NTC-ISO 8258

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NORMA TCNICA NTC-ISOCOLOMBIANA 8258

1995-05-10

GRFICOS DE CONTROL DE SHEWHART

E: SHEWHART CONTROL CHARTS

CORRESPONDENCIA: esta norma es idntica a la ISO 8258

DESCRIPTORES: representacin grfica; anlisisestadstico; diagrama; controlestadstico de calidad; control decalidad

I.C.S.: 03.120.30

Editada por el Instituto Colombiano de Normas Tcnicas y Certificacin (ICONTEC)Apartado 14237 Bogot, D.C. - Tel. 6078888 - Fax 2221435

Prohibida su reproduccin

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PRLOGO

El Instituto Colombiano de Normas Tcnicas y Certificacin, ICONTEC, es el organismo nacionalde normalizacin, segn el Decreto 2269 de 1993.

ICONTEC es una entidad de carcter privado, sin nimo de lucro, cuya Misin es fundamentalpara brindar soporte y desarrollo al productor y proteccin al consumidor. Colabora con el sectorgubernamental y apoya al sector privado del pas, para lograr ventajas competitivas en losmercados interno y externo.

La representacin de todos los sectores involucrados en el proceso de Normalizacin Tcnicaest garantizada por los Comits Tcnicos y el perodo de Consulta Pblica, este ltimocaracterizado por la participacin del pblico en general.

La NTC-ISO 8258 fue ratificada por el Consejo Directivo de 1995-05-10.

Esta norma est sujeta a ser actualizada permanentemente con el objeto de que responda entodo momento a las necesidades y exigencias actuales.

En Consulta Pblica el Proyecto se puso a consideracin de las siguientes empresas:

ACEGRASASAEG COLOMBIANAALFAN EMPAQUES FLEXIBLES S. A.

AVE COLOMBIANACENTELSACOATS CADENACOCACOLA DE COLOMBIACOLOMBIANA DE FRENOSCOLOMBINA S.A.CYQUIM DE COLOMBIAEMACEMPRESA DE ACUEDUCTO YALCANTARILLADO DE BOGOTEMPRESAS DE ENERGA DE BOGOTEMSA

EXTRUCOLFACOMECFAGRAVE

FIBERGLAS DE COLOMBIAFUNDACIN SANTAFJOHNSON Y JOHNSON

LABORATORIOS RYMCOLICORERA DE CALDASMICROPLASTNESTLE DE COLOMBIAPELDARPRINTER COLOMBIANARALCOSIEMENSSIEMENSSIKA ANDINASUDELECSUPERINTENDENCIA INDUSTRIA Y

COMERCIOUNILEVER ANDINA

ICONTEC cuenta con un Centro de Informacin que pone a disposicin de los interesadosnormas internacionales, regionales y nacionales.

DIRECCIN DE NORMALIZACIN

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GRFICOS DE CONTROL DE SHEWHART

INTRODUCCIN

El enfoque tradicional respecto a la manufactura consiste en depender de la produccin paraelaborar el producto y del control de calidad para inspeccionar el producto final y eliminar losproductos que no cumplan las especificaciones. Esta estrategia de deteccin es a menudodesperdiciadora y antieconmica porque implica inspeccionar en forma posterior al hecho,cuando ya ha ocurrido esa produccin desperdiciadora. En vez de eso, es mucho ms eficienteimplantar una estrategia de prevencin para evitar el desperdicio mediante la no produccin deproductos inservibles, en primer lugar. Esto se puede lograr recogiendo informacin acerca delproceso y analizndola para as poder actuar sobre el proceso mismo.

El grfico de control como un medio grfico de aplicar los principios estadsticos de lasignificancia al control de un proceso de produccin, fue propuesto por primera vez por el doctorWalter Shewhart en 1924. La teora de los grficos de control reconoce dos clases devariabilidad. La primera clase es la variabilidad aleatoria debida a "causas del azar" (tambinconocida como "causas comunes"). Esto se debe a la amplia variedad de causas que estnpresentes continuamente y que no son fcilmente identificables, cada una de las cualesconstituye un componente muy pequeo de la variabilidad total pero ninguna de las cualescontribuye con una cantidad significativa. Sin embargo, la suma de las contribuciones de todasestas causas aleatorias no identificables es medible y se supone que es inherente al proceso. Laeliminacin o correccin de las causas comunes requiere una decisin gerencial para asignarrecursos que mejoren el proceso y el sistema.

La segunda clase de variabilidad representa un cambio real en el proceso. Ese cambio puede seratribuido a algunas causas identificables que no son parte inherente del proceso y que, al menostericamente, se pueden eliminar. Estas causas identificables se denominan "causas asignables"o "causas especiales" de variacin. Ellas se pueden atribuir a la falta de uniformidad en elmaterial, a una herramienta rota, a la mano de obra o a los procedimientos o al funcionamientoirregular del equipo de fabricacin o de ensayo.

Los grficos de control ayudan en la deteccin de patrones no naturales de variacin en los datosresultantes de los procesos repetitivos y suministran criterios para detectar una falta de controlestadstico. Un proceso est bajo control estadstico cuando la variabilidad resulta nicamentepor causas aleatorias. Una vez que se determina este nivel de variacin aceptable, se suponeque cualquier desviacin respecto de ese nivel es el resultado de causas asignables que es

necesario identificar y eliminar o reducir.

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El objeto del control estadstico de procesos es servir para establecer y mantener un proceso aun nivel aceptable y estable, de tal forma que se asegure la conformidad de los productos y delos servicios con requisitos especificados. La principal herramienta estadstica utilizada parahacer esto es el grfico de control, que es un mtodo grfico de presentar y compararinformacin basado en una secuencia de muestras que represente el estado actual de un

proceso frente a lmites establecidos despus de considerar la variabilidad inherente del proceso.El mtodo del grfico de control ayuda, primero a evaluar si un proceso ha alcanzado o no unestado de control estadstico o contina en ese estado al nivel especfico apropiado, y despus aobtener y mantener el control y un alto grado de uniformidad en caractersticas importantes delproducto o del servicio mediante el mantenimiento de un registro continuo de la calidad delproducto mientras la produccin sigue su curso. El uso de un grfico de control y su anlisiscuidadoso conduce a un mejor entendimiento y mejoramiento del proceso.

1. OBJETO

Esta norma establece una gua para comprender y utilizar el enfoque de los grficos de control

de Shewhart dentro de los mtodos para el control estadstico de un proceso.

Esta norma se limita al tratamiento de los mtodos de control estadstico de procesos utilizandonicamente el sistema de los grficos de Shewhart. Se introduce brevemente algn materialcomplementario que es consecuente con el enfoque de Shewhart, tal como el uso de lmites deadvertencia, anlisis de patrones de tendencias y capacidad del proceso. Hay, sin embargo,varios otros tipos de procedimientos de grficos de control, cuya descripcin general se puedeencontrar en la norma ISO 7870.

2. SMBOLOS

n Tamao del subgrupo; el nmero de observaciones de muestras por subgrupo.

k Nmero de subgrupos.

X Valor de la caracterstica de calidad que se mide (los valores individuales se expresancomo X1, X2, X3, ...). A veces se usa el smbolo Y en vez de X.

_X (X barra) valor promedio del subgrupo:

x = xn

i =X (X doble barra) valor promedio de los promedios del subgrupo.

Valor medio verdadero del proceso.

Me Valor de la mediana de un subgrupo. Para un conjunto de n nmeros X1, X2, ...Xn dispuestosen orden de magnitud ascendente o descendente, la mediana es el valor intermedio delconjunto si n es impar y la media aritmtica de los dos nmeros intermedios si n es par.

__Me Valor promedio de las medianas de los subgrupos.

R Rango del subgrupo: diferencia entre las observaciones mayor y menor de un subgrupo.

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Nota 1. En el caso de grficos para valores individuales, R representa el intervalo mvil, que es el valor absoluto de ladiferencia entre dos valores sucesivos _ X1 X2 _ , _ X2 X3 _, etc.

_R Valor promedio de los valores R para todos los subgrupos

s Desviacin estndar de la muestra:

s =(X - X )

n - 1i

2

_s Valor promedio de las desviaciones estndar de los subgrupos de muestras.

Valor verdadero de la desviacin estndar del proceso dentro del subgrupo.

$ Valor estimado de la desviacin estndar del proceso dentro del subgrupo.

p Proporcin o fraccin de unidades no conformes en un subgrupo:

p = nmero de unidades no conformes en un subgrupo/tamao del subgrupo_p Valor promedio de la proporcin o fraccin no conforme:

_p = nmero de unidades no conformes en todos los subgrupos/nmero total

de unidades inspeccionadas.

np Nmero de unidades no conformes en un subgrupo

c Nmero de no conformidades en un subgrupo._c Valor promedio de los valores c para todos los subgrupos.

u Nmero de no conformidades por unidad en un subgrupo._u Valor promedio de los valores u:

_u = nmero de no conformidades en todas las unidades/nmero total de

unidades inspeccionadas.

