Notas 2011 Ittg

NOTAS DE MATEMTICAS

PARA EL CURSO PROPEDETICO 2011

--MONOGRAFA PARA EL ALUMNO --

AUTORES: .

SALVADOR ABURTO BEDOLLA

MOISS GARCA MONROY

GERARDO HERNNDEZ MEDIAN

LEONEL MAGAA MENDOZA

LUIS DANTE VZQUEZ SANTOYO

El Instituto Tecnolgico de Tuxtla Gutirrez agradece al Instituto Tecnolgico de Morelia por su colaboracin a travs del Departamento de Ciencias Bsicas por facilitar el libro Notas de Matemticas para el Curso Propedutico 2011 para el beneficio de la educacin de los estudiantes.

Tcnica, progreso de Mxico

Prefacio

Los principios filosoficos del modelo educativo para el siglo XXI del SistemaNacional de Educacion Superior Tecnologica conciben a la La educacion integralcomo un proceso continuo de desarrollo de todas las potencialidades del ser hu-mano entre los que destaca el aprender a ser, aprender a hacer, aprender a aprender,aprender a emprender y el aprender a comprender. Tambien senala que El ser hu-mano es el actor fundamental del Proceso Educativo, en su formacion se promueveel aprendizaje significativo.

El aprendizaje significativo surge cuando el alumno, como constructor de su pro-pio conocimiento, relaciona los conceptos a aprender y les da un sentido a partir dela estructura conceptual que ya posee. Dicho de otro modo, construye nuevos cono-cimientos a partir de los conocimientos que ha adquirido anteriormente. Este puedeser por descubrimiento o receptivo. Pero ademas construye su propio conocimientoporque quiere y esta interesado en ello. El aprendizaje significativo a veces se cons-truye al relacionar los conceptos nuevos con los conceptos que ya posee y otras alrelacionar los conceptos nuevos con la experiencia que ya se tiene.

El aprendizaje significativo se da cuando las tareas estan relacionadas de maneracongruente y el alumno decide aprenderlas.

Una de las condiciones esenciales para que se produzca un aprendizaje signifi-cativo, es una actitud positiva y activa por parte del alumno, el aprendizaje sera sig-nificativo si el alumno se compromete personalmente con el aprendizaje, si poneen juego tanto sus aspectos cognitivos como afectivos. El impulso de aprender, dedescubrir, de lograr, de comprender, debe venir del interior del alumno. Donde faltala motivacian para aprender, falta el aprendizaje.

El modelo educativo para el siglo XXI del Sistema Nacional de Educacion Su-perior Tecnologica define la funcion del profesor como un facilitador, la funcionde este esta cararcterizada por la actitud de respeto, confianza, colaboracion y la-boriosidad academica, que crea el clima propicio en torno a estrategias didacticasparticipativas, para hacer posible el aprendizaje de los estudiantes, pero sin librar aestos del esfuerzo personal y colectivo que son necesarios para lograrlo.

Asimismo, el modelo educativo concibe a la evaluacion como una estrategia paraasegurar e impulsar la construccion del conocimiento.

V

Indice general

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Parte I Algebra

1. Uso de la calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. El teclado y la pantalla de la calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Modos de operacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Precedencia de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Calculos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1. Operaciones aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.2. Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.3. Potencias y races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.4. Logritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.5. Operaciones con unidades angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.6. Funciones trigonometricas y trigonometricas inversas . . . . . . 171.5.7. Notacion cientfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Operaciones basicas con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1. Antecedentes historicos del algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Diferencia del algebra con la aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Notacion y terminologa algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Evaluacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5. Adicion y sustraccion de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6. Signos de agrupacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7. Productos de monomios y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.8. Division de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

VII

VIII Indice general

3. Productos notables y factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1. El cuadrado de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.2. El cubo de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.3. Producto de binomios conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.4. Producto de binomios con un termino comun . . . . . . . . . . . . . 39

3.2. Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.1. Factor comun de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2. Factorizacion por agrupamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3. Factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . 413.2.4. Factorizacion de una diferencia de cuadrados perfectos . . . . . 423.2.5. Factorizacion de un trinomio, completandolo a trinomio

cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.6. Factorizacion de un trinomio de la forma ax2 + bx+ c . . . . . . 433.2.7. Factorizacion de un polinomio por el metodo de

evaluacion (division sintetica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4. Fracciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.1. Principio fundamental de las fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2. Simplificacion de fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3. Multiplicacion y division de fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . 494.4. Adicion y sustraccion de fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5. Fracciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5. Exponentes y radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1. Notacion y leyes de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.1.1. Simplificacion de fracciones con exponentes de diversostipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2. Leyes de los radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.3. Adicion y sustraccion de radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4. Multiplicacion y division de radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6. Ecuaciones lineales y cuadraticas en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.1. Ecuaciones lneales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2. Aplicaciones de las ecuaciones lineales en una variable . . . . . . . . . . . 696.3. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.3.1. Solucion de sistemas de dos ecuaciones lineales en dosvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.4. Ecuaciones cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.4.1. Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.5. Aplicaciones de las ecuaciones cuadraticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Indice general IX

Parte II Trigonometra

7. Los angulos y su medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.1. Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.1.1. Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.1.2. Clasificacion de los angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.1.3. Las unidades de medida de angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.1.4. Relacion radian-grado sexagesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.2. Conversiones de unidades angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.2.1. Conversiones en grados sexagesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.2.2. Conversiones de grados sexagesimales a radianes . . . . . . . . . 967.2.3. Conversiones de radianes a grados sexagesimales . . . . . . . . . 97

7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988. Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.1. Defincion de Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.2. Clasificacion de los triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.3. Propiedades de los triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.4. El teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.4.1. Demostracion del teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.5. El permetro de un triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.6. El area de un triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.6.1. Formula de Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9. Trigonometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.1. Antecedentes historicos de la trigonometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.2. Razones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

9.2.1. Identidades fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.3. Triangulos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.3.1. Razones trigonometricas de 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.3.2. Razones trigonometricas de 30 y 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.4. Razones trigonometricas de angulos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.4.1. Razones trigonometricas en el crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.4.2. Razones trigonometricas de los angulos cuadrantales . . . . . . 1229.4.3. Razones trigonometricas de 120, 135, 150, etc. . . . . . . . . . 123

9.5. Reduccion de angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.5.1. Razones trigonometricas de ( ) en terminos de . . . . . . . 1259.5.2. Razones trigonometricas de ( + 90) en terminos de . . . . 1269.5.3. Otras identidades utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.6. Razones trigonometricas para la suma y diferencia de angulos . . . . . 1279.6.1. Razones trigonometricas para la suma de dos angulos . . . . . . 1279.6.2. Razones trigonometricas para la diferencia de dos angulos . . 1299.6.3. Otras identidades utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

X Indice general

9.7. Inversas de las razones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.8. Solucion de triangulos rectangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.8.1. Dados un lado y un angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.8.2. Dados dos lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.9. Ley de los senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.9.1. Caso de ambiguedad en la ley de senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.9.2. Deduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.10. Ley de los cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.10.1. Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.11. Ley de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.11.1. Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.12. Solucion de triangulos oblicuangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.12.1. Dado un lado y dos angulos cualesquiera . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.12.2. Dados dos lados y el angulo comprendido . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.12.3. Dados dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos . . . . . . . . 1439.12.4. Dados tres lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.13. Formulas para calcular el area de un triangulo oblicuangulo . . . . . . . 1479.13.1. Dados dos lados y el angulo comprendido . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.13.2. Dados un lado y los tres angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.14. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Parte III Geometra Analtica

10. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.1. El plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.3. Division de un segmento en una razon dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

10.3.1. Punto medio de un segmento de recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.4. Inclinacion y pendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

10.4.1. Rectas paralelas y perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.5. Angulo entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

11. La recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.1. Ecuacion de la recta en la forma puntopendiente . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.2. Ecuacion de la recta que pasa por dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16811.3. Ecuacion de la recta con pendiente dada y ordenada al origen . . . . . . 16911.4. Ecuacion de la recta en forma simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17111.5. Ecuacion general de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.6. Ecuacion normal de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17411.7. Distancia mnima de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.8. Rectas y puntos notables de un triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

11.8.1. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18011.8.2. Mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18211.8.3. Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

usuarioSello

Parte IAlgebra

Elaborado por:Salvador Aburto BedollaMoises Garca MonroyLeonel Magana Mendoza

Captulo 1Uso de la calculadora

1.1. Introduccion

Existen en el mercado una infinidad de marcas y modelos de calculadorascientficas. Sin embargo, en el ambito universitario, las mas populares por su ba-jo costo y grandes prestaciones son las calculadoras de la marca CASIO R.

Estas notas no pretenden ser exhaustivas y solo nos enfocaremos al uso de calcu-ladoras cientficas basicas (no graficadoras), en particular a los modelos f x82MS,f x83MS, f x85MS, f x95MS, f x100MS, f x115MS, f x270MS, f x300MS,f x350MS, f x570MS, f x912MS y f x991MS de CASIO R. El uso de otras cal-culadoras cientficas basicas (otros modelos de CASIO R y algunas otras marcas)es muy similar.

Es importante senalar que estas notas no pretenden sustituir al Manual delusuario de su calculadora, y que, debido a la continua aparicion de nuevos mo-delos de calculadoras en el mercado, pueden haber pequenas variaciones enre loscomandos mencionados en estas notas y los mencionados en el Manual del usua-rio de su calculadora.

Lea el Manual del usuario de su calculadora!

1.2. El teclado y la pantalla de la calculadora

En la figura 1.1 podemos observar las imagenes de algunos de los modelos decalculadoras cientficas basicas mencionados en la seccion anterior. Como se puedeapreciar en estas imagenes, todas tienen una distribucion similar de teclado:

En la parte superior, debajo de la pantalla se encuentran cuatro pequenas teclasblancas y una tecla circular en el centro. Las teclas blancas pequenas, a los lados

3

4 1 Uso de la calculadora

de la tecla circular, corresponden a las funciones1 shift (cambiar) SHIFT , alpha ALPHA , mode (modo) MODE y on (encender) ON . La tecla circular en elcentro es en realidad una tecla multifuncional, ya que incluye los smbolos arriba N , abajo H , izquierda y derecha , que son las teclas del cursorque nos permite navegar (movernos) en la pantalla, y en el centro de la misma, lafuncion REPLAY .

En la parte media se encuentran 4 lneas de teclas (negras) con diversas funcio-nes. La primera lnea tiene teclas de funcion que cambian segun el modelo dela calculadora. Las siguientes tres lneas incluyen las teclas (de izquierda a de-recha y de arriba a abajo) escribir fracccion ab/c , raz cuadrada , elevaral cuadrado x2 , elevar a potencia , logaritmo base diez log , logaritmo

natural ln , numero negativo (-) , gradosminutossegundos , funcion

hiperbolica hyp , funcion seno sin , funcion coseno cos , funcion tangente tan , acsesar memoria RCL , notacion cientfica (conversion en potencias de 10

multiplos de 3) ENG , parentesis izquierdo ( , parentesis derecho ) , coma , y anadir a memoria M+ .En la parte inferior se encuentran las 10 teclas con los dgitos

0 , 1 , 2 , . . . , 9 , el punto decimal , las cuatro operaciones aritmeticas: suma + , resta , multiplicacion y division ; y las teclas: punto deci-mal , igual = , notacion cientfica (10n) EXP , memoria de respuesta ANS , borrar caracter DEL y borrar lnea AC (Teclas grises y rojas).

