Numeros Reales Espinoza Ramos

140 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números

El sistema de los números reales que ahora conocemos, fue obtenido después de muchas

reflexiones por parte del hombre.

Desde el comienzo de nuestra civilización, ya se conocían los números enteros positivos,

o sea 1, 2,3, ... Los números enteros tan grandes como 100,000 se utilizaban en Egipto en

épocas tempranas, como es 300 A.C.

La aritmética que desarrollaron los antiguos Egipcios y Babilonios con los números

enteros positivos mediante los cuáles podían efectuarse las operaciones de adición y

multiplicación, aunque la división no se desarrollo por completo.

En estos dichos pueblos usaron ciertas fracciones, es decir que los números racionales

también aparecieron en una templana etapa de nuestra civilización (un numero racional es

cociente de dos enteros).

Los que tuvieron mas éxito en el desarollo de la aritmética y el álgebra fueron los

babilonios, ellos tenían una notación para los números, muy superior al de los Egipcios,

esta notación, análoga a nuestro sistema decimal, excepto por el hecho de que su base es

60 en lugar 10, una buena notación es el pre - requisito para el desarrollo de los

matemáticos.

Nuestro sistr

introducirlo

Sin ernbargr

más tarde fu

siglo XVI se

En contradi

satisfaccíón

los números

fundamenta(

sistema de a

axiomas pod

Esto es el r

proposición

axiomas se ¡

Llamaremos

adición (+) ,

denotado po

1' LEY DE

Además deb,

4 Cerradr

At Conmu

4 Asociat

Sistema de Números Reales t41

Nuestro sistema decimal de los números llamados anáiogos fue creado por los Hindúes e

introducido en Europa Occidental en el siglo XII mediante la traducción de textos Arabes.

Sin embargo, esta notación demoro demasiado en una aceptación generalizada, mucho

más tarde fue la aceptación de los números negativos, que se prolongo hasta finales del

siglo XVI se descartaba las raíces negativas de las ecuaciones.

En contradicción de la geometría que desarrollaron los Griegos solamente para su

satisfacción intelectual y en su modelo del sistema lógico, con el desarrollo del calculo,

los números irracionales tales como Jl , n, fi, tuvieron que sustentarse sobre una

fundamentación lógica, esto se logró en la ultima parte del siglo XIX,. Ahora tenemos un

sistema de axiomas, que describen completamente los números reales partiendo de estas

axiomas podemos deducir todas las propiedades de los números reales.

Esto es el método usado en la Geometría Euclideana, se acepta un cierto numero de

proposición a los que se llama axiomas o posfulados o hipótesis y basiíndose en esos

axiomas se prueban todas las Teoremas de la Geometría.

Llamaremos sistema de los números reales a un conjunto R, provisto de dos operaciones

adición (+) y multiplicación (.) (leyes de composición interna), y una relación de orden

denotado por "<" y el axioma del supremo, es decir:

1' LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:

Además debe cumplirse los axiomas siguientes:

,\ Cerradura: Va,be R = a+b€ R

a+b=b+a , Va,be R

(a+b) +c= a+ (b + c), V a,b,c e R

,4,

A,

Conmutatividad:

Asociatividad:

tt¡ir¡d!|l!i"

r42 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Á

ü Identidadaditiva; Vae:R; 3 Oe'R/a+0=0+a=a

A4 OpuestoAditivo: Vae R, I -ae R, yesúnico,talque: a+(-a)=(-a)+a=0

f'- *---"----*- -*-:r'13"3. AXTOVíA D.

2'LF,Y DE COMPOSICIÓN INTERNA:

Además debe cumplirse los axiomas siguientes:

i::.Ri,R++iR{atD,, ,4,$;

Si ayb pertei

sus¡ituir al eiem,

a) a.(b + c)

b) (a + b).c

TEORsM¡

Sía=bentonc

1" a=b. pot

20 a+c=a-

3" a*c=b-

3.6¡, TEOREEÍÁ

Sía=bentonc(

a=b por

a.c = a.c, l

a.c = b.c,

Mo Cerradura:

M, Conmutativa:

M, Asociativa:

V a,be R =+ a.be R

a.b=b.a, Va,be R

(a.b).c = a.(b.c), V a,b,c e R

M, IdentidadMultiplicativa: VaeR,l l+0, 1e R, talque: l.a=a

Mo InversoMultiplicativo: Y a+0, 1 a-t e R, tal que: q.a-t =a-t.a=I

3'RELACIÓNDE ORDEN:

01 V a,b e Runay solamenteunade lasrelaciones se cumple acb, a=b, b < a (ley de

tricotomía).

Oz Sí a0 entonces a.c<b.c

OBSERVACIÓN:

i) Alosnúmeros a y b losllamaremossumando,yalnúrmero a+b sumadegyb.

ii) En a.b; a los números e y b los llamaremos factores y al número a.b producto de a y

b.

iii) El opuesto es único, así nlismo el inverso es único.

1"

20

30

1q

2"

Sean a,b,c e R

a+c=b+

a+c+(-c)

Sistemq de Números Reales 143

Si ayb pertenecen a un conjuntoBsustituir al elemento a por el elemento

si a = b, entonces en toda reiación te puedesin que altere el significado de la relación.

v

b

a)

b)

10

20

30

a.(b + c) = a.b + a.c, V a, b, c e

(a+b).c =a.c + b.c, V a, b, c e

distributiva a izquierda

distributiva a derecha

R

R

Sía = b entonces a + c =b + c, para todo a, b, c e R

Demostración

a = b. por hipótesis.

a + c = a + c, propiedad reflexiva.

a+ c =b + c, 1o, 2 y axioma I.3

10

2"

J_

Sí a = b entonces a.c = b.c, para todo a, b, c e R

Demostración

a=b porhipótesis.

a.c = ?.c, propiedad reflexiva.

a.c = b.c, 1o,2" y axioma 1.3

Sean a,b,ce R; Sía+c=b+c entonces a=.b

Demostracién

a + c = b + c. porhipótesis.

a+c+(-c)=b+c+(-c), 1o y teorema 1.4

1q

20

144 Eduardo Espinoza Ramos Sistemn de Números t

3o a+ (c + (-c)) =b + (c + (-c)), 2" y 44 a+0=b+0, 3" axioma Ao

5o a=b, 4" axioma 4l

3.1I. EJERCIC]

Para cada núr

Seana,b,ce R; Sía.c=b.c y c*0, entoncesa =b

Demostración

1" a= a.l

2 a+a=a

3o a+a=a

40 a+ a= a.

50 a* a=2¿

Para cada núm

lo a.0 = a.0 .

2" a.0 = a.0 -

3" a.0 - (a.0

40 a.0 - (a.0

5o a.0 = a(0 r

6" a.0 = a.l +

7" a.0=a+(

8o a.0=0

Para cada númer

Basta demostra¡

1o a.c = b,c,

2o ct0,

3o r 1= R/(a.c).1 [email protected]).1ccc

4o a.@.!¡ = u.(r.!) .c

a.1 = b.l,

a=b.

DEFINICIÓN..

... porhipótesis.

... por hipótesis

) ...2",1" y axioma Mo

.".3o y axioma M,

axioma Ma

axioma M,

Para cualquier números reales a,b e R, definiremos a la sustracción

de números reales por:

DEFINICIÓN.- Para cualquier números reales a,b e R, donde b * 0, definiremos al

cociente de números reales por;

Sistema de Números Reales

Para cada número real a e R, demostrar qüe a + a = Za

10 a = a.l

2o a+a=a.1+a.l

3o a+a=a.(1+1)

4" a+a=a.2

5o a+ a=2a

Demostración

... Por M,

... 1o y axioma 1.4

...2 y axioma1.3.a

... 3" y por M,

... 4o y por M,

Para cada número real a e R, demostrar que a.0 = 0

Demostración

1" a.0 = a.0 + 0 ... Por A,

2 a.0=a.0i(a+(-a)) ... lo y por Ao

3" ¿.9 = (a.0 + a) + (-a) ... 2 y por A,

4o a.0 - (a.0 + a.1) + (-a) ... 3" y por M,

5" a.0 = a(0 + 1) + (-a) ... 4" y por axioma 1.3.a

6" a.0=a.1 +(-a) ... 5o y por A.

'7" a.0 = a + (-a) ... 6o y por M,

8o a.0=0 ...7" y por Ao

Para cada número real a e R, demostrar que: -¿ = (-1).a

Demostración

Basta demostrar que a + (-l)a = 0, porque (-1).a, y -a son inversos aditivos de a por

146 Eduardo Espinoza Ramos Sistemq de Númentl

Luego a+(-1)a= 1.a+(-1)a,

a+(-1)a=(1+(-l))a,

a+(-1)a=0.a,

a+(-1)a=0,

_¿ = (_l)a

Para cada número real a e R, demostrar que -(-a) = ¿

1" a+(-a)=0

2" (-a) + (-(-a)) = 0

3o (-a)+(-(-a))=a+(-a)

4o -(-a) = a

Para cada número real a,b e

1o (-a).(-b) = [(-i)a][(-1)b]

2" (-a).(-b) = (-1)[a((-1)b)]

3" (-a).(-b) = (-1)[(-1)a].b

4" (-a).(-b) = (-1)[(-a)].b

5o (-a).(-b) = [(-1)(-a)].b

6o (-a).(-b)=a.U

V a,b e R, demostrar que a.(-b) = -(a.b)

por axioma 1.3

por axioma 1.3.b.

por Ao

por ejercicio 2.

Demostración

... por Ao

... Por Ao

... l" ,20

... 3o y por teorema 1.6

R, demostrar que (-a).(-b) = ¿.f

Demostración

2o a.(-b) = ¡

3o a.(-b) = ¡

40 a.(-b) = (

5o a-(-b) = -

6" -(a-b) = ¡

7o -(ab) = 1¡

8" -(ab) = (-

9o a(b) = 1

V a,b e R, der

1o a.(b - c) =

2o a.(b - c) =

3" a.(b - c) =

4" a.(b - c) =

Paraae R,de

1o a-t =(a

a-t =1.(,

-r 1a'=-a

... por el ejercicio 3

... l" y Mz

... 2o y Mt, Mz

... 3" y ejercicio3

... 4" y Mz

...5" y ejercicio4

lo a.(-b) = a.((-1).b)

Demostración

... por ejercicio 3

20

30


2o a.(-b) = (a.(-1)).b

3o a.(-b) = ((-1)a).b

4" a.(-b) = (-lXa.b)

5o a.(-b) = -(a.b)

6o -(a-b) = (-tXa.b)

7" -(ab).= ((-1)a).b

8o -(ab) = (-a).b

9o a(-b) = -(ab) = (-a).b

1o y por M,

2" y por M,

3o y por M,

4o y ejercicio 3

Por el ejercicio 3

6" y por M,

7" y ejercicio 3.

5oy8o

V a,b e R, demostrar que a.(b - c) = a.b - a.c

lo a.(b - c) = a.(b + (-c))

2o a.(b - c) = a.b + a.(-c)

3" a.(b - c) = a.b + (-(a.c))

4o a.(b - c) = a.b - a.c

Para a e R, demostrar sí a * 0, entonces o-t =!a

Demostración

q-1 = 1a-t).7

a-t =|.(a-r)

-r 1a '=-a

Demostracién

... definición de sustracción

lo

2"

30

... 1'y axioma 1.3.a

... 2' ejercicio6

... 3" definición de sustracción

... por M,

... r" y Mt

... 2o definición de división

148 Eduardo Bspinoza Ramos Sistema de Números Á

V a,b e R, a.b * 0, demostrar qule (ab)-r - o-r.b-1

Demostración

(ab\. | =I' ' (ab)

(ab).(ab)-t =t

(ab).@-t b-t ) -- (a).(a)-l .(b).(b-t )

(ab).(a-t b-t¡ = 1a.1¡.1¡.1¡ab

(ab).(a-l b-l¡ = 1t¡1t¡ = t

(ab).(a-t b-1)=1

(ab).(ab)-t = lab¡(a-l .b t)

(a.b)-l - o-t b-l

Demostración

V a,b,c,d e R, b +0, d*0, demostrar que: g +c- =a'd-+!'cbd b.d

... por Mo

1' y definición de división

por M,

... 3", M z y definición de división.

4o y Mq

de 5o

de2o y 6"

7o y teoremal.T

... por definición de división

... 1' y por Mo

... 2" y definición por división.

4ac_I_

-bd

ac_¿_-/b'd-'

ac--L--tb'd*'

ac(--¡-_-_bd

50

60

lo

30

4"

50

60

7"

8"

Entre los núncorrespondencii

Si sobre una re

cada punto de u

real le correspor

de la recta se le

--------f-

-3

NOTACIÓN PI

lo

3"


4" i.: = @.d).(b-t .d-t¡ + 10.c1.1u-t .a-t¡

= (a.d).(b.d)-t + (b.c).(b.d)-l

'.' 3o, Mz

... 4o y ejercicio 9

... de 5' y axioma 1.3.b.

... 6' y definición de división

ac-+-bd

6"

70

AC-a+l - (a.d +b.c\"(bd\-lbd

a c a.d +b.c-T--bd bd

Entre los números reales y los puntos de una recta se puede establecer unacorrespondencia, es decir:

si sobre una recta se fija su origen "o", una unidad, y un sentido positivo, entonces, a

cada punto de una recta le corresponde un número real y recíprocamente, a cada número

real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto

de la recta se le llama abscisa del punto.

-3-2-101234

NOTACIÓN PARA LOS CONJUNTOS DE NÚMEROS..

150 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números tr

CONJUNTO DE LOS

a

racionales

NÚMEROS REALES

lN = 1t.2,....n...1Zi =1 enteroDositivo" lNo = 10.1.2,...,n,...1

Z- enterosnegativos

3.13.a DEF

i)

ii)

3.13.b DEFI

Llam¡

meno

3.T4. AXIOMA IV a,b,c e R., s

Ot Orden de

a=b v ¿

O" Orden trat

03 Orden de

04 Orden Mu

En base a estos

I3.I5. DEFINICIÓ

i) a<b er

iii) a<b c+

a<c

a+b<b+

Decimales periódicos =o.ob, =ob'999

Rabcde - ab

Decimales periódico mixto = O.abcde = g9900

Decimales exactos = o.abc - abc

1000

Q=l!t a,beZ. b*ol'b

I i propios: Jr, Jl ,

Inacionalesl trascendentes = {e, n,...}

La correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta pueden usarse para

dar una interpretación geoméffica de la relación de orden entre los nútmeros reales.

La relación a < b significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al

número "a", que se encuentra a la izquierda del punto B conespondiente al número "b".

El símbolo < se lee "Es menor que". También usaremos los símbolos siguientes:

A

lo

2

Sistema de Números Resles 151

!l

l

:

!

3.13.a DEFINICIéN.-

i) Un número real

ii) Un número real

3.13.b DEFINICIÓN..

"a" es positivo sí, a > 0.

"a" es negativo sí, a < 0.

Llamaremos desigualdad a una expresión que indica que un número es mayor o

menor que otro. Por ejemplo: 5 < 9"

le,,' ¡xlonrn Dr.rA,

V a"b,c e R., se tiene:

Or Orden de tricotomía: una y sólo una de las siguientes posibilidades se cumpie:

a=b v acb v a>b

Oz Ordentransitivo: sía0 + a.c<b.c

En base a estos axiomas daremos las siguientes definiciones:

3.i5: ,ffiFÍi,{reióñ;.

i) ab

a>b

€ a-b espositivo.

a>b v a=b

¡b<d (+ a+b<c+d

Demostración

por hipótesis

, l"y O3.

Eduordo Espinoza Ramos Sistema de Números )

b<d

b+c<c+d

a+b<c+d

1o a0

4" -a.c<-b.c

5o a.c > b.c

por hipótesis

3"y oz

2o,4o y Ot

2" y definición 1.14.i)

1", 3" y Oo y eiercicio 6

4o y teorema 1.16

3"

4"

5"

Para a e R,

a*0

a>0 v

3o sí a>0

4" o2 >0

5o sí a<0

6o (-aX-a):

7" oz >0

Para

i)

1" a>

aoLU

3o a.a

4" l<

a

6" Sí

Su derno

l"

2a

Para a,be R, sia-b

Demostración

1o a0 1'Ydefinición1.14i.

3o (b-a)+(-b)>0+(-b) 2"YOz

4o -a+(b+(-b))>-b 3o, AzY 4

5o ra+O>-b 4"y A+

6o -a>-b 5oyÁ:

Sí a, b, c e R, donde ab.c

Demostración

por hipótesis

por hipótesis

ae R,a

Sí a>0

ii)

1&

Sistema de Números Reales 153

Paraae R,a*0 + o2>O

1o a+0

2 a>0 va<0

3o sía>0 =+ a.a>0.a

4" oz'>O

5o sí a<0 = -a>0

6 (-aX-a) > 0.(-a)

7" o2 >o

Demostración

por hipótesis

loy o,

2"y o+

3" y ejercicio 2

2' y definición 1.15i

5"yoq

6',ejercicio2y5

Para a e R, a # 0 entonces .a-l tiene el mismo signo que "a" es decir:

i) Sí a>0 = o-t >0 ii) Sí a<0 =+ o-1 <O

i) 1o a>0

2o o-1 <0

3o o.o-t <0

40 1<0

5o o-1 >0,

6" Sía>0=+ a-'>0 10y5"

ii) Su demostración es en forma similar.

Demostración

por hipótesis

hipótesis auxiliar

I",2" y teorema 1.18

3"y Mq esabsurdo

por2 y 4"

t54 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números

trr::4 tl r:r'::-:::rtn[t]¡g¡lf llila:,,rtttrtt.I:lrurw de (a) y (F)

de donde a2

Sía,b>0 y

Como a y b tienen el mismo signo entonces se tiene dos casos:

i) a>0¡b>0 iD a<0nb<0 porhipótesis

i) 1o a0,

20'a>0nb>0 PorhiPótesis

3" o-r > 0 ,. b-r > O 2", teorema 1.20 de (u) y (B)

4" o.a-l <b.a'r 3" y rol' oo

Para a,be R,dondeaybtienenelmismosigno, sí acb = o-t >b-l

Demostración

5" (a.a-t)b-t <(b.a-t)b-t 3" y 4"; oo

6o 1a.a-1¡b-1 <(b.b-l)a-t 5o y Mz

7" lb-t <l.a-t 6y Mq

go b-| <a-r j"y Mz

9" sía<b= o-\>b-1 l"y8o

ii) Su demostración es en forma similar.

G Si a ) b > 0, Demostrar que: oz > b2, donde a,b e R.

Demostración

Porhipótesissetiene a>b>0 + a>0 ¡ b20

Comci a>b= a+b>2b>0 = a+b>0

a>b = a-b>0

... (cr)

...(p)

@ Si a,b,c,d > o

^acComo ->-bd

Además c > 0

Sumando c.d:

@ Si b>a>o

Como b>a>

b>a )

en (2) sumand

b.(a+c)>a.(l

Sistema de Números Reules 155

de (a) y (B) se tiene: (a + b)(a - b) > 0.(a - b)

dedonde o2-b2>0 =) az>bz Sía>b>0=+ az>bz

Sía,b>0 y o'>bz =a>bDemostración

Porhipótesissetiene az >bz 1 ot -bz >0 dedonde (a+bXa-b)>0 ... (ct)

comoa>0¡ b>0 + a+b>O,dedonde -ltO ...(p)a+b

de(o) y (B) setiene @+b)(q.-b) >0, dedonde a-b>0 entonces a>b.a+b

Si b>a>0 y c>0.Demoso*, ffiriDemostración

Comob>a>0 = a.b>0

b>a y c>0 =+ b.c>a.c

en (2) sumando a.b > 0 en ambos lados. a.b + b.c > a.b + a.c

b.(a+c)>a.(b+c) , dedonde: 1*'r!b+c b

Si a,b,c,d rO v !t! D.rnortar o+'>''b d b+d d

Demostración

Como {>9, dondeb,d>0 =+ a.d >b.cbd

Además c>0, d>0 entoncesc.d>0

Sumando c.d > 0, a ambos miembros en (l):

...(1)

... (2\

...(r)

a.d+c.d>b.c+c.d

156 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rt

d.(a+ c) > c.(b + d), de donde, #, ;

Para a,b,c númerosreales. Demostrar qae az +bz +c2 2ab+a.c+b.c

V a,be R, (a-b)z

Y a,ce R, (a-c)z

Yb,ce R, (b-c)z

Denqestración

a2 +b2 -2a.b>o+ oz +12 -2a.c>o

bz +c2 -2b.c>o

Z(az + bz + c2 ¡ - 21o.b + a.c + b.c) > 0

de donde a2 +b2 + c2 > ab+ a.c+b.c

V a,b e R+ , demostr ar que !i! > J ob'2

Solución

Como a,b e R+ + Já-l6 e n

sí J;-Jb e R + tJi-Jul' >0, de donde a+b-zJáJu>o

a+b r'=_> alab2

Demostrar que sí a < b, Entonce, o.oJ!. b

Demostración

Como acb =+ a+a<a+b + 2a<a+b

a01

>0[

=oJ

+ a+b>zJab

Va,ce R, (¿z-

Vb,de R, (á-

sumando (1) y (

V a,b,c,d E R+

a,be R* =+ ¿

(a" -b")z > o

c,deR+=r¿

qc" -d'¡? >o

Sumando (I) y (t

('[a"ü -¡c"n

o2'+b2'+c2, +

Si a+b+c=1,

Como a,b,c>0 =

Demostrarquesi, a2 +b2 =1, c2 +d2 =1 ,entonces: l Za.c+b.d,paraa,b,c,d€ R

Sistems de Números Reales t57

Va,ce R, (a-c)2 >0 =+

Vb,de R, (b-ü2 >0 =+

sumando (1) V (2) se tiene:

Demostración

o2 +c2 >2a.,

b2 +d2 >2b.d

...(1)

... (2\

az +bz +c2 +dz >2(a.c+b.d)

2> 2(a.c +b.d) ... I > a.c +b.d

V a,b,c,d e Rn y ne Z*, demostrar que: o2" +b2, +cLn +d2, > 4(abcd)r/2

Demostración

a,be R* + e',bn e R* ,pero a" -b" e R, entonces:

(a'-bn)2 >o = o2n +b}n )za'bn

c,d e R* = c',dn e R+, pero c' -dn e R, entonces:

(r"-dn)z >o + ,2n+d2n)2cnd"

Sumando (1) y (2) se tiene: o2' + bzn + c2" + d2" > 2(a" b" + c" d" )

(W -'[rU")2 >0 + a'bn +cndn >z,[¿uUU"

eZn +b2' + rzn + d2' > 4,,[7u'tu,

a7, +b2n +r2" +d2" > 4(abcd)"t2

Si a+b+c = 1, dondea,b,c >0, Demostrarque (1 -axl -bXl _c) > gabc

Demostrabién

como a,b,c>o =+ J;.JE.J;>o enronces:

...(1)

...(2)

...(3)

...(4)

158 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R

lJu-J; e R lu+,>zJa,lJ;-J; e R = lo+r>zJil_t_[Jo-Ja e n la+b>zJab

Factorizando d

De (1) y (2) se

De donde por t

Si a,b,c y d, sor

(b+c)(a+c)(a+b)28abc

{l-a=b+cPero sí a+b+c=l + )t-u=a+c

I

ll-c+a+b

Reemplazando (2) en (l) se tiene:

...(1)

... (2)

(1-aXl-bxl-c)>8abc

Si a,b,c,d € R* , Demostrar que: (ab + cd)(ac + bd) > 4abcd

Demostración

Como a,b,c,d e R* = ab ) 0, cd > 0, ac > 0, bd > 0

Dedonde Jrb-JA e R,y J*-Jbd e R, entonces:

ldou-"r¿>'>o fab+cd>2Jabcd<4\

ItJi-Juf >o lac+bd >2Jabcd

multiplicando se tiene: (ab + cdXac + bd) > 4abcd

Seana,b,c,d e R* tal g", ;.9,d"*oroarque: i.#.;

Dernostracié-n

Como ! .!. + a.d < b.c por que b,d e R* a.d < b.c, sumando a.b, a ambosbd

Como a,b,c,d e

[a2 -uz e n

lcz -a2 e n

de donde al efer

miembros ad + ab < bc + ab, factorizando

a(b + d) < b(a + c), de dondetEtrlI n b+41

En ad < bc sumando cd, a ambos miembros ad + cd < bc + cd,

...(1)

Sumando (1) y r

aa +ba +c4 +t

Como ab, cd e

ozbz +rzd2 >

de (3) y (4) por I

Si a>0,ae R,

Como a>0 =

Facrorizando d(a + c) < c(b + d). de donde, kl93lb+d dl

De(1)y(2)setiene: ;.# " #.;

De donde por transitividad se tiene: o . o *' .'b b+d d

Si a,b,c y d, son números reales cualesquiera. Demostrat que:

Demostración

Como a,b,c,de R = o2,bz,c2,dz e R, además:

[a2 -uz e n (o2 -br), , o<3lc2 -a2 e R kz -d')'>o

de donde al efectuar se tiene: aa +ba > Zazbz

aa +ba +ca +d4 > 4abcd.

...(3)

de donde

... (4)

ca +da >zczd2

Sumando (I) y (2) miembro a miembro se tiene:

aa +ba +ca +d4,>21azbz +c2d?¡

Como ab, cd e R + ab - cd e R, entonces: (ab_cd)z 20

ozbz +rzdz >2abcd + 2qazbz +czdz¡> 4abcd

de (3) y (4) por transitividad se tiene: aa +ba +ca +da 24abcd

Si a>0,ae R.demostrarque: d *!rZa

Demostración

Como' a > 0 =+ Ji rO, de donde J; -+ e R por lo ranto:Ja

160 Eduardo Espinoza Rumos Sistema de Númercs R

Irlad;- )2 > 0 , desarrollando se tiene: o-z+!> 0 de donde

ao*Lrz

a

Ia+b+l a+l

multipiicando

aaa+b+1 b+

Sumado estas <

Sia,be R,b*

Completando c

Como a,b e R

3b2Sumando _

4

Ahora de (1) y

o' + ob+b' ,:

Si a>0y b<l

Comoa>0, b.

a+b.a<a, de<

Como a>0 =

Obteniéndose j

Si a,b,c, e R* , demostrar que: +-T.+> a+b+ c

Pe¡qaslraelal

Por hipótesis se tiene que a,b,c > 0, entonces

! 2 g , L, o , !> 0 entonces aplicando el ejercicio 14).bcc

Se tiene: 9*L>2. !+9>z, !+!>z ... (t)bacbca

Ahora a (1) multiplicamos por c,a,b respecdvamente.

ac bc

-+->'¿cba4*!9>zo = z!!+z!!+2"b ¿2c+2a+2bcbbac9*!9rzuca

2(b' *o' *ob )22(a+b+csabc

Si a > 0, b > 0, demostrar que:a+b a b

<

-+-a+b+l b+l a-tl

bc ac ab+-+- > a+b+cabc

Demostración

Como a>0,b>0, entonces a+l >1, b+1>1 luegosetiene;

la+l>l (a+b+l> b+1J+)fa+t>t - la+b+l>a+l

ahora invirtiendo cada una de las desigualdades: -1- = +a+b+1 b+7

multiplicando a las desigualdades por a y b respectivamente.

aabb/_ /_a+b+l b+l' q+b+l a+l

Sumado estas dos desigualdades se tiene: o!-u , a-"-¡-!-

a+b+1 b+l a+l

Si a,b e R, b * 0, demostrar Our' .-f " = 4' e'+ab+b¿ - 3b2

Demostracién

Completando cuadrado en o2 + ab + bz se tiene: o2 + ob + b2 = u +*f *1L ... 1r¡

Como a,b e R + o *! .R. de donde @+!s2 >o

2 4 "

22

^,2Sumando " ," ti"rr",

4

Ahora de (1) V (2) se tiene.

. , ,r 3b' I 4a' + ab + b' > -" como b * 0 inverti¡¡¡os ------

--- (- 4 a2 +ab+b2 - 3b2

Como a>0 + #rO, ahoramultiplicamosa(1)por

obteniéndose "(u!') . "" simplificandoa' a'

b " 3b2 3b2(a+-1'* o a o

...(2)

Si a>oy b<o,Demostrarqo", !11.1aa

Demostración

Comoa> 0, b <0 * ab <0, sumando "a" aambosmiembros se tiene:

a + b.a < a, de donde a(b + 1) < a ... (1)

I2a

b+l 1. _¿_aa

t62 Eduordo Espinoza Ramos Sistema de Números R,

Si a>0,b>0 talque a*b=1, demostrarque:

Demostración

Corno a>0,b>0 + a-be R.dedonde:

(a-b)z > 0 ==l az -2ob+bz > 0 sumando 4ab.

a2 +2ab+bz > 4ab dedonde: (a+b)z >4ab

pero conio á * b = 1, se tiene I > 4ab, por 1o tanto oU <!

Si a>o,b>0,3a+5t i¡t,. demosrrar que: #.*r,

Demostracién

Como 3a * 5b + 3a - 5b +0 y 3a- 5b e R entonces

Desarrollando se tiene: gaz -30ab +25b2 > O

Sumando 30ab, a ambos miembros: 9a2 + 25bz > 3oab

9a2 +25b2 3oab

l5ab l5ab

Iab 1-

4

(3a-5b)z >0

Imultiolicando nor

l5ab

Siaybdosnú

Vae R, a*0

Si a,b,c e R* ,

Si a,b e R, der

Si a,b,c e R, dr

Si 0<a<l,de

Si a,b,c so

d d+e+fa a+b+c

Demostrar que

{a+b+c)(az +

Si a,b,c son

(a+b+c)(a-t +

Siaybo2 rcb2- . +- ^_+24)b' a'

Si az +b2 =l.

Sug. (r-y)2 2

Si a+b=c, a)

Si a+b>c>0,

@

@

o@

@

@

3a 5b_+_> ¿5b 3a

3.23. E.TERCICIOSI,PROPTffiS?OS.-

Si a y b son números reales positivos, demostrar que:

Si a,b,c son números reales positivos, demostrar que:

Si a,b,c,d son números reales1111(-+-+-+-)(a + b + c + d) > 16abcd

11*1lto +b\> 4ab

tlol*111o+b+c\>gabc

positivos, demostrar que;@

@

@

@

@

@

@

@

@

Si a y b dos números reales positivos tal que a > b, demostrar que:

V a e R. a # 0. demostrar que: o' *)>Oo-

Si a,b,c e R* , demostrar que: (b + cXa + c)(a + b) > gabc

Si a,b e R, demostrar que: a3 b + ab3 s aa + ba

Si a,b,c e. R, demostrar que: a2 +b2 +cz +3>2(a+b+c)

a3b b2-+-- ) "

+3oaa'

Si 0<a< 1, demostrarque az <a

Si a,b,c son números reales positivos y

d d+e+f f-< ' <:_a a*b+c c

Demostrar que si a,b,c son números positivos(a+ b + c)(a2 + b2 + cz ¡ > gabc

Demostrar

y no iguales entre si,

def-<-<:_abc

Si a,b,c son números positivos y no iguales entre(a+b+c)(a-l +á*1+c-r¡ > 9

Si a y b son números reales diferentes de cero.

4*E{.24>8o *32bb"atba

Si az +b2 = I . Demostrar que: -J, < a+b <J,

Sug. (*- y)2 > 0 + 2(x2 + y2)> (*+ y)z

Si a+b=c, a>0,b>0,demostrar que: o2/3+b2/3 >c2/3

Si a+b>c>0, demostrarque: :-.+>j-- l+a l+b l+c

Demostrar que:

Demostrar

@

@

r64 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números

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@

Si a,b,c > 0, demostrar que: 3abc < a3 +b3 + c3

Si c > 0, d > 0, 2d t 3c, demostrar que: *rt-*

Si a > 0, b > 0, a * b, demostrar qu", $*S r,tlb "la

Si a,b,ce R, demostrarque: b2cz +cza2 +azb2 > abc(a+b+c)

Sea a + b = 2, donde a y b son númerosreales, demostrar qu", o4 +ba > 2

Si a2 +b2 +c2 =1 y x2 +y2 +22 =1 , demostrarque: ax+by +cz< 1

Si a > 0, b >0, demostrar que: +. +- 1* +b'a'aD

Si 0<a<1, demostrarque: a2<a

Si a,b > 0, demostrar que: J* ,?4

a3 +b3 , .a*b.3Si a>0,b>0,demostrarque: 2

>\, )"

Si a > 0, a+ l demostrar que, o3 *lt o' *4o

Sia>0 y b>0,demostrarque: 4(a3 +b3)>@+b¡3

Si a y b son números reales, demostrar que:

Si a,b,c € R*, demostrar que: (a+á+c)3

Si a,b,c y d son números reales cualesquiera.

