& INTRODUCCIÓNEn una célula haploide humana hay aproximadamente 3.000.000.000 de pares debases de ADN que conforman su genoma. Si se aísla el ADN de esa célula pesaráaproximadamente 0,0000000000035 gramos (g). Para amplificar un fragmentodeterminado del ADN purificado, utilizando la técnica de la reacción en cadena dela polimerasa (PCR), es necesario añadir 0,00000000001moles de cada uno de losdos cebadores a la mezcla de reacción, que dará lugar, tras 30 ciclos de PCR, a másde 1.000.000.000 de copias del fragmento seleccionado.

En el trabajo del día a día, los biólogos moleculares trabajan con números ymagnitudes que están muy lejos de las magnitudes de la vida convencional. Parafacilitar el cálculo con estos valores extremos, se han desarrollado dos métodos,que permiten transformar en manejables magnitudes enormes e infinitesimales.Estos métodos utilizan la notación científica y los prefijos métricos. Para ello serequiere la utilización de exponentes y entender los que son los dígitossignificativos.

1.1 DÍGITOS SIGNIFICATIVOSDeterminadas técnicas en biología molecular, así como en otras disciplinas de laciencia, se basan en la utilización de instrumentos que son capaces de dar medi-ciones muy precisas. Una indicación de ese nivel de precisión lo aporta el númerode dígitos que se muestra en la pantalla del instrumento. Las cifras de unamedición que representan los límites reales de precisión se denominan dígitossignificativos.

Aunque un cero puede ser un valor tan legítimo como los números enteros deluno al nueve, los dígitos significativos son por lo general diferentes a cero. Sininformación sobre cómo se hizo una medición o de la precisión de los instrumen-tos utilizados para su elaboración, los ceros a la izquierda de la coma detrás de unoo más números distintos de cero se supone que no son significativos. Por ejemplo,al afirmar que el genoma humano es de 3.000.000.000 pb de longitud, el únicodígito significativo del número es el 3. Los nueve ceros no son significativos. Delmismo modo, los ceros a la derecha del punto decimal que precede a una serie de

Capítulo1Notación científica y prefijos métricos

� 2012. Elsevier España, S.L. Reservados todos los derechos. 1

dígitos distintos de cero se supone que no son significativos. Si determinamos queel ADN dentro de una célula de esperma pesa 0,0000000000035 g, sólo el 3 y el 5son cifras significativas. Los 11 ceros a la izquierda de estos dígitos no sonsignificativos.

Problema 1.1 ¿Cuántos dígitos significativos hay en cada una de lassiguientes medidas?a) 3.001.000.000 pbb) 0,00304 gc) 0,000210 litros (L) (volumen obtenido con una micropipeta calibrada).

Solución 1.1a) Número de dígitos significativos: 4; que son: 3.001b) Número de dígitos significativos: 3; que son: 304c) Número de dígitos significativos: 3; que son: 210

1.1.1 Redondeo de dígitos significativos en los cálculosCuando se realizan cálculos con dos o más mediciones, el resultado sólo puede sertan exacto como lo es el valor con menor precisión. Para adaptarse a esta nece-sidad, el número obtenido como solución de un cálculo debe redondearse parareflejar el nivel más bajo de precisión. Las directrices apuntadas en el cuadrosiguiente le ayudarán a determinar de qué forma hay que redondear un númerocomo resultado de un cálculo.

Guía para redondear dígitos significativos

1. Cuando se suman o restan números, el resultado debe ser redondeado deforma que tenga el mismo número de dígitos significativos decimales comotiene el número conmenor número de decimales significativos utilizado en elcálculo.

2. Cuando se multiplican o dividen números, el resultado debe ser redondeadode forma que tenga sólo tantos dígitos significativos como tenga el númerocon menos dígitos significativos utilizado en el cálculo.

Problema 1.2 Realice los siguientes cálculos y exprese el resultado utilizandola guía para redondear dígitos significativos descrita en el recuadro anterior.a) 0,2884 g + 28,3 gb) 3,4 cm � 8,115 cmc) 1,2 L � 0,155 L

2 CAPÍTULO 1 Notación científica y prefijos métricos

Solución 1.2a) 0,2884 g + 28,3 g = 28,5884 g

La suma se redondea de forma que muestre el mismo número de dígitossignificativos decimales como el número de dígitos significativos decimalesmenor que hay en la ecuación. (En este caso, el valor 28,3 tiene un dígitosignificativo decimal.)