3. NATURALEZA DE LOS GRFICOS DE CONTROL DE SHEWHART

Un grfico de control de Shewhart requiere datos obtenidos mediante el muestreo del proceso aintervalos aproximadamente regulares. Los intervalos se pueden definir en trminos de tiempo(por ejemplo por horas) o cantidad (cada lote). Generalmente, cada subgrupo consta del mismoproducto o servicio con las mismas unidades medibles y el mismo tamao del subgrupo. A partirde cada subgrupo se deducen una o ms caractersticas del subgrupo, tal como el promedio delsubgrupo, X, y el rango del subgrupo, R, o la desviacin estndar, s. Un grfico de control deShewhart es un diagrama de los valores de determinada caracterstica del subgrupo frente alnmero del subgrupo. El grfico consta de una lnea central (LC) localizada en un valor de

referencia de la caracterstica representada. Al evaluar si existe o no un estado de controlestadstico, el valor de referencia es usualmente el promedio de los datos que se estnconsiderando. Para el control del proceso, el valor de referencia es generalmente el valor de la

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caracterstica a largo plazo tal como se estipule en las especificaciones del producto o un valornominal de la caracterstica que se est representando basado en la experiencia pasada con elproceso o segn valores objetivos implcitos del producto o servicio. El grfico de control tienedos lmites de control determinados estadsticamente, uno a cada lado de la lnea central, loscuales se denominan lmite superior de control (LSC) y lmite inferior de control (LIC) (ver la

Figura 1).

Figura 1. Bosquejo de un grfico de control

Los lmites de control en los grficos de Shewhart estn a una distancia de 3 a cada lado de lalnea central, donde es la desviacin estndar de la poblacin dentro del subgrupo para elsubgrupo que se est representando. La variabilidad dentro del subgrupo se utiliza como medidade la variacin aleatoria. Para dar una estimacin de se calculan desviaciones estndar demuestras o mltiplos adecuados de los rangos de las muestras. Esta medida de no incluyevariacin de subgrupo a subgrupo sino nicamente los componentes dentro del subgrupo. Loslmites a 3 indican que dentro de los lmites de control se incluir aproximadamente el 99,7 % delos valores del subgrupo, siempre que el proceso est bajo control estadstico. Interpretado enotra forma, hay un riesgo de aproximadamente el 0,3 %, o un promedio de tres veces por mil, de

que un punto representado est por fuera del lmite de control superior o del inferior cuando elproceso est bajo control. Se utiliza la palabra "aproximadamente" porque las desviacionesrespecto de los supuestos subyacentes tales como la forma de la distribucin de los datosafectar a los valores de la probabilidad.

Conviene observar que algunos prefieren utilizar el factor 3,09 en vez de 3 para suministrar unvalor de probabilidad nominal de 0,2 % o sea un promedio de una observacin falsa por mil, peroShewhart seleccion 3 para no llevar a intentos de considerar probabilidades exactas.Anlogamente, algunos utilizan valores de probabilidad real para los grficos, con base endistribuciones no normales tales como las de para rangos y fracciones no conformes. Una vezms, el grfico de control de Shewhart utiliz lmites de 3, en vez de los lmites probabilsticos,

en vista del nfasis en la interpretacin emprica.La posibilidad de que una violacin de los lmites sea realmente un evento casual en vez de unaseal real se considera tan pequea que cuando un punto aparezca por fuera de los lmites, sedebe emprender alguna accin. Puesto que en este punto se requiere alguna accin, los lmitesde control de 3 a veces se denominan "lmites de accin".

Muchas veces es ventajoso marcar tambin lmites de 2 en el grfico. Entonces, cualquier valorde muestra que caiga ms all de los lmites de 2 puede servir como una advertencia de unainminente situacin de prdida de control. Como tales, los lmites de control de 2 a veces sedenominan "lmites de advertencia".

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Cuando se aplican los grficos de control son posibles dos tipos de error. El primero se denominaerror tipo 1, que ocurre cuando el proceso correspondiente permanece bajo control pero un puntocae por fuera de los lmites de control debido al azar. Como resultado de esto, se concluyeincorrectamente que el proceso est fuera de control y se incurre en un costo para intentar hallarla causa de un problema inexistente.

El segundo error se denomina error tipo 2. Este ocurre cuando el proceso correspondiente est fuerade control pero el punto generado cae dentro de los lmites de control debido al azar. En este caso seconcluye incorrectamente que el proceso est bajo control estadstico y hay un costo relacionado conla falla en detectar un incremento en la produccin no conforme. El riesgo de un error tipo 2, sinembargo, es funcin de tres cosas: el ancho de los lmites de control, el grado al cual el proceso estfuera de control y el tamao de la muestra. La naturaleza de estos puntos es tal que slo se puedehacer una generalizacin acerca del tamao del riesgo de un error tipo 2.

El sistema de Shewhart tiene en cuenta nicamente el error tipo 1 y el tamao de este error es0,3 % con lmites de 3. Puesto que generalmente no es prctico hacer una estimacinsignificativa de los costos de un error tipo 2 en una situacin dada, y puesto que es conveniente

seleccionar arbitrariamente un tamao pequeo de subgrupo, tal como 4 5, es adecuado yfactible utilizar los lmites de 3 y concentrar la atencin en controlar y mejorar el funcionamientodel proceso mismo.

Cuando un proceso est bajo control estadstico, el grfico de control suministra un mtodo paraprobar continuamente una hiptesis estadstica nula de que el proceso no ha cambiado y quepermanece bajo control estadstico. Puesto que generalmente no se definen por anticipado lasdesviaciones especficas de las caractersticas del proceso respecto del valor objetivo que puedainteresar, junto con el riesgo de un error tipo 2, y no se calcula el tamao de la muestra parasatisfacer niveles de riesgo adecuados, el grfico de control de Shewhart no se debe consideraren el sentido de una prueba de hiptesis (ver las normas ISO 7966 e ISO 7870). Shewhartdestac la utilidad emprica del grfico de control para reconocer las desviaciones respecto de un

proceso "bajo control" y minimiz la interpretacin probabilstica. Algunos usuarios examinan lascurvas caractersticas operativas como medio para hacer una interpretacin de ensayo dehiptesis.

Cuando un valor representado cae por fuera de alguno de los lmites de control o una serie devalores refleja patrones anormales tales como los analizados en el numeral 7, ya no se puedeaceptar el estado de control estadstico. Cuando esto ocurre, se inicia una investigacin paralocalizar la causa asignable y el proceso se puede detener o ajustar. Una vez que la causaasignable se determina y se elimina, el proceso est listo para continuar. Como se analiz antes,para un error de tipo 1, slo en raras ocasiones no se puede encontrar causa asignable yentonces se debe concluir que el punto ubicado fuera de los lmites representa la ocurrencia deun evento muy raro; una causa aleatoria que ha ocasionado un valor por fuera de los lmites decontrol inclusive estando el proceso bajo control.

Cuando se elaboran grficos de control por primera vez para un proceso, a menudo se encuentraque el proceso est fuera de control. Los lmites de control calculados con base en datosprocedentes de un proceso fuera de control conduciran a conclusiones errneas por no serpertinentes. En consecuencia, siempre es necesario poner bajo control un proceso que hayaestado fuera de control, antes de establecer parmetros permanentes para los grficos decontrol. En los siguientes numerales se presentar el procedimiento para establecer grficos decontrol para un proceso.

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4. TIPOS DE GRFICOS DE CONTROL

Los grficos de control de Shewhart son bsicamente de dos tipos: grficos de control devariables y grficos de control de atributos. Para cada uno de los grficos de control hay dossituaciones distintas:

a) Cuando no se dan valores estndar

b) Cuando se dan valores estndar.

Los valores estndar son algunos requisitos especificados o valores objetivos.

4.1 GRFICOS DE CONTROL CUANDO NO SE DAN VALORES ESTNDAR

El propsito aqu es descubrir si los valores observados de las caractersticas representadas,

tales como X, R cualquier otro estadstico varan entre ellos en una cantidad mayor que la quese puede atribuir al solo azar. Los grficos de control basados totalmente en los datos reunidos apartir de muestras se utilizan para detectar aquellas variaciones causadas por factores distintos alazar.

4.2 GRFICOS DE CONTROL CON RESPECTO A VALORES ESTNDAR DADOS

El propsito aqu es identificar si los valores observados de X, etc., para varios subgrupos de nobservaciones cada uno, difieren respecto de los valores estndar respectivos Xo ( o), etc., encantidades mayores que las atribuibles nicamente a causas aleatorias. La diferencia entre losgrficos con valores estndar dados y los grficos sin valores estndar dados es el requisitoadicional referente a la localizacin del centro y de la variacin del proceso. Los valoresespecificados se pueden basar en la experiencia obtenida utilizando grficos de control sininformacin previa ni valores estndar especificados. Tambin se pueden basar en valoreseconmicos establecidos considerando la necesidad del servicio y el costo de la produccin o servalores nominales designados mediante las especificaciones del producto.

