricos de potencia, las plantas nucleares, se utilizan como plantas base, las plantas térmicas e hidráulicas se utilizan en horas de punta. En el país, no se cuenta con centrales a vapor debido a que no se dispone de fuentes primarias de energía barata para este tipo de centrales como serían los yacimientos de carbón mineral. Asimismo, no se cuenta con centrales nucleares, debido principalmente a lo reducido de la demanda -650 MW-.

Fig. 1.3 Esquema típico de una planta nuclear.

Combustible Nuclear

T G

Vapor Agua de Refrigeración

4

Tal vez la inexistencia del carbón mineral –fuente de alto poder calorífico- en la geografía del país, sea la causa para el subdesarrollo del país. El carbón mineral es la principal fuente de energía para desarrollar la siderurgia que es la industria básica de todo país industrializado. Si bien, se tienen yacimientos de hierro en el Mutún y existen proyectos que toman en cuenta el uso del gas natural para desarrollar una siderurgia en el Mutún, parece que no es atractivo por el bajo poder calorífico del gas frente al poder calorífico del carbón mineral. Las centrales termoeléctricas de generación existentes en el país, son las de jet fuel –Trinidad, Aranjuez- y centrales a gas –Huaracachi, Valle Hermoso, Karachipampa y Kenko-. En algunas empresas privadas, se tienen grupos electrógenos, que emplean diesel como fuente primaria.

1.3.1 Características de Entrada – Salida de Plantas Térmicas En las plantas térmicas a vapor, en general la curva de entrada versus salida, es discontinua, la cual es causada por la apertura de válvulas de vapor en serie, es decir, las unidades de generación poseen una operación multivalvular [3]. En la Fig. 1.4, se representa ésa característica, las variaciones abruptas de gasto de calor son debidas a la apertura de las válvulas. Ésa característica normalmente se lo aproxima y representa por una función polinomial, la cual se representa mediante la curva segmentada.

Fig. 1.4 Características de operación de unidades térmicas multivalvulares a vapor. Nayola, et al., [4], presentan una metodología para determinar experimentalmente las características incrementales del consumo de calor de las unidades térmicas. La curva característica de entrada-salida, depende del tipo de unidad térmica, en la Fig. 1.5, se representa la curva típica de una central eléctrica a vapor, utiliza una turbina a gas multivalvular [2].

0 Pmin Pmax P [MW] 0 Pmin Pmax P [MW]

H [MBTU/h] Apertura de válvulas

Entrada

Salida

5

La característica típica de entrada-salida, es decir, el gasto de calor versus la potencia generada, presenta una no linealidad [2], ésa característica, se muestra en la Fig. 1.6 y se puede expresar por la siguiente función: donde: i coeficientes.

Fig. 1.5 Característica típica de una central térmica a gas.

nn

2210 P...PPH

Fig. 1.6 Característica Entrada-Salida típica de una planta térmica.

[h

kCal]

Entrada

Pmin Pmax Salida P [MW]

H

0

0 Pmin Pmax P [MW] Pmax 0

H [kCal/h]

6

El gasto de calor por hora, sin perder generalidad, se puede aproximar por un polinomio de grado n, es decir, por una función no lineal, lo más común es considerar una ecuación cuadrática o cúbica. En algunos estudios para simplificar el proceso de la optimización, la función puede ser linealizada o considerada como una función lineal por tramos. Estos extremos, se pueden apreciar en la Fig. 1.7. El gasto de calor por hora, H, [MBTU/h], se puede convertir en costo de generación por hora, F, [$/h], al considerar el costo del combustible y representar por la función:

nn

33

2210 Pa....PaPaPaacHF

Con las restricciones: donde:

H = Gasto de calor por hora

hkCal ó

hMBtu

F = Costo de generación por hora

h$

c = costo del combustible

MBTU

$

ai = coeficientes P = Potencia generada en MW

Fig. 1.7 Costo de generación por hora de una planta térmica.

Pmin Pmax P [MW]

[h$

] F

0

maxmin PPP

7

La relación 1nn21

0 P...PPP

H , es la razón del calor neto consumido por la turbina

térmica y en la Fig. 1.8, se muestra ésa característica.

Fig. 1.9 Gasto incremental de calor versus potencia generada de una planta térmica.

Fig. 1.8 Característica PH

versus potencia generada.

hMWkCal[

]

Pmin Pmax P [MW]

PH

0

[hMW

kCal

]

Pmin Pmax P [MW]

PH

0

8

1.3.1.1 Costo Incremental El costo incremental, es el costo de generar un kW-h adicional. Matemáticamente es la relación de los incrementos del costo de generación y potencia, representada por la siguiente ecuación:

1nn

2332

1nn

2321 Pa....PaPPa3PaPna....Pa3Pa2a

PF

En la Fig. 1.10 se representa la curva típica del costo incremental.

1.3.1.2 Costo Marginal De una manera general, el costo marginal es el costo de producir una unidad marginal del producto de una empresa. En la generación eléctrica, el costo marginal, es el costo de generar un kW-h adicional. Matemáticamente, el costo marginal es el costo incremental, pero pasando al límite, dicho de otro modo, es la derivada de la función costo de generación con respecto a la potencia. El costo incremental difiere del costo marginal en un infinitésimo.

1nn

2321 Pna....Pa3Pa2a

dPdF

En la Fig. 1.11, se representa la gráfica de una función típica de costo marginal.

Fig. 1.10 Característica costo incremental de generación típica de una planta térmica. Pmin Pmax P [MW]

PF

0

[hMW

$

]

9

Fig. 1.11 Costo marginal

1.4 Características de las Centrales Hidráulicas Las plantas hidráulicas, constituyen una de las principales fuentes de energía renovables, si bien dependen de la hidraulicidad de una cuenca, prácticamente sus costos variables de generación son despreciables [2]. El agua no tiene ´costo` -lo provee la naturaleza-, pero en períodos de sequía, se le puede asignar un costo; debido a que se debe respetar ciertas cotas mínimas, además, parte de esas aguas se utilizan en regadíos, cría de peces, centros de recreación, etc. El sistema hidráulico generalmente se compone de múltiples embalses y plantas hidráulicas dispuestas en una o varias cuencas hidrográficas. La energía hidráulica disponible se obtiene por la acumulación de agua en los embalses. a) Planta Hidráulica Aislada En este tipo de planta, la entrada, el volumen de agua por unidad de tiempo, está en función de la potencia eléctrica de salida. La Fig. 1.12 muestra una curva de entrada-salida típica, para una planta hidroeléctrica. Esta característica muestra una curva casi lineal del requerimiento del volumen de agua de entrada por unidad de tiempo como una función de potencia disponible en la medida en que aumenta la potencia. Se nota un comportamiento no lineal cerca de su potencia nominal, esto se debe a que las pérdidas hidráulicas aumentan por la abertura de las válvulas por lo que se requiere más caudal. La función típica del gasto de agua, q, está dado por el conjunto de ecuaciones:

Pmin Pmax P [MW] 0

dPdF [

hMW$

]

10

max1

2210

110

PPP para ;PbPbbq

PP para ; Pbbq

donde:

q Gasto de agua [h

m3

]

bi coeficientes P1 Potencia a partir de la cual comienza la no linealidad.

Ésta característica, se representa en la gráfica de la Fig. 1.12.

Fig. 1.12 Características entrada - salida de una planta hidráulica. b) Plantas Acopladas Hidráulicamente En muchas plantas, el sistema de canales y ríos están conectados tanto en serie como en paralelo –hablando desde el punto de vista hidráulico-. En este caso la liberación de aguas arriba de una planta, contribuye a la afluencia de la planta aguas abajo. Este extremo, se conoce como acoplamiento hidráulico. La modelación es compleja por la gran cantidad de variables involucradas. Debido a la importancia del acoplamiento hidráulico entre plantas, se puede afirmar que no existen dos sistemas hidroeléctricos que sean exactamente iguales.

[h

m3]

Entrada

Pmin Pmax Salida P [MW]

q

0 P1

11

La situación se pone aún más compleja, cuando el sistema eléctrico tiene plantas hidroeléctricas convencionales y plantas de bombeo-almacenamiento, las cuales deben operar conjuntamente. El problema del uso óptimo de estos recursos, involucran problemas complicados, que están asociados con la planificación del uso de aguas, así como la operación óptima del sistema eléctrico, para minimizar costos de producción. Por otra parte, las plantas hidráulicas, se utiliza solamente durante los períodos donde las unidades térmicas tienen altos costos de generación. Otras veces, se consideran como unidades de disponibilidad rápida ("reserva de giro" en frío). c) Plantas de Bombeo-Almacenamiento El funcionamiento de este sistema es el siguiente, en los periodos donde el costo de energía es elevado, el sistema funciona como generador, se gasta el agua del reservorio. En periodos donde el costo de energía es barato, la turbina funciona como bomba y el generador como motor, se bombea agua al reservorio superior y se almacena energía, dicho de otro modo, la central en cada hora n puede bombear una cantidad wbn o turbinar una cantidad qbn y que el rendimiento de su ciclo es ηb. Puede recibir o no aportaciones. En la Fig. 1.14, se muestra el esquema del sistema bombeo-almacenamiento. En el país, no existe éste tipo de plantas, pero se los puede encontrar en Europa.

Fig. 1.13 Esquema de dos plantas hidráulicas en serie.

r1 Afluyente

q1 Agua turbinada

q2 Agua Turbinada

s1 Rebalse

s2 Rebalse

V1

V2

12

En la Fig. 1.15, se muestra las características de entrada y salida para el sistema de bombeo y almacenamiento.

Fig. 1.15 Gasto de agua de una planta hidráulica de bombeo y almacenamiento.

[h

m3]

Entrada, PB Salida, PG P [MW]

q

Fig. 1.14 Sistema de bombeo y almacenamiento.

T-B G-M

T-B Turbina-Bomba G-M Generador

Bombeo Generación

nb

ri Vi

13

1.4.1 Gasto Marginal de Agua La función típica del gasto de agua, q, está dado por el conjunto de ecuaciones:

max1

2210

110

PPP para ;PbPbbq

PP para ; Pbbq

donde:

q Gasto de agua bi coeficientes P1 Potencia a partir de la cual comienza la no linealidad.

En la Fig. 1.16, se muestra la característica del gasto marginal de agua. En el país, se tienen diversas plantas hidroeléctricas: Zongo, Choquetanga, Corani, Santa Isabel, Río Eléctrico (Río Yura), San Jacinto, Hidroeléctrica Boliviana. En la programación de la generación, se emplea como planta base las centrales a gas y las plantas hidráulicas y a jet fuel como plantas de punta.

Fig. 1.16 Gasto marginal de agua de una planta hidráulica

[hMW

m3

]

Pmin Pmax P [MW]

dPdq

P1

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Capítulo II

DESPACHO ECONÓMICO DE PLANTAS TÉRMICAS 2.1 Introducción

a función del despacho económico es asignar la potencia que debe generar cada una de las plantas de generación disponibles, de tal manera que el costo del suministro de energía a la carga es minimizado, satisfaciendo restricciones de red y operación.

Del número total de generadores del sistema, NG, se supone que existen N unidades, conectadas al sistema y están en operación, el objetivo del problema, es encontrar una política de operación óptima, para estas N unidades. Los cálculos de despacho económico son realizados cada cierto tiempo (5 a 30 minutos) y se usa las ecuaciones de coordinación, se requiere que el costo incremental de la potencia entregada a una barra de carga arbitraria sea el mismo para todas las unidades.

2.2 Costos de Generación Los costos de generación, están compuestos principalmente por los costos fijos y costos variables y se puede ser presentado por la ecuación sencilla siguiente: Costos de generación = Costos fijos + Costos variables a) Costos Fijos Los costos fijos no dependen de la producción y están constituidos, por:

Sueldos Amortización de capital Intereses sobre los préstamos Seguros sobre los equipos Impuestos de los bienes inmuebles y a las utilidades

Alguno de estos ítems, son costos hundidos, es decir, son costos que no se recuperan cuando se cierra una planta. b) Costos variables Los costos variables dependen de la producción, es decir, son los gastos incurridos para satisfacer una determinada demanda. Estos costos se pueden desagregar en costos combustible, generalmente representan más de la mitad del costo total, y los otros costos corresponden a los gastos de operación y mantenimiento, los cuales dependen del nivel de generación y representan aproximadamente un 5 % de la estructura de costo variable total.

L

15

En un proceso de optimización, los costos variables, son los que se optimizan, como los costos fijos son constantes, no se consideran explícitamente.

2.3 Modelación del Sistema La principal dificultad en la modelación del sistema eléctrico de potencia (SEP), es la representación de las pérdidas óhmicas del sistema de transporte. Para determinar las pérdidas, se emplea habitualmente un flujo de potencia tradicional, el flujo DC ó alternativamente una función de pérdidas. La carga, se modela como potencia constante. De acuerdo al comportamiento de los datos; tales como: la incertidumbre del pronóstico de la demanda y lluvias, el comportamiento del mercado de precios de los combustibles, etc., los modelos resultantes serían: Modelos determinísticos o probabilísticos. El SEP, se pueden modelar como: Modelo de barra única ó modelo de barra múltiple –multinodal-. La selección del modelo dependerá de la exactitud requerida en la solución del problema. a) Modelo de Barra Única La red se representa por una barra única a la cual están conectados los generadores y las cargas. Éste modelo es demasiado simplista, pero requiere poco esfuerzo computacional. En la Fig. 2.1, se representa esquemáticamente el modelo de barra única. Las principales características del modelo, son:

Modelo simple Barra única Modelo inexacto Costo marginal único Independiente entre períodos de estudio No se considera las pérdidas del sistema

La característica de la planta térmica, está representada por su curva entrada-salida, es el costo de generación versus la potencia generada [2, 5, 6].

Fig. 2.1 Modelo de barra única

1

Carga

2 N … Generadores

Barra única

16

En este modelo, las plantas hidráulicas, se pueden representar por plantas térmicas equivalentes. b) Modelo de Barra Múltiple En este modelo, se consideran que las barras, generadores y las cargas del sistema, están interconectados por líneas y transformadores. Se puede decir que éste modelo, es el más real, pero tiene sus limitantes como el excesivo costo computacional por ser multidimensional y multietapa. En la Fig. 2.2, se representa esquemáticamente el modelo multinodal. Las principales características del modelo, son: [6]

Modelo complejo Barras múltiples Modelo exacto Costo marginal diferente para cada barra Considera la influencia entre períodos Considera las pérdidas Tiene carácter espacial

Este modelo, se halla implementado en los modelos TRANSCOST, JUANAC. Estos modelos que son empleados en las principales empresas eléctricas del mundo: JUANAC en España, TRANSCOST en Inglaterra, emplean un modelo DC para la red (flujo DC) y las pérdidas se incluyen mediante la aproximación lineal iterativa. [7] Entre otros modelos, se tienen: SICRET (ENEL), FIAPT (HYDRO QUEBEC), MEXICO (EDF), WRATES.

Fig. 2.2 Modelo Multinodal

G2 G1

Reservorio de agua

Carga

Carga

17

2.4 Despacho Económico sin Considerar Pérdidas de Transmisión

Sea

N =Unidades de generación térmica a despachar PD =Demanda de potencia Pperd =Pérdidas de potencia en el sistema Pi =Potencia entregada por el generador i

El modelo de optimización es:

maxii

mini

N

1ii

N

1iiT

PPP

0P

.s

FFMin

-PG

:a

D

Es un problema de optimización no-lineal, con restricciones de igualdad y desigualdad. Una técnica para hallar el óptimo, es el empleo de los multiplicadores de Lagrange. La función aumentada de Lagrange, es:

)P(FGFN

1ii

N

1iiT

-PDL

donde: λ es el multiplicador de Lagrange. Las condiciones necesarias para el óptimo, son:

1) 0dP

)P(dFP i

ii

i

L

2) 0PPGN

1iiD

i

L

Rescribiendo la primera condición: i

iidP

)P(dF , esta ecuación indica que los costos marginales de

todas las unidades debe ser el mismo, es decir, .

1

2

N : DP

18

La dimensionalidad del problema crece, de acuerdo a:

i

iidP

)P(dF N ecuaciones

maxii

mini PPP 2N inecuaciones

RN

1ii PP

1 Restricción

Expresando de otro modo, para las restricciones de desigualdad, la condición necesaria para el óptimo, son:

2.5 Despacho Económico Considerando las Pérdidas de Transmisión En el modelo de barra única las pérdidas del sistema de transmisión se representan mediante una función de pérdidas, Pperd [2].

)P,.....,P,P(PP N21perdperd El modelo de optimización, será:

maxiP Pi min

iP

P - P + PG

:a.s

)p(F = F Min

0iN

1=iperdD

ii

N

1=iT

La función aumentada de Lagrange, es:

minii

i

i

maxii

i

i

maxii

mini

i

i

P = P para dPdF

P = P para dPdF

P P P para = dPdF

19

)P(FGFN

1ii

N

1iiT

-PP perdDL

Las condiciones necesarias para el óptimo, son:

1) 01P

)P(PdP

)P(dFP i

iperd

i

ii

i

L

2) 0PPPGN

1iiperdD

L

La ecuación de coordinación, es:

i

iperd

i

iiP

)P(PdP

)P(dF

donde:

i

iperd

P)P(P

= Pérdidas marginales del sistema.

En el modelo multinodal, las pérdidas pueden ser determinadas mediante un flujo de potencia.

2.6 Métodos de Solución Para resolver el despacho económico, existen una gran cantidad de métodos, entre otros se tiene [2]:

Gradiente del descenso más pronunciado. Técnica de los multiplicadores de Lagrange Otras adaptadas a la particularidad de los problemas.

En lo que sigue, se hace énfasis en los métodos particulares de solución del problema del despacho económico por el aspecto académico y su carácter ilustrativo. El despacho económico, se puede resolver mediante la utilización de los diferentes paquetes comerciales, pero quitaría la visión del problema por que habría que preocuparse del formato para la introducción de datos, estos paquetes están orientados a la resolución de problemas de optimización y programación matemática.

2.6.1 Método Iterativo Lambda Para enfocar la solución del problema del despacho económico y comprender el método, es necesario apoyarse en una técnica gráfica para resolver el problema y entonces extender éste por medio de algoritmos e implementarlo en un programa computacional.

