OLIMPIADA MATEMATICA.docx

Ciclo Experimental Excelencia

Pensamiento Lógico Analítico

1. Una planta acuática tiene la propiedad de duplicar la superficie que ocupa cada día que pasa. Se coloca una de estas plantas en cierto lago, se observa que en 30 días ella cubrirá toda la superficie del lago.a) ¿En cuántos días la planta cubrirá la

mitad de la superficie del lago?b) Si colocamos dos de estas plantas,

¿En cuántos días cubrirán toda la superficie del lago?

2. Para medir los conocimientos de un sargento, el capitán ordenó que dispusiera 10 soldados en 5 filas con 4 hombres. ¿Cómo el sargento logró realizar esa tarea?

3. (XXI OBM) Borre 10 cifras del numeral:1234512345123451234512345 Para que el número resultante sea el mayor posible.

4. ¿Cuántos triángulos equiláteros existen en la figura de abajo?

5. Un padre tiene hijos e hijas. Cada hijo tiene un número de hermanos igual al número de hermanas. ¿Cuántos hijos e hijas tiene el padre?

6. (SAMO1997) La figura muestra el plano de un pueblo en el que todos los bloques que conforman las manzanas son cuadrados. En la mitad del pueblo está un parque con un camino diagonal que lo atraviesa. Gloria camina todos los días de su casa en H hasta su escuela en S, siempre eligiendo las rutas más pequeñas. El número de rutas más

pequeñas diferentes que ella puede escoger es:

H

S7. ¿Cómo es posible extraer de un río exactamente 6

litros de agua si solo se dispone, para medir el agua, de dos baldes con capacidad de 4 litros y 9 litros?

ARITMÉTICA

8. Reciben el nombre de capicúas los números enteros que no alteran su valor al ser leídos de derecha a izquierda como de izquierda a derecha (por ejemplo: 383,4 224, 74 847). Determine el número de capicúas de 5 cifras que existen en el sistema decimal.

9. Sabemos que existen 9 números de una cifra, 90 números de dos cifras, 900 números de tres cifras, etc. Considere ahora cada número cuya cifra de unidades representa el número de cifras de ese número. Por ejemplo, el numero 9 074 es uno de ellos, pues 4 es el numero de sus cifras. ¿Cuántos números de este tipo existen?

10. En una escuela se va a organizar un campeonato de voleibol con la participación de 32 equipos. Los equipos van a ser distribuidos en 8 grupos. En cada grupo, cada equipo juega con todos los otros y el mejor equipo se clasifica para la fase siguiente. Los equipos clasificados son distribuidos en 2 grupos en los cuales el sistema se repite. Finalmente los ganadores de cada grupo disputan la final.

a) ¿Cuántos encuentros fueron jugados en total?

b) ¿Cuántos encuentros jugó el ganador?Considere que todos los partidos fueron jugados.

Urb. 8 de Setiembre Mz. 8 Lote 12 443216 Casa Grande 1

COLEGIO DE CIENCIAS

ARQUÍMEDESGEOMETRIA

Ciclo Experimental Excelencia11. Un navío pirata de 9 m. de largura máxima tiene

un cañón ubicado en la parte delantera, el cual por cada 200 g.de pólvora que dispara, retrocede 1 m. Sin conocer este hecho, un marinero va a realizar varios disparos. Si el cañón golpea la parte trasera del navío, regresará conservando la misma dirección tanto como lo permita la largura máxima. Despreciando las dimensiones del cañón y la fuerza de rozamiento.

a) El marinero colocó 1,5 kg. de pólvora y disparó ¿A qué distancia de la posición de disparo quedó?

b) El capitán ha ordenado dejar siempre cerca del cañón, que está en su posición inicial, una lata de 4 litros llena de pólvora. Cada litro de esa pólvora equivale a 0,9 kg. Si el marinero distraído, colocase toda la pólvora de la lata para un solo disparo. ¿A qué distancia de la posición del disparo quedaría el cañón?.

c) Si el marinero dividiera los 4 litros de pólvora en tres partes iguales, una para cada disparo, siendo que el cañón no es regresado a su lugar original después de cada disparo. ¿A qué distancia quedará después del último disparo?