Preferiblemente, los valores especificados se deben determinar a travs de una investigacin dedatos preliminares, de los cuales se suponga que son tpicos de todos los datos futuros. Para quelos grficos de control funcionen eficazmente, los valores estndar deben ser compatibles con lavariabilidad inherente del proceso. Los grficos de control basados en tales valores estndar seutilizan particularmente durante la fabricacin para controlar los procesos y para mantener launiformidad del producto al nivel deseado.

4.3 TIPOS DE GRFICOS DE CONTROL PARA VARIABLES Y PARA ATRIBUTOS

Se consideran los siguientes grficos de control.

a) Grficos de control de variables:

1) Grfico del promedio ( )X y grfico del rango (R) o de desviacin estndar(s)

2) Grficos de observaciones individuales (X) y de rango mvil (R)

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3) Grfico de mediana (Me) y grfico de rango (R)

b) Grficos de control de atributos:

1) Grfico de la fraccin no conforme (p) o grfico del nmero de unidades noconformes (np)

2) Grfico del nmero de no conformidades (c) o grfico de no conformidadespor unidad (u).

5. GRFICOS DE CONTROL DE VARIABLES

Los datos variables representan observaciones obtenidas midiendo y registrando la magnitudnumrica de una caracterstica para cada una de las unidades del subgrupo considerado.

Ejemplos de mediciones de variables son la longitud en metros, la resistencia en ohms, el ruidoen decibeles, etc. Los grficos de variables -y especialmente sus formas ms habituales, losgrficos de X y de R- representan la aplicacin clsica al control de procesos.

Los grficos de control de variables son especialmente tiles por varias razones.

a) La mayora de los procesos y su produccin tienen caractersticas que sonmedibles, por lo cual el potencial de aplicabilidad es amplio.

b) Un valor de medicin contiene ms informacin que una simple afirmacin de s ono.

c) El desempeo de un proceso se puede analizar sin tener en cuenta laespecificacin. Los grficos comienzan con el proceso mismo y dan una imagenindependiente de lo que el proceso puede hacer. Despus, el proceso se puedecomparar o no con la especificacin.

d) Aunque obtener una porcin de datos medidos suele ser ms costoso que obteneruna porcin de datos pasa/no pasa, los tamaos de los subgrupos para variablescasi siempre son mucho ms pequeos que los de atributos y por tanto mseficientes. Esto ayuda a reducir los costos totales de inspeccin en algunos casosy a acortar el tiempo entre la produccin de las partes y la accin correctiva.

Para todas las aplicaciones de grficos de control de variables considerados en esta norma sesupone una distribucin normal (de Gauss) para la variabilidad dentro de la muestra; lasdesviaciones respecto de esta suposicin afectarn la representacin de los grficos. Losfactores para calcular los lmites de control se obtienen utilizando la suposicin de normalidad.Puesto que la mayora de los lmites de control se utilizan como guas empricas en la toma dedecisiones, las desviaciones razonablemente pequeas respecto de la normalidad no debencausar preocupacin. En cualquier caso, debido al teorema del lmite central, los promediostienden a estar distribuidos normalmente an cuando las observaciones individuales no lo estn;por esto es razonable suponer la normalidad para los grficos de X, inclusive para tamaos demuestra tan pequeos como 4 5 en la evaluacin del control. Cuando se trate con

observaciones individuales para propsitos de estudio de la capacidad, la forma verdadera de ladistribucin es importante. Son aconsejables las verificaciones peridicas acerca de la validez

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continua de tales supuestos, particularmente para tener seguridad de que nicamente se estnutilizando datos procedentes de una sola poblacin. Se debe observar que la distribucin de losrangos y de las desviaciones estndar no son normales, aunque al estimar las constantes paracalcular los lmites de control se supuso una normalidad aproximada, lo cual es satisfactorio paraun procedimiento de decisin emprica.

_5.1 GRFICO DE LA MEDIA ARITMTICA (X) Y GRFICO DEL RANGO (R) O DE LASDESVIACIONES ESTNDAR (s)

Los grficos de variables pueden describir los datos de procesos en trminos de dispersin(variabilidad de muestra a muestra) y localizacin (promedio del proceso). Debido a esto losgrficos de control para variables casi siempre se preparan y se analizan en pares un grficopara la localizacin y otro para la dispersin. El par utilizado ms comnmente es el de grficosde X y de R. En las tablas 1 y 2 se dan las frmulas de los lmites de control y los factores paralos grficos de control de variables respectivamente.

Tabla 1. Frmulas de los lmites de control para grficos de shewhartpara control de variables

Estadstico Ningn valor estndar dado Valores estndar dados

Lnea central LSC y LIC Lnea central LSC y LIC

_X

R

s

=X

_X

s

X A R o X A s 2 3

D R D R3 4,

3 4B s,B s

X0

R0 d20

s0 c40

X0 A0

D10, D20

B50, B60

Nota. X0, R0, S0, y 0 son valores estndar dados

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Tabla 2. Factores para calcular lneas de grficos de control

Observa-cionesen subgrupo n

Factores para lmites de control Factores para lnea central

A A2 A3 B3 B4 B5 B6 D1 D2 D3 D4 c4 1/c4 d2 1/d2

2345

6789

10

1112131415

1617181920

21

22232425

2,1211,7321,5001,342

1,2251,1341,0611,0000,949

0,9050,8660,8320,8020,775

0,7500,7280,7070,6880,671

0,655

0,6400,6260,6120,600

1,8801,0230,7290,577

0,4830,4190,3730,3370,308

0,2850,2660,2490,2350,223

0,2120,2030,1940,1870,180

0,173

0,1670,1620,1570,153

2,6591,9541,6281,427

1,2871,1821,0991,0320,975

0,9270,8860,8500,8170,789

0,7630,7390,7180,6980,680

0,663

0,6470,6330,6190,606

0,0000,0000,0000,000

0,0300,1180,1850,2390,284

0,3210,3540,3820,4060,428

0,4480,4660,4820,4970,510

0,523

0,5340,5450,5550,565

3,2672,5682,2662,089

1,9701,8821,8151,7611,716

1,6791,6461,6181,5941,572

1,5521,5341,5181,5031,490

1,477

1,4661,4551,4451,435

0,0000,0000,0000,000

0,0290,1130,1790,2320,276

0,3130,3460,3740,3990,421

0,4400,4580,4750,4900,504

0,516

0,5280,5390,5490,559

2,6062,2762,0881,964

1,8741,8061,7511,7071,669

1,6371,6101,5851,5631,544

1,5261,5111,4961,4831,470

1,459

1,4481,4381,4291,420

0,0000,0000,0000,000

0,0000,2040,3880,5470,687

0,8110,9221,0251,1181,203

1,2821,3561,4241,4871,549

1,605

1,6591,7101,7591,806

3,6864,3584,6984,918

5,0785,2045,3065,3935,469

5,5355,5945,6475,6965,741

5,7825,8205,8565,8915,921

5,951

5,9796,0066,0316,056

0,0000,0000,0000,000

0,0000,0760,1360,1840,223

0,2560,2830,3070,3280,347

0,3530,3780,3910,4030,415

0,425

0,4340,4430,4510,459

3,2672,5742,2822,114

2,0041,9241,8641,8161,777

1,7441,7171,6931,6721,653

1,6371,6221,6081,5971,585

1,575

1,5661,5571,5481,541

0,797 90,886 20,921 30,940 0

0,951 50,959 40,965 00,969 30,972 7

0,975 40,977 60,979 40,981 00,982 3

0,983 50,984 50,985 40,986 20,986 9

0,987 6

0,988 20,988 70,989 20,989 6

1,253 31,128 41,085 41,063 8

1,051 01,042 31,036 31,031 71,028 1

1,025 21,022 91,021 01,019 41,018 0

1,016 81,015 71,014 81,014 01,013 3

1,012 6

1,011 91,011 41,010 91,010 5

1,1281,6932,0592,326

2,5342,7042,8472,9703,078

3,1733,2583,3363,4073,472

3,5323,5883,6403,6893,735

3,778

3,8193,8583,8953,931

0,886 50,590 70,485 70,429 9

0,394 60,369 80,351 20,336 70,324 9

0,315 20,306 90,299 80,293 50,288 0

0,283 10,278 70,274 70,271 10,267 7

0,264 7

0,261 80,259 20,256 70,254 4

Fuente: ASTM, Filadelfia, E.U.A.

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5.2 GRFICOS DE CONTROL PARA OBSERVACIONES INDIVIDUALES (X)

En algunas situaciones de control de procesos es imposible o poco prctico tomar subgruposracionales. El tiempo o el costo requeridos para medir una observacin individual son tangrandes que no es factible pensar en observaciones repetidas. Tpicamente, esto ocurrira

cuando las mediciones son costosas (por ejemplo en un ensayo destructivo) o cuando laproduccin en cualquier momento es relativamente homognea. En otras situaciones hay un solovalor posible, por ejemplo una lectura de instrumento o una propiedad de una carga de materialde entrada. En tales situaciones el control del proceso se tiene que basar en observacionesindividuales.

