Numeros Naturales 2014

Instituto de Educación Superior SAN CARLOSTecnicatura Superior en Agroalimentos

MATEMATICA

Unidad 1: Aritmética y Geometría

Números Naturales

¿Que son los Números Naturales?

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición o suma y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.La sustracción o resta, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso (como veremos más adelante) se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos. O sea con los Números Naturales (N) vistos, se realizaron todas las operaciones; hasta que surge una IMPOSIBILIDAD en dar solución en la operación SUSTRACCIÓN cuando el minuendo es menor al sustraendo: m: minuendo s: sustraendo m< s entonces m – s = 3 – 5 no tiene solución en N

Para dar solución se crea un nuevo Campo de Números llamado ENTEROS (se simboliza Z )

RECTA NUMÉRICA 0 __________________________________________________ ..... -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 .....

Z- Z+

Números Opuestos: son aquellos números que se encuentran a la misma distancia del cero y en sentidos contrarios (uno hacia la derecha y el otro hacia la izquierda)

1


-3 es opuesto de +3 _________________________+3 es opuesto de -3 -3 0 +3

Valor Absoluto: el valor absoluto de un número es siempre el positivo de dicho númeroSímbolo: se indica el valor absoluto por medio de barras paralelas que encierran el número

-7 = 7 En la recta numérica el valor absoluto se representa: 2 0 2 _______________________ -2 2

Numeros Enteros

¿Que son los Numeros Enteros?

Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

Suma de Números Enteros

Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:

• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos: • 7 + 11 = 18 • -7 - 11 = -18 • Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor: • 7 + (-5) = 7 - 5 = 2 • -7 + 5 = - (7 - 5) = -2 • 14 + (-14) = 0

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La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa: a + b = b + a Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, a + 0 = a Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a, a + (-a) = 0

Multiplicacion de Numeros Enteros

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo:

+ · + = + + · - = - - · + = - - · - = +

La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) Conmutativa: a · b = b · a Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación, a · 1 = a Distributiva de la multiplicación respecto de la suma: a · (b + c) = a · b + a · c

Múltiplo, de un número entero, b, es otro número, a, tal que a = b · c, para algún entero c. Así, 45 es múltiplo de 15 porque 45 = 15 · 3.

También se dice que “b es divisor de a” o que “b divide a a”, y se expresa así: b | a. Es decir, las afirmaciones “a es múltiplo de b” y “b es divisor de a” son equivalentes

Resta de Numeros Enteros

Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:

a - b = a + (-b)

3


Por ejemplo:

5 - (-3) = 5 + 3 = 8 -2 - 5 = (-2) + (-5) = -7

Propiedades de la Sustraccion de Numeros Naturales

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

DIVISION

Propiedades de la Division de Numeros Naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto

Cuando el dividendo no es múltiplo del divisor no es posible dar solución en los Z, esta IMPOSIBILIDAD, trae como consecuencia un nuevo Campo de Números llamados RACIONALES (Q).

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D Numerador El número D no es múltiplo del número d__ Línea de fracción Ejemplo 3 5 = 3/5 d Denominador

Si se realiza la operación 3/5 = 0, 6 este es un NÚMERO DECIMAL EXACTO ( el resto de la división es cero)Si el número es 2/9 = 0,2222222......., este resultado nos lleva a una EXPRESIÓN DECIMAL PERIÓDICA PURA, después de la coma decimal (parte decimal) se sucede una o varias cifras que se repiten en forma infinita, llamadas cifras periódicas.Si se tiene un número 7/45 = 0,1555555......., este es el caso de una EXPRESIÓN DECIMAL PERIÓDICA MIXTA, la parte decimal esta compuesta por una cifra que no se repite (1) y a continuación el 5 que aparece infinitas veces, cifra periódica.