12. Un hacendado compró 1 000 bueyes pagando $ 250, 00 por cada uno. Vendió 400 con una ganancia del 25% ¿A qué precio deberá vender cada uno de los seiscientos restantes de modo que, al final, su ganancia total sea del 40%?

13. El número N= 1 1 1 1 1 … 1 1 posee 1 999 dígitos, todos iguales a 1. ¿Cuál es el resto de la división de N por 7?

14. Una escuela tiene 100 estudiantes y a cada uno de ellos se le ha asignado un armario distinto y numerado del 1 ° al 100 °. El primer día de clase los alumnos se encuentran fuera de la escuela y acuerdan lo siguiente: el primer alumno entrará y abrirá todos los armarios. El segundo alumno entrará y cerrará todos los armarios numerados con numerales pares (2°,4°,6°,8°,…). El tercer alumno, verificará cada 3 armarios (los armarios numerados: 3°,6°9°,12°,…): abrirá los que estén cerrados, y cerrará los que encuentre abiertos. El cuarto alumno realizará el mismo proceso anterior cada 4 armarios (los numerados: 4°,8°,12°,16°,…)

y así en adelante. Después que todos los alumnos han entrado y realizado lo convenido, ¿Cómo estará el armario número 100: abierto o cerrado?

15. (XXI OBM) Un edificio muy alto posee 1 001 pisos. Del primer piso parten 5 ascensores.

El ascensor A, para en todos los pisos. El ascensor B, para en los pisos múltiplos

de 5, esto es: 5, 10, 15, … El ascensor C, para en los pisos múltiplos

de 7, esto es: 7, 14, 21, … El ascensor D, para en los pisos múltiplos

de 17, esto es: 17, 34, 51,… El ascensor E, para en los pisos múltiplos

de 23, esto es: 23,46,69,…a) Muestre que, sin tomar en cuenta el

primer piso, no existe ningún piso en el que paren los 5 ascensores.

b) Determine todos los pisos en los que paran 4 ascensores.

16. Un año solar tiene 365 días, 5 h. 48 min. 46s. Por eso, en el calendario encontramos, que de 4 en 4 años, tres años son de 365 días y un año es bisiesto, con 366 días. Pero, por no ser exactamente 365 días 6h, la periodicidad de los años bisiestos no es tan simple. A mediados del siglo XVI, el Papa Gregorio XIII determinó que ningún año que terminase en 00 fuese bisiesto, excepto los divisibles por 400. Así en nuestro calendario, los años bisiestos son divisibles por 4, excluyendo los terminados en 00 que no son divisibles por 400.

a) ¿El año 2 000 es bisiesto?b) ¿El año 2 100, será bisiesto?c) ¿Cuántos años bisiestos hay desde el

año 1 601 hasta el año 2 000, inclusive?

17. (SAMO-1997) Los primeros números triangulares son: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, etc. ¿Cuántos de los primeros 250 números triangulares son divisibles por 5?

18. Un banco ofrece a sus clientes el servicio de cajeros automáticos. El computador está programado para pagar utilizando monedas de S/. 1,00 y S/. 5,00. ¿De cuántas maneras diferentes puede el computador pagar la cantidad de S/. 100,00 a uno de los clientes?


I

Ciclo Experimental Excelencia19. (SAMO-1997)Cuantos pares diferentes de

enteros (x,y) son soluciones de la ecuación: x2-3y2=1997

20. (SAMO-1997)Resolver, de modo general en ℤ, la ecuación diofántica siguiente: 187x – 104y =41.

21. (OMC-1998) A partir de la ecuación: 1 + 1 = 1, determine el mayor valor que x y 12puede asumir y, Si: x,y ℤ+.

22. Un número entero es un cuadrado perfecto cuando su raíz cuadrada es un número entero, por ejemplo, 16 es un cuadrado perfecto pues 42 = 16. Muestre que la suma de los cuadrados de dos números enteros impares no puede ser un cuadrado perfecto.

23. (I-CMO) Determine cuál de los dos números:

√c+1−√c ó√c−√c−1

Es mayor para cualquier C 1.

