5,14

6

3

5,4

2

3

1

5,1

Observamos que sus lados son proporcionales:

Además, como los dos cuadriláteros tienen los ángulos iguales diremos que son semejantes, con razón de semejanza 1,5

Cuadrilátero menor 1 2 3 4Cuadrilátero mayor 1,5 3 5 6

Los lados, ángulos, puntos que se corresponden en una semejanza se llaman homólogos.

5,14

6

3

5,4

2

3

1

5,1

razón de semejanza 1,5

Observa que la razón de semejanza se extiende a los perímetros:

5,110

15

4321

65,435,1

Ejemplos

Los lados de un pentágono miden 4, 5, 7, 9 y 11 cm. Si el perímetro de otro pentágono semejante es de 180 cm, cuánto mide cada uno de sus lados?

Como vimos anteriormente, la relación de semejanza entre lados homólogos es la misma que la que hay entre los perímetros. Encontremos esa relación:

536

180

119754

180

Cada lado del pentágono de perímetro 180 cm es 5 veces mayor que su correspondiente homólogo.

Por tanto, cada uno de sus lados medirá 20, 25, 35, 45, 55 cm respectivamente

¿Serán semejantes estos dos rectángulos?

53,1

46,3

47,2

68,6 2,2

53,1

46,3puesto que 7,2

47,2

68,6

Por tanto aunque los ángulos son iguales al no tener sus lados proporcionales no son semejantes.

¿Serán semejantes estos dos rectángulos?

2,253,1

46,3

47,2

61,5

Los lados son proporcionales y los ángulos son iguales por tanto los dos rectángulos son semejantes.

¿Serán semejantes?

Aunque los lados son proporcionales los ángulos son distintos, por tanto no son semejantes.

Se fotocopia una hoja rectangular que mide 21 cm de ancho y 30 de alto. ¿Qué porcentaje de ampliación se marca para obtener una copia de 63 cm de ancho? ¿Cuál será el de reducción para obtener una de 15 cm de alto?

Las fotocopias conservan la forma por lo que son semejantes.

La razón de semejanza es

Ampliación:

Por cada cm de nuestra hoja, la ampliación será de 3 cm, por lo que por cada 100 cm se ampliará 300. Un porcentaje del 300%.

Reducción:

La razón de semejanza es

Por cada cm de nuestra hoja, la reducción será de medio centímetro. Por lo que en 100 cm, la reducción sería de 50 cm. Un porcentaje del 50%.

Semejanza en áreas y volúmenes

Los rectángulos son semejantes, ya que

23

6

4

8

Sus áreas son 4·3 = 12 cm2 y 6 · 8 = 48 cm2

La razón de sus áreas es 412

48

El área del rectángulo mayor es cuatro veces el área del rectángulo menor.

Observa que la razón de las áreas es el cuadrado de la razón de semejanza.

Los triángulos de la izquierda son semejantes, su razón de semejanza es

361,3

82,10

3

9

2

6

Sus áreas son 32

32

27

2

96

y cm2

La razón de sus áreas es 93

27

El área del triángulo mayor es 9 veces el área del menor.

Si dos figuras son semejantes, sus áreas son proporcionales con razón de proporcionalidad el cuadrado de la razón de semejanza.

De los dos ejemplos obtenemos la siguiente conclusión: si dos figuras geométricas son semejantes con razón de semejanza r, entonces sus áreas respectivas serán proporcionales con razón r al cuadrado.

Estos dos cuerpos son semejantes porque tienen las tres dimensiones que los conforman semejantes

Su razón de semejanza es 2.

Sus volúmenes son 3 · 1 · 3 = 9 cm3 y 6 · 2 · 6 = 72 cm3

La razón de sus volúmenes es 89

72

El volumen del ortoedro grande es 8 veces mayor que el pequeño, es decir, su razón de semejanza 2 elevado al cubo.

Si dos cuerpos son semejantes, con razón de semejanza r, sus volúmenes serán proporcionales con razón r 3

Ejemplos

1.-Si el volumen de un silo es de 45.000 m3, ¿cual será el volumen de la maqueta de ese silo a escala 1: 40?

Por cada unidad de longitud sobre el papel corresponden 40 en la realidad.

401

40rrazón de semejanza:

340escala

real

V

V 000.64

000.45

escalaV

6400045000 escalaV

33 7007,064

45

64000

000.45dmmVescala

2.-Hacemos una maqueta a escala 1:50 de una piscina rectangular, que en realidad mide 4 m de largo, 10 m de ancho y 2 m de profundidad. Calcula las dimensiones de la maqueta, el área del fondo y su volumen.

la razón de semejanza es 50r

Largo (m)

mxxx

08,050

445050

4

Ancho (m)

myyy

2,010505010

Profundidad (m)

mzzz

04,050

225050

2

250maquetafondo

piscinafondo

A

A

350maqueta

piscina

V

V

2016,02500

401042500 mAA maquetafondomaquetafondo

300064,0125000

802104000.125 mVV maquetamaqueta

22 160016,02,008,0 cmmA maquetafondo

33 64000064,004,0016,004,0 dmmAV maquetafondomaqueta

Si calculamos el área y el volumen usando la razón de semejanza:

Dimensiones de la piscina: 4 m de largo, 10 m de ancho y 2 m de profundidad.