(a+c)2 +(b+d)z S

> 27 abc

Demostrar (ab+cd)z <(az +cz)(b2 +d2)

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@

Si

Si

Si a,b e R, d,

Si a >0 y

Si a>0, b>

a,b,c,d e

a,be R t

Si a,be R

Si a,b,c,d e

Si a¡,a2,...,

demostrar qu

Demosffar qu

Si -a>0 y

Si a,be R,

Sia>0, b>

Si x1 ,.r2,...,

B<cr.

Si a,b,c,m,n,1

"2 +b2

@

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@

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@

@

@

@

@

Si a.b e R, demosrar que: aa + ba >!@ + b)^

Si a >0 y b>0, demostrarquc: g+!¡2 +ú+!f >-!r(a+b\2.+4rzb 2' a+b

Si a>0, b>0 talque a+b=1, demostrarque: (d*1)t*@+!¡za2ab2

Si a,b,c,d e R, demostrar que: ac + bd <

Si a,be R talque a+b=l,demostrar que: o4+bo>\8

Si a,b e R tal que a + b = 3, demostrar que: oo *bo >+8

Si a,b,c,d € Rn, demostrar que: !6+b+c+d)r- *lobrd

Si a1,a2,...,en , 4,b2,...,b- e R tal que: "¡2

+ "l +...+ of,

demostrar que: arb, + arb, *...* arbn 1l

Demostrar que si -1 < a < 0 entonces o3 > o

Si -a > 0 y (a-b)z > (a+b)z, entonces b >0

Si a, b e R, tal que 2a +4b = l, Demostrar que: az +b2

Sia>0, b>0 + a3 +b3 >o2b+obz

Si xr, x2,...,xn€ R y six, + -r^ + x- +...+ xn

y a= t L J

n

B<cr.

Si a,b,c,m,n,p € R/m>0,n>0,p>0:

+ul + =1,

1

20

abcmnp

a b+a+c c

nI m+n+ p p

+bz)(cz +d2)

166 Eduurdo Espinoza Ramos Sistemq de Números Rt

@

@

@

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@

@

@@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

Probarquesi ar <a2<...1e, entonces oraWaonn

Demostrar que si 0< a labcd i para a'b,c,de R

Si a,b,c > 0, demostrar que: 2(a3 + b3 +c3 ) > bc(b + c)+ ac(c + a) + ab(a + b)

Demostrar que: azbz +bzc2 +o2cz > abc(a+b+c) V a,b,c e R

Vxe R ynpar,demostrarque: i-=i

Demostrarquesi r>0ya<b entonces u o.ff.u

Si a y b son números positivos y distintos, demostrar W", fr*S':.I

Consideremos x, y, z, w números reales, dernostrar que:

2*' + yt + z' + *' a i,@ + xz+ xw + yz+ Yw+ zw)

o2 b2Si a y b son números desiguales positivos demostrar que: a+b (az +bz)z

Si x,y son números distintos, demostrar que: 1xa + ya 11x2 + y2 ) > (*t + yt )'

Si x,y,z son números positivos distintos, demostrar que:

xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) > 6xYz'

Demosffar que

Sean a,b,c,x,y,

qaz +b2 + c2¡

Demostrar que

Sí0<d<c =

Si x>0,y>(

a) xyz=l :

b) xyz=l r

Demostrar que

Demostrar parr

Si xeye R, ,

Si x,, x2,...,x,

Si a,b e R, der

Si a>0, prob

Si a,b,c e R+ ,

Si a>0, b >l

I

ti

l

t

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

Demostrarque: a<b<l = !:2<!:2a-l b-l

Sean a,b,c,x,y,z números positivos distintos, demostrar que:

(az +b2 +c2¡1"2 +y2 +72¡>1ax+by+cz)z

Demostrarque: ocdcc + + +>d2(c-d)

sío <d<.c :+ a31c-a¡.+-+ <121r-d¡

Si x > 0, y > 0, z > 0, demostrar que:

a) x!z=1 :+ x+y+z>3

b) xyz=l ^x+y*z=3 <+ x=y=z=I

Demostrarque: x>0, y>0, z>O + 1+/+1>Zyzx

Demostrar para todo a y b real { "u = !1["+ *<12

(sug: 1/ z =1 yejercicio 64)yzx

:.

Si

Si

Si

xey€ R, demuestreque: lxl+lyl> l^+yl

x1,x2,...,xn e R* tal que \.x2...x, =l.EntonceS \+x2*...*xnll

a,b e R, demostrar que: (a+b)a <8(aa +ba)

Si a > 0, probar que:

Si a,b,c e R* ,y si a2

xz +l+ a:>a*lIz.\l x +a

+ bz + cz = 8 , demos[ar que: a3 + b3 + c3 >16

Sia>0,b>0,demos I I 'Lrar que: <i*:-)(ot +bz)> 4

168 Edusrdo Espinoza Ramos Sistema de Números R,

@

@

@

@

@

@

Demostrar que sí a,b,c nos números reales positivos entonces a + b + c >W

J

SíVa,be R ralque a>0 ¡b>0 y a<x2 \azbz

a + b + c = 0, Demostrar que: t1*l*1i' =4*1*4abca'b'c'

118-+-oz b2 - (a+b)z

c)

d)l

e)l

I

Si

Si a,be R+, Demostrar que

ü#u,t'''t"t'

3.24.1 DEFINICION.- Una inecuación es una desiguaidad en las que hay una o más

cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica

para determinados valores de la incógnita o incógnitas.

Ejemplo.- La desigualdad: 2x + I > x + 5, es una inecuación por que tiene una

incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4'

3.24.2 INTERVALOS.- Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que

sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos

intervalos sé representan gráficamente en la recta numérica real.

Consideremos los siguientes tipos de intervalos:

a) Intervalo cerrado.- a < b

la,bl={xeR/alx<b}

b) Intervalo abierto.- a < b

<a,b¡= {xe R/a<x<b}

ab

Nota.- @

Ejemplo.-

x e [2,4] =

Sí 7 < 2x+3:

Por lo tanto, si

c) Intervalo cerrado en a y abierto en b.-

[a,b>= ixe R/a<x<b]

Intervalo abierto en a y cerrado en b.-

<a,bl ={xe R/acx<b}

Intervalo infinitos.-

[a,+->- {xe R/x>a}

(Í¡*m>- {xe R/x>a}

<--,bl-{xe R/xlb}

1--,b)- {xe R/xcb}

<-€,+€>={x/xeR}

@abd)

e)

Nota.-@ @Ejemplo.- Demostrar que: sí x eI2,4l entonces 2x + 3 e [7,IIl

Solución

x e 12,41 + 23x<4, multiplicandopor2

4<2x < 8, sumando 3

'l<2x+3<11

Sí7<2x+3<lI * 2x+3e [7,11]

Porlotanto, síxel2,4l + 2x+3e [7,11]

170Eduardo Espinoza Rsmos Sistema de |r{úmeros R

Ejempto.- Demostrarque: Sí 2x-6e <-4,4> + xe <1'5>

Solución

2x-6e <-4,4> - -4<2x-6<4' sumando6

2 <2x < 10 dividiendo entre 2

1<x<5, entonces xe <1,5>

Porlotanto, sí 2x-6e <-4,4> + xe <1,5>

Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la

verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado'

Luego la solur

Ejemplos.-

3x-4<x+6

Las inecuacior

en la forma:

En un sólo mi

3x-x<6+4

3(x-4)+4x.

Poniendo en u

3x-12 +4x

esta desigualc

conjunto de ta

5x-4(x+5).

En forma anál

en el otro mier

Como la desil

verifique que

2 < 5 -3x311

Aplicando la tr

El resolver una inecuación consiste en

intervalo donde están los valores que

inecuación.

hallar un conjunto solución; es decir,

puede tomar la incógnita Para que

encontrar el

verifique la

para resolver estas inecuaciones se debe considefaf a> 0, es decir, sí a > 0' entonces:

bx>-- Oa

Su representación gráfica ", -/tbxa

bx<--a

\\

x _ba

3.27. INEeUn-CION DE PRI1\,TEN:' ENÁDO EÑ'UNATNCéEÑITA.'

Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, son de la forma:

Luego la solución es dado en Ia forma:

Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.

3x-4<x+6Solución

Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, se resuelve, expresando la inecuación

en la forma:

En un sólo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir:

3x-x<6+4, simplificandosetiene: x<5, esdecir: x€ <--,5>

@ Lasoluciónes: xe (--,5)5

3(x-a) +4x<7x+2Solución

Poniendo en un sólo miembro la incógnita y en el otro miembro los números:

3x-12 +4x<7x+2 = 3x+4x-7x<2+12 simplificando O<I4

esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solución de la inecuación dada , es el

conjunto de todos los números reales (x e R).

5x-4(x +5)<x-24Solucién

En forma análoga a los ejemplos anteriores en un sólo miembro ponemos las incógnitas y

enel otromiembrolosnúmeros: 5x-4x -x < -24+ 20 simplificando 0< - 4

Como la desigualdad obtenida no es corecta, entonces no hay ningún valor de x, que

verifique que ia inecuación dada. Por lo tanto la solución es el vacío (Q).

2<5-3x<11Solución

Aplicandolapropiedaddetransitividad: a<b<c {+ aa

Eduqrdo Espinoza Ramos Sistemu de Números Ret72

2<5- 3x< 1l

x€

2<5-3x ¡ 5-3x<11

3x<5-2 ¡ 5- 11 <3x

x(l¡-2<x <------é-. ,: -l p

iii) Cuan

(x-;

del cr

2o Caso.-

3" Caso.-

NOTA.-

b) RESOLUI

Para reso

2,ax +Dx+

primero se

raíces se pl

1o Caso.-

La solución es: <-2,11

donde a,b,c e R, siendo a * 0, la solución de estas inecuaciones, se obtiene mediante las

propiedades de los números reales o también por medio de la naturaleza de las raíces del

trinomio axL +bx+c=0.

A) CARÁCTER DE LAS RAICES DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO'

Consideremos el ffinomio de segundo grado

,,¿ I,a 6¡1¿= O, con,a,j ... (1)

alartalizarel valor numérico de la ecuación (1) dando valores reales a x se presentan

tres casos:

1o caso.- Si a= b2 -4ac>0, entonceshay dosvaloresreales diferentes \<r2que anulan al üinomio axz +bx+c =0 '

Es decir: a(x_r,)(x_r)= 0, si se hace variar x a lo largo de larecta real resulta:

i) cuando x toma valores menofes que t,los factores (x-1) y (x-r2) son

negativos, luego el trinomio axz +bx+c, tiene el mismo signo del coeficiente

de "a".

ii) cuando x toma valores intermedio entre t y 12 ; entonces el factor (x - 1) es

positivo y el factor (x - r) es negativo, luego el trinomio axz + bx + c ' tiene

signo opuesto del coeficiente de "a"'

i) Silailos va

ii) Si la i

lo val

Las inecuaciones de segundo grado en una incógnita son de la forma:

iii) cuando x toma valores mayores qtre rz, entonces los factores (x-r),(x-12) son positivos, luego el trinomio axz +bx+c, tiene el mismo signo

del coeficiente de "a".

2o caso.- Si a = b2 -4ac = 0 , entonces hay un sóro valor real rr = rz =r, que

anulan el trinomio axz +bx+c, luego como (x-r)2 es positivo, el

signo del trinomio axz +bx+c es el mismo del coeficiente de..a".

3ocaso.- si L=bz-4ac<0, entonces se tiene dos valores no reales

\=a+Fi y rz=a-Fi queanulan elfrinomio axz+bx+c,ypara

cualquier valor de x, el trinomio: axz + bx+ c tiene el mismo signo del

coeficiente de"a".

NOTA.-

b) RESOLUCIÓN ON UNA INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO..

Para resolver una inecuación cuadrática de las formas axz +bx+c>O 6

axz +bx+c<0, donde a,b,c e R, a * 0, por medio de la naturalezade las raíces

primero se resuelve la ecuación ax2 +bx+ c = 0 , y de acuerdo alanaturaleza de las

raíces se presenta tres casos:

loCaso.- Si la ecuación axz +bx+c=O, tiene dos raíces reales diferentesrl 1 12.

--' --\ r- -\ r----rl lz

i) Si la inecuación es de laforma axz +bx+c >0, con a > 0, ra soluciónes todos

los valores de x que pertenecen al intervalo ( -€, rl > U < r2,** ) .

ii) Si la inecuaciónes de laforma axz +bx+c<0 con a > 0, lasoluciónes todos

lo valores de x que pertenece al intervalo 1 r11r2 ) .

t'74 Eduardo Espinoza Ramas Sistema de Números A

2o Caso.- Silaecuación axz +bx+c=0, tiene unaraízreal única 11 = rz=r '

*---T--Y-- f-- ,r

i) Si la inecuación es de la forma: axz ¡-bx+c > 0 ' con a > 0'

La solución es todos los valores de x t r, es decir: * 6 4-e,r) U <r,+->

ii) Si la inecuaciónes de laforma: aí + bx+c<0, con a > 0'

. No se verifica para ningún valor real de x; la solución es el Q

3o Caso.- Si la ecuación ax2 +bx+c = 0 , tiene dos raíces no reales.

i) Sila inecuaciónes de laforma: axz +bx+c >0, con a> 0'

La solución es todos los valores reales de x'

ii) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx+ c < 0 , con a > 0'

No se verifica para ningún valor real de x; la solución es el Q

RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO.

Forma de la InecuaciónRaíces de la Ecuación

ax2 +bx+c=0Conjunto Solución

axz +bx+c>0, a>0Raíces diferentes

rt1f2(-€,/l )U <rr,+*>

Raíz Real Unica r R {rJ

Raíces no reales R

ax2 +bx+c<0. a>0

Raíces diferentes

rt1r21\,r2 )

Raíz Real Unica 0

Raíces no reales a

Ejemplos.-

2xz -x-10>

Resolveremos

2xz -x-10>

(x+2)(2x-5',

(}--

<---€)--2

La solución es

Otra forma dt

2xz - x-10 =

de acuerdo al c

.x e < -*,-2>

xz +8x_ 65 <

Usando propie<

completando cr

Sistemq de Números Reales

Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.

2x2 -x-10>0Solucién

Resolveremos Ia inecuación usando propiedades de los números reales:

:ái.b';t'& :. :Wl>OX't,.b.>t,$*{a,<,$¡d.6¿

2xz -x-10>0 = (x+2)(2x-5) >0

(x+2)(2x-5)>0 <+ (x+2>0 ¡2x

<+ (x > -2 nx> 512)

o-- ----G- --- ---->

^A!

-2

La solución es: x €

-5>0)v(x+2<0¡2x-5<0)

v (x<-2¡x<5/2)

<--------o

V52

5<--*,-/>U<-,+->2

Otra forma de resolver esta inecuación, es por la naturaleza de sus raíces de la ecuación

2xz -x-I0=0, de donde r, - _2, r2=1, lu"go rt1r2 y como 2x2 -¡-10>0,2

de acuerdo al cuadro la solución es:

5.X€ <-a,-)>U<1-,+*>

2

x2 +8¡-65 < 0

ffi

52

52

-2

-2

Solución

Usando propiedades de los números reales.

completando cuadrados en *2 +8x-65 < 0, se tiene:

t76 Eduardo Espinoza Ramos Sistemu de Números l

¡2 +8¡+16 < 65+16 = (x+4)z < 81 , aplicando la propiedad

1-r+4¡2 < 81 (+ -..ñT. r+4 < J81

(+ -9<x+4<9 € -13<x<5

La solución es x e <-i3,5>

Ahora resolveremos la inecuación por medio de la naturaleza de las raíces de

x2 +8x-65 =0,esdecir: (x+ 13Xx-5)=0 dedonde \=-I3, rz=5

Ahora resolvr

de donde r

acuerdo al cu

donde ao,ar,

a) RESOL

Una ine<

a Ia natl

sencilla'

Para

P(x) = 6

n raíces,

1" CAS(

-\/tvfn-

de acuerdo al cuadro es: x € <-13,5>

¡2 +20x+100>0Solucién

#-13 5

Mediante propiedad de los números reales se tiene:

xz +20x+100>O + (x+10)2 >0 entonces:

Vxe R; x+-10, (x+10)2 >0,porlotantolasoluciónes; x€ R-{-10}

Ahora veremos de acuerdo a la naturaleza de las raíces: x2 +20x+100=0= r = -10,

multiplicidad 2, y como xz +20x+I00 > 0 , de acuerdo al cuadro de solución es:

xeR-{-10}

,t*3**9 .o5 100

Solución

Aplicando la propiedad de los números reales: V x e R, ,2 >-O

lueso *'*3"* 9.0 + ("+3)2<0 p"ro ("+a)2>0,entoncesnoexiste----o- 5 too 10' 10'

ningún valor real para x que verifique a la inecuación, es decir: Q.

a) En

P(x

al ir

a)

Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces de la ecuación "' + 3

" + 9

= 0 .5 100

de donde ,=-1 de multiplicidad rlos, pero se tiene que *'*2rn*<0 y de10 i r00

acuerdo al cuadro la solución es: 0.

Una inecuación polinómica en una incógnita, es de la forma siguiente:

donde ao, a1,..,,an son constantesy an +0, ne Z*

RESOLUCIÓN NN UNA INECUACIÓN POLINÓMICAS..

Una inecuación polinómicas de la forma P(x) > 0 o P(x) < 0, se resuelve de acuerdo

a la naturaleza de sus raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0, en una forma

sencilla y rápida, considerando an )0 .

Para esto hallaremos primero las raíces del polinomio

P(x) = anxn +...+ arx+ a0 = 0, y como éste polinomio es de grado n entonces tiene

n raíces, los cuáles pueden ser reales diferentes, reales de multiplicidad y no reales.

1" CASO.- Cuando las raíces de la ecuación polinómica p(x) = 0, son reales

diferentes. Es decir: \ 1 rz 1 ...1 rn_r 1 tn

a) En los intervalos consecutivos determinados por las raíces del polinomio

P(x) = 0, se alternan los signos (+" y *-4 empezando por asignar el signo (+)

al intervalo 1 r,,* ) .

fn-3 ln-2 fn-t fn

178 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Re

b)

c)

Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x)= enx'+...+a1x+a0>0,

a n ) O; al conjunto solución será la unión de los intervalos a los cuales se le

ha asignado el signo "+".

Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x)=anx'+...+tf,rx*ao<0,

e n ) 0; el conjunto solución, será la unión de los intervalos a los cuales se le

ha asignado el signo "-".

2x3 -3xz -ll

Hallaremos las

a

6

Como la inecu

donde aparecer

2" CASO

2-3-4 1

NOTA.- Explicar el método de Ruffini

Ejemplo: Resolverlasinecuacionessiguientes:

xs +3xa -5x3 -15x2 +4x+12>o

Solución

Expresamos el 1o miembro de la inecuación en forma factorizada

(x + 3Xx + 2Xx - 1Xx + 1Xx -2) = O

-15 4 t2-1 -16 -t2

r3-5l44-l2126 11

-1 -5

56-2 -6

J

22 12

6

-6

Luego las raíces son:

\=-3, t2=-2, 13=-1,

ro=1, rr-)

Ejemplo.-

Cuar

es pi

inter

Cuar

P(x)

los ir

R

(x -l)z (x + 2)(

Resolviendo la

h =I, de mult

a)

b)

- I -\,,- -; -\- -- -tu. ; -\. -_- -\/- -; --3 -2 -1 12

Como P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+).

Esdecir: x e <-3,-2> U <-l,l> U <2,+->

-1

I

0

Sistema de Números Reqles 179

2x3 *3x2 -ll¡+6<0Solución

Hallaremos las raíces de la ecuación 2x3 -3xz *llx+6 =0

Luego las raíces del polinomio son:

^lh = -2, ft =1, tr =32"----i /_---\ /----\ r---'-V'frl-rr*

-2 1/2 3

Como la inecuación es de la forma P(x) < 0,

donde aparecen el signo (-). Es decir: x €

la solución es la unión

q-a,-/>u <!,2>de los intervalos

2'CASO.- Si algunas de las raíces del polinomio p(x) = 0 son reales de

multiplicidad de orden mayor que 1 se tiene:

a) cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio p(x) = Q

es par, en este caso a la raíz no se considera para la determinación de losintervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del 1o caso.

b) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomioP(x) = 0, es impar, en este caso a la níz se considera para la determinación delos intervalos y para dar la solución se sigue er mismo proceso del 1o casó.

Ejernplo.- Resolver las inecuaciones siguientes.

(x-l)2 (x+2X¡+4) > 0

Solución

Resolviendo la ecuación (x-I)z(x+2)(x+4)=0, de donde

4 =1, de multiplicidad 2.

\=-4, rz=-2, y

180 Eduardo Espinoza Rumos Sistema de Números R

-+ -iur----r'r-;-- ,-4-21

Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos

donde aparecen el signo (+), es decir: x € <--,-4> U <-2,+-> - {l }

(2x + l)(3x - 2)3 (z¡- s) < o

Resolviendo la ecuación

'rmultiolicidad 3- n=L,)

Solucién

(2x+l)(3x-2)3 (Zx-S) = 0, de donde

--_--\,r;-\' r-_--\' r-;- >

l2li=--, fo=- d?'2'3

-112

Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la

donde aparecen el signo (-). Es decir:

solución es la unión de los intervalos

I .. 25x€ <-@!-->u <-.->2 32

5/2213

11+ x+ x2¡(2-

La inecuación

ahora resolviel

-t +.,6tt2

Como la inecu

donde aparecen

Una i¡ecuación

donde P(x) y Q(

Para resolver un

P(¡) P(

QQ) Q(

P(x).Q(x) > 0 ó

sr p(")r0

=QQ)

si P(") .0 =QG)

Ejemplo.- Re

(x2 -lXx+3X¡(.r-5)(x+7)

3'CASO.- Cuando alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales, en

este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los

intervalos y para dar la solución se sigue el mismo procedimiento de los

casos anteriores.

Ejemplo.- Resolverlas siguientes inecuaciones.

(xz -7)(xz +r6)(xz -16)(x2 + 1) < o

Solución

Resolviendo la ecuación: 1xz -l¡1x2 +16)(xz -16)(x2 +1) = g, de donde

rt=-4, rz=-J1 , ,z=J1 , 14=4, rr=-4i, ru=4í, h =i, rs=-í

-;-\vr -_- -\vr; -\vr -_- -\vr; - >-4 -{7 n7 4

Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es de la unión de los intervalos

donde aparecen el signo (-), es decir: xe <*4,-$>u<J1,+>

(1+x+ *2¡12-x-*z¡>0Solución

La inecuación la expresaremos así: (xz + x+I)(x2 + x-2) S0

ahora resolviendo la ecuación (x2 +x+l)(x2 +x-2)=0 de donde: rt=-2, 12 =I ,

-;-\\ r --* -\\ /- -; - >-2 1

P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos

x e [-2,1]

-t+,l-z¡ -t- J1¡,t=--2 , t'4=--

Como la inecuación es de la forma

donde aparecen el signo (-), es decir:

sí P(t)to +QQ)

si P(t) .0 ::'QG)

Una inecuación fraccionaria en una incógnita es de la forma:

donde P(x) y Q(x) son monomios o polinomios diferente de cero.

Para resolver una inecuación fraccionaria debe tenerse en cuenta que las inecuaciones:

l\.n. rg o i('¿ < 0, son equivatenres a las inecuacionesQQ) Q@)

P(x).Q(x)>0 ó P(x).Q(x)<0 esdecir: sí e(x) *0= ez(x)>0, dedondeseriene:

Ejemplo.- Resolverlasinecuaciones siguientes:

(x2 -lX¡+3)(x-2)(x-5Xx+ 7)

r82 Eduurdo Espinoza Ramos Sistema de Números Re

(xz -t)(x+3)(x-2)

Solucién

> 0, es equivalente a la siguiente inecuación.

la solución es

x x-l_+_<_x-l x )

La inecuación ci

x2(-r+1)+(x-(.

2x2 * x+l .(x-l)"r(x+ 1)

(2xz - x+l)(x-

ahora encontran

rl=-1 , rZ=A

Como la inecua

donde aparecen

1331. TNECUACT(

Las inecuaciont

La inecuación(¡ - 5)(¡+ 7)

1x2 -t¡1x+3)(x-2)(x-5)(¡+7) > 0, para x + -7,5

ahorahallaremos las raíces de la ecuación (.x2 -lX;+3)(x-2)(.x-5X-r+7) = 0.

Dedonde \=-7, rz=-3, h=-I , r¿,=1, rs=2, 16=5,quesonrealesdiferentes.

---\ r-- -\ /----\ r---\ r-- -\ r---\ a*'V'-'v*.V-v*V-v*-7 -3 -1 1

Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos

QQ)donde aparecen el signo (+) es decir: * . 4--,-7) U <-3,-1> U <1,2> U <5,+->

x-2 ¡*1x+3 x

Solución

La inecuación dada se expresa en la fbrma, mayor que cero o menor que cero, es decir:

x-2 x+l__<0 :+x+3 x

x(x-2) - (x+ 1)(x + 3) <0, de donde:x(x+3)

-6x-3 2x+l ^< 0 :+ ^ > U, que es equlvalente a:x(x+3) x(x+3)

(2x + lXx + 3)x > 0, para x + -3,0 ahora encontramos las raíces de la ecuación.

(2x+lXx+3)x=0, dedonde rt=-3, ,r=-!, 13=02

{ -:-\vr-;-\vr----\vr;-

>

-3 -112 0

Como la inecuación es de ia forma: (2x + lXx + 3)x > 0,

Las inecuaciones exponenciales en una incógnita son de la forma:

I

2xz - x+l(x-l)x(x+l)

la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir:

x€ <-3,+>U<0,+*>2

x x-l 2x_+_x-l x x-lI

Solución

La inecuación dada expresaremos en la forma:

xz (x + l) + (x- 1)(; - 1)(x + t) - zxz (x -I)< 0 , simplificando(x- l)x(x + 1)

x x-l 2x_<ox-l x x+l

!!"] .0 , la solución es ta unión de los intervalosQQ)

x e <--,-1) U <0, 1>

(2xz - x +l)(x-l)x(x+1) < 0, para x + -1,0,1

ahora enconffamos las raíces de (2x2 - x +l)(¡ - l)¡(x + 1) = 0 , de donde sus raíces son:

\=*lo 12=0, ry=7, ro1*J1¡ t-J7¡

t t< ---4

---\ r-- -\ /----\ r--a-v*v-'v*,

-1 01

184 Eduardo Espinoza Rqmos Sistems de Números R

donde f(x) y g(x) son expresiones en x, a e R* , a + 1.

Para resolver estas inecuaciones, se consideran dos casos:

l" CASO.- Si a > 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en el

mismo sentido prefijado, es decir:

Sí

si

':,6{\*:t;'sJ¡

' ;,/(*)"<,a{qi

.:friirt si¡l

ffx¡i g(il

2" CASO.- Si 0 < a < 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en

sentido contrario al prefijado, es decir:

comoa=0.2<

efectuando ope

equivalente a:

Ahora hallando

39-..m11 -

Como la inecua

donde aparece e

Las inecuacione¡

donde Pr(x),p,

Para que la solr

P,(x)2A, i = 2,

constituirá el un¡

que Jr¡9, q,

expresamente con

i) V P(x)>0

22

sr :"rGt),.g?*::t,- n {x¡,1gii)

Si of Ix\ . os(x\ c+ f(x) > g/x)

Resolver las siguientes inecuaciones:

Jfr*t),tSolución

5¡+l 3(tllLa inecuación dada es equivalente a: 3 e < 9 l0 9

comoa =3>1 entonces 5¡+la6x+6

910

5¡+1 6x+6

3 e <3 l0

50¡+10<54x+54 + 44<4x = x>-11 = xe <-11,+->

La soluciónes: x e <-11,+->

1-

[(0. 2)( {*l'rr-2']* t 1q3aSolución

La inecuación dada se puede escribir en la forma;

e,DE:52 ¡ 10'912e;b{ dedonde: ro,z¡q152 > (0,2),2,-4,

4",,

Sistema de Números Reqles185

como a = 0.2 < 1, se tiene: (x +r)(x -z) <12- 4

x*3(x +l\( x -2\:+ -i2x+4<0x-3

efectuando operaciones y simplificando tenemc llxz -39x+14ts: --l_J- > 0, esta inecuación es

equivalente a: (Llx2 -39x+14)(x-3) > 0 para x É 3.

Ahora hallando las raíces de : (l lxz -39x+I4)(x_3) = 0, de donde:

__39-Jsos . 39+rffi5"r'r ' r n.L. 1!

\. ¡----f a-- -1 7--\r+ti-ri+

22 --ncomo la inecuación es de la forma +2 r0 , la solución es la unión de los intervalos

QQ)

donde aparece el signo (+) es decir: x € <39-.Fw ,3>U <21p.,**,

Las inecuaciones irracionales en una incógnita son de la forma:

donde Pr (x), PzQ),...,P, (-r) son monomios o polinomios diferentes de cero.

Para que la solución de la inecuación sea válida debe resolverse antes lá condiciónP,(x)20, i = 2,3,...,n en las expresiones con una radical par, cuyo conjunto soluciónconstitufuá el universo o denfro del cuál se resuelve la inecuación dada. Debe observarseque tlF@, quiere decir, (+JP("")) y si se desea la raíz negativa se escribirá

expresamenre como 1-./F(x)) ; es decir:

i) Vp(x)>0 Jrt"l=o ii) JP(, = o (+ P(x) = e

Como Jx+5

=) U = [-5,+*

J**l ro

como JiTT:

Además ''/¡"

Luego el conju

JF5<o

Como 1fi-5.0<JrL<0,

Jx-8 < 0

Como fif[.

.6+s >0

Co-o J"+9:conjunto solucir

Jea*.ú3

El conjunto unir

J8-2* <Jt3

conjunto soluci(

para resolver las

propiedades:

@ osx<y €

@ o<x<y <+

inecuaciones radicales se debe tener en cuenta las siguientes

o<J;<..F @ ocxcy <+ 0.Ji..,6

a) \[P(x)=g <+ P(x)=Q

") \[P@)<{Oli <+ olP(x)<Q(x)

ii) Si n es entero Positivo imPar.

br) dr1*¡ >o

ur¡ dF@ <o

<á P(x) > 0

€ P(x)<0

o < J;..5

@ D Si n es un entero positivo par.

a)Y P(x)>0 .'. dPtrl>o <+ P(x)>0

b) dPf¡<\[Q@ <+ P(x)<Q(x)

Las propiedades b1), br) indican qo" dflr; tienen el mismo signo que P(x) si n es

impar.

OBSERVACIÓN.- Cuando en una expresión existen k radicales par entonces se

calculanlosuniversosrelativosUr,Uz,"',U¡patacadaradical

yeluniverso general set6 lJ =Ut¡Uza...nUo'

Daremos algunos ejemplos de ilustración de estas propiedades, para después estudiar las

diversas formas de inecuaciones irracionales'

Ejemplos.- Resolverlassiguientes inecuaciones

J'.*s, -z

Solución

Como J"+5>-2 esválidaparatodox tal que xeU: x+5)0.+ x>-5J U = [-5,+->, luego el conjunto solución es [-5,+-¡

Jr.+l ,oSolución

Co-o J"+Z > 0entonces el conjunto universal es x + 7 > 0 +

Además. J"+Z tO <+ x+7>0 + xe <-7,+->.

Luego el conjunto solución es x € f-7,+*> A <-7,+¿o>

GJ <oSolución

Como JiJ(O,elconjuntouniversales x-5>0 = x>5 + {J=[J;+-> ycomo

0 S \ñ= < 0 <+ J¡-5 = 0 + x-5 =0 = x = 5 e U, luego el conjunro solución es {5 }.

Ji-s <o :

Solución

Como J¡ - 8 < 0 es absurdo entonces la solución es Q.

