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Ecuaciones Diferenciales

Objetivo general:

Proporcionar los conocimientos fundamentales

• Algebra Lineal•Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

que dan las bases sólidas para que le permita desarrollar modelar y abordar problemas para distintas áreas de la Computación e Ingeniería tales como Control Digital, Teoría de Control, Telemática entre otras.

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Algebra Lineal

Ecuaciones Diferenciales

Transformada Laplace

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Los conceptos y métodos del álgebra lineal han contribuido

decisivamente aldesarrollo de muchas áreas del

conocimiento de laMatemática, entre las que podemos

mencionar :

RobóticaVideo juegos

La teoría económica. Teoría de

redes

La teoría de códigos y

Criptografía Astronomía y programación

lineal

La teoríacualitativa y

cuantitativa de de ecuacionesdiferenciales

Algebra Lineal

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Problemas tan amplios como:

Saber descifrar códigos

como saber la distribución de

cosecha

Definir el presupuesto de

un país

Encontrar la estabilidad

estructural de un edificio en ingeniería civil

el cálculo de la órbita de un

asteroide

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No es exagerado afirmar que sus ideas y resultados aparecen en casi todo desarrollo humano.Modernamente, las matrices, como los polinomios o las series de potenciasformales, bien pueden considerarse como arreglos de datos de algún tipo dado(Sylvester), donde el algebra que se establezca sobre éstas determina la manera en que éstos datos pueden combinarse para generar nueva información(Cayley). La formulación de un problema concreto en términos del algebra lineal ha sido, y sinduda lo seguirá siendo, uno de los métodos más efectivos para hallar su solución. Herramientas tales como el determinante, las formascanónicas y las transformaciones lineales, entre muchas otras, contribuyendecisivamente a facilitar esta labor.

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Un ejemplo concreto de una tal situación ha llegado hasta nuestros días en unade las famosas tablillas de Croquetta, que datan del último período sumeriohacia el año 2100 a.C., es el siguiente problema:

Existen dos campos cuyas áreas suman 1800 yardas cuadradas. Uno pro-duce granos en razón de 2/3 de saco por yarda cuadrada, mientras que el otroproduce granos en razón de 1/2 saco por yarda cuadrada. Si la produccióntotal es de 1100 sacos, ¿cuál es el tamaño de cada campo?"

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El álgebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas deecuaciones lineales, tal como señalamos, y más recientemente, con los sistemasde ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones.

En ambos contextos subyacen los importantes conceptos de vector y espacio vectorial.

A finales del siglo XVII fueron redescubiertas y desarrolladas las ideas originales de los babilonios, y principalmente de los chinos, sobre el pensamiento lineal.

Y tiene su auge con el desarrollo de las computadoras a finales de lo s años 50 del siglo XX.

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Los conceptos y métodos del Ecuaciones diferenciales han

contribuido decisivamente aldesarrollo de muchas áreas del

conocimiento de laMatemática, entre las que

podemos mencionar :

RobóticaVideo juegos

La teoría económica. Teoría de

redes

La teoría mecánica de

fluidosAstronomía y programación

lineal

La teoríacontrol

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¿ qué tienen en común La propagación de una enfermedad, la dinámica entre la oferta y la demanda en un sistema económicoLa interacción entre seres en una islaLa carrera armamentista entre naciones?

La respuesta es que cada una de esta áreas de investigación se puede modelar con ecuaciones diferenciales respecto al tiempo que nos apoyan a representar matemáticamente el comportamiento de éstos procesos.

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Las palabras claves en el curso son: El cambio, el flujo el movimiento, en particular de la rapidez a la que las variaciones tienen lugar.

•Cada ser experimenta cambios•las mareas fluctúan durante el día,•los países aumentan o disminuyen sus reservas de armas,• el precio de la gasolina baja y sube.

•En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo.

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En este curso se trata de cómo predecir el futuro.

Para lograrlo disponemos del conocimiento de cómo son las cosas y cuáles son Las reglas que gobiernan los cambios que ocurrirán.

Del cálculo sabemos que el cambio es medido por la derivada

Y usarla para describir cómo se modifica una cantidad es de lo quetratan las ecuaciones diferenciales.

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Existen tres tipos de técnicas para efectuar esas predicciones a saber:

•Las técnicas analíticas, las cuales implican encontrar fórmulas para los valores futuros de la cantidad.

•Los métodos cualitativos, que se apoyan en la gráfica de la cantidad como función del tiempo y en la descripción de su comportamiento a largo plazo.

