Objeto virtual 2 Actividad 1

Función cuadrática

Las funciones cuadráticas o parábolas que surgen de graficar las ecuaciones de la forma y=f ( x )=a x2+bx+c.

Un ejemplo es y=x2, algunos de los puntos que satisfacen esta ecuación son

(0,0 ) , (1,1 ) ,( 32 , 94 ) , (−1,1 ) , (−2,4 ) y (2,4 ), estos y todos los demás satisfacen la

ecuación forman una curva suave llamada parábola. Ver figura.

Generalmente, la gráfica de y=f ( x )=a x2+bx+c es una parábola desplazada en forma horizontal y vertical de la parábola y=x2, en general tendremos:

La gráfica de y=f ( x )=a x2+bx+c, con a≠0 es una parábola que abre hacia arriba

si a>0 y hacia abajo si a<0. El eje de simetría es x=−b2a

y el vértice de la

parábola es el punto ( x , y )=(−b2a, f (−b2a ))

Ejemplos de varias parábolas.

¿Cómo graficar una parábola de la forma: ?

Consideremos y=−12x2−x+4 y observemos que:

Resolviendo la ecuación para encontrar los puntos de corte con el eje x así:

Y graficando tendremos que:

Ejemplo aplicativo:

Equilibrio del mercado. La función de demanda de cierta empresa de DVD está dada porp=d ( x )=−0.01x2−0.2 x+8 y la función de oferta correspondiente está dada por p=s ( x )=0.01x2+0.1 x+3

Donde p se expresa en dólares y x se mide en unidades de millar. Determinar la cantidad y el precio de equilibrio.

Solución:

La curva de oferta y demanda se intersecan en el punto (10,5).

Se debe primero resolver el sistema de ecuaciones:

p=d ( x )=−0.01x2−0.2 x+8

p=s ( x )=0.01x2+0.1 x+3

Al sustituir la primera ecuación en la segunda se obtiene

−0.01 x2−0.2 x+8=0.01 x2+0.1x+3

Que equivale a 0.02 x2+0.3x−5=0 usando la ecuación de la cuadrática tenemos

x=−0.3±√0.32−4 (0.02 )(−5)

2(0.02)

Así x=−25o x=10. Como x debe ser no negativo, se rechaza la raiz negativa x=-25, por lo tanto la cantidad de equilibrio es 10000 DVD (recuerde que x esta en unidades de millar), y el precio de equilibrio está dado por p=0.01(10)2+0.1 (10 )+3=$ 5 por DVD.