20

Al elegir un determinado lambda, está determinado la generación para cada planta, la generación total será mayor ó menor que la demanda, estableciéndose un error. Al considerar otro valor de lambda, se tendrá un nuevo error. En la Fig. 2.3, se muestra una gráfica del error vs lambda (costo marginal). Considerando, dos puntos, se puede hallar la intersección con el eje lambda -proyección-, donde el error será pequeño y se tiene un nuevo lambda, procediéndose de igual modo, hasta que el error sea menor a la tolerancia especificada. Con las dos soluciones, se puede extrapolar (o interpolar) otra solución, y cada vez, se está más cerca del valor deseado de la potencia generada total. De la Fig. 2.3, se deduce que:

21

120

0

10

10 eeee

El nuevo Lambda proyectado, es:

10

10002 ee

)(e

ó

10

10112 ee

)(e

Tomando ésta última y generalizando, el nuevo lambda proyectado, para la iteración i > 2, es:

1i2i

1i2i1i1ii ee

)(e

Fig. 2.3 Proyección Lambda,

error

, Lambda 1 0

0

1

2

2 Solución

e0

e1

21

La Fig. 2.4, muestra un diagrama de flujo del método iterativo lambda para la solución del problema del despacho de carga en sistemas térmicos.

Fig. 2.4 Diagrama de flujo, método iterativo proyección Lambda

2.6.2 Método del Gradiente de 1er Orden En éste método, no se considera pérdidas de potencia. Sea F ... F. . . F F F F NX321T , la función costo. Realizando la expansión en serie de Taylor de la función de costo, se tiene:

Comienzo

Fijar Fijar

Calcular Pi

Calcular Error, e

1ra Iter si

no

|e|<=Tol

Fin

Solución

Proyectar

si

no

22

)2N2

N

N2

2X2

X

X2

222

2

22

212

1

12

NN

NX

X

X2

2

21

1

1

NNXX3322i1TT

ΔPdP

FdΔP

dP

FdΔP

dP

FdΔP

dP

Fd(

21

ΔPdPdF

ΔPdPdFΔP

dPdFΔP

dPdF

)(PF)(PF)(PF)(PF)(PFΔFF

Asumiendo que los términos de segundo orden y de mayor orden pueden ser despreciados, se tiene:

NΔPNdPNdF

XΔPXdPXdF

2ΔP2dP2dF

1ΔP1dP1dF

TΔF

Considerando una pequeña perturbación, se debe satisfacer lo siguiente:

0PN

1ii

Eligiendo una unidad dependiente, la x-ésima unidad:

N

xi1i

ix PP

NΔPNdPNdF

XΔPXdPXdF

2ΔP2dP2dF

1ΔP1dP1dF

TΔF

NΔPNdPNdF

)N

xi1i

iΔP(XdPXdF

2ΔP2dP2dF

1ΔP1dP1dF

TΔF

ixi i

Ti

X

X

i

i

xiT ΔP

PFP)

dPdF

dPdF(ΔF

La técnica consiste en partir de una solución factible, es decir, de una solución que satisface las restricciones de igualdad. El método no considera pérdidas. En la Fig. 2.5, se muestra el diagrama de flujos del algoritmo.

23

Fig. 2.5 Flujograma del método del gradiente de 1er orden.

Comienzo

Asumir solución factible, Pi

Seleccionar Variable Dependiente, Px

Calcular i x

x

x

i

i

i

TdPdF

dPdF

PF

Determinar i = imax, el Cual máximiza

i

TPF

Ajustar Pimax, Px

Verifica Límites ?

Se viola límites de Px Seleccionar Nuevo Px Se viola límites de Pi

Realizar ajuste Sin violaciones

Calcular y probar la Magnitud de FT

|FT|Tol

Solución

Fin

Costo Reducido |FT|>Tol

24

2.6.3 Método del Gradiente de Segundo Orden El método del gradiente, se basa en la expansión en serie de Taylor del costo total de generación, considerando hasta solo términos de 2do orden. Esta expansión contiene términos en derivadas parciales de segundo orden. La segunda derivada del costo marginal de una unidad dada, normalmente depende de la potencia disponible de esa misma unidad, es decir, las derivadas cruzadas son nulas.

)2NΔP

2NdPNF2d2

2ΔP22dP2F2d2

1ΔP21dP1F2d

(21

NΔPNdPNdF

2ΔP2dP2dF

1ΔP1dP1dF

)N(PNF)3(P3F)2(P2F)i(P1FTΔFTF

Por otra parte:

0PP

F

ji

i2

; para todo i j esto es que el costo de operación de una unidad depende solamente

de la generación propia.

Como 0PN

1ii

Eligiendo una unidad dependiente, la x-ésima unidad:

N

xi1i

ix PP

De la expansión en serie de Taylor, se tiene:

)}ΔP2ΔΔP2ΔΔP(ΔdP

Fd

ΔPdP

FdΔPdP

FdΔPdP

Fd{21

P)dPdF

dPdF(ΔF

31212

22

1x

x2

2N2

N

N2

222

2

22

212

1

12

iX

X

i

i

xiT

PPP

25

Determinando las derivadas parciales respecto a los incrementos

xii2

x

x2

121

12

x

x

1

1

1

T 0PdP

FdPdP

Fd)dPdF

dPdF(

PF

xii2

x

x2

222

22

x

x

2

2

2

T 0PdP

FdPdP

Fd)dPdF

dPdF(

PF

.

xii2

x

x2

N2N

N2

x

x

N

N

N

T 0PdP

FdPdP

Fd)dPdF

dPdF(

PF

Utilizando una notación más simple, como:

i

i'i dP

dFF

2i

i2

''i

dPFdF

En forma matricial, la expresión resulta:

.FFFFFF

.PPP

....

.FFFF

.FFFF

.FFFF

'x

'3

'x

'2

'x

'1

3

2

1

''x

''3

''x

''x

''x

''x

''2

''x

''x

''x

''x

''1

Ésta metodología se puede implementar en un algoritmo que tiene los siguientes pasos: 1. Partir de una solución factible 2. Calcular los elementos de la matriz. 3. Invertir la matriz y determinar los cambios de generación. 4. Verificar que la solución no viole ninguna restricción. 5. Probar que los valores del vector '

x'i FF del nuevo punto de operación, es decir, que los costos

incrementales sean iguales, el proceso terminar, caso contrario ir a 2.

2.6.4 Factores de Participación Este método supone que el problema de despacho económico es resuelto repetidamente, moviendo los generadores de un plan económicamente óptimo a otro, para cambios de carga en una cantidad razonablemente pequeña.

26

Se comienza con un plan dado –alrededor del punto de operación normal-. Después, el planificador supone un cambio en la carga e investiga en cuánto debe modificarse la generación de cada unidad generadora (es decir, en cuanto debe "participar" en el cambio de carga) para que la nueva carga sea servida en el punto operativo más económico. Se supone que tanto las primeras como las segundas derivadas del costo con respecto a la potencia disponible, existen (es decir, '

iF y ''iF existen).

La curva del costo incremental de la unidad i, está dada en Figura 2.6. Como la carga de la unidad i está

cambiando en una cantidad iP , el costo incremental del sistema se mueve de 0i a 0

i para un cambio pequeño de la potencia disponible en esta unidad i. Ésta situación, es verdadera por cada una de las N unidades en el sistema. De modo que, el cambio total en generación (es igual al cambio de la demanda total del sistema), es por supuesto, la suma de los cambios de las unidades individuales. La Fig. 2.6, se puede utilizar para deducir y encontrar el factor de participación por cada unidad, como sigue:

i2i

i2

''i PdP

FdF

; despejando , se tiene:

i0i

''ii P)P(F

D0DD PPP

Fig. 2.6 Incrementos en el costo marginal

i

idPdF

0

Pi0

Pi

Pi Pi’

27

donde:

11 "F

P

22 "F

P

:

NN F

P"

Ante un cambio en la demanda, se tiene:

PérdidasRP DP

i''

i

N21D

F1Δλ

ΔPΔPΔPΔP

i''

i

''i

D

i

F1

F1PP ; es el factor de participación

Entonces, los valores de generación económica, están determinados por los valores nuevos de generación, que están determinados por la ecuación siguiente:

DD

ibasei

nuevoi P

PPPP

Un plan menos elegante para proveer factores de participación involucraría un repetido cálculo de despacho económico y crear un plan simple para tomar la carga existente más el aumento proyectado para buscar esta información y computar los factores. Esta metodología se puede implementar muy fácilmente en un programa computacional, donde el tiempo para determinar el despacho económico es corto y dará siempre respuestas consistentes.

2.7 Pérdidas de Transmisión Las perdidas de un sistema eléctrico -pérdidas en el sistema de transmisión-, pueden representarse aproximadamente por:

B + B P + P [B] P = P oooTT

perd

28

donde:

P Vector de Generación en MW de dimensión N. PT Transpuesta de P. [B] Matriz cuadrada de la misma dimensión de P. Bo Vector de la misma dimensión de P Boo Constante

La ecuación se denomina, formula de pérdidas y puede reescribirse como: La suposición básica, para la obtención de la formula, es que la carga de cada barra se comporta del mismo modo -conforming load-, que la carga total [2, 8].

2.7.1 Matriz B de la Fórmula de Pérdidas Un marco de referencia, es un conjunto de tensiones y corrientes que describen completamente el sistema eléctrico. El cálculo de la matriz B involucra el concepto de transformación del marco de referencia de la red [2, 8]. Sea i una barra de la red de N barras:

*iiii IVjQP ; potencia inyectada.

Las pérdidas del sistema son:

N

1i

*iiii

N

1iIV)jQP(jQP

donde:

N

2

1

V:

VV

V ;

N

2

1

I:

II

I

*TIVjQP ;

donde VT es la transpuesta de V. Sea C una matriz de conexiones con elementos complejos y la transformación:

antigua*T

nueva VCV

BPB + P B P = P ooiioN

ijiji

N

j

N

iperd +

29

nuevaantigua ICI

antiguaantigua V,I , los valores iniciales

*nueva

Tnueva

*antigua

Tantigua

*T IVIVIVjQP

*nueva

Tantigua

*nueva

*Tantigua

*nueva

Tantigua

*T*nueva

Tnueva )IC(VICVIVCIV

*antigua

Tantigua

*nueva

Tantigua

*nueva

Tnueva IV)IC(VIV

considerando que: TTT ABAB

antiguaantiguaTantigua IZV

nuevanuevanuevaantigua

*Tantiguaantigua

*Tantigua

*Tnueva IZICZCIZCVCV

donde: CZCZ antigua

*Tnueva

nuevanueva

Tnueva IZV

2.7.2 Factores de Penalización Si se considera la primera condición necesaria de optimalidad:

maxii

mini

iP P P todopara

P

0 = L

0 = )P

P - (1 - dPdF =

P i

perd

i

i

i

L

La solución de la función aumentada de Lagrange, es:

)P

P - (1 dPdF

i

perd

i

i

30

Reordenando la ecuación, se tiene:

donde:

se denomina pérdida marginal en la barra i, y

PP - 1

1= f

i

perdP i

se denomina factor de penalización de la barra i. Las pérdidas, se incrementan si se incrementa la potencia en la barra i, por lo que el factor de penalización es mayor que uno. Esto significa, que cuanto más alejado se encuentra de la barra slack, se tiene mayores costos incrementales debido a las pérdidas del sistema. En la Fig. 2.7, se muestra el caso de 3 generadores que tienen diferentes factores de penalización. Los costos marginales cuando no se toman en cuenta las pérdidas, están representados por la curva continua y cuando se tienen pérdidas, están representados por la curva segmentada. El generador 3, tiene un factor de penalización menor a uno, esto significa que no contribuye al aumento de pérdidas, mas al contrario, su funcionamiento disminuye las pérdidas del sistema, seguramente por la posición geográfica del generador dentro del SEP, éste generador tiene una pérdida marginal negativa.

= dP

)P(dF

PP - 1

1i

ii

i

perd

PP

i

perd

31

donde:

' Costo marginal sin pérdidas '' Costo marginal con pérdidas 'iP Potencia generada por la unidad i cuando no existen pérdidas ''

iP Potencia generada por la unidad i cuando existen pérdidas en el sistema.

2.8 Despacho Económico de Sistemas Térmicos Empleando Programación Dinámica

Una alternativa para resolver el despacho económico de carga, es emplear el método de la programación dinámica. Se supone las siguientes condiciones [2]: 1. Todas las unidades pueden ser conectadas al sistema. 2. Las pérdidas son despreciables. 3. Será satisfactorio la búsqueda del despacho económico al discretizar en escalones la carga. Ésta

discretización equivale a plantear un problema en el tiempo, al que se pueden aplicar las técnicas de la Programación Dinámica.

Sea i la representación del número de una unidad, se define:

Pi La carga en MW sobre la unidad i

)P(F ii El costo de generación de Pi MW de la unidad i

'1P ''

1P

1

1dPdF

2

2dPdF

3

3dPdF

''2P '

2P '3P ''

3P

'

''

o

o o o

o o

a) Fp1 = 1.05 b) Fp2 = 1.10 c) Fp3 = 0.90

Fig. 2.7 Costos marginales con factores de penalización

32

)D(fi El costo de la etapa para abastecer la demanda de D MW con la unidad i En cada etapa se debe usar relaciones recursivas para buscar el óptimo:

)}P(F)PD(f{min)D(f iii1i}iP{

i

Ejemplo 2.1 Despacho Económico Realizar el despacho económico para el sistema eléctrico que tiene tres unidades térmicas, cuyas funciones de gasto de calor, son:

9.0 450 47.5 P0025.0P5.7400H02.1 350 45 P0081.0P3.6729H

8.0 350 45 P0025.0P4.8225HMBtu

$ MW MW h

MBtu

c p P calor de gastoFunción

2333

2222

2111

imaxmin

Los costos de generación de cada unidad, expresado en

h$ , son:

P00225.0P75.6360HcF P00826.0P426.658.743HcF

P0020.0P72.6180HcF

233333

222222

211111

PD = 450 MW a) Método Iterativo Lambda, λ

Se determina la función costo marginal: i

i

dPdF

33

33

22

22

11

11

P0045.075.6dPdF

P016524.0426.6dPdF

P004.072.6dPdF

El problema del despacho económico queda resuelto cuando los costos marginales de todas las unidades de generación son iguales, es decir: 0321 . Por tanto, resulta un sistema de tres ecuaciones: Iteración No. 1

33

Se elige con una cierta heurística, un lambda inicial: 80

8P0045.075.6dPdF

8P016524.0426.6dPdF

8P004.072.6dPdF

033

33

022

22

011

11

En este caso las potencias se calculan mediante las siguientes expresiones:

MW7778.2770045.0

75.6P

MW255.95016524.0

426.6P

MW320004.0

72.6P

i3

i2

i1

La potencia total generada, es: MW0332.693PP iT ; el error, es: 0332.243PPe DT0 , existe un exceso de generación y como las potencias generadas son proporcionales a lambda, es necesario reducir el lambda, por ejemplo en 10 % -con una cierta heurística-.

2.781.081.0 001 Iteración No. 2 Empleando las expresiones para calcular las potencias, se tiene:

MW1590.183PPeMW8410.266P

MW100PMW8410.46P

MW120P

DT1

T

3

2

1

Como se tienen dos lambdas y sus respectivos errores, se puede proyectar un nuevo Lambda mediante

la expresión: 1ii

1iiii1i ee

)(e

ó

i1i

i1i1i1i1i ee

)(e

, empleando ésta última, se tiene:

5438.7)1590.183(0332.243

)2.78(0332.2438ee

)(e

10

10002

Iteración No. 3 Las nuevas potencias, son:

34

MW0001.0PPeMW9999.449PMW4012.176P

MW6474.67PMW9513.205P

DT1

T

3

2

1

Como el error es muy pequeño, entonces, está resuelto el problema. b) Método del Gradiente de 1er Orden Iteración No. 1 Dada la solución factible, mediante una cierta heurística:

X3

2

1

PMW200PMW70PMW180P

Se elige la unidad 3 como la unidad dependiente. Los costos marginales, son:

xx

x

dPdFP

dPdF

PdPdF

PdPdF

33

33

22

22

11

11

0045.075.6

016524.0426.6

004.072.6

El incremento del costo de generación, está dado por:

23

3

2

21

3

3

1

1 PdPdF

dPdFP

dPdF

dPdFF

, reemplazando, los costos marginales, se tiene:

21 P06732.0P21.0F

La unidad que más contribuye a minimizar el costo de generación es la unidad No. 1, ya que le corresponde el mayor valor absoluto de la diferencia de costos marginales. Tomando

xPMWPMWP

4040

3

1

35

Esos valores, se eligen con una cierta heurística. Se toma el signo contrario a la diferencia de los costos marginales correspondiente al del mayor valor absoluto. Iteración No. 2

MW160PMW70PMW220P

3

2

1

; son las nuevas potencias actualizadas, también es una solución factible.

La nueva variación del costo de generación, es:

21 P11268.0P13.0F La unidad que debe modificar su generación es nuevamente el generador No. 1, ya que le corresponde el mayor valor absoluto de la diferencia de costos marginales. El nuevo vector de corrección, es la mitad del vector de corrección de la iteración anterior, y es:

MW20PMW20P

3

1

Los resultados se muestran en la tabla 2.1. Tabla 2.1 Resultados de la aplicación del método del gradiente de 1er orden. k P1 P2 P3 ΔF ΔP1 ΔP2 ΔP3 1 180 70 200 (-0.21)ΔP1+(-0.06732)ΔP2 +40 0 -40 2 220 70 160 (0.13)ΔP1+(0.11268)ΔP2 -20 0 +20 3 200 70 180 (-0.04)ΔP1+(0.02268)ΔP2 +10 0 -10 4 210 70 170 (0.045)ΔP1+(0.06768)ΔP2 0 -5 +5 5 210 65 175 (0.0225)ΔP1+(-0.03744)ΔP2 0 +2.5 -2.5 6* 210 67.5 172.5 (0.0337)ΔP1+(0.01512)ΔP2 -2.5 0 +2.5 7 207.5 67.5 175 (0.035)ΔP1+(0.00387)ΔP2 -1.25 0 +1.25 8 206.25 67.5 176.25 (1.87E-3)ΔP1+(-1.755E-3)ΔP2 -0.625 0 +0.625 9 205.625 67.5 176.875 (-3.43E-3)ΔP1+(-4.56E-3)ΔP2 0 +0.3125 -0.3125 10 205.625 67.8125 176.562 (-2.03E-3)ΔP1+(2.002E-3)ΔP2 +0.15625 0 -0.15625 11 205.781 67.8125 176.406 (-7.03E-4)ΔP1+(2.7E-3)ΔP2 0 -0.07815 +0.078125 12 205.781 67.7343 176.484 La convergencia a la solución es lenta, como se puede apreciar en los resultados. Esta desventaja, es común a todo método de optimización basado en el gradiente de 1er orden. c) Método del Gradiente de 2do Orden Considerando la solución factible:

X3

2

1

PMW200PMW70PMW180P

y se toma el generador No. 3, como unidad dependiente.