En la figura 1.2 se muestra un diagrama de la caratula de una calculadora f x95MS donde aparecen senalados los tres grupos de teclas mencionados arriba.

Podemos observar tambien, que sobre la caratula de la calculadora, junto a mu-chas de las teclas, aparecen los nombres de otras funciones adicionales. Estas fun-ciones adicionales generalmente son activadas con las teclas

SHIFT , ALPHA y MODE .Finalmente, en la parte superior de la cara frontal de la calculadora se encuentra

la pantalla, que para los modelos mencionados tiene una presentacion en dos lneas.

La lnea superior muestra la formula de calculo.La lnea inferior muestra el resultado.

En algunos modelos, en la lnea de resultado se vizualiza un separador (,) cuando laparte entera de la mantisa tiene mas de tres dgitos.

Observando con detenimiento la pantalla de la calculadora (ver figura 1.2), po-demos apreciar que ademas de las dos lneas mencionadas, en la parte superior de lapantalla aparecen dos pequenos indicadores, el primero, ligeramente desplazado delcentro de la pantalla, hacia la derecha es una letra encerrada en un cuadro obscuroque nos indica el tipo de unidad angular que se utilizara en los calculos; el segundoindicador, que aparece a la derecha de la marca de unidad angular es el indicador1 Aunque tal vez ya se encuentre familiarizado con el funcionamiento de la mayora de estas teclas,explicaremos mas adelante su funcionamiento con cierto detalle.

1.3 Modos de operacion 5

(a) (b)

(c) (d)

Figura 1.1 Vista frontal de las calculadoras CASIO R: (a) f x95MS, (b) f x100MS, (c) f x570MS, y (d) f x991MS.

de modo de calculo. En la siguiente seccion explicaremos con mayor detalle comofijar los modos de operacion.

1.3. Modos de operacion

Antes de iniciar un calculo es muy importante asegurarse de que la calculadorase encuentre ajustada en el modo correcto de operacion, ya que la forma en que la


0 EXP ANS =

1 2 3 +

4 5 6

7 8 9 DEL AC

RCL ENG ( ) , M+

(-) hyp sin cos tan

ab/c x2 log lnx1 nCr Pol( x3

SHIFT ALPHA MODE ON

"!#

N

H

345+6 745,435,439.87

D SCI

Teclas numericas Operacionesaritmeticas

Teclas de funcion

Figura 1.2 Vista esquematica de la calculadora CASIO R f x95MS.

maquina realiza los calculos, y en consecuencia, los resultados, dependen de esteajuste.

Para realizar operaciones aritmeticas basicas, el modo de operacion debe ajustar-se en COMP, para lograr esto debe ingresar la secuencia de teclas2

MODE 1 .Nota!: Para regresar su calculadora a los modos de ajuste iniciales fijados poromision (por default), presione la siguiente secuencia de teclas: SHIFT MODE 2 =

La secuencia anterior fija los siguientes modos de operacion en la calculadoraf x95MS

Modo de calculo: COMPUnidad angular: DegFormato de presentacion exponencial: Norm 1Formato de presentacion de fraccion: a b/cCaracter de punto decimal: (punto)

2 A menos que se indique lo contrario, las secuencias de teclas indicadas en estas notas funcionanpara todos los modelos mencionados en la seccion 1.1. De cualquier manera sugerimos consultarel manual de usuario de su calculadora.

1.4 Precedencia de las operaciones 7

y, adicionalmente, parar los modelos f x570MS, f x912MS y f x991MSFormato de presentacion de numero complejo: a+ ib

Las opciones de modo de operacion son (dependiendo del modelo de calculado-ra): COMP para calculos basicos, CMPLX para calculos con numeros complejos, EQNpara calculos con ecuaciones, SD para calculos estadsticos (distribucion normal) yREG para calculos de regresion y BASE para calculos con numeros de base n; losmodelos mas avanzados cuentan con funciones de modo de operacion adicionalesque no trataremos en estas notas. Las opciones de ajuste de unidad angular son: Deggrados (sexagesimales), Rad radianes y Gra grados centesimales. Ampliaremos ladiscusion del modo de ajuste de unidad angular en la seccion 1.5.5.

1.4. Precedencia de las operaciones

El orden en el que se realizan las operaciones en los modelos de calculadorasmencionados en la seccion 1.1 es el siguiente3:

1. Transformaciones de coordenadas: Pol(x, y), Rec(r, )Calculos diferenciales: d/dx4Integraciones:

dx4

Distribucion normal: P(4, Q(4, R(42. Funciones de tipo A:

Con estas funciones se ingresa el valor y luego se presiona la tecla de funcion.x3, x2, x1, x!, Smbolos de ingeniera4Distribucion normal: t4x, x1, x2, yConversiones de unidad angular (DRG)Conversiones de unidades de longitud5

3. Potencias y races: , (xy), x4. a b/c5. Formato de multiplicacion abreviada enfrente de pi , e (base del logaritmo natu-

ral), nombre de memoria o nombre de variable:2pi , 3e, 5A, piA, etc.

6. Funciones de tipo B:Con estas funciones se presiona la tecla de funcion y luego se ingresa el valor.

, 3

, log, ln, ex, 10x, sin, cos, tan, sin1, cos1, tan1, sinh, cosh, tanh, sinh1,cosh1, tanh1, (), d4, h4, b4, o4, Neg4, Not4, Det5, Trn5, arg4, Abs4, Conj4

7. Formato de multiplicacion abreviada enfrente de las funciones de tipo B:2

3, A log2, etc.8. Permutacion y combinacion: nPr, nCr, 4

3 Aunque no se tratara el manejo de todas las funciones que aparecen en esta seccion, se incluyecasi la totalidad de funciones que se pueden manipular con estas calculadoras.


9. Punto ()510. , 11. +, 12. and413. xnor4, xor4, or4

Las operaciones con la misma precedencia se realizan de derecha a izquierda.ex ln 120 ex{ln( 120)}Las otras operaciones se realizan de izquierda a derecha.Las operaciones entre parentesis se llevan a cabo primero.Cuando un calculo contiene un argumento que es un numero negativo, el numeronegativo debe estar encerrado entre parentesis. El signo negativo () es tratadocomo una funcion de tipo B, de manera que se requiere particular atencion cuan-do el calculo incluye una funcion de tipo A de alta prioridad, u operaciones depotencia o races.Ejemplo:

(2)4 = 1624 = 16

1.5. Calculos basicos

Los calculos basicos se realizan en el modo COMP MODE 1

1.5.1. Operaciones aritmeticas

Las cuatro operaciones aritmeticas (suma, resta, multiplicacion y division) se reali-zan de manera natural.

Ejemplo:z 305+ 270+ 568= 1,143

305 + 270 + 568 = 1,143z 498.25 725.36=227.11

498.25 725.36 = 227.114 f x100MS, f x115MS, f x570MS, f x912MS y f x991MS solamente.5 f x570MS y f x991MS solamente.

1.5 Calculos basicos 9

z 425.17 265.64= 112,942.1588425.17 265.64 = 112,942.1588

z 425.17 265.64= 1.600549616425.17 265.64 = 1.600549616

En el caso de operaciones aritmeticas mas complicadas, es necesario tener en cuentala precedencia de operaciones y el uso de parentesis (ver seccion 1.4), a continua-cion un sencillo ejemplo.Ejemplo:z En el siguiente calculo podemos apreciar como funciona la precedencia de las

operaciones, ya que, aunque aparece primero (mas a la izquierda) el signo desuma, se realiza primero la multiplicacion que tiene mayor prioridad.

27+ 2 3= 3327 + 2 3 = 33

En la siguiente secuencia insertamos parentesis para alterar la precedencia (al-terar entre comillas porque de cualquier modo, la precedencia permanece).27+(2 3)= 33

27 + ( 2 3 ) = 33Con estos dos ejemplos podemos ver que respetando la precedencia, podemosomitir el uso de parentesis, aunque al calcular expresiones mas elaboradas no esrecomendable.En la siguiente secuencia, si se ve alterada la precedencia por el uso de losparentesis agrupando la suma.

(27+ 2) 3= 87 ( 27 + 2 ) 3 = 871.5.2. Operaciones con fracciones

Para fracciones se emplea la tecla ab/c . En el caso de fracciones propias, seingresa el numerador, luego la tecla ab/c y luego el denominador.Ejemplo:

z35

3 ab/c 5


En el caso de fracciones mixtas, primero se ingresa la parte entera, luego la tecla ab/c , luego el numerador de la fraccion, nuevamente la tecla ab/c y finalmente eldenominador de la fraccion.

Ejemplo:

z 2 352 ab/c 3 ab/c 5

Las operaciones aritmeticas con fracciones se realizan de la misma manera quelas operaciones con decimales.

Ejemplo:

z 3 14+ 1 23 = 4

1112

3 ab/c 1 ab/c 4 + 1 ab/c 2 ab/c 3 = 4 y 11 y 12Para realizar conversiones de decimal a fraccion (mixta), y viceversa, y/o a frac-

cion impropia se emplea la secuencia6:

Ejemplo:

z 2.75 2 34

2.75 = 2.75 ab/c 2 y 3 y 4 SHIFT ab/c 11 y 4z

12 0.5 1

ab/c 2 = 1 y 2 ab/c 0.5 ab/c 1 y 2Para convertir de una fraccion mixta a una fraccion impropia puede emplear la

siguiente secuencia:

Ejemplo:

z 123

53

1 ab/c 2 ab/c 3 = 1 y 2 y 3 SHIFT ab/c 5 y 3 SHIFT ab/c 1 y 2 y 3Los valores son automaticamente visualizados en el formato decimal, siempre

que el numero total de dgitos de un valor faccionario (entero + numerador + de-nominador + marcas separatorias) excede a 10. Los resultados de calculos que in-volucran fracciones y decimales son siempre decimales.

Ejemplo:

z12+ 1.6 = 2.1 1 ab/c 2 + 1.6 = 2.1

6 En algunos casos las conversiones pueden llegar a tomar un par de segundos.


A continuacion consideraremos dos ejemplos con secuencias de operaciones queinvolucran numero decimales, fracciones, las operaciones aritmeticas y el uso deparentesis. Es importante senalar que algunos casos la secuencia mostrada no esla unica que arroja un resultado correcto, es decir, pueden existir varias manerascorrectas de intruducir la operacion en la calculadora y llegar en cualquier caso a unresultado correcto.Ejemplo:

z 2.78+ 3.22[4

12

(16 1

4 4.1

) 3.2

(2

12+ 3.25

)]= 119.5855

2.78 + 3.22 ( 4 ab/c 1 ab/c 2 ( 16 ab/c 1 ab/c 4 4.1 ) 3.2 ( 2 ab/c 1 ab/c 2 + 3.25 ) ) =119.5855

z 5 1320[

412 2.3

(16.78 4 15

)]+ 12

1120 2

12 = 143.7021 (-) 5 ab/c 13 ab/c 20 ( 4 ab/c 1 ab/c 2 2.3 ( 16.78 4 ab/c 1 ab/c 5 ) ) + 12 ab/c 11 ab/c 20 2 ab/c 1 ab/c 2 =

143.7021

Ejercicios

Resuelva las siguientes operaciones, primero a mano, paso a paso, y despuesempleando la calculadora tratando de hacerlo mediante una sola secuencia.