Para expresar un número decimal en forma de fracción los pasos a seguir son los siguientes:Expresión Decimal Periódica Pura: Colocar como numerador de la fracción el número dado sin la coma decimal, al que se le resta la parte entera y como denominador se colocan tantos 9 (nueve) como cifra tenga el período.

2 24 – 2 22 3137 – 31 3106 0,2 = __ 2,4 = _____ = ___ 31,37 = ________ = _____ 9 9 9 99 99

Expresión Decimal Exacta: Colocar como numerador el número dado sin la coma y como denominador se coloca la unidad (1) seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número dado.

812 81 2347868,12=_____ 0,0081 = _______ 234,786 = ________ 100 10000 1000

Una fracción es mayor a otra, cuando los productos cruzados, productos de extremos es mayor que el producto de los medios.

A C 5 3 __ > __ A x D (extremos) > B x C (medios) __ > __ 5 x 7 >x 3 B D 6 7 35 > 18

Una fracción es menor a otra, cuando el producto de los extremos es menor al producto de los medios.

A C 2 6__ < __ A x D < B x C __ < __ 2 x 7 < 3 x 6B D 3 7 14< 18

Una fracción es igual a otra, cuando el producto de los extremos es igual al producto de los medios, se dice también que las fracciones son EQUIVALENTES. A C 3 1__ = __ A x D = B x C __ = __ 3 x 4 = 12 x 1

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B D 12 4 12 = 12

Numeros Fraccionarios

¿Que son los Numeros Fraccionarios?

Los Numeros Fracciónarios , son el cociente indicado a/b de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. Ha de ser b ≠ 0.

Por ejemplo, en la fracción 3/5 el denominador, 5, indica que son “quintas partes”, es decir, denomina el tipo de parte de la unidad de que se trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas partes hay que tomar:

“tres quintas partes”.

Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero:

14/2=7; -15/3=-5; 352/11= 32

Equivalencia

Dos fracciones a/b y a'/b' son equivalentes, y se expresa

a/b = a'/b'

si a · b′ = b · a′.

Así,

21/28= 9/12

porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252.

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Simplificacion

Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido:

a/b=a.d'/b.d'=a'/b'

Por ejemplo: 120/90= 12/9

La fracción 12/9 es el resultado de simplificar 120/90 dividiendo sus términos por 10

Fraccion Irreducible

Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí.

La fracción 3/5 es irreducible. La fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar:

12/= 4/3

Reduccion a comun denominador

Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha reducido a mínimo común denominador.

Por ejemplo, para reducir a común denominador las fracciones

2/3, 4/9 y 3/5

se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene: 2/3=60/90, 4/9=40/90, 3/5=54/90

Es decir,

es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90.

Pero si en vez de 90 se toma como denominador común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene

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30/45, 20/45, 27/45

que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común denominador.

Suma de Fracciones

Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo:

2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45

Producto de Fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores:

a/b * c/d = a*c/b*d

Inversa de una Fraccion

La inversa de una fracción a/b es otra fracción,b/a , que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1:

a/b * b/a=a*b/b*a=1/1=1

Cociente de Fraccion

El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda:

a/b : p/q , a/b*q/p, a*q/b*p

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Potenciacion

¿Que es la Potenciacion?

Potencia (matemáticas), producto formado mediante sucesivas multiplicaciones de un número, letra o expresión algebraica por sí misma.

En la potencia a ^n, a es la base y n el exponente

Potencia de Exponente Natural

Si el exponente es un número entero mayor que 1, se define:

a ^n = a ·…· a (n factores)

En especial, a ^1 = a.