J*+g > o

Solución

Co-o Ji+9>0 esverdadero V xe U: x+9>0 esdecir U=l-9,+->. luegoel

conjunto solución es x € [-9,+->.

"Á-2" ' Ji¡ solución

Elconjuntouniversales 8-2x>0 + x14 dedonde U=<--,41.

Js-2*.J13 (+ 8_ 2x<13 =+ "=-: dedonde ,.¡-1.+->. Luegoel2 -2conjunto solución es: u nf-1,+- t= t-1,+l-2' '2

x> -7 + [J = [-1,+->

188 Edaardo Espinoza Ramos Sistemu de Números Re,

Ji+¡+ J4-x>-3 sohción

Calculando los universos relativos.

(Jr: x+3>0 = x2-3 = xe [-3'+->

U.r: 4-x>0 =+ xS4 = xe<--:41

(J =(I t f\lJ 2 =[-3,+- > n < -*,4] =l-3,41

como la suma de dos positivos es siempre mayor que un negativo'

J*a3¡-ta-¡>-3 esvalido V x€ U=[-3,4].

'[r-l ,zQolucién

Sea U: x-7> 0 = x>7 + xe [7,+->

^[;- >3 c+ x-'l >9 = x> 16 :+ x€ <16,+*>

elconjuntosoluciónes x€ U n <16,+->=<16,+->

-J"-s t oSolución

-J;-5 > 0 e 'f;- < 0 el conjunto solución es Q.

Jx2 -x-12<tlxt -6x+5Solucién

Calculando los universos relativos.

(Jt: x2-x-12>O + (x-4Xx+3)>0 ---\ r---\ r*'v-v*t

U =UtñU2=

de donde 5x <

Luego el conjur

1[¡ ar'-z)2(¡+4)3(¡3 +t

como 1l*' -¿x+4entoncesl

trfS a6-z)2(r+4)3(r3 +8

Como Vxe R,

1xz -+¡qx-z¡z(x+4)(x3 +8-

(x+2)(x-2)(x(x+ 4)(x -Z)

(¡+2X¡-lX¡-(x+6)(x+4)

Luego el conjun

(Jr=1-*,-3lU I4,+*>

Uzt x2-6x+.520 + (x-5Xx-1)>0

U 2 =<.-*,ll U [5,+* >

xz - x-12 <.

xz - x-12 <

U =Ut^Uz- <---31 U [5,+*¡

J"t'6"+5 x2 - x-12< xz _ 6x+S

dedonde 5x<rl =) *<! = ,..--.11,)5

i

Luego el conjunto solución es:

4[¡ J6-2)zG3 -t3x+tz)1x+4¡3¡x3 +8x2 +4x-4g)

^F.:-Como 7lr' -4x+4entoncesla

6)(x+ 41

> 0, para

xe(J n.-*,Tr= <--,-31

1xz - 4¡qx - z)2 (x3 -t3x + L2)rr---il x' - 4t x -2)i (xr - l 3r + 12) _

@z

Como VxeR, (x-2)2 >0 entonces

(x2 -4)(x -2)2({3 _ l3x+12\ ,o é+

(x+4)(x3 +8x2 +4x-48)

>0

Solución

tiene el mismo signo que ,7 -4 y (x+4)3 tieneelmismosignoque

inecuación dada es equivalente.

0<+ >0(x+ 4)(x3 +8xz + 4x- 48)

(x2 -4)(x3 -t3x+I2\(x+4)(x3 +8x2 +4x-48)

>0

(x +2)(x -2)(x -l)(xz + x -12\ > 0 , pa.ra x*2,-4(x+ 4)(x-2)(x+

(x + 2)(x -l)(x -3) x*2, - 4(x + 6)(x+ 4)

---\ t--- -\ r---\ /--:-\ r-- -\ r----V+v-rr*\/-\/+-4-213

Luego el conjunto solución es: x e <-6,-4> ,¿ [ 2,1] u [3,+->

-6

190 Eduardo Espinoza RamosSistews de Nú.weros Re

Para

a)

3o Para

a)

40 Para la

h) JP(

'[4-las in

JP(,

.[4'

,[Pr'

.Rlas int

JF(,

JP('

,t¡A

,t'Alne(

2"

b)

b)

Jrr¡ *J

Jrr"t *.,1

5" Para las ine

..,Fr"l *Jr

,-Ft't *Ji

OBSERVACIÓ

Consideremos ot

lliJl G +z)a (x +rtrl xz -'7 x + 12 Vto-{6+ qt* - s)3 (*3 -27)(*' -1 4x + 48)

<0

' Solución

Losradicalespafesnosdaeluniversou. 10-x>0 A x+9>0 =+ xl10 A x>-9

x e <-9,101 + u = <-9,101 (no se incluye el -9 por que anula al denominador)''' :

como los'radicales pares son positivos la inecuación es equivalente a:

1l x+7 (x+2)a1x+3)Vx' -'7 x+I2 V10-x -,,tffit" - sl3 (x3 - 27 )(*2 - l4x + 48) (¡ -s)3 (.f - 27)(*z -l4x + 48)

como los radicales impares tienen el

entonces:

(x+1)(x+2)a (x+3)(x2 -7 x +12)

rnismo signo que las cantidades subradicales

( 0, como para todo x e R (x+2)4 >0

(¡+7Xx+3)(x-3)(¡-at+ < 0, para x * 3, 8 simplificando tenemos(x-8)'(x-3X¡-6Xx-8)

-i -r,r- - I arr- -i -t.r- -_- -tu- -:+(x+7)(x+3)(x-4) < 0, x É 3,8

x-6

xe [-7,-3] w14,6> luegoelconjuntosoluciónes: xe U n (t-7'-3lu[4'6>)

xe [-7,-3]u[4,6>v{-21

ahora veremos como resolver diversas formas de la inecuación con radicales aplicando

criterios de acuerdo a cada tipo de inecuación irracional.

1o Para las inecuaciones irracionales de las formas:

a) OA > QQ). La solución se obtiene así:

.,FG) >e@)<+ (P(x)>0 A I0(¡)<0 v (P(x)>0 A P(x) rQ'Q\l)

-7 -3

1,,,

Sistewa de Nú*w.eyas Realet 191

-t-

b) JP(,, > QQ); la solución se obriene así:

.F(r) >e@) <+ [F(x)>0 A (g(x)<0 V [p(r)>0 A p(x) >ete)l)]

2o Para las inecuaciones irracidnales de las formas:

a) JF(") < Q(x); la solución se obriene así:

s,lF@ < QG) <+ [(P(x) > 0 tt (Qe) > 0 A p¡r])$< e'OD)

b) . JP(") <QQ); la solución se obriene así:

.rtrt <ee) <+ p(x)>0 A te(-x)>0 A p(x) <e'e)l

Para las inecuaciones irracionales de la forma:

a) .[P@ + JO\.) > 0 ; La solución se obriene así:

,[pA*JgA>O =r (p(x)>0 A e(x)>0) v (p(x)>0 A e(x)>0)

b) ,[pA *.lgA > 0; La solución se obriene así;

,[pr.>+Jaa>>o + Ptx))o Ae(x)>o

4" Para la inecuación irracional de la forma:

,[pO> * JgA> K, K > 0; La solución se obtiene así:

,lpa*rfolr>> K I t(p(x) > o r. e@)>0) n p(x) >(tr-"[eGD'l

5o Para las inecuaciones irracionales de la forma:

,[P@ + J01i l0; La solución se obtiene así:

"[pa*Jaa¡<o + P(x)=o Ae(x)=o

OBSERVACIÓN.-

Consideremos otros casos más generales.

r92 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Re

1o Caso.- Si n es impar positivo mayor que uno.

a) P(i\[Q@ >o (+ P(x).Q@) , oR(x) R(x)

b) P(x) . g €+ P(x) < o' RG)\\QG) R(x)o(x)

c) <lP@<{O@ {+ P(x)< Q(x)

2o Caso.- Si n es par positivo

a) dPe)Q@)>o <+ P(x) >o

b) <[pAnQOl<o <+ P(x) >o

A

A

Q(x) > o

Q(x) < o

,t.'z -Ar+13

Aplicando Ia pe

,tr'-14.+13

Er-8 E:l-! l-

V x-t 'Vr*

c) -:IgI->o e e(x)>o A !1"]=oVQ(*ln(") fi('Y)

d) .-&f--ro e o(xl>o A P(x)<o' Vot*xt") R(x)

e) 4F@>ee) e (p(x)>-o A to(x)<0v (O(x)>0A P(x)>Q"@))l

r) \pe <ee) <+ p(x)>0 A to(x)>0) A P(¡)< Q"@)l

Eiemplo.- Resolverlassiguientesinecuaciones

^f-; -u.+r3 > x-3Solución

.[* '14t.13> x-3 e *2 _14*+13>0 A [x-3<0 v

(x2 -14x+I320 A x2 -l4x+I3>(r-3)2)l

e *2 -14*+1320 ¡ [x<3 v (xz -l4x+13>0,.. "<]ll

Sistema de Números Reule¡; t93

xz -I4x+13>0 A x<3

(x-13Xx-1)>0 A x<3

xe <--,llu[13,+-> A x<3 .'. x e <--,1]

< x+lSolución

Aplicando Ia parte b) del 1' caso:

^[t -l4r+n < r+1(+ (x2 -I4x+13> 0 A [x+1> 0) A (x2 -I4x+13< (¡+l)2])

<+ ((x-13)(x-l) >0 Alx>-1) A ((r-13X¡-1) < (¡+1)21)

<+

(* x2 -14x+13>0 n[x(3 v re<--,1] U[13,*> r, rr]l

<+ xz -l4x+!3>0 n [r <Z u ,<])

c+ ((¡-l3Xx-1)>0 ^ [x>-rl ^ x>J1

<t x € <-1,11 u [13,+->n"t]t

<á r€<i,t, r[13,+->

E;4 F;I ,..-t *{r*, =u

Solución

Aplicandolaparteb), del3o caso: rfr|l*r[gtx) >0 <+ P(x)>0 A Q(x)>0

Er-gl-r{ x-t

l-)-f

{"*, =u2x-8 5-x

e)x-l x+3

-14x+13

t94 Eduardo Espinoza Ramos Sistemq de Números A

e (x-4)(x*1)>0, x*1 A (5-xXx+3)>0,x+3

(:) (x-4Xx- l)>0,x+ 1 A (x-5Xx+3)<0. x+-3

Luego la solut

Ejemplo.- R,

De acuerdo a .

xz -9 y que

resulta equival

(x2 -9Xx3 +8

(x + 4)(x3 -

(x+ 3X¡- 3X;

(x+ 4)(x-

ntt+x u [-6,-4]

OBSERVACI

@ d(t A xe <-3,5]

---o-3 145o--- ----a

La solución es: x e <-3,1> U i4'51

OBSERVACIÓN.- Si n es un numero positivo impar, entonces:

<lf@ <d0@ e+ P(x) < Q(x) U't¡ " @o <+ P(x) < Q(x)

{FG, >do$) <* P(x) > Q(r)

Ejemplo.- Resotver la inecuación ffir,

o

Solución

El conjunto de referencia o conjunto universal se obtiene del radical par -v diierente de

cero: *2 -l>0, dédonde ¡2 >1 ::) x> 1 v x < -1 * E 4--,-i) tl <1'+->

luego el radical par resulta positivo y puede simplificar quedando la inecuación

7 f:-"! 1- * > 0 - oue de acuerdo a ias observaciones, las expresiones dei subradical tiene el

Vx+ 5 *--\ r-- -\ f*--+'v-v+>

@

@

-t-3---<o¡+5 -5

x e <-5.3>

---\ t--- -\ r--A * v ---:-,--¡l--l-->

Luego la solución de la inecuación es: x e <-5,3> ñ (<-*,-1> u <1,+*>)

"'. xe <-5,-1>u<1,3>

)ñ--Ejemplo.- Resolver la inecuación t/x2 -9'(xr t8x2 +4¡-48) t o

(.r+4)s(x3 -t3x+12)

Solución

resulta equivalente a la inecuación:

(x2 -g)(x3 +8xz +4x-9 > 0 factorizando el numerador y el denominador@

(x+3Xx-3)(x-2Xx+6¡(x+4¡_^ (x+3Xx-2t{x+6)(x+4)_(x+4)(x-lx"+4x"-3) >0 <e

ffi>o' x*3

(x+3Xx-2Xx+6Xx+4) >n -- -\ /--;-\ /--- -\U/--;-\U/-----\ r-;-

x-r -'v -6 -4 -3 1 2

x u [-6,-4] u [-3,1> u [2,+*> - {3}

OBSERVACIÓN.- Si n es un numero positivo par, entonces:

@ rfpa¡s+[oG) <+ o<P(x)<e(x) @ <f¡A . <[gA> e+ o sP(x)< Q(x)

De acuerdo a las observaciones indicadas se tiene qu" 17 -e tiene el mismo signo que

*2 -g y que (x+4)5 tiene el mismo signo que x + 4, por lo tanto la inecuación dada

Ejemplo.- >J;Solución

Aplicando la observación a) se tiene:

?)-)v0<x<

x+2

7,1 _1-x>0 n ¡(

x+2

32-2xx+2

t96 Eduardo Espinoza Ramos Sisteme de Números R

32 -2r(+ x>0 /\ .r-"- -,'<0x+2

- ,2 +4x_ 32<+ x)0 ¡ " '" --10

x+2

xs +lxa +12.

Aplicaremos e

181

191

T7-6

l1

Luego las raíct

Como la inecu

donde aparece

l2x4 -56x3 +

Encontrando Ia

l2x4 -56x3 +

l2xz -56x+85

Sea ¿ = r+!x

Reemplazando

12(22 -z)-s6

donde r=-1. r,=3'2-2-l-\,r--- -\,rr;-

-112 312

Como la inecuación es de la forma 4x2 -4x-3<0, la solución es la unién de los

r--i3lintervalos donde aparece el signo (-), es decir:

lr." -t- ,1

<+ x>0¡ xe<-*,-81 v<-2,41

<+ x>0 n (x+8Xx-4) <0 -:-\g/--;-\Ur----\Ur;-x+2 -B -2

.'. x e [0,4]

Resolver la inecuación cuadrática: - 4x? + 4x+3 > O

Solución

La inecuación dada expresaremos en la forma : 4x2 - 4x - 3 < 0

factorizando (2x + l)(2x- 3) < 0, aplicando la propiedad de números reales:

(2x+I)(2x-3)<0 e (2x+1>0 tt2x-3<0) V (.2x+l <0 A 2x-3>0)

<+ (x>-! t\ x<)> v <r.-L t' ,rlt

-112 312

t3La solución es: x e < --.->

----c G---V -"---_i--------f----->-112 q 3/2

Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las taíces la ecuaci(ln 4xz *Ax-3=0, de

Sistema de Números Reales r97

xs +8xa +12x3 -xz -gx-lz>0Solucién

Aplicaremos el criterio de las raíces de la ecuación: x5 +gx4 +r2x3 - xz -gx -rz = o

l8t2-1_8_t2192120129212012-2 -14 -t4 -12

Luego las raíces reales son: \ = -6 , 12 = -2, ,,

- - -\,rt-;-\,t----\

-6 -2

Como la inecuación es de la forma P(x)

donde aparece el signo (+), es decir:

La ecuación que queda es:

),x'+x+l=0, cuyasraíces

-1t\6,2

776-6 -6 -6

-1

rr*1

> 0, la solución es la unión de los intervalos

r2x4 -56x3 +89x2 -56x+12<0Solución

Encontrando las raíces de la ecuación

l2x4 -56x3 +89x2 -56x+12=0 dividiendoentre¡2

t2xz -56x+8g-X*3=0 = rztx2 +1)_s61_r+1¡+sl=oxxtxtx

z2=x2+1+z = .r2x'

... (1)

Sea e=t+1 :+x

Ix

21

Reemplazando en la ecuación (1) se tiene:

12(22 -Z)-562+89=0, enronces: t2z2 -562+65=0 :+ (tz-B)(22-5)=0

Eduurdo Espinoza Ramos198

Sistema de Números Ret

Como la inecua

donde aparecen

t <{_1l-x 2-x

La inecuación d

x x-3-- ----- < t

l-x 2-x

l.*](l- x)(2- x)

4:1 - 2(x-r)(x-2)

(2x-3)(x-1)(:

(2x-3Xx-lX:

corno la,inecua

donde aparecen

x-2 x+I_ <_x+3 x

La inecuación d

135dedonde ,=i, ,=t

13 1- - 13 + 6x2 -l3x+6= o, de donde 4 =Para z=l - '*; 6

para z=1 - t*!=1 * 2x2-5x+2=0'dedonde rr=12xz

ordenando las raíces en la recta numérica

--\ r.---\ r-:-\ /----\;--:-'+'.r'-rl*V-V+

Sea z=2x2 -3x + z(z-2)-63=O

z' -2z-63 =O + (z-9)(z+ 7) = 0 , de donde

Para z= 9 = 9 =2x2 -3x ¿ zxz -3x-9 =O '

322''3

, rq=2

112 213

ComotrainecuaciónesdelaformaP(x)<0,lasolucióneslaunióndelosintervalos

donde aparece el signo (-), es decir:

x(2x + lXx - 2X2x -3)> 63 Sohción

Hallaremos las raíces de la ecuación:

x(2x + 1Xx-2X2x-3)-63 =0, entonces x(2x-3)(2x+ lXx-2)-63 =0

(2x2 -3x)(2x' -3*-2)-63 = o

Para z=-7 á -7 =2xz -3x

z=9, z= -7, entonces:

Jde donde: \ = -: , rz =3

¿

txJ+t¡r=4+ 2x2 -3x+7 =0, dedonde:

tut -,--\- -i--312

Sistemq de Números Reales t99


donde aparecen el signo (+), es decir:

_i_ < {_1l-x 2-x

Solución

La inecuación dada se escribe en la forma:

x x-3_-<o :+l-x 2-x*-:l\<--?IL 4 ro, simpliricando

(L- x)(2- x)

2x-3> 0. entonces la inecuación(x-rt(x-2)

P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos

+

es equivalente a la inecuación

(2x * 3Xx - lXx - 2) > 0 para x * 1,2 encontrando las raíces de la ecuación

(2x - 3Xx - lxx - 2) = 0, se tiene: r, =1, r, -). ,, =Z

_ - _\ t--- -\ r---\ r--+\/-rr*1

como la,inecuación es de la forma


x-2 x+lx+3 x

P(x) -0, la solución es la unión de los intervalosQQ)

3/2 2

Salue!óD

La inecuación dada se escribe en la forma:

200 Eduqrdo Espinoza Ramos Sistema de Números R

x-2 -r+l_-_<0x+3 x

-6x-3 <(l =x(x+ 3)

inecuación (2x +

ecuación: (2x+

Como la inecuación

signo (+) es decir:

xz -5x +6^-)0x' + x-42

2x+1 2x+l-- > 0, entonces la inecuación > 0 es equivalente a lax(x+3) x(x+3)

l)x(x + 3) > 0, para x + -3,0, ahora encontraremos las raíces de la

l)(x + 3)x = 0, de donde r, - -3 , b = -). ,, =0.

---\ r---\ r---\ r--

x(x-2)-(x+1)(x+3)< 0, simplificando

x(x+3)

-3 -112 0

P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el

La inecuación

x3 - x2 -22x.x(x+7)

La inecuación

(x-2Xx-4X¡

ahora encontra

(x-2Xx-4X¡

Solucién

x2 -5x+6 to € lx-?-l\x-3.-120, esra inecuación es equivalenre a:

x2 +x-42 (x+7)(x-6)

(x-2Xx-3Xx + 7Xx - 6) > 0 para x * -'l ,6, ahora encontraremos las raíces de la ecuación

(x*2Xx-3Xx+7Xx-6)=0,donde \ =-7, 12=2, rr=3, ro =$'

- * -\,r- - ] -\,ra -i -t,ra -_- -\rr- -i -

b

la solución es la unión de los intervalosQ@)


-*3 + "2

+22r_ 40

->fl

x(x +7)

Como la inecu

donde aparecer

, 24-4xI*=;--x" -2x -I5

-7

La inecuación c

pero (x-3)2 >

1

(;r-5)(x+3)

ahora encontrari

Como la ecuación es de la forrnu P(")

> 0

,l - [2,3)v: ;+'¿,

Sistema de Números Reales 20t

Solución

La inecuación dada escribiremos en la forma:

x3 - xz -22x+40<0 + (x-2X.r-4Xx+5) .Ox(x+7) x(x+1)

La inecuación (x-2X¡-4X¡+5)

< 0 , es equivalente a:x(x +7)

(x - 2Xx- 4)(x + 5)x(x + 7 ) < 0, parax * -7,0

ahora encontramos las raíces de la ecuación

(x-2)(x-4)(x+5)x(x+7)=0dedonde: r, =-7, rr--5, 12=0, r+=2, r,-4---\ r-:-r r---\ r---\ r---\ r----u+g-u+'u-'u+

-7-502

Como la inecuación es de la forma {!2 =

0, la solución es la unión de los intervalosQ(.x)

donde aparecen el signo (-). es decir:

- 24-4xl*--- > 0x" -2x-75

Solución

La inecuacióndadaescribiremosenlaforma: I -6x+9 to €+ ("-3)' >o

x'-2x-15 (x-5Xx+3)

pero (x-3)2 >0, xt3, entonces. (¡-3)2

>0 e+ I >0 oara x*(x- 5)(x + 3) (x - 5)(x+ 3)

,.=)0, x +-3,5 € (x-5Xx+3)>0, para x *-3,5,(x-5Xx+3)

ahora encontraremos las raíces de (x- 5Xx + 3) = 0, de donde r, = -3, rz =5 .

---202 Eduardo Espinoza Ramos Sisterno de Números Rea

Luego las raíces

Como la inecua<

donde aparecen r

(l- x- xz)(Z- t(3- x)(2- ¡

(l- x- xz)(2- tt(3- x)(2- t

(xz + x-l)(xz +

(x-3)(x-2

ahora encontram

\ =-2, 12=J

---\ r-*v-2

Como la inecuac

donde aparecen e

*s -l ,5 -2

-(xa +I xa +2

---\ r---\+\/-v r---+

-3


3x+5 - ^

-<J2x+l

solucién

A la inecuación dada escribirernr¡s en la forma:

Como la inecuación es de la for,nu P(") r o,Q@)

-3x+2 .O €, 3x-2 r,Zx+I 2x+l

la solución es la unión de los intervalos

3t*5-3=o <+

2x+I

3x-2 rO2x+1

€ (3x-2)(2x+ 1) =>0' Para ,*-|

(2x2-8x+8Xx+3)rO (+

c+ (x+3)(x+6)>0, Para x+-6

ahora encontramos las raíces de: (3x-2) (2x + 1) = 0, donde f2=

- l-t,r- -_- -tu-; -

-112 213

Como la inecuación es de la ror-u {9 > 0, la solución es la unión de los intervalosQQ)


(2x2 -8x+8Xr+3),Ox+6

x+6

:á t*3 >ox+6

Solución

2(x-2)2(x+3) 20, (x-Z)z >0, Vxex+6

2;J

I\= 2,

R

1r---

Sistemo de Números Reales 203

Luegolasraícesde(x+ 3)(x+ 6)=0 son t =-6, rz=-3

i-trrt --- -trr- -i -

como la inecuación es de la forma P('L > 0, ra solución es la unión de los intervalos

Q(x)


(l* x- x2¡(2- x- x2) ---(3:;ó:->oSolución

(x2 +x-I)(xz +x-2)G-Lt:)Q-_x4>o(3- x)(2- x)

>0(x -3)(x -Z)

(xz + x-l)(xz + x-2) -

ffi>0<+(x2+x_l)(x2+x_2)(x_3)(x_2)>0,parax*2,3

ahora encontramos las raíces de: ¡xz + x-I)(x2 + x -2)lx -3)(x -2) = 0 , dé donde

^ -t -".6 -t*.6\=-¿. rz=--í, rt= Z , 14=1,rr=2.ru=3

-;-\v- -_- -\v- ; -\vr -_- -\vr; -\vr --- -\vr + -

-2 -1 -v5 -1 +\F 1 2 3

Como la inecuación es de la forma !i") t 0, la solución es la unión de los intervalosQQ)


*s -r xs -2xa +1 xa +2

204 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Ret

Solución

V x e R, xa +l>0, xa +2>0, entonces la inecuación dada se puede escribir en la

forma: (xs -lxx4 +2) < (x5 -2)(xa + i) , efectuando operaciones y simplificando se

tiene: xa (;u + l) < 0 , luego encontrando las raíces de

xa(x+1)=0 setiene r, --1 , rz=0, multiplicidad4.

-1 0I Punto critico de'---------|> - multiplicidad par.

x+5 x-lx-6 x-3

x+5 x-7_<_x-6 x-3

3x-7(x- 6Xx- 3)

ahora encontran

(3x-7Xx-6X;

Como la inecua

donde aparece e

(x-3)(x+2)z (.

x(x+2)(xz -

(x+2)z > 0, p

(¡-3Xr-(x+2)x(x+3X.

(x- 3)(x+ 1)(r-

ahora encontran

(x+2)(x-3)(x

Como la inecuación es de la forma p(x) < 0, la soiucií.¡n es: t]lgE;]( x2 -2x + 4\( x*l\' " '<0

(2x+l)(x+ 4)

Solucién

(x2 -2x+4X-r-l)La inecuación ' ' '/\-- '/ < 0, es equivalente a:(2x+llT+4)

(x? -2x+4)(¡-1X2x+1) (x+4)< 0 , para xi -4,-!2

ahora encontramos 1as raíces de la ecuación.

(xz -2x + 4)(x-1)(2x+1)(x + 4) =0, de donde.

rt = -4 , ,, = -l , 13 =7 , r¿, =l+ ^13í, rs = 1- .f3¡'

¿

---\ r-: -\ /_---\ r:--rr+\/-\/+-4 -112 1

Como la inecuación es de la forma P(x) <0, la solución es la unión de los intervalosQG)

donde aparece el signo (-), es decir:

r+5 x-lr-6 x-3

:r+5 x*7x-6 x-3

3x -7 <0(x-6)(x-3)

7t3


donde aparece el sigllo (-), es decir:

Sqluq¡én

+-+ < 0, efecruando operaciones se tiene:x-6 x-3

€+ (3x - 7)(x - 6Xx- 3) < 0, x+3,6

ahora encontramos las raíces de la ecuación

(3x-7)(x-6Xx-3)=0. dedonde 4 =1, ,r=3, rz=6J

--\ r---\ r-- -\ r--'v*v-v*36

l(x) .0, la solución es la unión de los intervalosQQ)

"..;,11 u<3,6>

(¡ - 3X¡ + 2)z (x -v l)(x - 4¡

x(x+2)(xz-3)(x+3)SolUción

(x+2)2 > 0 , para x + -2,1a inecuación dada es equivalente.

(x-3X¡+lX¡+4)> 0, la cual es equivalente a:

(r + 2).r(-r + 3Xr + \BXr - \6)

(x - 3)(-r + lX x - 4) x(x t-3)(¡ +.,6X¡ -.6)(x + 2) > 0, x * O, -3, -2, J1, _-J?

ahora encontramos las raíces de la ecuación,

(¡+2Xx-3X x+l)(.x-4)x(x+3X-r+16¡1"r-16) = 0, de donde

>0

206 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rea

t =-1 " r2=--l

Como la solució

donde aparecen I

2x2 -6x+3--;- > Ix'-5x+4

2x2 -6x+3---;-x" -5x+4

2,x -x-l-;-x'-5x+4

ahora hallaremos

(x2 - x-l)(x2 -

Como la inecuac

donde aparecen e

2x-l xx+4 x+4 :

\=-3, rz=-2, rz=-J1, 14=-L, rs=0, % =Jl, r, =3, rs=4

- i - \rra - ] -\,r- -i -t,r- - -- -\,r- -i -\,r- - _- -\,ra -* -\,r- - -- -t.r- l--3 -2 -V3 -1 o Jd s 4

Como la inecuación es de la for*u f(t) > 0 , la solución es la unión de los intervalosQQ)


x-2 xZ

x+2 x'+2

x-2 ,2x+2 x2 +2

4xz +2x-4(x+2)(x2 +2)

x+4 xx-7 x+l

l2x+4_>0(x-7)(x+l)

V xeR, Zxz -x+2rO y *' +2>0, entonces se simplifica la inecuación -J- tgx+2

1

Luego : > 0 (+ x + 2> 0,para x* -2. La solución es:x+¿

x+4 xx-7 x+1

Solución

v-) "2^ '- :' <o,dedondex+2 x'+2

2xz - x+2(+ ; >0(x+2)(x'+2)

Solución

x+4- x >o.dedondex-7 x+1

e+ (3x + lXx - 7Xx + 1) > 0, para x+ -I,7

<0

ahora encontramos las raíces de la ecuación (3x + 1)(x - 7Xx + l) = 0, de donde

\=-l , fz =7 - I -\u- -i -trr- - - _ - - f,r- l--3 -1/3 7

Como la solución es de la ¡e¡¡1¿ {x] ¡ 6, la solución es la unión de los intervalosQlx)

donde aparecen los intervalos donde aparece el signo (+), es decir:

2x2 -6x+3_-;- > lx'-5x+4

Solución

2xz -6x+3 2x2-6x+3--;->l <+ l>0, dedondex'-5x+4 x'-5x+4

z,x -x-l#>0 <=+ (xz -x-l)(xz -5x+4¡>0 para x+r,4;x" *5x+4

ahora hallaremos las raíces de la ecuación.

(x2-x-lXx2 -5x+4¡=0. dedonde 4 =+ , r2=t, u=+. 14=4

- l-tu- --- -tu- I rrrr -_- -\.r- l- -

Como la inecuación es de la fonou 42 > 0, la solución es la unión de los intervalosQG)


2x-l x x+Ixt4 x+4 x+4

1fi =--

J

1-\F2

1*Vl2

Solución

7

208 Eduardo Espinoza Rumos Sistema de Números Reat

La inecuación da<

comoa=0.8<1,

3x-4 4x-4t6 40

3x-4 x-I=85

Aplicando la propr

,Rf <ee) €

6x-4 2x-(0.2s) : .(0.5) 4

24-2x-x2 <x

24-2x- x2

2x-l x x+l 2x-l x x x* I

-a-

ai a

-¿ -x+4 x+4 x+4 x+4 x+4 x+4 x+4

2x-l x .x. x*l

---/Il

A

--

<f]x+4 x+4 x+4 x+4

ecuaciones son equivalentes a:

(x*lXx+4)< 0 A x+4>0, para

ecuaciones, (x-2Xx+4)=0 A x+4=0,

-l-\,,--_--\.,.;--4

de acuerdo a la forma de la

Solución

de donde "-l .ox-4

x * -4 ahora encontraron

de donde rt = 4 , 12 =l_ _ _\

.l_ _L_ _

Av'-4

las raíces de las

lt rt =4

xe <-4,1> A xe [-4,+->

A 1 )0. estasx+4

inecuación la solución es:

tffi:-Tlll.:{;x &""¿-4-1>,1I ;':'; ;:," ' l

Aplicandolapropiedad: ,lF@ <QQ) e (P(¡)>0 A IO(¡)>0) A (P(x)< Q'@)l)

ttt -.-, <5-x <e (x2 -x-2>0 A [5-x >O L xz -x-2< (5-r)2])

e (x2 -x-2)20 A [5-x>0 A x2 -x-2<25-l}x+xzf)

a (x-2)(x+i)>0 A (x<5 A x<3)

-----"1

------o

-1 235---€

La solución es:

x€

x'-x-¿ <5-.x

Solucién

3x-4 4x*4La inecuación dada es equivalente a: (0.8) 16 > (0.g) 40

como a = 0.8 < 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario, es decir:

3x-4 4x-416 40

<_x

<x (+

<+

€)

(0.25) .(0 s)2x-3 3u4 4x-24 <(0.ooz5) ó .10.lzs¡-

Solución

6x-43

3x-4 x-l t2 f--l;lg . 5 + *.7,Ia solución es:

| ¡e< *,:: >l

Solución

Aplicando la propiedad siguiente:

.,F(") <ee) <+ (p(x)>0 A t0(¡)20 A p(x) .e2 (r)))

(24-2x-x2 >0 A [x >0 L 24-2x-x2 <x2l)

(xz +2x<24 L [¡>0 A Zx2 +2x>24])

((x+l)2 <25 A [x>o A ("*l)t ,f:1,2' 4"(-6<x14 lt,fx>0 A (x>3 V x<-4)l)

xe [0,4] A x€ <--,-4>U<3,+*>

24-2x- x2

24-2x- x2

2t0 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rea,

.,/i;<s+"

Ji; < Vs+"

G;5 á t-x e

(+

ahora (2) en (1) se

$x+7 -Jx1>

Calculando el cam

por lo tanto x e [2

La inecuación dada es equivalente a: (0.5) ,(0.5)

6x-8 4x-2

< (0.5) 3 .(0.5) 3

p1_8-*2x-3 6x-8*4x-2

Operandotenemos: (0.5) 3 1 <(0.5) 3 3

Como a = 0.5 < 1, entonces los exponentes son desiguaies en sentido contrario a la

. 12x-8 2x-3 6x-8 4x-2rnecuacrón.esdecu: 3

* 4

t ,

* ,

i2x-83

?:14

l2x-8 2x-3 l0x-10 2x+2 2x-3 ^ 8x+8 +6x-9343^34t2

r4x-l>o =+ ,r-L r-.l--tl. ... Á; la solución.t' I tl *

I

3z¿rr > (42x.8x_3)zts

Solución

J+l

La inecuación dada es equivalente a: 25.2 z > (20'.23'-n )2/5 , de donde

r+ll 14:-18

2 2 >2 5 , como a=2> 0, entonces:

+rql, + 5x+55>28x-36 = *.2!. Lasotució" FWtrSi 1< x < 1, Demostrar que:

x+2 1':--:= I - (se obtiene dividiendo)x+3 x+3

1.r.1 =+ !<x+3<422

3x+268 ¡+3 7

Solución

112= -<-<-4x+37

211__<__<__7x+34

5x+237x+34

211=+ 1-:<l-'<l--7x+34

35x+23687x+347

../i;< +ls+.