1. 14 740

[8.94+ 3 45

(7.68 9 3

4

)]+ 18 38 1

15

2. 17 25

[4.2

(3.6 2 38

)+ 42 1

2 0.25

]3. 3.24+ 2.46 21

2 2 1

2

[11.4

(16 25 3.6

) 5 45

]4.[

4.8 2 12+

12

(3.6+ 4 25

)](8 1

4 3.14

(38

))+ 8 7

20

5.8(

4 14

) 11 15 9 13

(2 13) 5314 2 29 + 8 25

(1 27)

6. 0.05(2 45 1.9

) 3 34[3 16 (1.25)

]2.4+(5.8)

7.30(4 14)+ 11 15 5 35

14 2 29 + 8 52(14 23

) 1 6+ 1252 12 (15) 4 1315

(7 35)


8.[

2.1(4.5

(1 23)+ 3.75

) 3135

1 (1027 56)] 2.5

9.(95 730 93 518

)(2 14)+ 0.373

0.2

10.(49 524 46 720

)(2 13)+ 0.6

0.2

11.(12 16 6 127 5 14

)13.5+ 0.111

0.02

12.(1 112 + 2

532 +

124)

9 35 + 2.130.4

13.(2 58) 23 (2 54)(

3 112 + 4.375) (18 89)

14.(58 415 56 724

) 0.8+ 2 19 (0.225)8 34( 3

5)

15. (2.1 1.965) (1.2 0.045)0.00325 0.013 1 0.25

1.6 0.62516. 6 13 0.8

1.5

32(0.4)

501+

12

+

14+

1+ 12( 1

0.25)

6 461+(2.2)(40)

17.(

719 2

1415

)(

2 23 + 135

)(

34 1

20

)(57 5

14

)18.

(41 2384 40

4960

)([4 3 1

2

(2 1

7 1 15

)] 0.16

)

1.5.3. Potencias y races

Entre las teclas de funcion, en la parte superior del teclado, se encuentran lasteclas , x2 , y x3 (en algunos modelos). La tecla es para obtenerla raz cuadrada de un numero,

x2 para elevar al cuadrado un numero, la tecla para elevar un numero x a una potencia y, y la tecla x3 para elevar unnumero al cubo. En la mayora de los modelos de calculadoras mencionados en laseccion 1.1, las teclas

y x3 cuentan con una segunda funcion, su inversa, quese activa empleando la tecla

SHIFT . Mostraremos el uso de estas teclas mediantelos siguientes ejemplos.Ejemplos:z 17.52 = 306.25 17.5

x2 = 306.25z

32.24 = 5.678027827 32.24 = 5.678027827z 3.21.25 = 4.279937952 3.2

1.25 = 4.279937952


z43 = 1.316074013 4 SHIFT 3 = 1.316074013

Atencion: observe el orden en el que se ingresan los numeros para realizar esta operacion.En este ultimo ejemplo podmos jugar con las leyes de los exponentes, dado que

43 = 31/4

podemos obtener el mismo resultado con una secuencia diferente:

3 ( 1 ab/c 4 ) = 1.316074013

Que ocurre si omite los parentesis? Que secuencia empleara para obtener el re-sultado de 3 14

2?

Ejercicios

Resuelva las siguientes operaciones, primero a mano, paso a paso, y despuesempleando la calculadora tratando de hacerlo mediante una sola secuencia.

1.(

1 12

)2(

34

)2(

2 12

)(12

)32.(

3 12

)2(

2 14

)2+

(4 1

2

)(1

2

)33.(1 1

10

)2 11

20 +(

4 34

)(

1 12

)34. 3 2

4 27 2115 28

5.4 37 313 12 320

12 315

6.(4 53 58) (55 56)

2 577.

3 78 74 710 728 75

8. 12 1

9. 2

223

10.

7+ 4

3+

7 4

3

11. 111 62

+1

11+ 6

2

12.

1(

5+

3)2(

51/2 31/253/2 33/2

)1 115


1.5.4. Logritmos y exponenciales

En la mayora de los modelos de calculadoras discutidos en estas notas aparecenlas teclas log y ln en la parte derecha del teclado de funciones (ver figura 1.2).

Estas teclas nos permiten calcular el logaritmo base 10 (log10 o simplemente log) deun numero y el logaritmo natural (ln) o base e (loge) de un numero, respectivamente.Mediante el uso de la tecla

SHIFT y estas mismas teclas, se accede al uso de lasfunciones inversas respectivas (exponenciales).

Para calcular los logaritmos de base distinta a e o 10, es necesario emplear laformula

loga x =logb xlogb a

(1.1)

Es decir, si queremos calcular el logaritmo del numero x en una base desconocida a,podemos hacer el calculo empleando logaritmos en una base conocida b (que bienpuede ser 10 o e), de acuerdo con la formula anterior.

Mostraremos el empleo de estas funciones mediante algunos ejemplos.Ejemplos:z log1.23 = 0.089905111 log 1.23 = 0.089905111z ln1.23 = 0.207014169 ln 1.23 = 0.207014169z lne = 1 ln ALPHA ln = 1

En este ejemplo, el uso de la tecla ALPHA activa las funciones (o caracteres)marcados en rojo en el costado superior derecho de las teclas, en este caso seaccesa al valor de e.

z e10 = 22026.46579 SHIFT ln 10 = 22026.46579z 101.5 = 31.6227766 SHIFT log 1.5 = 31.6227766

Es importante senalar aqu que a pesar de su nombre no debe confundirse latecla EXP con las funciones exponenciales ex accesada mediante la secuen-

cia SHIFT ln y 10x accesada mediante la secuencia SHIFT log . Para el

empleo de la tecla EXP vea la seccion 1.5.7.

z log5 6 = 1.113282753


Empleando la formula (1.1) y logaritmos naturales: ln 6 ln 5 = 1.113282753Empleando la formula (1.1) y logaritmos base 10: log 6 log 5 = 1.113282753

Ejercicios

Resuelva las siguientes operaciones, primero a mano, paso a paso, y despuesempleando la calculadora tratando de hacerlo mediante una sola secuencia. [Suge-rencia: en algunos casos se puede simplificar la expresion mediante las propiedadesde los logaritmos].1. log17+ log232. ln32 + ln51/33. log2

354. log7

log3 2

5.

25

1log5 + 49

1log7

6. 36log6 5 + 101log2 3log9 367. log2 1.6+ log2 10 2log2

3log2 4

8. 7 log5

5 log7 81 (log5 35 1)9. log3 81log2

14+

10log9

10.

27 1log2 3 + 5log25 4981 1log4 9 8log4 9

3+ 5

1log1 625 5log5 3

1.5.5. Operaciones con unidades angulares

Operaciones con grados, minutos y segundos Se pueden realizar calculos con gra-dos sexagesimales empleando grados (horas), minutos y segundos y tambien con-vertir entre valores decimales y sexagesimales. En la mayora de las calculadorasmencionadas en estas notas, la tecla

aparece en la segunda fila del teclado defunciones, y es la segunda tecla de izquierda a derecha.


Mostratremos la manera de realizar las conversiones mediante los siguientesejemplos.Ejemplos:z 2.258 = 21528.8

2.258 = 2.258 SHIFT 2 15 28.8 2.258z 351845.3 = 35.31258333

35 18 45.3 = 35 18 45.3 SHIFT 35.31258333

Conversion de unidad angular Para visualizar el menu de unidad angular presionela siguiente secuencia:

SHIFT ANS . En la pantalla debera aparecer el siguientemenu.

D R G1 2 3

Donde 1, corresponde a grados (D), 2 a radianes (R) y 3 a grados centesimales7 (G).Seleccionando 1 , 2 o 3 se convierte el valor (previamente) visualizado

en pantalla a la unidad angular correspondiente. Ilustraremos las secuencias pararealizar conversiones mediante los siguientes ejemplos.Ejemplos:z Convertir 4.25 radianes a grados.

Primero debemos fijar el modo de operacion de la calculadora en grados presio-nando MODE hasta que aparezca el menu

Deg Rad Gra1 2 3

y seleccionamos 1 (grados). Ahora se puede realizar la conversion con la

siguiente secuencia:

4.25 SHIFT ANS 2 = 4.25 r243.5070629

z Convertir 21528.8 a radianes.Primero fijamos el modo de operacion de la calculadora en radianes con la se-cuencia MODE MODE 2

7 Dado el poco uso de los grados centesimales, no haremos conversiones que los involucren.


Enseguida, ingresamos la cantidad angular dada en grados, minutos y segundosmediante la siguiente secuencia

2 15 28.8

Finalmente, realizamos la conversion mediante la secuencia SHIFT ANS 1 = 2 15 28.80.039409534Nota!: recuerde que la unidad de medida angular natural en matematicasson los radianes.

2pi (rad) = 360

Ejercicios

Realice las siguientes conversiones, primero a mano, paso a paso, y despuesempleando la calculadora tratando de hacerlo mediante una sola secuencia.1. Convertir 1 a radianes.2. Convertir 1 rad a grados, minutos y segundos.3. Convertir 45 a radianes. Exprese su respuesta en terminos de pi .4. Convertir pi/3 rad a grados, minutos y segundos.5. Convertir 60 a radianes. Exprese su respuesta en terminos de pi .6. Convertir 0.276342 rad a grados, minutos y segundos.7. Convertir 153537.2 a radianes.8. Convertir 0.017453292 rad a grados, minutos y segundos.

1.5.6. Funciones trigonometricas y trigonometricas inversas

En el captulo 7 de estas notas se tratan en detalle los aspectos importantes dela trigonometra, en esta seccion nos limitaremos a discutir como hacer operacionesque involucren funciones trigonometricas empleando la calculadora.

En la parte central, al lado derecho del teclado de funciones se encuentran lasteclas sin , cos y tan que nos permiten accesar las funciones trigonometricas

seno, coseno y tangente, respectivamente. Empleando la tecla SHIFT en combina-

cion con las tres teclas mencionadas accesamos sus funciones inversas.Antes de mostrar el uso de las funciones trigonometricas en la calculadora, es

importante recordar que debe tener cuidado de elegir el modo de operacion correctode la calculadora para obtener los resultados correctos deseados.

Nota!: Una vez identificadas las unidades de medida angular a utilizar en elproblema en cuestion, debe fijar el correspondiente modo angular de la calcu-ladora como se indica en las secciones 1.3 y 1.5.5.


Ilustraremos el uso de las teclas de funciones trigonometricas mediante los si-guientes ejemplos.Ejemplos:z Calcular sin635241

Fijamos el modo angular de la calculadora en grados mediante la siguientesecuencia. MODE MODE 1

Calculamos sin635241 mediante la siguiente secuencia sin 63 52 41 = sin 63 52 410.897859012z Calcular cos

(pi3

) Fijamos el modo angular de la calculadora en radianes mediante la siguiente

secuencia. MODE MODE 2 Calculamos cos(pi/3) mediante la siguiente secuencia cos ( SHIFT EXP 3 ) = cos (pi 3)0.5

z Calcular tan1 0.741 en grados minutos y segundos.