36

Iteración No. 1 Se necesita calcular las segundas derivadas de la función costo de generación, las cuales son:

0045.0dP

Fd

0016524.0dP

Fd

004.0dP

Fd

23

32

22

22

21

12

Empleando la ecuación:

'x

'2

'x

'1

2

1"x

"2

"x

"x

"x

"1

FFFF

PP

FFFFFF

, y reemplazando valores, se tiene:

06732.0

21.0PP

021024.00045.00045.00085.0

2

1 , la solución se obtiene multiplicando por la inversa

de la matriz de segundas derivadas, y se tiene:

3526.29514.25

06732.021.0

6433.533994.283994.286820.132

PP

2

1 y MW5988.23PPP 213

Las potencias generadas, son:

MW4012.1765988.23200PMW6474.673526.270P

MW9514.2059514.25180P

3

2

1

Iteración No. 2 Los nuevos costos marginales, son:

5438.7F5438.7F

5438.7F

'3

'2

'1

Como los costos marginales son iguales, el proceso se para.

d) Factores de Participación Se pide realizar el despacho económico para una carga de PD = 500 MW, entonces el incremento resultante de la demanda, es: MW50PD Las segundas derivadas de Fi, son:

37

0045.0dP

Fd

0016524.0dP

Fd

004.0dP

Fd

23

32

22

22

21

12

Los factores de participación son:

417131.074.532222.222

0045.01

016524.01

004.01

0045.01

PP

113598.074.53251.60

0045.01

016524.01

004.01

016524.01

PP

469272.074.532

250

0045.01

016524.01

004.01

004.01

PP

D

3

D

2

D

1

Considerando como caso base una demanda de PD = 450 MW, resuelto por el método iterativo Lambda. El nuevo perfil de generación, es:

Dibase

inuevoi P

PPPP

MW25775.19750417131.04012.176PMW3273.7350113598.06474.67P

MW4149.22950469272.09516.205P

3

2

1

Los nuevos costos marginales, son:

6376598.7637660.76376596.7

3

2

1

Los cuales son prácticamente iguales y está resuelto el problema.

38

Capítulo III

PREDESPACHO DE CARGA 3.1 Introducción

l objetivo del predespacho de carga, conocido también como programación de la generación, es decidir para un periodo determinado, qué unidades de generación deben operar y cuáles deben quedar fuera de servicio, de tal modo que el costo de operación del sistema sea minimizada,

considerando las restricciones físicas de los equipos y elementos del sistema eléctrico de potencia. El problema de la entrada ó salida de una unidad u otra, es complejo y es dificultoso de resolver matemáticamente, ya que involucra variables enteras binarias (1, 0; on – off, conexión - desconexión). El predespacho de carga –unit commitment, generation scheduling, generation programming-, determina si un generador en particular tiene que estar conectado o desconectado de la red, pero no todos los generadores estarán conectados al sistema, solo se consideran aquellos que satisfacen los requerimientos operacionales del sistema, es decir, se debe satisfacer la demanda y disponer de suficiente reserva en giro para enfrentar alguna contingencia, pero la cuestión es ¿cuál será el plan óptimo?. Para comprender el problema del predespacho, se presenta el ejemplo siguiente:

Ejemplo 3.1 Combinación de Unidades Se desea satisfacer una demanda de 350 MW, para tal efecto se dispone de tres generadores, cuyas funciones costo y límites de potencia generada, son: Pmin [MW] Pmax [MW]

2111 P002.0P72.6180F 45 350

2222 P00826.0P426.658.743F 45 350

2333 P00225.0P75.6360F 47.5 450

Tabla 3.1 Combinación de unidades y despacho económico para una carga de 350 MW. C U1 U2 U3 PMin PMax P1 [MW] P2 [MW] P3 [MW] F1 [$/h] F2 [$/h] F3 [$/h] FT [$/h] 1 0 0 0 0 0 infactible 0 0 0 2 0 0 1 47.5 450 0 0 350 0 0 2998 2998 3 0 1 0 45 350 0 350 0 0 4004 0 4004 4 0 1 1 92.5 800 0 90.40 259.6 0 1392 2264 3656 5 1 0 0 45 350 350 0 0 2777 0 0 2777 6 1 0 1 92.5 800 188.8 0 161.2 1520 0 1506 3026 7 1 1 0 90 700 267.5 82.5 0 2121 1330 0 3451 8 1 1 1 137.5 1150 159 56.3 134.7 1299 1139 1310 3741

E

39

Como se tiene 3 unidades, resultan 2N = 23 = 8 combinaciones, la combinación 1, es infactible y se le asigna un costo elevado (). En la Tabla 3.1, se presenta el despacho económico para todas las combinaciones posibles que satisfacen la demanda de 350 MW. En este ejemplo, la combinación 5 (unidad 1 conectada, las restantes desconectadas) presenta los menores costos de operación y satisface los requerimientos del problema, como el generador No. 1 debe operar a su capacidad máxima, no existe potencia de reserva. Pero, si se impusiera una potencia de reserva, entonces la combinación 2 (unidad 3 conectada, las restantes desconectadas), presenta el segundo menor costo. Estos resultados se pueden emplear para realizar el predespacho y el método se denomina, regla de salida –shut down rule- [2]. En la Fig. 3.1, se muestra la curva de carga de un consumo hipotético. Suponiendo que es necesario suministrar potencia para abastecer una demanda de 1150 MW, entonces las tres unidades deben estar conectados a la red, pero si la demanda a satisfacer es de 750 MW, la combinación más económica es (unidades 1+3), entonces debe salir de servicio la unidad 2 por ser la más cara y si la demanda fuera 300 MW, la combinación económica es que la unidad 1 abastezca a la demanda y debe quedar fuera de servicio la unidad 3. En la Tabla 3.2, se esquematiza la programación de generación mediante la regla de salida de unidades.

Fig. 3.1 Curva de carga hipotética

1

3 3

2 2

1150 MW

350 MW

0 24 h

40

Tabla 3.2 Combinaciones óptimas: Regla de salida –shut down rule-

Carga U1 U2 U3 1150 1 1 1 1100 1 1 1 1050 1 1 1 1000 1 1 1 950 1 1 1 900 1 1 1 850 1 1 1 800 1 0 1 750 1 0 1 700 1 0 1 650 1 0 1 600 1 0 1 550 1 0 1 500 1 0 1 450 1 0 1 400 1 0 1 350 1 0 0 300 1 0 0 250 1 0 0

3.2 Restricciones de Operación en el Predespacho El problema del predespacho, planteado como un problema de optimización, presenta varias restricciones de operación.

3.2.1 Reserva en Giro La reserva en giro, es la potencia de generación disponible de todas las unidades sincronizadas en el sistema menos la carga y las pérdidas, es decir:

perdDi

Dispigiroenreserva PPPP

donde:

PiDisp Potencia generada disponible por la unidad i PD La demanda de potencia. Pperd Las pérdidas del sistema.

La reserva en giro debe ser tal que la salida ó pérdida de uno o más unidades, no cause la caída de frecuencia. Además, se debe considerar la reserva programada off-line, es decir, la reserva en frío, como ser las unidades de diesel de arranque rápido ó turbinas de gas, también las plantas hidráulicas.

41

3.2.2 Restricciones de las Unidades Térmicas Las principales restricciones en la operación de plantas térmicas, son: Tiempo mínimo de operación Una vez que la unidad entra en funcionamiento, no puede ser desconectado inmediatamente, dicho de otro modo, una vez arrancada la unidad, debe permanecer operando al menos un tiempo mínimo establecido. Tiempo mínimo de parada Una vez que la unidad sale de servicio, hay un tiempo mínimo antes de entrar en funcionamiento, es decir, debe permanecer en paro al menos un tiempo mínimo. Restricción de personal Si en una planta existen dos ó más unidades, estas no pueden ser accionadas simultáneamente. Costos de Partida Debido a que la temperatura y presión en una unidad térmica debe cambiar lentamente para evitar el choque térmico que afectaría la vida útil de la unidad, además, se consume energía al poner en línea la unidad, es decir que se tiene asociado costos de partida, estos costos, son: a) Costo de partida en frío El costo de partida en frío, está dado por la ecuación siguiente:

f

t

CPfrio CFe1CC

El costo de partida de una unidad termoeléctrica depende del tiempo que la caldera estuvo parada en frío. El costo, depende del calor que es necesario inyectar a la caldera hasta lograr las condiciones operativas. En las unidades con turbina de gas o diesel, los costos de partida son mucho menores que los relacionados con unidades de vapor. b) Costo de partida en caliente El costo de partida en caliente, está dado por la ecuación siguiente:

ftPcaliente CFtCC donde:

CC = Costo de partida en frío, MBtu F = Costo de combustible

42

Cf = Costos fijos = Constante térmica de la unidad t = Tiempo calentada en horas de la unidad fría

Ct = Costo de mantenimiento

hMBtu de la unidad a la temperatura de operación

El costo de partida caliente, es proporcional al calor que debe inyectarse a la caldera y a la turbina para mantenerlas en condiciones operativas que les permitan iniciar la partida muy rápidamente. La parada caliente de unidades térmicas de generación, es muy conveniente cuando la carga fluctúa en periodos cortos, durante los cuales las unidades térmicas están en condiciones operativas y así se evitan mayores costos por la partida en frío cuando es necesaria mayor generación. La Fig. 3.2, muestran los costos típicos de partida en frío y en caliente, y están determinados por las respectivas expresiones de los costos mencionados.

3.2.3 Restricciones Hidráulicas Existen restricciones hidráulicas, debido a que no se puede ´turbinar´ toda el agua almacenada en una represa, se debe mantener un nivel mínimo ya que el agua se utiliza en regadíos, navegación, esparcimiento, etc., además hay que prever épocas de sequía. Además, se debe considerar la dependencia funcional que existe entre la carga hidráulica útil en las turbinas con los niveles de almacenamiento (potencia firme de la planta) Otra restricción es el acoplamiento hidráulico existente entre centrales en cascada, así como el tiempo de propagación del agua por los ductos.

Fig. 3.2 Costos de partida

Caliente

En frío

1 2 3 4 5

Costos de Partida

t [h]

43

3.2.4 Potencia Reactiva En algunas barras de un sistema eléctrico de potencia, es menester inyectar potencia reactiva para que el perfil de tensiones en el SEP sea el adecuado, por lo que se tendrá unidades de generación en funcionamiento para proveer potencia reactiva.

3.2.5 Restricción de Combustible Debido a la limitación de combustible en cantidad y precio, es necesario considerar la reconversión de unidades generadoras, por lo que estas unidades estarán fuera de servicio temporal. Otra restricción de la operación, es la disponibilidad del tipo de combustible o mezcla de combustibles a utilizar.

3.2.6 Flujo de Potencia Activa El flujo de potencia activa en líneas y/o transformadores importantes está acotado entre límites específicos. La capacidad de carga de una línea, está dada por consideraciones de estabilidad dinámica que permitan hacer frente a diversas contingencias, en un transformador la limitación es su capacidad térmica de sobrecarga.

3.3 Restricciones de Red Las principales restricciones de red, están dadas por las ecuaciones del flujo de potencia, las cuales satisfacen las dos leyes de Kirchhoff de los circuitos eléctricos.

3.4 Métodos de Solución del Problema del Predespacho Los principales métodos para la resolver el problema del predespacho, son:

a) Combinaciones Secuenciales b) Lista de prioridad c) Programación Dinámica d) Programación Lineal Entera Mixta e) Programación Dinámica más Combinaciones Secuenciales. f) Programación Dinámica más Ventana de Búsqueda. g) Programación Dinámica más Combinaciones Secuenciales y Ventana de Búsqueda. h) Algoritmos Evolutivos

En este texto, solo se abordarán los tres primeros métodos.

44

3.4.1 Método de las Combinaciones Secuenciales Considerando que el problema del predespacho es muy dificultoso de resolver, una alternativa es considerar todas las combinaciones secuenciales, para lo cual se supone, lo siguiente:

Se pueden establecer la variación de la carga en M períodos. Se dispone de N unidades a programar y despachar. Los M niveles de carga pueden ser abastecidas por una unidad como por la combinación

de las N unidades. Se puede establecer, el predespacho por enumeración de todos los estados (método de fuerza bruta), el número de combinaciones que se necesita cada hora es:

12)N,N(C)1N,N(C)2,N(C)1,N(C N donde:

!j)!jN(!N)j,N(C

;

j!, es el factorial de j.

Para un período de M intervalos, el número máximo de combinaciones posibles, es MN 1) -(2 , el cual puede resultar muy grande. Sea M = 24, (24 períodos de una hora) En la Tabla 3.3 se muestra que la cantidad de combinaciones puede hacerse prohibitiva (maldición de la dimensionalidad), al considerar N unidades.

Tabla 3.3 Número máximo de combinaciones posibles N (2N – 1)24 5 6.2 1035

10 1.73 1072

20 3.12 10144

Este método no es práctico por la gran cantidad de combinaciones posibles a considerar, pero se puede considerar una ventana de búsqueda, es decir, tomar algunos estados en cada etapa (con una cierta heurística), lo cual reduce el espacio de búsqueda y por consiguiente el tiempo computacional.

3.4.2 Método de la Lista de Prioridad Éste método consiste en crear una lista de prioridad de unidades sobre la base de los costos de generación promedio a carga total de cada unidad. El costo promedio a carga plena está definido por:

45

maxi

maxiii

maxi

iP

)PP(FP

F

hMW$

Para el ejemplo introductorio, el costo promedio a carga plena, se muestra en la Tabla 3.4:

Tabla 3.4 Costo promedio a carga plena Unidad

hMW$

1 7.93 2 11.44 3 8.56

El estricto orden de prioridad de unidades sobre la base de los costos promedios, se muestra en la Tabla 3.5 y en la Tabla 3.6, se muestra la combinación económica.

Tabla 3.5 Lista de prioridad Unidad Costo promedio Pmin Pmax 1 7.93 45 350 3 8.56 47.5 450 2 11.44 45 350

Tabla 3.6 Combinación económica (Esquema de enumeración) Combinación Pmin Pmax 1+3+2 137.5 1150 1+3 92.5 800 1 45 350

Otro método para resolver el problema del predespacho de carga, es combinar la ventana de búsqueda con la lista de prioridad y la programación dinámica.

3.4.3 Programación Dinámica La programación dinámica (PD), es un proceso de decisión de optimización de T-etapas, se basa en las proposiciones de Bellman [2], quien introduce éste método en 1957. Principio de Optimalidad de Bellman ‘Una política es óptima si, en una etapa determinada, cualesquiera que hayan sido las decisiones previas, las decisiones que se tomen constituyen una política óptima al incluir los resultados previos’. Expresando éste principio en otra forma:

46

‘Una política óptima tiene la propiedad de que independientemente de las decisiones tomadas para llegar a un estado particular en una etapa particular, las decisiones restantes deben constituir una política óptima para abandonar ese estado’. En otras palabras, la trayectoria óptima desde el punto de partida al punto final tiene la propiedad que para cualquier punto intermedio, la trayectoria debe ser aquella óptima desde el punto de partida hasta aquel punto intermedio. Teorema: Una política óptima sólo puede contener decisiones óptimas. Para comprender la programación dinámica, se presenta un ejemplo para entender el algoritmo. Ejemplo 3.2 Predespacho de Carga [9] Considerando que dos unidades de 300 y 200 MW, -(1) y (2) respectivamente- deben servir una demanda en 4 periodos (200-300-200-200 MW), determinar el predespacho de carga. En la Fig. 3.3, se muestra la curva de carga. Definiciones de trabajo Estado: Condición determinada de las unidades, 1 ó 0 Espacio de estados: Conjunto de todos los estados posibles. Etapa: Fase del problema asociado con el periodo k. Nodo ó Vértice: Par ordenado (Etapa, Estado). Arco o Paso: Transición de un estado en la etapa k a un estado en la etapa k+1 Costo: Valor asignado a un arco o paso.

Fig. 3.3 Curva de carga hipotética del ejemplo.