En el caso de grficos para observaciones individuales, puesto que no hay subgrupos racionalespara suministrar una estimacin de la variabilidad dentro de la carga, los lmites de control sebasan en una medida de la variacin que se obtiene a partir de rangos mviles de, a menudo,dos observaciones. Un rango mvil es la diferencia absoluta entre pares sucesivos demediciones en una serie; es decir, la diferencia entre las mediciones primera y segunda; despusentre las mediciones segunda y tercera, y as sucesivamente. A partir de los rangos mviles se

calcula el rango mvil promedio R y ste se utiliza para la construccin de grficos de control. Asmismo, a partir de todos los datos, se calcula el promedio global X. La Tabla 3 da las frmulasdel lmite de control para grficos de control de observaciones individuales.

Respecto de los grficos de control de observaciones individuales conviene aplicar algunasprecauciones:

a) Los grficos de control de observaciones individuales no son tan sensibles a loscambios en el proceso como lo son los grficos de X y de R

b) Si la distribucin del proceso no es normal, los grficos de control deobservaciones individuales se deben interpretar con cuidado

c) Los grficos de observaciones individuales no aslan la repetibilidad de porcin aporcin del proceso y, por tanto, en algunas aplicaciones puede ser mejor utilizarun grfico convencional de X y R con tamaos pequeos de muestras delsubgrupo.

Tabla 3. Frmulas de lmites de control para grficos de control de valores individuales


Lnea central LSC y LIC Lnea central LSC y LICIndividuo, X

Rango mvil, R

_X

_R

X E R2 4 3D R, D R

X0

R0 d20

X0 30

D20, D10

Notas:

1. X0, R0, y 0 son valores estndar dados_

2. R denota el rango mvil promedio de n = 2 observaciones

3. Los valores de los factores d2, D1, D2, D3, D4, e indirectamente, E2 (=3/d2) se pueden obtener a partir dela Tabla 2 para n = 2.

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5.3 GRFICOS DE CONTROL PARA MEDIANAS (Me)

Los grficos para medianas son alternativas respecto de los grficos X y R para el control de unproceso con datos medidos; esos grficos dan conclusiones semejantes y tienen varias ventajasespecficas. Son fciles de utilizar y no requieren tantos clculos. Esto puede ayudar a que el

enfoque de los grficos de control tenga ms aceptacin en la planta. Dado que se representanvalores individuales (as como medianas), el grfico de la mediana muestra la dispersin delproceso de produccin y da una imagen progresiva de la variacin del proceso.

Los lmites de control para los grficos de la mediana se calculan en dos formas: utilizando lamediana de los subgrupos de las medianas y la mediana de los rangos; o usando el promedio delas medianas del subgrupo y el promedio de los rangos. En esta norma nicamente se considerael ltimo enfoque, que es ms fcil y ms conveniente.

Los lmites de control se calculan como sigue.

5.3.1 Grfico de la mediana

_Lnea central = Me = promedio de las medianas del subgrupo

LSCMe = Me + A4 R

LICMe = Me - A4 R

El grfico del rango se construye en la misma forma que para el caso de los grficos de X y de Rmencionados en el numeral 5.1.

En la Tabla 4 se dan los valores de la constante A4.

Se debe observar que el grfico de la mediana con lmites de 3 da una respuesta ms lentapara las condiciones fuera de control que un grfico de X.

Tabla 4. Valores de A4

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A4 1,88 1,19 0,80 0,69 0,55 0,51 0,43 0,41 0,36

5.3.2 Grfico del rango

Lnea central = R = valor promedio de los valores de R para todos los subgrupos

LSCR = D4R

LICR = D3R

En la Tabla 2 se dan los valores de las constantes D3 y D4.

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6.6 Ahora se representa el grfico de X y se verifican los puntos de los datos contra loslmites de control, buscando puntos fuera de control o tendencias o patrones desusados. Comopara el grfico de R, se analiza cualquier condicin de fuera de control y se aplican accionescorrectivas y preventivas. Se excluyen los puntos fuera de control para los cuales se hanencontrado causas asignables; se efectan de nuevo los clculos y se representa el nuevo

promedio del proceso (X) y los nuevos lmites de control. Se comprueba que todos los puntos delos datos muestren control estadstico al compararlos con los lmites nuevos, repitiendo si esnecesario la secuencia identificacin/correccin/reelaboracin de los clculos.

6.7 Cuando los datos iniciales para establecer valores de referencia de los lmites de controlestn contenidos uniformemente dentro de los lmites de prueba, se amplan los lmites paracubrir perodos futuros. Estos lmites se utilizarn para el control progresivo del proceso, en quelas personas responsables del mismo (operador y/o supervisor) reaccionen con prontitud frente acondiciones indicativas de "fuera de control" en el grfico de X en el grfico de R.

7. ENSAYOS PATRN PARA INTERPRETAR CAUSAS ASIGNABLES DE VARIACIN

En la Figura 2 se presenta un conjunto de ocho ensayos suplementarios utilizados parainterpretar patrones en los grficos de Shewhart. Para una presentacin ms completa de estosensayos, consltense las referencias bibliogrficas [2] y [3].

Aunque esto se puede considerar como un conjunto bsico de ensayos, los analistas deben estaralerta ante cualquier patrn desusado de puntos que pudiera indicar la influencia de causasespeciales en sus procesos. Por tanto, estos ensayos se deben considerar sencillamente comoreglas prcticas de accin siempre que se indique la presencia de causas asignables. Unaindicacin de cualquiera de las condiciones estipuladas en estos ensayos seala la presencia decausas asignables de variacin que es necesario diagnosticar y corregir.

Los lmites de control superior e inferior se fijan a una distancia de 3 por encima y por debajode la lnea central. Para el propsito de aplicar los ensayos, el grfico de control se divideequitativamente en seis zonas, teniendo cada zona un ancho de 1. Estas zonas se rotulan comoA, B, C, C, B, A, con las zonas C colocadas simtricamente respecto de la lnea central. Estosensayos son aplicables a los grficos de X y a los grficos de observaciones individuales (X). Sesupone que hay una distribucin normal.

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Figura 2. Ensayos para causas asignables

8. CONTROL DEL PROCESO Y CAPACIDAD DEL PROCESO

La funcin de un sistema de control del proceso es suministrar una seal estadstica cuandoexisten causas asignables de variacin. La eliminacin sistemtica de causas asignables devariacin excesiva, a travs de esfuerzos determinados continuos, sita el proceso en un estadode control estadstico. Una vez que el proceso est operando en condiciones de controlestadstico, su desempeo es predecible y se puede evaluar su capacidad para cumplir lasespecificaciones.

La capacidad del proceso se determina mediante la variacin total que se debe a causas

comunes -la variacin mnima que se puede lograr despus de haber eliminado todas las causasasignables. La capacidad del proceso representa el desempeo del proceso mismo, segn se

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demuestra cuando el proceso opera en un estado de control estadstico. Como tal, el procesoprimero tiene que ser puesto bajo control estadstico antes de que se pueda evaluar sucapacidad. As pues, la evaluacin de la capacidad del proceso comienza despus de que se hanresuelto los asuntos del control en los grficos de X y en los de R; esto es, las causasespeciales han sido identificadas, analizadas, corregidas y se ha evitado que ocurran de nuevo;

adems, los grficos de control progresivos reflejan un proceso que ha permanecido bajo controlestadstico en forma predominante para al menos los 25 subgrupos anteriores. En general, secompara la distribucin de la salida del proceso con las especificaciones de ingeniera, para ver siestas especificaciones se pueden cumplir de manera constante.

Generalmente, la capacidad del proceso se mide en trminos de un ndice de capacidad delproceso ICP ( cp) como sigue:

)

6

LITLST

procesodelnDispersi

daespeciifcaToleranciaICP

==

Donde

LST lmite superior de la tolerancia;

LIT lmite inferior de tolerancia.

$ se estima a partir de la variabilidad promedio dentro del subgrupo y est dada pors /c4 R /d2.

Un valor de ICP menor que 1 indica que el proceso no tiene capacidad, mientras que ICP = 1implica que el proceso apenas tiene capacidad. En la prctica, un valor de ICP de 1,33generalmente se toma como el valor mnimo aceptable porque siempre hay alguna variacin demuestreo y ningn proceso est siempre completamente bajo control estadstico.

Sin embargo, se debe observar que el ndice ICP mide nicamente la relacin de los lmites conla dispersin del proceso; no se considera la localizacin o el centrado del proceso. Sera posibleque cualquier porcentaje de valores estuviera por fuera de los lmites de la especificacin y quehubiera un alto valor de ICP. Por esta razn, es importante considerar la distancia a escala entreel promedio del proceso y el lmite de especificacin ms prximo. El anlisis adicional de estetema se sale del mbito de esta norma.

En vista de la discusin anterior, para ilustrar los pasos clave que conducen hacia el control y elmejoramiento del proceso se puede utilizar como gua un procedimiento, tal como se presentaesquemticamente en la Figura 3.