28,5884 g se redondea a 28,6 g

b) 3,4 cm � 8,115 cm = 27,591 cm2

El resultado se redondea a dos dígitos significativos, ya que hay tan sólo dosdígitos significativos en uno de los números multiplicados (3,4 cm).

27,591 cm2 se redonde a 28 cm2

c) 1,2 L � 0,155 L = 7,742 LEl cociente se redondea a dos dígitos significativos, ya que hay tan sólo dosdígitos significativos en uno de los valores (1,2 L) utilizado en la ecuación.

7,742 L se redonde a 7,7 L

1.2 EXPONENTES Y NOTACIÓN CIENTÍFICAUn exponente es un número escrito en la parte superior derecha (y de menortamaño) de otro número (llamado base) para indicar la potencia a la que la base sedebe elevar. Los exponentes en base 10 se utilizan en la notación científica paraexpresar números muy grandes o muy pequeños en forma abreviada. Por ejemplo,para el valor de 103, 10 es la base y 3 es el exponente. Esto significa que el 10 semultiplica por sí mismo tres veces (103 = 10 � 10 � 10 � 1.000). Para losnúmeros menores de 1,0, se utiliza un exponente negativo para expresar losvalores como recíproco de la base 10. Por ejemplo,

10�3 ¼ 1

103¼ 1

10� 10� 10¼ 1

1:000¼ 0,001

1.2.1 Expresando números en notación científicaPara expresar un número en notación científica:

1. Mueva la coma a la derecha del dígito diferente de cero que hay más a laizquierda. Cuente el número de posiciones que se ha movido la coma respectoa su posición original.

1.2 Exponentes y notación científica 3�

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ciónes

undelito.

2. Escriba el nuevo número hasta incluir, a la izquierda y la derecha, a todos losdígitos significativos (diferentes de cero). Descarte todos los ceros que seextienden fuera de estos números enteros.

3. Coloque un signo de multiplicación y el número 10 a la derecha de los dígitosenteros significativos. Utilice un exponente para indicar el número de posi-ciones que la coma se ha movido.

a. Para los números superiores a 10 (donde la coma se mueve a la izquierda),utilice un exponente positivo.

b. Para los números menores a uno (donde la coma decimal se mueve a laderecha), utilice un exponente negativo.

Problema 1.3 Escriba los siguientes números en notación científica.a) 3.001.000.000b) 78c) 60,23 � 1022

Solución 1.3a) Mueva la coma hacia la izquierda nueve posiciones de forma que esté

colocada a la derecha del dígito más a la izquierda diferente a cero.

3,001000000

Escriba el nuevo número para incluir todos los dígitos significativos diferen-tes a cero y elimine todos los ceros a la derecha de estos dígitos. Multipliqueel nuevo número por 10, y añada el 9 positivo como exponente ya que elnúmero de salida es mayor que 10 y la coma se hamovido hacia la izquierdanueve posiciones.

3:001:000:000 ¼ 3,001� 109

b) Mueva la coma una posición hacia la izquierda de forma que quede colocadaa la derecha del dígito más a la izquierda diferente a cero. Multiplique elnuevo número por 10, y añada el 1 positivo como exponente ya que elnúmero de salida es mayor que 10 y la coma se hamovido hacia la izquierdauna posición.

78 ¼ 7,8� 101

c) 60,23 � 1022

Mueva la coma hacia la izquierda una posición de forma que quede colocadaa la derecha del dígito diferente a cero que estámás a la izquierda. Dado quela coma se ha movido una posición a la izquierda, añada un 1 al exponente(22 + 1 = 23 = nuevo valor del exponente).

60,23 � 1022 ¼ 6,023 � 1023

4 CAPÍTULO 1 Notación científica y prefijos métricos

Problema 1.4 Escriba los siguientes números en notación científica.a) 0,000000000015b) 0,0000500042c) 437,28 � 10�7

Solución 1.4a) Mueva la coma a la derecha 11 posiciones de forma que quede colocada a la

derecha del dígito más a la izquierda diferente a cero. Escriba el nuevonúmero hasta incluir todos los dígitos significativos (diferentes a cero) a laizquierda y a la derecha. Descartar todos los ceros que quedan fuera de estosdígitos. Multiplique el número por 10, y escriba un 11 negativo como elexponente ya que el número original es menor que 1 y la coma se hadesplazado a la derecha 11 posiciones.