Fijamos el modo angular de la calculadora en grados mediante la siguientesecuencia. MODE MODE 1

Calculamos tan1 0.741 mediante la siguiente secuencia SHIFT tan 0.741 = tan1 0.74136.53844577 El resultado anterior esta en grados, pero en formato decimal; para convertir

a grados, minutos y segundos ingresamos la siguiente secuencia tan1 0.74136 32 18.4Resultado que interpretamos como 36 32 18.4.

z Calcular cos1(

22

)en radianes

Fijamos el modo angular de la calculadora en radianes mediante la siguientesecuencia.

1.5 Calculos basicos 19 MODE MODE 2 Calculamos cos1

(2

2

)mediante la siguiente secuencia

SHIFT cos ( 2 2 ) = cos1 ( 2 2)0.785398163 Para expresar el resultado en terminos de pi ingresamos la seguiente secuencia SHIFT EXP = Ans pi0.25

Resultado que interpretamos como pi/4 rad.

Ejercicios

Realice los siguientes calculos empleando la calculadora tratando de hacerlo me-diante una sola secuencia.

1. sin(3pi/2)2. cos172315.23. tanpi/44. sin1 0.5 en radianes.5. cos1 0.534756 en grados minutos y segundos.6. tan1 0.363970234 en radianes. Exprese su resultado en terminos de pi .

1.5.7. Notacion cientfica

La notacin cientfica es un modo conciso de representar numeros ya sean enteroso reales mediante una tecnica llamada punto flotante aplicada al sistema decimal,es decir, potencias de diez. Esta notacion es utilizada en numeros muy grandes omuy pequenos.

La convencion es escribir el numero dejando solo el primer dgito (el mas sig-nificativo) en el lugar de las unidades y escribiendo el resto de los dgitos comodecimales y multiplicando por una potencia de 10 adecuada.

Por ejemplo, la velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por se-gundo. Esto, escrito en la representacion numerica usual es 300,000,000 m/s y ennotacion cientfica quedara como 3 108 m/s.

De esta forma podemos ver que la notacion cientfica simplifica la escritura y nosda una nocion mas clara de la magnitud de la cifra.

La mayora de las calculadoras y programas de computadora presentan resultadosmuy grandes y muy pequenos en notacion cientfica; los numeros 10 generalmentese omiten y se utiliza la letra E para el exponente; por ejemplo: 1.56234 E29. Notese


que esto no esta relacionado con la base del logaritmo natural tambien denotadocomunmente con la letra e.

Para ingresar cantidades en notacion cientfica en la calculadora se emplea latecla EXP 8.

Ejemplos:z 3.00 108.

3.00 EXP 8 = 300,000,000

z 1.602 1019.

1.602 EXP (-) 19 = 1.602-1910

No esta de mas una observacion respecto al uso de la tecla EXP . Para fines

practicos, debemos interpretar esta tecla como la operacion 1 10, es decir, el usode esta tecla incluye un factor de 10, por lo que no es necesario incluir dicho factoral ingresar un numero.

Ilustremos lo anterior con un error muy comun. Al realizar conversiones de uni-dades es frecuente tener que multiplicar por potencias de diez; por ejemplo, paraconvertir 15 km a cm, sabemos que 1 km = 103 m y que 1 cm = 102 m, por lotanto, 1 km es igual a 105 cm. Para realizar la conversion, basta pues, sustituir launidad km por su equivalente 105 cm y llevar a cabo las simplifiaciones necesarias:

15 km = 15(1 105 cm) = 15 105 cm = 1.6 106 cm

La secuencia de teclas en la calculadora es como sigue:

15 1 EXP 5 = 1,500,000

Sin embargo, es frecuente que el usuario inexperto, introduzca la siguiente secuencia

15 1 10 EXP 5 = 15,000,000

lo cual, obviamente, nos lleva a un resultado incorrecto.

8 En algunos modelos de claculadoras de la marca Texas Instruments, la tecla para notacion cientfi-ca es EE .


Ejercicios

Realice los siguientes calculos empleando la calculadora tratando de hacerlo me-diante una sola secuencia.

1. 2 104 1.5 1052. 2.7 106 1.56 1033. 4.52 1012 3.2 10

18

0.5 1015 1.2 106

4. 6.03 104 3 104 2.7 103

5 1035. 600000

3 0.0000241002 72000000 0.00025

6. 54.31 102 651 10+38.51000

0.0082 20 1057. (2.25 1022) (4 1015) (3 103)8. 4.2 10168.2 1017+ 1.8 1059. (1.4 107)2 (5.2 106)

10. (9 109) (1.602 1019)2 (5.29 1011)211. (6.673 1011) (1.99 1030) (6.42 1023) (1.496 1011)2

Captulo 2Operaciones basicas con polinomios

2.1. Antecedentes historicos del algebra

Siglo XVII aC. Los matematicos de Mesopotamia y Babilonia ya saban resol-ver ecuaciones de primero y segundo grado. Ademas resolvan tambien, algunossistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incognitas.

Siglo XVI aC. Los egipcios desarrollaron un algebra muy elemental que usaronpara resolver problemas cotidianos que tenan que ver con la reparticion de vveres,de cosechas y de materiales.

Siglo I dC. los matematicos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu (quesignifica El Arte del Calculo), en el que plantearon diversos metodos para resolverecuaciones de primer y de segundo grado, as como sistemas de dos ecuaciones condos incognitas. Con su abaco (suan zi) tenan la posibilidad de representar numerospositivos y negativos.

Siglo II. El matematico griego Nicomaco de Gerasa publico su introduccion a laAritmetica y en ella expuso varias reglas para el buen uso de los numeros.

Siglo III. El matematico griego Diofanato de Alejandra publico su Aritmeticaen la cual, por primera vez en la historia de las matematicas griegas, se trataronde una forma rigurosa no solo las ecuaciones de primer grado, sino tambien las desegundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incognitacon un signo que es la primera slaba de la palabra griega arithmos, que significanumero. Los problemas de algebra que propuso prepararon el terreno de lo quesiglos mas tarde sera la teora de ecuaciones. A pesar de lo rudimentario de sunotacion simbolica y de lo poco elegantes que eran los metodos que usaba, se lepuede considerar como uno de los precursores del algebra moderna.

Siglo VII. Los hindues haban desarrollado ya las reglas algebraicas fundamen-tales para manejar numeros positivos y negativos.

Siglo IX. Epoca en la que trabajo el matematico y astronomo musulman Al-Jwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollodel algebra. Al-Jwarizmi investigo y escribio acerca de los numeros, de los metodosde calculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas

23

24 2 Operaciones basicas con polinomios

de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usa-da primero para referirse a los metodos de calculos numericos en oposicion a losmetodos de calculo con abaco, adquirio finalmente su sentido actual de procedi-miento sistematico de calculo. En cuanto a la palabra algebra, deriva del ttulo desu obra mas importante, que presenta las reglas fundamentales del algebra, Al-jabrwal muqabala.

Siglo X. El gran algebrista musulman Abu Kamil, continuo los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el algebra seran aprovechados en el siglo XIII porel matemetico italiano Fibonacci. Durante este mismo siglo, el matematico mu-sulman, Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajos de Diofanto yAl-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron al arithmetica de Diofanto.

Siglo XIII. En 1202, despues de viajar al norte de Africa y a Oriente, dondeaprendio el manejo del sistema de numeracion indoarabigo, Leonardo de Pisa, mejorconocido como Fibonacci, publico el liber abaci (tratado del abaco) obra que enlos siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos estudiosos de laaritmetica y el algebra.

Siglo XV. El matematico frances Nicolas Chuquet introdujo en Europa occiden-tal el uso de los numeros negativos, introdujo ademas una notacion exponencial muyparecida a la que usamos hoy en da, en la cual se utilizan indistintamente exponen-tes positivos o negativos. En 1489 el matematico aleman Johann Widmann dEgerinvento los smbolos + y - para sustituir las letras p y m que a su vez eran lasiniciales de las palabras piu (mas) y minus (menos) que se utilizaban para expresarla suma y la resta.

Siglo XVI. En 1525, el matematico aleman Christoph Rudolff introdujo el smbo-lo de la raz cuadrada que usamos hoy en da: este smbolo era una forma estilizadade la letra r de radical o raz. Entre 1545 y 1560, los matematicos italianos Gi-rolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el uso de los numerosimaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo,tercero y cuarto grado. En 1557 el matematico ingles Robert Recorde invento elsmbolo de la igualdad, =. En 1591 el matematico frances Francois Vie`te desa-rrollo una notacion algebraica muy comoda, representaba las incognitas con vocalesy las constantes con consonantes.

Siglo XVII. En 1637 el matematico frances Rene Descartes fusiono la geometray el algebra inventando la geometra analtica. Invento la notacion algebraica mo-derna, en la cual las constantes estan representadas por las primeras letras del alfa-beto a, b, c, . . . y las variables o incognitas por las ultimas x, y, z. Introdujo tambienla notacion exponencial que usamos hoy en da.

2.2. Diferencia del algebra con la aritmetica

Mientras que en la aritmetica usamos numeros reales, que son especficos, enel Algebra se emplean smbolos, que normalmente son letras del alfabeto, consi-derados como numeros generales o literales. Los numeros literales se utilizan en el

2.3 Notacion y terminologa algebraicas 25

Algebra para permitirnos considerar propiedades generales de los numeros, y no susatributos.

Definicion 2.1. Algebra es la rama de la Matematica que estudia la cantidad consi-derada del modo mas general posible.

2.3. Notacion y terminologa algebraicas

Los smbolos usados en Algebra para representar las cantidades son los numerosy las letras. Los numeros se emplean para representar cantidades conocidas y deter-minadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya seanconocidas o desconocidas.

Las cantidades conocidas se representan por las primeras letras del alfabeto: a,b, c, d . . .

Las cantidades desconocidas se representan por las ultimas letras del alfabeto: u,v, w, x, y, z.

Los signos empleados en el Algebra son de tres clases:

1. signos de operacion (suma, resta, multiplicacion, division, potenciacion y radi-cacion).

2. signos de relacion ( =, > y


Las cantidades 5, 3a, 4y, 2xy, 1 2x, xy 1x+yz son ejemplos de expresiones

algebraicas.Las expresiones algebraicas se clasifican de acuerdo al numero de terminos.Monomio es una expresion algebraica que consta de un solo termino.Son ejemplos de monomios xy, 2a, xyz , (a+ b).Polinomio es una expresion algebraica que consta de mas de un termino. A un

polinomio que consta de dos terminos se le llama binomio y a un polinomio de tresterminos se le llama trinomio.