Las propiedades de las potencias de exponente natural son las siguientes:

1. a ^m · a ^n = a ^(m + n)

Por ejemplo, 5 ^2 · 5 ^4 = 5 ^6

2. (a · b) ^n = a ^n · b ^n

Por ejemplo, (2 · 5) ^3 = 2 ^3 · 5 ^3

3. (a ^m) ^n = a ^(m · n)

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Por ejemplo, (3 ^2) ^5 = 3 ^10

4. Si m > n, a ^m/a ^n=a ^m-n

Por ejemplo, 5 ^6/5 ^2=5 ^4

Si m < n, a ^m/a ^n=a ^m-n

Por ejemplo, 5 ^6/5 ^2=1/5 ^4

5. (a/b) ^n = a ^/b ^

Por ejemplo, (7/2) ^ n = 7 ^n / 2 ^n

Potencia de Exponente Entero

Si n >0, se define a ^-n = 1/ a ^n

Por ejemplo, 10 ^ -3 = 1/10 ^ 3

Para n = 0, a ^0 = 1; por ejemplo, 17 ^0 = 1.

Las propiedades de las potencias de exponente entero son las mismas que las de exponente natural. Es decir, aunque el exponente sea un entero negativo, las propiedades siguen siendo las mismas. Sólo la propiedad 4 se puede poner de forma más sencilla y general:

4. Si m y n son dos números enteros cualesquiera, y a ≠ 0,

a ^m /a ^n = a ^m-n

Por ejemplo, a ^ -3 / a ^5= a ^ -3-5=a ^ - 8 =1 / a ^8

Potencia de Exponente Fraccionario

Si m y n son enteros, n ≥ 2, se define

Por ejemplo,

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Las propiedades de las potencias de exponente fraccionario son las mismas que las de exponente entero.

Guía conceptual

Operaciones en N, Z, Q y R

SumaLa suma es una operación cerrada en todos los campos de NúmerosPropiedades:Uniforme: Si a = b entonces a+c = b+c Cancelativa: Si a + c = b + c entonces a = b Conmutativa: a + b = b + a Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c Elemento Neutro: Existe 0 / 0 + a = a + 0 = a Opuesto Aditivo: Existe (-a) / (-a)+(+a) = (+a) +(-a) = 0 Verificar si las propiedades de la suma son válidas en la operación resta

MultiplicaciónLa multiplicación es una operación cerrada en todos los campos de NúmerosPropiedades:Uniforme: Si a = b entonces a . c = b . c Cancelativa: Si a . c = b. c entonces a = b Conmutativa: a . b = b . a Asociativa: a . (b . c) = (a . b ) . c Elemento Neutro: 1 / 1 . a = a . 1 = a Inverso Multiplicativo: a¹ / a . a¹ = a¹ . a = 1 Elemento Absorbente: 0 / 0 . a = a . 0 = 0 Distributiva: a derecha a . (b + c) = a.b + a. c A izquierda (b + c ) . a = b.a + c.aVerificar si las propiedades del producto son válidas para la división

PotenciaciónDefinición: bª = x si y sólo si x = b. b. b. .... .b Nombre de las componentes: b = base de la potencia a = exponente x = potencia Reglas practicas:Exponente PAR: Resultado de la potencia es siempre POSITIVOExponente IMPAR: Resultado de la potencia conserva el signo de la base

Casos Particulares:Exponente CERO: Resultado de la potencia es la Unidad (uno) aº = 1 Exponente UNO: Resultado de la potencia es la misma base a¹ = a

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Exponente NEGATIVO: para que el exponente sea POSITIVO se debe invertir la base x-a = (1/ x)ª

Propiedades:La potenciación no es distributiva, tampoco asociativa en las operaciones suma o resta: (x + y )ª = xª + yª No es distributiva xª + yª = (x + y )ª No es asociativa

La potenciación SI es distributiva y también asociativa en las operaciones multiplicación y división: (x . y )ª = xª . yª SI es distributiva xª . yª = (x . y )ª SI es asociativa

Producto de Potencias de igual base:X a .X b .X c = X a+b+c

Cociente de Potencias de igual base:X a : X b = X a-b

Potencia de otra potencia:(X a ) b = X a.b

Radicación: Definición: La raíz enésima de un número a, es encontrar un número b, tal que dicho número elevado a la enésima potencia de como resultado el número a.

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