0,000000000015 ¼ 1,5� 10�11

b) Mueva la coma a la derecha cinco posiciones de forma que quede colocada ala derecha del dígito más a la izquierda diferente a cero. Descartar todos losceros que quedan fuera de los dígitos diferentes a cero tanto a la izquierdacomo a la derecha. Multiplique el número por 10 y utilice un exponente 5negativo, ya que el número original esmenor que 1 y la coma se hamovido ala derecha cinco posiciones.

0,0000500042 ¼ 5,00042� 10�5

c) Mueva la coma dos posiciones hacia la izquierda para que se sitúe a laderecha del dígito más a la izquierda diferente a cero. Dado que la comase desplaza dos posiciones hacia la izquierda, coloque un 2 positivo comovalor del exponente (�7 + 2 = �5).

437,28� 10�7 ¼ 4,3728� 10�5

1.2.2 Convirtiendo números en notación científicaa notación decimal

Para cambiar un número expresado en notación científica a la forma decimal:

1. Si el exponente de 10 es positivo, mueva la coma a la derecha tantas posicionescomo el valor del exponente. Si es necesario, agregue ceros a la derecha de losdígitos significativos para rellenar hasta la posición de la coma.

2. Si el exponente de 10 es negativo, mueva el punto decimal hacia la izquierdatantas posiciones como el valor del exponente. Si es necesario, agregue ceros ala izquierda de los dígitos significativos para rellenar hasta la posición de lacoma.

1.2 Exponentes y notación científica 5�

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Problema 1.5 Escriba los siguientes números en forma decimal.a) 4,37 � 105

b) 2 � 101

c) 23,4 � 107

d) 3,2 � 10�4

Solución 1.5a) Mueva la coma cinco posiciones a la derecha, agregando tres ceros para

mantener el lugar de la coma desde su posición anterior.

4,37� 105 ¼ 437.000,0

b) Mueva la coma una posición a la derecha, agregando un cero a la derechadel dígito significativo para mantener la nueva posición de la coma.

2� 101 ¼ 20,0

c) Mueva la coma siete posiciones a la derecha, agregando seis ceros paramantener la posición de la coma.

23,4� 107 ¼ 234.000.000,0

d) La coma se mueve cuatro posiciones a la izquierda. Se añaden ceros paramantener la posición de la coma.

3,2� 10�4 ¼ 0,00032

1.2.3 Sumando y restando números escritos en notacióncientífica

Al sumar o restar números expresados en notación científica, es más sencilloprimero transformar los números de la ecuación para que tengan la misma poten-cia de 10 con el exponente mayor. El valor del exponente, por tanto, no cambiarácuando finalmente se realice el cálculo.

Problema 1.6 Realice las siguientes operaciones.a) (8 � 104) + (7 � 104)b) (2 � 103) + (3 � 101)c) (6 � 10�2) + (8 � 10�3)d) (3,9 � 10�4) � (3,7 � 10�4)e) (2,4 � 10�3) � (1,1 � 10�4)

6 CAPÍTULO 1 Notación científica y prefijos métricos

Solución 1.6

a) (8 � 104) + (7 � 104)= 15 � 104 Resultado de la suma.= 1,5 � 105 Número reescrito en el

formato estándar de notacióncientífica.

= 2 � 105 Número redondeado a undígito significativo.

b) (2 � 103) + (3 � 101)= (2 � 103) + (0,03 � 103) El número con el menor valor

de exponente expresado conel exponente de mayor valor.

= 2,03 � 103 Resultado de la suma.= 2 � 103 Número redondeado a un

dígito significativo.c) (6 � 10�2) + (8 � 10�3)

= (6 � 10�2) + (0,8 � 10�2) Cambio de los exponentes almismo valor.