Son ejemplos de polinomios x y, ab2 3m2n , x3 3xy+ 4y y ax2 + bx+ c.Los primeros dos ejemplos son binomios, el tercer y cuarto son trinomios.Para determinar el grado de un termino se suman los exponentes de la parte literal

del termino.Por ejemplo, (a) el termino 5x2 es de grado 2 (b) el termino 3xy3 es de grado 4

y (c) el termino 56x2z2 es de grado 4.El exponente del coeficiente no define el grado de un termino.El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relacion a una letra.El grado absoluto de un polinomio es el grado de su termino de mayor grado.Por ejemplo, el polinomio 3x6 5x4 + 10x2 2x+ 10 es de grado absoluto seis,

ya que el termino de mayor grado es 3x6.El grado de un polinomio con relacion a una letra es el mayor exponente con el

que aparece dicha letra en el polinomio.Por ejemplo, el polinomio 3x6y 5x4y3 + 10x2y5 2xy7 es de sexto grado res-

pecto a la literal x , pero de septimo grado respecto a y.Dos terminos son semejantes si tienen las mismas literales afectadas por los mis-

mos exponentes.Por ejemplo, (a) los terminos 3x2z y7x2z son semejantes, (b) los terminos 5xy3

y 5x3y no son semejantes puesto que el exponente de cada literal es distinto.Los terminos semejantes pueden ser sumados o restados, no as los terminos

que no son semejantes. A la operacion que tiene por objeto convertir en un solotermino dos o mas terminos semejantes se le da el nombre de reduccion de terminossemejantes.Ejemplo 2.1. Reducir los terminos semejantes de cada expresion algebraica dada.1. a2 + 3mn2+ 9a2 + 7mn2 = 8a2 + 10mn22. 1

2x3y2 +

14

x2y3 16 xy4 38x

2y3 +14

x3y2 =34

x3y2 18x2y3 16xy

4

2.4. Evaluacion de expresiones algebraicas

Se llama evaluacion al proceso de calcular el valor numerico de una expresion.El valor numerico de una expresion puede calcularse cuando a cada numero literalse le asigna un valor especfico.

Al evaluar una expresion algebraica se debe atender la siguiente jerarqua pararealizar las operaciones.

2.5 Adicion y sustraccion de polinomios 27

Jerarqua de las operaciones

1. Efectuar los calculos dentro de los signos de agrupacion.2. Multiplicar y dividir en orden de izquierda a derecha.3. Suma y resta en orden de izquierda a derecha.

Ejemplo 2.2. Hallar el valor numerico de 4a2bc+ 2a2bc3 5b para a = 1, b = 2,c = 3.

4a2bc+ 2a2bc3 5b = 4 12 2 3+ 2 12 2 33 5 2= 24+ 108 10= 122

Ejemplo 2.3. Hallar el valor numerico de 3a2

4 5ab

x+

bax

para a = 2, b= 13 , x =16 .

3a24 5ab

x+

bax

=3 22

4 5 2

13

16

+13

2 16= 3

10316+

1313

= 3 20+ 1=16

2.5. Adicion y sustraccion de polinomios

En aritmetica, la suma siempre significa aumento, pero en algebra la suma esun concepto mas general, pues puede significar aumento o disminucion, ya que haysumas algebraicas que equivale a una resta en aritmetica. La suma tiene por objetoreunir dos o mas expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresion alge-braica (suma).

Para sumar dos o mas expresiones algebraicas se escriben unas a continuacionde las otras con sus propios signos y se reducen los terminos semejantes.

Para restar dos polinomios se escribe el minuendo con sus propios signos y acontinuacion el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los terminossemejantes, si los hay.Ejemplo 2.4. Hallar la suma de 3m 2n+ p, 6m+ 3n 5 y m+ n+ 4p+ 3

La suma se indica anotando los sumandos dentro de parentesis:

(3m 2n+ p)+ (6m+ 3n 5)+ (m+ n+ 4p+ 3)

A continuacion se colocan todos los terminos de estos polinomios unos a continua-cion de los otros y se reducen los terminos semejantes.


3m 2n+ p+ 6m+3n 5m+n+4p+3= 8m+ 2n+ 5p2

En la practica se anotan los polinomios unos debajo de los otros de modo que losterminos semejantes queden en columna; y despues se hace la reduccion.

3m 2n + p6m + 3n 5m + n + 4p + 38m + 2n + 5p 2

Ejemplo 2.5. De 3x 2y+ z restar 2x+ y 3zLa sustraccion se indica anotando el sustraendo en un parentesis precedido de

un signo menos. Al sustraendo se le quitan los parentesis y al mismo tiempo se lecambian todos los signos a sus terminos. Se reducen terminos semejantes.

3x 2y+ z (2x+ y 3z) = 3x 2y+ z 2x y+3z= x 3y+ 4z

Al igual que en la adicion, la sustraccion puede hacerse por filas; primero el minuen-do y enseguida el sustraendo con todos sus signos cambiados sin olvidar escribirterminos semejantes en la misma columna.

+3x 2y + z2x y + 3z

x 3y + 4z

2.6. Signos de agrupacion

Los smbolos de agrupacion, como son los parentesis ( ), llaves { } y corche-tes [ ], se utilizan para senalar de una manera mas sencilla, mas de una operacion.

Cuando se escribe un polinomio dentro de un parentesis, se considera a este comouna sola cantidad.

Por ejemplo, la expresion a (b+ c) significa que la suma de b y c se va asustraer de a.

Eliminar o suprimir los smbolos de agrupacion significa efectuar las operacionesindicadas por ellos. Se eliminan los smbolos de uno en uno, empezando con el queeste situado mas adentro, siguiendo el orden propio de las operaciones a efectuar.

Ejemplo 2.6. Suprimir los smbolos de agrupacion y reducir terminos semejantes:4x2 +

[(x2 xy)+ (3y2 + 2xy) (3x2 + y2)]

2.7 Productos de monomios y polinomios 29

4x2 +[(x2 xy)+ (3y2 +2xy) (3x2 + y2)] = 4x2 + [x2 + xy3y2 +2xy3x2 y2]

= 4x2 x2 + xy3y2 +2xy3x2 y2=(4x2 x23x2)+(xy+2xy)+ (3y2 y2)

= 3xy4y2

Ejemplo 2.7. Eliminar los smbolos de agrupacion y reducir terminos semejantes:a+ b 2(a b)+ 3{ [2a+ b 3(a+ b 1)]} 3 [a+ 2(1+ a)]

a+ b 2(a b)+ 3{ [2a+ b 3(a+ b 1)]} 3 [a+ 2(1+ a)]=a+ b 2a+ 2b+3{ [2a+ b 3a3b+3]} 3 [a 2+ 2a]=a+ b 2a+ 2b+3{2a b+ 3a+3b3}+ 3a+ 6 6a=a+ b 2a+ 2b6a3b+9a+9b9+3a+66a= (a 2a 6a+9a+3a 6a)+ (b+ 2b 3b+9b)+ (9+ 6)=3a+ 9b 3

2.7. Productos de monomios y polinomios

Las propiedades de los numeros reales, incluyendo las leyes de los signos y lasleyes de los exponentes, se pueden utilizar para hallar el producto de dos o masmonomios, de un monomio y un polinomio, o bien, de dos polinomios. En los si-guientes ejemplos se muestra el procedimiento para llevar a cabo estos productos.

Ley de los exponentes: Para multiplicar potencias de la misma base se escribela misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores.Ejemplo 2.8. Hallar el producto de monomios 5x3y 2xy 7x2y2

5x3y 2xy 7x2y2 = 5 2 7 x3 x x2 y y y2 propiedad conmutativa= 70x3+1+2y1+1+2 se suman exponentes= 70x6y4 producto

Ejemplo 2.9. Hallar el producto de un monomio por un binomio (3xy2)(2xy+ y2)(3xy2

)(2xy+ y2

)= 3xy2 2xy+ 3xy2 y2 propiedad distributiva= 6x2y3 + 3xy4 se multiplican los monomios= 3xy4 + 6x2y3 se ordena el resultado

Ejemplo 2.10. Hallar el siguiente producto de los binomios (3x+ y)(4x 2y)


(3x+ y)(4x 2y) = 3x(4x 2y)+ y(4x 2y) (4x2y) se considera como un solo terminoy se aplica propiedad distributiva

= 12x2 6xy+ 4xy 2y2 se realizan los productos= 12x2 2xy 2y2 se simplifican terminos semejantes

Ejemplo 2.11. Hallar el siguiente producto de polinomios(x2 2xy+ 2y2)(2x2 + xy 2y2)

(x2 2xy+ 2y2)(2x2 + xy 2y2)

se aplica propiedad distributiva

= x2(2x2 + xy 2y2) 2xy(2x2 + xy 2y2)+ 2y2(2x2 + xy 2y2)

se realizan los productos

= 2x4 + x3y 2x2y2 4x3y 2x2y2 + 4xy3 + 4x2y2 + 2xy3 4y4se simplifican terminos semejantes

= 2x4 4y4 + 6xy3 3x3y

2.8. Division de polinomios

Definicion 2.2. Supongase que P y D son polinomios con el grado de P mayor queel grado de D, y D 6= 0. Entonces existe un polinomio Q, denominado cociente, y unpolinomio R, denominado residuo, tales que P = D Q+R donde R tiene un gradomenor que el divisor D, o bien puede ser cero.

Algoritmo para la division de polinomios

1. Disponga los terminos en P y D en potencias decrecientes de la variable. Si alguncoeficiente en P es cero, deje un espacio o inserte un cero.

2. Divida el primer termino en P entre el primer termino en D para obtener el primertermino del cociente Q.

3. Multiplique D por el primer termino del cociente y sustraiga este producto de P.4. Dejando el divisor sin cambios, tome el resultado del paso 3 como el nuevo P y

luego repita los pasos 2 y 3.5. Continue este proceso hasta obtener un residuo cuyo grado sea menor que el de

D.

2.9 Ejercicios 31

Ejemplo 2.12. Halle el cociente y el residuo, si 6x2 + 5x 1 se divide entre 2x 1.3x + 4 6x2/2x = 3x y 8x/2x = 4

2x 1 6x2 + 5x - 16x2 - 3x = (2x1)3x se resta

8x - 18x - 4 = (2x1)4 se resta

3

El resultado de la division debe escribirse como:

6x2 + 5x 12x 1 = 3x+ 4+

32x 1

Ejemplo 2.13. Divida 6x4 6x2 3+ 8x x3 entre 2+ 2x2+ x.3x2 - 2x + 1 6x4/2x2 = 3x2

2x2 + x 2 6x4 - x3 - 6x2 + 8x - 3 4x3/2x2 =2x y 2x2/2x2 = 16x4 + 3x3 - 6x2 = (2x2 + x2)3x2

- 4x3 + 8x - 3 se resta- 4x3 - 2x2 + 4x =

(2x2 + x2)(2x)

2x2 + 4x - 3 se resta2x2 + x - 2 =

(2x2 + x2)(+1)

3x - 1 se resta

El resultado de la division debe escribirse como:

6x4 x3 6x2 + 8x 32x2 + x 2 = 3x

2 2x+ 1+ 3x 12x2 + x 2

2.9. Ejercicios

1. Determine el grado absoluto de los terminos siguientes:

1) 5a 2) 3ab3 3) 12xy2 4) 23x3y2 5) 34xyz2

2. Determinar el grado de cada polinomio respecto a la literal indicada.

1) a 2a2b+ 6ab3 5b respecto a la letra a.2) 2a2b+ 6ab3 5b respecto a la letra b.3) 5a3b2 + 63a2b3 b5 respecto a la letra a.4) 5a3b2 + 63a2b3 b5 respecto a la letra b.5) abcx5 2ax7+ 14a3bc2x respecto a la letra a.6) abcx5 2ax7+ 14a3bc2x respecto a la letra x.

