Los Números Racionales Son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros,

tal como :3/4, -21/3, 5, 0, 1/2.

Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya, representación decimal es eventualmente periódica

Ejemplos: 1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del

tercer número decimal.5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6

(repite 714285). es irracional y su expansión decimal es aperiódica.

Es importante tener en cuenta que, mientras que en los números enteros cada número tiene un siguiente (-1, 0, 1, 2, 3, 4…), existen infinitos números entre cada número racional.

Representación racional de los números decimales

Todo número decimal puede expresarse en fracción de la siguiente manera:• Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión

decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. Ejemplo:

• Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo:

• Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el número entonces y , por lo que el número buscado será .

• Un Número Irracional

Es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.

• Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

• No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).

• La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1).

NUMEROS REALES

• Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero como ).

Definición

• El conjunto de números reales es un conjunto numérico denso ordenado y completo:

• Denso: entre 2 números reales siempre existen otros números reales

• Orden: dados 2 números reales siempre se puede identificar cual es el mayor

• Completo: se puede establecer una equivalencia directa entre los puntos de la recta y los números reales

Además como todo conjunto numérico es infinito. Inclusive

podemos decir que entre 2 números consecutivos existen infinitos números reales

OperacionesSuma de números reales

– Propiedades

1.Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

a + b

2.Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

3.Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a

4.Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

5.Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

e − e = 0

Diferencia de números reales

• La diferencia de dos números reales se define

como la suma del minuendo más el opuesto del

sustraendo.

a − b = a + (−b)

Producto de números realesLa regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue

manteniendo con los números reales.

Propiedades• 1.Interna: El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

a · b • 2.Asociativa:El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son

números reales cualesquiera, se cumple que:(a · b) · c = a · (b · c)

• 3.Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

• 4. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a ·1 = a

• 5. Elemento inverso: Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

• 6.Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

• 7.Sacar factor común: Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

División de números reales• La división de dos números reales se define como el

producto del dividendo por el inverso del divisor.

Modulo

• Llamamos módulo o valor absoluto de un número real x a la distancia entre dicho numero y cero. Lo simbolizamos así: I x I.

• Definición algebraica:

Propiedades fundamentales:

|-x| = |x|

|x / y| = |x|

Integrantes

Bruno MüllerLucas GordilloRoció GorritiJuan MuñozCarla Gómez

Bibliografía: Matemática 1 Santillana