= 6,8 � 10�2 Resultado de la suma.= 7 � 10�2 Número redondeado a un

dígito significativo.d) (3,9 � 10�4) � (3,7 � 10�4)

= 0,2 � 10�4 Resultado de la resta.= 2 � 10�5 Número reescrito en el

formato estándar de notacióncientífica.

e) (2,4 � 10�3) � (1,1 � 10�4)= (2,4 � 10�3) � (0,11 � 10�3) Cambio de los exponentes al

mismo valor.= 2,29 � 10�3 Resultado de la resta.= 2,3 � 10�3 Número redondeado con un

solo dígito significativo a laderecha de la coma.

1.2.4 Multiplicando y dividiendo números expresadosen notación científica

Las reglas utilizadas para los exponentes en la multiplicación y división denúmeros expresados en notación científica son:

La regla del producto: cuando se multiplica utilizando notación científica,los exponentes se suman.

1.2 Exponentes y notación científica 7�

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undelito.

La regla del cociente: cuando se divide utilizando notación científica, elexponente del denominador se resta del exponente del numerador.

Cuando realice el próximo grupo de problemas, las siguientes leyes mate-máticas serán útiles:

Propiedad conmutativa de la multiplicación: el resultado de la multi-plicación no depende del orden de los factores. Por ejemplo,

3� 2 ¼ 2� 3

Propiedad asociativa de la multiplicación: el resultado de la multiplicaciónno depende de cómo se agrupan los factores. Por ejemplo,

3� ð2� 4Þ ¼ ð3� 2Þ � 4

Problema 1.7 Calcule el producto.a) (3 � 104) � (5 � 102)

b) (2 � 103) � (6 � 10�5)

c) (4 � 10�2) � (2 � 10�3)

Solución 1.7

a) (3 � 104) � (5 � 102)= (3 � 5) � (104 � 102) Utilice las reglas conmutativa

y asociativa para agrupar losfactores similares.

= 15 � 106 Suma de exponentes.= 1,5 � 107 Número expresado en la

notación científica estándar.= 2 � 107 Redondeo del número con un

dígito significativo.b) (2 � 103) � (6 � 10�5)

= (2 � 6) � (103 � 10�5) Utilice las reglas conmutativay asociativa para agrupar losfactores similares.

= 12 � 10�2 Suma de exponentes.= 1,2 � 10�3 Número expresado en la

notación científica estándar.= 1 � 10�3 Redondeo del número

con un dígitosignificativo.

8 CAPÍTULO 1 Notación científica y prefijos métricos

c) (4 � 10�2) � (2 � 10�3)

= (4 � 2) � (10�2 � 10�3) Utilice las reglas conmutativay asociativa para agrupar losfactores similares.

= 8 � 10�2+(�3)

= 8 � 10�5 Suma de exponentes.

Problema 1.8 Calcule la división.

a)8� 104

2� 102

b)5� 108

3� 10�4

c)8,2� 10�6

3,6� 104

d)9� 10�5

2,5� 10�3

Solución 1.8

a)8� 104

2� 102

¼ 82� 104�2 El exponente del denominador

se resta del exponente delnumerador.

¼ 4� 102

b)5� 108

3� 10�4

¼ 53� 108�ð�4Þ El exponente del denominador

se resta del exponente delnumerador.

¼ 1,67� 108�ð�4Þ Exponentes: 8 � (�4) = 8 + 4 = 12.

¼ 2� 1012 Número redondeado a un dígitosignificativo.

1.2 Exponentes y notación científica 9�

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undelito.

c)8,2� 10�6

3,6� 104

¼ 8,23,6

� 10�6�ðþ4Þ El exponente del denominadorse resta del exponente del numerador.

¼ 2,3� 10�10 Número redondeado a dos dígitossignificativos.Exponentes:�6 � (+4) = �6 + (�4) = �10.

d)9� 10�5

2,5� 10�3

¼ 92,5

� 10�5�ð�3Þ El exponente del denominador seresta del exponente del numerador.

¼ 3,6� 10�2

¼ 4� 10�2 Número redondeado a un dígitosignificativo.

1.3 PREFIJOS MÉTRICOSUn prefijo métrico es una notación abreviada utilizada para denotar valores muygrandes o muy pequeños de una unidad básica como una alternativa a expresarloscomo potencias de 10. Las unidades básicas utilizadas en las ciencias biológicascon más frecuencia son los metros, gramos, moles y litros. Debido a su simplici-dad, los prefijos métricos han encontrado una amplia aplicación en la biologíamolecular. En la tabla siguiente se muestran los prefijos más utilizados y losvalores que representan.