3. Determinar el grado absoluto de cada uno de los siguientes polinomios.


1) 2a5b3 + 2a2b3 + 3b62) 5a3b2 +3a2b3 4b53) abcx5 2ax7+ 14a3bc2x

4. Escribir un polinomio que satisfaga las caractersticas dadas en cada inciso.

1) Trinomio de tercer grado absoluto.2) Binomio de quinto grado absoluto.3) De quinto grado respecto a la letra a.4) De tercer grado respecto a la letra x.

5. Ordenar los siguientes polinomios respecto a cualquier letra en orden ascendentey, luego, en orden descendente.

1) 2y4 + 4y5 6y+ 2y2+ 5y32) y12 4x9y6 + x12y4 + 5x3y103) 3m15n2 + 14m12n3 8m6n5 + 10m3n6 + n7 7m9n4 +m18n

6. Reducir los polinomios con terminos semejantes de la misma clase:

1) 12

a+12

a

2) 3ax1 ax13) 56a

2b 18a2b

4) 13 xy+16 xy

5) 0.5m+ 0.6m+ 0.7m0.8m6) mx+1 + 3mx+1 + 4mx+1 + 6mx+17) 13ab

16ab

12

ab 112

ab 19 ab8) 25ma1 32ma1+ 16ma19) 24ax+2 15ax+2+ 39ax+2

10) 35m+14

m 12

m

7. Reducir los polinomios con terminos semejantes de distinta clase:

1) 12

a+23b 3a+

12

a 2b2) 5x 11y 9+ 20x1 y3) a+ b c+ 8+2a+2b192c3a33b+3c4) 10 x4y x3y2 y3 + x2y+ x3y2 x2y 4y3+ 7x3y2 8x4y+ 21x4y 505) 3

25am1 750b

m2 +35 a

m1 125b

m2 0.2am1+ 15bm2

6) 0.3a+ 0.4b+ 0.5c0.6a0.7b0.9c+3a3b3c7) 0.4x2y+ 31+ 38 xy

2 0.6y3 25 x2y 0.2xy2+ 1

4y3 6

8. Hallar el valor numerico de las expresiones siguientes para a = 1, b = 2, c = 3,d = 4, m = 1

2, n =

23 , p =

14

, x = 0

2.9 Ejercicios 33

1) a 2b+ c2) a 4b+ 3c 7d3) c (2a d)4) 2c 2(3a 2b)5) 3b b(3 d)6) 5ad+ 4bc

ac

7) a+ 2bc d

8) 4d2

2+

16n22

1

9) a+ bc

b+md10)

4b+

3a3

6m6

11) x+m(ab + dc ca)12)

(8m9n +

16pb

)a

13) (2m+ 3n)(4p+ b2)14) 2mx+ 6(b2 + c2) 4d215) b2 +

(1a+

1b

)+

(1b +

1c

)+

(1n+

1m

)29. Hallar la suma de los siguientes polinomios:

1) 4x 3y, 2x 6y2) 7a+ 7b,3a 4b3) x 3y, 6x 3y,x+ 2y4) 2x 3y+ z, 2y x, 3y 2z 3x5) 5ab 2a+ b, ab+ 2a 3, 5a ab6) 10b+ 5bc 6c, 7bc 4b+ c, 9c 8bc7) 8xy 2yz, 2xy z+ 6yz, 9yz 7yx 3z8) ax+2 ax + ax+1, 3ax+3 ax1 + ax+2, ax + 4ax+3 5ax+29) m3 n3 + 6m2n, 4m2n+ 5mn2+ n3, m3 n3+ 6mn2, 2m3 2m2n+ n3

10) 23 a2 +

15ab

12

b2, 56a2 1

10ab+16b

2,

13 a

2 35ab+14

b2

10. Hallar la resta indicada:

1) De a+ b restar a b2) De 8a+ b restar 3a+ 43) De a+ b+ c d restar a b+ c d4) De y5 9y3 + 6y2 31 restar 11y4+ 31y3 8y2 19y5) De mn+1 6mn2 + 8mn3 19mn5 restar 8mn + 5mn2 + 6mn3 +mn4 +

9mn56) Restar x+ y z de x+ 3y 6z7) Restar m2 n2 3mn de 5m2 n2 + 6mn


11. Que debe sumarse al primer polinomio para obtener el segundo?1) 6x 7y 10,8x+ 13y 62) 7x 6y 17, 3x+ y 183) 5x y 4x, 0

12. Efectuar las operaciones indicadas:

1) Sustraer la suma de 5x+ 6y 8 y 7y 2x 3 de la suma de 6x 2y+ 1 y5x+ 7y 9.

2) Sustraer la suma de 8x 7y 4 y 7x 4y+ 5 de la suma de 4x 5y 9 y7x+ 9y 15.

3) De la suma de 3ab+9c y 2a+3b5c sustraer la suma de 3a+14b2c ya 2b+ c.

13. Elimine los smbolos de agrupacion y reduzca terminos semejantes:

1) 3a+(4 2a)2) 7a (a+ 7)3) 5x (1 3x)4) 6 3(2x 1)5) (2x 3y) 4(x 5y)6) 2(5x 4y) (7x+ y)7) 8(2a b) 4(b a)8) 3a (2b+ 3a)+ (b+ a)

9) 12x (12 5x)+ 2(3x 4)10) 2x+[y (x y)]11) 9y+[3x (y+ 4x)]12) a [7 3(4 a)]13) 4x [9 4(3 x)]14) x [3x+(4 x)] [8 3(x 2)]15) 3y [x 2(3x y)] [2y (x+ 3y)]16) 6+ 4 [x (2x+ 3)] [7+ 3(x 2)]

17) 8 3 [8+ 4(x 4)] [2x 3(2x 3)]18) 2x{5y [2x y+(x y)]}19) 10+ {x [y+(x 3) (y 6)]}20) 2a{2b+[4 (3a 2b)+ (6a b)]}

14. Halle los productos indicados en cada uno de los siguientes problemas:

1) (2x2y3)(3xy2)2) (5x4y3)(3x2y2)3) (7xy4)(2x2y)4) (4x2y3)(3x5y2)5) (2x3)26) (3x2)47) (4x5)38) (5x2)39) 2x2y(3xy3 5x2y4)

10) 3x3y(2xy2 4x2y)11) 4x2y3 (2xy3 3x2y)12) 5xy4 (2x2y3 5xy2)13) 2x2y3 (3xy2 2x2y)14) 3xy2y(2x2y3 5x3y)15) 5x3y4 (2xy2 4x3y)16) 7x2y4 (3x3y2 2x5y3)17) 2x2y(3y 2x) 3xy2 (2x y)18) 3xy(2x+ 3x2y) 2x2y(4 xy)

19) 5xy3 (2x2y 3xy3) 4x2y(2xy3 7y5)20) 7x2y(2xy3 3x2y2) 4xy3(3x2y 5x3)

15. Desarrolle cada uno de los siguientes productos y simplifique el resultado:

2.9 Ejercicios 35

1) (3x+ 2y)(2x 3y)2) (4x 3y)(2x+ 3y)3) (5x 3y)(3x 2y)4) (7x 4y)(2x 5y)5) (4x 7)(3x 4)6) (6x 5)(3x 8)7) (5x+ 4)(4x 5)8) (2x 7)(7x+ 2)9) (3x+ 5)(2x2 3x 5)

10) (4x+ 1)(3x2 + 4x 1)

11) (4x2 2x+ 7)(2x2 + 3x 2)12) (5x2 + 2x 3)(x2 3x 3)13) (2x 3y)(3x2 + 2xy y2)14) (3x+ 7y)(3x2 4xy+ 2y2)15) (4x 3y)(2x2 + 5xy 3y2)16) (5x y)(3x2 3xy+ 2y2)17) (2x2 + 3xy 3y2)(x2 3xy+ 2y2)18) (2x2 xy+ 3y2)(3x2 xy 2y2)19) (5x2 + 2xy+ y2)(2x2 xy+ 3y2)20) (x2 3xy+ 2y2)(x2 + 3xy y2)

16. En los siguientes ejercicios, halle el cociente y el residuo, si se divide la primeraexpresion entre la segunda:

1) 6x3 + 5x2 4x+ 4, 2x+ 32) 6x3 5x2 + 7x 1, 3x 13) 10x3 + x2 8x+ 2, 2x+ 14) 15x3 8x2 6x+ 9, 5x+ 45) 4x3 2x+ 3, 2x 16) 4x3 x+ 11, 2x+ 37) 6x3 22x+ 9, 2x 48) 8x3 + 10x+ 1, 4x+ 29) 2x4 + 3x3 + 9x 7, x2 + 2x 1

10) 2x4 + 7x3 + 2x 1, x2 + 3x 111) 3x4 4x2 + 8x+ 3, 3x2 + 6x+ 212) 6x4 + 13x3 + 15x 6, 2x2 x+ 213) 6x4 + x3 + x2 7x 9, 3x+ 214) 3x4 7x3 7x2 + 5x 7, x 315) 4x4 11x2 + x+ 2, 2x+ 316) 3x4 + 11x3 7x 2, 3x+ 217) 6x3 + x2 11x 6, 3x+ 218) 10x3 + 33x2+ 14x 15, 2x+ 519) 6x4 5x3 8x2 x 6, 2x 320) 10x4 + 11x3 26x2 + 23x 6, 5x 221) x5 5x4y+ 20x2y3 16xy4, x2 2xy 8y222) 22x2y4 5x4y2 + x5y 40xy5, x2y 2xy2 10y323) 24x5 52x4y+ 38x3y2 33x2y3 26xy4+ 4y5, 8x3 12x2y 6xy2+ y324) x3 + y3 + z3 3xyz, x2 + y2 + z2 xy xz yz25) x5 + y5, x4 x3y+ x2y2 xy3 + y4

Captulo 3Productos notables y factorizacion

3.1. Productos notables

Definicion 3.1. Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglasfijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccion, es decir, sin verificarla multiplicacion.

3.1.1. El cuadrado de un binomio

La regla para efectuar este producto notable es la siguiente:

El cuadrado del primer termino mas el doble producto del primer termino por el segundomas el cuadrado del segundo termino.

La formula de este producto notable es:

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 (3.1)

Debe identificarse adecuadamente el signo de cada termino del binomio, paradesarrollar correctamente el producto notable.

Ejemplo 3.1. Desarrolle el producto notable (3x+ 2)2 por simple inspeccion.

(3x+ 2)2 si a = 3x y b = 2, entonces:(3x+ 2)2 = (3x)2 + 2(3x) (2)+ (2)2 simplificando

= 9x2 + 12x+ 4

Ejemplo 3.2. Desarrolle el producto notable (4 2y2)2 por simple inspeccion.

37

38 3 Productos notables y factorizacion(4 2y2)2 si a = 4 y b =2y2, entonces:(4 2y2)2 = (4)2 + 2(4)(2y2)+ (2y2)2 simplificando y ordenando en y

= 4y4 16y2+ 16

3.1.2. El cubo de un binomio

La regla para elevar un binomio al cubo es la siguiente:

El cubo del primer termino, mas el triple producto del cuadrado del primero por el se-gundo, mas el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, mas el cubo delsegundo.


(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2+ b3 (3.2)

Debe identificarse adecuadamente el signo de cada termino del binomio, paradesarrollar correctamente el producto notable.

Ejemplo 3.3. Desarrolle el producto notable (2x+ y)3 por simple inspeccion.