0

0 1 2 3 K

8 14 18

200 MW 300 MW

P

24 t [h]

200 MW

47

En el ejemplo: Estado inicial: la unidad 1 está en servicio y la unidad 2 está fuera de servicio: (1, 0) Espacio de estados: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) El costo de pasar de la etapa 0 a la 1, desde el estado al estado , es: )1(P)1(uf)1(P)1(uf 222111

En este ejemplo, no se considera restricciones, como por ejemplo la reserva en giro. Tabla 3.7 Los estados en cada etapa Etapa 0 1 2 3 Estados En la Tabla 3.7, se muestra todos los estados en cada etapa, pero los estados , son estados no factibles, es decir no satisfacen la demanda. En la etapa 1, el estado , tampoco es factible, por lo que no se los toma en cuenta. A partir de la etapa 3, la curva de carga para las etapas posteriores es similar, por lo que el estado final de la etapa 3, será el estado . En la Fig. 3.4, se muestra la conexión de nodos y arcos, se indican los estados consideradas en cada etapa y el costo de transición (costos de partida, tiempos mínimos de operación y parada expresadas como costos) entre diferentes estados de las etapas adyacentes. Según Bellman: El camino o paso óptimo desde el nodo inicial al final tiene la propiedad que para cualquier nodo intermedio, el paso debe ser óptimo desde el nodo inicial hasta el nodo intermedio. El valor óptimo del costo que conecta el nodo inicial con un nodo (k, ) es S(k, ). La trayectoria óptima hasta (k, ) es {(0, 0) , (1, 1) , .... , (k-1, k-1) }

48

En el ejemplo: De la etapa 0 a la 1, como existen dos estados factibles: S(1, ) = 3 Trayectorias {(0, ) , (1, ) }* S(1, ) = 7 {(0, ) , (1, )} * Trayectoria de costo mínimo. De la etapa 1 a la 2, existen tres estados factibles: S(2, ) = min {6 + S(1, ), 8 + S(1, )}= 9 Trayectorias = {(0, ) , (1, ), (2, )} * S(2, ) = min {9 + S(1, ), 10 + S(1, )} = 12 Trayectorias = {(0, ) , (1, ), (2, )} S(2, ) = min {11 + S(1, ), 5 + S(1, )} = 12 Trayectorias = {(0, ) , (1, ), (2, )} De la etapa 2 a la 3, existe solamente un estado factible: S(3, ) = min {1 + S(2, ), 4 + S(2, ), 2 + S(2, )}= 11 Trayectorias = {(0, ) , (1, ), (2, ), (3, )} * Costo óptimo, es: S(3, ) = 11 * Trayectoria óptima {(0, ) , (1, ), (2, ), (3, )}

Fig. 3.4 Diagrama de nodos y arcos para el ejemplo 3.2.

k 0 1 2 3

3

7

9

6 2

4

1

5

11

10 8

49

Acotación Si hay N unidades, el espacio de estados contiene 2N elementos. Si se consideran los tiempos límites de operación y de partida, hay muchísimos más, N

PO )TT( . Si TO = 4 y TP = 6, entonces resulta 1012 estados. Se requiere disminuir el espacio de estados, se debe tomar en cuenta que la demanda elimina muchos estados, los tiempos mínimos de operación y parada, elimina muchos arcos o pasos. Aun así, el 0.001 de los casos son 109. a) Método de Programación Dinámica de Avance [2] El algoritmo recursivo para computar el costo mínimo en la hora K con la combinación I, es:

)L,1K(F)I,K:L,1K(S)I,K(PMin)I,K(F tcostcostcos}L{

tcos

)I,1(P)I,1(F tcostcos donde:

Fcost(K,I) Menor costo para arribar al estado (K,I) de la etapa K Pcost(K,I) Costo de producción para el estado (K,I) de la etapa K. Scost(K-1,L:K,I) Costo de transición del estado (K-1,L) al estado (K,I) {L} Conjunto de estados factibles en el intervalo K-1.

En la Fig. 3.5, se muestra el diagrama de flujos para la implementación del algoritmo; PD de avance. b) Método de Programación Dinámica de Retroceso [2] El algoritmo recursivo es:

)J,1K(F)1K,J:K,I(S)I,K(PMin)I,K(F tcostcostcos}J{

tcos

)I,M(P)I,M(F tcostcos donde: Fcost(K,I) Costo total mínimo de combustible desde el estado I en la etapa K a la última etapa

M. Pcost(K,I) Costo de generación mínimo para abastecer la carga durante la etapa K, en un estado

I dado. Scost(I, K:J, K+1) Costo incremental de partida desde el estado I en la etapa K al estado J de la etapa

(K+1) {J} Conjunto de estados factibles en la etapa K+1. El costo de generación Pcost(K,I), se obtiene realizando el despacho económico de las unidades en operación en el estado I. En la Fig. 3.6, se muestra el diagrama de flujos para la implementación del algoritmo; programación dinámica de retroceso.

50

Fig. 3.5 Diagrama de flujo: PD en avance

Comienzo

K = 1

)L,1K(F)I,K:L,1K(S)I,K(PMin)I,K(F tcostcostcos}L{

tcos

K = K + 1

{L} = ‘N’ estados factibles en la etapa K-1

)L,1K(F)I,K:L,1K(S)I,K(PMin)I,K(F tcostcostcos}L{

tcos

Almacenar los N menores costos

K = M

Programación Óptima

FIN

Si

No

{X} Calcular para todos los estados I en la etapa K = 1

{X} Calcular para todos los estado I en el periodo K

51

Fig. 3.6 Diagrama de flujo: PD en retroceso

Comienzo

K = M

)I,M(P)I,K(F tcostcos

K = K - 1

{J} = Todos los estados factibles en la etapa K+1

)J,1K(F)1K,J:K,I(S)I,K(PMin)I,K(F tcostcostcos}L{

tcos

Almacenar los N menores costos

K = 1

Programación Óptima

FIN

Si

No

Calcular para todos los estados I en la etapa K = M

Calcular para todos los estado I en el periodo K

52

La aplicación directa de la programación dinámica a la resolución del predespacho económico, requiere mucho esfuerzo computacional, por lo que es común emplear la siguiente estrategia:

1) En cada etapa, se selecciona un conjunto de estados de costo mínimo {N}. 2) Para la etapa siguiente, se selecciona un conjunto de estados {X} con alguna heurística,

con el objeto de limitar el espacio de búsqueda.

Esta estrategia se repite en cada transición de etapa, con suerte se encuentra la trayectoria óptima o una trayectoria muy cercana al óptimo. En la Fig. 3.7, se esquematiza esta situación.

Fig. 3.7 Esquema elección de estados de búsqueda.

N

X

N

X N

Trayectoria Óptima

Trayectoria cercana a la Óptima

Etapa K-1 K K+1

53

3.5 Formulación Alternativa del Predespacho [10] Una formulación alternativa del predespacho, es el modelo siguiente:

N

1i

maxii

idi

upii

maxiii

minii

N

1iii

T

1t

N

1iiiii

T ..., 1,t );t(r)t(uP)t( :reserva de Potencia d)

N , ... 1,i T; , ... 1, t);1)1t(x1t(I1)t(

N , ... 1,i T; , ... 1, t);1t)1t(x1(I)t( :entofuncionamiy parada de mínimos c)Tiempos

N , ... 1,i T; , ... 1, t;(t)P)t(P(t)P :Capacidad de Límites b)

T , ... 1, t);t(u(t)(t)P :Demanda )a

:nesrestricciolasasujeto

(t)CS(t)ν(t)PCFmin

donde: CFi(P) Costo de producción de P unidades de potencia por la unidad i CSi(t) Costo de partida de la unidad i en la etapa t u(t) Demanda en la etapa t r(t) Potencia de reserva en la etapa t (En caso de falla de unidades) Pi(t) Cantidad de potencia producida por la unidad i i(t) Variable de control de la unidad i en la etapa t

t tiempoelen servicioen está unidad la si 1 t tiempoelen servicio de fuera está unidad la si 0

)t(i ii

xi(t) Tiempo consecutivo en que la unidad i ha estado en servicio o fuera de servicio en la etapa t I(x) Función lógica definida por:

verdaderoes x si 1

falso es x si 0)x(I

t Etapa

54

Capítulo IV

COORDINACIÓN HIDROTERMICA 4.1 Introducción

n la operación del sistema eléctrico de potencia, las plantas hidráulicas y térmicas (vapor, gas, diesel, nuclear, etc) suministran energía eléctrica a los centros de consumo a través de líneas de transporte y transformadores.

La coordinación hidrotérmica consiste en determinar una política óptima para el gasto del agua en centrales hidroeléctricas, combinando el uso de combustible de las centrales térmicas para satisfacer la demanda y restricciones de operación y de red. Se pueden considerar dos extremos. Por una parte, si se utiliza todo el recurso hidráulico disponible y se suceden bajos aportes de los ríos, podrá ser necesario usar generación térmica de alto costo de producción o eventualmente recurrir al racionamiento del suministro de energía eléctrica. Por otra parte, si se mantienen los embalses del sistema con niveles altos de cotas, usando preferentemente la generación térmica para satisfacer la demanda y se suceden volúmenes elevados de aporte, podría existir un desperdicio del recurso hidráulico debido a la probable descarga por vertedero, resultando un costo total asociado a la generación térmica elevada durante el periodo analizado. La disponibilidad de cantidades limitadas de energía hidráulica, en forma de agua almacenada en los embalses y el caudal de los ríos dependientes de las lluvias en centrales de pasada, hacen que la operación de sistemas hidrotérmicos sea muy compleja.

4.2 Despacho de Energía con Límites Considerando una planta hidroeléctrica y otra térmica suministran energía eléctrica a una cierta carga, en la Fig. 4.1, se muestra un esquema del sistema.

E

Fig. 4.1 Coordinación de plantas Térmica e Hidráulica

H

PD

PT PH

q F T

55

La planta hidráulica puede abastecer a la carga por si sola durante un tiempo limitado, es decir:

jDmax

jH PP ; j = 1, 2, ... , jmax

para un período j. Sin embargo, la energía disponible de la planta hidráulica, es insuficiente para satisfacer la carga, es decir:

jmaxj

1jjD

maxj

1jjjH nPnP

; nj número de horas del periodo j

maxmaxj

1jj Tn

; periodo total

Entonces:

EnPnPmaxj

1j

maxj

1jjjHjjD

; es la energía de la planta térmica

No se requiere que la planta térmica, funcione todo el período Tmax:

EnPsN

1jjjS

; NS número de periodos de la planta térmica en funcionamiento

maxsN

1jj Tn

El problema de optimización queda expresado por:

EnP

:asujeto

n)P(FFMin

jSN

1jjS

jSN

1jjST

La función de Lagrange, es:

)nPE(n)P(F j

N

1jSj

N

1jS

S

j

S

j

L

56

donde: es el multiplicador de Lagrange. La condición de optimalidad, es:

0P jSdP

)jSP(dF

jS

L ; j = 1, 2, ... ,NS

jSdP

)jSP(dF; j = 1, 2, ... , NS

El costo marginal para todas las etapas es el mismo, es decir, el generador térmico debe entregar la

misma potencia en todos los periodos de funcionamiento *SPjSPiSP .

El costo total sobre el intervalo

S*S

SN

1jj

*SjST T)P(Fn)P(Fn)P(FF

donde:

SN

1jjS nT

2S2S10S PaPaa)P(F

S2*

S2*S10T T)PaPaa(F

ETPnPnP SSN

1j

*S

SN

1jj

*SjjS

57

4.3 Coordinación Hidrotérmica a Corto Plazo La coordinación hidrotérmica de corto plazo determina la programación horaria (ó semanal), económica y confiable de la operación de cada unidad de generación del sistema. La operación del sistema se considera que la carga es abastecida por una planta térmica y otra hidráulica. En la Fig. 4.3, se muestra un diagrama esquemático de una planta hidráulica. Y en la Fig. 4.4, se muestra el diagrama esquemático de coordinación hidrotérmica.

Fig. 4.2 Programación de la generación

TS Tmax

PS*

P

Fig. 4.3 Diagrama esquemático de una represa

qj

rj sj

Vj

58

Fig. 4.4 Coordinación hidrotérmica para el periodo j donde:

rj = Aporte en el periodo j sj = Rebalse, pérdidas y otros usos en el periodo j qj

= Gasto de agua en el periodo j Vj = Volumen de descarga en el periodo j

El modelo de optimización, es:

:asujeto

nFFMin jmaxj

1jjT

totaljmaxj

1jj qnq

; Descarga total de agua

0PPP jSjHjD ; Balance de potencia para j = 1, 2, ... , jmax

donde:

nj = Longitud del periodo j

maxmaxj

1jj Tn

S0jj VV

; Volumen inicial

Emaxjjj VV

; Volumen final

maxjj

minj qqq límite de flujo de agua para j = 1, 2, ... , jmax

H

PDj

PTj PHj

qj Fj T

59

jq = Descarga constante para un periodo particular.

La descarga depende de potencia entregada por el generador, ésta dependencia se muestra en la Fig. 4.5. La función de Lagrange, es:

max

j

max

jjj

j

1jtotaliHj

j

1jSHjDjSj qn)P(q)PPP()P(Fn L

para un intervalo específico j = k, la ecuación de coordinación, es:

kH

Hk

H

kS

Sk

S

k

k

k

k

k

k

dPPdq

nP

dPPdF

nP

)(;0

)(;0

L

L

Fig. 4.5 Gasto de agua de una planta hidráulica PH MW

q

q = q(PH)

hm3

60

Si se considera pérdidas, el modelo de optimización, es:

0PPPP

qnq

:asujeto

nFFMin

jjj

max

max

SHperdDj

totalj

j

1jj

j

j

1jjT

La función de Lagrange, es:

max

j

max

jjjjj

j

1jtotaliHj

j

1jSHperdDjSj qn)P(q)PPPP()P(Fn L

Las ecuaciones de coordinación para el periodo k, son:

kkH

kperdk

kH

kHk

kkS

kperdk

kS

kSk

PP

dP)P(dq

n

PP

dP)P(dF

n

Una metodología para resolver el problema de la coordinación hidrotérmica, considerando una unidad térmica y otra hidráulica, es emplear el método de proyección lambda, λ, agregando la proyección gamma, γ. El método, se denomina método iterativo λ-γ (Lambda-Gamma). En la Fig. 4.6, se presenta el diagrama de flujo para implementar el método iterativo λ-γ con pérdidas.

61

Fig. 4.6 Diagrama de flujo: método iterativo - con pérdidas

Comienzo

Asumir valores iniciales:k, , Psk

J = 1

Resolver las ecuaciones de coordinación

kkH

kperdk

kH

kHk

kkS

kperdk

kS

kSk

P

P

dP

)P(dqn

P

P

dP

)P(dfn

1ePPPPjjjj SHperdD

Determinar qj(PHj)

J=Jmax

2totalmaxj

1jjj eqqn

Programación de generación

FIN

No

Proyectar nuevo j

Si

J = J +1 No

Si

No Proyectar nuevo

Si

62

4.3.1 Plantas Acopladas Hidráulicamente (Plantas en Serie) Sean tres plantas en serie, las aguas ‘turbinadas’ por la planta superior se consideran como afluentes de la planta aguas abajo. En la Fig. 4.7, se muestra un diagrama esquemático de esta situación. En las plantas de aguas abajo, no se consideran afluentes, el funcionamiento de estas plantas depende exclusivamente de las aguas turbinadas por las plantas de aguas arriba. Para un intervalo j, se verifica:

jj3j3j2j21j3j3

jj2j2j1j11j2j2

jj1j1j11j1j1

n)qssq(VV

n)qssq(VV

n)qsr(VV

Fig. 4.7 Centrales hidráulicas acopladas

r1

s1

q1

s2

q2 s3

q3

63

El problema de optimización queda planteado, por el siguiente modelo de optimización:

max

jj3j3j2j21j3j3

jj2j2j1j11j2j2

jj1j1j11j1j1

j3Hj2Hj1HjSjD

maxj

1jjSj

j,....,2,1jpara

0n)qssq(VV

0n)qssq(VV

0n)qsr(VV

0PPPPP:a.s

)P(FnMin

La función de Lagrange aumentada, es:

)})(( ))((

))((

)()({

33221333

22111222

1111111

1321

max

jjjjjjj

jjjjjjj

jjjjjj

HHHSDj

j

jSj

nqssqVVnqssqVV

nqsrVV

PPPPPPFnjjjjjj

L

Nótese que por cada planta hidráulica i considerada, se debe añadir un multiplicador de Lagrange, denominada γi.

4.4 Coordinación Hidrotérmica Multimáquinas El despacho de carga óptimo en un sistema eléctrico de potencia, es la determinación de la generación de cada planta, tal que el costo total de generación sea mínimo, satisfaciendo las restricciones del sistema. Sin embargo debido a la insignificancia de los costos de operación de las plantas hidráulicas, el problema se reduce a minimizar el costo de combustible de las plantas térmicas restringido por los límites generación, disponibilidad de agua y el balance de energía para un periodo [11,12]. Los métodos para la resolución son:

Programación dinámica Método de la variación local Técnica de análisis funcional Método iterativo - Técnicas generales de programación matemática Técnica de la Gradiente Técnica de Newton-Raphson Método Híbrido de Powell Algoritmos Genéticos

64

Para un determinado periodo, la carga debe ser abastecida por n generadores hidráulicos desacoplados y m generadores térmicos, como se aprecia en la Fig. 4.8. Para la formulación básica del problema, se considera:

m plantas térmicas n plantas hidráulicas aisladas jmax intervalos

La función objetivo, es:

maxj

1k

m

1skSk )P(FnZMin

sujeto a: Ecuación del balance de energía:

Fig. 4.8 Curva de carga

jhP

j2hP

j1hP

jSP

j2SP

j1SP

nj

1 2 j jmax

P jDP

65

max

kDkperdn

1hkh

m

1skSk

j,...,2,1kpara

0PPPPC

Restricción de disponibilidad de agua:

n,...,2,1hpara

VqnW h

j

1khkh

max

k

Restricción de capacidad:

maxkhkh

minkh

maxkSkS

minkS

PPP

PPP

donde:

s0kSs12kSs2kS PP)P(F

h0khh12khh2kh PPq

0iknm

1iijk

nm

1i

nm

1jikijkperd bPbPPBP

La función de Lagrange aumentada, es:

)(),,(11

max

n

hhhh

j

kkk VWCZP L

Las condiciones de optimalidad, son:

0)(

kk

k

k S

kk

S

Sk

S PC

dPPdF

nP

L

0

kkk h

hhk

h

kk

h dPdWn

PC

P

L

66

0

0

hhh

kk

VW

C

L

L

4.5 Coordinación Hidrotérmica a Largo Plazo El objetivo de la coordinación hidrotérmica a largo plazo (1 a 5 años), es determinar el modo de operación de cada central del sistema, tal que minimice el valor esperado total del costo de operación a lo largo del periodo analizado, considerando las restricciones de red, de operación, de disponibilidad de recursos energéticos y de confiabilidad. En otras palabras, asegurar el recurso electricidad en cantidad y calidad al mínimo costo, cumpliendo las restricciones físicas del sistema. En este problema, existe una vinculación entre la ‘decisión’ de generar desde una central hidráulica determinada de operación en una etapa y las consecuencias de esta decisión en etapas posteriores, ésta vinculación es debida a la disponibilidad limitada del recurso energético agua y a la no-linealidad de la función costos de generación de las centrales térmicas, volviéndose de este modo en un problema dinámico La coordinación hidrotérmica a largo plazo, es un problema estocástico debido a que es imposible tener un pronóstico exacto de los aportes futuros a los embalses de las centrales hidráulicas y en cierto modo a la carga misma. Es un problema no lineal, debido a la no-linealidad de la función costo de generación térmica, asimismo debido al comportamiento no lineal de la energía generada por las plantas hidráulicas. En general, el problema de la coordinación hidrotérmica, es un problema multidimensional debido a que los periodos se pueden dividir en subperiodos –coordinación hidrotérmica a corto plazo-, secuencial y estocástico.