Como se puede ver en la Tabla 1-1, un nanogramo (ng) es equivalentea 1 � 10�9 g. Por tanto, hay 1 � 109 ng por g (el recíproco de 1 � 10�9;1/1 � 109 = 1 � 10�9). Asimismo, puesto que un microlitro (mL) es equivalentea 1 � 10�6 L, hay 1 � 106 mL por litro.

Cuando se expresan cantidades con prefijos métricos, generalmente se escogeun prefijo de manera que el valor pueda ser escrito como un número superior a 1,0,pero inferior a 1.000. Por ejemplo, es habitual expresar 0,00000005 g como 50 ngen lugar de 0,05 mg o 50.000 pg.

1.3.1 Factores de conversión y simplificación de términosUna conversión es el cambio de unamedición expresada con un prefijo métrico enun valor equivalente expresado mediante un prefijo métrico diferente. Se lleva a

10 CAPÍTULO 1 Notación científica y prefijos métricos

cabo matemáticamente aplicando un factor de conversión sobre los dos térmi-nos diferentes. Un factor de conversión es una relación numérica igual a 1. Porejemplo,

1� 106 mgg

y1 g

1� 106 mg

son factores de conversión, ambos igual a 1. Pueden utilizarse para convertirgramos a microgramos o microgramos a gramos, respectivamente. El prefijométrico final deseado debe aparecer en la ecuación como un valor en el numeradordel factor de conversión. Puesto que la multiplicación o división por el número 1no cambia el valor de la cantidad inicial, cualquier cantidad puede multiplicarse odividirse por un factor de conversión y el resultado seguirá siendo igual a lacantidad original; sólo cambiará el prefijo métrico.

Al realizar conversiones entre los valores expresados con diferentes prefijosmétricos, los cálculos pueden simplificarse cuando factores de 1 o unidadesidénticas se cancelan. Un factor de 1 es una expresión en que se divide eltérmino entre sí mismo. Por ejemplo, 1 � 106/1 � 106 es un factor de 1. Delmismo modo, un 1 L/1 L es un factor de 1. Si en una conversión aparecentérminos idénticos en cualquier parte de la ecuación en un lado del signo igual,tanto como numerador como denominador, pueden ser cancelados. Por ejemplo,en la conversión de 5 � 10�4 L a microlitros, se puede configurar una ecuaciónpara que los términos idénticos (en este caso, litros) se puedan cancelar para dar mlcomo valor del numerador.

Tabla 1-1 Prefijos métricos, sus abreviaturas y sus equivalencias comoexponentes de 10.

Prefijo métrico Abreviatura Potencia de 10

giga- G 109

mega- M 106

kilo- k 103

mili- m 10�3

micro- m 10�6

nano- n 10�9

pico- p 10�12

femto- f 10�15

atto- a 10�18

1.3 Prefijos métricos 11�

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undelito.

5 � 10�4 L = n mL Resolviendo para n.

5� 10�4 L� 1� 106 mLL

¼ n mLUtilizar el factor de conversión enrelación con litros y microlitros, conmicrolitros como un valor en elnumerador. Se cancelan los términosidénticos en el numerador y eldenominador. (Recuerde, 5 � 10�4 Les lo mismo que 5 � 10�4 L/1,5 � 10�4 L, por lo tanto, es elnumerador.)

(5 � 1)(10�4 � 106) mL � n mL Agrupar los términos similares.

5 � 10�4+6 mL � n mL Multiplicar los numeradores.

5 � 102 mL � n mL Por lo tanto, 5 � 10�4 L esequivalente a 5 � 102 mL.

Problema 1.9a) En el genoma humano hay aproximadamente 6 � 109 pb. ¿A cuánto equi-

vale en kilopares de bases (kb)?b) Convierta 0,03 mg a ng.c) Convierta 0,0025 mL a mL.

Solución 1.9a) 6 � 109 pb = n kb. Resolver para n.