(2x+ y)3 si a = 2x y b = y, entonces:(2x+ y)3 = (2x)3 + 3(2x)2 (y)+ 3(2x)(y)2 +(y)3

simplificando y ordenando en x

= 8x3 + 12x2y+ 6xy2+ y3

Ejemplo 3.4. Desarrolle el producto notable (x2 2y)3 por simple inspeccion.(x2 2y)3 si a = x2 y b =2y, entonces:(x2 2y)3 = (x2)3 + 3(x2)2 (2y)+ 3(x2)(2y)2 +(2y)3

simplificando y ordenando en x

= x6 6x4y+ 12x2y2 8y3

3.1.3. Producto de binomios conjugados

La regla para este tipo de productos es la siguiente:

El cuadrado del primer termino, menos el cuadrado del segundo termino.


3.1 Productos notables 39

(a+ b)(a b) = a2 b2

Ejemplo 3.5. Desarrolle el producto notable (5x+ 3y)(5x 3y) por simple inspec-cion.

(5x+ 3y)(5x 3y) si a = 5x y b = 3y, entonces:(5x+ 3y)(5x 3y) = (5x)2 (3y)2 simplificando

= 25x2 9y2

Ejemplo 3.6. Desarrolle el producto notable (3mn+ 4)(3mn 4) por simple inspec-cion.

(3mn+ 4)(3mn 4) si a = 3mn y b = 4, entonces:(3mn+ 4)(3mn 4) = (3mn)2 (4)2 simplificando

= 9m2n2 16

3.1.4. Producto de binomios con un termino comun

La regla para este tipo de productos es la siguiente:

El cuadrado del termino comun, mas la suma algebraica de los terminos no comunesmultiplicada esta por el termino comun, mas el producto de los terminos no comunes.

La formula es la siguiente:

(a+ b)(a+ c) = a2 +(b+ c)a+ bc

Ejemplo 3.7. Desarrolle el producto notable (x 3y)(x+ y) por simple inspeccion.

(x 3y)(x+ y) si a = x, b =3y y c = y, entonces:(x 3y)(x+ y) = (x)2 +(3y+ y)x+(3y)(y) simplificando

= x2 2xy 3y2

Ejemplo 3.8. Desarrolle el producto notable (5w 4)(5w+ 2) por simple inspec-cion.

(5w 4)(5w+ 2) si a = 5w, b =4 y c = 2, entonces:(5w 4)(5w+ 2) = (5w)2 +(4+ 2)5w+(4)(2) simplificando

= 25w2 10w 8

40 3 Productos notables y factorizacion

3.2. Factorizacion

Definicion 3.2. Factorizar o descomponer en factores una expresion algebraica esconvertirla en el producto indicado de sus factores.

No todos los polinomios se pueden descomponer en dos o mas factores.

3.2.1. Factor comun de un polinomio

Definicion 3.3. El maximo comun divisor (MCD) de dos o mas expresiones alge-braicas, es la expresion algebraica de mayor coeficiente numerico y de mayor gradoque esta contenida exactamente en cada una de ellas.

Esta factorizacion consiste en determinar el MCD de los terminos de un polino-mio. El MCD nos sirve para factorizar el polinomio como un producto de su MCD yotro polinomio mas sencillo que el original.

Ejemplo 3.9. Factorizar la expresion algebraica 20a3b2 45a2b5.El MCD de 20 y 45 es 5.El MCD de a3 y a2 es a2.El MCD de b2 y b5 es b2.El MCD de 20a3b2 45a2b5 es 5a2b2, entonces la factorizacion queda como:

20a3b2 45a2b5 = 5a2b2 (4a 9b3)

3.2.2. Factorizacion por agrupamiento

A menudo, los terminos en un polinomio se pueden se pueden agrupar en talforma que cada grupo tiene un factor comun. Para factorizar esos polinomios, secomienza agrupando aquellos terminos que tengan un factor comun y luego se aplicala ley distributiva para completar la factorizacion.

Ejemplo 3.10. Factorizar la expresion algebraica ax+ bx ay by.Los dos primeros terminos tienen el factor comun x y los dos ultimos tienen el

factor comun y. Por tanto, se agrupan el primero y el segundo terminos, as comolos dos ultimos, obteniendose

ax+ bx ay by = (ax+ bx) (ay+ by)= x(a+ b) y(a+ b)= (a+ b)(x y)

3.2 Factorizacion 41

Ejemplo 3.11. Factorizar la expresion algebraica 8xz 4xy 14z+ 7y.Los dos primeros terminos tienen el factor comun 4x y los dos ultimos tienen el

factor comun7. Por tanto, se agrupan el primero y el segundo terminos, as comolos dos ultimos, obteniendose

8xz 4xy 14z+ 7y = (8xz 4xy)+ (14z+ 7y)= 4x(2z y) 7(2z y)= (4x 7)(2z y)

3.2.3. Factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad. Paraextraer la raz cuadrada de un monomio se extrae la raz cuadrada de su coeficientey se divide el exponente de cada letra por 2.

Un trinomio es cuadrado perfecto (TCP) cuando es el cuadrado de un binomio.Ejemplo 3.12. 4x2 + 12xy+ 9y2 es un TCP puesto que

(2x+ 3y)2 = 4x2 + 12xy+ 9y2

Para conocer si un trinomio ordenado con respecto a una letra es TCP, primerose verifica si el primero y tercero terminos son cuadrados perfectos y positivos, y elsegundo termino es el doble producto de sus races cuadradas.

Regla para factorizar un TCP

Se extrae la raz cuadrada al primero y tercer terminos del trinomio y se sepa-ran estas races por el signo del segundo termino. El binomio obtenido se eleva alcuadrado.

Ejemplo 3.13. Factorizar el trinomio m2 + 2m+ 1.Se comprueba si es TCP:La raz cuadrada de m2 es m y la raz cuadrada de 1 es 1. El doble producto de m

y 1 es 2m. Por lo tanto m2 + 2m+ 1 si es un TCP.A continuacion se aplica la regla y se obtiene:

m2 + 2m+ 1= (m+ 1)2

Ejemplo 3.14. Factorizar el trinomio x2 + bx+ b2

4.

Se comprueba si es TCP:


La raz cuadrada de x2 es x y la raz cuadrada de b2

4es

b2

. El doble producto de x

yb2

es bx. Por lo tanto x2 + bx+ b2

4si es un TCP.

A continuacion se aplica la regla y se obtiene:

x2 + bx+ b2

4=

(x+

b2

)2

3.2.4. Factorizacion de una diferencia de cuadrados perfectos

En la seccion 3.1.3 se desarrollo el producto notable (a+ b)(a b)= a2b2 y demanera recproca se puede enunciar la siguiente regla para factorizar una diferenciade cuadrados.

Se extrae la raz cuadrada al minuendo y al sustraendo, a continuacion se escribe el pro-ducto de la suma por la diferencia entre la raz del minuendo y la del sustraendo.

Ejemplo 3.15. Factorizar la diferencia de cuadrados z2 9.La raz cuadrada de z2 es z y la raz cuadrada de 9 es 3. A continuacion se es-

cribe el producto de la suma por la diferencia entre la raz del minuendo y la delsustraendo.

z2 9 = (z+ 3)(z 3)

Ejemplo 3.16. Factorizar la diferencia de cuadrados 4x2 (x+ y)2.La raz cuadrada de 4x2 es 2x y la raz cuadrada de (x+ y)2es (x+ y). A continua-

cion se escribe el producto de la suma por la diferencia entre la raz del minuendo yla del sustraendo.

4x2 (x+ y)2 = [2x+(x+ y)] [2x (x+ y)]= (3x+ y)(x y)

3.2.5. Factorizacion de un trinomio, completandolo a trinomiocuadrado perfecto

Si al intentar factorizar un trinomio, se comprueba que no es trinomio cuadradoperfecto, puede completarse a trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando laexpresion algebraica necesaria, lo que permitira su posterior factorizacion.

Ejemplo 3.17. Factorizar el trinomio x4 + x2y2 + y4.Puede observarse que no es TCP ya que el segundo termino del trinomio, no es

equivalente al doble producto de la raz del primer termino con la raz del tercertermino.

3.2 Factorizacion 43

x2y2 6= 2(x2)(y2)Para completar el TCP, es necesario sumar y restar al trinomio, en este caso x2y2:

x4 + x2y2 + y4 = x4 + x2y2 + y4 + x2y2 x2y2= x4 + 2x2y2 + y4

TCP

x2y2

=(x2 + y2

)2 x2y2 diferencia de cuadrados perfectos

=(x2 + y2 + x2y2

)(x2 + y2 x2y2)

3.2.6. Factorizacion de un trinomio de la forma ax2 +bx+ c

Ahora se buscaran los factores del polinomio ax2 + bx+ c que tengan la forma

(px+ q)(rx+ s)

y se supondra que todos los coeficientes son enteros. Para lograr esto en forma efi-ciente, es util escribir los factores de a por pares y los factores de c por pares, yaque debera cumplirse que pr = a, qs = c y (ps+ qr) = b.

Tambien es util conocer el patron de signos ya que de esa manera se eliminanalgunas de las posibilidades. Ademas, se puede suponer que a > 0, ya que siem-pre es posible, si se requiere, factorizar un 1. Por ejemplo, 5x2 + 8x + 4 =(5x2 8x 4)

Si c > 0, los signos en cada uno de los factores de ax2 + bx+ c deben ser seme-jantes:

(+)(+) si b > 0()() si b < 0

Sin embargo, si c < 0, los signos en cada factor deben ser diferentes:

(+)()o ()(+)

Ejemplo 3.18. Factorice el trinomio x2 + 5x+ 6.Se deben escribir dos factores de la forma

(x+ b

)(x+ b

), ya que b = 5 y

c = 6 son positivos.Se buscan las posibles factorizaciones de c = 6 1 6 y 2 3De estos factores se buscan aquellos cuya suma sea igual a b, o sea 5. Estos

numeros son: 2 y 3.


Se completa la factorizacion, escribiendo en cada espacio los numeros encontra-dos.

x2 + 5x+ 6= (x+ 3)(x+ 2)

Ejemplo 3.19. Factorice el trinomio x2 + 5x 14.Se deben escribir dos factores de la forma

(x+ b

)(x b

), ya que b = 5 y

c =14.Se buscan las posibles factorizaciones de 14 1 14 y 2 7.Por prueba y error se concluye que

x2 + 5x 14= (x+ 7)(x 2)

ya que 7 2 = 5 = b y (7)(2) =14.Ejemplo 3.20. Factorice el trinomio 15x2 + 11x 12.

Como c = 12 es negativo, el arreglo de los signos debe ser (+)(). Observeque 15 es 1 15 o 3 5, mientras que 12 es 1 12 o 2 6 o 3 4. Al intentar diversasposibilidades se ve que la factorizacion real es

15x2 + 11x 12= (3x+ 4)(5x 3)

Es conveniente poder determinar si un trinomio cuadratico es factorizable sinconocer los factores. Mas adelante, al trabajar con la formula cuadratica, se mos-trara que, si a, b y c son enteros, ax2+bx+c es factorizable con coeficientes enterossi y solo si b2 4ac es un cuadrado perfecto.