Dimensiones de la maqueta 0,08 m de largo, 0,2 m de ancho y 0,04 m de profundidad.

3.- Una estatua mide 10 m de altura y pesa 200 kg. ¿Cuánto pesará una reproducción del mismo material que mida 22 cm de altura?

Como 10 m = 1000 cm la razón de semejanza es 022,01000

22r

Por ser figuras semejantes, la razón de proporcionalidad de los volúmenes es

3022,0estatua

ónreproducci

V

Vestatuaónreproducci VV 12167,0

grkgPPP ónreproducciestatuaónreproducci 43,200243,0200·12167,012167,0

Teorema de Tales

Si dos rectas secantes se cortan por dos o más rectas paralelas, los segmentos correspondientes que determinan sobre las rectas secantes son proporcionales.

Ejemplos

1.-Divide un segmento en tres partes iguales

2.- Representa en la recta real los números racionales 4

3 y 3

5

3

21

3

5

3.-Usando el teorema de Tales, divide un segmento en 2 partes, una el doble que la otra.

Triángulos en posición de Tales

Halla x e y Determina las medidas que faltan en la figura

Criterios de semejanza de triángulos

Es suficiente que se cumpla una de las siguientes condiciones para que dos triángulos sean semejantes:

Criterio 1: Que tengan dos ángulos iguales.

Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales también el tercero lo será, por lo tanto se podrán colocar en posición de Tales y serán semejantes.

Criterio 2: Que tenga sus lados proporcionales

Dibujamos sobre el triángulo grande un triángulo semejante tomando la medida de 5cm junto al de 25 cm y trazando una paralela al lado más largo.

Por el teorema de Tales:

x= 6 cm y= 4 cm.

Las medidas coinciden con el triángulo pequeño, por tanto los dos triángulos pequeños son iguales y en consecuencia, el triángulo grande es semejante al pequeño.

Criterio 3: Que tengan un ángulo igual y sus lados contiguos proporcionales.

Tomamos las medidas de FE y de FG sobre los lados AC y AB respectivamente.

Pero como AHI es el mismo triángulo que FEG los triángulos de partida serán semejantes.

Los dos triángulos de la figura están en posición de Tales, por tanto son semejantes.

Ejemplos

Razona la semejanza de dos triángulos si:

a) Sus lados miden 2, 4 y 6 cm, y 3, 6 y 9 cm, respectivamente.

Sí porque tiene sus lados proporcionales: 5,16

9

4

6

2

3

b) Son triángulos rectángulos isósceles

Los ángulos de los dos triángulos medirán 90º, 45º y 45º por tanto serán semejantes.

3 cm

1,50 cm

90,0 °

3 cm

1,50 cm

90,0 °

c) Son triángulos isósceles

d) Son triángulos equiláteros

Todo triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales, por tanto dos triángulos equiláteros tendrán siempre sus lados proporcionales.

Determina las longitudes de la hipotenusa del menor y los catetos del mayor.

Determina la longitud de CN

Cálculo de distancias

1.- Calcula la altura a la que está el globo

Si h es la altura a la que está el globo, se cumplirá:

312

62

1 h

h

Los triángulos ABC y A´BC´ están en la posición de Tales, por tanto son semejantes

2.-Alejandro ve reflejada en un estanque una paloma que está posada en la cornisa de un edificio. Si la distancia al edificio es de 32 m y Alejandro mide 1,75 m, a qué altura está la paloma?

Los triángulos ABP y PCD son semejantes porque son rectángulos y los ángulos con vértice P son iguales al producirse por reflexión de la luz.

2

30

75,1

h25,26

2

5,525,522 hh

3.-Calcula la altura de la torre si sabes que la altura del farol es de 6 m.

Triángulos en posición de Tales, por tanto son semejantes

37

50

6

h1,8

37

30030037 hh

Semejanza de triángulos rectángulos

Para que dos triángulos rectángulos sean semejantes es suficiente con que tengan igual uno de sus ángulos agudos

90,0 °

a

90,0 °

90,0 °

a

a´

Si a = a´, como los dos triángulos tienen un ángulo recto, los otros dos ángulos serán iguales. Por tanto los triángulos serán semejantes.

Una consecuencia de esta propiedad es que dado un triángulo rectángulo, cualquier triángulo obtenido al trazar una recta perpendicular sobre uno de sus lados es semejante al primero:

A

C

B

C´´´

A´´´

bA

C

BA´

C´

b

A

C

B

A´´ C´´

c

6,310

363610

6

106 aa

a

4,66,310 b

8,410

484810

6

108 hh

h

Se cumple:Ejemplos

Calcula las medidas de a, b y h.

Teorema del cateto

Se cumple por semejanza b

a

m

b

mab 2

c

a

n

c

nac 2

Leemos: “el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa”.

Teorema de la altura

h

n

m

h

mnh 2

“el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa”.

Ejemplo

Calcula la medida de la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente.

La hipotenusa se obtiene usando Pitágoras:

52516943 222 aa

Para calcular la altura sobre la hipotenusa usamos el teorema de la altura

8,15

9532 mm

2,35

16542 nn

4,276.52,38,12 hh