4.5.1 Modelo de Optimización Una modelación simple, es suponer un comportamiento determinístico de las centrales térmicas, los aportes a los embalses y la demanda. El problema de la coordinación hidrotérmica a largo plazo para sistemas multiembalse puede ser resuelto a través del siguiente modelo de optimización lineal recursivo [13]: donde:

t

tt

1t1t

tttt1t

1t1ttttUtX/tY

tt

X;1,...,1T,Tt0)U(h

0)X(g)Y,U,X(fX

:asujeto

)X(1)U(Cmin)X( E

67

t Índice de las etapas para un horizonte de planificación T Xt Vector de estado del sistema al inicio de la etapa t Ut Vector de decisión durante la etapa t Yt Vector de agentes externos no controlables durante la etapa t Yt/Xt Distribución de probabilidad de las variables externas condicionadas por el vector de estado Xt E {.} Valor esperado αt(Xt) Costo futuro esperado de operación desde la etapa t hasta el final del periodo de planificación

bajo la política de operación óptima β Tasa de actualización de la función de costo futuro

Ejemplo 4.1 Coordinación Hidrotérmica Determinar la coordinación hidrotérmica de una planta térmica y una planta hidráulica, cuyos datos son:

ftacreV

MWPPPMWP

hftacrePq

MWPMBtuh

MBtuPPH

HSperd

H

H

S

SS

110000

00008.000008.0

12000

6.5240

60050

$15.10016.08500

21

21

1

11

1

2111 1c ;

La curva de carga, está dada en la figura siguiente:

0 1 2 h

1000

1300

MW

68

El diagrama esquemático, está dado por la figura siguiente:

Resolución: Jmax = 2 n1 = 12 h n2 = 12 h

h$P00184.0P2.9575HcF 2

1S1S111

1S1S

1 P00368.02.9dPdF

6.5dPdq

1H

1

1S1S

perd P00016.0P

P

1H1H

perd P00016.0PP

Tomando en cuenta los siguientes valores de partida: λ = 180 γ = 2 J = 1; (1ra etapa) Las ecuaciones de coordinación, son:

11H11H

11

11S11S

11

P00016.0dPdqn

P00016.0dPdFn

Reemplazando el costo marginal de la unidad térmica y el gasto marginal de agua, se tiene:

11H11

11S11S1

P00016.06.5nP00016.0)P00368.02.9(n

Despejando PS1 y PH1, se tiene:

PD PS1 PH1

69

MW9474.95300016.000368.0n2.9nP

11

111S

MW3.158300016.0

n6.5P1

111H

MW3568.273Pperd

Los resultados son elevados, no pueden ser satisfechos por los generadores, por lo tanto, es necesario reducir el lambda. Sea 1502

1 , entonces se procede a calcular los nuevos valores de potencia:

MW0.650P

MW9859.580P2

1H

21S

MW8036.60P 21perd

MW1823.1700.6509859.5808036.601000e21

Tomando un nuevo Lambda:

14031 , los nuevos valores de potencia, son:

MW0.250P

MW7115.444P3

1H

31S

MW8215.20P 31perd

MW1099.3260.2507115.4448215.201000e31

Se proyecta lambda mediante la formula:

1i

jij

1ij

ij

iji

j1i

j eee

5709.146

)1823.170(1099.3261501401099.326140

eee

21

31

21

31

313

141

Repitiendo los pasos, se tiene los resultados en la tabla 3.1 Iteración λ PS PH Pperd Error, e 4 146.57092496 534.98304707 518.98615676 44.44427932 -9.52492450 5 146.38444980 532.45996952 511.68557433 43.62685969 -0.51868416 6 146.37371039 532.31459350 511.26455531 43.58002175 0.00087294 Volumen de descarga en esta etapa; 1637236.9781qn 11

70

J = 2; en ésta etapa los valores iniciales de partida, se toman los siguientes:

39146.37371012 ; 2 ; PD = 1300 MW

En la tabla 3.2 se tiene, los resultados en cada iteración: Iteración λ PS PH Pperd Error, e 1 146.37371039 532.31459350 511.26455531 43.58002175 300.00087294 2 150 580.98591549 650.0 60.80357072 1.2981765522 3 152.76617412 617.55941648 751.40055683 75.67859437 6.71862105 4 152.91714912 619.54198509 756.82932014 76.52983128 0.15852605 5 152.92079746 619.58987700 756.96037468 76.55044996 0.00019827 Volumen de descarga en esta etapa; 7853747.7371qn 22

La descarga total: 9590984.71527853747.73711637236.9781qn jmaxJ

1jj

El error de la descarga de agua: 0419015.2847qqnemaxJ

1jTjj

1

Se elige otro γ2 = 2.1 y se repite el proceso nuevamente; PD = 1000 MW J = 1 Iteración λ PS PH Pperd Error, e 1 150 580.98591549 370.000 37.95557072 86.96965522 2 148 554.24528301 290.54054054 31.32813115 1.8654230759 3 151.74685826 604.13737505 437.68856171 44.52425959 2.69832283 4 151.80185181 604.86314569 439.79419896 44.74226899 0.08492433 5 151.80363886 604.88672702 439.86259763 44.74936458 0.00003993 Volumen de descarga en esta etapa; 6032438.7665)63439.8625976.5240(12qn 11 J=2; Iteración λ PS * PH Pperd Error, e 1 151.80363886 604.88672702 439.86259763 44.74936458 300.00003993 2 155 646.75174013 559.67741935 58.52213016 1.5209297067 3 158.28682099 689.15890772 677.83679350 74.75221749 7.75651626 4 158.46345190 691.41966513 684.04779226 75.67860283 0.21114542 5 158.46839465 691.48290246 684.22139823 75.70460209 0.00030139

* En éste caso, es necesario relajar la restricción de Pmax del generador térmico para facilitar la resolución del problema. Volumen de descarga en esta etapa; 6148859.6779qn 22

71

El error de la descarga de agua: 7828701.5554qqnemaxJ

1jTjj

2

Se realiza la proyección de Gama:

1.8036882812

12223

eee

Se repite el proceso nuevamente: J = 1; PD = 1000 MW Iteración λ PS PH Pperd Error, e 1 150.0 580.98591549 1199.672816 142.1407599 -638.5179715 2 145.0 513.65795724 1025.52360275 105.24345254 -433.9381074 3 134.39440816 365.41689656 613.23960219 40.767385438 62.110886689 4 135.72234697 384.39659578 668.39096882 47.56057840 -5.22698620 5 135.61926801 382.92771339 664.14860372 47.01816012 -0.05815699 6 135.61810822 382.91118210 664.10083413 47.01207130 0.00005506

Descarga de agua: 538047507.5760qn 11 J = 2; PD = 1300 MW Iteración λ PS PH Pperd Error, e 1 135.61810822 382.91118210 664.10083413 47.01207130 300.00005506 2 140 444.71153846 838.93516000 72.12644441 88.47974594 3 141.83296191 470.17834848 908.86443205 83.76817881 4.72539827 4 141.93637714 471.60852211 912.75599791 84.44304878 0.07852875 5 141.93812478 471.63268493 912.82171386 84.45446966 0.00007086 Descarga de agua: 715164221.6191qn 22 El error: 2532-1729.1952e3 El nuevo gamma proyectado: γ4 = 1.82052588011029 Procediendo nuevamente: J = 1; PD = 1000 MW Iteración λ PS PH Pperd Error, e 1 135 374.08759124 586.14170632 38.68029006 78.45099250 2 137 402.54237288 668.82576900 48.74946170 -22.6186802 3 136.55241410 396.19835575 650.53202513 46.41320422 -0.31717665 4 136.54604843 396.10803052 650.27098270 46.38031382 0.00130059 5 136.54607443 396.10839940 650.27204879 46.38044812 -0.000000074 J = 2; PD = 1300 MW

72

Iteración λ PS PH Pperd Error, e 1 136.54607443 396.10839940 650.27204879 46.38044812 299.999999925 2 145 513.65795724 976.75262312 97.43121470 -92.97936566 3 142.99979157 486.27398262 902.99311835 84.14871663 -5.11838434 4 142.88326846 484.67065449 898.63256642 83.39569062 0.09246969 5 142.88533623 484.69911428 898.71000899 83.40903293 -0.00009034 Las descargas de agua, son:

28327109851.594qn04363273.3126qn

78946578.2816qn

jj

22

11

El error de la descarga de agua: 728148.405716e4 El nuevo gamma proyectado: γ5 = 1.803677782 y se repite el proceso hasta que el error sea menor a la tolerancia especificada.

73

Capítulo V

FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA

5.1 Introducción

n sistema eléctrico de potencia (SEP), está compuesto básicamente por centrales de generación, líneas de transmisión, transformadores y cargas. Este sistema eléctrico queda descrito por medio de un modelo fasorial de régimen permanente y al que se aplica las leyes de circuitos

eléctricos (Leyes de Kirchhoff), formándose así las ecuaciones de redes [14]. Un flujo de potencia, se refiere al problema de resolver las ecuaciones de redes (ecuaciones de flujo de potencia), con el objeto de conocer todas y cada una de las variables eléctricas. El término Flujo Óptimo de Potencia (FOP), se usa para referirse a un estado de operación o una solución para dicho flujo -dentro de las muchas soluciones-, donde alguna variable del SEP, es optimizada o mejorada, sujeta a la presencia o no de limitaciones sobre las variables del problema o sobre algunas funciones. El flujo de potencia, será óptimo cuando los costos de generación (costo de combustible) o alguna otra variable (por ejemplo, las pérdidas del sistema) sean minimizados. Los problemas que enfocan el flujo óptimo de potencia, se basan en dos objetivos:

a) Despacho económico de carga (DEC), dando lugar al flujo óptimo de potencia activa, FOPA. b) Minimización de pérdidas, RI2, dando lugar al flujo óptimo de potencia reactiva, FOPR.

5.2 Flujo de Potencia en Variables de Estado Se considera que el estado de operación del SEP, está en régimen permanente equilibrado, es decir, en estado normal de operación [1]. En la modelación del SEP, se consideran hasta el nivel de barras de alta tensión. Para el desarrollo del modelo matemático, es necesario realizar suposiciones, tales como: El sistema, es equilibrado. Las líneas de transmisión, son transpuestas. La barra slack, dispone de suficiente potencia para compensar las pérdidas.

En la Fig. 5.1, se representa dos barras de un SEP, interconectadas por una línea de transporte, donde en cada barra se inyecta potencia activa y reactiva.

U

74

donde:

)QQ(j)PP(S iDiGiDiGi

)QQ(j)PP(S jDjGjDjGj : potencia inyectadas en las barra i y j

En una barra, 4 son las variables de interés:

V, , P, Q: Módulo de tensión, ángulo de fase, potencia activa y reactiva, dos de ellas son independientes y existen cinco tipos de barras:

i) Barra tipo 1, barra de carga, denominada también como barra PQ. Son conocidas P y Q, (potencias inyectadas) y son incógnitas V y .

ii) Barra tipo 2, barra de tensión controlada, denominada también barra PV. Son conocidos P y V y son incógnitas y Q

iii) Barra tipo 3, barra de referencia, denominada también barra de holgura, barra flotante, barra slack. Son conocidos V y , son incógnitas P y Q

iv) Barra tipo 4, barra de generación con regulador de tensión. v) Barra tipo 5, barra de tensión controlada de un transformador con taps variables. Son

conocidos V, P y Q y son incógnitas t y . Para el planteamiento de las ecuaciones de flujo de potencia en variables de estado, se consideran las siguientes variables: Variables independientes:

up

u,py T

Fig. 5.1 Diagrama esquemático

L/T

iDiDiD jQPS jDjDjD jQPS

iGiG jQP jGjG jQP

75

donde:

:p:

p i

Son las variables fijas y están dadas por el sistema, son variables especificadas, por ejemplo la carga especificada en cada barra.

:u:

u i

Son las variables de control, variables manipuladas, tales como: el ajuste del regulador de velocidad de la turbina, corriente de excitación de los generadores, taps de los transformadores, bancos de capacitores conmutables, etc.

Variables dependientes:

:x:

x i

Son variables de estado, variable incógnita, tales como módulos y ángulos de tensión.

Sea: kkk VV , la tensión en la barra k

ijijij jBGY ; elemento de la matriz de admitancia nodal.

kkk*kk jQPIVS ; la potencia inyectada en la barra k.

jN

1jij

*kk VYVS

; N es el número de barras del sistema.

Si se denotan, las potencias activas y reactivas, por:

)S(eR),V(P kk

)S(mI),V(Q kk ; para todo k = 1, 2, ..., N Por otra parte:

kDkGkneta PPP

76

kDkGkneta QQQ

(1) 0δ)(V,PP kkneta

(2) 0δ)(V,QQ kkneta

Las ecuaciones (1) y (2), son las típicas ecuaciones de flujo de potencia. En los problemas de optimización se consideran como restricciones de igualdad, y se conocen también como restricciones de red. Si se define como barra flotante a la barra 1, en el cual se conoce su módulo de la tensión, V1 = Vslack y el ángulo 1 = 0 como referencia, entonces resulta N-1 ecuaciones (1) y (N-M) ecuaciones (2). El total de ecuaciones e incógnitas, es L = 2N-M-1, donde M es el número de barras PV incluido el slack.

PV Barra cada araP

- -- - - - PQ Barra

cada Para V

x

PV barra V cadaEn neta

neta

neta

1

1

PPQ Barra Q

cada araP P- -- - - -

Slack Barra V

y

0

PV Barra cada Para (1)Ecuación PQ Barra (2)Ecuación

cada Para (1) Ecuación

)y,x(g

5.2.1 Algoritmo de Newton-Raphson El método Newton-Raphson, es el principal algoritmo para resolver las ecuaciones del flujo de potencia. Este algoritmo, se puede expresar en los siguientes pasos:

1.- Se supone un vector de estado inicial, x0 2.- Se utiliza la ecuación recursiva para encontrar las nuevas aproximaciones al vector x.

77

)1h()h(

)h( xx

)y,x(g)y,x(g

)y,x(gx

)y,x(gx )h(1)h(

)1h(

)1h(x)h(x)1h(x

3.- Probar un criterio de convergencia para:

x ó )y,x(g

4.- Si no se logra satisfacer el criterio de convergencia, se debe regresar al punto dos, para buscar una nueva aproximación al vector x. Si se satisface el criterio de convergencia se tiene el vector solución.

5.3 Formulación Conceptual del Flujo Óptimo de Potencia Los problemas de optimización encierran la idea de buscar el mejor valor, máximo o mínimo de algún índice de confiabilidad, la cual depende de un grupo de parámetros (las variables de estado xi), por medio de un ajuste del otro juego de parámetros (las variables de control u) del modelo.

0u)h(x, 0p)u,g(x,

:a s.u)F(x, Min

donde: F() función objetivo g() restricción de red h() restricción de operación x variable de estado u variable de control p variable independiente

5.3.1 Flujo Óptimo de Potencia Activa En la Fig. 5.2, se representa la curva de costos de generación típica de centrales térmicas.

78

Fig. 5. 2 Función costo de generación La función de costos queda expresada como:

3Gi3

2Gi2Gi1i0Gi iiii

PaPaPaa)P(F [$/h], entonces la función objetivo está dado por la siguiente expresión:

)PaPaPaa(F)u,x(FG

iii

n

1i

3Gi3

2Gi2Gi1i0i

Las variables de control son las potencias activas de generación.

TGnGG G32PPPu

1D11G P)u,x(PP ; Es la potencia generada por la barra slack, el cual debe tomar en

cuenta las pérdidas del sistema. Las variables especificadas, son:

[h$

]

Pmin Pmax P [MW]

F

79

T11jiDiD V V Q Pp ; para todo i = 1, 2, ... , N y j = 2, 3, ... , M; son las cargas y las

tensiones de las barras de generación. Y las variables de estado, son los ángulos de fase y los módulos de tensión.

TN1MN2 V ... ,V , ... x

5.3.2 Flujo Óptimo de Potencia Reactiva Es un problema de minimización de las pérdidas del sistema. La disminución de pérdidas, se obtendrá eligiendo una función objetivo que refleje en forma autentica las pérdidas. Para minimizar las pérdidas, puede tomarse como minimizar las pérdidas del sistema al considerar la minimización de la potencia real P1 de la barra slack.

slacki

iGslacki

iDperd11neta PPP)p,u,x(PP)u,x(F

Tij t,MV,..., 1Vu

T1jGiDiD P Q Pp

TN1MN2 V ... ,V , ... x

5.4 Formulación Matemática Sea el problema:

0p)u,g(x, :a s.

u)f(x, Min

La función de Lagrange, es:

)p,u,x(g)u,x(f),p,u,x( TL donde:

... ... i21T ; son los multiplicadores de Lagrange.

80

La condición de optimalidad, es:

0xg

xf

x

T

L ;

T

xg

Jacobiano.

0ug

uf

u

T

L ;

T

ug

Jacobiano reducido

0)p,u,x(g

L

El algoritmo de solución, es:

1.- Asumir un conjunto de variables de control u 2.- Encontrar una solución factible del flujo de potencia y obtener el Jacobiano 3.- Resolver la ecuación

xf

1T

xg

4.- Calcular la gradiente

T

ug

uff

5.- Verificar la convergencia

f ; ó k1k ff ; ó k1k uu

6.- Encontrar un nuevo valor para u

fcu

uuu anteriornuevo

7.- Volver a dos

81

Ejemplo 5.1 Flujo Óptimo de Potencia Activa En el sistema dado:

a) Plantear el modelo de optimización b) Determinar el flujo óptimo de potencia

Generadores:

GA 2002.010120 APAPAF

GB 2003.05.9300 BPBPBF

Líneas

Valores Base:

kV230kVMVA100MVA

LLBase

Base

Carga en la barra 3

MVA100j150jQP Tensiones de los nodos de generación:

.u.p03.1V.u.p05.1V

2

1

El modelo de optimización del problema queda expresada como:

0p)u,g(x, :a s.

u)f(x, Min

donde: Las variables de control son las potencias activas de generación.