En el ejemplo 3.18, a = 1, b = 5 y c = 6, por lo queb2 4ac = 52 4 1 6= 25 24= 1

y 1 es un cuadrado perfecto.En el ejemplo 3.19, a = 1, b = 5 y c =14, por lo que

b2 4ac = 52 4 1 (14) = 25+ 56= 81

y 81 es un cuadrado perfecto, su raz es 9.En el ejemplo 3.20, a = 15,b = 11 y c =12, por lo que

b2 4ac = (11)2 4 15 (12) = 121+ 720= 841

y 841 es un cuadrado perfecto, su raz es 29.

Ejemplo 3.21. Es factorizable el trinomio 7x2 12x+ 4?a= 7, b =12 y c = 4, por lo que b24ac= (12)24 7 (4) = 144112= 32

y

32 no es exacta, por lo que 32 no es cuadrado perfecto y el trinomio no esfactorizable con coeficientes enteros.

3.3 Ejercicios 45

3.2.7. Factorizacion de un polinomio por el metodo de evaluacion(division sintetica)

Cuando un polinomio entero y racional en x se anula para x = a, entonces elpolinomio es divisible por xa. Este principio se aplica para la factorizacion de unpolinomio por el metodo de evaluacion.

Ejemplo 3.22. Factorizar completamente por evaluacion, si es posible, el polinomiox3 + 2x2 x 2.

Los valores a evaluar en x son los factores del termino independiente2 que son:1, 1, 2 y 2. Si el polinomio se anula para alguno de esos valores, el polinomiosera divisible por x menos ese valor. Mediante division sintetica se tiene:

coeficientes del polinomio 1 2 1 2 11 1 = 1 3 1 = 3 2 1 = 2

1 3 2 0 residuo

El residuo es cero, lo que significa que el polinomio dado, se anula para x = 1,entonces es divisible por (x 1);

x3 + 2x2 x 2 = (x 1) (x2 + 3x+ 2) trinomio ax2+bx+c

= (x 1)(x+ 1)(x+ 2)

3.3. Ejercicios

1. Escribir, por simple inspeccion, el resultado de:

1) (x+ 2)22) (x+ 2)(x+ 3)3) (x+ 1)(x 1)4) (x 1)25) (n+ 3)(n+ 5)6) (m+ 3)(m 3)7) (a+ b 1)(a+ b+ 1)8) (1+ b)39) (a2 + 4)(a2 4)

10) (3ab 5x2)211) (ab+ 3)(3 ab)12) (1 4ax)213) (a2 + 8)(a2 7)

14) (x+ y+ 1)(x y 1)15) (1 a)(a+ 1)16) (m 8)(m+ 12)17) (x2 1)(x2 + 3)18) (x3 + 6)(x3 8)19) (5x3 + 6m4)220) (x4 2)(x4 + 5)21) (1 a+ b)(b a 1)22) (ax + bn) (ax bn)23) (xa+1 8)(xa+1 + 9)24) (a2b2 + c2)(a2b2 c2)25) (2a+ x)326) (x2 11)(x2 2)


27) (2a3 5b4)228) (a3 + 12)(a3 15)29) (m2m+ n)(n+m+m2)30) (x4 + 7)(x4 11)

31) (11 ab)232) (x2y3 8)(x2y3 + 6)33) (a+ b)(a b)(a2 b2)34) (x+ 1)(x 1)(x2 2)35) (a+ 3)(a2 + 9)(a 3)

2. Factorice completamente la expresion o, en su defecto, diga por que no puede serfactorizada.

1) 14x2 42xy2) 3x3 6x2 + 9x3) 9x4 16x64) 4x2 12x+ 9 25y25) x4 81y46) x2 14x+ 497) 12x4 13x3+ 3x28) 12x2 13x 39) xy 3x+ 2y 6

10) x4 10x2+ 1611) x4 (4x 5)212) 14x2 43x 2113) 14x2 + 53x 3614) 2(3x 5)2 + 5(3x 5) 315) 9(x2 + 1)4 16x216) 2ac 3bc 6ad+ 9bd17) 4x4 + 11x2 + 2518) 6x4 + 13x2 519) bx5 by1020) 9x2 24x+ 1621) 12x2 13x 422) 12x2 13x23) x3 y3 x2 + y224) x4 22x2+ 925) 3x2 + 2x 126) 15x2 4x 3227) x2 3628) 16x2 + 8xy5 +

y2

25

29) x2

4 y

6

8130) 1 49a

8

31) x6 4x3 48032) ax bx+ b aby+ay33) n2 + n 4234) 100x4y6 121m435) a2m2 9n2 6mn+ 4ab+4b236) x8 + 3x4 + 437) x4 6x2 + 138) 16m4 25m2n2 + 9n439) 36x4 109x2y2 + 49y440) 4a8 53a4b4 + 49b841) 49x8 + 76x4y4 + 100y842) 16 9c4+ c843) 225+ 5m2+m444) 49c8 + 75c4m2n2 + 196m4n445) 81a4b8 292a2b4x8 + 256x1646) m3 12m+ 1647) x3 + 2x2 + x+ 248) 6x3 + 23x2+ 9x 1849) a4 15a2 10a+ 2450) 8a4 18a3 75a2+ 46a+ 12051) x5 21x3 + 16x2 + 108x 14452) n5 30n3 25n2 36n 18053) 2a5 8a4 + 3a 1254) a6 32a4 + 18a3+ 247a2 162a

36055) a6 8a5 + 6a4 + 103a3 344a2 +

396a 144

Captulo 4Fracciones Algebraicas

4.1. Principio fundamental de las fracciones

Las fracciones algebraicas representan numeros reales y, por lo tanto, se puedensumar, restar, multiplicar y dividir. Una expresion fraccionaria es un cociente deexpresiones algebraicas.

Antes de definir las operaciones con fracciones algebraicas recordemos algunosfundamentos de las fracciones.

Puesto que las fracciones algebraicas representan numeros reales las propiedadesque se aplican a las fracciones son las mismas y, ademas se incluyen algunas nuevas.

Para todos los numeros reales a, b, c y d con b 6= 0 y d 6= 0;1) Fracciones equivalentes

a

b =c

d si y solo si ad = bc

2) Principio fundamental de las fraccionesakbk =

a

b para toda k 6= 0

3) Signos de las fraccionesa

b =ab =

ab =

a

bab =

ab =

a

b = ab

Se debe recordar que la division entre cero no esta definida.Hay tres tipos de signos que se asocian a una fraccion. Son el signo que precede

al numerador, el signo que precede al denominador y el signo que precede a lafraccion. Si se cambian dos signo cualesquiera, la nueva fraccion es equivalente.

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48 4 Fracciones Algebraicas

4.2. Simplificacion de fracciones algebraicas

El principio fundamental se puede usar en dos formas. Una fraccion se puedesimplificar eliminando un factor comun tanto del numerador como del denomina-dor. A esto se le llama cancelar, simplificar, o reducir. Por otra parte, en muchassituaciones es preferible introducir un factor comun, mediante la multiplicacion, enel numerador y en el denominador.

Una fraccion esta en su mnima expresion, si el numerador y el denominadorno tienen, a excepcion del 1, factores comunes. El principio fundamental se puedeemplear para reducir una fraccion a su mnima expresion eliminando los factorescomunes, no los terminos comunes que se sumen. Esto ultimo lo podemos ver en elejemplo 4.1.Ejemplo 4.1.

a+ b+ ca+ b+ d 6=

c

d pero(a+ b)c(a+ b)d =

c

d

Ejemplo 4.2. Simplifique la fraccion dada a su mnima expresion

1. a2 + aba+ b

2. x2 + 5x+ 6

x2 + 3x+ 2

3. 3xy+ 6y2

x 2y4. 3x

3 3xy2x2y xy2

1. Se obtiene factor comun a y el factor (a+ b) se cancela.

a2 + aba+ b =

a(a+ b)a+ b = a

2. Se factoriza numerador y denominador y se elimina el factor (x+ 2).

x2 + 5x+ 6x2 + 3x+ 2 =

(x+ 2)(x+ 3)(x+ 2)(x+ 1)

=x+ 3x+ 1

3. Se obtiene factor comun 3y y el factor (x 2y) se cancela.

3xy+ 6y2x 2y =

3y(x 2y)x 2y =3y

4. Se factoriza numerador y denominador y se eliminan los factores x y (x y).

3x3 3xy2x2y xy2 =

3x(x2 y2)

xy(x y) =3x(x+ y)(x y)

xy(x y) =3(x+ y)

y

4.3 Multiplicacion y division de fracciones algebraicas 49

4.3. Multiplicacion y division de fracciones algebraicas

Si a/b y c/d son dos fracciones en las que b y d son diferentes de cero, suproducto es

a

b c

d =ac

bdEl producto de dos o mas fracciones dadas es una fraccion cuyo numerador es

igual al producto de los numeradores de las fracciones dadas, y cuyo denominadores igual al producto de los denominadores de las fracciones dadas.

Ejemplo 4.3. Calcule el producto indicado.

1. 3xy2a

6ab3xz 5z210b2x

2. a+ 1a+ 2

a2 4

a2 + 4a+ 3 a2 9

a2 4a+ 41. Multiplicando en forma directa y cancelando se obtiene:

3xy2a

6ab3xz 5z210b2x =

90xyabz260ax2zb2 =

3yz2xb

2. Primero se factoriza y luego se cancelan factores iguales:

a+ 1a+ 2

a2 4

a2 + 4a+ 3 a2 9

a2 4a+ 4 =a+ 1a+ 2

(a 2)(a+ 2)(a+ 1)(a+ 3)

(a+ 3)(a 3)(a 2)(a 2)

=a 3a 2

Para dividir a/b entre c/d se escribe

a

bc

d=

a

b dc

c

d dc

=

a

b dc

1=

a

b dc

Para hallar el cociente de dos fracciones, se multiplica el numerador por el recprocodel denominador.

Ejemplo 4.4. Calcule el cociente indicado.

1. 2ab3x 2a3xy

2. a3 + 3a2

a2 9 a2 + 2a

a2 5a+ 6

1. Sabiendo queabcd=

a

b dc

la division se puede escribir como:

50 4 Fracciones Algebraicas

2ab3x

2a3xy =

2ab3x

3xy2a

multiplicando directamente y simplificando

=6abxy6ax = by

2.

se transforma el cociente en un productoa3 + 3a2

a2 9 a2 + 2a

a2 5a+ 6 =a3 + 3a2

a2 9 a2 5a+ 6

a2 + 2ase factoriza y simplifica

=a a(a+ 3)

(a+ 3)(a 3) (a 3)(a 2)

a(a+ 2)=

a(a 2)a+ 2

4.4. Adicion y sustraccion de fracciones algebraicas

Al sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo denominador, simplementese reescribe el denominador y se suman o restan los numeradores, segun el caso.

Por ejemplo,a

d +bd =

a+ bd y

a

d bd =

a bd

Si los denominadores de las fracciones que se van a sumar no son iguales, pri-mero se cambian las fracciones originales por fracciones equivalentes con el mismodenominador, y luego se suman como se acaba de indicar en el caso anterior.

Definicion 4.1. El mnimo comun multiplo MCM (tambien conocido como mnimocomun denominador) de dos o mas expresiones algebraicas, es la expresion alge-braica de menor coeficiente numerico y de menor grado, que es divisible exacta-mente por cada una de las

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