ALGEBRA

24. Un elevador puede llevar 20 adultos o 24 niños. Si 15 adultos ya están en el elevador, ¿Cuántos niños pueden aún entrar?

25. Un vendedor tiene una cesta de huevos para vender y atendió sucesivamente a tres clientes. Cada cliente llevó la mitad de los huevos que había en ese instante en la cesta más medio huevo. Si el vendedor no precisó quebrar ningún huevo y sobran 10 huevos en la cesta, cuántos huevos había inicialmente?

26. Pruebe que si a+b+c=0, entonces a3 + b3 + c3 = 3abc.

27. (OMC-1998)Dado que “n” es un entero positivo, determinar el valor de “n” que satisface la ecuación:

n 3 – 3 + n 3 – 4 + n 3 – 5 + n 3 – 6 + … + 5 + 4 + 3 =169 n3 n3 n3 n3 n3 n3 n3

28. (OMC-1998) Obtener la suma de las raíces distintas de la ecuación: x2 + 3x + 2 = |x + 1|

29. (OMC-1998) ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación:

x3

√4−x2

❑

+ x2 – 4= 0 ?

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRÍA

30. Sea la figura:

x I

x II x III

x

¿Cuál de las regiones I, II ó III, tiene mayor área?

31. Una empresa adoptó el siguiente logotipo, formado por 4 triángulos rectángulos y 3 cuadrados:

a) Representa el área de la figura dada, como un polinomio en la variable x, en el que x simboliza la medida del lado del cuadrado menor tal que el área de este cuadrado sea numéricamente igual a la medida del lado del cuadrado mayor.

b) Calcule el valor del área para x= 3cm.

32. Dado un triángulo rectángulo ABC, pruebe que el radio con medida r del círculo inscrito en el triángulo es igual a la mitad de la suma de las medidas de los catetos menos la medida de la hipotenusa; o sea: r = AB + AC – BC .


Ciclo Experimental Excelencia2

C

r

A B

33. (NHA 1993 – 01(a) – FINAL) Sea ABCD un cuadrilátero convexo; es decir, un cuadrilátero en el que las medidas de sus ángulos interiores es menor que 180°. Indicamos con A’,B’,C’ y D’ los puntos medios de AB,

BC , CD y AD respectivamente. Los

segmentos A’C ’ y B’ D’

determinan en la región ABCD, cuatro cuadriláteros menores cuyas áreas se indican con a, b, c y d, como se muestra en la figura. Pruebe que a+x=b+d.

D C’ C

d c

D’ B’

A A’ B

34. En los siguientes triángulos equiláteros, cada triangulo menor intersecta a los triángulos mayores en los puntos medios de sus lados, como se muestra en la figura. Calcule el área del triangulo menor.

1

35. Dos hermanos heredan un terreno con la forma de

un triángulo ABC rectángulo en A, el cateto AB

mide 84 m. de longitud. Ellos resuelven dividir el terreno en dos partes de igual área, por un muro

MN paralelo a AC como se muestra en la

figura de abajo. Calcular la longitud del segmento

BM .

B

M N

A C

36. En un triángulo rectángulo isósceles ABC,

cuyos lados iguales, AB y AC , miden

1cm de longitud, y cortado de una hoja de papel que es blanca por un lado y negra del otro. El papel es doblado moviendo el vértice

B a lo largo de BC de tal forma que el área

de la región de color negro y el área de la región blanca son iguales. Después del doblado, ¿a qué distancia está el vértice C del vértice B?

PENSAMIENTO LÓGICO ANALÍTICO

37. (XXI OBM) Encuentre el menor tablero cuadrado que puede ser construido usando piezas de la siguiente forma:

38. (XXI OBM) En los extremos de un diámetro de un circulo, se escribe el numero 1 (primer paso). A continuación, cada semicírculo es dividido por el medio y en cada uno de sus puntos medios se escribe la suma de los números que están en los extremos del semicírculo (segundo paso). A continuación,


Ciclo Experimental Excelenciacada cuarto de circulo es dividido por el medio y en cada uno de sus puntos medios se coloca la suma de los números que están en los extremos de cada arco (tercer paso). Se procede así sucesivamente: siempre cada arco es dividido por él y en su punto medio es escrita la suma de los números que están en sus extremos inmediatos. Determinar la suma de todos los números escritos después de 1 999 pasos.