•Las técnicas numéricas requieren que efectuemos cálculos aritméticos ( o la computadora) que den aproximaciones de los valores futuros de la cantidad.

•En este curso abordaremos dos de estas técnicas: las analíticas, cualitativas y las numéricas.

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Historia de las Ecuaciones Diferencialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Modelos_matem%C3%A1ticos

Resultados

Otros

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El origen de la dinámica y de las ecuaciones diferenciales se remontan a los trabajos de Newton ( 1642- 1727) y Leibniz (1646 -1716) basados en el desarrollo de la nueva parte de las matemáticas: el cálculo

A Newton le preocupaban las leyes que gobiernan el movimiento, le interesaba la rapidez del cambio

Sin embargo no debe de pensarse que solo los problemas de física se abordan en ecuaciones diferenciales.

El mismo tipo de ecuaciones y de análisis de los sistemas dinámicos se pueden utilizar para abordar problemas en otras áreas.

Historia

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El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por modelo general de comportamiento dinámico lineal:

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Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la Ecuación Diferencial que describe su comportamiento, utilizando para ello las leyes físicas, químicas y/o eléctricas.

A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso.

Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.

Por ejemplo cuando se desea diseñar un sistema de control automático, se requiere

resultados

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Modelación de Sistemas Dinámicos utilizandoEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

Sistema

Físico

Sistema (Físico)

a modelarFunción forzante

y(t)u(t)

Respuesta del sistema

-Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos)

- Sistema Hidráulico (llenado o vaciado de un tanque)

- Sistema térmico (temperatura en un horno u otro objeto)

-Sistema Eléctrico (velocidad de motores, corriente )

- Sistema Fisiológico (efecto de una dosis de medicamento en el cuerpo )

- Sistema Económico ( inflación)

- Sistema de producción (producción entre máquinas)

-Sistemas sociales ( población )

Relación causal

resultados

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Para construir una ecuación diferencial, podemos utilizar:

• Leyes físicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema, rigen la relación causal entre las variables de interés.

• Pruebas experimentales (análisis de la respuesta transitoriadel sistema ante una función forzante conocida).

• Por analogías de comportamientos entre sistemas queguardan un comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente.

Para después mediante la Aplicación de algoritmos y recursoscomputacionales procesar los datos obtenidos de pruebasexperimentales y ver si el modelo explica la situación.

resultados

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Sistemas físico: Temperatura en un horno

Horno

Flujo de

Combustible:

qi(t)

Temperatura:

T(t)horno

Temperatura

Flujo de gas

Relación causal

resultados

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Sistema Físico:Llenado de un tanque

qo(t): Caudal de salida

qi(t): Caudal de entrada

A:área del tanque

p(t): señal que regula el caudal hacia el tanque.

h(t): altura del tanque

Rh: resistencia Hidráulica

TanqueCaudal de entrada

qi(t)

Nivel: h(t);

Caudal de

Salida, qo(t)

Relación causal

resultados

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Análisis de una ecuación diferencial lineal c. c. c.

2 -3t2

d y(t) dy(t) + 0.4 + 0.03 y(t) = 1.5 + Sen10t dtdt e

Sistema (Físico)

a modelar

La respuesta y(t) de un sistemamecánico ante una función forzanteu(t) está definida por la ecuacióndiferencial; y(0)= 2; y’(0) = 0

Función forzante

y(t)u(t)Respuesta del sistema

)()(13.0)(4.0)(2

2

tutydt

tdyd

tyt

d =++

u(t): Comportamientodeseado

resultados

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Función forzante: u(t)

deFun mación e gnituds calón 1.5;

multiplicada por Función una expoSenoid nenal cial

-3t= 1.5 + Senu(t) 10t e

resultados

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Las herramientas matemáticas como: Cálculo diferencial e integral permite predecir la magnitud, si admite antiderivada.

Si no admite antiderivada se cuenta con análisis cualitativo utilizando conceptos de cálculo vectorial para encontrar la predicción en un punto.

Otra forma es utilizar análisis numérico.

.

resultados

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Por ejemplo :1. Consideramos los campos vectoriales, que

asocian un vector a cada punto en el espacio, El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad

2. Las transformadas de Laplace, permite transformar Ecuaciones diferenciales lineales en Ecuaciones algebraicas , una vez que se han resuelto en el dominio correspondiente se encuentra la solución de las ecuaciones originales aplicando la transformada inversa .