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Figura 3. Estrategia para el mejoramiento del proceso

9. GRFICOS DE CONTROL DE ATRIBUTOS

Los datos de atributos representan observaciones obtenidas notando la presencia o ausencia dealguna caracterstica (o atributo) en cada una de las unidades del subgrupo considerado,contando despus cuntas unidades tienen o no tienen el atributo, o cuntos de tales eventos

ocurren en la unidad, en el grupo o en el rea. Los datos de atributos generalmente se obtienenen forma rpida y econmica, y a menudo no se requieren habilidades especializadas para larecoleccin de dichos datos. En la Tabla 5 se dan las frmulas de los lmites de control para losgrficos de control de atributos.

En el caso de los grficos de control de variables, se acostumbra mantener un par de grficos decontrol; uno para el control del promedio y el otro para el control de la dispersin. Esto esnecesario porque la distribucin subyacente en los grficos de control para variables es ladistribucin normal, que depende de estos dos parmetros. Sin embargo, en el caso de losgrficos de control de atributos, ser suficiente un slo grfico porque la distribucin supuestatiene nicamente un parmetro independiente, el nivel del promedio. Los grficos de p y de np sebasan en la distribucin binomial, mientras que los grficos de c y u se basan en la distribucin

de Poisson.

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Los clculos para estos grficos son semejantes, excepto en los casos en que la variabilidad enel tamao del subgrupo afecta a la situacin. Cuando el tamao del subgrupo es constante, sepuede utilizar el mismo conjunto de lmites de control para cada subgrupo. Sin embargo, si elnmero de tems inspeccionados en cada subgrupo vara, se deben calcular lmites de controlseparados para cada subgrupo. As pues, los grficos np y c se pueden utilizar razonablemente

con un tamao de muestra constante, mientras que los grficos de p y u se podran utilizar encualquier situacin.

Tabla 5. Frmulas de los limites de control para grficos de shewhartpara control de atributos


Lnea central Lmites decontrol de 3

Lnea central Lmites de control 3

p

np

c

u

_p

_np

_c

_u

p 3 p(1- p) / n np 3 np(1- p)

c 3 c u 3 u / n

p0

np0

c0

u0

0 0 0p 3 p (1- p ) / n np 3 np (1- p )0 0 0

0 0c 3 c 0 0u 3 U / n

Nota. p0, np0, c0, y u0 son valores estndar dados

En los casos en que el tamao de muestra vara de muestra a muestra, para cada muestra secalculan lmites de control separados. Cuanto ms pequeo sea el tamao del subgrupo, msamplias sern las bandas del control y viceversa. Si el tamao del subgrupo no vara en formaapreciable, entonces se puede utilizar un solo conjunto de lmites de control basados en eltamao promedio del subgrupo. Por razones prcticas, esto se cumple bien para situaciones enlas cuales el tamao del subgrupo est dentro de 25 % del tamao objetivo del subgrupo.

Un procedimiento alternativo para situaciones en las cuales el tamao de la muestra varagrandemente, es usar una variable normalizada. Por ejemplo, en vez de representar p,

representar el valor normalizado

Z =p - p

p (1 - p ) / no

o o

Z =p - p

p(1 - p) / n

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segn que el valor estndar para p est especificado o no. La lnea central as como los lmitesde control se vuelven constantes, independientes del tamao del subgrupo, y estn dados como

lnea central = 0

LSC = 3

LIC = -3

El grfico de p se utiliza para determinar el promedio porcentual de los tems no conformes quese presenta durante un perodo de tiempo. En el grfico, el personal del proceso y la gerenciapuede detectar cualquier cambio en este promedio. Para juzgar si el proceso est bajo controlestadstico, se procede en la misma forma que se hizo para los grficos de X y de R. Si todos lospuntos de la muestra caen dentro de los lmites de control de prueba sin mostrar ningunaindicacin de una causa asignable, se dice que el proceso est bajo control. En tal caso, la

fraccin no conforme promediop,

se toma como valor estndar para la fraccin no conforme, p0.

10. CONSIDERACIONES PRELIMINARES ANTES DE COMENZAR UN GRFICO DECONTROL

10.1 SELECCIN DE LAS CARACTERSTICAS DE CALIDAD

Se seleccionan las caractersticas de calidad para el programa de control. Normalmente seconsiderarn en primer lugar las caractersticas que afecten el desempeo del producto o delservicio. Estas pueden ser aspectos del servicio ofrecido o caractersticas del material usado, delas partes componentes del producto, as como del producto terminado que se suministra al

comprador.

Los mtodos estadsticos de control se deben introducir primordialmente cuando el grfico decontrol ayude a suministrar informacin acerca de un proceso en forma oportuna, de tal modoque se pueda corregir el proceso y producir as un mejor producto o servicio. Se debenseleccionar caractersticas de calidad del producto o servicio que tengan un efecto decisivo en lacalidad del producto o servicio y que aseguren la estabilidad de los procesos.

10.2 ANLISIS DEL PROCESO DE PRODUCCIN

Se debe hacer un anlisis detallado del proceso de produccin para determinar:

a) La clase y la localizacin de las causas que pueden originar irregularidades

b) El efecto de la imposicin de especificaciones

c) El mtodo y la localizacin de la inspeccin

d) Todos los otros factores pertinentes que puedan afectar al proceso de produccin.

Tambin se debe efectuar un anlisis para determinar la estabilidad de los procesos deproduccin, la exactitud del equipo de produccin y ensayo, la calidad de los productos oservicios producidos, los patrones de correlacin entre los tipos y las causas de noconformidades. Si se necesitan convenios para ajustar los procesos de produccin y el equipo,

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as como disear planes para el control estadstico de los procesos de produccin, entonces serequieren las condiciones de las operaciones de produccin y de la calidad del producto. Estoayudar a ubicar en forma precisa el mejor lugar para establecer controles e identificarrpidamente cualquier irregularidad en el desempeo del proceso de produccin para preveraccin correctiva oportuna.

10.3 SELECCIN DE SUBGRUPOS RACIONALES

Los grficos de control tienen en sus fundamentos la idea central de Shewhart de dividir lasobservaciones en lo que se llama "subgrupos racionales"; esto es, clasificar las observacionesdel caso en subgrupos, dentro de los cuales se puede considerar que las variaciones se debennicamente a causas del azar, pero entre las cuales cualquier diferencia se puede deber acausas asignables que el grfico de control busca detectar.

Para establecer los subgrupos mencionados se requiere algn conocimiento tcnico yfamiliaridad con las condiciones de produccin y las condiciones en las cuales se tomaron losdatos. Identificando cada subgrupo con un tiempo o con una fuente, se pueden rastrear y corregir

ms fcilmente las causas de problemas especficos, si esto es ventajoso. Los registros deinspeccin y ensayo, tomados en el orden en el cual se hicieron las observaciones, suministranuna base para la subagrupacin con respecto al tiempo. Esto suele ser til en la fabricacin enque es importante mantener constante en el tiempo el sistema origen de produccin.

Siempre se debe recordar que el anlisis se facilitar grandemente si, al planificar la recoleccinde datos, se tiene cuidado de seleccionar las muestras de tal modo que los datoscorrespondientes a cada subgrupo se puedan tratar adecuadamente como un subgrupo racionalpor separado y que los subgrupos se identifiquen en tal forma que sea posible hacer esto. Asmismo, en cuanto sea posible, el tamao del subgrupo, n, se debe mantener constante paraevitar que los clculos y la interpretacin resulten tediosos. Sin embargo, se debe observar quelos principios de los grficos de Shewhart se pueden aplicar igualmente en situaciones en que nvare.

10.4 FRECUENCIA Y TAMAO DE LAS MUESTRAS

No se pueden establecer reglas generales para la frecuencia de los subgrupos o el tamao delsubgrupo. La frecuencia puede depender del costo de tomar y analizar las muestras, y el tamaodel subgrupo puede depender de consideraciones prcticas. Por ejemplo, los subgrupos grandestomados a intervalos menos frecuentes pueden detectar en forma ms precisa un pequeocambio en el promedio del proceso, pero los subgrupos pequeos tomados a intervalos msfrecuentes detectarn ms rpidamente un cambio grande. A menudo, como tamao delsubgrupo se toma 4 5, mientras que la frecuencia de la toma de muestras generalmente es alta

al comienzo y es baja una vez que se alcanza un estado de control estadstico. Normalmente,para suministrar estimaciones preliminares se considera que son adecuados 20 a 25 subgruposde tamao 4 5.

Vale la pena observar que la frecuencia de la toma de muestras, el control estadstico y lacapacidad del proceso se tienen que considerar en conjunto. El razonamiento es como sigue.Para estimar la desviacin estndar , a menudo se utiliza el valor del rango promedio R . Elnmero de fuentes de variacin se incrementa a medida que el intervalo de tiempo entre lasmuestras dentro de un subgrupo tambin se incrementa. Por tanto, ampliando las muestrasdentro de un subgrupo a travs del tiempo se incrementar R , se incrementar la estimacin de, se ampliarn los lmites del control y de este modo parecer que se disminuye el ndice decapacidad del proceso. Inversamente, es posible incrementar la capacidad del proceso mediante

la toma de muestras consecutiva de porciones, dando un R pequeo y una pequea estimacinde , pero ser difcil alcanzar el control estadstico.