Jt-x<15+r c+ (1-xt0 A ¡+5>0)A tJt-*¡2 <(lx+j)z

€ (xSt A .r>-5) A (l-x<J"+Sl

J;5>l-¡ c+ [(x+520 A l-x<0) v (r+5>0 A x+5>(t-*)2]

(+ [(x>-5 A .r>1)v(x2-5 A ¡+5 >l-2x+x2¡7

(+ [(¡>-5 A -r>t)v("r2-5 tt x2 -3x-+<O¡7

(+ [(x>-5A ¡)1)v(x>-5 A.re [-1,4])l

(+ [(¡)-5¡\¡>1)v -re I-La]l

(+ [x>-5A x>-1] =+ x>-l =) xe [-1,-¡

ahora(2)en(1)setiene: (x-5)Axe [-1,+*>

xe[-5, l]A xe[-1,+->

$*¡7 -JvazgSolución

Calculando el campo de existencia 3x+7 > 0 ¡ x-2> 0

por lo tanto x e [2,+*> es el campo de existencia

*>-7 A3

... (1)

2t2 Eduardo Espinozn Ramos Sistema de Números Ret

&x+1 >9+Jx-2

simplificando

xel2,+*> L

xef2,'+* > ,l\

xe [2,+- > A

(+ xef2,+*> lt^

l3x+7 <81+18JiJ +x-21

(x-36<gJxJl

x2 -753x+1458 < 0

153., 17577(x__)'' 2' 4

xz + x-9 <0

l.n 37(x+-)' < -'24

Luego la solucir

Jl**<z .€

.6; >_x_l

J*nt*,[lz rnJg- *' -J ' Sorución

Calculando el camPo de existencia

(x-1)0 n x -2>O) t (9-x2 20 ¡ x>0)

(x>1nx>2)a(*2<9nx>0)

(x>1 n x>2) ¡ (-3lx<3 r' x>0)

x22 ¡ 0l x 13, de donde ffi es el campo de existencia'

como JxJJ*Jli>o, vxe [2,3]

W2o + J;*t*'14 +__->0.---1--ñ-J; 'w - 'lg-*'-J; ''t**T*ffi=*¡;*¡;-

2o <+ Jl-* -JiroJg-*'-J;

dedorrde Ji.Jg-r' + x<9-x2

2-J3+x <^

x2 + x-9 <0 - A*|l' .l (completando cuadrados)

37 hi t J37 Ji +t Jtt -ta--4 2 2 2 2 2

l"(x+ -')'2

Luego la solución es:Jtt +t Jv -txe<-:::--:-:,7, n t2,31

.'. 'ru tz.JT,l!," :- -"e7

x2-3 n [x>-2 v (r2 -z n Q*lf .]ll

<+ x2-3 n lx>-2v (x2* ^ -fti'.*.{}r,

€' x2-3 ¡ l.r>-2 v xe< -f# újrt

16+ 3¡>_3 n xe<__:__,+@>

2

... (t)

Solución

J;:ffi .Jli (+ e-$+ x>0 A 4+x20) A Q-$+x <4+x¡

<+ (.6;32 lv x>-4) A (J3+r >-x-2)

JZ+ " <Z <- (3+x > 0 A 3+x l4)

(+ (x2-3 A x<1) + xe[-3,1]

J3+; >-x-2 <4 x+320 A [-¡-2<0 V (¡+320 A x+3 >(x+z)z)]

(+ x>-3 A íx>-2 V (x> -3 It' xz +3x+1<0)l

2t4 Eduardo Espinoza Rumas Sistema de Números A

como la ecuac

aparecen los s

3l

-+- >

x-l x+I

La inecuación

31-+__x-l x+I

como Vxe I

x2 +2x+3x(r-1)(x+l)

Ix(x-l)(x+1)

Ahora resolvie

Como la inecr

donde aparece

r:{)+Jjl"€< - '+€ >1

Luego de (2), (3) en (1) se tiene:

...(3)

J5 +3(+ (xe [-3,1] ¡ x2-4) r' r€< ---1+e>

.6 +¡/\ f€<-

2 .**,<+ ¡e [-3,1]

313 1

-<-+x 4(x-l) 4x+12Solución

A 1a inecuación dada expresaremos así:

l1 I 3 A ^r^^¡,o¡¿rn ^^arqninr^' llx+3)x+r(x-l)-12(x-lXx+3) to" +', -" >0, efectuandooperaciones -*

4(.-D' 4(x+3) ¡ - "' -^--'--^^-- -r---:- 4(¡-1X¡+3)x

l3x2 +39x+ x' - r-I2(*:3.:2 2 0, simplificando

@=v''r¡rr

Z*'*I4tjE>O =

x2 +7x+I\ nO

4x(x-I)(x+3) x(¡-1Xx+3)

v x e R, x2 +'7 x+18> 0 entonces' ]t * l,i1tl, e

x(x-lXx+3)

I = 0 (+ x(¡-1X¡+3) > 0, Para x + 1, -3, 0

x(x -1X¡+ 3)

t =ox(.x-lX¡+3)

resolviendo la ecuación x(x - lXx + 3) = Q, de donde, rt = -3 ' f2=0, f3=1

2-Jr¡i .J++ *


\ r---\ r-:-\++

-3

como la ecuación es de la forrnu P(") > 0 la solución es Ia unión de los intervalos donde

Q$)

aparecen los signos (+), es decir:

313

-+->-x-l x+l xSolucirón


313

-r---

> l_l --x-l ¡+1 x

3xz +3x+ x2 - x-3x2 +3>0¡(¡- 1)(x + 1)

.r2 +2x+3_>0r(¿-lX¡+1)

como VxeR, xz+2x+3>0, entonces

x2 +2x+3 I_\ll _>r)x(¡-lX¡+l) ¡(x-1)(x+1.)

---! ^ >O (+ x(x- lXx+ 1)>0, para xt-1,0,1x(x-1)(x+1)

Ahora resolviendo x(x - lXx +

*--\ r

de donde

r---\-1

Como la inecuación es de la fbrma

donde aparecen el signo (+.¡, es decir:

01

P(x) ao h solución es laQQ}

12 =0 ' ¡", -l

unión de los intervalos

1)=0,

-;-\

\ =-7,

+

Por medio de l¿

IG-l)-(x+2[(x -2) - (x +l

-3(2x+l\' ,>0-3(2x-l)

enconffando la

Como la inecu

donde aparecer

xa +5x3 -zoxx3 +2x2 -l3x

Factorizando ta

(x-2)(x+2)(t(x+5)(x-l

la inecuación d

(x-2Xx+2Xr

(x-2)2 (x+2)t

comoVxe R,

(x+2)(x+1)(;

enconffando lar

2x-25 2x+11 1L-\-

2G2 +2x-3) 2(xz -l) x+3Solución


2x-25 2x+II I ^.+ ' ^ - ' >0,factorizandoeneldenominador

2(x2 +2x-3) 2(x¿ -l) x+3

2x-25 * 2x+ll --1- > 0, efectuando operaciones

2(x+3Xx-l) 2(x-lXx+l) x*3

(2 x - 25)(x + l) + (2 x + I 1)(x + 3) - 2(x - l)(x + 1) > 0, simplificando se tiene:

2(x-lX¡+lX¡+3)

x2 -3x+5 > 0, como V x e R, x2 -3x+5 > 0, entonces:(x-lX¡+lXx+3)

a-x' - 3x+J >0 <+(¡-lXx+1X¡+3)

1

(x-1Xx+lX¡+3)

>0 <+ (x-l)(x+1)(x+3)>0, x * -3,-I,l(x - 1Xx + lXx+ 3)

encontrando las raíces de (x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0, donde r, - -3''z = -I'r3 =l

- I -\,r- -i -trr- -_- -tu. -i

>0

-3



(x-l)2 -(x+2)z ,n(*-2)2 -(x+l¡z -

"

-1 1

P(x) >0 la solución es la unión de los intervalosQQ)

Solución

l_-_.1

Sistems de Números Reales 217

Por medio de la diferencia de cuadrados

[(x- 1) - tx+ 2)l[(x- l) + (x+ 2)l > o .

[(x-2)- (x+ 1)][(¡ - 2) + (x+ l)]

-l!1"*l]ro a (2x+ r)(2x-i)>o-3(2x -l)

se tiene:

simplificando.

1DArA X +-,2

encontrando las raíces de (2x + 1X2x - l) = 0, de donde,1

I a' z

---\ t--- -\ r---*rt-\/+-112 112

Como la inecuación es de la forma P(¡) - 0 la solución es la unión de los intervalosQ@)


xa +5x3 -2ox-16x3 +2x2 -13¡+10

<0

Solución

Factorizando tanto en el numerador y denominador.

(x -2)(x + 2)(x +l)(x + 4) < 0, para x + _5,r,2

(x+ 5)(x - 2)(x- 1)

la inecuación dada es equivalente a:

(x-2Xx+ 2Xx + 1)(x+4)(x+5)(x-2Xx- 1) S0 para x+-5,1,2

(x - 2)z (x + 2X¡ + lXx + 4)(x + 5)(x + l) < 0 para x * -5,1,2

comoVxeR, x*2, (x-2)2 >0 entonces

(x+ 2Xx + lXx +4)(x+ 5)(x- 1) <0, para x* -5,1,2

encontrandolasraíces de (x + 2)(x + 1)(x+4)(x + sXx- 1) =0, dedonde:

1

2

2t8 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R,

2x3 -2x2 + x3

2x(e

*3 -rL*+x(x-3)(x-2)t

para x *3set

Como la inecu¡

donde aparece e

I x-32_<_<_5 ¡+1 3

Aplicaremos la

lx-32_<_<_5¡+13

rt =*5,


rz=-4, h=-2, 14=-l , rr=l

- I -\vr-;-\vr-: -\vr-;-\vr ----\vr -; -

-4-5 -2 -1

i{r3tl;"ztig;*:#

la solución es la unión de los intervalosComo la inecuación es de la forma !!t] = o

QQ)

-2x-1 n4-xJ .J , ¡32x+l¡(x-2)

-6x-lSolución

La inecuación dada expresalemos en la forma

3zx-t+4- x-6x+1, 3(2x+t)(x-2), de donde: 3-5x+4 t 32x2 -3 x-2

como a=3>0 + -5x+4>2x2 -3x-2, dedonde

2x2 -2x-6<0 e x2 + x-3<0, completandocuadrados " 1-1x'+x+-<3+-44

. 1.r 13(-r+-)- < -'2-4Jr3 i Ji3

(J222

J¡+r ú3 I

- .n,;-,

x l- 2x

f -Sx+O' 2x 3-4x+x2Solución

A la inecuación dada expresaremos en la forma

x 1 )t

-*

-- '^ ; > 0, efectuando las operaciones:

x2 -5x+6 2x 3-4x+ x'

2x2 (x - t) + (x - 2)(x . 3)(x - r) - 4xz (x - 2) ) 0, desarrollando:Zx(x -3)(x - 2)(x -I)

t"*,

,t:ii::

Sistema de Números Reules 219

i

zx3 -zxz + x3 -6*2 +llx-6-4x3 +gx2Zx(x -3)(x - 2)(x -I)

> 0, simplificando

x3 -lLx+6x(x-3)(x-2Xx-1)

('-¡x"+1:@xr+11JR)<O ¿3 " " ¿l

x(x-3)(x-2Xx-1)

1"+1:@¡t'* 3*{lParax*3setiene 2 " 2 '<O

x(x-2)(x-t)

---\ r---\ r---\ r-.--\ t----\ r---- ' i-\tr----\"rl- u - u +-3-\F -3+V7---z- -T-

Como la inecuación es de la for-u !(t) < 0 la solución es la unión de los intervalosQQ)

donde aparece el signo (-) es deci

l¡-32_<_<_5¡+13

Solución

Aplicaremoslapropiedadsiguiente: a<b<c <+ acb A b<c

lx-321x-3x-325¡+135¡+1x+|3

(+ "-3-lto A *-3-2.0x+l 5 x+l 3

(+ 5x-15-x-lrO A 3x-9-Zx-2.05(x + l) 3(x+ 1)

*-4 uo A "-11.0H x+l .r+l

220 Eduardo Espinoza Ramos

<á (x-4)(x+1)>0, x*-1 A (x-11Xx+1)<0, x+-1

ahora encontrando las raíces de (x - 4)(x + 1) = 0' de donde \ =*1 , r2=4,

rz=-I , 14=11

**-\ r---\ /--_--\./r;-

Sistema de Números R

(x-9)2" (1- x

Para xf9, (t

Entonces a la it

Factorizando

como Vxe R

entonces (x-1

ahora encontral

de donde: rt =

Como la inecui

donde aparece t

-

13.34. EJERCTCT(

R.esolver las sig

5x-2<10x+i

-1= ¡"- 1

=-l5 4:

x3x--I_a7 -b2

' a+b

?!*^>7+z3a 6b

+- +-\*rr

-'1 4

de acuerdo a la forma de la inecuación la solución es:

-1 11

-1 4 11O--- ---{

*4 5x2 +36

*a -lG *a -16Solución

A la inecuación dada escribiremos en la forma

__--:_---o

*4 5x2 +36

---<u*a -16 *a -16

(x2 -g)(xz +q) .o(x2 -4)lx2 +4)

ta -5*2 -16e ffi<g, facrorizando

,2 -9<- ^ -(Ux':4

(x+3)(r-3)' ' <u e (x+3Xx-3)(x+2)(x-2)<0,patax*-2,2(x +2)(x -2)

ahora encontrando las raíces de:

(x+3Xx-3Xx+ 2)(x-2)=0 dedonde rt=-3, r2=-2''t =2' r+ =3

---\ /-*- -\ r-:-\ r---\ r-*'v'-'v'*-v-v*

como la inecuación es de la for-u {9 < 0, la solución es la unión de los intervalosQQ)

I.

o@

o@

-3

donde aparecen los signos (-), es decir:

Sistemq de Números Reales 22t

(x-9)2" (l- *3)'"nt (*o -g) < 0, si n > l, n e N

Solución

Para x +9, (x-9)2" >0, ql-xt)r, r0, parax* l.

Entonces a la inecuación dado se puede simplificar, es decir: (l- x3 )(x4 -9) < 0

Factorizando (x -t)(xz +¡+1Xx-r6 )e+ J1)G2 +3) > 0, x * t,9

como V.xe R, x2+x+1>0, xz +3>0

entonces (¡-1Xx-.6Xx+.6) > 0, x * 1,9

ahora encontrando las raíces de: (x-lXx-rEX¡+16) = O

de donde: rt = -Jl , 12 =1, ru =,fj- I -\rr. -i -r*r- --- -\.r- l-

-/5 1 /5-

unión de los intervalosComo la inecuación es de la forma


Resolver las siguientes inecuaciones

5x-2< lOx+8 <2x+16

1_ 11--<Jx--<-5 43

x3x5---:-----;- +

-ct'-bt a+b a-b

2!++rI{*2x. a>b>o3a 6b

P(x) > 0, la solución es la

Rpta. <-2,1>

Rpt".r*,*r

I.

@

@

o@

Rpta.

Rpta.

5a+5bl+3a -3b

24ab<-6 '5a+l2ab-4b

Eduqrdo Espinoza Rqmos

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

Sistema de Números Re¿

x(3x+2) < (x+

4xz *8x+l<A

5x2 -l4x+9 <l

x2 +3x+2>o

1-2x-3xz > 0

3x2 -sx-2>o

(xz +2x)(x2 -I)

x(x-3)(x-l)(x

xa +2x3 -*2 +,

qxz + x-6¡14x-

2x3 +3xz -llx-

*3 -3*z -l3x+

x4 -4*3 -x2 +7

xs +3xa -5x3 -

*5 -6*4 -x3 +2

-l -Rpta. < --.--

@

@

@

@il.

@

2**6-3*.44

!*!rt+!, c>b>a>oabc

3x+82x_6<_5

3(x - 5) * 4(4 - 3x)>-2(7 - x) - 3(x - 5)

Resolver'las inecuaciones siguientes:

2xz -6x+3<0

2x2 +6x-9 <0

9x2 +54x> -76

-4x2 +4x+3>0

4x2 +9x+9 <O

4x2 -4x+7 >0

n4 -z*2 -8 < o

-4xz -8<-r2x

x2 -2J1x-2>o

3x?-lx+tl>4(x-l)

3x2 -l0x+3<0

Rpta. < -*,2)

abcRpta. <---+,+- >

ac+bc-ah

Rota. < --.4 t,7

Rpta. <3,+->

Rpta.<+,+,

Rpta. < -z:"1-z ,-z+:Ji 's+..6 .6-s

Rpta. < >u<-'+€>

Rota. < -1.1t' 2'2

Rpta. Q

Rpta. C.S. = R

Rpta. <-2,2>

Rpta. <--,1) \) 12,+*2

Rpta. < -*,.6-.F > u <.F+",6,+- >

Rpta. Vxe R

IRpta. <:,3 >

@

@

@

@

@

@

@

@

I

tt ".t

,::1.,i:.::

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

x(3x+2) <(x+2)2

4xz -8x+l<A

5xz -l4x+g <o

xz +3x+2>0

l-Zx-3xz >O

3xz -5x-2>o

(x2 +2,x)(x2 -l)-24>O

x(x-3)(x-1)(x+2)>16

x4 +2x3 -xz +4x-6<0 , l

(xz +x-6)(4x-4-xz¡<0'I

2x3 +3x2 -11¡-6>0

*3 _3*2 -13x+15 > 0

xa -4*3 -x2 +r6x-12>o

xs +3xa -5x3 -15x2 +4x+12>0

xs -6*a -x3 +29x2 +8¡-15<o

Rpta. <-1,2>

Rpta. < +Rpta. tl:l

z+Jj2

Rpta. <--,-2) LJ (-1,+->

IRpta. [-1,;l

J

1

Rpta. <--.-;>u<2.+->3

Rpta. <--,-3) \J (2,+-¡

Rota. < --- l-tEJ t, , - l*J.

2 J1-,*x)

Rpta. <-3.1>

Rpta. <--,-31 tr [2,+->

IRpta. [-3.- ^] u 12,+- >

¿

Rpta. <-3,1> U (5,+rc¡

Rpta. <--,-2> v <1,2> U (3,+-¡

Rpta. <-3,-2> u <- l.l> u <2,+->

Rpta. < -*,-tt* ;,¡. -i.:1Jf > u < 3,5 >

1r2 -2x-sXx2 - 2r- l),^2 - 2x-4) > o

Rpta. < -*, 1 - 2Jl > w< r - Jt, r -.6 r" r*, 

Rpta. < --,-l t u.1,l tJ

xa -3x2 *6x

x5 -6xa -r7¡

_1_Rpta.

xa -2*2 +gr-

4 ^ I -1x -¿x- -5x'

(x-7)(x-3)(x

(x+9)(x-3)(x

Resolver las ine

.r+l x2-x 3+x

1143x-1 - 3-2x

x*2 , x2 +2x-2 *2

x-2u xx+4 x-2

*3 -4 *3 -zx2+2'x2+7

x-1= 2x _ ;

x x*l x.

x2 +2 xz +l

-xa +l xa +I

@

@

@

@

@

@III.

o@

@

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@

@

o

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

-r5 -2t4 -15x3 > o

(¡3 -5x2 +i x-3)(2- :,2a

(x-a)(x-bXx-cXx-d) <0, si a 0

(6x + 3)z (x2 -l)3 (3¡ -5)7 < o

(3- x)3 \*2 -l)2 (1- x)5 x > o

"a -zx2 -3x-2>o

*a -3xt +5x2 -z7x-36<o

*4 <*2

(2x2 - 4x -l)(3xz - 6x + 4)(x2 + 4x - 2) > 0

Rpta.

x5 +8x4 +12x3 -xz -8x-12>o

(xz -L)(xz + 9X¡ + 4Xx - 5) > 0

(x + 2Xx + 3)(x - 4)(x - 5) > 44

x6 +6x4 +9xz +4>0

' r' '-&.-r*G t t, .'* & ,**,< --.-2-{6 >w<-.-l+{o >v<-

Rpta. <-0,1> \J (3,+*>

Rpta. <-*,-11 u [2,+->

Rpta. <-1,4>

Rpta. <-l,l> - {0}

Rpta. <-6,-2) U (1,+-¡

Rpta. <-*,-4> u <-1,1> (J (5,+*>

Rpta. Vxe B

Rptár V x e

Rpta" <-3,0> u <5,+*>

Rpta. [2.,?l

Rpta. <a,b> u <c,d>

Rpta. <-*,-3-ú0 >u< -5,-JZ >u<-3+ú0,Ji r u <2,+*>

R.

Sistema de Números Reales 225I

@

@

@

@

@

@üI.

o@

@

o

@

@

@

Rpta. .+,+>u<4-JG,r'u<4+JG,+->

xa -3*2 -6x-2<o

*5 -6*o -17x3 +l'Ixz +6x-1>o

*a -2"2 +8x-3>o

*a -z*3 -5x2 +lo¡-3 < o

(x - 7)(x- 3)(x + 5)(x + 1) > 1680

(x + 9Xx - 3Xx - 7)(x + 5) < 385

Resolver las inecuaciones siguientes:

x+l x2-x 3+x

I3x-7 3-2x

x+2 x2 +2x-2- *2

x-2 xx+4 x-2

*3 -4 *3 -2--;-<---;_-x'+2 x'+l

*-la2x _ xx x+l x-l

xz +2 xz +Ixa +l xa +l

Rpta. < t-Ji¡+Jz >

Rpta. < -*,-l- Jt > u < -1+ J2, +- >

npta. ¡:!-@,rf,' rt$,Lf,Rpta. <--,-71u [9,+->

Rpta. t-1- rhl,-41 w tz,-r+ Jil

Rpta. <--,-3) u <2,+-¡

1/Rpta. <i,rlu<-,+€>

Rpta. <2,+*>

1

Rpta. < *,-4 >u[-.2>'2

Rpta. <-2,0> U (0,+*¡

Rpta. <--,-1 >u<0,1>

Rpta. Vxe R

(xz + x-6)(x:

1x2 -4yx:

x2 -2x+3-;-x'-4x+3

5tx+3 x-l

Z>3r*l rlxx

xz -Zx+3___;_ ) _.x" -4x+3

Zxa +7i -

6x5 +17 xa +23

Rpta. -5-<-2

76

-_ =

q/x-l xt -1

lzxs -35x4 ----:-xo+15x)+78;r'

Rpta. ( €,

2x-I x+2_+_ >.x+4 3-x

l+ x3........_t(1 -x'Xl-x)

Rpta. < *€,-a '.

*2 -2, x+8x-4- 2

1 3x+1_<_<4xx

x2 +8 5¡-8

x+4 x-2-;--- ) --;--x'+4x+4 x'-4

12x+1 3x-l

| 2xz-3¡+32 (x-2)(2x+3)

2x-l 3x-l x-7_r_ / /LL_r+1 x+2 x-t

x x-3x2 +4- x2 +x+4

(xz -2)(x+5Xx-3)x(x2 +2)(x+3)

(6x+3)2(x2 + l)3(3x_-5)7 > o

(x+6)2 (2x+3)t7

(4x+2)2(x2 +2¡s12x-8)q - ^@'"x+4 x-2x-5 x+3

'tl

-+-<-¿x-4 x+2

RPta. <-*,4>

Rpta. <-*,0> u <1,+*>

Rpta" <-4,6)

Rpta. Vxe R*{-2,2}

Rpta. < -x'-l ¡.r.1., tJ

Rpta. < -*.-1' r.0,2 ) U( 2,+- ¡

Rpta. .-r.-1> u < -l,l > LJ ( 5,+- ¡

Rpta. Q

Rpta. < *,-5 > v < 4,-Jl> u < 0,J7 ) r.J < 3,+- >

Rpta. < -*,-g, u. -6,-1t r.!,** t

Rpta. < -1,q, -a,-f,¡

Rpta. < --,-J t ..r. -1,5 t

Rpta. <-3,-2> v <7,4>

x+4

>0

(xz + x-6)(xz - *-6)>0 Rpta. <-e,-J >v<-Jr,J, >u<3,+*>

qxz -+¡1x2 -z¡

x2 -2x+3--;-x'-4x+3

51_ +_ >'2x+3 x-l

z>3**!rlxx

x2 -2x+3-;- > -3x'-4x+3

Rpra. .t-{ ,-i > u < ; -:' r.:l'@.*- '76

___ <. \

x-l 12-7 -*

r2xs -35x4 -53x3 +53x2 +35x-12

Rpta. <-o.l ¡ u.l,r>u<3,- >'2'

Rpta. <-3,-1> \J <1,2>

Rpta. [-1,0>

aRpta. < *,1 > v < :.2> t¡ < 3,+- >')

Rpta. <--,-1 tra-1,, )\)<2,+*2

2xa +7x3 +lxz +6x+76xs +17xa +23x3 +l8xz +':.x+1

¡6 +15¡5 +78xa +155¡3 +".8x2 +15x+1

2x*I x+2 x-1x+4 3=x x+3

I+x3 *-r2+,4*r5

--:-_-

> _--_.--:---- r 9(l-x'Xl-¡) (l-x)-(l+xl

>0

<0

Rpta. . -*,-t-f ,..-:,-1, u..!f,z-Jt >v <r,2+Ji >

Rpta. <--,-4> u <-3,3>

Rpta. <*-,-l-r,5 > u<-1+16,t>u<1.2> i-r< Z,+*>

228 Eduardo Espinoza RamosSistema de Números Rea

4x4 -zoxz +8 .r*4 -5*2 +4

(-r-1)2(.t2 -1)(.r4 -1) > o(xa +l)(x-Z)

(f *sr*6)(/ -6G -a*-D .o@*r;Rpta. .q *,-3 rv.-2,!> v <1,2> u< 6,+- >

4x-244-x 5 x

3x2 +'7x+5 .,x2 +3x+2

(x2 + x-6)(xz - x-6) .O(x2 -+)(x? -t6)

(1+ x+ x2)(2- r- *217ra -2x2 -3x-z)Qi -q*-g(3xz -6x+4)(x2 +4x-2)(*2 -l)

Rpta. < *,-J1, u . -t -{9, -21 u I-L -G + 2 > w . f -t,, > vl2, Ji t u' G + 2,+* s

512Rota. < .- >' 1'1

x( x + 2)(xz - 3)(x +3)(x2 + 4)

Rpta. <-*,-31 v<-2,-J1>u [-1,0tu..6,¡] u [4,+- >

x 12 x*l

-<x+1 19 x+2

(x - 3)(x + 2)z (x + 1)(x - 4)

Rpta. < -Jo,-z>u<-1,1 >w<2,J6>

Rpta. <2,+->

Rpta. <0,2> u <4,+-¡

Rpta. <-2,-1>

Rpta. <-4,-31u [3,4>

1Rpta. < -*,-1> \J < 2,+* >

>0

23x_-+_->_x+I x-l i-

x2,? -sr+6-,313-<-+_x 4(x-l) 4:

(xz +4x+4)(x-(ll- x)(x2 +!

313

-+->_x-l x+I x

x-l_<1x+2

1x2 -5¡1x2 +

(xz + x+I)(xz -

3x-;-x' - x-6

xz -3x+2 .,xz -4x+3

- -

2x-25-----;-2(x" +2x-3)

x2 +4x+4_>o.*2 -4*-5-

"

2x-x2 -l

-(0

24x -x(2x2 -8x+8)(x.2x2 -3x+3 , _1

(x-2)(2x+l)- 2 x+6

23x+5_-+-x*1 x-1- 1- x2

x22x

-\x2 -5x+6 2- x- (3-¡Xl-¡)

313 l-<-+x 4(x-I) 4x+12

(x2 +4x+4)(x-9)2 .O(1 1- ¡X¡" + 5)

313

-+- >

x-l x*I x

x-l

-<lx+2

(x2 -s)(xz +l)(xz +x+l)(xz -3x+2¡

3x--;--x' - x-6

xz -3x+2 - n

f 4*+3-'

2x-25 2x+11

2(x2 +2x-3) 2(*2 _l) x+3

x2 +4x+4

-->o.

*2 -4t-5- -

2x-x2 -l----;------;- < 0x -x

nptu. ¡-1ll@,-, t ..r,9-",0 > u < 1,+- >

Rpta. <tr,+->

Rpta. <--,-6)v <2,3>

Rpta. <11,+-> u {-2,9}

Rpta. <-1,0> \J (1,+*¡

Rpta. <-2,+->

Rpta. < --,-..61 v <1,2> u [16,+- >

Rpta. < -2,2- ",f10> u < 3,2+ Ji6 >

Rpta. <--,3> u <4,+-> - {1}

Rpta. <-3,-1) rJ (1,+*¡

Rpta. 4--,-1) \J <5,+-¡

Rpta. <-1,0> u <0,1>

Rpta. <--,-6> U [-3,+-> .

>0

(2x2 -8x+8)(x+3)x+6

>0

230

I

E duar ilo E s pino za Ramo s

@

@

@

@

@

@

IV.