39. (XXI OBM) Determine todos los enteros positivos n para los cuales es posible componer un rectángulo de 9x10 usando piezas de 1 x n.

40. (XXVII CMO) Definimos un boomerang como un cuadrilátero cuyos lados opuestos no se intersectan y que la medida de uno de sus ángulos interiores es mayor que 180° (Ver la figura mostrada). Sea C un polígono convexo que tiene s lados. Suponga que la región interior de C es la unión de q cuadriláteros, de modo que la intersección de cualquier par de ellos no es el interior de alguno de estos. Luego suponga que b de estos cuadriláteros son boomerang. Muestre que:

q b + s - 2 2

41. (NHA 1993 03 (b) FINAL) Se tiene un cubo. Si a cada uno de sus 8 vértices se les ha asignado sólo uno de estos números: 1 ó -1; y, a cada una de sus seis caras se les ha asignado un valor igual al producto de los números correspondientes a sus cuatro vértices. Sea “a” la suma de los valores de todos los vértices y de las seis caras. Luego, “a” es la suma de los 14 valores. Indique qué valores puede asumir “a”.

42. (XXI OBM) En una pizarra hemos escrito tres números enteros. Vamos a repetir la siguiente operación: borraremos uno de los números escritos y en su lugar escribiremos la suma de los otros dos disminuida en 1. Después de varias operaciones, han quedado escritos en la pizarra los números: 17,75 y 91. ¿Es posible que los números iniciales sean:

a) 2, 2, 2?b) 3, 3, 3?

ARITMÉTICA

43. Un pescador se perdió en el mar y notó que su lancha estaba agujereado. Observó que cada 15 minutos, ingresaban 180 litros de agua. Con un balde, él empezó a extraer agua, pero solo consigue extraer 9 litros por cada 5 minutos. El barco de socorro más próximo se encuentra a 50 kilómetros del lugar del accidente y su rapidez máxima es 180 km/h. Determine cuál deberá ser la rapidez mínima para que el barco llegue a tiempo, sabiendo que la lancha se hundirá cuando hayan ingresado 255 litros de agua.

44. (XXI OBM) Pedro distribuyó 127 monedas de 1 sol en siete cajas y colocó en cada una de ellas una etiqueta diciendo el número de monedas de la caja . Esta distribución fue hecha de forma que cualquier cantidad de S/. 1, 00 a S/. 127,00 pudiese ser pagada entregándose sólo cajas cerradas. ¿De qué manera Pedro hizo esa distribución?

45. Resolver en ℤ, la ecuación: ax+by=c, a, b,c ℤ

46. Demuestre que no existe un número entero cuyo cuadrado sea 2.

47. Tres cifras distintas, escritas de tres formas diferentes, representan tres números cuya raíz cuadrada es exacta. ¿Cuáles son estas combinaciones?

48. De la igualdad: a2+b2+c2 = mac . Calcule a + b +c, si b es una cifra decimal.

49. (XXI OBM) Determine el mayor natural n para el cual existe una reordenación (a,b,c,d) de (3,6,9,12), tal que el número n√3a6b9c 12d sea entero. Justifique su

respuesta.NOTA: Una reordenación significa que:a, b, c, d = 3, 6, 9, 12Lo cual quiere decir que, a, b, c, d pueden asumir cualquier de los valores 3, 6, 9, 12.

50. a) Estudie el comportamiento del resto de la división por 7 de:

2x-x2

Siendo x un número entero positivo.


Ciclo Experimental Excelenciab) ¿Cuántos son los enteros positivos x 10 000 tales que la diferencia 2x-x2 no es divisible por 7?

51. Las representaciones decimales de los números 2 1 999 y 5 1 999 se yuxtaponen. ¿Cuál es el número de cifras escritas?

52. Demostrar que:

∑k=m

n

f ( x )= ∑k=m± p

n± p

f (k∓ p)

53. Encuentre el conjunto de valores reales para x e y tal que:

x2 + xy + y2 > x – y > 0no se cumple.