22G222G1202 PaPaa)u,x(f ; Función objetivo

T1123D3D V V Q Pp ; Variables especificadas 2GPu ; Variable de control

T332 V x ; Variables de estado

Líneas Zij [p.u.] Yij [p.u.] 1-2 0.01+j0.17 j0.2

1-3 0.01+j0.15 j0.2 2-3 0.01+j0.20 j0.2

82

Para resolver el ejemplo, se sigue los siguientes pasos: 1.- Asumir un conjunto de variables de control u El ejemplo tiene dos generadores, pero el generador uno se toma como holgura, por tanto, solamente la potencia generada por la unidad dos se puede tomar como variable controlada:

2GPu y el valor de partida se considera .u.p0.1MW100P 2G 2.- Encontrar una solución factible del flujo de potencia y obtener el Jacobiano La matriz admitancia nodal, es:

11.4247i- 0.69194.9875i + 0.2494-6.6372i + 0.4425-4.9875i + 0.2494-10.6496i- 0.5942 5.8621i + 0.3448-6.6372i + 0.4425-5.8621i + 0.3448-12.2992i- 0.7873

YBus

Considerando que la unidad dos entrega MW100 . la solución factible, es:

GENERACION CARGA BUS VOLTS ANGULO ACTIVA REACTIVA ACTIVA REACTIVA 1 1.050 0.000 0.517 0.602 0.000 0.000 2 1.030 2.327 1.000 0.079 0.000 0.000 3 0.951 -6.223 0.000 0.000 1.500 1.000 PERDIDA TOTAL POTENCIA ACTIVA : 0.0172463. PERDIDA TOTAL POTENCIA REACTIVA: -0.318599. FLUJOS EN LINEAS LINEA DE BUS A BUS ACTIVA REACTIVA 1 1 2 -0.250 0.033 1 2 1 0.251 -0.237 2 1 3 0.767 0.569 2 3 1 -0.758 -0.627 3 2 3 0.749 0.316 3 3 2 -0.742 -0.373

Y el jacobiano correspondiente, es:

9.81712.1261-0.96810.9186-11.33904.7963-

0.50974.8690-11.2187J

La transpuesta del Jacobiano, es:

83

9.81710.9186-0.50972.1261-11.33904.8690-0.96814.7963-11.2187

JT

y su inversa es:

0.10370.00780.0013-0.01910.10950.04660.0008-0.04610.1092

J1T

3.- Resolver la ecuación

xf

1T

xg

La función objetivo depende explícitamente de u, pero no de las variables de estado x, sin embargo

1D11G P)u,x(PP , es la potencia generada por barra snack, el cual toma en cuenta las pérdidas del sistema. Aplicando la regla de la cadena para el cálculo de la derivada, se tiene:

dxdP

dPdP

dPdf

dxdf 1

1

1G

1G

donde:

1G21111G

Pa2adP

df

1dP

dP

1

1G

los elementos de dxdP1 se determinan de la potencia inyectada en la barra 1, los cuales son:

)(senB)cos(GVVP ikkiikkiikk

)cos(B)(senGVVQ ikkiikkiikk

2935.06364.60731.145

dVdPddPddP

dxdP

3

13

12

1

1

84

2068.107.51*002.0*210Pa2adPdf

1G21111G

37.677.1480

2935.06364.60731.145

*1*2068.10dxdP

dPdP

dPdf

dxdf 1

1

1G

1G

1529.27065.615549.158

37.677.1480

0.10370.00780.0013-0.01910.10950.04660.0008-0.04610.1092

xfJ

1T

4.- Calcular la gradiente

T

ug

uff

1.10100*003.0*25.9Pa2auf

2G2212

El cálculo de ug implica determinar g, son las potencias activas:

0)V,(PPPg0)V,(PPPg

0)V,(PPPg

33D3G3

22D2G2

11D1G1

como 2GPu Por tanto:

010

ug

1529.2

7065.615549.158

0101.10ug

uff

T=-51.6065

5.- Verificar la convergencia

f ; ó k1k ff ; ó k1k uu

Como es la primera iteración, es seguro que el error es grande, se continua con el siguiente paso.

85

6.- Encontrar un nuevo valor para u

fcu

considerando 1.0c

16065.5)6065.51(*1.0u

uuu anteriornuevo

MW1606.105P1606.1051606.5100u

2G

nuevo

7.- Volver a dos Es necesario resolver el flujo de potencia, la potencia especificada para el generador 2, es

.u.p051606.1MW1606.105P 2G . Después de unas tres iteraciones, se resolvería el problema.

86

Capítulo VI

PLANIFICACION DE LA EXPANSIÓN DE LOS SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

6.1 Introducción

l principal objetivo de la planificación de los sistemas eléctricos de potencia, es suministrar energía eléctrica a los consumidores que la necesiten de un modo económico como sea posible con un grado de seguridad aceptable, confiable y de calidad.

La planificación de los sistemas eléctricos de potencia, se vuelve más complejos hoy en día debido a las incertidumbres en el comportamiento de la demanda, precio de combustibles y la recuperación de costos bajo los sistemas regulatorios. Las empresas eléctricas están usando alternativas como compra de capacidades -potencia y energía- de otras empresas, control de la demanda, sistemas de co-generación antes de invertir en plantas base. Estas nuevas opciones dan como resultado el incremento de la cargabilidad de las líneas de transmisión e incrementa la dependencia con otros generadores y se reduce la confiabilidad del sistema en su conjunto. Los sistemas de planificación, incluyen estudios para determinar los recursos requeridos para satisfacer la demanda a un menor costo posible considerando restricciones ambientales, técnicas y financieros [6, 15, 16].

6.2 Componentes de un Sistemas Eléctricos Los componentes de un sistema eléctrico se pueden agrupar en dos grupos: Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) y Sistema Eléctrico de Distribución (SED). Los SEPs, están constituidos por generadores, transformadores y líneas, se caracterizan por presentar una alta redundancia, es decir, son sistemas mallados, mientras que los SEDs, están constituidos por transformadores, distribuidores y alimentadores, presentan baja redundancia por que son sistemas radiales. En la Fig. 6.1, se muestra un diagrama esquemático de esta situación.

6.3 Criterios de Planificación y Restricciones Los criterios y restricciones importantes hoy en día en la planificación de sistemas eléctricos, son:

Confiabilidad, que fue crítica en las décadas 1970 a 1990 Ambiental, cobra importancia alrededor de los años 1970 y sigue vigente. Económica y precios de la electricidad, fueron críticos en los años 1980. Financieras, son críticos debido a la incertidumbre y riesgos. Impactos sociales y el valor de la electricidad son importantes hoy en día.

E

87

Fig. 6.1 Estructura típica de un sistema eléctrico

6.3.1 Criterios de Confiabilidad Estos criterios son utilizados en principio para determinar los requerimientos de la capacidad de reserva del sistema de generación y redundancia en transmisión, es decir, unidades de generación, líneas de transmisión, subestaciones de transformación para la operación del sistema bajo condiciones de falla y variaciones de carga. Estos criterios están basados en la experiencia de explotación del sistema y probabilidad de ocurrencia de fallas, están orientados para evitar los colapsos –black outs-.

6.3.2 Criterios Económicos Los criterios económicos, son ampliamente utilizados por las empresas eléctricas para minimizar costos, cargos de transporte (depreciación, retorno de la inversión, tasa de impuestos sobre el capital).

6.3.3 Restricciones Ambientales La contaminación ambiental incluye la emisión de SO2, NOX, derrame de sólidos, descargas térmicas desde las plantas de potencia. Actualmente en el mundo, la protección ambiental es un tema que durante los últimos años cobró mucha importancia, especialmente relacionado con la ecología. En el país, existe la Ley de protección al medio ambiente.

6.3.4 Impactos Sociales Los impactos sociales, incluyen los efectos de la instalación de plantas en la economía local y fuentes de trabajo.

88

6.4 Planteamiento del Problema de Planificación de la Expansión del SEP El objetivo de la planificación, es determinar las ampliaciones en capacidad de la red a realizar en el horizonte de planificación, así como su programación temporal, de forma tal que: El sistema (conjunto de generación y transporte) permita satisfacer la demanda prevista a costo

mínimo. Cumpliendo los criterios de aceptabilidad:

1. Técnica 2. Confiabilidad 3. Financieros 4. Medio Ambientales 5. Otros (políticas, Administrativas, etc.)

Diversos contextos posibles:

1. Localización del equipo generador 2. Planificación conjunta generador/red 3. Planificación de la red

6.4.1 Planificación de la Expansión de la Red de Transporte En la planificación de la red de transporte los aspectos a ser considerados, son: Subordinación a la expansión de la generación Selección de niveles de tensión Selección de la densidad de mallado Corriente alterna versus corriente continua Líneas áreas versus líneas subterráneas Consideraciones de confiabilidad:

Sobrecargas en líneas y transformadores Estabilidad Violaciones de tensión Capacidad de cortocircuito Confiabilidad de los componentes Medidas correctoras

Consideraciones medio ambientales Consideraciones económicas y financieras Consideraciones operacionales:

1. Intercambio de potencia 2. Hidrología 3. Despacho económico previsto

Control del sistema eléctrico

89

Predicción de la demanda Circulación de potencia reactiva Pérdidas óhmicas Cambios a tensiones más elevadas Nuevas tecnologías (protecciones, control y diseño)

El problema de la planificación de los sistemas de transmisión, se traduce en un modelo matemático de optimización complejo y que posee las siguientes características: Desacoplado, existe un desacoplamiento natural entre el problema de inversión y el de

operación. Gran dimensionalidad, debido al gran número de alternativas de inversión, periodos de análisis,

variables de operación Dinámico, por la existencia de la dependencia temporal de las decisiones de planificación. Entero-mixto, debido a que las variables de decisión de inversión –variables binarias, 0 ó 1- y

variables de operación generalmente continuas. Estocástico, debido a las incertidumbres asociadas a la demanda, hidrologías, disponibilidad de

equipos, etc. No lineal, debido a que la función de costos de centrales generadoras, pérdidas eléctricas, etc.,

que son funciones no lineales.

6.4.1.1. Función Objetivo La función objetivo puede tomar en cuenta distintos índices, como son: Costos esperados de operación del sistema (costo de combustible) Costo de falla esperado en el sistema Pérdidas eléctricas en el sistema Costo de inversión en líneas, transformadores, equipos de control y protección Número de fallas en el sistema

Los que pueden ser evaluados en un contexto estático o dinámico.

6.4.1.2 Restricciones En el problema de la expansión del sistema de transporte, la función objetivo está sujeta a las principales restricciones siguientes: Plan de obras de generación Derecho de paso de vía Condiciones técnicas de operación Restricciones de seguridad y confiabilidad Restricciones de inversión

90

6.4.1.3 Proceso Clásico de Planificación El proceso de planificación se divide en dos etapas:

1. Búsqueda de mejores planes (costo de inversión) 2. Estudios de estabilidad y falla

Fig. 6.2 Diagrama de flujo. Etapa 1

Previsión de consumos

Comienzo

Comportamiento aceptable del sistema

(sin contingencias)

Comportamiento aceptable del sistema (bajo contingencias)

Decisión de Planificación

Plan de Expansión de 15-20 años finalizado?

FIN

Expansión del Sistema Actual

Diseño de nueva configuración del sistema

Costos totales aceptables?

Si

No

No

Si

No

Si

No Si

91

Fig. 6.3 Diagrama de flujo. Etapa 2

Datos - Previsión de demanda - Plan de expansión de la

generación - Red existente

Estudios de Flujos de Potencia - Considerar todas las alternativas de generación y de cargas - Seleccionar nuevas líneas - Corregir tensiones bajas y sobrecargas con nuevos suministros y

adición de circuitos

Análisis de Falla - Asegurar operación

adecuada de la red bajo condiciones de falla

Estudios de Estabilidad - Análisis de la estabilidad de

los generadores del sistema

Estudios de Falla y Estabilidad satisfactorios?

Decisión de Planificación - Incorporar todas las

modificaciones al sistema

Si

No

92

6.5 Expansión del Sistema de Transporte: Modelo de Transbordo Una alternativa de formulación matemática del problema de expansión de la red de transporte, se puede plantear sobre la base del modelo de transbordo –caso particular del modelo de transporte- donde existen nudos fuentes, nudos de demanda y nudos de transbordo [17, 18]. La formulación matemática del problema de transporte con transbordo, queda de la siguiente forma:

ijUijX0

Njpara;KjbNi

ijX

Nipara;KiaNj

ijX:a.s

Ni NjijXijCMin

donde: I = {1, 2, ....., m} = Nudos fuente (generadores) J = {1, 2, ....., n} = Nudos de demanda (cargas) N = I J ai = Generación en el nudo i, para i N bj = Demanda en el nudo j, para j N Cij = ‘Costo’ de transportar potencia desde el nudo i hasta el nudo j Xij = Cantidad de potencia enviada de i hasta j Uij = Límite superior del flujo de potencia enviada desde i hasta j. Determinada por la capacidad de la

línea de transmisión K = Suma de las demandas ó generación Si i I, entonces ai > 0; de otro modo ai = 0. Si j J, entonces bj > 0; de otro modo bj = 0. Cij = 0 para todo i N El costo de retener el exceso de potencia en un nudo i, es cero para todo i. La variable Xii, se puede interpretar como una variable slack. Si no existe conexión entre los nudos i y j, entonces se asume que Cij = .

6.5.1 Planificación de la Expansión del Sistema de Transmisión: Modelo de Flujo DC El objetivo del modelo matemático del problema de la planificación de la expansión del sistema transmisión, es minimizar los costos de capital y operación, asociados con la expansión del sistema sobre el horizonte de planificación [18]. Las restricciones asociadas con el modelo son las restricciones físicas y económicas que son importantes cuando se decide expandir a costo mínimo.

93

El problema de la expansión de sistema de transmisión, puede ser planteado mediante:

Aj

0jjj

NiiGi )Z(ZKPCmin

donde:

iC = Costo por unidad de potencia en el nodo i para el periodo de planificación,

iGP = Potencia activa inyectada a la red por los generadores en el nodo i

jK = Costo de inversión en la construcción por enlace paralelo de la línea j

jZ = Variable que representa el número de enlaces paralelos a la línea j 0jZ = Número inicial de enlaces paralelo de la línea j

GN = Número de nodos con generadores

nA = Conjunto de posibles líneas Para simplificar el problema, se asume el modelo de flujo de carga lineal (Flujo DC), el problema está sujeto a las siguientes restricciones:

a) Balance de potencia nodal en cada nodo, por las leyes de Kirchhoff: PTA donde:

A = Matriz de incidencia nodal T = Vector de flujos de potencia en las ramas P = Vector de potencias inyectadas

b) Límites de potencia en las ramas )(max jZTT donde: Tmax = Vector de límites de flujos de potencia en las ramas

En el modelo del flujo lineal, cada elemento del vector T, puede describirse como:

)θ(θxZ

T ljj

jj

donde:

jZ = Variable que representa el número total de enlaces paralelos de la línea j

jx = reactancia de un enlace de la rama j

j y lθ = ángulos de tensión de los nodos terminales de la rama j

94

Ésta restricción puede ser escrito como: Pθ)B(Z j donde:

)( jZB = Matriz de susceptancias, cuyos elementos son:

klkl x

1B ; los elementos fuera de la diagonal y

l

klkk BB ; para los elementos de la diagonal

klx = Reactancia total de la rama l)(k,

kΩ l = rama conectadas a la barra k θ = Vector de ángulos de las tensiones nodales

La otra restricción:

)(ZTθAB jmax

tL

donde: BL = Matriz diagonal cuyos elementos, son: j

j

xZ

El modelo de optimización resultante, es:

)(ZTθAB

Pθ)B(Z:a.s

)Z(ZKPCmin

jmaxt

L

j

Aj

0jjj

NiGi i

6.5.2 Planificación de Expansión de la Generación [19] El objetivo tradicional del problema de expansión de la generación (PEG), es determinar un programa de inversiones, la cual permite atender a la demanda, minimizando el valor presente tanto de los costos de inversión como de los costos de operación. Es un problema de optimización no lineal, estocástico, complejo y de gran escala, con variables discretas, continuas y enteras. Debido a la complejidad, normalmente se emplean los esquemas de descomposición como las de Benders (1962). El método de descomposición, es muy adecuado cuando existen plantas hidráulicas, debido a que el costo de operación óptimo del sistema depende de las condiciones hidrológicas, las cuales tienen un comportamiento estocástico.

95

El PEG puede ser formulado, como:

N,...,1i;T,...,1t

hyFxE

bxA :tosubjet

ydxczmin

tttt

1

ttt

N

1iitititit

T

1tt

donde: T Número de etapas en el horizonte de planificación N Número de plantas candidatas para la expansión t tasa de actualización en la etapa t ct = [cit] Vector de costos de inversión en la etapa t xt = [xit] Vector de opciones de expansión en la etapa t (cuando xit = 1, la planta i podrá

construirse en la etapa t, de otro modo, xit = 0) dt = [dit] Vector de costos de operación en la etapa t yt = [yit] Vector de variables de operación en la etapa t (usualmente la cantidad de energía

generada por la planta i en la etapa t o recorte de carga en t cuando i representa déficit de energía)

At, Et, Ft Matrices de transformación en la etapa t bt, ht Vector de recursos en la etapa t

La formulación alternativa del problema de la expansión de generación, se puede representar, como:

0

y 0,1 x

hFyEx b Ax

:asujetodycxMinimizar

n

Este problema puede ser resuelto mediante la técnica de descomposición de Benders. Éste método también recibe el nombre de descomposición primal porque el problema maestro fija variables del primal. Descompone el problema lineal bietapa en un problema maestro y un subproblema.

96

El subproblema de inversión (Problema Maestro)

ni

0,1 x

k,...1,iEx);-(h

b Ax :asujeto

cxMinimizar

donde:

i Vector de multiplicadores duales asociado con la solución óptima del sub-problema de operación.

R k Número de iteraciones realizadas por el algoritmo de Benders.

El subproblema de operación (Subproblema)

0 y ExhFy

:asujetodyMinimizar

*

97

Referencias Bibliográficas [1] A. Blanco, Control de Emergencias y Desprendimiento Óptimo de Carga. Tesis de Magíster,

PUCCh, Santiago de Chile, 1992.