@

@

@

@

@

Sistema de Números Rc

x-2 u2x-3x+2 4x-1

63x-l x+I x

xa -3*3 -6,4O+ (x-t)(x-l

730_+_ <_x-4 x+2 )

3x2 +7x-6 3\-x'-x-6

2x--;---_-)_2x" +7x+5 x

x2 -3x+2.-;- > 0x'+3x+2

3xz *4-------:- < x+6x-6

Resolver las inecr

4x-3

(0.s) z > (0.06

27 x-t agx+3

2x+I

(0.2) 2 < (0.001

25x+8 a16x+5

32x-3 34-.r-lt-t >(3"^-

xz -zx+r , ox-7

2x+l - ^

-25x+l

xz +4x+9 .O*2 -4*-5

xz + x+2 .ox(x2 - x-2)

233x-2 x+2

1?,x2 -4*

2+x.-,xz. rox2 -zx1l

xj * i? -8,x+I2 aOx2'+5x-14

xz +8x-12- x3 ,_O

7x-x2 -6

Rpta. <1,+->

Rpta. [-2,-1>

Rpta. <-1,5>

Rpta. <--,-1> u <0,2>

)10Rpta. < -r,trr.-.,¡ a J" ,ae >

Rpta. [-4,-2>u <2,6]

Rpta. [-1,1> v <I,2]

Rpta. <--,-7>vf-3,2>

Rpta. [-3,1> u <6,+-> U {2}

Rpta. <--,-2>o <0,2>

Rpta. <-3,-2> u <-1,1>

Rpta. <*,-l t u.0,1> u< l,+- >

Rpta. <-2,+->

x-2 x+2

x2 +3x+2 x-2x-2 x+2

-l

l-x

xz +8x+24 ,fx+2

Sistema de Números Reales231

*-2_r2x-3x+2 4x-l

637 _-<ox-l x+l x+2

xa -3*3 -6xz -2gx-244O + (x -l)(x -3)(x + 4)(x + 6)

7307_+_x-4 x*2 )c+l

3x2 +7x-6 3x? +l6x-12--;----1--

x- - x-6 x' -4x-12

2xx----;....=....- ¿ -=-2x'+7x+5 x¿ +6x+5

x2 -3x+2-;->0x'+3x+2

3x2 -4 < x+6x-6

Resolver las inecuaciones siguientes:

4x-3 3x-2(0.s) z >(0.0625) 5

27 x-l <gx+3

2x+t ZL2(0.2) 2 <(0.0016) s

25r+8 < 16r+5

¡2x-3 ¡4-,t, =.r, >(32x+I\\x_2j.)x-l

-t

I< -x.-) ¡ L.¡ q:.ll u[4.+* >

5. -r,-;> L/ < -l.l > L.¡ < 5,+- >

3x_;->1x'-x-6

_+_<2x-2 x*4

^ ¡-2 x-3¿__x-I x-2

x2 +l}x +16_.------>10x-I

2

" *4>¡+10x-2

- l-8x1+ "_ l0x'+4x+3

Rpta.

Rpta.

rv.

@

@

@

@

@

Rpta. .+- >

Rpta. <--,9>

Rpta. < *,1t2

Rpta. <--,12>

Rpra. < -1-J33. -1+J33 >44

1

4

232 Eduardo Espinoza Ramos Sistemq de Números Ret

*4[q,- >'.]12,

'{{onr¡'- s.

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@ Jó-.#""ffi

t(o.tl (0.5;e ,"'-' <6'l?58'

" o3-xg(x-l)' ,

/ -

g"*r.3

'16,.3 .'-4lty*s

^tr^ <{;*'

J81"* .Jzn*6^. ^.2Jta !)

Q56)t; t 2et'2-et2.33x+1.2565tx2- l6r

Tzg"t .243* 2436.275*-6

gl2" 274^

Rpta. Vxe R

Rpta. Vxe R

Rpta. <-*.-l) U <1.+->

2lR.pta. < --.-Tj

Rpta. <110,+*>

Jn%+n Jzzm_zt ,Rpta. <-- * , g6

Rpta. <--,-l) u <2,+-¡

Rpta. <1,+->

Rpta. <--,13>

131Rnta. < -€--- >' 2r7

Rpta.

Rpta.

Rpta.

1(--.-l>u<1.->J

Vxe R

434

-,{e )

94

Rpta. <--,-3> u <-2,-11

@

@

@

@

@

@

@

@

3^' .32' > zj

x-5 x-9

22 >93

5¡+3

(0.216) 4 >

5

@2¡*-t > (64)*1

[(0.3; {'-tlt'-zl

, '-3

fr00032f- .

> [(o.og;"'-+ r--'-n

Sístema de Números Reales 233

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

( J-".iñ J 6)'6r r'.do lz,

"

ee )+ ."F.16 3¡4s,u

*ilo.oo8r" >,-t[604r", Rpta. <1,2> u [3,5]

Rpta. <-3,0> :rt),zl

Rpta. < -#,-r>u<5,+->

*{ft0r4)'-' > tfuzf

*doror6¡* ' "-{[6t'.'

*l[+.* >*+!*

"1ft0-orr- <'.{o.rF-

, da.zP

*t a,1 rr+z¡ I

,*2-:,5 625

"-ireF=".ffi

\22*-3 ¡72+-"¡ _ *,,r[f,114__---;----;--\v¿2rA-l

r,"-{ooo632¡- . "drJr,'-'

l---------]----T-¡------]-_.r/t0.5)0"-3 r fto.625)3*-t

Rpta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

<-l,Zlw < 5,+* >

<-3,-1> u [3,+->

<-3,0 ru.!3,

< --, -21 u [ -!,** ,

Rpta. <-3,3>

Rpta. <--,-3> v <-2,-ll

Rpta.

@

@

I( -1,a-, -{-r}

(0.1)'-3 < lo'*3

[(0.5)"' .(0.5;o 1{"2-:r > Q'12})3

8'

234 Eduardo Espinoza Ramos Sist¿ma de Númelos Rea

J"-: + Jf-,

GJ+J'_s>

@

@

.^. r--__:A9 ,'!+-,lt-x -Ji

+t6rs-,¿:l-*3 -z*

> G+tI---_--r/x -1

8.6!;x+2x-l

v.

o@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

Resolver las ecuaciones siguientes:

G-stl;+118 > o

x+2<t/r'.8

G--!6;>1

tl*2 -t < Jr+t

Jrx-g <3- x

J;.-t -8(x2 -Bx+12¡

(x- 4)

x2 +2

"p -2*a5 ¿ *¡1

Jtr4 > -J4x-r2

$"-3-J"-1¡6

Jat;-o-J; ,_ox-1

> V"-10

<0

Rpta. < --,1-.6 > u < 1+16,* > -{itG}

Rpta. [0,4>

I

Rpta. [:.1>

RPta. [0,+*>

Rpta. <-2,0>

xvta. g,{P1

Rpta. [1,2>

Rpta. Q

Rpta. [2,6] U {1,8}

Rpta. <--,41

Rpta. <--,-31

RPta. [3,+*>

RPta. [1,+->

Rpta. [64,+*>

Rpta. [7,8> u {0}

l

tL*

*+Ju-t

xz -2x+2

tl*'-6*-J*

Sistema de Númetos Reales 235

@

@

Jx-: +J6-;. J"+r

Jx_l+Jx4 t Jr+1

RPta. <3,+*>

Rpta. < iJ,s1J

r,i Rpta. [e, +Jf.i.

nPtu' ¡-2.@:!1L'' 2

t

- -r/Jx -¡ +Je -J*

f-{{x +1

r-'---'---':€t J+-Jr-" -Jz-,>o

<1

, ,,,;i¡!i

@ J-r+2 3"[-[¡f,i¡J-%+6

1---_-r/x -1

8.6!;

+f6rs - r' { t 46 + 4¡8 1xz -t¡2,3 -2*2 - x+2

' 1: '""l

> Ji+t

Ei/l-t!"-t i

<0

Rpta. <--,31

Rpta. [-25,-2] t-.¡ <-l,tr>_,.u {25 }

Rpta. Q

il

It

--Jx2 -q.1lx+4 ^:(u.

4l*2 -+r+3

r-:-I'lx+4 +2 - A

\2-Jx+q

i'.¡,

-l4xi13i2 xj-3

xz +3x+4

-l4x-13 < x+I

236 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Re,

Jf 4. <^lzt-,

'la-ú- x -J:

r;-- - rVx'-óx-r/_r

8-¡

@

@

@

@

@

@

T-_-_^tl24-2x - x'

x

E;4 E;l-+ l_\ x+z '!x+l

l-

I'l*'-+*-s -tli-5'J;' -*-nG-

xz - x-12(x-

*2 -16

xz -3x+2 > 2

tl x' -5x -J3:

xz -5x+4 -

@ ffi*.,

@ ffi.a

@

@

@

@

@

lxx-2x-2 x+4 x+I

lxz -gl-zx .olx+51+5

4 x+4x-4 x-4

3x+a 13x-a -1) < 3' -81

Rpta. <8,+*>

Rpta. < Jro -r, t+Jto >

Rpta. <18,+*>

Rpta. <0,4>

Rpta. <-5,-21u [4,5>

Rpta. [-a,-1] u {a}

Rpta. [0,4]

Rpta. [-4,-2] v Í2,31

Rpta. x = 5

Rpta. <--,11 u <5,+->

Rpta. [-5,3]

Rpta. [-3,0] v <2,5)

Rpta. <2,41

> x-5

'[t -6.+s +'[t -i*to =o

,[7 4-+s +^[7 -7*+ro ro

tla-^lx+tlcJ¡+5

1t.' - r. -ts(x3 - 6xz + 9 x)

(x-l)4 (x-2)s<0

@

@

@

@

@

@

*2 -L6

ll^

Itlx" -6x-'lx! 8-"

ñ.,x

h4. <^[l+4r-]

,[7 -.-n(x-5)(zx2 -3x_ 2) <o

> {fi-lo

) ¡-10

@ ffi2x-6,k- . -fz(x - 5)(2x2 - 3x - 2) < o

> x-4

> x-6

Rpta. [-2,1]

Rpta. <-*,-31u [4,5]

Rpta.

Rpta.

Rpta. <2,+->

Rpta. [7,8> u {0}

Rpta. [-6,3]

Rpta. <-2,1> u [3,5]

Rpta. [8,9> u {0}

Rpta. [-5,-3] u {5}

Rpta. <--,-31u [4,5]

Rpta. < -zJl,-z1w lt,zJ, >

Rpta. [-2,0] u [4,5]

-3x+2 > 2- x

-tlx' -5x -J3x

,[; ¡*a¡3

-5x+4 -2

238 t Eduurdo Espinoza Ramos Sistemo de Números Re

Demostraremos

la+blz= lqa+

< lol'

la+ul2 < 1l alt

@ lal=o e

@ lal=u €

@ lal=lbl,

@ Sí b>0, e

i) lu l.

@ Si a,be R

i) lu It

@ D lal=^

La demostración

Ejemplo.- Resc

l4x+31=7 a

(+

Luegopará x=1

@ ff.rffi-o

'[f *tG'-4x+r)4x+ 4

.,/I+¡+ J;¿>G;

^'2;t +Jz*-i > J4xi + Jfx -4

Jzxn+JiJ-.,1r.+s <&.

x-9+- > (.)

x-8

@

@

@

@

@

@

>0

'Rpta. <-3,1> u [4r5]

Rpta. < -./3,r/3 >

Rpta. < -1,?-J5 tu < 2+!5,- ¡

' J7;2* *.[-' +4- rt

a>0

Ejemplo.- ll l=1, l-l l=-1-11=l

b) PROPIEDADESDELVALOR

@

@

@

lul>0, Vae R

lal=l-al

t9-¿!!). b + o'b' lbl

ABSOLUTO..

@ lul>u vae R

@ lab l= lu llu I

@ | a+b I s I a | + lb | (desigualdadtriangular)

@

@

@

a) DEFINICIÓN.- Al valor absoluto del número real x denotaremos por I x l, y se

define por la regla.

xz -zx*15 > x+7

rF.tJIf ,n

-Ja*xz -Jx

lolrl-16-.{2

Sistemq de Números Reules

@ i) l"l=^[7

i

I)emostraremos la 6o propiedad, las demás dejamos para el lector.

la+bl2= l¡a+b¡2 | =(a+b)z = o2 +2ab+bz

< l " l' +zl all b l + l b l' = ( o l + l b l>,

la+blzs(lol+lál)2 entonces la+bl<lal+lbl

lal=O (=l a=0

lal=U <+ [b>0 n (a=b v a=-b)]

lal=lUl o u=b v a=-b

Sí b>0, entonces:

i) lalbva<-b

ii) lalb ¡:a ¿)bva<-b

ii) lol'=o'

@

@

@

@

La demostración de estas propiedades dejamos para el lector.

Ejemplo.- Resolver la ecuación l4x + Z | = 7

Solución

l4x+31=7 e¿ 4x+3=7 v 4x+3=-'l

<+ x=l v *=-52

Luego para x = 7, x =- t-

ron soluciones parala ecuación dada.2',

240 Eduardo Espinoza RamosSistema de Números )

Ejemplo.- Resolver la ecuación l2x + 2l = 6x - 18

Solución

l2x+21=6x-18 <+ [6x-1820 A (2x+2=6x-18 v 2x+2=-6x+18)]

<+ [x>3 A (x=5 v x=2)]

Luego la solución de la ecuación es x = 5.

Ejemplo.- Resolver laecuación l* -21= | 3 -2x I

Solución

lx-21= 13 - 2x l <+ x-2=3 -2x v x-2=-3 +2x

Ejemplo.- R

lZx + 2l= gy

Luego la soluc

Ejemplo.- Re

lx-21=l:-

Ejemplo.- Hd

lax+11-l¡x

5*=i v x=1,5

la solución es: {1, }3

l4x+tl-l*-11x

Ejemplo.- Hallar el valor de la expresión:

Solución

l+x+

si xe

I +'*t_l-t

l-+x-t

),1> +

lax+Il-

1x)--4

Ix<--4

l'-11x>7x<7

f*-l ,

l.t-*,lo,

l+x+tl=]l-<,t

si xe <0,1> =

, l4x+lLuego:

l4x+

l"-11

<0

I

1l=4x+1, l*-11=1-x

4x+I-(l- x) 5x- -{x

, para xe <0,1>

Luego:x

l4x+tl-1"-tl -x

23

Ejemplo.- Resoiver la ecuación l2x + 2l = 6x _ 1g

Solución

lZx+21=6x-18 (+ [6x-1g20 A (2x +2=6x

<+ [x23 A (x=5 v x=2)l

-18 v 2x+2=-6x+1g)l

235Luego la ¡iolución de la ecuación es x = 5.

Ejemplo.- Resolver la ecuación l^ _2|= | 3 _ 2x

I

l*-21=13 -2xl

Solución

<+ x-2=3-2x v x-2=-3+2x

v x = 1, la solución es' ff,ll

Ejemplo.- Hallarel valor de laexpresión: lax+l l-lx-l l, sí x e <0,1>

Solución

5(+ x=-3

| +*+t, ">-1l4x+t | =l 4

l-q*-t . ".-1l4, l"-r l={:-t

ll -¡, ¡>l, ¡<l

si xe<0,1> = l4x+11=4x+1, lx-ll=1_x

Luego: la¡+ll-lx-11 - 4x+1-(1-¡) =

t" =,

lax+l1-lx-ll=5, para xe <0,1>

242 Eduardo Espinoza Ramos Sistemq de Números

Para calcular

encuentran a

mayor de todr

De donde [l.r

Ejemplo.- H

De donde [13.

Si x se encuen

Entonces:

Ejemplo.- Sí

NOTA.- Co

itq

OBSERVACI(

Ejemplo.-tlx ll

Ejemplo.-tlx ll

Ejemplo.- Resolver la inecuación lZx - S | 

Luego la solución es x e <1,4>

.>--<Ejemplo.- Resolverla inecuaciónt l-1.3

Solución

t-_<l::_41<z <+r-6

2x-5

-<Jx-6

^ 2x-5 ^ 2r-5--1,

q-al <+ -3<-'" " Ax-6 x-6

5x -23 x -13_>0 _\ >0x-6 x-6

€ (5x-23)(x-6)>0 ^

\.r- --- -\rrt a- -

23/5

(x- l3)(x -6)>9, x*6

---\ t--- -\ /----

13

G---

A13

23xe<--,J>u<6,+-> A <--,6>U<13,+*>5

2315 6

------oLa solución es: x e< -*'2 > u < 13'+- >

5

Si x es un número real, el máximo entero de x representaremos por Il " ll y es el mayor

de todo los entero menores o iguales a x, es decir:

Para calcular el máximo entero de un número real x, se observa todos los enteros que seencuentran a la izquierda de x (o que coinciden con x, en caso que x sea entero) y elmayor de todos ellos es el máximo entero [l x l] , por ejemplo:

De donde [1" l] = Z

Ejemplo.- Hallar [13.7l]

De donde tl:.2 ll = g -1 012Si x se encuentra entre dos enteros consecutivos de la forma:

x n+1

Entonces:

Ejemplo.- Sí [lxl1 =5 c+ 5<x<6

NOTA.-

Ejemplo.-[lx l] = -4 <+

Ejemplo.-[l xl] =z.tS,

ll"ll =-s <+ -5<x<-4

como se podrá observar siempre se toma él número entero más próximo a laizquierda.

OBSERVACIÓN.- Por definición de máximo enrero se riene:

[l xl]=n <+ n(x<n +1, teZ

(+ xe [n,n+l>, ne Z

-4Sx<-3 :+ x€ [-.1,-3>

es absurdo, puesto que todo m¿íximo entero es un número entero.

244 Eduardo Espinoza Rsmos Sistema de Números R

tl* ll e Z, por definición

V x e R, tl ^ ll

< x, por definición

0<x-tlxll<1, VxeR

[lx+nl]=tl"lf +n, neZ

Enefecto: sea[l xl]=tt,te Z,entonces ksx<

= k+n(x+n<(k+n)+i

=+ [l x+ n11 =k+n= tl x l] +n

tlxll<n €t x <rt+I, neZ @

tlxll>n(+x)n,neZ,xeR @Vx,ye R, sí x<y <+ tlxll<tlVll

llx+yll>tl*ll+tlvll(flxll=m m1x<m+l

En efecto: Sean {'i l- =ltlYll= n n3Y<n+l

m+n(x+Y<(m+n)+2

entonces tl x+yll=**n o m+n+1

porlotantotl*+yll>-n" .'. tl

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

k+1

tl*llcn

llxll>n

c+ x<n, nez

<+ x>n+1

ll^ll=xexezll*ll<x<[lxl]+t, VxeR

tl tlx ll ll = tlr ll, v x eR

@ si *= n

@ si uyu,

D aS[

iii) a< [

Ejemplo.-

Resolver la ecu

[l3x+111=2

Resolver la inec

¡l5xll<3 =+

[l2xl]<x

Sí x<0 + 2

Es decir [l2x l]

Sí 0<"<12

Es decir [l2x l]

ISr ¡>- + 22

J =q -*,0 )

@ tt nez* + [lnxl]>"tl*ll

Enefecto: Sea [l xl]=* =+ mlx<m+1

= nm(nx<urn+n

+ [lnx l] ) nm

x+yll>tlxll+tlyll

.'. [lnxi]>ntlxll

@ ttxeRy neZ* , entonces il Ikll ll = tl{ llnn

qj) Si aybe Z, xe R, entoncessecumple:

i) a<¡lxllsb

iii) a<[lxl]<b

Ejemplo.-

Resolver la ecuación [l 3x + 1 l1 = 2

Solución

[l3x+1 l]=z + 2<3x+t<3 + !rr.?33

Resolver la inecuación tl 5x ll < 3

Solución

tl5^ll<3 + 5x<3 =)

[l2xl]<xSoIución

Sí x< 0 + 2x<x =+ tl2^ll< 2x<x

Es decir [l 2x ll < x

Sí 0<x<1 * O <2x<l =+ tl2xll=gq"2

Es decir [l 2x l] < x

ISi x>; =+ 2x>r + tl2xll>t esdecir: tlzxll*x2

,S -< --,0 t u. O,f >2

t2entonces ". [t,r t

ii) a<[l^l].5 *a<x<ba<x<b+1

a+1<x<b

Jx<-5

Jx€( --,; )5

246 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Re

a) Si x<2

-(x - 2)(x

b) Sí 2<x<

c) Si x>3 =

S, = [3,+.

S = <-1,2> r

qx3 -t¡1r2 +t;,

llxll-x>0, er

Vxe R + [1.

Luego resolvere

(tl*-2tlxllll)

tlx-2tlxllll=

i) Si x<0, =

(x - 1)(x +

ii) Si 0<x<

iii) Si x>1 =

rlfii=z

tl 2x ll < tlax llSolución

sea [l4xi]=p e P<4x<P+1 * t=z..t*+<!+t

Ptl2x ll < tlax ll = -r '5

Sí .x>l - -5*.*5

pn

= ll2xll=i A LeZ22

O.i =+ 0 1; supongamos que: [l x l] = t

+ [lx- 1l] =k- 1 <t= [lx l] dedonde,Sr =[1,+->

Sí x<1, entonces tl*-1ll<g ^ tl*ll<0

entonces tl ^ - 1 ll < Il x ll .'. ,92 =< --,1>

(tlx ll - 2)(x-2)(x + 1) > 0Solución

S=R

a)

b)

c)

ii)

iii)

i

Si x<2 + Ilx ll-2<0, luegoresolveremos

-(x-2Xx+1)>0 esdecir (x-2)(x+1)<0 dedonde S,

Sí 2<x<3, entonces [lxll-Z-0 dedonde Sz=Q

Si x>: = tlxE-Z>0 luegoresolveremos (x-2Xx+

=<-1,2>

1)>0

53 = [3,+- >

S=Z*

1x3 -1¡1x2 +t¡/[ffi12sSolución

tl * ll -x 2 0, entonces [l x l] > x, pero pordefinición se riene: tl x ll < *,

Vxe R + [lxl]=^eZ

Luego resolveremos (x3 -t)(xz + 1) > 0 =+ x > 1

(tl x-2 tl x ll 11) (x- 1)(x + t) z 0Solución

tl x-2tlx ll ll = Il * ll -2tl x 11 =- tl * ll

i) Si x < 0, =+ -tl x 11 > g, entonces resolveremos

(x-lXx+1)>0

Si 0<x

Si x>1 + [l xl]>0, entoncesresolveremos (x-lXx+1)S0 53 = {1}

- t')tl=ll=2.x+J

Solución

Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R¡

Por definición r

tll x l-zx ll = o

ahora por la prr

se tiene: 2x <

además se cono

1o Si x>0

2x<0 A

La primeri

2" x<0 =

2x<-x A

la segunda

Por lo tanto la s

Para el estudio r

En primer lugar

En segundo lugt

a) lo96 AB =

il#l]='4:'

Seconoceque [l xl]+n €+n<x<n+1

z<**2 .3 (+ 2<t- | <3x+3 x+3

t<-l .z <+ t<- 1 A -! .zx+3 x+3 x+3

1+1<oA2+r>ox+3 x+3

,*4<0 A 2**7 rOx+3 x+3

[(x+4)(x+3)10 A (2x+7Xx+3) >0], x*-3

xe [-4,-3 > A *..-*,-!>(J <-3,+*>'2

Solucién

Luego la solución es: *el-+,-f,>

Resolver la inecuación f l$ tf > +

Solucién

Aplicando la propiedad siguiente: Sí y e Z, llxll> y c+ x 2 y

4ez,lllol-tl]=* (+ l*L-r>+ €) lxi-r>zoLl sll 5

c+ lx l> Zt <á x>21 Y x< -27

La solución es: x € <-*,-21f u [21,+->

Resolver la inecuación tllx l-Z¡ ll = O

Sistema de Nútneros Fleatres -),40

Por definición de máximo entero se tiene:

lll.rl-z¡l]=o e+ 0<lxl-2x<1 €+ Zx<lxl<t+2x

ahoraporlapropiedadtransitiva (a<b<c <3 a 0 + lx l= x reemplazando en (1) se tiene:

2x<0 A x<1+2x = x<0 A x>-1 = xe <-1,01

La primera parte de la solución es: x e [0,+*> A <-1,0]

2" x<0 = l*l=-" reernplazandoen(1)setiene:

2x(-x A -x< 7+2x = x<0 A "t-f = *..-1.0,3 3-

la segunda parte de la solución es: x e <--,0> n < - ]- , Ol -3

...(1)

:9 x=0

Ixe < --,U >

J

Por lo tanto la solución de [llr l-2rl]= 0 es:

3.39. INECUACIONES LOGAR.ÍTMICAS.-

Para el estudio de ias inecuaciones logarítmicas es necesario recordar lo siguiente:

En primer lugar Ia definición de logaritmo es decir:

loguN=.{, ++,N=bx, N>0 n tr!0

En segundo lugar las propiedades del logaritmo

a) logu AB = logu A + logu B

"..-1,0>u{o} =.-1,0,

b) beo*=bg A-toga B

250 Eduardo Espinaza RamosSistemq de lVúmeros Re,

2" CASO.- CuZ

i) I-,os númer

ii) Los númer

R* se tiene

sí 0<b<

de donde d

Sí x>0, (

Sí x>0, C

OBSERVACIÓ

Iog6 a>logu c

1og,,a>c é

Ejemplo.- Rer

Iogr(2x+ 4) > lo

Calculando ei car

2x+4 >0 ¡ 5x

como la base es

log.r(2x+4)>Loi

c) log¡, A" =nlogt A d)1

logu\lA = llog¿ An

e) logrl=0 f) lográ=1

g) logoN=log, N

logu a

En tercer lugar se observa la gráfica y=logü ¡ cuando b > I y 0 < b < l. También

dentro del campo de los números reales, sólo tiene logaritmo los números reales positivo:

ahora gratificamos la ecuación y =logo x .

Al observar la gráfica se tiene los siguientes casos:

1' CASO.- Cuando la base es b > 1, en la gráfica podemos observar:

i) Los números mayores que 1 tiene logaritmo positivo.

ii) Los números entre 0 y 1 tiene logaritmo negativo, entonces

\,x2€ R+ se tiene

Síb> 1 y 0<¡r <xz e logr;rt <logux,

De donde deducimos las relaciones siguientes:

a) Síx>O,b>l; NeR + logrx>N <+ x>b"

b) Six>0,b>1;NeR = logux<N <+ x<bn

para cualquier

2' cASo.- cuándo la base es 0 < b < 1, en ia gráficapodemos observar:

i) Los números rnayores que 1 tiene logaritmo negativo.

ii) Los números entre 0 y 1 tiene logaritmo positivo, entonces para cualquier xr,x, de

R' se tlene:

Sí0<b<1 y 0<xt(xz <+ loguxr>logux,

de donde deducimos las relaciones siguientes:

Síx>0,0<b<1yNe R = logrx>N <+

Síx>0,0<b<1yEeR + logr.r<N €+

0<¡<bN

x>bN

OBSERVACIÓN.- Resumiendo, parala solución de las inecuaciones

obtiene de la siguiente manera:

logarítmicas se

logu a>log, c (+

. la>b' si b>llog¿a>c <+ J

lo<b' si 0<b<l

Ejemplo.- Resolverlas inecuaciones siguientes:

logr(2x + 4) > log, (5x + 3)

Solución

Calculando el campo de existencia de los logarítmicos dados

2x+4>0 n 5x+3>0 dedonde x>-2 ¡ *r-15

como la base es 2 > 1, entonces se tiene:

ta>c si b>llacc si 0<b<l

1

U -< -r.+- >J

log,r(2x+4)>logr(5x+3) e 2x+4>5x+ 3 = "<1JI¡e< --,3 >

252 Eduardo Espinoza Ramos Sistemq de Números Rt

. .x+15tog"(--) >.{-l

El logaritmo da

Luego el campo

. .¡+15Iog,(.-) > I'" x-7'

x+I5-x2 +xx-I

dedonde xe <

La solución es:

Resolver la inecu

Aplicando la prol

para nuestro cas(

log,r, (2r + 5) < -

2x+5>9 e 2

Resolver la inecu¿

Aplicando la propi

para nuestro caso

La solución es: .r€< -1,*- > ñ < -*, 1

r=a - I

535

logt(2x+5)<-2l

Solución

Calculando el campo de existencia del logaritmo

2x+5> 0, entonces

Icomo la base es : < 1 -

3

log, (2x+5) <-2 e3

S=.-35

x>2 + xe <2,+->

I3

1

J

55* , -; de donde Q -q -1-,¡a 2

entonces se tiene:

I(2x+5>(-)-2 = 2x+5>9 +

-t

Luego la solución es: x€< -1,*- > ñ < 2.+* >=<2,+* >2

logt(lx- 2l-l)> t ,olución

Calculando el campo de existencia del iogaritmo

l"-21-1>0 + lx-21>l = x-2>1 vx-2<-1 = x>3vx<1

de donde U - <-*,1> u<3,+->

como la base es 2 > 1, entonces se tiene:

logr(lx-21*t;>t = l*-21-I>2r

:+ lx-21>3 = x-2>3 v x-2<-3 = x>5 v x<-1

^ 6 q--,-1) \J (5,+->

La solución es: x € (<--,1> u <3,+->) n (<--,-1> u <5,+->)

S-<--,-1>u<5,+->

. .x+15log-1-¡ t ¡x-l

Solución

El logaritmo dado está bien definida sí x > 0 y

Luego el campo de existencia es U = <1,+*>

x* I ademá, "*l5 tox-7

i

t

I

I

t

Ir

, .x+15. x+15 r x*15logx(-)>l = -, >.r' + -- _--x>0,dedondex-l x-l x_l

x+15-xz +x >0 =+x-1

dedonde xe <1,+-¡ ucl,5>

La solución es: x e (1,+*;, ñ (<--,_3> u <1,5>) = <1,5>

Resolver la inecuación logr,r(2x+5) < _2


para nuestrocaso 2x+5>0 ==+

Solución

x>0,0<b<1, Ne R,

5x>--2

loguxcN <+ x>bN

Iogr,r(2x+5) < -2 (+

2x+5>9 e 2x>4

Resolver la inecuación


para nuestro caso se tiene I x-2¡ _

1,t--azx+) > (-) -3

= x> 2 , la solución es: x € <2,+*>

Iogr(l x -21 -t) t r

Solución

x>0, b>1, NER, logux>N €) x>bN

I >0

I

i

;

254 Eduardo Espimoza Rsmos Sistema de Números Reale

La ecuación dada s

2lxl=¡2 -3 €

{+

(+_---_------{

#--3 -/5

l"-al=lx-21

Aplicamos la propi

l*-al=lx-21

l*-zl=13 -2xl

l*-21=13-2xl

2lx+21_l¿**t _11=2

Apiicando la definir

lx+21={:::

l*-21>1 <+ x-2> I v x-2<-1 €) x>3 v x <l

log2(lx-21-t)tl (3 l^-21 - l>2

lx-Zl>3 <+ x-2>3 v x-2<-3 (+ x>5 v x<-1

La solución es x € 4-*,-{¡ u <5,+->

Resolver las siguientes ecuaclones:

lxz +21=2x+l. Solución

Por definición de valor absoluto I x2 +2]i= xz +2 ... (1)

Alreemplazar * l12 +21 =2r¡1 setiene:

x2 +2=2x+1 de donde xz -2x+1=O

(x-I)z = 0 entonces x = 1' Luego la solución es: x = 1

lx2 - x_ 61= x+2Sol.uciQ4

[x+220 A (x2 -x-6= x*2 v x2 -x-6=-x-2)]

1x2 -2x*8=0 v x2 =4)l

(x=4, x=-2 v x=t2)l

\-2,2,4\

lx2 -x_ 6.=x+2 <+

€) lx> -2 lt'

€ [x> -2 lt

La solución es el conjunto

x2 -2lx l-3 = 0

Solución

La ecuación dada se expresa así:

Zlxl=a2-3 e l*2-3>0 A (Zx=xz-3 v 2x=-x2+3)l

<+ [*'>3 ly (*2 -2x-3=0 v x2 +2x-3=O)]

(:) (r>ó V x<-",61 ,r (x=3,-l V ¡=-3,1)

La solución es-3 _,re" -1 1 v/5 3

l^-al=lx-21Solución

________o

Aplicamos la propiedad:

l"-al=lx-21 <+

(+

{+

l* -21=13 -2xl

l*-21= 3-Zxl

o-

lal=lbl <+ a=b V a=-b

x-4=x-2 Y x-4=-x+2

-4=-2 Y 2x=6

0 V x=3, LasolucióneSx=3

Solución

x-2=3 -2x Y x-2= -3 +2x

-5s"== V x= I. Lasoluciónes: {l.l}33'

{-3,3}

1lx+21 _l l{+l _ | l- 1f,+l r r- tt-L

Solucióq

Aplicando la definición de valor absoluto

-, F {'""'-1| 1 _1x+t

, x>-l, x<-1

I:

256 Eduardo Espinoza Rqmos Sistema de Números Real

analizando en cad

Para x<-3 =

Reemplazando (2.

efectuando y simp

luegocomo x<-l

Para -3 <x<-2

Reemplazando (3)

efectuando operac

luego la solución e

Para -2 1x<2 =

Reemplazando (4)

9-x2 +4-x2 =5

iuego la solución e

para 2 <x<3 =

reemplazando (5) e

efectuando y simpl

- - -\ /- - - -\ +frr

fl x+21=-¡-2Dara x<:2 -r--- " - - ll¡x+l tl -1 nx+lll¿ -tl=t-z

reemplazando en laecuación 2lx+21 -12'*t -ll =2'*r +I, se tiene:

2-x-2 -(l-Zx+t¡-2x+1 +1, simplificando 2-t-2 =2 :=> -x -2= 1 =9 x = -3

Luego x < -2, la solución es x = -3

llx+21 = x+2Para-2<x<-1 = i

||z'*t-'l=l-2**l

reemplazando en la ecuación 2'*2 - (I-2'+l ; - 2x+t + i , simplificando

2"*2 =2 + x+2=l = x=-1, como -2 lx<-1 entonces x=-1 noessolución

llx+2|= x+2Para x>-l :+ {

|| z-*' -ll =2'*t -l

reemplazando en la ecuación se tiene: 2x+2 -12x+1 -l) = 2'*1 +1, simplificando

2x+2-2x+2 t x+2=x*2, VxeR

Luegolasoluciónpara x>-1 es R A[-1,->-[-1.*>

Por 1o tanto la solución de la ecuación es:

lr' -gl+lxz -+1=5Solución

x=-3 y [-1,+->

A la ecuación l r' -gl+l xz - + I = 5 expresaremos en la forma:

lx+3 | l*-3 I +lx-21 lx+2 l=s ...(1)

11 12 13 14 15

#+-3-223

analizando en cada intervalo I i, i = I,2,3, 4, 5

para x<-3 + {lx+:l=-r-3 ; l*-31 =3-"llx+21 =-x-2 : lx-21=2-x

Reemplazando (2) en (l) se tiene: (-x - 3X3 - x) + (-x - 2)(2 - x) = 5

efectuando y simplificando x2 =9 = x = -t- 3

luegocomo x<-3 lasoluciónes: x€ q--,-3)A {+3i=0

Para-3<x<-2 -+ Jl'+:l=x+: : l'-31 =3-'flx+zl =_x-2 : lr-21 =2-x

Reemplazando (3) en (1) se tiene: (x + 3)(3 - x) - (x + 2)(2 - x) = 5

efectuando operaciones y simplificando: 9-x2 -4+ xz = 5 =+ 5 = 5

luego la solución es: l:3,-2>nR=¡-3,-2-

"' (2',

...(3)

esvalido Vxe R

"' (4\

...(s)

rlx+31=¡r3 ; lx-31=3*¡Para -2<x<2 - IIx+21="i+2 : l*-21=Z-x

Reemplazando (4) en (1) se tiene: (x + 3)(3 - x) + (x + 2)(2 - x) = 5

9-x2 +4-x? =5 1 x=*2

iuego la solución es: l-2,-2> n {t 2} = {-2}

- .. . llx+31 =¡+3 lr-3j¡=3_ *Dara 2 <x<-J + {' tlx+21=x*2 ,lr-21 =x-2

reemplazando (5) en (1) se tiene: (x + 3)(3 - x) + (x + 2)(x _ 2) = J

efectuando y simplificando 5 = 5 es valido V x e R

258 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rea

lx2 +6x+ll =2

Por la propiedad:

lxz +6x+11=2;

(+l

Luego la solución

,3x+8.l_l=g2x-3'

tfi{t='

€)

ll"l-5ir=2x-3

ll" l- 5l=2x-3

Co.o "t1 =)2

Luego la solución es: [2,3> n R= [2,3>

Parax>3:+ Jl"+:l=x+3llx+21=x+2

Reemplazando (6) en (1) se tiene:

efectuando y simplifican do x2 :9

lx-31 = a-3lr*21 =x*2

(x + 3)(x - 3) + (x + 2)(x - 2) = 5

s x=*3

... (6)

Luego la solución es: '[3,+c.> R,{t 3] = {3

Porlo t4nto la solución de la ecuación es: l-3,-2> v {-2} u t2,3> v i3}

,'.. L-3,'2lwl2,3f

l*t -ql=-2x+4

Por la propiedad:

l*' -41 =-2x+4

Solución

lal=U <+ b>0 A (a=b v a=-b)

<+ *2x+4>0 A (r'-4=-2x*4 u ,2 _ 4=2x-4)

€t x<2 ly (x2 +2x-8=0 v ¡2 -2x=0)

<+ x<2 A. ((x+4)(x-2)=0 v x(x*2)=0)

<+ x<2 t\ (x=2,-4 v x=0,2)

Luego {-4,0,2i son las soluciones de la ecuación dada

lxz +31 = l2x+llSolución

Porlapropiedad: lal=lbl <+ u=b v a=-b

lxz +31 = l2x+11 c+ x2 +3=2x+1 v x2 +3=-2x*l

<+ xz *2x+2:0 v xz +2x+4=0

<+ 0vS =Q

La soluciónes élQ puestoque Vxe R, *2 -2*+2>0, x2 +2x+4>0

lx2 +6x+ll =2x+6Solución

Porlapropiedad: lal=b <+ b>0 A (a=b v a=-b)

lxz +6x+ll=2x+6 e 2x+6>O lt fxz +6x+l=2x+6 v x2 +6x+l=-2x- 6j

(+ x>-3 1\ (x2 +4x-5=0 v x2 +g¡+7=0)

(+ x>-3 A (x=1,-5 v x=-1,-7)

Luego la solución es {-1,1}

, 3x+8 ,t_t-tt'2x-3'

tfr$t='

Solución

3-r+8v --8.2x -1

3x+ 8 = 8(2x-3) v 3x + 8 = -8(2x -3),

-5-3-11

3¡+8<+ ---g2x-3

ll^l-5|¡=2x-3

I l" l* 5l=2x-3 e 2x* 3 > 0

l(9 x>- t\2

=.x=-2

I3x=3;2 v 19x = 16, Luego la solución es: *=*, ,=*13' 19

Solución

zf (lxl*5=Zx-3 u lxl-5= -2x+3)

(lxl=2x+z V lxl=-2x+8)

3para x*-

Jx*-2

a

Como x>j = l^l=*:+x=2x+2v x=-2x+8¿

8V X=-.3

por lo tanto la solución es8

3

260 Eduurdo Espinoza Rqmos Sistema de Números Real¿

como x e <0,3>

... lsx+al-la+x

Hallar el valor de lr

Aplicando la defini

lsx-201

ahoraparaxe <-3,

como x e <-3,-2>

. lsx-zol-13"x

Resolver la inecuac

Por la propiedad:

lr'-+l<s <+

t_| 5x+

l5x+al=ll_| -5x-t

ahorapara xe <0

@

I sx-,_t- lzo -:

I

l*-al'-5lx-41+6=0

Factorizando se tiene:

Solución

(1"-41-3Xlx-+l-z¡=s

€) l^-al-3=0 v lx-41*2=o

<+ l^-al=3 v lx-41=2

€.l (x-4=3 v x*4=-3) v (x-4=2v x-4=-2)

<+ x=J y x=1 v x=6 v x=2, lassolucionesson:

Hallar el valor de la expresión: lax+1 l-l x-7 | si x e <2,5>

Solüción

Por la definición de valor absoluto se tiene:

{1,2,6,71

I o,*,l+x+tl =l

l-+x -t

ahoraparaxe <2,5> <+ lax+71=4x+J, lx-71=7_ ^

l4x+71-lr-71 4x+7-0-x) 5x

.7st ¡)-- ( -4 , lx-l sl: lx-71=i. 7 ll-* sisr x<--4

x>'1x<7

como xe<2,5> e

lax+71-lx-71 _x

x

5 si xe<2.5>

xx

Hallar el valor de la expresrón: l5x+41-la+3xlx

Solución


si x e <0,3>

Sistema de Números Reales 26r

Itlsx++l=l

l-s

ahora para x e

l4+3xl

<0,3> <9

lstcomo xe <0,3> e+

... l5x+al-14+3xl=2 si xe <0,3>x

Hallar el valor de la expresión: lsx-zol-l3x-20lx

Solución


lsx-201

ahoraparaxe <-3,-2>

como xe <-3,-2> <+

... lsx-zol-l¡x-zol=_2 si xe <_3._2>x

Resolver la inecuación I xz - +l< S

SoIución

Porlapropiedad: lul.U <+ -b<a0

l*'-41<s <+ -5<xz -4<5

+3¡

-3x

=4+

3x)

t+4-

-4-

xl=

1+3

'X

4

3

(z

+

-l

x

=5x+4, l4

-3" I 5x+4

4-:f

4

=5

4l

"14

+

x

¡)-

x<-

l5xr

+41-

x+4 si

x-4 si

si x> 4 ft*-ro si

: l3x-201 =lsi x<4 |

|.20-3r si

<+ lsx -2ol=20 - 5x, l3x - 2ol =Zo -3x

lsx -zol-l3x -zol 2a - 5x - (20 -3x)

si x e <-3,-2>

.4sl ¡¿)--J

.4sI x<--3

3x

2x

20

J

20

3

lsx-zolzo -s.t

1X.=--=x

a

+

xe< --.-l >

Luego la soluc:

Resolver:1

x+

Ix+4

Resolver

'1'u

5t-tz,

r-5 r>rj.l -l¿x- L x-

slx-21 > l2x- |

7xz *32x+33

Como (7x-ll

. *-,111 .-, ¡:-

<+ -r< x2 <g <9 _1< x2 r. *2 <9

e xe R n-3<x<3

<+ -3 < x < 3, Luego la solución.tF?o¡¡tl

le-.x2 l>:Solución

Porlapropiedad lal>b e a>b V aS-b

lo-xz l>-z c+ 9-xz >3 v 9-x2 <3

€+ ,2 <6 v *2 >r2

(+ -J6 < *<J6 u *>^,ltl w *<-Jtz

------1 T-----

Luego la solución es:

,3x-3, -|-l < ¿r+l

Mediante la propiedad:

l3*-31 .z (+ -z<'x+l'

Solución

lul0 A (x-5)(x+l)<0, x*-1

Sistema de Números Reales 263I

Luego ra sorución ", [tl$

Resolver: -]- . tl.Ux+4 '3

Solución

-! . r1.rl :+ l<--i-<1 :+ t <x+4<3x+4 J 3 x+4

=) -3 < x < -i, luego la solución es x e [-3,-1]

--l-trr---*--trr- *-

-1 1/5

--l-ru!-_--ru. i--1

Resolver I 5 l>l I t'zx-L' - ' x-2'

Solución

| 5 l>l I I *r 5 I

' 2*-r' - ' *-z' WJlt ¿-, v*u

5lx-21> l2x - 11, elevando ai cuadrado ZS(x_ Z)2

7 x2 -32x+33 > 0 <+ (7x-fi )(x - 3) > 0

" * 1

.2 se tiene2'

2 (2x - l)2 efectuando y simplificando:

- l-\r,z- -_- -\,rr: -

11/7 3

como (7x * i lXx - 3) > 0, se toma los iniervalos donde aparecen el signo (+), es decir

. --.T, u [3,+- ¡. Luego la solución es: . *.#, u [3,+* '-tit

264 Eduardo Espinoza RamosSístema de Números R

-x- |_>0 __.;

2*x

de donde (x +

x+1x-2

decir:

Si x20 =+ I

"-1 =o -2-x

si r-l <o .x-2

Entonces (x -

- x-luomo _ <x-2

I-a solución de i

t*t .tt

I I t.tt¡-, ,.1-l_¿-\ - tJ J.

Para x--:.-

Resolver la inecuación: lx-112 +2lx-11-3 < 0

Solución

Completando cuadrados se tiene:

(1"-11+1)2<4 e -2<lx+1 l+1

e -3<lx+ llo

lx+11<1 (- RA-1<x+1<1. .''.,..,:'.].i4...!.i::..'.::,'.:! ::''.:

la,solüeiéri e-s:l- É <'2

Solución

(l ^- 3 I > 6 A l* - 3l >-3) v (lx- 3l < 6 A

(l*-31>6 AR) v0

(x-3>6 v x-3<-6) A R

(x>9 v x<-3) AR

(x<-3 v x>9)

<2

Factorizando se tiene:

(l "-3 l-6Xl x-3 | + 3) >0 c+ lx-31<-3)

La solución es

l"l-1>o2-x

Solución

I x. x>0Por la definición de valor absoluto I x l= {

[-x. x<0

Si x <0 = I x | = -x, reemplazando en laecuación dada se tiene

Sistema de Números Reales 26s

(+ (x+lXx-2)>0, para x*2

---\ t--- -\ /----+ -\/+dedonde (x+1Xx-2)=0 +

x+lcomo _>0x-2

decir:

-x-1_>0 :e2-x

si "-1 sox-2

-{+l_>0 :+t _'J

x+l-->0x-2

rt =-1 , rz-1 2

la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+) es

xe (<--,-11 U<2,+->) A <-*,01

=¿

Si x>0 = l^l=", reemplazandoenlaecuación

x-l - x-l-_>0 =2-x x-2

...(1)

dada se tiene

*-trr- -- -\,rr ; -

<+ (x-lXx-2)<0 para x*2

Entonces (x-1)(x-2)=0 + ,.1 =1,

Co*o "-l <0 =+ lasoluciónes: xex-2

rz =2 1

[0,+-> L Í,2>=fl,z>

La solución de la inecuación es la unión de (l) y (2) es decir: x e <--,-ll u [1,2>

I I r<r r I'2x+3' ' 3x+7'Solución

,lxI2x_.+3i<lr"n,I =

...(2)

".. (1)Para ¡ - -:,-:. se tiene:

l.l"ll2x+31- l3"r+71

l3x+7 I < I * I l2x+31

266 Eduardo Espinoza Ramos Sistemq de Números Ret

- I -\,r. -i -trr- -_- -tu. *-713 -312

pero como V x e R, 2xz +6x+'7 20

reemplazar

como V x

7 lll:1 =-3x-7a) sr x<-- +

li;l;u.= -2x-3

reemplazando (2) en (1) se tiene: -3x_ 7 3 (-xX-2x - 3) de donde

".. (2)

2xz +6x+'7 >O

...(3)

zxz -7>o

...(4)

d) Si x>0

i 3 fl3x +l l=3x+lb) '' -á -,--t =

tl;:;l= _2x_3

reemplazando (3) en (1) se tiene: 3x +'7 3 -x(-2x - 3) de donde

zxz -i >o + tJl*+J1¡dl*-Ji)>o

la solución es:

La solución es:

-1. r. o2

i7.<..-,-,f>AR=<-T,-i3" 3

---\ t--- -\ r-+\/-Vi--

n ,.--,-fr, u ,

reemplazan

zx2 -"1 > c

I.La solución es:

[ 'l

L

luego la respuest¡

lx-ll-jxlrol-l"l

fl,tr

,t7E Aplicando la defir

a) Si x<0 =

reemplazand

73l2

ICOmO _ )

x+l

fl3x+rl= ll*l=-,

[lzx+3 |

,+* >)

c) Si

=3x+'7

=2x*3

reemplazando (4) en (1) se tiene: 3x+7 < (-x)(2x + 3) de donde 2x2 itix+710

como V x E R, 2xz + 6x +7 > 0 entonces la solución es:

zxz -"t > o <+ dlx+.11¡1"1-2r- J7l > o

...(s)

2x2 -7 >o

\ r---\ /---- |

,+- >

... (2)

+t-oL+x

. -i,ur L.O =,0

f?t+ll =3x+7d) Si x>o + ]l"l =tt'

Il2x+31 =2x+3

reemplazando (5) en (1) se tiene: 3x + 7 < x(2x + 3) +

nVZ

La solución es:

luego la respuesta es:

lx-11-lxlrnt-l*l

. _*,_!, -. _!._fii _ r

Solución

Aplicando la definición de valor absoluto: I x - 1 |

a) Si x<0 =

reemplazando (2) en la inecuación dada. 1- r - (-x) > 0

1- (-¡)

(+ x+1)0, x+-l <+ x>-1

fx-t.six>l , , I x.six>0=lt-". si x< I

; lrI -l-x. si *<o

0

fl"l =-*[lx-t | = 1-t

1 rox+l

268 Eduardo Espinoza Rqmos Sistema de Números Re

La solución para este caso es: <,i¡o,O> ¡\.<-e;-1) = i-1;0> lzxz *3x-91

<le dc;nde: l?-"

se tiene: l2x +

4xz +l2x+9<

5x<-:: iueso

n̂

1l:-zl<ux

Mediante la prol

1l:-zl.tt €x

mediante la protr

I

-9<:<13 €x

- - -\ ¡*v_14

La solución es:

l3x+21<lz"-

b) Si o<x<l + {l"l=.1 .

llx-11=1-¡

reemplazando (2) en la ecuación dada:

...(3)

... (4)

...(l)

l-x-x ^ 2x-ll-x x-l

ahora mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:

- l-t*r- -_- -tu- - *

1/2

La solución para este caso es:

Por lo tanto la resPuesta es:

l2xr -3x-91.21*'-2.r -3 |

La solución para este caso es:

fl xl=-¡Si x>1 = {:

tlx-ll=¡-1

reemplazando (4) en la inecuación dada:

x-l-x ^ I>U € ->0

c=' x-l>0 para x+1 dedonde x>1.I- x x-l

Solucióu

lz*' -:* -g = (2x + 3)(x - 3)Se conoce que: i' lr'-2x-3=(x*ll(x-31

Reemplazando (l) en la inecuación clada

4;i=rolt1

> A (<*,;l V" .1,i1r. ¡.. r

lIP;'D

i

I

l2x2 -3x-91 .21*t -2x_31 o I (2x + 3)(x - 3) l< 2l(x+ lXx * 3) |

dedonde: l2x+3 ll*-3 l<21^+ 1 | lx-3 j para x*3

setiene: | 2x+ 3 I <2 I *+ I I, elevando alcuadrado:

4xz +l2x+9 <4x? +8x+4 =+ 4x < -5 de donde:

.. -I; ruego ra sorución ",, lE.,-Agl

1l:-zl<ttx

Solución

Mediantelapropiedad: I u I 0 Ax

\ r---\

13¡-l_>0x

+ +f _- _\rr-

;_A 0 1/13

La solución es: xe 1<--,-1 ) U<0,+* >)n (< -*,0) r..l,*- t)

.,1:l¡¡.i:.¡1.r.,ril.r... :-l:r1:l¡:::..1:,,¡.r¡,.;,,J.,'

.dr9srif¡::1,6]?Y<ñl

l3x+21<12^-ll+lx+31

-1/9 0

Solución

270 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Númeras Re

Como lx+41.

lzx-lJ+r.ox'-2x-3

Por definición de

1

Sí x<a = lz2

Reemplazando en

l-2x+l-----.-<o*2 -z*-3- "

parax*-1,3. Me

Aplicando la desigualdad triangular

Vxe R: l3x+21=l(2x- 1)+(x+3) I <l2x-11+ lx+3 |

Por lo tanto la solución es:

4* +2**3 -9 > oSolución

Seconoce: 4" =22', 2*-3 =8.2*

' 4x +2'*3 -g2o <+ 22* +8.2* -9>o

22* +8.2" -9 > o e ,(2' +9)(2" -l) > o

(2* +9)(2' -l)>0 <a (2* +9>0 A 2'-l>0) V (2'+9<0 A 2"-1<0)

cá (2* >-g L 2* >1) V (2'<-9 A 2'<l)

€ xe (R A[0,+->¡V(OA<--,0])*w@ Demostrarque: Sílx-al<R + x€[a-R,a+R]

Solución

Si lx-al<R + -R<x-a<R

a-R<x<a+R

= x€ [a-R.a+Rl

Demosffar que: Sí lx + 4l< t = lT, ti

Solución

2x+3 2x+3 5A la expresió " x-l ^ x-l x-l

Sistema de Núnneros Reales271

Como lx+41<l -1 < x +4< 1 sumando-5 se tiene:

-6<x-1<-4 invirtiendo

lll

55-; (

-- ( --, sumando 24 x+l 6

+ 3.2+ 5 .1.!x-|64

3 2x+3 7=+ 4x-|4

,2x+3, 7+ I -,_t I <¿

l?*-tl+t.ox'-2x-3

Solución

lr*-, , *> 1

Pordefinicióndevalorabsoluro: l2x-fp] - 2

l-z*, ".fl2

1/2

Sí "<1 -l2x-tl=t- 2x2

Reemplazando en la inecuación dada:

l-2x+l 2x-2-,--:--_.U (+ -----:. _)0 =+ (x-lXx-3Xx+1.¡ >0x'-2x-3 (x-3(x+l)

parax+ -1,3. Mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:

---\ r-- -\ /_---\ r---v+V-v+-1

I


La solución para este caso es: r € < -€, (< -1,11 U < 3,+- >)

:,'-; ,,r,i,i:tli'>,,',.'.:,:,.

:'¡,;,';..'tlii:;l

Si ">] = l2x- 1l =2x-1, reemplazandoenlainecuacióndada2

1

- / l\

2

- I -\,,- -i -\,,a -_- -t,ra l--1 03

-1> u [0,3 >)

...(2)

*x(l- x) -2 ___l

-x-1

, (¡para x#I, -:-

Luego la soluci

para 0<x<1,

reemplazando (l

x(l- x)-2' >0x-l

pero como V x

xÉ1 =+ x<1,

para x >1 =reemplazando (4

x(x-l\-2' >0x-l

Ahora por el crite

xe [1,+->¡1¡-

III,¡

2x-l+l__;_s0 €x'-2x'-3

" <0 +x(x-3Xx+1)<0,x*-1,3(x-3Xx+1)

La solución para este caso es: te ¡1,a- > n (< -*,'2

Mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:

Por lo tanto la solución de la inecuación es:

lxz -xl-z r_oI ,l-1

Solución

A Ia inecuación expresaremos en la forma

lxz-xl-2ro <+ lxllx-l|-tro ...(1)Irl-1 I'l-1

Ahora aplicamos 1a definición de valor absoluto. _ l_rrr_

__ _\,rr ;

_

I x si x>0l*l=j

l.-r sl r<u[x-1, si ¡>l

lx-ll={It-x. si x<1

parax<'0 +lxl=-¡, l*- I l= 1 -x

--.(:*:¿>o + i,+Í=r :+ (.--+Sll<ox+ i)

para x *t, ('r-2)(!+1) <0.+ x-2<0, x*_lx+1

Luego la solución para este caso es: x € (_e,S¡ n (<__,_1> u <_l,ll)

para 0<x<1, =+ lxl=x, lx_11=1_xreemplazando (3) en (1) se tiene:

x(1-x)-2, ^ *_x2 _2-r >o =+ -tr>o =r

perocomo VxeR, x2-x+2>0 + t =Ox-l

x + 1 =+ x < 1, luego la solución para este caso es:

para x >l = lxl=x, lx_ll=x_lreemplazando (4) en (l) se tiene:

(x-2)rx+t)::+ ---:___________ > 0x-1

=+ (x_2)(x + l)(x_ l) >0, parax* I

Ahora por el criterio de los puntos críticos se tiene

...(q)

...(3)

<0

=+ x- I <0

x e [0,1> ¡ q-*,1) = t0,l> ... (B)

...(y)

x e [1,+-> n ([-1,i> u [2,+->)

-_ -\, l-r r----\ l---V f r/ - .r 4

_1 1z

xz - x+2x-l

ztl Edaardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rt

xe [0,4> n <

para x24 *

reemplazando (

x(x-41-5 >(l-x

paraxtl,(x-

la solución par

La solución gen

lz- xl-x2 .,8x-19-,r2 |

-

A la inecuación

l2- xl-x2' , <l8x-lS-*z ¡

- -

lz- xl-xz <r8x-lS-rz ¡

-'

ahora aplicando

l"+:l ={[-x-:

Por lo tanto la solución general de la inecuación es: la unión de (ct), (0) V (y)

I ¿ <.;,. |;,ú. i.-,i ;Oi:u¡o; tr>, u:[2,+;;

Solucién

A la inecuación dada expresaremos en la forma.

l+*-*2 1-sro = lxllx-al-srot_J *z l- l* I

Aplicando la definición de valor absoluto:

I x si x>0 lx-4l*l=1[-x si x<0 La-"

Parax<0 + lxl=-x, l^-41=4*x

... (1)

\ /----\ +ST

si

x>4x<4

Reemplazando (2) en (t) se tiene: =fi*j>0 +

(x-5Xx+l)x*1

La solución para este caso se tiene: x e <--,0> n [5,+-> = q

Para 0<x<4 + l*l=x, Ix t4l=4*x

Reemplazando (3) en (1) se tiene:

x(4-x)-5 - 4x-x2_ 5 *'-4x+5l-x l-x ¡-l

comoVxeR, x2-4x+5>0 = *=0 =+x-1>0,x+1

entonces x > 1, por lo tanto la solución para este caso es:

...(2)

*2 -4*-5

-->uf+1

.".(g)

.." (3)

xe [0,4> n <1,+*>

para x>4 * l"l=^, l^*41=^-4reemplazando (4) en (1) se t"iene:

x(x-4)-5 ^ -r2-.{x-51- x

.."(B)

...(4)

*2 -4*-5-->or*t

mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:

u. -: -t.r- l-5

ñ ([-1,1> u [5,+-¡)

...(y)

l-x

parax* 1, (x - 5)(x+1Xx-1) >0, ahora

- - -tu- -; -\

la solución

-1 1

para este caso es: x e [4,+->

La solución general es la unión de (a), (F), V (y)

lz- xl-xz .n8x-lS-"2 ¡

- -

Solución

A la inecuación dada se puede expresar en la forma:

12-xl-xz I v-)l-r2' - .'" ¡ ^,

: l0 €3 |_j{-I- < 0 (propiedad del valor absoluto)8x-19 - x¿ I 8 x-l x' -91 "

lZ-*l-t <o (+ lx_21-x2 .n8x-19-x¿ | 8x-lx+3ll*-31- - ...(1)

ahora aplicando la definición de valor absoluto.

lx+31 ={-:.; J:; . t*-2t={;_:

"

:=:, r*-3rx>3x<3

276 Eduordo Espinoza Ramos Sistemq de Números tr

@ -323

Sí x<-3, = lx+31=-x-3, l*-21 =2-x,l^-31=3-x

Ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene:

^2z-x-x ^2z-x-x<0 =

...(2)

x e (<-*,-Q;'

para2<x<3

reemplazando

x-2- x?

8x - ("r + 3)(3 -

como x2 -x1

I-.--..->nx2 +8x-9 - "

dedonde xe.

La solución par

x e <--,-9> u

parax>3 =reemplazando (.

x-2- x2

8x-(x+3Xx-

como *2 *x+'.

1

__<0x'-8x-9

dedonde xe <

<08x - (-r- 3X3 - x)

o---.2__-__---_ " l0 <+8x+9-x'

(¡+2)(x-1) . O <á(x-9X¡+1)

8¡+(3+¡X3-x)

x2 +x-2 .o,2 -8*-g

(x + 2Xx- l)tx -9Xx + I ) < 0. x * -1,9

t,r- - I -\.rr -i -trr. -_- -tu-;

2-1 19de donde x e l-2,-1> u [1,9>

Lasoluciónparaelcasoenquex<-3 es: x e (l-2,-1> u [1,9>) o <-*,-3>=Q

para -3 < x<2 = lx+31="+3, lx-21=2-x, lx-31=:-x "'(3)

reemplazando (3) en (1) se tiene:

2- x- xz '>-.--2 .2*r-)<o = '-o-n.<o + ^- ^ '>o

8r-9+x' x'+8x-98x - (r+ 3X3 - x)

(¡+2Xx-l),O(x+9Xx-1)

\ r---\ r(x +2)(x+9)(x -1)z > 0, x + -9,1 +\/-v

-g -¿

dedonde xe (-e,-9)wl-2,1> U(1,+->

tr-a solución para este caso en que -3 < x < 2 es:

€+ (x + 2Xx - 1Xx + 9Xx - 1) > 0, parax + -9,1

Sistemu de Números Reales 277

x e (<-e,-9;' v l-2,1> LJ <1,+*¡ ¡ l-3,2>

,:. i ¿ F?,tr>:ú<l,z>

para2<x<3 r lx+3 l=x*3, l^-21=x-2, l"_31=3_xreemplazando (4) en (1) se tiene:

^)x- z- x-

...(o)

...(4)

8x-(x+3X3-¡)x-2- x? <o8r-9+x2

x2 - x+2+ _>t)x2 +8x-9- -

<0 =+

como "2 -x+2>0

1_;_>0 +x" +8x-9

1VxeR = -;---->0x' +8x -9

1

;--^; ^>0 =+ (x+9)(x-1)>0, x+_9,1(r+9Xx-l)

- l-\.,- -- -\ +

-9

de donde x e (-*,9) U (1,+-¡

La solución para este caso en que 2 < x < 3 es:

* . q--,-9) rJ (1,+-¡ ^ 12,3> = 12,3>

parax>3 + lx+31=x+3, lx-21=x_ 2, lx-31=¡-3reemplazando (5) en (1) se tiene:

x-2- x2

8x-(x+3)(r-3)<o = l-';*' ,o =) x2-x+2.0

8x-xr +9 x2 -8*-g - -

...(p)

... (s)

- ,-\ /--- -\ r;-T \/ - r/

-1 9

como "2 -x+2>0, Vx = "--1--<0x'-8x-9

I-;--^- <0 <+ (x-9)(x+l)10, x+9,-1x'-8x-9

dedonde xe <1,9>

278 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R,

x;1-llx'+41

Aplicando la pr

x2 +4>0 L

lxz ++l = *' +

X X-.--;-x'+4 xt +x

.1>_J

xllxl-tl-t2 _

I x +21+t

xllx-l l-rz _ I--;-------¿ j

lx+21+t

además como iII

xll xl -tl -tz >.I x+21+l

"tllxl-ll-tz, .----:------21I x +21+t

lx+21+t

La solución para este caso es: x e <-1,9> n [3,+*¡ = [3,9>

la solución es: x € [-2,1> v <1,2> w [2,3> v 13,9>

.'. x e [-2,1> r-¡ <1,9>

...(y)

l#l <4x+3

lf!i <4x+3x+l

3(x>--4

.,'(x>--4

<+ (x>-14

(+ (x>-14

^)puesto que 2x'+4x+3 >0

Solución

v +'lA -4x -3 ¡+1

A r-!'o ,r *f,o,

(4x-3.+ A #.4x+3))

1"*?*4"*3tg A a"*3-"*?tg¡.)