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10.5 RECOLECCIN DE DATOS PRELIMINARES

Una vez que se ha decidido la caracterstica de calidad que se va a controlar y la frecuencia y eltamao del subgrupo que se va a tomar, es necesario recoger y analizar algunos datos omediciones iniciales de inspeccin para el propsito de suministrar valores preliminares al grfico

de control, que son necesarios al determinar la lnea central y los lmites de control que se han detrazar en el grfico. Los datos preliminares se pueden recoger subgrupo por subgrupo hasta quese hayan obtenido 20 a 25 subgrupos en una corrida continua del proceso de produccin.Durante el curso de esta recoleccin de datos iniciales se debe tener cuidado de que el procesono sea indebidamente afectado en forma intermitente por factores extraos tales como el cambioen la alimentacin de materias primas, en las operaciones, en los ajustes de mquina, etc. Esdecir, durante el perodo en que se estn recolectando los datos preliminares, el proceso debemostrar un estado de estabilidad.

11. PASOS EN LA CONSTRUCCIN DE GRFICOS DE CONTROL

En los numerales 11.1 a 11.5 se describen los pasos necesarios en la construccin del grfico deX y del grfico de R, para el caso en que no se dan valores estndar. En el numeral 12.2 sedescriben dichos pasos en la forma de un ejemplo. En la construccin de otros grficos de controlse seguirn los mismos pasos bsicos pero las constantes para los clculos son diferentes (verlas Tablas 1 y 2). En la Figura 4 se presenta un formato general de un grfico de controlestndar. Este formato puede ser objeto de modificaciones, de acuerdo con los requisitosparticulares de una situacin de control del proceso.

11.1 Si los datos preliminares no se tomaron en subgrupos de acuerdo con un plan prescrito,el conjunto total de valores observados se desglosa en subgrupos secuenciales, segn loscriterios para subgrupos racionales que se mencionaron en el numeral 10.3. Los subgrupos

deben ser de la misma estructura y tamao. Los productos de cualquiera de los subgrupos debentener lo que se crea que es algn factor comn importante, por ejemplo unidades producidasdurante el mismo corto intervalo de tiempo o unidades procedentes de una entre varias fuentes olocalizaciones distintas. Los diferentes subgrupos deben representar diferencias posibles osospechadas en el proceso que los produjo, por ejemplo intervalos de tiempo diferentes o fuenteso localizaciones diferentes.

11.2 Para cada subgrupo, se calcula el promedio, X , y el rango, R.

11.3 Se calcula el gran promedio de todos los valores observados, X y el rango promedio, R .

11.4 En un formato adecuado o en papel para grficas,se elabora un grfico de X y un grficode R. La escala vertical de la izquierda se utiliza para X y para R y la escala horizontal para elnmero del subgrupo. Se representan los valores calculados para X en el grfico de lospromedios y se representan los valores calculados para R en el grfico de los rangos.

11.5 En estos grficos respectivos, se trazan rayas horizontales continuas para representar X y R .

11.6 Se ubican los lmites de control en estos grficos. En el grfico de X se trazan dos rayas

horizontales punteadas en X A2R y, en el grfico de R, se trazan dos rayas horizontalespunteadas en D3R y D4R , en donde A2, D3 y D4 se basan en n, el nmero de observaciones en

un subgrupo, y que se dan en la Tabla 2. El LIC en el grfico de R no se necesita cuando n seamenor de 7 puesto que el valor siguiente de D3 se considera igual a cero.

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Figura 4. Formato general de un grfico de control

12. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS: GRFICOS DE CONTROL DE VARIABLES

12.1 GRFICO DE X y GRFICO DE R: VALORES ESTNDAR DADOS

El gerente de produccin de un importador de t desea controlar su proceso de empaque paraque el peso promedio de los paquetes sea 100,6 g. La desviacin estndar supuesta del procesoes 1,4 g, con base en procesos de empaque semejantes.

Puesto que los valores estndar estn dados (X0 = 100,6, 0 =1,4), se pueden construir deinmediato los grficos de control para el promedio y el intervalo utilizando las frmulas dadas enla Tabla 1 y los factores A, d2, D2 y D1 dados en la Tabla 2 para n = 5.

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Grfico de X

Lnea central = X0= 100,6 g

LSC = X0 + A0= 100,6 + (1,342 x 1,4)

102,5 g

LIC = X0 - A $ 0 = 100,6 - (1,342 x 1,4)= 98,7 g

Grfico de R

Lnea central = d20

= 2,326 x 1,4= 3,3 g

LSC = D20= 4,918 x 1,4= 6,9 g

LIC = D10= 0 x 1,4 (puesto que n es menor que 7, no se muestra el LIC)

Ahora se seleccionan 25 muestras de tamao 5; se calculan sus valores del promedio y del rango

del subgrupo (ver la Tabla 6) y se representan grficamente con los lmites de control calculadosantes (ver la Figura 5).

Los grficos, que aparecen en la Figura 5, indican que el proceso est fuera de control o del niveldeseado, porque hay una secuencia de 13 puntos por debajo de la lnea central en el grfico deX y 16 puntos por encima de la lnea central en el grfico de R. Se debe investigar y eliminar lacausa de una secuencia tan larga de valores bajos de la media.

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Tabla 6. Proceso de empaque de t

SubgrupoNo.

Promedio delsubgrupo

X

Rango delsubgrupo

R

12345

6789

10

1112

131415

1617181920

21222324

25

100,6101,399,6

100,599,9

99,5100,4100,5101,1100,3

100,199,6

99,299,499,4

99,699,399,9

100,599,5

100,1100,4101,199,9

99,7

3,44,02,24,54,8

3,84,11,72,24,6

5,06,1

3,55,14,5

4,14,75,03,94,7

4,64,44,94,7

3,4

Figura 5. Grfico de promedio y rango para los datos dados en la Tabla 6

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12.2 GRFICO DE X y GRFICO DE R: NO SE DAN VALORES ESTNDAR

En la Tabla 7 se dan las mediciones del radio externo de un tapn, cada media hora se tomancuatro mediciones, para un total de 20 muestras. En la Tabla 7 tambin se dan los promedios ylos rangos del subgrupo. Las tolerancias especificadas son 0,219 dm y 0,125 dm. El objetivo es

evaluar el desempeo del proceso y controlarlo con respecto a su localizacin y dispersin de talmodo que el proceso cumpla las especificaciones.

Tabla 7. Datos de produccin acerca del radio externo de un tapn

SubgrupoNo.

Radio Media

X

RangoR

X1 X2 X3 X4

12

345

678910

1112131415

1617181920

0,189 80,201 2

0,221 70,183 20,169 2

0,162 10,200 10,240 10,199 60,178 3

0,216 60,192 40,176 80,192 30,192 4

0,172 00,182 40,181 20,170 00,169 8

0,172 90,191 3

0,219 20,181 20,226 3

0,183 20,192 70,182 50,198 00,171 5

0,174 80,198 40,198 60,187 60,199 6

0,194 00,179 00,158 50,156 70,166 4

0,206 70,187 8

0,207 80,196 30,206 6

0,191 40,216 90,191 00,207 60,182 9

0,196 00,237 70,224 10,190 30,212 0

0,211 60,187 60,169 90,169 40,170 0

0,189 80,192 1

0,198 00,180 00,209 1

0,178 30,208 20,226 40,202 30,196 1

0,192 30,200 30,202 20,198 60,216 0

0,232 00,182 10,168 00,170 20,160 0

0,189 80,193 1

0,211 70,185 20,203 3

0,178 80,204 50,210 00,201 90,182 2

0,194 90,207 20,200 40,192 20,205 0

0,204 90,182 80,169 40,166 60,166 6

0,033 80,013 4

0,023 70,016 30,057 1

0,029 30,024 20,057 60,009 60,024 6

0,041 80,045 30,047 30,011 00,023 6

0,060 00,008 60,022 70,013 50,010 0

0,1924=20

3,8480=

k

X=X

0,0287=20

0,5734=

k

R=R

El primer paso es trazar un grfico de R y evaluar su estado de control.

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Grfico de R

lnea central = R = 0,028 7

LSC = D4R = 2,282 x 0,028 7= 0,065 5

LIC = D3R = 0 x 0,028 7 (puesto que n es menor de 7, no se muestra el LIC)

Los valores de los factores multiplicativos D3 y D4 se toman de la Tabla 2 para n = 4. Puesto que

los valores de R en la Tabla 7 estn dentro de los lmites de control del grfico de R , el grfico

de R indica un estado de control estadstico. Ahora se puede usar el valor de R para calcular los

lmites de control del grfico deX

.

Grfico de X

Lnea central = X = 0,192 4

LSC = X + A2R = 0,192 4 + (0,729 x 0,028 7)= 0,213 3

LIC = X - A2R = 0,192 4 - (0,729 x 0,028 7)= 0,171 5

Figura 6. Grficos de promedio y rango para los datos dados en la Tabla 7

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El valor del factor A2 se toma de la Tabla 2 para n = 4. En la Figura 6 se representan los grficos

de control para X y R. Un examen del grfico de X revela que los ltimos tres puntos estn fuerade control. Esto indica que en el proceso pueden estar influyendo algunas causas asignables devariacin. Si los lmites se hubieran calculado a partir de los datos anteriores, se hubierarequerido accin en el punto 18.