[2] A. J. Wood, B.F. Wollenberg, Power Generation Operation & Control. John Wiley & Sons, New York, 1983.

[3] Ch. A. Gross, Power System Analysis. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1986. [4] A. H. Noyola, et al., ‘An Optimized Procedure for Determining Incremental Heat Rate

Characteristics’. IEEE Trans. PS, Vol. 5, No. 2, May 1990, pp. 376 – 383. [5] R. Aduviri, Operación Económica de Sistemas Eléctricos de Potencia. Proyecto de Grado,

UTO, Oruro, 1988. [6] H. Rudnick, Aspectos Técnico Económicos de la Desregulación del Sector Eléctrico. La Paz,

Febrero, 1995. [7] J. I. Pérez, Valoración Económica en Sistemas de Energía Eléctrica: Servicios de Red y

Tránsitos de Potencias. PUCCh, Santiago de Chile, 1990. [8] P. S. R. Murty, Power System Operation and Control. Mc Graw-Hill, New Delhi, 1984. [9] H. Rudnick, ‘Operación Económica de Sistemas Eléctricos’. Apuntes de Curso, PUCCh,

Santiago de Chile, 1990. [10] J. Valenzuela, A. E. Smith, ‘A Seeded Memetic Algorithm for Large Unit Commitment

Problems’. Journal of Heuristics, 1999. [11] P. Almendras, Modelo de Coordinación Hidrotérmica en Sistemas Eléctricos de Potencia.

Proyecto de Grado, UTO, Oruro, 1996. [12] A. Halim, et al., ‘An Efficient Method for Optimal Scheduling of Fixed Head Hydro and Thermal

Plants’. IEEE Trans. PS, Vol. 6, No. 2, May 1991, pp. 632-636. [13] D. Camac, Programación Dinámica Dual Determinística en el Despacho Hidrotérmico. Tesis

de Magíster, PUCCh, Santiago de Chile, 1994. [14] S. Tupa, Flujo Óptimo de Potencia. Proyecto de Grado, UTO, Oruro, 1995. [15] H. Congreso Nacional, Ley de Electricidad. Ley No 1604 de 21 de diciembre de 1994, Gaceta

Oficial de Bolivia. [16] L. A. Machado, et al., Introdução ao Planejamento da Expansão e Operação de Sistemas de

Produção de Energia Eléctrica. Eletrobras, EDUFF, Editora Universitária, 1990. [17] A. Blanco, Aplicación de Técnicas de Optimización en Sistemas Eléctricos. Curso de

Actualización, FNI, noviembre 1997. [18] J. Contreras, A Cooperative Game Theory Approach to Transmission Planning in Power

Systems. Thesis Ph. D. University of California, Berkeley, 1997. [19] Eloisa Teixera, et al., ‘Generation Expansion Planning: An Iterative Genetic Algorithm

Approach’. IEEE Trans. PS, Vol. 17, No.3, august 2002, pp. 901-906. [20] F.S. Hillier, G. J. Lieberman, Una Introducción a la Investigación de Operaciones. Mc Graw-

Hill, 3a Edición, México, 1991. [21] H. A. Taha, Investigación de Operaciones, Una Introducción. Alfaomega S.A. de C.V., 2da

edición, México. 1991. [22] I. Castillo, Un Criterio Óptimo Para Coordinar Estabilizadores en Sistemas Eléctricos de

Potencia. Tesis de Doctorado, IPN, Guadalajara, 2002. [23] A. Blanco, ‘Optimización Vía Algoritmos Genéticos’. Jornadas de Ingeniería Eléctrica y

Electrónica, UTO, diciembre, 2002.

98

ANEXO A OPTIMIZACIÓN A.1 Introducción

l desarrollo de los métodos de optimización tiene su origen en la época de los grandes matemáticos como Newton, Lagrange y Cauchy. Pero, a pesar de que en ésa época se dieron a conocer contribuciones importantes, no fue sino hasta mediados del siglo XX, cuando se

desarrollaron las computadoras digitales y se implementaron nuevas herramientas de optimización. Las raíces de la optimización como ciencia, se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el enfoque científico para la asignación de recursos económicos y materiales para el logro de un objetivo. La optimización, conocido también con el nombre de Investigación de Operaciones (IO), nace en la segunda guerra mundial. Los científicos británicos fueron los precursores de la Investigación Operativa, su trabajo tenía que ver principalmente con la asignación óptima de los recursos limitados del material de guerra [22, 23]. El inicio de la Investigación de Operaciones, si bien fue de uso militar, rápidamente su aplicación se amplia a las áreas de la economía e ingeniería. En el área de la ingeniería eléctrica [1-3, 5, 6], la IO tiene una aplicación relevante, principalmente por la desregulación de los mercados eléctricos. A.2 Fases de la Optimización [21] Las principales fases de la optimización, son:

1. Definición del problema 2. Construcción del modelo

Modelo Matemático 3. Solución del modelo

Método de Optimización Análisis de Sensibilidad Análisis de Confiabilidad

4. Validación del modelo 5. Aplicación de los resultados

Los aspectos más importantes dentro del proceso de optimización, son la modelación y el análisis de sensibilidad, es decir, la interpretación de las variables duales (multiplicadores de Lagrange y Kuhn-Tucker) con el objeto de mejorar la solución obtenida e implementar los resultados.

E

99

A.3 Ejemplos Los ejemplos presentados, consideran ejemplos de autores reconocidos con el objeto de clarificar conceptos e ideas sobre los problemas de optimización.

A.3.1 Fabricación de Pinturas [21] Una compañía posee una fábrica de pinturas para interiores y exteriores de casas para su distribución al mayoreo. Se utilizan dos materiales básicos, A y B para producir pinturas. La disponibilidad máxima de A es de 6 toneladas diarias; la de B es de 8 toneladas por día. La necesidad diaria de materia por tonelada de pintura para interiores y exteriores, se resume en la Tabla A.1. Tabla A.1 Relación de materias primas y disponibilidad. Existencia Recursos

Toneladas de materia prima por tonelada de pintura Exterior Interior

Disponibilidad máxima (ton)

Materia prima A 1 2 6 Materia prima B 2 1 8 Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la pintura para exteriores en más de una tonelada, asimismo, el estudio señala que la demanda de pinturas para interiores está limitada a dos toneladas diarias. El precio al mayoreo por tonelada es de $ 3000 para la pintura de exteriores y $ 2000 para la pintura de interiores. ¿Cuanta pintura para exteriores e interiores debe producir la compañía todos los días para maximizar el ingreso bruto? Construcción del modelo Las interrogantes que se plantean, son:

1.- ¿Cuáles son las variables del problema? 2.- ¿Qué restricciones deben imponerse a las variables a fin de satisfacer las limitaciones del

sistema? 3.- ¿Cuál es el objetivo que necesita alcanzarse para determinar la solución óptima?

Variables Las variables consideradas, son: XE = numero de toneladas de pintura para exteriores producidas diariamente

XI = numero de toneladas de pintura para interiores producidas diariamente Función objetivo

100

La función objetivo, es el ingreso bruto: El ingreso bruto es CEXE+CIXI Z= 3XE+2XI en miles de unidades monetarias Restricciones Uso de materias primas disponibilidad máxima en ambas pinturas de materias primas XE+2XI 6 materia prima A 2XE+XI 8 materia prima B Restricción de la demanda XI XE+1

XI 2 Restricciones de no negatividad XE 0; XI 0 El modelo matemático, es:

Maximizar Z= 3XE+2XI función objetivo

Sujeto a: XE+2XI 6 2XE+XI 8

-XE+XI 1 restricciones XI 2 XE; XI 0

A.3.2 Fabricación de Vidrios [20] La WYNDOR GLASS CO., produce artículos de vidrio de alta calidad, incluyendo ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los marcos de madera se fabrican en la planta 2 y en la 3 se produce el vidrio y se ensamblan los productos. Debido a que las ganancias se han reducido, la gerencia general ha decidido reorganizar la línea de producción. Se discontinuarán varios productos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de uno o dos productos nuevos que han tenido demanda. Uno de los productos propuestos (producto 1) es una puerta de vidrio de 8" con marco de aluminio. El otro (producto 2) es una ventana grande (4x6") para vidrio doble con marco de madera. El

101

departamento de mercadotecnia ha sacado por conclusión que la compañía puede vender todo lo que pueda producir de cualquiera de los productos. Sin embargo, como ambos productos compiten por la misma capacidad de producción en la planta 3, no es obvio qué mezcla de los productos sería la más redituable. Por todo esto, la gerencia pidió al departamento de investigación de operaciones que estudiara el asunto. Después de hacer algunas investigaciones, el departamento mencionado determinó: 1) el porcentaje de la capacidad de producción en cada planta que estará disponible para estos productos, 2) el porcentaje de esta capacidad que requiere cada unidad producida por minuto y 3) la ganancia unitaria por cada producto. Esta información se resume en le tabla siguiente:

Tabla A.2 Datos para la Wyndor Glass Co.

Capacidad usada por unidad de tasa de producción Planta

Producto 1 2

Capacidad disponible

1 1 0 4 2 0 2 12 3 3 2 18 Ganancia Unitaria $ 3 $ 5

Construcción del modelo Las interrogantes planteadas, son:

1.- ¿Cuáles son las variables del problema? 2.- ¿Qué restricciones deben imponerse a las variables a fin de satisfacer las limitaciones del

sistema? 3.- ¿Cuál es el objetivo que necesita alcanzarse para determinar la solución óptima?

Variables XV = numero de ventanas producidas por minuto

XP = numero de puertas producidas por minuto

XV , XP , son las variables de decisión del modelo Función objetivo La función objetivo considerada es: El ingreso bruto es CVXV+CPXP Z= 3XV+5XP en unidades monetarias Restricciones Capacidad utilizada Capacidad disponible

102

XV 4 Capacidad disponible planta 1 2XP 12 Capacidad disponible planta 2 3XV + 2XP 18 Capacidad disponible planta 3 Restricciones de no negatividad XV, XP 0 El modelo matemático resultante, está dado por:

0X,X18X2X312X24X

:asujetoX5X3ZMaximizar

PV

PV

P

V

PV

Es un modelo de programación lineal, que se puede expresar del siguiente modo:

0x 0)x(ih

:a.s)x(fmax

donde f() es la función objetivo y hi() las restricciones, son funciones lineales. Este problema no tiene restricciones de igualdad.

A.4 Solución gráfica El modelo se puede resolver en forma gráfica si tiene dos variables, para modelo de tres o más variables, el método gráfico no es práctico, debido a que es imposible una representación comprensible. El método gráfico consiste en graficar las soluciones factibles que satisfagan las restricciones en forma simultánea. De la infinidad de soluciones factibles, solo son candidatos para el óptimo, los puntos de intersección del espacio de soluciones (vértices). Uno de los puntos extremos, es la solución básica del problema. En la Fig. A.1, se muestra la región factible determinada por las restricciones del ejemplo 3.A.1. En un espacio n-dimensional, la función objetivo, es un hiperplano y las restricciones son otros hiperplanos, entonces la región de intersección será la solución factible. La región factible, en éste caso, es un poliedro formado por los hiperplanos definidos por las restricciones en el espacio dimensional n.

103

Fig. A.1 Solución gráfica del ejemplo A.3.1 Los vértices (XE, XI) y el valor de la función objetivo Z, son:

(XE, XI) Z

A (0,0) 0 B (0,1) 2 C (1,2) 7 D (2,2) 10

E (331 , 1

31 ) 12

32

F (4,0) 12 Considerando los diferentes valores de la función objetivo evaluadas para cada vértice, se concluye que

el vértice E (331 , 1

31 ), entrega el valor máximo de la función objetivo: 12

32

A.5. Método Simplex El método simplex desarrollado por Dantzig en 1947, consiste en probar todos los puntos candidatos –intersecciones-, si se satisface la condición de optimalidad, entonces el punto de intersección en cuestión, será la solución. En el problema de optimización: max Z = f )x( s.a: Ax b x 0

104

Las inecuaciones se pueden convertir con la adición de una variable de holgura, Si, en ecuaciones: Ax + S = b El nuevo problema queda planteado de la siguiente forma: max Z = 3XE +2XI + 0S1+ 0S2 + 0S3 + 0S4 Forma estándar s. a: XE+2XI+S1 = 6 2XE+XI +S2 = 8 -XE+XI +S3 = 1 XI +S4 = 2 X , S 0 Método Simplex Primal Básica Z XE XI S1 S2 S3 S4 Solución Z 1 -3 -2 0 0 0 0 0 S1 0 1 2 1 0 0 0 6 S2 0 2 1 0 1 0 0 8 S3 0 -1 1 0 0 1 0 1 S4 0 0 1 0 0 0 1 2 Solución básica XE=0; XI=0; S1=6; S2=8; S3=1; S4=2 La columna entrante; es el más negativo de Z La variable que sale

min { ,16

28 } = 4

S2 Z XE XI S1 S2 S3 S4 Solució

n Solución

-3 -2 0 0 0 0 0 S1 1 2 1 0 0 0 6 S1= 6 XE 1 ½ 0 ½ 0 0 4 XE= 4 S3 -1 1 0 0 1 0 1 S3= 1 S4 0 1 0 0 0 1 2 S4= 2 XE XI S1 S2 S3 S4 Solució

n N. sol.

Z 0 -1/2 0 3/2 0 0 12 S1 0 3/2 1 -

1/2 0 0 2 S1= 2

XE 1 ½ 0 ½ 0 0 4 XE= 4 S3 0 3/2 0 ½ 1 0 5 S3= 5 S4 0 1 0 0 0 0 2 S4= 2 Columna entrante XI

105

min

12542

23

21

23

,,, = min

2

3108

34

,,,

S1

Básico XE XI S1 S2 S3

S4 Solución

Z 0 -1/2 0 3/2 0 0 12 X1 0 3/2 1 -1/2 0 0 2 XE 1 ½ 0 ½ 0 0 4 S3 0 3/2 0 ½ 1 0 5 S4 0 1 0 0 0 0 2 Básico XE XI S1 S2 S3 S4 Solución Z 0 -1/2 0 3/2 0 0 12 XI 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3 XE 1 ½ 0 ½ 0 0 4 S3 0 3/2 0 ½ 1 0 5 S4 0 1 0 0 0 1 2 Básico XE XI S1 S2 S3 S4 Solución Z 0 0 1/3 4/2 0 0 12 2/3 XI 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3 XE 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3 S3 0 0 -1 1 1 0 3 S4 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3 En ésta ultima tabla, en la columna solución, se tienen los valores óptimos de la función objetivo, las variables del problema y las variables de holgura.

106

ANEXO B PROGRAMACION NO LINEAL

B.1 Introducción

uchos problemas de optimización conducen a modelos no-lineales sin restricciones y con restricciones. La resolución de estos problemas puede ser compleja por su gran dimensionalidad y el tipo de variables consideradas (continuas y/o discretas).

El modelo general de optimización, es de la forma:

0)x(h 0)x(g

:asujeto)x(fmin

donde: f(), g() y h(), son en general funciones no lineales. Al conjunto (x) se denomina conjunto de soluciones factibles o conjunto de oportunidades del problema.

B.2 Método de Resolución Los principales métodos de optimización considerando los modelos no lineales, son: Método del gradiente del descenso (ascenso) más pronunciado Método de Fletcher-Reeves Método de Newton Método de Davidson-Fletcher-Powell Método Cuasi-Newton

Son métodos que requieren del conocimiento de valores de la función objetivo, el cálculo de la primera derivada, y otros de la segunda derivada de la función objetivo. Son métodos de búsqueda indirecta y son conocidos como métodos del gradiente. Un objetivo principal en la teoría de la programación no-lineal es la formulación de las condiciones necesarias y suficientes que se satisfacen en un punto solución, estas condiciones se conocen como: Técnica de los multiplicadores de Lagrange, Kuhn-Tucker

Si bien no es un método como tal, pero provee una herramienta para determinar la optimalidad de la solución hallada por algún método. Existen los métodos heurísticos, tales como: Algoritmos genéticos

M

107

Búsqueda Tabú Recocido Simulado

B.2.1 Multiplicadores de Lagrange, Kuhn-Tucker Los multiplicadores de Lagrange se emplean cuando se tienen restricciones de igualdad y los de Kuhn-Tucker (1951) cuando se tienen restricciones de desigualdad. Éstos multiplicadores, se obtienen de las condiciones de optimalidad que se muestran a continuación. Sea el problema:

0)x(h 0)x(g

:asujeto)x(fmin

La función de Lagrange aumentada, es:

)x(h)x(g)x(f k

p

1kki

m

1ii

L

donde: i Multiplicador de Lagrange

k Multiplicador de Kuhn-Tucker Las condiciones necesarias para obtener el óptimo (obtener un mínimo local), son:

1.- 0x i

L ; i = 1, 2, 3, ... , n

2.- 0)x(g ii

L ; i = 1, 2, 3, ... , m

3.- 0)x(h kk

L ; k = 1, 2, 3, ... , p

4.- ; k = 1, 2, 3, ... , p

Para determinar las n+m+p incógnitas x1, x2, ... , xn ; m21 ,...,, ; 1 , 2, ... , P, es necesario resolver el conjunto de n+m+p ecuaciones. La solución, entrega el punto óptimo en la región factible.

0 0)x(h

k

kk

108

Ejemplo B.1 Programación No lineal

La función de Lagrange aumentada, es:

7)2x(x)xx-(6 2x2xx3x 212122

21221 xL

Las condiciones necesarias de optimalidad, son:

1 0x4x3x 12

1

L

02x22x3x 21

2

L

2 0xx6 21

L

3 07x2x 21 L

4 0

0)7x2x( 21

Si se considera que la restricción h() está activa, entonces de acuerdo con la condición de optimalidad, Las ecuaciones, resultantes, son: La solución, está dado por:

1658f̂ Como µ > 0, se confirma que la restricción h() está activa.