Multiplicar por el factor de conversión que relaciona kb con pb con las kbcomo numerador:

6� 109 pb� 1 kb

1� 103 pb¼ n kb

Simplificar los términos idénticos (pb) que aparecen tanto en el denominadorcomo en el numerador, dejando kb como valor en el numerador.

ð6� 109Þð1 kbÞ1� 103

¼ n kb

El exponente del denominador se resta del exponente del numerador.

61� 109�3 kb ¼ 6� 106 kb ¼ n kb

Por tanto, 6 � 109 pb es equivalente a 6 � 106 kb.

12 CAPÍTULO 1 Notación científica y prefijos métricos

b) 0,03 mg = n ng. Resolver para n.Multiplicar por el factor de conversión que relaciona g con mg y ng con g conng como numerador. Convertir 0,03 mg a su equivalente en notacióncientífica (3 � 10�2 mg):

3� 10�2 mg� 1 g

1� 106 mg� 1� 109 ng

g¼ n ng

Simplificar los términos idénticos que aparecen tanto en el denominadorcomo en el denominador, dejando los ng como valor del numerador; multi-plique el numerador y el denominador y agrupe los términos similares.

ð3� 1� 1Þð10�2 � 109Þ ngð1� 1Þð106Þ ¼ n ng

Se suman los exponentes del numerador.

3� 10�2þ9 ng

1� 106¼ 3� 107 ng

1� 106¼ n ng

Del exponente del numerador se resta el del denominador.

31� 107�6 ng ¼ 3� 101 ng ¼ n ng

Por lo tanto, 0,03 mg es equivalente a 30 (3 � 101) ng.

c) 0,0025 mL = n mL. Resolver para n.Convierta 0,0025 mL en notación científica. Multiplique por el factor deconversión que relaciona L con mL y mL con L con mL como numerador.

2,5� 10�3 mL� 1 L

1� 103 mL� 1� 106 mL

1 L¼ n mL

Simplifique los términos idénticos que aparecen tanto en el denominadorcomo en el numerador, dejando mL como valor del numerador. Multipliquelos valores del numerador y del denominador. Agrupe los términos similares.

ð2,5� 1� 1Þð10�3 � 106Þ mLð1� 1Þð103Þ ¼ n mL

Se suman los exponentes del numerador.

2,5� 10�3þ6 mL1� 103

¼ 2,5� 103 mL1� 103

¼ n mL

1.3 Prefijos métricos 13�

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undelito.

Del exponente del numerador se resta el del denominador.

2,51

� 103�3 mL ¼ 2,5� 100 mL ¼ 2,5 mL ¼ n mL

Por tanto, 0,0025 mL es equivalente a 2,5 mL.

& RESUMEN DEL CAPÍTULOLos dígitos significativos son los dígitos que representan los límites reales deprecisión. Son por lo general dígitos distintos a cero. Los ceros a la izquierda de lacoma detrás de un dígito distinto a cero se supone que no son significativos. Losceros a la derecha de la coma antes de un dígito distinto a cero también se suponeque no son significativos.

El redondeo del resultado de la suma o diferencia de dos números debe tener elmismo número de dígitos significativos a la derecha de la coma como el númerocon el menor número de dígitos significativos a la derecha de la coma utilizada enel cálculo. Un producto o cociente debe tener sólo tantos dígitos significativoscomo el número con el menor número de dígitos significativos utilizado en elcálculo.

Cuando los números se expresen en notación científica, mueva la coma a laderecha del dígito diferente a cero de más a la izquierda, elimine todos los cerosque quedan fuera de la serie de cifras significativas, y exprese el nuevo númerocomo un producto por 10 que tiene un exponente igual al número de posicionesque la coma se movió de su posición original (con un exponente negativo si lacoma se mueve a la derecha).

Al sumar o restar números expresados en notación científica, vuelva a escribirlos números de tal manera que todos tengan el mismo valor en el exponente comoel de mayor exponente; a continuación, realice el cálculo. Al multiplicar númerosexpresados en notación científica, sume los exponentes. Al dividir númerosexpresados en notación científica, reste el exponente del denominador del expo-nente del numerador para obtener el valor del nuevo exponente.

Los números escritos en notación científica también pueden ser expresadosusando prefijos métricos, lo que permitirá obtener el valor con el menor númerode dígitos significativos.

14 CAPÍTULO 1 Notación científica y prefijos métricos