En este punto se toma la accin correctiva adecuada para eliminar las causas asignables y evitarque se presenten de nuevo. Se contina el procedimiento de representacin estableciendolmites de control revisados mediante la eliminacin de los puntos fuera de control, es decir, los

valores para los nmeros de las muestras 18, 19 y 20. Los valores de X , R y las lneas delgrfico de control se vuelven a calcular como sigue:

0,1968=17

3,3454=

k

X=revisadoX

0,0310=17

0,5272=k

R=revisadoR

Grfico de X revisado

Lnea central = X = 0,196 8

LSC = X + A2R = 0,196 8 + (0,729 x 0,031 0)= 0,219 4

LIC = X - A2R = 0,196 8 - (0,729 x 0,031 0)= 0,174 2

Grfico de R revisado

Lnea central = R

= 0,0310LSC = D4R = 2,282 X 0,031 0= 0,070 7

LIC = D3R = 0 x 0,031 0 (puesto que n es menor que 7, no se muestra el LIC)

En la Figura 7 se representan los grficos de control revisados.

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Figura 7. Grficos revisados de X y R para los datos en la Tabla 7

Con el proceso mostrando un estado de control estadstico en relacin con los lmites de controlrevisados, se puede evaluar la capacidad del proceso.

Se calcula

)

LITLST

procesodelnDispersi

daespecificaToleranciaICP

==

donde) se estima mediante R /d2 = 0,031 0/2,059 = 0,0151.

El valor de la constante d2 se toma de la Tabla 2 para n = 4.

As pues,

10,015x6

00,125-00,219=ICP

01,033=00,091

0,940=

Puesto que ICP es mayor que 1, se puede considerar que el proceso es capaz. Sin embargo, alexaminar en detalle, se puede ver que el proceso no est centrado adecuadamente en relacincon la especificacin y, por tanto, aproximadamente el 11,8 % de los individuos estarn por fueradel lmite superior de especificacin. Por tanto, antes de establecer parmetros permanentes delgrfico de control, se debe intentar centrar el proceso adecuadamente mientras se mantiene unestado de control estadstico.

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12.3 GRFICO DE CONTROL PARA INDIVIDUOS, X, Y RANGO MVIL, R: NO SE DANVALORES ESTNDAR

En la Tabla 8 se dan los resultados del anlisis de laboratorio de la "humedad porcentual" enmuestras procedentes de 10 lotes sucesivos de leche en polvo descremada. Se analiz en el

laboratorio una muestra de leche en polvo descremada, representativa de un lote, respecto dediversas caractersticas tales como grasa, humedad, acidez, ndice de solubilidad,sedimentacin, bacterias y protena del suero. Se buscaba controlar el porcentaje de humedadpor debajo del 4 % para este proceso. Se encontr que la variacin de muestreo dentro de un loteindividual fue insignificante, por lo cual se decidi tomar nicamente una observacin por lote yestablecer lmites de control con base en el rango mvil de lotes sucesivos.

Tabla 8. Humedad porcentual para 10 muestras sucesivas de leche en polvo descremada

Lote No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X: % humedad 2,9 3,2 3,6 4,3 3,8 3,5 3,0 3,1 3,6 3,5R: rango mvil 0,3 0,4 0,7 0,5 0,3 0,5 0,1 0,5 0,1

10

3,5+...+3,2+2,9=X

%3,45=10

34,5=

9

0,1+...+0,4+0,3=R

%0,38=9

3,4=

Lneas del grfico de control para rangos mviles, R

Lnea central = R = 0,38

LSC = D4R = 3,267 x 0,38= 1,24

LIC = D3R = 0 x 0,38 (puesto que n es menor que 7, no se muestra el LIC)

Los valores de los factores D3 y D4 se obtienen a partir de la Tabla 2 para n = 2. Puesto que elgrfico del rango muestra un estado de control estadstico, se puede efectuar la representacindel grfico de control para los individuos.

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Lneas del grfico de control para individuos, X

Lnea central = X = 3,45

LSC = X+ E2R = 3,45 + (2,66 x 0,38)= 4,46

LIC = X - E2R = 3,45 - (2,66 x 0,38)= 2,44

En la Tabla 3 y en la Tabla 4 se dan las frmulas para los lmites de control y el valor del factorE2.En la Figura 8 se representan los grficos de control. Los grficos de control indican que elproceso est bajo control estadstico.

Figura 8. Grficos de control para valores individuales ,X, para los datos dados en la Tabla 8

12.4 GRFICO DE LA MEDIANA: NO SE DAN VALORES ESTNDAR

Una mquina elabora discos electrnicos con espesor especificado entre 0,007 cm y 0,016 cm.Se extraen muestras de tamao 5 cada media hora y se registra su espesor en centmetrossegn se muestra en la Tabla 9. Se decidi instalar un grfico de la mediana con el propsito decontrolar la calidad. En la Tabla 9 tambin se muestran los valores de las medianas y los rangos.

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Tabla 9. Datos de control para el espesor de discos de mica

SubgrupoNo.

Espesor Mediana

Me

Rango

R

X1 X2 X3 X4 X512345

678910

11

12131415

1411111615

1314111412

10

108137

810121212

812101010

12

101288

1213161714

151381212

8

8101114

128141510

151016914

10

881413

8109137

81610710

12

10101211

1210121512

1313101012

10

10101211

65758

76874

4

2467

Se calcula el promedio de las medianas y los rangos del subgrupo como sigue:

subgrupodelmedianaslasdepromedio=Me

471115

172,

15

11+...+12+10+12= ==

promediorango=R

5,73=15

86=

15

7+...+7+5+6=

El grfico del rango se calcula como sigue:

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Grfico de R

Lnea central = R = 5,73

LSC = D4R = 2,114 x 5,73= 12,11

LIC = D3R = 0 x 5,73 (puesto que n es menor que 7, no se muestra el LIC)

Los valores de las constantes D3 y D4 se toman de la Tabla 2 para n = 5. Como el grfico delrango muestra un estado de control, se pueden calcular las lneas del grfico de la mediana.

Grfico del control de la mediana

Lnea central = Me = 11,47

LSCMe = Me + A4R = 11,47 + (0,69 x 5,73)= 15,42

LICMe = Me - A4R = 11,47 - (0,69 x 5,73)= 7,52

El valor de A4 se toma de la Tabla 4 para n = 5. En la Figura 9 se representan los grficos. Comoes evidente por el grfico, el proceso muestra un estado de control estadstico.

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Figura 9. Grfico de la mediana y grfico del rango para los datos dados en la Tabla 9

13. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS: GRFICOS DE CONTROL DE ATRIBUTOS

13.1 GRFICO DE p Y GRFICO DE np: NO SE DAN VALORES ESTNDAR

Los datos presentados en la Tabla 10 dan el nmero de unidades no conformes por hora,respecto a malos funcionamientos encontrados mediante inspeccin del 100 % en interruptorespequeos con dispositivos de inspeccin automtica. Los interruptores se producen en una lneade ensamble automtico. Puesto que el mal funcionamiento es serio, el porcentaje no conformese utiliza para identificar el momento en que la lnea de ensamble est fuera de control. Seelabora un grfico de p, recogiendo datos de 25 grupos como datos preliminares (ver la Tabla 10).

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Tabla 10. Datos preliminares: interruptores

Subgrupo No. Nmero deinterruptores

inspeccionadosn

Nmero deinterruptores no

conformesnp

porcentaje de noconformes

p

12345

678910

11

12131415

1617181920

2122232425

4 0004 0004 0004 0004 000

4 0004 0004 0004 0004 000

4 000

4 0004 0004 0004 000

4 0004 0004 0004 0004 000

4 0004 0004 0004 0004 000

81410413

97111513

5

1412815

11918612

61281514

0,2000,3500,2500,1000,325

0,2250,1750,2750,3750,325

0,125

0,3500,3000,2000,375

0,2750,2250,4500,1500,300

0,1500,3000,2000,3750,350

Total 100 000 269

A continuacin, se calcula la lnea central y los lmites de control y se representan en la Figura 10.

Grfico de p

p=centralLnea

25x0004

14+...+14+8=

%0,27=70,002=000100

269=

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/n)p-(1p3+p=LSC

000/47)0,002-(170,0023+70,002=

= 0,005 2 = 0,52 %

/n)p-(1p3-p=LIC

000/47)0,002-(170,0023-70,002=

= 0,000 2 = 0,02 %

Figura 10. Grfico p para los datos dados en la Tabla 10

El grfico indica que la calidad de los interruptores est bajo control estadstico, aunque elporcentaje no conforme puede ser demasiado grande. Estos lmites de control se pueden utilizarahora para subgrupos futuros hasta aquel momento en que el proceso se altere o en que el

proceso se salga de control estadstico. Obsrvese que como el proceso est bajo controlestadstico, es improbable que se pueda hacer cualquier mejoramiento sin un cambio delproceso. El hecho de decirles a las personas simplemente que es necesario "ser ms cuidadoso"no es suficiente.