0

07x2x0xx6

02x22x30x4x3

21

21

21

12

20031513x19x

2

1

072),(06),(

:223),(Minimizar

2121

2121

22

2122121

xxxxhxxxxg

asujetoxxxxxxxf

109

Por otra parte, si se considera que la restricción h() no está activa, entonces, µ = 0, por lo tanto, las nuevas ecuaciones resultantes, son: La solución, es: Pero, si se evalúa la restricción h() en el punto solución, se ve que no se satisface la restricción: El cual contradice a la suposición inicial de que ésta restricción no es activa, por tanto, µ > 0 y la solución válida es la primera. El teorema de Lagrange – Karush - Kuhn – Tucker, solo entrega las herramientas necesarias para la verificación de la existencia de un punto extremo correspondiente a un mínimo. En el problema en cuestión, las ecuaciones resultantes son lineales y aceptan una solución, pero, si fueran no lineales, ésta técnica no permite hallar la solución fácilmente.

B.2.1.1 Interpretación Geométrica de los Multiplicadores de Lagrange En el problema

0)x(g:a.s

)x(fmin

La función Lagrangeana, es:

)x(gf(x) L

07x2x0xx6

0x22x30x4x3

21

21

21

12

035

311x

37x

2

1

03

50)x,x(h )66.3,333.2(21

110

Considerando un espacio de dos dimensiones, en la Fig. B.1, se muestra la gráfica de f(x) y g(x).

Como condición de existencia de un mínimo, es la nulidad del vector x

L , el que corresponde al

vector gradiente de f en x, f, este vector es ortogonal a la familia de curvas de la función objetivo, en el punto en cuestión. En el punto óptimo el gradiente de f, f, es perpendicular a g(x). Para garantizar que la gradiente de f, f, sea normal a g, se requiere que f y g sea vectores linealmente dependientes.

Es decir: 0)x(g)x(fx

L

, por tanto λ, es un factor de proporcionalidad, valor necesario

para que x

L sea nulo.

B.2.2 Método de la Gradiente de Descenso más Pronunciado El método de la gradiente de descenso más pronunciado, es un método de primer orden, se aplica para resolver problemas de minimización. En el caso de problemas de maximización, el método equivalente es el método de la gradiente del ascenso más pronunciado, pero todo problema de maximización se puede transformar en un problema de minimización equivalente. En lo que sigue solo se explicará el método del descenso solamente.

Fig. B.1 Interpretación gráfica de los multiplicadores de Lagrange

111

Fig. B.2 Interpretación gráfica del método del descenso más pronunciado. La gradiente de f, f, es ortogonal a la familia de curvas de la función objetivo, esta característica del gradiente es la que se usa en este método. La idea básica de este método es moverse desde un punto de solución factible f, en busca de nuevas y mejores soluciones en la dirección del descenso más acelerado, esto es, en la dirección del gradiente negativo. El nuevo punto factible encontrado estará más cercano al óptimo De acuerdo a la Fig. B.2, la interpretación gráfica del método, es el siguiente: Sea A una solución factible inicial, si se evalúa el gradiente de f en este punto, fA, se encontrará la dirección en que más rápidamente crecen las funciones. Por lo tanto es posible encontrar otra solución en la dirección del gradiente negativo. Sea esta nueva solución el punto B, consecuentemente este punto tendrá un menor valor para la función objetivo y estará más cerca de la solución óptima que el punto A, se procede así sucesivamente hasta satisfacer algún criterio de convergencia. El gradiente de f, provee una dirección adecuada para acercarse al punto óptimo; pero ello aún no es suficiente. ¿Con que valor debe ser amplificado el vector f para poder llegar desde A a B ó desde B a C?. Claramente se puede comprender que el vector corrección x queda determinado no solo por una dirección, sino también por un escalar que le da el tamaño necesario a dicho paso, entonces: fcx La elección del escalar c, es una de las partes débiles y críticos del método. Pasos de solución Paso 1.- Asumir un punto inicial factible x0 que satisfaga

0)x(g 0 Paso 2.- Determinar

112

0xg

xf

x

t

LL

xf

xg

1t ; x variable dependiente

Paso 3.- Calcular la gradiente L

t

xg

xf

L ; x variable independiente

Paso 4.- Buscar nuevos valores

L cx Paso 5.- Repetir los pasos 1 al 4 hasta que L sea suficientemente pequeño ó:

i1i )x(f)x(f

En el ejemplo B.2, se aplica éste método.

Ejemplo B.2 Gradiente del Ascenso más Pronunciado

06x5.1x

:a.s1x3x2max

22

21

21

Sea: x2 la variable independiente y

x1 la variable dependiente

)6x5.1x(x3x2 22

2121 L

0x33x 2

2

L

(a)

0x22x 1

1

L

(b)

xxx i1i

113

06x5.1x 22

21

L

(c)

Paso 1 221 x5.16x de (c )

Paso 2 1x

1 de (b)

Paso 3 2x33 L de (a) Paso 4 L cxx i

21i

2 Sea: c = 0.3 y 0

2x = 1 En la tabla B.1, se muestra los resultados de cada iteración y en la séptima iteración se puede hallar la solución. Tabla No. B.1 Resultados del método del gradiente del ascenso más pronunciado i x2 x1 L 0 1 2.12 -0.47 1.59 1 1.476 1.653 -0.605 0.322 2 1.572 1.514 -0.661 -0.116 3 1.538 1.566 -0.638 0.055 4 1.554 1.542 -0.648 -0.024 5 1.547 1.553 -0.644 0.010 6 1.555 1.549 -0.646 -0.004 7 1.549 1.549 -0.646 0 Y el valor de la función objetivo, es: En el método del gradiente, la elección del tamaño del paso es muy crítica para lograr la convergencia. En cada paso, se puede buscar el paso óptimo al resolver un sub-problema de optimización como se muestra en el ejemplo B.3.

Ejemplo B.3 Minimización sin restricciones con paso óptimo Este ejemplo muestra que en cada paso, se puede determinar el tamaño del paso óptimo en cada iteración. Sea el problema de minimización:

745.6)x,x(f )549.1,549.1(21

114

22

21221 x2xx2xx2min

considerando el punto de partida:

00

x0

001 xftxx ; sea 00 xfd

Sub problema

))x(ftx(f)t(hmin 00

donde: t tamaño del paso

2

0x42x2

x2x2)x(fd

00

X21

120

00

)t2,0(f~))2,0(t)0,0((f~)dtx(f~)t(h 00 2t8t42)t2(2)t2(2)t(h

h’(t) = -4 + 16t = 0; 41t̂

2/10

20

41

00

dt̂xx 00

01

01

)x(fd 11

)2/1,t(f~))0,1(t)2/1,0((f~)dtx(f~)t(h 11

2tt212

2122t

212

21t2)t(h

h’(t) = -1 + 2t = 0; 21t̂

2/12/1

01

21

2/10

dt̂xx 11

12

La solución, tiende a:

11

,....,8/78/7

,8/74/3

,4/34/3

,4/32/1

,2/12/1

,2/1

0,

00

En la Fig. B.3, se muestra esquemáticamente, la convergencia a la solución, el punto (1, 1). En problemas reales, la determinación del paso óptimo para cada iteración, requiere mucho esfuerzo computacional adicional, debido a la cual, se elige el tamaño de paso adecuado por pruebas sucesivas y se mantiene constante a lo largo del proceso de optimización.

115

Fig. B.3 Representación esquemática de la convergencia a la solución

x1

x2

o

1 1/2 3/4

3/4

1/2

0

1

116

ANEXO C PROGRAMACION DINAMICA

C.1 Introducción

a programación dinámica (PD), es una técnica de optimización intertemporal. Esta metodología de optimización dinámica fue desarrollada por el matemático Richard Bellman en 1957, y desde entonces ha sido utilizada principalmente en el planteamiento de modelos de optimización.

Esta técnica aprovecha la naturaleza recursiva del problema para resumir el planteamiento en una relación denominada Ecuación de Bellman. El método se sustenta en el principio de optimalidad. Un problema de optimización intertemporal o con variables discretas, se puede plantear mediante el siguiente modelo de optimización:

0u0ylibrey

dadoyT,...,2,1,0t)u,y(gyasujeto

)y(Z)u,y(fVMinimizar

t

t

1t

0

ttt1t

1TT

0tttt

(C.1)

donde:

V función objetivo f() función de retorno g() Ecuación de movimiento o de transición ut Variables de control yt Variable de estado

C.2 El Principio de Optimalidad El problema de programación dinámica cumple con dos propiedades fundamentales que permiten la resolución de una forma recursiva: a) Propiedad de separabilidad: Para todo t, las funciones de retorno y transición, ft() y gt(), dependen de “t” y de los valores contemporáneos de las variables de control y estado, pero no de sus valores pasados o futuros. b) Propiedad de aditividad: El funcional objetivo V es la suma de las funciones de retorno en los “T” períodos. Sobre la base de estos dos principios es que se establece el principio de optimalidad:

L

117

Principio de optimalidad La secuencia de variables de control ut* (t = 0, 1, 2, ... , T) es una solución óptima al problema (C.1) si y sólo si u* (=t,t+1,t+2,...,T) resuelve el siguiente problema t=0,1,2,...,T:

dadoydadoy

T,...,2t,1t,t)u,y(gyasujeto

)y(Z)u,y(fVMinimizar

1T

t

1

1TT

t1t

(C.2)

Ejemplo C.1 Cargamento de un Barco [21] Considere que se carga un barco con N artículos. Cada unidad del artículo i tiene un peso Wi y un valor de Vi, (i = 1, 2, ... , N). El peso de carga máxima es W. Se requiere determinar la cantidad de carga más valiosa sin que se exceda el peso máximo que puede cargar el barco. Si ki es el número de unidades del artículo i, el problema será:

negativonoenterok WkW......kWk W

:a.skV......kVkVmax

i

NN2211

NN2211

La programación dinámica originalmente se origina como un método para la toma de decisiones óptimas en un proceso secuencial en el tiempo. Pero los problemas se pueden plantear como dependientes del tiempo. El problema general

inicial estado ;dado0Ssistema del estado deEcuación ;1T,.....,2,1t);tX,itS(ttS

T

it)tX,itS(tgmaxz

St variable de estado

118

Fig. C.1 Diagrama de secuencias óptimas. El valor de St, para t dado, provee el valor del estado del sistema al inicio del intervalo ti xt, variable de decisión en el intervalo t. En un cierto instante t, el valor del estado inicial S0 y de la secuencia de decisiones posible x1, x2, x3, ... , xt-1

C.3 Algoritmo de la Programación Dinámica El modelo de programación dinámica se construye considerando sus tres elementos básicos: La etapa j , representada por el artículo j, j = 1, 2, ..... , N 1. El estado Yj, en la etapa j es el peso total asignado a las

etapas j, j+1, ..... , N; Y1=W y Yj = 0, 1, ... , W, para j = 2, 3, ..... , N 2. La alternativa kj en la etapa j es el numero de unidades del articulo j. El valor de kj puede ser tan

chico como cero o tan grande como W/wi Sea fj(Yj)= valor óptimo de las etapas j, j+1, ...... , N; dado el estado Yj La ecuación recursiva (de retroceso) esta dada como:

W......., 1, ,0NY

NW/NY ......., 1, ,0Nk NkNVmax)NY(Nf

W......., 1, ,0jY

jW/Yj ......., 1, ,0jk

1-N , .... 2, 1,j ,jkWjYj(1jfkjjVmax)Yj(jf

La ecuación recursiva (de avance) esta dada como:

1k1Vmax)1Y(1f

119

Wij j i

W......., 1, ,0jY

jW/Yj ......., 1, ,0jk

N , .... 3, 2, j ,jkWjYj(1jfkjjVmax)Yj(jf

C.4 Algoritmo de Dijstra El algoritmo de dijstra, es un algoritmo para determinar caminos de costo mínimo. Sea un grafo que contiene nudos y arcos: Wij peso asignado al arco (i, j) g(i) costo del camino de peso mínimo del nudo 1 al nudo i asumir g(1) = 0 Paso 1

g(1) = 0; V={1};

arco el existe no si ,existe j)(i, arco el si ,Wij

jh

Paso 2

Sea Uj)j(hminargi

Cx)x(fMin

Cxf(x)minargx̂óptimasolución x̂

Si es único, elegir i, si no elegir uno cualquiera de ellos

Hacer }i{UU

1

j

120

y g(i) = h(i) si U = V parar

V conjunto de todos los vértices. Paso 3 Para todo Vj , con (i, j) arco presente en el grafo, calcular )}j(h,Wij)i(gmin{)j(h . Volver al paso 2.

Ejemplo C.2 Distancia Mínima entre Dos Nodos Determinar el costo mínimo entre los nudos 1 y 4

Sea Paso 1 g(1) = 0 Paso 2:

g(2) = h(2) = 2 Paso 3:

Paso 2: g(3) = h(3) =3 Paso 3:

1

2

3

4

2

4 1

2

6

4,3,2,1V 1U

Uj)j(hminarg2i

2,11UU

VU

3)3(h,1)2(gmin)3(h 8,62min)4(h

3)4(h),3(hminarg)j(hminargiUj

3,2,1U VU

4UV 58,2)3(gmin)4(h

121

ANEXO D TÉCNICAS HEURÍSTICAS

D.1 Introducción

os métodos clásicos de optimización se basan en la formulación geométrica de las funciones convexas. Es decir, que el espacio de búsqueda es convexo, el cual garantiza la existencia de un mínimo. Si el modelo de optimización está compuesta de funciones no convexas, los métodos

clásicos pueden fallar, una alternativa para enfrentar estos problemas son la técnicas heurísticas. Otra complicación de los métodos clásicos, es que algunos exigen que exista la primera y segunda derivada. Muchos problemas prácticos se caracterizan por ser no-diferenciables, discontinuos y no-convexo en algunos puntos, en estos casos los métodos clásicos, resultan ser ineficientes, con un alto costo computacional y solo entregue óptimos relativos (locales). En los últimos años, la optimización basada en técnicas heurísticas tiene un especial interés y atrae la atención de especialistas en problemas de optimización. Estas técnicas, son: [22] Recocido (Templado) Simulado, éste método es análogo al proceso físico del templado de

sólidos. Búsqueda Tabú, se basa en almacenar en memoria una lista con los resultados recientes y los

vuelve tabú para la obtención de los resultados siguientes. Redes Neuronales, ésta técnica se basa en la solución de los problemas utilizando el cálculo

eficientes de una red de neuronas interconectadas Algoritmos Genéticos, son técnicas de búsqueda basadas en la mecánica de la selección natural

y de la genética natural.

D.2 Templado Simulado El templado simulado es un método de búsqueda global que usa variaciones estocásticas para aceptar o rechazar nuevas soluciones para evitar quedar atrapado en mínimos globales. Éste método es análogo a considerar un proceso físico de templado de materiales sólidos basado en el enfriamiento de los cristales. El algoritmo requiere de una temperatura inicial, una temperatura final y una función de variación de temperatura. No requiere mucho espacio de almacenamiento en memoria.

D.3 Algoritmos Genéticos [23] Los Algoritmos Genéticos (GA) fueron introducidos por John Holland en 1970 inspirándose en el proceso observado en la evolución natural de los seres vivos. Los Biólogos han estudiado en profundidad los mecanismos de la evolución, y aunque quedan parcelas por entender, muchos aspectos están bastante explicados. De manera muy general se puede decir que

L

122

en la evolución de los seres vivos, el problema al que cada individuo se enfrenta cada día es la supervivencia. Para ello cuenta con las habilidades innatas provistas en su material genético. A nivel de los genes, el problema es el de buscar aquellas adaptaciones beneficiosas en un medio hostil y cambiante. Debido en parte a la selección natural, cada especie gana una cierta cantidad de "conocimiento", el cual es incorporado a la información de sus cromosomas. Así pues, la evolución tiene lugar en los cromosomas, en donde está codificada la información del ser vivo. La información almacenada en el cromosoma varía de unas generaciones a otras. En el proceso de formación de un nuevo individuo, se combina la información cromosómica de los progenitores aunque la forma exacta en que se realiza es aún desconocida. La Biología Evolucionaria es una fuente fuerte de inspiración para resolver problemas de optimización. La propia naturaleza tiene que realizar una búsqueda en un enorme conjunto de soluciones posibles, las secuencias genéticas, para desarrollar organismos aptos que vivirán y se reproducirán en sus ambientes.

Los Algoritmos Genéticos son métodos da Computación Evolucionaria que siguen los principios de la selección natural y de la sobrevivencia del más apto, expuestos en el libro The Origin of Species de Charles Darwin, para simular el proceso de la evolución natural y desarrollar soluciones para el mundo real. A estos principios son adicionados los conceptos iniciados por Mendel, en el que se refiere a la estructura genética dos seres vivos.

Los algoritmos genéticos establecen una analogía entre el conjunto de soluciones de un problema y el conjunto de individuos de una población natural, codificando la información de cada solución en un string (vector binario) a modo de cromosoma.

A tal efecto se introduce una función de evaluación de los cromosomas, que se llama calidad ("fitness") y que está basada en la función objetivo del problema. Igualmente se introduce un mecanismo de selección de manera que los cromosomas con mejor evaluación sean escogidos para "reproducirse" más a menudo que los que la tienen peor.

El algoritmo que representa el funcionamiento de los algoritmos genéticos es el siguiente:

1.- Se crea una población inicial de m individuos. 2.- El valor de cada individuo se escoge de forma aleatoria. 3.- Se evalúa cada uno de los individuos sobre la función de evaluación. 4.- Se seleccionan n individuos para formar la población intermedia. 5.- Se aplica el cruce a los p individuos progenitores. 6.- Se aplica la mutación a la nueva población. 7.- Se sustituyen los individuos de la población inicial por los nuevos. 8.- Si se cumple la condición de parada, se elige el individuo más apto, si no se vuelve al punto

3.

D.4 Búsqueda Tabú La búsqueda tabú emplea una memoria a corto plazo para guiar la búsqueda, de tal forma que algunas soluciones examinadas recientemente se memorizan y se vuelven tabú (prohibidas) al tomar decisiones

123

acerca del siguiente punto de búsqueda. De esta manera, el método tiene una habilidad de escapar de óptimos locales usando la memoria de recientes soluciones conocida como lista tabú.

D.5 Redes Neuronales El método de redes neuronales está basado en una estructura de procesamiento de información paralela, distribuida, que consiste de elementos de procesamiento (puede tener memoria local y realizar operaciones de procesamiento de información localizada). Cada elemento de procesamiento tiene muchas entradas y una sola salida.