NUMEROS REALES
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1. Desigualdades
Entre dos números reales a y b, se cumple
solo una de las siguientes proposiciones:
Entonces R es un conjunto ordenadoMatemáticas - 11º
a b
a b
a b
Matemáticas - 11º
1. Desigualdades
• Una desigualdad es una expresión de la formadonde a y b son números reales.
• Ejemplos:
, , , a b a b a b a b
2 12 5 2 3 6 6
3 2
Matemáticas - 11º
2. Intervalos
• Un intervalo es un subconjunto (no vacio) de los números reales.Es el espacio que se da de un punto a otro (en la recta numérica) en el cual se toman en cuenta todos los puntos intermedios.Se representan usando los puntos externos del intervalo.
Matemáticas - 11º
2. Intervalos
Infinitos
a
( , ) /a x R x a [ , ) /a x R x a
a
a
( , ) /a x R x a ( , ] /a x R x a
a
Matemáticas - 11º
2. Intervalos
• Operaciones entre Intervalos:Dados dos intervalos A y B es posible realizar las operaciones:
• Ejemplo:Dados los intervalos A = (-4, 2], B = [2, ∞), C = (-1, 3) Hallar:
, , AyA B A B A B
a) b) c) d ) A B B C B B C
Matemáticas - 11º
2. Intervalos
• Solución:a)
b)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
A
B
2A B
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
A B
B CB
( 1, )B CC
Matemáticas - 11º
2. Intervalos
• c)
• d)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
B
B
( , 2)B
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
B
C [3, )B C
B C
Matemáticas - 11º
3. Inecuaciones
• Propiedades de las desigualdades:Sean a, b y c números reales
1)
2)
3) 0
4) y 0
Si y , entondes
Si , Entonces ,
Si y , Entonces y
Si , Entonces y
a b b c a c
a b a c b c a c b c
a ba b c ac bc
c ca b
a b c ac bcc c
3. Inecuaciones
Una Inecuación es una desigualdad en la cual intervienen una o mas variables.
• Resolver una Inecuación es hallar los valores de la variables que hacen verdadera la desigualdad. A estos valores se les llama conjunto solución.
• Ejemplo: Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación
Matemáticas - 11º
3 4 2x x
Matemáticas - 11º
3. Inecuaciones
• Solución: Utilizando las propiedades de las desigualdades.
3 4 2
3 4 2
2 6
3
x x
x x
x
x
El conjunto solucion / es 3S x R x
Matemáticas - 11º
3. Inecuaciones
• Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución de cada inecuación
• Solución:a) Método Analítico:
22
2
2 7 4 2 5 3 0 a 0
2 b
3) )
x xx x
x x
2
Se consider
2 5
an
3 0
2 1 3 0 dos casos
x x
x x
3. Inecuaciones• Caso 1: • Caso 2:
Uniendo las soluciones de ambos casos el conjunto solución es
2 1 0 3 0
2 1 3
1 3
21
, 3 , 32
1 , 3
2
x x
x x
x x
2 1 0 0
2 1 3
1 3
21
, 3, 2
x
x x
x x
1, 3
2 Matemáticas - 11º
Matemáticas - 11º
3. Inecuaciones
• a) Método Gráfico:Se hallan las raíces de los factores de la expresión factorizada y se ubica en la recta real:Antes de cada una de las raíces las expresiones son negativas. Después son positivas..
Nota: Las raíz de un polinomio es el valor o los valores de x para el cual el polinomio se hace cero P(x) = 0
y2 1 3x x
3. Inecuaciones
• Se multiplican los signos en ambas rectas, teniendo en cuenta las raíces
Matemáticas - 11º
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + +
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2 1x
3x
2 1 3x x
- - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + - - - - - - - - + + + + + +
• Se requiere que (2x + 1)(x – 3) < 0, lo cual sucede en:
1, 3
2
Matemáticas - 11º
3. Inecuaciones
• b) Método Analítico: Factorizando:
Por tratarse de una fracciónEntonces
Para que la fracción sea mayor o igual a cero se presentan dos casos
2
2
2 7 40
2 3
x x
x x
2 1 40
3 1
x x
x x
3 1 0x x
3 y 1x x
3. Inecuaciones
Matemáticas - 11º
2 1 4 30 0 1 xx xx
2 1 0 4 0 2 1 0 4 0
1 1 x 4 x 4
2 21
x 4 2
1 , 4 ,
2
x x x x
x x
x
3 0 1 0 3 0 1 0
3 x 1 3 1
3 1
, 3 1,
x x x x
x x x
x x
Caso 1:
Matemáticas - 11º
3. Inecuaciones 2 1 4 3 1 0 0 x xx x
2 1 0 4 0 2 1 0 4 0
1 1 4 4
2 21
4, 2
x x x x
x x x x
Caso 2:
3 0 1 0 3 0 1 0
3 1 3 1
3, 1
x x x x
x x x x
Matemáticas - 11º
3. Inecuaciones• Resolvemos la intersección para cada
uno de los casos:
Conjunto solución
,
1, 4 3
21, ,
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
, 4 1,
3. Inecuaciones
Conjunto solución:
Matemáticas - 11º
1
4, 2
3, 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
13,
2
El conjunto solución final es la unión de las soluciones para cada caso
11, 3, ,
2 4
3. Inecuaciones• b) Método gráfico
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
2 1 4
3 1
x x
x x
2 1x
3x
1x
4x -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + +- - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + +
+ + + + - - - + + + + + + + + + + +- - + + +
3. Inecuaciones• Ejercicios: Usando los métodos
analítico y grafico, hallar los valores de x para los cuales se cumplen las siguientes desigualdades:
2
2
2 2
7 8 2 7 x 12 0
6 2 4 1
1) 4)
5)
3)
3 13 10 0
x 6 5 0 4x 13
2)
3
6) 0
x x x
x x x x
x
Solo Analítico
4. Valor absoluto
El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo. Por ejemplo 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.
• De manera genérica
0, donde, 1) x a a x a x a
2) x a x a x a
4. Valor absoluto
• Otras propiedades del valor absoluto
2
3
0
) 4)
5)
6) 7)
a a ab a b
aab
b b
a b a b a a
4. Valor absoluto
• Ejemplo: Hallar los valores de x que satisfacen la siguiente ecuación:
• Como se aplica la primera propiedad:
• Por tanto el conjunto solución es
3 8 14x
14 0
3 8 14 o 3 8 14x x 22
2 o 3
x x 22
2, 3
4.1 Inecuaciones con valor absoluto
• Para resolver inecuaciones con valor absoluto, se tienen en cuenta las siguientes propiedades:
2 2
con 01.
2. o
3 .
x a a x a a
x a x a x a
x a x a
4.1 Inecuaciones con valor absoluto
• Ejercicios: Hallar los valores de x para los cuales se cumplen las siguientes inecuaciones con valor absoluto
• Aplicando la primera propiedad:
) 2 9a x
9 7 9x 9 7 9 7x
2 16x