54. (OMC – 1998) ¿Cuántos números enteros positivos diferentes y menores que 100 satisfacen la ecuación:

⟦ n2 ⟧+⟦ n3 ⟧+⟦n6 ⟧=n?NOTA: ( x significa el mayor entero que es menor o

igual a “x”, por ejemplo ⟦32 ⟧ = 1 ).

55. (OMC – 1998) Se define a como el mayor entero que no es mayor que “a”. Por ejemplo

⟦113 ⟧ = 3. Dada la función:

F(x)=⟦ x7 ⟧⟦ 37x ⟧

Donde x es un entero tal que: 1≤ x ≤45; ¿Cuántos valores diferentes puede tomar f(x)?

56. Probar que, para todo número natural “n”, el polinomio

(x+1)2n+1 + xn+2

Es divisible por : x2 + x + 1

57. Demostrar

Sn=∑k=1

n

[(−1)k k(k−1 ) ! ]=(−1)n 1

(n−1 )!

58. Calcular (a+b)n – (a-b)n y (a+b)n + (a-b)n

59. Encuentre una representación recursiva para

cada potencia entera positiva de √2 -1

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA

60. Muestre que no existen triángulos rectángulos isósceles con lados enteros.

61. Se dice que un punto divide a un segmento en media y extrema razón, o en sección áurea, si el segmento de mayor longitud es la media geométrica entre el segmento menor longitud y el segmento total. La razón entre el segmento menor y el segmento mayor recibe el nombre de razón áurea. Los pitagóricos mostraron y por la razón áurea. Demuestre

que la razón áurea es √5−12

62. Si AB y BC tienen sus extremos en una misma circunferencia y

AB∩BC={B }; AB ≠ AC;M indica el punto medio del arco ABC y F el pié de la perpendicular de M a la cuerda mayor, demuestre que F es punto medio de la línea quebrada ABC.

M

B C F


Ciclo Experimental Excelencia

A

63. En un triángulo cualquiera con medida de lados a, b y c demuestre que el área S es igual a:

√ p ( p−a)(p−b)( p−c),

donde: p=a+b+c

264. Para cuántos valores enteros de X existe un

triángulo acutángulo de lados con medidas: 12, 10 y X ?

65. Con ABC hemos nombrado un triángulo cualquiera;

indicamos con AH la altura relativa al lado BC .

Sean M1 Y M2 los puntos medios de los lados AB y

AC respectivamente. Muestre que la medida del

∡M1HM2 es igual a la medida del ∡ A.

66. ( I-CMO) sea ABC un triángulo equilátero y P un punto en su interior. Se indican las

perpendiculares PD, PE, PF a los lados del

triángulo. Muestre que sin importar donde se escoja a P,se verifica:

PD+PE+PFAB+BC+CA

= 12√3

67. Un triángulo nombrado ABC está inscrito en una

semicircunferencia nombrada K, siendo AB

diámetro de K. Indiquemos con D el punto de

intersección de AB con la altura CD relativa

al lado AB del ∆ ABC.Sea una circunferencia

nombrada , tangente a CD ,AB y K. Con H

indicamos el punto de intersección de y AB.

Probar que el ∆ BCH es isósceles.

68. (XXVI CMO) Sea AB un diámetro de un círculo y P cualquier punto no perteneciente a la

recta que contiene a AB.Sea una recta a la que

pertenecen P y A, que intersecta a en V; y la línea a la que pertenece P y B intersecta a en V. (Note que en el caso de tangencia, U puede coincidir con A, o V puede coincidir con B. También, si P pertenece a , entonces P= U = V).Suponga que │PU │= s│PA│y │PV│= t │PB│para algunos números reales s y t no negativos. Determine el coseno del ángulo APB en términos de s y t.

69. TEOREMA DE CEVA: Dado un ∆ ABC, y sea O un punto que pertenece a su interior; si las prolongaciones de los segmentos AO, BO y

CO; intersectan a los lados opuestos en los puntos L,M y N respectivamente, demuestre que: AN x BL x CM = 1 NB LC MA

70. (XXVI CMO) Sea ABC un triángulo acutángulo.