Si se efecta un mejoramiento, entonces se tendrn que calcular lmites de control diferentespara que los subgrupos futuros reflejen el desempeo alterado del proceso. Si el proceso ha sidomejorado (valor de p ms pequeo), se utilizan los lmites nuevos, pero si el proceso se hadeteriorado (valor de p ms alto), se buscan causas asignables adicionales.

Obsrvese que para estos datos habra sido igualmente apropiado un grfico de np, puesto quetodos los tamaos de muestras son iguales. Los clculos para el grfico de np se dan a

continuacin y el grfico se representa en la Figura 11.

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Grfico de np

pn=centralLnea

10,76=25

14+...+14+8=

)p-(1pn3+pn=LSC

20,59=7)0,002-(110,763+10,76=

)p-(1pn3-pn=LIC 0,93=7)0,002-(110,763-10,76=

Figura 11. Grfico np para los datos dados en la Tabla 10

13.2 GRFICO DE p: NO SE DAN VALORES ESTNDAR

En una empresa manufacturera que produce transistores para radios, se decidi instalar ungrfico de p para la fraccin no conforme. Durante un perodo de un mes se recogieron y seanalizaron datos. Para esto, al final de cada da se tom una muestra aleatoria de la produccincorrespondiente a cada da y esa muestra se examin para determinar el nmero de productosno conformes. En la Tabla 11 se presentan los datos.

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Tabla 11. Transistores para radios: grfico p, (datos iniciales)

SubgrupoNo.

Nmeroinspeccionado

Nmero de noconformes np

Fraccin de noconformes

p

LSC LIC

12345

6789

10

1112

131415

1617181920

212223242526

158140140155160

144139151163148

150153

149145160

165136153150148

135165143138144161

1111864

7101195

27

786

15181095

0121081420

0,0700,0790,0570,0390,025

0,0490,0720,0730,0550,034

0,0130,046

0,0470,0550,038

0,0910,1320,0650,0600,034

0,0000,0730,0700,0580,0970,124

0,1170,1200,1200,1770,116

0,1190,1200,1180,1160,119

0,1180,118

0,1180,1190,116

0,1150,1210,1180,1180,119

0,1210,1150,1200,1210,1190,116

0,0030,0000,0000,0030,004

0,0010,0000,0020,0040,001

0,0020,002

0,0020,0010,004

0,0050,0000,0020,0020,001

0,0000,0050,0000,0000,0010,004

Total 3 893 233

En la Tabla 11 tambin se dan los valores de la fraccin no conforme calculados para cadasubgrupo. La fraccin no conforme promedio para el mes se calcula como sigue:

0,060=8933

233=

adoinspecciontotalmeron

conformesnodetotalmeron=P

Puesto que los tamaos de los subgrupos son diferentes, para cada subgrupo se calculanseparadamente los valores de LSC y LIC mediante la frmula:

n

)p-(1p3p

Donde n es el tamao del subgrupo.

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Estos valores tambin se dan en la Tabla 11. Se puede ver que la representacin de los valoresde LSC y LIC para cada subgrupo es una tarea larga. Sin embargo, en la Tabla 11 se puedeobservar que las fracciones no conformes para los subgrupos nmeros 17 y 26 estn por fuerade sus correspondientes lmites de control superiores. Estos dos subgrupos se eliminan de losdatos pues se demuestra que estn sujetos a variaciones diferentes de las que afectan a los

otros subgrupos. El hecho de incluirlos en los clculos dara como resultado un promediosobreestimado del proceso y unos lmites de control que no reflejaran las variaciones aleatoriasverdaderas. Se deben buscar las razones que expliquen estos valores altos, para as poderaplicar accin correctiva encaminada a evitar que se vuelvan a presentar. Con base en losvalores de los 24 subgrupos restantes, se calcula una fraccin no conforme promedio revisada:

0,054=6359

195=p

El clculo de los valores revisados de LSC y LIC para cada subgrupo, usando el valor revisado de p ,revelara que todas las fracciones no conformes estn dentro de sus lmites de controlcorrespondientes. Por consiguiente, este valor revisado de p se toma como la fraccin no conformeestndar para el propsito de la instalacin de los grficos de control. As pues, p0 = 0,054.

Como se observ antes, la representacin grfica de los lmites de control superiores para cadasubgrupo de tamao variable es un proceso largo y tedioso. Sin embargo, puesto que lostamaos de los subgrupos no varan ampliamente respecto del tamao promedio del subgrupo,que resulta ser 150, el grfico de p revisado (con p0 = 0,054) se puede representar con un lmitede control superior usando un tamao de subgrupo de n = 150, como tamao promedio delsubgrupo.

As pues, las lneas revisadas del grfico de p se calculan como sigue:

Grfico de p revisado

0,054=p=centralLnea 0

n

)p-(1p3+p=LSC 000

0,109=150

0,946)x0,0543+0,054=

n

)p-(1p3-p=LIC 000

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150

0,946)x0,0543-0,054=

(puesto que los valores negativos no son posibles, el lmite inferior no se muestra).

En la Figura 12 se representa el grfico de p revisado. El proceso presenta un estado de controlestadstico.

Figura 12. Grfico p revisado para los datos dados en la Tabla 11

13.3 GRFICO c: NO SE DAN VALORES ESTNDARUn fabricante de cinta de video desea controlar el nmero de no conformidades, por manchas, enla cinta de video. La cinta de video se fabrica en longitudes de 4 000 m. Los datos siguientes danel nmero de no conformidades, por manchas, que se hallaron al examinar sucesivamente lasuperficie de 20 aros de cinta de video, cada uno con una longitud de 350 m, procedentes decierto proceso de produccin en el cual se investiga un extremo de la cinta de video.

Para controlar este proceso, se proyecta aplicar un grfico de c que represente el nmero de noconformidades, por manchas. En la Tabla 12 se dan los datos para 20 aros, que se toman comodatos preliminares para elaborar un grfico de c.

Tabla 13. Datos preliminares: cinta de video

Aro No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Total

Nmerode noconformi-dades,pormanchas

7 1 2 5 0 6 2 0 4 4 6 3 3 3 1 6 3 1 5 6 68

A continuacin se calcula la lnea central y los lmites de control y su representacin se hace enla Figura 13.

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Grficode c

3,4=20

68=

20

6+...+1+7=C=centralneal

cc=LSC 3+

8,9=3,43+3,4=

c3-c=LIC

3,43-3,4=


Los datos preliminares indican que el proceso se encuentra en un estado de control estadstico.

Figura 13. Grfico c para los datos dados en la Tabla 12

13.4 NMERO DE NO CONFORMIDADES POR UNIDAD: GRFICO u

En una planta de fabricacin de llantas se inspeccionaron 15 llantas cada media hora y se

registr el nmero total de no conformidades y el nmero de no conformidades por unidad. Sedecidi instalar un grfico u para el nmero de no conformidades por unidad, con el propsito deestudiar el estado de control del proceso. En la Tabla 13 se muestran los datos.

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Tabla 13. Planta de fabricacin de llantas: nmero de no conformidadespor unidad (unidades inspeccionadas por subgrupo, n = 15)

SubgrupoNo.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Total

c: Nmerode noconformidades

4 5 3 6 2 1 5 6 2 4 7 5 2 3 55

u: Nmerode noconformidades porunidad

0,27 0,33 0,20 0,40 0,13 0,07 0,33 0,40 0,13 0,27 0,47 0,33 0,13 0,20

El promedio de los valores de u se calcula a partir de la Tabla 13 como sigue.

Se divide el nmero total de no conformidades (de la fila de valores de c) por el nmero total deunidades inspeccionadas (es decir, 14 x 15):

n

c=u

0,26=15x14

55=

Grfico u

0,26=u=centralLnea

/nu3+u=LSC

0,65=/150,263+0,26= /nu3u=LIC /150,263-0,26=


En la Figura 14 se representan los datos y las lneas de control.

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El grfico indica que el proceso se encuentra en un estado de control estadstico.

Obsrvese que, como los tamaos de los subgrupos son constantes, tambin se podra haberusado un grfico de c.

Figura 14. Grfico u para los datos dados en la Tabla 13

14. DOCUMENTO DE REFERENCIA

INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION. Shewhart control charts.Geneva, 1991, 29 p. il. (ISO 8258) .

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Anexo (Informativo)

BIBLIOGRAFIA

(1) ISO 7870: Control charts - General guide and introduction.

(2) ISO 7873: Control charts for arithmetic average with warning limits

(3) ISO 7966: Acceptance control charts.

(4) SHEWHART,W.A., Economic Control of Quality of Manufatured Product. D. VanNostrand, Co., New York, 1931, 501 pp.

(5) NELSON, L.S., The Shewhart Control Chart - Test for Special Causes. Journal of QualityTechnology. 16. No.4 October 1984, pp.237-239

(6) NELSON, L.S. Interpreting Shewhart X Control Charts, Journal of Quality Technology, 17No. 2 April 1985, p.p. 114-116.

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