2x¿ +4x+3 - x(2x+3\(_>0 A >u))x+ I x*l

(+ (4x+3 > 0

r---314

¡---+-314

3-r €< --.+@ >

4'

// .,--- ---\/--1¡--17---A(.--é----rn. é,.,,, I b*,,>

\ -1 -stz -1 o

-3/2 -'1

o------o

A <0,+->=<0,+*>

¡ "r-3lxt -r+i ,r.2 +x+4

Solgción

Aplicando la propiedad: V x e R, ,2 > 0 de donde

x2 +4>0 Iy x2 + x+4> 0, entonces

I xz + 4l = ,' + 4 luego reempl azando se tiene:

x 'x-3--;-- . > -------:- €) x(xz + x+ 4) > (x-3)(x2 + 4)x'+4 x'+x+4

Solución

.@F-lF *'-lx{|*r +ve-x )o, entonces

xl I xl -l l-12 _ | | I -"rl-31-Ifitrr l*{i;i>o A e-x>o

xllx-tl-t2o lll-"1-:ll;¡+r '¡:ffi A e-x>o

llr-*l-31_ ^-;----t-i--- ¿ U, ent0nCes:lx-ll+4

'llt-ll-llro ^ x<e dedondeI x-ll+4

>0 A x(9 como lx+Zl+1>0

además como

xll xl-11-t2I x+21+1

xll xl-tl-tzI x+ 2l+t

(+ *3 + *2 +4x> 12 -3*2 +4x-12

(+ *z>-3 =+ VxeR

+Js;>o

entonces

^l4ltl-l-tz I lt -r ¡-¡lx+21+t lx-tl+a

280 Eduurdo Espinoza Ramos Sistemu de Números Reu,

I i-1.-Y+l

r*r.1 - l"l

l"+l - Ñlt

lx + 1l< lx I par

2x+I<0, x*-

l¿lt'-2éjx+3 x+

Completando cui

,l#l-t)"t

t.1l-

t'lrx' +,

xlx-11-r2>o A x<9 ...(1)

f x. x>0Pordefinición: Irl=l enlonces

l.-x, x < 0

six<0 + xl-x-11-12>0 = xlx+11-12>0

I x+l , x2-lcomo lx+ll=1 '- ^ + xe (--,0)-q-*,-l¡u[-1,0>

|.-*-l . x<-1

sixe <--,-1> + lx+ 1 l=-x- 1 como

xlx+11-tZ>O = -x2-x-12>0 =+ x2+x+L2<0

= I x € R, tal que "2

+ x+I2< 0; por 1o tanto Q

si xe [-1,0>+ lx+11=*+l =+ x(x+l)-12 >0

,2 +*-12>0 = (x+4Xx-3)>0- l-\,r- --- -t.r- *

Luego xe [-1,0>A<--,-4]U[3,+-)= Q

Ahorasi x>0 = xlx-11-12>0 A x<9

=+ x(x-I)-12> 0 Ax<9

+ xz -x-12>0 A x<9 +

-4

- l-\,r- -_- -trr- -*

(x-4Xx+3) )0 Ax<9

--¡--*##+t-IA

-34

xe <--,-3]u[4,+-¡ n x<9

xe <-*,-3lu[4,9]

.'. como x>0 nxe (<-*,-31 u[4'9])

Sistema de Números Reales 28t

i

I

I I l< l--j-l'.r+l' '.r/+1r+1'

l-l-t < ¡-- r ¡x+I x- +2x+I

I lxl;-(--* Dara.lx+1 lx+l l'

,l#l-t¡2 >t c+

Soluciéq

I lxllx+11 l.r+112

t-_lx+-l = la'l'1, dedonde

lx+11

lx+ 1l<lil para x+-1 = x2 +2x+1<x2, x+-I

2x+l<0, x* -1 + x<-L, **-t

lill, -2¡"1¡ 'ox+J x+3

Completando cuadrados se tiene:

Solución

l#l'-2 #l+1>1 dedonde

" l+l-r.-r-r+J

, x+l,v | ^l<0-x+J

| "*l l-rtt'x+3'

¡.11¡,zx+3

gJlt,z

*j] -22gx+3

"*5.ox+3

= ,+l ,zx+3

*+1.-zx+3

*+l +z.ox+3

3x+7_<(.)x+3

@ Il-¡ll >o

¡l--j- 11 = r

2.,1x -1

o<-+-<2'l x -l

la expresión es

zJx*l = ,

Por lo tanto an

.1sr "T>- ento4

1sr 0(x<-4

[l-xl]>0 =+

como -x)1=

tl-" ll < o

[l-xl]<0 <+

-;-\\.r-_--\ /-;- ,

-l-\ur-_ rur_---s -3 -3 -713

ll5-3" ll = z

Solución

tl5-3" ll = z (+ z<5-3* .3xx

2a5-3x<3 <+ 2a5-3x A 5-3x.,xx

<+ z-5*3* <o A 5-3"-3.0xx

5x-5 - 6x-5 ^e <0 A _>u

---\ r---\ t--.-- - . -\ r---\ t--.-'*'v'-'v'*U+'v-'v'+01

xe< 0,ll n .Í€< --,0 > ,.1,*- t

0 5/6

ost6 1

o--- ----a

Lasolución*' mtl-+- ll = 0

2^l x -L

Sistemu de Números Reales 283

i

I

ll-+-ll=0.= o<24x-l

o<-j-<t c+ o<-j- A --j-<l2J x -l Z'lx *t 2J x -l

la expresión esta definida para ZJi -l* 0 , x > 0

zJl*t+4x*t* *+!4

Por lo tanto analizaremos en: ¡0,1t r.1,** t

$olución

-<r1

44

entonces en (1) se tiene: x > 0 A

x

¿!x-

...(1)

.1sl -r>-4

¡>0

x>0

Solugió¡

c+ -x)1

x e <-*,-1]

x <zJi -t

x-ZJx+t<0

(Ji-t)z<o =xeO

x<0 A (J"-t)'>O

.'. x=0

A

A

si o<x<1 + x<o A x>zJi-t =4

+ x(0 A x>0

tl-¡ ll > o

ll-" ll > s =+ il-r ll > I

como -x>1 = x<-1 9

ll-" ll < o

Solucién

ll -"ll<0 <.+ -x<0+x>0=xe<0,+->

Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R,

¡l xz -zx-zl1

ll xz -zx-zll

o< xz -2x-3

-l-tu'-1

" .otl-x ll

=-l--.0 €tl-x ll

(+

(t

e

x+lxl ¿.

->¿

l" l-tl" ll

Se conoce que

[l2x-t 11 = -3

[lzx-tl]= -z

Solución

-332x-7<-2

-2<2x<-l

I-l(x<-, :+ xe[-1.

2

€

13

I2

tlJi+t11=-1 (+ -t<J¡+1<0. LasolttciónesQ puestoque

ll*2 -z*-t11:L

tlJi+t 11= -1Solución

como Le z =2

tlJ"- tl" ll ll = o

Solución

no tiene solución.

Solución

tl.[1¡"¡ ¡1=6 <+ o<J"-1¡¡ <t

<e 0<x-[lxl]<1

<r tl"ll< *<llrll+1, Vxe R

ll,{2 ll < 15

Solución

tl"r2 ll<15 :+ tlrt ll<16 + *2'<16 = -4<x<4

Jx+1>0

[lx2-zx-:11=6

llx? -zx-zl1=g

o< x2 -zx-3<l

Salución

é+ 0 < x2 -zx-3 <l

(+ a< x2 -2x-3 Iy x2 -2x-3<l

<+ (x-3)(x+1)>0 A (x-l)z <5

- *-\rr-----\rr-a-- A -G+tcx<.6+1-1 3

é ¡e< --,-11 u [3,+- > rr r€< t-l6,1+.6 >

1-\6 -1 s r*G

<+

{+

C+

x+lxll'l-tl" ll

Se conoce que

(x>o

(x>o

Solución

,r tl-"ll<o) v (x<0 A tl-¡ll>0)

A x>0) V (x<0 A xl-l)

V x<-1)

Solución

x>0¡<0r'F{ "'

[--r, ,

" .otl-" ll

t a0 e lx>otl-x ll

286 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Ret

[l"rtlx 1111 = ¡

Se conoce que I

Esdecir xe Z

Luego: tl"tlx I

[l"t l]=" -

por lo tanto [lx[

tll¡l+lll<2

Aplicando la prop

tlf xl+rll<z +

como [ll"ll]<r

rt3{tr<:JX-¿

Aplicando la propi

ilffiu=: +

3x + I- 4(3x - 2)

3x-2

-9x +9 <0 =3x-2

six>.g + -3:-=<2 <s -{_ <r

x- ll .r- ll ¡ -ll x !l

_{__r<o =) x-¡+[lxll<0 =+ __Ll

.J_i_r0

*-[l"li --" x-tl¡l] ¡-ilxll

liijL<0 <+ ttlxll>0 A x-llrll<0) v (ti^ll<0 \ r-llrll¿r;rx-[l

" l]

<+ (il¡ll>0 A x<tl"ll) v (tl¡ll<6 n [l"l]>')

€ (x)0 A xeZ[ ) \t (¡<1 A xe R)

l

<+ (xeZ[) V (x<1)

<+ x e <--,1>

ii) Six<0, xeZ- = lxl--x

o <2 = O<2 = x<0, xeZ--¡-tl¡ ll

.'.xe Z- u<0,1>

Demosrrar que v x e R: Ir E i/tl*3 ll

.'. xe <0,+-> n (<--,1>)=<0,1>

.'.xe Z-

SolucióJ

Porpropiedad: V x e R, tltll <x<[lxl]+1

Sixe R = ¡3eR,

LuegoV ¡3e R: tl"'ll<"3<¡¡"3¡1+t + [1"'l]<"'

además VxeR: x<lxl= tt'lttl

Luego(2)en(1)setiene: Vxe R, tl"3 il<"t'lr¡3. =

tm< l"l = l*l> Vrl'n F-". -l

(1)

(2)

ll'3 ll < l'l'

Esdecir xeZ + [l"l]= xeZ = xllxlleZ

Luego: tl"tlx ll ll = " =+ [l r.x 11 = ¡

[l "'l]=".+ *2=* +x(x-l)=0 =+x=0,x-

[l xfl x 11 11 =,¿

Se conoce que [l x l] e Z

Solución

entonces como [l ril¡ l] ll = xe Z

<x<l

Solución

=) x<a+1

3x+1

-__4<03x-2

-1

3x+I-4(3x-2) 3x+I-12x+8<0+ <0JX-Z

-9x +9 <0=3x-2

x-L

->0.3x -2

3x-2

aplicando el criterio de los puntos críticos.

por lo ranro tl¡tl¡ ll lt = ' + liFF',:Kl

tl lx l+1ll < z

Solución

Aplicando la propiedad llx+ nll = ¿+[l xl], n e Z

ll lxl+tll<z * tll;lll+r <2 + Ill"lll<l

como [llrll]<t = l*l<l +

rtfin=z

Aplicando la propiedad Il" ll < o

ilStr=: :+ ffi.+ *

rrrf n-

Calculando los

x-l_>0 Ax

ahora calcularer

ll,+.

+

como ¡2 -x+l

Por lo tanto la sol

log,,, (2x + 5) < -

Aplicando la prop

log, r, (2:r + 5) < -

2x+5>9 + Zx

logr(3-rr+2)-log

\ /----\ +

Como la inecuación es

¡lxz -zx-zl1<tlSqlqcrq!

Porlapropiedad: si tl"ll< a á x<a

¡lx2 -zx-2ll<13 = *2 -2*-2<13 = x? -2x+r<16

(r-l)2<16 =+ -4<x-l<4 * -3<x<5

2llx+rll'? -1Ulx l1< -aSolucién

Como [l r+1 l] =ilxll+1 entonces: Z(ti.rll+t)2 -11t|¡ll s-4 desanollando

2ll*ll7 +allxll+2-l ltl:r ll < -4---\ r---\ r-+\/-

2llrfi2-7tlrll+6s0 + (ztlxll-3Xtlxll-z)<o

x-l*i' 0, entonces la solución es:

como (2[lrl]-3xtl xll_ z) (0 entonces: tlxlle f],zl -

)213

)x€<-x.-)\J(I.*rc)

l

+

3/2

ll xll= 2

2

= 2<x<3

tlzx-l"lll="Solución

Se sabe por propiedad que si Llalle Z lt flall= 6

Luegocomo [l2x-lxll1=¡ + x€ Z + 2x-l

Dedondel*l=* = xeZI

¿ aeZ

xl=x

r lllI tl^ lj_./a:,1 .J,¿^ vx

Soh¡ción

calculando los valores de x en donde la expresión esta definida, es decir:

x-l

->0 A x>0 dedondex€ll,+->

x

I

ahora calcularemos [l -1- l] cuando x e [1,+->"2x

como x € [,+-¡

1rt)<_<_2xz

Irin-uEt .G = t.-\Ft .Ji = uE.c;¡ r-como {i-1.Ji = +.x + x2-¡+i>o

= x)l = 2x>2 invirtiendo

Il*n=0, por lo tanto:

como x2-r+1>0, VxE R entonces para x e [1,+-¡, xz -x+l>O

Por lo tanto la solución es:

@ bg,,r(2x+5)<-2Soluciéu

Aplicandolapropiedad: logoxab

logr,r(Zx+5) < -2 e 2x+5 > 1!'¡*zJ

2x+5> 9 = 2x>4 + x>2 =rl x;2+*;l

@ bgr(3x+2)_ togrl-2x)>2

290 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números l

Solución

logox>b,a>l a *>ob L*>0

(x-4)(x-1,

x e <--,1> L

log2(3x+ 2) -logr(1-2x) > 2 =á lon.(3"+2) t 2e¿ 1 ^-

-.L- Z.\

A 3x+2 rrzl-2x

3x +2A _-4>0l-2x

llx -2A --<02x-I

7, - t'llos"l_) >'2 e"' l-2x'

3x+2_>oI-2x

3x+2_<02x*l

3x +2

-<(,2x-I

. .x+3rog"(-) >x-l

La variable x r

---\ r---\ t--.--*rr-\/f

- *-\,,--_--t,r-;-Como x>1a

x+3-_>r +x-l

*2 -2*-3--..-.-<0x-I

x e <--,-1> LJ

La solución es:

Hallar el menor

x-9 3

x-6 x-6

-4<x-

213 112

21 2l.re< --.- > r\ ,\'€< -.- >32 ll 2

logr15(2xz -3x+5) < logr¡s (xz +2x+I)

Solución

log, P(.r) <log" QQ) <=+ P(x) > Q(x) A

logr,r(2x2 -3x+5) < logy¡ Qz +2x+1),

2111 1/2

(P(x) >0 A Q(x)>0), 0<a< 1

0.1. t5

2x2 -x+5> *2 +2x+1 ,/Y

x2-5x+4>0 A x*-1

(2xz _3x+5>0 /t xz +2x+l>0)

iá;¿ts<,.;,.!

',,,., t , ?)c

Sístemu de Números Reales 291

(x-4Xx-1)>0 n x*-l

xe <--,1>u<4,+-> xÉ-l

-;-tut -- -tu-; -

- .x+3log"(-) > Ix-l

La variable x debe cumplir

------o

Solución

¡>o ^

x+3x-l >0

-3

Como x > 1 aplicamos la propiedad: log-(1*) > I :+ **1 , *, =," x-l x-l

x+3

-_)-f =9x-l

*2 -z*-3_<0x-l

x-9 3

x-6 x-6

x+3__f>0x-1

(¡ - 3Xx+ l)+ -' '<0x-l

x+3- x2 + x:+ ..-.->0x-l

*E 4_o,_l)u<1,3>

La solución es: x e <1,+-> ñ (<--,-l> u <1,3>)

Hallar el menor de los números M tales que: l*-71 =

u'x-6'

---\ r-- -\ r---\ r---V+V-rr*

-1 13

, síx e [2,5]

Solucién

como xe[2,5] = 2<x<5

-4<x-6<-l + -1< I <-1.u-6 4

292 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rc

7-(¡-2

2

7-)l--<7

llI

de donde I m=I r.

-

13.41. EJERCTCm

Hallar los valon

l2x+31+4=5

l3x-1j¡=2x+

I x2 t _l*t-tI ------: Ir-l x+4

,x 4tt_t------:t --x-l x

(x-4)z -21*-

l2x+91=*-l

lxz -3x-7 1 =3

,x+8,l-- . | =3x+4

l3x+11=7.-,x-

@

@

@

@

@

@

@

l s¡I2¡< z = [r'l=7|4 'x-6'

Hallar el mayor número M de tal rnanera que:

l=-1=t=4 x-6

f +t< *-9 <z4 x-6

6 x2 +6x+14 30

35- x3 +2.1 - 19

lx2 +6x+14l., *x'+27

Solución

x2+6x+14=(r+3)2+5 entonces: si xe [-2,2] = -2<x<2

1<x+3<5 = 1<(x+3)2<25 dedonde 6<(x+3)2+5<30

61 xz +6¡+14<30

comoxet-2,21 =-2<x<2 = -8<¡3<8

19<x3+27<35 :+ t n =t = 1

35- *s +27 "

19

de (1) y (2) se tiene:

lx2j6x+61,6 * DJlx3+27 -3s 'l'- ¡sl

Hallar el número mayor de m y el número M tal

vt1

*<^''<Mr+3

Solución

-l')

A la exoresión ^ ' ' escribiremos en la forma:x+J

11como xe []-ll + :<x<l sumando3-2"

2

que para todo ".¡!,11

x+2 1

x+3 x+3

sl x€ l-2,21

... (1)

... (2)

se cumple:

!=r*3<4, invirtiendo i.*<?, multiplicandopor - 1

-3 = ---1-. -1 sumando I7x+34

,-?rr-J=<r-1 enronces 1='*2.27 x+3 4 -----" 7 - x+3- 4

de donde

3.41;,.EJERCICmS', ios.-Hallar los valores de x que satisf'acen a las siguientes ecuaciones.

o@

@

@

o@

@

l2x+31+4=5x

l:x-t l=2x+5

, *2 , lx2-tol'r-t' - x+4

lr t-4t------:t ---{-l x

(x-4)2 -2lx-41-ts=o

lZx+91=*-1

t 2 ^ -tlx -J"t- / l=J

l"*81=3'x+4'

l3x+1l|=7-x.

Rpta. x = Z

Rpta. 1-1,61

LRpta. {-}

Rpta. {2,-2+zJ)}

Rpta. {-i,9}

Rpta. Q

Rpta. {-1,-2,4,5}

Rpta. i-5,-2)

npta. t-+,])

294 Eduurdo Espinoza Ramos Sistema de Números R,

@

@

@

@

@@@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

l4-8xl=l^-l2x+1ll

l:x-Si+x-7=0

lSx-:l=l3x+51

lzx-sl=la-sxl

l6x+31=118+xl

l:x-tl=l5x-1sl

l5x+31=3x-1

llr' -t l-r l = "

lzx-tl+2=lx-61

l3x-11-lx+21=l

lr-al' -5lx-41+6=o

2lxz -zl+5=6lzxz -zl

l6x+31=118+xl

3llr+1l-412 -s llx+11 -41=z

ll*l-31=l3x+21

ll x+2 l-11' -s ll x+2 l-l | -6 =0

lzx-zl-1=lx-31

Rpta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

R.pta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

,5 l,'7'a'

{-1,3}

1

{-;'4}

, 2 10,,-1, 7'

{ -3,3 }

{2,7}

0

{L-t+Jz, i*.u6}

{-1,+}J

I,-t.t,

{1,2,6,7 |

txJl, xzi

{ -3,3 }

{-1,-3,1,5}

5lr-;,;j+4

{ -e,s l

'7

{-1.;}J

2 - 5.r+15 |

lx+11+2lx

3lx+1

zll x-sl-1212

Hallar el valor r

lt2+sxl-lt2x

ll x+tol-l5x2x

l9x+8| -l2x-x

l2x+3|l-13- x

x

l6x+41+zl2-12x

lsrl1l:lt5x

lax+11-l x-1|

l7 x+21-l3x+'.x

3l3x-8l- l3¡+2x

@

@

@

@il.

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

l"ls

l:

llx2 - S"r-+15l-x? +8l= 3"19

lx+ 1l+Zlx*zl=lx-81

3 lx + 1 l- 2 l* -21=2x* t

2ll x -sl-rzl7 -tt ll x*s | -z | +rz = o

Hallar el vaior de las siguientes expresiones:

ll2+5xl-ltz-+xlx

l7x+101-lsx-t0l

Rpta. 11,16¡

*n*. r-j,fr

Rpta.

Rpta. {3,7}

Q,,t

2x

lex+81-l2x*81x

l2x+31-l:-"1x

l6x+ +l+zlz-3xl12x

l6x+32 | -a I B-x I

5¡

l4x+tl-1"-tl

l7 x+21-l3x+21x

3l3x-8l-l3x+241

sí x e <0,1>

sí x e <0,1>

sí x e <1,2>

Rpta. 9

Rpta. 6

Rpta. 11

Rpta. 3

Rpta. i

Rpta. 2

Rpta. 5

Rpta. 4

Rpta. -6

si xe

st x€

<2,31

<-3;2>

sí x e <0,1>

sí x e <0,3>

si x e <-5,-4>2x

296 Edaardo Espinoza Ramos Sistema de Números Re¿

@

III.

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

l5x + 4l -la+ axlx

Resolver cada una de las siguientes inecuaciones.

* t')l^''l<q'2x-3'

, 6-5x, . 1

' 3+*'- 2

I

l4+:| <sx

, 8,lx+-l <óx

>LJ(2,+->

Rpta. <--,j)LJ(1,+->

Rpta. [-4,-2] w [2,a]

Rpta. [-5,-1]

Rpta. < +,+,

Rpta. t-3 - zJr,-3 + zJilr¿ p - zJt S + zJrJ

Rpta. 1

Rpta.

Rpta.

10< -@,--

9

Rpta. < - 1,

Rota. < -l-^2

-1>tr "1,-?,

-1>t-r <-1,-1,

,6x-4, , l¡--=--l >-' --i+.r.'-2

,2r -5 .l-;--l>l4-x

r-r+3, It_t >6-2x' 2

,3x2 -1 .l_l>_6x-2

l*'-+l <-zx+,

, r+3,l--- ^ I <5-x

Y+.,

l3x -tl +zx_,_5>0lx+1f -3x

lx-21<2x

lzx -tl+ 2x_____:.- > olx+tl- 3x -"

f3x-9lcx+1

lx-21.x+3'x+4' x-6

lx2 +3xl+xz - 2>

tx+3, 3l>_'x+16' x-4

l4x2 -8x+4 <q,

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

q5r;,;r

t\$!t=z

¡s-1¡ <rx

¡"+!¡ <ox

1T21.+'¿+ x

l*+31<r' 6-3*' - -

| 2*,r rsr+l

.x-1.l_l>l

x

4-14- xl <oI xl+4

Rpta. < --,0 ) u. O,1t

Rpta. <-1,01

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

,6x-4, 1t_--t>_-)+.T '¿

,2x-5.t_.-.l)r4-x

, x+3 1t_t>_'6-2x'- 2

.2, Jr -t .l-- ^ l>-6x-¿

l*' -41 <-2x+4

| "*3 | <5-x'x+2'

l3x -tl +zx.----:- > 0I x +ll -3x

lx - 2l<2x

l3x-ll+ 2x - ^> ttlx+ll- 3x

l3x-9lcx+1

l*-2 l. x*3'x+4t x-6

lxz +3xl+x2 -z>o

,x+3, 3t_t>_'x+16' x-4

l4xz -8x+41 < 4x+10

Rpta. < *rc.-l t r..-3,11 U 1.* >l-J

Rpta. <-*,11 u [3,4> Lr <4. _>

Rpta. [0,3> u <3. ->

RPta. <--,2) U (2, *>

Rpta. <-4,0>

Rpta. < -*,22-Ji >v<-Z,I+2J, >

Rpta. < --,

Rpta.

1

-t

,,

li.- t

Rpta. < -*,1t3

Rpta. <2,5>

Rpta. <6, *>

Rpta. <--.-3lrtf, €>. 3' '2

Rpta. <--,4¡

npt". ¡1:@.3*'fis t22

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

Sistemu de Números R

Demostrar que

tlt'+ztlt:

llxl+zl<l*t

I x-zl2 -tl x

Ix-112 +21x-

lx-zl2 -zlx

l"l'*l.l .t2<lxlz +lxl

l"'-tl'-l*'

l r-3lt -3]r *-

l*-Il' + 5l"r

2lx+tl-31,

l*-lltl^l-

l^-31+2lxl

x2 +2lx+3l-

l2x -5|¡-l *-t

@

@

@

@

@

@

@

lx+51>2x-3

a) l?x-tl+t.o!ax - ¿x- 3

b) l+x-: l>x+2

l*t -+l>-2x+4

l2x+Il>Z+x

l4x+31>x+2

l3x+81>Sx-:

Demostrar que:

Rpta. <--,8>

Rpta. <-1,3>

1

Rpta. < -*.; > .J < 5.* >)

Rpta. <--"-4> u <0,2> t) <2, *>

Rpta. <-*,-1lu [1, ->

Rpta. < --,-1 t .r. -1, - t

1lRofa- < ---rl

5

Sí lx -31< I = 2. x+5 .!5x+I3

Sí lx l< 1 = é!)l .z

sí lx-21<1 + l*' -41<5

Sílx-41<1 = 1. I .la*')L A_L

sí lxl<r - tfi*)Sí lx-51<l * 1.J-.1

3 x-3

I ..1.ttx-a+2b 5

b)

d)

f)

h)

i)

r)

Sí

Sí

Sí

Sí

a)

c)

e)

c)

lllSí lx l< 3 --.-- >x-'7 4 10

lxl<2 = l"-31.5'x+4' 2

-r(lx-31<l = li--'l<7'x-l

lxl<3 = l*-31.3'x-4' 4

lx-31<t = f . I .18 x+4 6

k) Sí lx-21

Sabiendo que:

-olr- -a1 allx-21I<- :á

2

b >0 y l^-ul<2b probarque:

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

Demostrar que si x, a e <--,-11U [], -> entonces: I1-1 l<lr-olxa

tlt'*ztlt

llxl+21< l"r

l r-21' -31x-21- 4 < 0

l*-rl'+2lx*t l-3<0

l"-zl' -21*-21-1s>0

l"l'*l'l .l:

2<lxlz +lxl

l"'-rl'-l*' -tl-3<o

l*-31'-3lx-31-18>o

l*-Il' + 5lx-11-36>0

2lx+ t l-3 1 " -21+lx*5 l >x + 2

l*-11>l*l-2

l*-31+2lxl<5

xz +21"r+3l*10 < 0

lzx-sl-l*-21+lxlz >7

Rpta. -1lx<1

Rpta. <--,-21 u [2, * >

Rpta. <-2,6>

Rpta. <0,2>

Rpta. <-3,7>

Rnta. < -1.1t- 2'2

Rpta. <--,-11 u [1, ->

npt". ¡L@,'*-frt22

Rpta. <-*,-3) u <9, -¡

Rpta. <--,-3) rJ <5,+*>

Rpta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

< --,-5 t,, U,{f

R

._?.2,J

tr - Jr7,-r +.61

.*,-..6l v[2J],+*>

<Z4

,l

300 Edaardo Espinoza Ramos

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

Sistema de Números Re¿

3s ¿"l2x-31 ';t +,

lxlt;61 ';

I x2 -zx-+alt I

lx-

l*l-11+lxl- x

r*t>t*t

l*l > lr+31

x+l I-_lx2+ll-x

lx2 -rc. - *2x+4 -1"-ll

l2x2 +t}xl-]4¡- < 3"r

x+4 x_.,

lx" +4x+41 *, +

I

ll"ll¡ > x-t

lx-x2l-z

@@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

*2 -13*+21+x20

l3x-2l<lx+6|

I x+21 .l *l'

l3x2 -2x+l l t 3l"t +x-71

Rpta. <--,-1) r-t <2,+*>

t+J+sl r-J48r>\J<_Rpta. < -*,22_>-5

l^-11+lx+11<4

l2xz - +i,x - 6l > l2*2 _3x -9 |

lx+6ltl^+91+lx-21

l4x+21>l^-11+3lx+11

l3x3 -2x2 -ix-21 t l"t +6.x2 -9x-r4l

llo-3x+xz lsl*'+x-61

l2x2 +x*Il<12*2 -r-ll

l*-61-l*-31<1"-11

(l¡-11 +lx-2lXl1-xl-lr-21) < "'-u.1 2t_t<_'6-3¡' - lx+31

. x x+12l--l< '- Rpta.x-3 +

2x+l< 3

I x+21

t2

<-2,2>

5. --.il

0

-t + Jl-lI z '-t

Rpta. <--,-2> t-¡ <3, *>

RPta. [4, *>

Rpta. < --.-+ > u. o.] tJ2 J2

Rpta. < *.-zlu ¡!.a- ¡

Rpta. <-*,-ll t-r [3, -¡

Rnta. < --. 15 -lúo r ., t25.36t' 7 3-5 '7 35

3Jx' 6l.r>u<3,4j<-*,- 2luL-T

Rpta. < -*.-)t ,. -2. -5 *-6 t

I2

Rpta.

Rpta.

Rpta.

Rpta.

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

-t\

l2x-31- xz +x+t

tx1lr-krlt;

2-12- xl -x__*<0lx-x'l-2

l"l ,1l+lxl-x

t*t>t*t

l*l > lx+31

x+l 1

lx2+ll -x

l¡2-tol . *,x+4 -1"-ll

l2x2 +I}xl _ ------------- S J-tlaxl

x+4 x-2lxz +4x+41- x2 +4

1

llxld > x-t

Rpta. <0,1>

Rpta. < -x.4t, t1,l ) Lr < l,+- ¡)

Rpta. [1,+*>

Rpta. R- {-2}

Rpta. < -*.Jt >

nPt"' ¡!'s'/13, -t';t*,

Rpta. < *,-l > u < -l,o, ,. .6-1,1 > u < 1,+* ¡

Rpta. {-6} u <-4,-31 u [4, -¡

Rpta. <2, *>

Rpta. <--,0>u¡!1{,-,

Rpta. t-l-G.f t, t -2 < -.-t+V6 > rJ < 2,- >

Rpra. t-l - J7,-Gl ulr +.,F,2 > vlJ6,+- >

I x-21-6

Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R,

(lxl+DQ xl-til x2 -r 3 ! -4x)

@ r*fr.;@ tllr ,,@ c.,-,q-¡

@ tfft,.@ a:,-r**u.

@ (xl- D(2x+ rXl¡

@ l6x2 +ex-31<l2x

@ I*'-sf -r*, -sr

@ (!,-2!+lx_.3!)(12

@ ff=

@ I*-al+l2x+s!--1":11_i-- < 2

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

l4x2 -gl > ol2x +sl - "

lx+11-21"1+3lx-21<6

3-lx2 -+xl.nlx-51+x2 --

3l2x+6¡-¡x+l¡ <ox

l*'-\u ¡+8GJa) <ox-J 9-x'

I -"-1 l< l-l-lx" -4x+8 x-l

, x+2, 1> l-----:lx x-¿

2-lz- xl-x , nl*'-*l-2 -"

lxl3 -qxz +zo , olxl+l

lox-x2 l-+ -> -l+-l *l

(lx+21+lx-z lXll-x l- l2-" l) >

l"-1 l-l*l*lzx-3 l>x+2

Rpta. V xe R*1-l¡

Rpta. < -*,2- Jil u tr,3l v 12+ Ji ,+* >

Rpta" < --,-31 r f-l-ff ,.9,Ít@1

Rnta. < 1.ll t' 4'2

Rpta. [-4,-3> u <3,5]

Rpta. < --,lt- t'l

Rpta. t-J2,Jzl-tol

Rpta. <-*,-1> w <-I,2>

Rpta. <--,-4lw [-2,2] u [4,+*¡

Rpta. <-4,0> u <0,4> w <5,"7>

*2 -6 Rpta. t-1,31

Rpta. <--,3tu<6,+->5

(Jir{l{-Js-l"--¿lltJ'-rl-:+S-1"-a]l < l"l-6 Rpta. Í4l1

@

@

@

@

@

@

@

@

@@

@

@

@

i

(,rl_r.zl,L! -r)J 12 +4 , ,,. r .- "'qii--r-3I-4_r;Vx-+5

R¡rÍa. <-*.-21 u <1,21 r--l <3,+*>

1

Rpta. q -:^

1

2

Rpta. <-3,5> - {0J

Rpta. < *,lt-el

Rpta. <-3,0> t-¡ <0,5>

Rpta. [-1,-J]rtt,*- '

Rpta. < -1 -1t..r. ?.f t2 4 52

Rpta. ,s > -{3}

Rpta. [-3,-l] u [1,3]

Rpta. g

R.pta. <--,41- {-21

Rpta. < -*,)2r.2,*- t2

Rpta. <0,2>

7

J

(lx | - txzx + lXlx l+ 3) >0

| 6xz + 9 x -3 l<l 2r2 - 9 x + 2 |

lr'-sl'*l*t - sl<12

(l*-21+ lx-.31)(12- rl- l3-" l) >l"t -r I

I x2 - 21+,' ' <3x+2

I *-61-x+lx+21-----_-(-1

x*2

l*-al+l2x+31 , ^

-:Z

lx-11-1

Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

jx+51 -4x+l .

-

I x2 +2i

lx+21-x2' zf

fx+51+8 -"

l3x+zltff +,

-x2 +6x-3

l*-21' _

lx'+41 *(x+

-zl*,l+lrz _.