Sea AD la altura relativa a BC y sea H

cualquier punto interior perteneciente a AD.

Las rectas que contienen a los segmentos

BH y CH , intersectan a AC y AB en E

y F, respectivamente.

Pruebe que: m ∡ EDH = m ∡ FDH.

71. ( XXI OBM) Con ABCD nombramos un cuadrado. Indicamos con M, N, P, Q puntos en

AB, BC , CD y DA , respectivamente,

de modo que las circunferencias circunscritas a los triángulos MBN y PDQ sean tangentes exteriormente.

Demuestre que: MN + PQ ≥ AC.

PENSAMIENTO LÓGICO ANALÍTICO

72. (XXVI CMO) Veinticinco hombres se sientan alrededor de una mesa circular .Cada hora se realiza una votación, y cada uno de los presentes debe responder sí o no .Cada hombre se comporta como sigue: En el enésimo voto, si su respuesta es igual a la de al menos una de las dos personas que están sentadas


Ciclo Experimental Excelenciainmediatamente a su lado, entonces él responderá en la misma forma en la siguiente votación, pero si su respuesta es diferente a la de las dos personas que están sentadas inmediatamente a su lado en la enésima votación ,entonces su respuesta en la votación siguiente será diferente a la que haya manifestado en la enésima votación .Pruebe que , sin importar la forma en que todos hayan respondido en la primera votación ,habrá una votación a partir de la cual cada hombre mantendrá su respuesta en las votaciones.

ARITMÉTICA

73. (XXI OBM) Un profesor de matemáticas entregó a los alumnos una adición A + C

B D

donde A,B,C y D son enteros positivos, las fracciones han sido simplificadas al máximo y los denominador es son números primos entre si. Los alumnos adicionarán las fracciones calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones y escribiendo este como denominador del resultado. Muestre que la fracción que los alumnos encontrarán es irreductible.

sido simplificadas al máximo y los denominador es son números primos entre si. Los alumnos adicionarán las fracciones calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones y escribiendo este como denominador del resultado. Muestre que la fracción que los alumnos encontrarán es irreductible.74. (NHA 1993 – 03(a) – FINAL) Los números de

Fermat, se definen por: F = 22n

+ 1, para

n= 0,1.2,…Demuestre que:

Fn = Fn-1 Fn-2 … F1F0+2,

Para n=1,2,3,…

75. (NHA 1993 – 03(b) – FINAL) Los números de

Fermat, se definen por: Fn = 22n

+ 1 , para

n= 0,1,2,… Pruebe que dos números diferentes de Fermat no pueden tener un factor común mayor que 1.

76. (XXVII CMO) Sean a,b y c números reales positivos. Pruebe que:

aa bb cc ≥ (abc) (a+b+c)

3

77. (XXVII CMO) Sea “n” un entero positivo fijo. Mostrar que solamente para enteros no negativos k, la ecuación diofántica:

x13+x2

3+x33+…+xn

3= y3k+2 … (α)

Tiene infinitas soluciones enteras positivas “xi” e “y”

ALGEBRA

78. La secuencia de Fibonacci (a1,a2,…,an,…) es tal que a1=a2=1=an-1+an-2, para n≥3

a) Obtenga los 5 primeros términos de esta secuencia.b) Muestre que: an x an+1- an-1x an = (an)2, para todo n ≥

2.c) Muestre que:

a12+a2

2+a32+…an

2=anan+1

para todo n ℕ. 79. La secuencia de Fibonacci (a1,a2,…,an,…) es

tal que a1=a2=1;an=an-1+an-2, para n ≥3. Supongamos que 2 = + 1.a) Demostrar que: 3=a3+a2 y que;

4=a4+a3 b) Muestre que todas las potencias

enteras positivas de α ( n≥2 ) son representados por: n=an+an-1.

80. Determinar, si existen, todos los números naturales n tal que podemos particionar el conjunto:

C= {n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5}

En dos subconjuntos A y B disjuntos, no vacíos, de forma que el producto de los elementos de A sea igual al producto de los elementos de B.

81. (NHA 1993-02-FINAL) Pruebe que si b<c<d, luego la desigualdad: (a+b+c+d)2 > 8(ac+bd) se mantiene para todo valor real de a.