La herramienta de la transformada de Laplace, permiten pasar funciones del dominio del tiempo a otros dominios donde las operaciones matemáticas resultan más simples, cobra su mayor ventaja el utilizarla cuando la entrada en el modelo lineal es seccionada

Resultados

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El convertir las reglas que gobiernan la evolución de una cantidad en una ecuación diferencial se llama modelación, nuestra meta es emplear la ecuación diferencial Para predecir el valor futuro de la cantidad que se esta modelando.

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La presente gráfica intenta aclarar las relación entre: •Solucion General, •Condiciones iniciales, •Solución particular; •El valor de c adecuado

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Considere la ED: y' = - x y

En ella se representa1.Por las lineas verdes toda la familia de funciones:

y = c e-x2/2 a cual es la solución general de la ED 2.La linea roja representa una solución particular. 3.Las condiciones iniciales están definidas por el punto y están como título de la 4.gráfica. 4.El valor de c que corresponde a la curva de la solución general aparece en el título.

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Conceptos-Teoría

Herramientas analíticas

Transformada de Laplace

Herramientas Tecnología

http://www.falstad.com/mathphysics.html

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Por ejemplo :1. Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad

2. Las transformada s de Laplace, permite transformar Ecuaciones diferenciales lineales en Ecuaciones algebraicas , una vez que se han resuelto en el dominio correspondiente se encuentra la solución de las ecuaciones originales aplicando la transformada inversa .

Resultados

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Sugerencia Utiliza el paquete MAPLE para graficar el campo vectorial mediante la subrutina with(DEtools);

Problema La ecuación diferencial

Modela la población de cierta especie en donde p(t) es la población (en miles) de cierta especie en el instante t Bosqueja el campo de direcciones

En base al campo de direcciones contesta:

Si la población inicial es 3000 ¿Qué puede decir se acerca de la población¿Si p(0)=1.5, cuál es la población Cuándo el tiempo es muy grande?¿Si p(0)=.5, cuál es la población Cuándo el tiempo es muy grande?¿Puede una población de 900 crecer hasta 1100?

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Resultados

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dydx = x2 + y2

Ejemplo: La ecuación

nos dice que a lo largode la curva x2 + y2 = 1,las curvas solución de la ecuación tienenpendiente 1, es decir, cruzan la circunferenciade radio 1 con un ángulo de 45 .

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Resultados

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2. Las transformada s de Laplace, permite transformar Ecuaciones diferenciales lineales en Ecuaciones algebraicas , una vez que se han resuelto en el dominio correspondiente se encuentra la solución de las ecuaciones originales aplicando la transformada inversa .

Resultados

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La transformada de Laplace posee propiedades que facilitan la solución de Ecuaciones Dierenciales

otros

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La teoría Computacional

La teoría de Comunicación

La teoría de control

La Transformada de LAPLACE (TL) es una herramienta matemática que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio de

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La importancia de la herramienta radica en que permite reducir Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Ecuaciones Algebraicas lineales.

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Sistemas Mecánicos y eléctricosLey de Newton

Ley de Kircchof

2

2

dt

xdmxmF =′′=∑

∑ = )(tEV

)(2

2tfkx

dtdx

dt

xdm =++ β

)(2

2tEkq

dtdq

dt

qdL =++ β

resultados

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f(t)

x(t)

kb

m

Fuerza de entrada

2)(2)()()(

dt

txdmdt

tdxbtkxtf

maF

=−−

=∑

Desplazamiento, salida del sistema

resultados

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kbsmssFsX

kbsmssXsF

sXmssbsXskXsF

dt

txdmdt

tdxbtkxtf

++=

++=

=−−

=−−

21

)()(

2)()(

)(2)()()(

cero) a igual iniciales scondicione ndo(considera términocada a Laplace de ada transformla Aplicando

2)(2)()()(

Suspensión de un automóvil

Función de transferencia

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)()(1

)(1)()()(

toedttiC

dttiC

tRidt

tdiLtie

=

++=

∫

∫

MODELACIÓN MATEMÁTICACircuito eléctrico

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Resultados

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Otra forma es utilizar análisis numérico.

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1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

Yn

Yn

( )

( )

( )3,4

22,

23

21,

22

,1

43222161

1

1

knyhnxfhk

knyh

nxfhk

knyh

nxfhk

nynxfhk

kkkknyny

hnxnx

++⋅=

++⋅=

++⋅=

⋅=

+++⋅+=+

+=+

( ) 11;2 ===′ yxydxdyy

Ejemplo de solución de una ecuación Diferencial de 1er Orden, a partir de una condición inicial dada, por el Método de Runge - Kutta para encontrar una curva solución

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“ La mejor manera de predecir el futuro es inventarlo” Alan Kay

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