-

a-r _)r+ó

x2 +3-lx2 -zx

-

ls-x2 l_tt

,. ¡2+l¡l-3l+ l"r I

lx-31+7-x-l;31-t>o

lxlffi='-t

1

mlll >2x+1

l'-l'l L,x-3

l"t-tl+2x+lxlflxr +t j+3

|

@

@

@

@@

@

@

@

@

@

@

lr-51+ l:r+11x-1

lx-81-x+lx+al,"-._--<-f -"t1ATL

l¡l-3 2-lrli_____Ls-lxl-l-rl+1

l"-11-l*l*l2x-31>x+2

Rpta. <--,1> u [3,+-¡<3

jRpta. < -*.-2 > (J < l.+- >

2

(J r{ I -: -&t'-+ tttJi "-r I -: +J5- h-4 l) < x-6

\,ll - -2|1-GI;r¡ t,[ r -2|4+ Jo-tr-: | ) < | x-2 | -5

x x--J -

---->o

lxz +41 xz +x+4

Rpta. < *-,-3lrlltr*Jrzl,: > Ult:+ Jn ).+*,

@+.6-*>o! lx-21+s lx+l l+2

14- xl+l2x+31 .,lx-tl-t

t< r <zl" l-1

lxz +2x+31+lx2-tl <e

Rpta. < -5,

Rpta. [4,9]

l12 +21(x2 +x-12)

lxz +x+ll

*2 *3*+lx-11+a

I x-Il+xz +l}x+21

-3r,t9.r'55

Rpta" [4,7]

Rpta. [-3,-2]u [6,9]

<0

<0

xz +3-l15+2x_ x2 |'- - t'- --- '- l zñ

l r'-9 1 -8

J"L,= '"- . (0

lx' +n l 1x'-5x+6t

(x2 _gl(x2 + x+7) > o

lx2+91+3

t 2 ill* -tl .l(x -2)(x- 4)

@

@

@

@

Sistema de l{úmeros Reales

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

ix+51 -4x+lx-21_-_-.----- , \ l)

l.u' +2 j

¡ ^' )t¡ I ¿t-.{;_i-_ < 0lx+51+8

. /_--l3x+2ltlx¿ +S

--;_-_.."---- > 0

-x'+6x-3

l--ot2 2l^ 4l ¿' xlx' + 4l x(x+2)+2(x+3)

-2lr'l+lx2 -xl+1__=___=;l-:rJ'

x'-5x+6

x2 +3- lx2 -zx-tsll9-x2 l-sx

,.xz+lxl-31+lxl

lx-31+7-x_-+_)oI x+31-2

lxl' ' ( r-lIl*l-ql- "

I;:--;----- > 2X +1llx l+1f

,l-lxl.t-:l >2Jr--J

I "t -t l+2x+l xl -lk{l+31 '

-J

ll.r2+61-3i

@ ll*l- l2x+3 ll.li:r l-lzx+21!

@ l*'-ql+8>Ix-21+4x

@ lx-t l -lx+21+lx+al<8

lx2 -rcl.*, !4x+4 - l"-11

x3 -x2 +4x:--;- > 0I x' -3x+21

(x+2\2 +l x +2l-2

-

I x+21+2

lzt - xz l-zl*'

l*' : "l-2 | x2 cosn.l +1

*z *5, -6cosn

t ¡'*1 |r;'?

-;r+8 I

lxl-l2x-rl ^---.- >ux(x - l)

xz + x+1-l x3 >0

l3x2 +5x+21----------------- < O

r- +-)

@

@

@

@

@

@

@

@4<

306 Eduardo Espinoza Rumos

@

@

@

@

@

@v.

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@

@

@

@

Sistema de Números )

ry. Encontrar el ¡

2x*x2 <M

l-4x- x2 1,

2_ x2/3 _ xU.

2x2t3 _x4t3 .

l+6x- x2 < I

3+36x-12x2

Encontrar el nÍ

M <z+-L-]*2j

M < x2t5 _xu

M <9x2 -48x

M <5xz -20x

Si 2x+3 €

x+5_<Mx-7

si xe 11.11 .,-2 2'

Sí f e á[<*,1

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

x- | x+11- | ;r I lx2+13¡ll < lxl_4l"l

l"-¡2 l.rJi-rrrnJi-0"

116- x7 l-xz > oxz -lz- xl

ll" l-t I

Ji"-31-lr-11.0*'-g

lJi-sl-J;,.l*, _+l - -

lx2+l xll <lxl_4l*l

x2 + x+l- 1"3 -t l> o

3-l xz - 4xl' :'(UI x-5 | +x'

I lx-l1+2l- lx-l12 , oxz +2

lr-aI,_ra-l *l

I x-3 lr +2t¡-3i2 -5 | x-3 | -6 . o(x-2)2 -2lx-21-24

,4x ,xl;-tl.l;-6l+lx-2|

x3 -x2 +4x unlx2 -3x+21

l+¡-¡2 l*5,ol,l-t

@

@

@

<0

@

@

@

@

@

@ ¡[7-6,+s-31>J3-r

@ lxz -5x+71, *' -1

@ G' -e*+t¡'lrz-¡a,-; 1.s

tl +*- r' | -slJ¡"-l ltr-¡l . ol,l-t

. x2 -6x+J . 2I- _ l<_-J-I r-l

lq- xl+lzr+31 .,lx-11-1

I 3xr + 5.r + 214' ' >or" +5

1 'rr -tn-:>0

Sistemq de Números Reales307

IV.

o@

@

@

@

@v.

@

@

@

@

@

Encontrar el rnenor número M con la propiedad de que para todo x e R se cump{e:

2x-x2<M Rpta. M=l

1-4x-x2 <M Rpta. M=l

2-x2/3 -*t/3 <M Rpta. M =24

2)czt3 -x4/3 < M

l+6x- x2 < M

3+36x-12x2 < M

Encontrar er número mayor M con ra propiedad de que para todo x e R se cumpre:

u sz*Z-!*2x

M < x2/5 _xt/s _2

M <9x2 -4gx-36

M <5xz -20x+16

Si 2x + 3 e [7,11] encontrar el

¡+ -5 <Mx-'J

Rpta.

Rpta. M = I

Rpta. M = l0

Rpta. M = 30

Rpta.

Rpta.

Rpta.

valor M que satisface

Rpta.

M =556

oM =-'

4

M = -100

M=-4

a la siguiente desigualdad

M =-!5

_t 3sr -re l;';r encontrarel mayor varor M que satisface a Ia desiguardad M a *"2^x-./

Rnta. -I"3

Sí le á[< --,1 > (J <2,+*>]. Hallar el menor valor de M tal qu. ¡j:l_¡ < lzx r4r r{uc ¿x + J

308 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Ra

o@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

l**5 I .ltt'x+l'

<M

lx3 -2*2 +3x-41< M

l'*2 I < t,t sí ru t1.f rI nl:t" ür ^=12'2t

Ixz -3x+4l < l,t sí x e f 2,21

lxz +4x-31<u si xe [-2,4]

v L¡)

l=l <M sí x e [5,8]x-4

EncontrarunnúmeroMpositivo tal que: lx3 +2x2 *3x-61 <tt't si x e [-2,5]

Encontrar un número M positivo tal que: l xa -2x3 + x2 -3x-51< ru si x e [-3,-1]

Encontrar un nrimero M positivo tal que: ¡ l'--91*l ¡ < v sí re ¡-2.4¡

Enconrrai un número N{ positir o tal que: ,;O;I],. ,i t ,, si x. e I I ,31

Encontiar un número M positivo tal que: 1-:r-'11!J 1 fv si x e l-2,21

12,+*>), Determinar el menor número M tal que ¿:4t Ux

@

@

@

VI.

@

o@

@

@

@

@

@

@

@

@

Detenninar el nr

Hallar el menor r

Hallar un númer

Resolver las sigu

[l3xl1= ¡¡2

[l3xl1= 2r¡ 2

ilLl:f!n=s

tl2- l"r I l1 = 1

[l:x-5|]=2x+t

tlJl- *¡7=2

¡¡ l":!!:1¡1=

2

rtl#ltr=-,

tl2xll+tl4xll= 3

rlfrln=s

ill:+l[=3

@

@

@

vr.

@

o@

@

o@

o@

o@

@

Determinarel númeroMral que: li_l^t < M, Vx e <1,3>

Hallar el menor núrnero M tal que: <M, síxe [-1,2]

HallarunnúmeroMtalque: sílxl<t + l!41 .,x+3

Resolver las siguientes ecuaciones:

[l3xl¡=¡i2

[l3x11= 2*a2

nkflr!n=s

tl2-lrlll=1

tf 3x-5 ll=2x+I

tlJs-*¡1=2

n!11ú=z

ill#llr=-,

tl2xfl+tl 4xll=3

rlljalll=s

rllSlll=¡

Rpta. x = I

Rpta. " = 2.-l

2

Rpta. <-7,-51u [9,il>

Rpta. [-1,0> u <0,1]

Rpta. fo,llt2',

Rpta. <-6,-ll

Rpta. <-9,-61u [8,i1>

Rpta. 0

Rpta. t1.1t- '24

Rpta. [-4.-9tr.-!.-2,5 .7'3'

Rpta. [-3,-2>u<-í,-i,

310 E duardo E spinciza Ramo s Sisterna de Números

@

o@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

Itl-"ll-tl

tl" -t ll >

tlJi -z*11

[lx2 -t ¡1 <,

tl : *' [.15-x

tl *2 -+ll <

x¡!ff-t

nl"f3-r¡

llzr- 10

lr >x

Ilxllz -zllt

Jl*l-¡17 -r*-I

Jl-¡¡'-tz'

'll;c¡lx2 -2x-3

tlx-2tl¡11 |

r tl" ll-z)J

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@VII.

o@

@

112"5*3ll=3

lll2*' -lIll=t

rl*+2 lt:¡Lt - tl -.{+J

¡b]!¡=+tl2 - lx lll = I

rr41n=+x+J

,)l

llxz -zxl1=3

tl2x ll - l" - 1l =2x-3

IIIx2 ll-tl=¡

,tbA!?aYn=,

ll*-1llt +2[lxl17 =57

Resolver las siguientes inecuacic¡nes:

¡¡t4fi.,

¡l+x2 -sx-+11 <t

Lll2*2 + 5x | -2 ll 

iTRpra. < -r/r,-t, u {oi u [,

l1Rpta. <:,81

Rpta. [-1,0> u <0,1]

Rpta. [7,9>

Rpta. t-;,-+r

Rpta. < r -..6, -rl u [3,1 + rE >

Rnta. {-2.4.11.0rJJ

Rpta. < -Ji,-zlutz,Ji,

Rpta. < -t,-irrr:,+t.'JJJ

Rpta. [-4,-3>

Rpta. <--,-2> u <-1,3>

1

Rpta. < -.0,t,

Rota. <-3.-1tu<-l.lt22

Sistems de Números Reales 311

@

o@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

Itl*¡ll-ll<2

ll¡2-tll >o

llJl -z,ll <.6

¡lx2 -t l1 < o

tl:+*[.15-x

[l*'-41] <-t

¡¡ ¡2$-1¡¡1s1

¡¡ l"Jt:

-1¡121

¡¡ z"-19 ¡1 = r

x

tl,ll2 *ztlxl1-z<o

Rpta. <-3,01

.Rpta. <--,-ll u [1.+-2

Rpta. <0,+->

Rpta. < -"D,"|i,

Rpta. <0,5>

Rpta. <-2.2>

)Rpta. < -€.-: > ur < 6,+* >

J

Rpta. <--,-51 u [5,+*>

5Rpta. l-2.0 > ul:.¡*;'

,¿

Rpta. [0,2]

Rpta. < t-zJi,-3lwl3,r+2Ji >

Rpta. <--,-3) t*r <4,+*¡

Rpta. [2,3>

ll*-2ll (;t - x+2)>a

tl-"ll-2>o6-tl¡ll

v, , (Otl x2 -2x-t9ll-

-

úk lf -12(rl " lt' -tl ¡ lt-6) > o

J*l-, .nlIx2 _zx_gl)* '

Il*-2Ílxllll¡z -4) >0

t fl*ll-z>r[lt *zl(xz -4x+3)>a

@

@

312 Edaardo Espínoza Ramos Sistema de Nú,mcrus

r;- !l-t .o

x' -¡l xl1- +( tl ¡ ll - xX:r- 2)(x -3:¡2 > 0

lxl tlx-1ll-e

It\z-*

..8-l*l .nll"'-sll

rtffin=+

logr(2x+6)3

logz

log, l3-4x

-.,losotlTlr-f

')t

log rr-,, {:(_)t6

- 4x-5tos.(1

"_ zll

logu (x * 3..G

log, (3x-5)

logr(x2 -4x3

log2(l x-21.

log ",

(2+ x),

logr(x2)+lo

lxl-l

-<l

tl"ll-t

ll"-tl{l"lll<"

11(l x-5 I +2x + J x - 5 -ll * - 2l¡r+5)tx-*)

5

ffi.a::4n¡i.

<o@

VIII. Resolver la inecuación logarítmica.

JCX

(x2 + 4x + 5)J v4 (2" + sen x)(x + 2)

el*li-;)@' -2x-3)

log,zl2x-31> -3

log"(¡-3Jx+l +3) 0

Rpra. < 1+,-t1t

Rpta. [-1,0> u <3,15>

Rpta. Q

Rpta. ¡3,1- ¡

Rpta. ¡2,11) \J < 4,+- ¡

Rpta. < )rJn_z>,r,

logr(2x+6)<¿2a

log, l:-+x l> :

tog:i 13-4xl> 2

Y-)log.t lT | +351 > 2

-t-)

' Z4-2x- x2lo9rr_*, ( )>l

(_) l+tó

, 4x-5los"(U-) > I

lo96(x-3Jx+1+3) < 1

log, (3x - 5) > log r(7 - 2x)

logylz -4x+3)> -l;

Iogr(l x-21 -t) t t

, 3-2xlos r l_)>oe lx+t 1 -!"

log ".

(2+ x) <l

logr(xz )+ log, (x4 ) > 3

Rpta. <2,+-

_ 5 tlRpta. <-€.-:)u<1,+->-44

?Rpta. < --.-: > L-r < 3,+- ¡

.2

7Rpta. <-,5>u<5.+->

'2

,i

Rpta. <-3,1> u <3,4>

Rpta. < -l+"./0. 2> w <2.5)

Rpta. [-1,0> u <3,15>

Rnta. < 9.2,' 52

Rpta. [0,1> v <3,4]

Rpta. <--,-1> u <5,->

Rpta. <0,i> r; [2,+-;

log 1 (x2 - 4) > Iog, (4x -7)

2 Z,

log, (8 - 2xj > 3

l

314 Eduardo Espinoza RumosSislema de Números Re

3.42. APLICACIONES,ADMINISTRACION

DE LAS INECUACIONASY ECONO&{IA.-

Tt)A

Muchas veces la resolución cle problemas expresado en palabras nos conducen a

inecuaciones como ilustraremos en los siguiente ejemplos.

El producto lntemo Bruto (PIB) de un país está proyectado en t2 +2t +50 rniles millones

de dólares, donde t se mide en años a partir del año en curso. Determínese el instante en

que el PIB del país sea igual o exceda $ 58 mil millones.

Solución

El (PIB) del país será igual o excederá $ 58 mil millones cuando tz +2t + 502 58

Para obtener la solución de la inecuación expresaremos en la forma: t2 +2t-8>0,

donde al factorizar se tiene (t + 4Xt- 2) > 0.

Aplicando el criterio de los puntos críticos se tiene:

---\ r-- *\ r---*v-v

El conjunto solución de la inecuación es <--'.-41 u [2,*¡ como t clebe ser positivo'

entonces se considera t > 2 es clecir que, el PIB será igual o excederá por vez plinlera a

los $ 58 mil millones, cuanto t = 2 es clecir dentro de dos años'

paia una compañía que fabrica te1'1-nosiatcji., el costr¡ ccnlhinatlo de manr: de obra y

l¡¿iierial es cle $ 5 por terrno;irio. I-o$ cost,:s fijos (ltr c+slc:, ;.1c *i-, pcrioclo dado sin

importar la producción) son de $ 60,000" Si cl precio de ven:il de un tcrinostatt¡ es cle $ 7

¿,CLrántos debe venderse para que la corirpañía obtenga utilidadc¡?

Solución

Como: ganancia = ingreso total -'costó total

Entonces debemos encontrar el ingreso total y el costo total y después determinar cuando

su diferencia es positiva.

-4

Sea q =, el núm

Lugo el costo t

será7qy como:

entonces: 7q -por lo tanto se

utilidades.

El fabricante de

artículo. Gasta

costos adicional

número de unic

$ 1.000 a la sem

Sea x = número

Como el costo tl

(40x + 3,000) dr

60x dólares, por

Utilidad = ingre¡

como debe tener

utilidad > 1000

por lo tanto, el f;

La gerencia de li

de dólares para r

Determinar el dir

de telefónica.

Calculamos la ci

100,000 acciones

Sistemo de Números Reales 315

II

Sea q = el número de termostato que deben ser vendidos entonces su costo es 5q

Lugo el ,costo total para la compañía es 5q + 60,000, el ingreso total de q termostatosserá 7q y como: Ganancia = Ingreso total - costo total > 0

entonces: 7q - (5q + 60,000) > 0, de donde 2q > 60,000 enronces q > 30,000

por lo tanto se deben vender al menos 30,001 termostato para que la compañía obtengautilidades.

El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $ 60 cadaartículo. Gásta $ 40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tienecostos adicionales (fijos) de $ 3,000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre elnúmero de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos

$ I,000 a la semana.

Solución

-Sea x = número de artículos producidos y vendidos a la semana.

Como el costo total de producir x unidades es de $ 3.000 más $ 40 por artícuto. es decir:(40x + 3,000) dólares el ingreso obtenido por vender x unidades a $ 60 cada una será de

60x dólares, por lo tanto

Utilidad = ingresos - costos = 60x - (40x + 3;000) = 20x - 3,000

como debe tener una ganancia de al menos $ 1,000 al mes, tenemos la inecuación:

utilidad> 1000 dedonde 20x-3000> 1000 enronces x>200

por lo tanto, el fabricante debe producir y vender al menos 200 unidades cada semana.

La gerencia de la misma Antamina, un gran consorcio, ha estimado que necesita x miles

de dólares para adquirir 100,000(-l+.[*O¡Of"l acciones de la compañía telefónica.

Determinar el dinero que necesita Antamina para adquirir. un mínimo de 100,000 acciones

de telefónica

Solución

Calculamos la cantidad de dinero que Antamina necesita para adquirir un mínimo de

100,000 iiciones resolviendo la inecuación. ' :

100,000(-1+Jr+o¡or"l >100,000 de donde -1afi gJ0úr 2 1

entonces .'/f+0^001" >2 elevando alcuadrado 1 +0.001x > 4 * 0.001x > 3

x > 3000, por lo tanto Antamina necesita al menos $ 3 000,000

Un constructor debe decidir si renta o compra una maquina excavadora. Si rellta la

máquina el pago rnensual sería de $ 600 (con base en un año), y el costo diario (gas'

aceite y conductor) sería de $ 60 por cada día que sea utilizada. Si la compra, su costo fijo

anual sería de $ 4,000, y los costos por operación y rnantenimiento serían de $ 80 por

cada día que la máquina sea utilizada ¿Cuál es el número mínimo de días al año que

tendría que usarse la máquina para justificar la renta en lugar de la compra?

Solución

Determinaremos expresiones para el costo anual de Ia renta y el de la compra, así

encontrafemos cuándo el costo de la renta es menor que el de la compra.

Sea d = el número de días de cada año en que la máquina es utilizada.

Si la máquina rentada, el costo total anual consistiría en el pago de la renta, que es

(12X600) y los cargos diarios de 60d, si la máquina es comprada, el costo por año será

4000 + 80d, queremos Costo renta < costo compra

12(600) + 60d < 4000 + 80d + 1200 +60d < 4000 + 80d, de donde

3200 < 20d + 160 < d, por 10 tanto, el constrllctor debe utilizar la máqrtina al menos

161 días parajustificar su renta.

Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es P dólares están dadas por

P = 200 * 3x. El costo de producir x unidades del mismo artíctllo es C = (650 + 5x) dólar

¿Cuántas unidades de esre artículo deberán proctucirse de modo quc la utilidad mensual

sea por lo menos de 2,500 dólares?

Solucién

Sea R = el ingreso en $ obtenido por vender x unidades al precio de P dólares por unidad,

es decir: R= x (precio porunidad) =x(p) =x(200- 3x) + [email protected]

Sistema de Números R

C = el costo el

Corno utilidad

como la utilid¿

utilidad >2,50

x2 -65x+105.

(x-30)(x-35

La solución es

Luego para obtvender cualesq

Una compañía

cierta revista e

revista. El ingrr

todos los ejem

revistas que del

Sea q = númen

El ingreso total

(0.10)l(1.aOXq

como utilidad =

1.40q + (0.10)t(

0.04q - 1400 >

Sistemg de Números Reales

C = el costo en $ de fabricar x unidad, es decir: C = 650 + 5x

Corno utilidad = Ingresos - costos = (200x _3xz ) _ (650 + 5x)

=195x-3xz _650

como la utilidad debe ser al menos de $ 2,500, es decir:

urilidad > 2,500, de donde t95x - 3x2 - 650 > Z,SO0 , simplificando

x2 -65x+I050 < 0 , factorizando se tiene:

(x - 30)(x - 35) S 0, aplicando punros críricos

30 35

La solución es 30 < x < 35

Luego para obtener una utilidad de al menos $ 2,500 al mes, el fabricante debe producir yvender cualesquiera unidades de 30 a 35.

Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de unacierta revista es de $ 1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es de $ 1.40 porrevista. El ingreso por publicidad es de IOTo del ingreso recibido de los distribuidores portodos los ejemplares vendidos por arriba de 10,000 ¿cuál es el número mínimo derevistas que deben ser vendidas de modo que la compañía obtenga utilidades?

Solución

stas vendidas 'i*Sea q - número de revi

El ingreso total recibido de los distribuidores es 1.40q y el recibido por publicidad es

(0.10)l(1.40)(q - 10,000)l el cosro total de ta publicación es 1.50q

como utilidad = ingreso - costo > 0

1.40q + (0.10)t(1.40)(q - 10,000)l - 1.50q > 0 =+ 1.4q + 0.14q - 1400 - l.5q > 0

0.04q-1400>0 =+ 0.04q>1400 + q>35,000

318 Edusrdo E spinoza R.amo s Sistema de Números Re

por lo tanto el número total de revistas debe ser mayor que 35,000, es decir que al menos

35,001 ejemplares deben ser vendidos para garantizar utilidades'

Un peluquero atiende

por cada incremento

deberá fijar de modo

por una tarifa de $ 3?

Solución

Sea x = el número de incremento de $ 0.5 en la tarifa por encima de $ 3

$ (3 + 0.5x) = el Precio del corte

100 - l0x = número de clientes por semana'

Ingreso total a la semana = (número de clientes) precio del corte

= (100 - 10xX3 + 0.5x) dólares

el ingreso correspondiente a 100 clientes son de 100 x $ 3 = 300

Iuego los nuevos ingresos semanales deben ser al menos 300 dólares, es decir:

(100_10x)(3+0.5x)>300.simplificandox(x-4)<0,aplicandopuntoscríticos

---\ r---\ r-+v-¿*

por 1o tanto la solución es 0 < x < 4

esto quiere decir que debería subir a lo más 4 x 0'5 = $ 2

Eipeluquerodeberíacobrarunatarifamáximade$3+$2=$-5porcorte'paraobteneral menos los mismo ingresos que los correspondientes a 100 clientes cobrándoles $ 3 por

corte.

un promedio de 100 clientes a la semana y l'es cobra $ 3 por corte

de $ 0.5 en la tarifa, el peluquero pierde 10 clientés ¿Qué precio

que los ingresos semanales no sean menores de los que él obtiene

Determine la ga

Determine el co

Determine la gat

La compañía Da

costo unitario de

de unidades que

El administrador

que la empresa

fabricación de Io

mes y el costo de

empaques deberá

empaques?

La publicidad ind

galón en la carrt

Suponga que exi

puede recorrer un

Una mujer de ne

rentar un automó

anual). Bajo este,

carro, el gasto fijcde millas que debr

0

ffi ,r,'B¡6Rgieros.fRoP,.u srss.-

Determine el costo mínimo C (en dólares) dado que 5(C - 25) > I '7 5 + 2 '5C

Rpta. $ 50.70

Sistema de Números Reales 3t9

Determine la ganancia máxima p (en dólares) dado que: 6(p - 2500) s 4(p + z40a)

Rpta. $ r2,300

Determine el cosro mínimo c 1en dólares) dado que: 2(r.sc+ g0) s 2(2.5c - 20)

Rpta. $ 100

Determine la ganancia máxima p (en dólares) dado que: 12(2p -320) < 4(3p + 240)

Rpta. $ 400

La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y uncosto unitario de $ 15. Si los costos fijos son de $ 600,000, determine el número mínimode unidades que deben ser vendidos para que la compañía tenga utilidades.

Rpta. Al menos 120,001

El administrador de una fabrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques.que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a $ t.tO cada uno. Lafabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en $ g00 almes y el costo del material y de mano de obra será de $ 0.60 por cada empaque ¿cuántosempaques deberá usar la empresa'al mes para justificar la decisión de fabricar sus propiosempaques? Rpta. Producir al menos 1601 empaques al mes

La publicidad indica que cierto auto rinde 20 millas por galón en la ciudad y 27 millas porgalón en la canetera, y que la capacidad del tanque de gasolina es de 1g.1 galones.Suponga que existen las condiciones ideales de manejo y determine la distancia quepuede recorrer un auto de estas características con el tanque lleno.

Rpta. [362,488.7]

Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia enl-re los costos de comprar yrentar un automóvil. Ella puede rentar un automóvil por $ 400 mensual (con una baseanual). Bajo este plan el costo por milla (gasolina y aceite) es de $ 0.10. Si comprarse elcarro, el gasto fijo anual sería de $ 3,000 más $ 0.1g por milia ¿Cuál es el menor númerode millas que deberá conducir por año para que la renta nb sea más cara que la compra?

Rpta. 22,500

320 Eduardo Espinou Ramos Sistema de Números Reak

Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $ 30 cada una.

Tiene costos fijos de $ 12,000 al mes; y además, le cuesta $ 22 producir artículo ¿Cuántas

unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades?

Rpta. más de i,500

de l57a de las ventas por arriba de

menos $ 3,000 por mes ¿Cuál es el

Rpta. $ 32,000

El cosrr.¡ de pubiici

ingresos del reore

publicidad coffesp

2,000 ejemplares ,

ingresos semanales

Un fabricante tien

próximo mes el prr

ingreso total recibir

es el número máxir

Al precio de P por

mercado,conP=É

obtener ingresos po

Un fabricante puedr

(en dólares) de pro

¿Cuántas unidades

utilidad?

Un granjero desea d

Encuentre las dime

yardas cuadradas.

R¡

Un peluquero atien<

por cada increment<

máximo deberá fijar

Un accionista invier

ciento anual. Si el v¡

2 años ¿Qué restricc

La comisión mensual de un agente de ventas es

$ 12,000. Si su objetivo es lograr una comisión de al

volumen mínimo de ventas que debe alcanzar?

El costo unitario de publicación de una revista es de $ 0.65 se vende al distribuidor en

$ 0.60 cada una, y la cantidad que recibe por publicidad es el 107o de la recibida por todas

las revistas vendidas arriba de las 10,000. Encuentre el menor número de revistas que

pueden ser publicadas sin pérdida, esto es, que la utilidad > 0 (suponga que toda la

emisión será vendida) Rpta. 60,000

Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias correas para el

ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $ 2.50 cada unidad. La

fabricación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos en $ 1,500 al mes,

pero sólo le costará $ 1.70 fabricar cada corea ¿Cuántas colTeas debe utilizar la empresa

cada mes parajustificar la fabricación de sus propias correas?

Rpta. más de 1,875

Una compañía invierte $ 30,000 de sus fondos excedentes a dos tasas de interés anual: 5 y

6."75ok. Desea una ganancia anual que no sea rnenor al 6.5Vc ¿Cuál es la menor cantidacl

de dinero que debe invertir a la tasa de 6.75 por ciento? R.pta. $ 25,714.29

La fabricante de cierto artículo ha estimado que sri ganancia en rniles de dólares está dado

por la expresi6n -6xz +30x-10 donde x (miles) es el número de unidades producidas.

¿Qué nivei de producción el pemitirá obtener una ganancia de al menos $ 14,000?

Rpta. Entre 1,000 y 4,000 unidades

Una pelota se lanza hacia arriba, de modo que su altura después de t segundo es

l28t-16t2 +4 pies. Determine el tiempo durante el cuál la pelota está arriba de una

altura de 196 pies. Rpta. 4 segundos

Sistema de Números Reales 32r

@

El costo de publicar cada ejemplar de la revista semanal compra y venta es de $ 0.35. Loslngresos del representante de ventas son de $ 0.30 por ejemplar y los ingresos de lapublicidad corresponden al 20Vo de los ingresos obfenidos por ventas que exceden los2'000 ejemplares ¿Cuántas copias deberá publical y vender cada semana para obteneringresos semanales del al menos $ 1,000? Rpta. 112,000, o más

un fabricante tiene 2,500 unidades de un producto cuyo precio unitario es de $ 4. Elpróximo mes el precio por unidad se incrementará en $ 0.50. El fabricante quiere que elingreso total recibido por la venta de las 2,500 unidades no sea menor que $ 10,750 ¿cuáles el número máximo de unidades que puede ser vendido este mes?

Rpta. 1,000

Al precio de P por unidad, x unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en elmercado, con F = 600 - 5x ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de

obtener ingresos por los menos de $ 18,000? Rpta. 60 unidades

Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $ 25 cada una. El costo C

(en dólares) de producir x unidades cada semana está dado por c=3,000+ 2ox-0.1x2

¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana para obtener algunautilidad? Rpta. más de 150

Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 200 yardas de cerco disponible.Encuentre las dimensiones posibles del terreno si su área debe ser de al menos 2,100yardas cuadradas.

Rpta. 30 < x < 70, si x yardas es la longitud de un lado del terreno.

Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobriíndoles $ 4 por cortepor cada increme4to de $ 0.50 en el precio, el peluquero pierde 8 clienres. ¿eué preciomáximo deberá fijar para obtener ingresos semanales por lo menos $ 520?

Rpta. $ 6.50

Un accionista invierte $ 100 a un interés anual del R por ciento y otros $ 100 al 2R porciento anúal. Si el valor de las dos inversiones debe ser de al menos $ 224.80 después de

2 años ¿Qué restricciones deben establecerse sobre R? Rpta. R > 4

Edunrdo Espinoza Ramos Relaciones y Funciones

4.t- INTRODU

a) PARORDE

Llamaremos

llamada la pr

Ejemplo.-

b) IGUALDAI

Los pares or

componentes

Ejemplo.-

Luego direm

correspondie

Ejemplo.- t

Para calcular

ordenados:

E

@

Para producir 1 unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del

material es de $ 2.50 y el de mano de obra de $ 4. El gasto general, sin irnportar el

volumen de ventas, es de $ 5,000. Si el precio para un mayorista es de $ 1 .40 por unidad,

determine el número mínimo de unidades que debe ser vendido para que la compañía

obtenga utilidades.

El margen de ganancia para un auto usado era de al menos 307o de su precio total al por

mayor. Si el auto fue vendido en $ 6,500 ¿Cuál fue el precio máximo al por mayor?

t minutos después de introducir un bactericida experimental en cierto cultivo, el número

de bacierias está dado no, {9Q*2,000. Determine el momento en que el número de' t2+lbacterias esté por debajo de 4,000.

Un editor puede vender 12,000 ejemplares de un libro al precio de $ 25 cada uuo, por

cada dólar de incremento en el precio, las ventas tlajan en 400 ejemplares ¿Qué precio

mínimo deberá fijarse a cada ejemplar con objetivo de lograr ingresos por lo menos de

$ 300,000?

Una fabrica de camisetas produce N camisetas a un costo de mano de obra total de $ l.2N

y un costo total por material de $ 0.3N. Los gastos generales para la planta son $ 6,000. Si

cada camiseta se vende en $ 3 ¿Cuántas camisetas deben venderse para que la compañía

obtenga utilidades?

Suponga que los consumidores comprarán q unidades de un producto al precio ¿. l0-9 * r

q

dólares por unidad ¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe ser vendido para que

ei ingreso por ventas sea mayor que $ 5,000?

En cierto estanque se crían peces (se introducen n de ellos allí). Si se sabe que la ganancia

de peso promedio de cada pez es de (600 - 3n) gramos" Determine las restricciones de n

si la ganancia total en peso de todos los peces debe ser mayor que 28,800 gramos.

Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender

rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a P centavos por libra,

venderá x libras, con x = 1000 - 20P ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener

ingresos por lo menos de $ 120?

Numeros Reales Espinoza Ramos

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