82. Determine las funciones: f: ℝ -{0,1} ℝ, tales que:

f(x) + f(x-1) = 1 + x x

83. (XXVII CMO) Sea: f(x) – 9 x , evalúe la


Ciclo Experimental Excelencia 9x+3sumatoria: f ( 1 ) + f( 2 ) + f (3) + … + f (1995) 1996 1996 1996 1996

84. (XXI OBM) Encuentre las soluciones enteras de x3-y3=999.

85. Sea ai ℝ+, i {1, 2, 3,…, n}, y s =a1+…+an

Demuestre que para cualquier entero n>1 se tiene:

(1+a1)…(1+an) < 1 + s + s 2 + … + s n 2! n!

86. (OCM-2011)El menor valor de la expresión:

√ x2+1+√( y−x )2+4+√( z− y)2+1√(10−z)2+9

Donde x,y,z son números reales arbitrarios.

87. Resolver en ℝ:

√ X−197723

+ √ X−197822

+√ X−197921

=

√ X−231977

+ √ X−221978

+ √ X−211979

88. (DESIGUALDAD DE CAUCHY – SCHAWARZ) Dados

los reales:

a1, a2,a3,…an; b1,b2,b3,…,bn

Demostrar que: (a12+a2

2+a32+…+an

2)

(b12+b2

2+b32+…+bn

2) no es

menor que: (a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2; y se da la igualdad sólo si: ai = k x bi; i є {1,2,3,…,n} y k ℝ.

89. Sean a, b y c, las longitudes de los lados de un triángulo. Pruebe que:

3(ab+bc+ca) ≤ (a+b+c)2 < 4(ab+bc+ca)

90. Pruebe que para todos los reales x e y, se tiene:

x2 + y2 + 1 > x √ y2+1+ y √x2+191. Pruebe ∀ n ℕ- {0}:

1+1+1+1+…+1 > 1 (log2n+1) 2 3 4 n 2

92. (XXVI CMO) Evalúe la sumatoria

∑n=1

1 994

¿¿

93. (XXVI CMO) Muestre que para todo exponente entero

positivo de: √2-1, la potencia puede escribirse en la

forma: √m−√m−1 para algún entero positivo

m.

Por ejemplo: ( √2−1¿2 = 3-2√2=√9−√8

94. Dado: {a1,a2,a3,…,an}⊂R+¿ ¿, tal que:

a1 x a2 x a3 x…x an = 1demuestre que: a1,a2,a3,…,an ≥ n.

95. (XXVII CMO) Sea u un parámetro real donde x>u>1.Definamos: 0, si 0 ≤x≤u

F(x)=

1 – (√ux+√(1−u )(1−x )¿2,

si u ≤x≤1

Y también, recursivamente, la sucesión {un} como sigue:

U1= f(1) y un= f (un−1) para todo n> 1

Muestre que existe un entero positivo k tal que uk=0.

96. Dada la sucesión: 1;0;1; 1;3; 5; 11;21;… 2 4 8 16 32 64encuentre el término general.


Ciclo Experimental Excelencia97. (XXI OBM) José tiene tres pares de lentes,

uno magenta, uno amarillo y uno cyan. Cada día por la mañana el escoge no al azar, teniendo apenas el cuidado de nunca usar el mismo que en el día anterior. Si el 1° de agosto él usó el magenta, ¿Cuál es la probabilidad de que en el día 31 de Agosto él vuelva a usar el magenta?

98. (India 2001) Siendo x,y,z >0, tales que xyz ≥xy+yz+zx. Probar que:

xyz ≥ 3 (x+y+z)

99. Si x,y,z > 0 . Probar que:x 2 + y 2 + z 2 ≥ x + y + zy2 z2 x2 y z x

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRÍA

100. (NHA 1993 – 01(b) – FINAL) Las medidas de los lados de un triángulo son:a,b y c. Pruebe que:

a + b + c <2b+c a+c a+b

101. Se dice que un triángulo es entero si la medida de sus lados son todos enteros. Determinar todos los triángulos enteros tales que su perímetro es igual a su área.


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