NOCIONES DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS

1.- LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE

2.- EQUIVALENCIA FINANCIERA SIMPLE

TANTOS EQUIVALENTES

AÑO COMERCIAL Y AÑO CIVIL O NATURAL

3.- DESCUENTO O ACTUALIZACIÓN SIMPLE.

DESCUENTO COMERCIAL

DESCUENTO RACIONAL

4.- CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO COMPUESTO

Ley Financiera:

Ley de valoración que nos permite establecer equivalencias financieras entre capitales, para poder valorar una operación financiera.

CONCEPTO DE OPERACIÓN FINANCIERA

Aquella operación en que se realiza un intercambio de capitales no simultáneos (con vencimiento en distintos momentos de

tiempo) y con arreglo a unas norma (ley financiera) acordada por las partes, de manera que el intercambio

favorezca a ambas partes.

Valor del dinero en el tiempo

CAPITAL INICIAL

C0

CN MONTANTE o valor final

momento t0 t

línea del tiempo

LEY DE CAPITALIZACIÓN FINANCIERA

I INTERESES

tn

Ley Financiera de capitalización:

Ley financiera que permite calcular el equivalente financiero de un capital en un momento posterior del tiempo.

CAPITAL INICIAL

C0

CX VALOR ACTUAL

tx t

línea del tiempo

LEY DE DESCUENTO FINANCIERO

D DESCUENTO

t0

Ley Financiera de actualización o descuento:

Ley financiera que permite calcular el equivalente financiero de un capital en un momento anterior del tiempo.

C0

C1

momento 01

I1

C0

C2

2

I C0

C3

3

I C0

CN

n

I

1.- LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE

In = C0 x i

Intereses Totales I = C0 x i x n

I3 = C0 x i………

I2 = C0 x i I1 = C0 x i

Interés totalI = C0 x i x n

Interés totalI = C0 x i x n C0

C1

momento 0 1

I C0

C2

2

I C0

C3

3

I C0

CN

n

I

I1

I2

I3

In

MontanteCN = C0 + I

CN = C0 (1 + i x n )

Capital inicialC0 = I / ( i x n )

C0 = CN / (1 + i x n )

Tipo de Interési = I / (C0 x n )i =(CN - C0 ) / (C0 x n )

Tiempon = I / (C0 x i )n =(CN - C0 ) / (C0 x i )

Hacer algunos ejercicios ¿ pg 18-20 McGraw 2011?

1.- LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE

2.- TANTOS EQUIVALENTES EN CAP. SIMPLE

CUANDO HABLAMOS DE LEYES FINANCIERAS EL TIPO DE INTERES Y EL TIEMPO SE MIDEN HACIENDO REFERENCIA AL MISMO PERIODO DE TIEMPO:

i=2% mensual n=6 meses CAP. SIMPLE I = C0 x i x n i=10% anual n=3años

i= 4% trimestral n=7 trim.

SI LA INFORMACIÓN QUE NOS DAN ES EN DISTINTA UNIDAD TEMPORAL HAY QUE TRANSFORMAR UNO DE ELLOS, EL TIPO O EN TIEMPO.

• Necesidad de comparar Tipos de Interés referidos a distintas unidades de tiempo. (Sobre todo fracciones de año).

¿Es mejor pagar un 1% mensual o un 12% anual?

•TANTOS EQUIVALENTES:DEFINICIÓN: i e im son tantos equivalentes si aplicando el tanto im a un capital C, durante m períodos produce el mismo capital final Cn que aplicando el tanto i al mismo capital C durante un año.

En capitalización simple:

i = im · m

m

iim

A i se le llama tanto o tipo anual

(o efectivo)

A im se le llama tanto

o tipo franccionado o m-esimo

Si son tipos semestrales valor m = 2 Si son tipos mensuales valor m = 12

Si son tipos cuatrimestrales valor m = 3 Si son tipos semanales valor m = 53

Si son tipos trimestrales valor m = 4 Si son tipos diarios (a.n) valor m = 365

Si son tipos bimensuales valor m = 6 Si son tipos diarios (a.c.) valor m = 360

2.- TANTOS EQUIVALENTES.

i e im son tantos equivalentes si aplicando el tanto im a un capital C, durante m períodos produce el mismo capital final Cn que aplicando el tanto i al mismo capital C durante un año.

– En capitalización simple:

i = im · m

m

iim

Cn = C (1 + i*1)

Cn = C (1+i)

Cn’=C (1 + im * m)= C (1 + (i /m) *m)

Cn’ = C ( 1 + i )

Por lo tanto, en un año los tipos i e im producen el mismo capital final Cn = Cn’

En 1 año un Capital C se convertirá en un Cn:

En m periodos (=1 año) un Capital C se convertirá en un Cn’:

2.- TANTOS EQUIVALENTES.

Aunque la duración del año es de 365 días, en la práctica financiera es frecuente que se simplifique reduciéndolo a 360, en cuyo caso se dice que se usa el año comercial: 12 meses de 30 días cada uno.

AÑO CIVIL O NATURAL

365 Días

Meses naturales

AÑO COMERCIAL

360 Días

12 meses de 30 días

2.- TANTOS EQUIVALENTES.

VALOR NOMINALCN

C0 VALOR EFECTIVO

t0

Tipo de descuento i

3. LEY DE DESCUENTO FINANCIERO SIMPLE

D DESCUENTO

tnDuración de la operación n

DESCUENTO COMERCIAL

D = CN * n * i

DESCUENTO COMERCIAL

D = CN * n * i

DESCUENTO RACIONAL

D = C0 * n * i

DESCUENTO RACIONAL

D = C0 * n * i

Otros manuales

denominan a este tipo como d

Otros manuales

denominan a este tipo como d

A. DESCUENTO COMERCIAL

Dc = Cn · n · i

Co = Cn – Dc Co = Cn - Cn · n · i Co = Cn (1 - n · i)

d

Dc

n0

C0

Cn

¡¡RECORDAR!!El tiempo y el tipo de interés

deben expresarse en la misma unidad de tiempo. Si

se trabaja con días puede usarse año comercial (360) o

natural (365)

Se calcula el descuento sobre el valor nominal del efecto:

B. DESCUENTO RACIONAL

DR = C0 · n · i i

DR

n0

C0

CnSe calcula el descuento sobre el valor efectivo del efecto:

iDR = [Cn / (1 + n · i)] · n · i = Cn · n · -----------

1 + n · i

Normalmente lo que conocemos es Cn

Cn = C0 + DR Cn = C0 + C0 · n · i Cn = C0 (1 + n · i) C0 = Cn / (1 + n · i)

. El descuento comercial (Dc)

• Descuento comercial: Dc = Cn · n · i

• Efectivo o capital actual: C 0 = Cn · (1 - n· i )

. El descuento racional o actualización (Dr)

• Descuento racional:

• Efectivo o capital actual:

in

CC n

· 10

in

inCinCD n

or · 1

· ·

Resumien

do

Resulta evidente que Dr < Dc

CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

C0

C1

momento 0 1

I

C2

2

I

C3

3

I

CN

n

I

C1 = C0 * (1 + i* t1)

C2 = C1 * (1 + i* t2)

C3 = C2 * (1 + i* t3)

……..

4. LEY DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Cálculo del Montante con interés compuesto

C1 = Co * (1 + i* t1)

C2 = C1 * (1 + i* t2) = Co * (1 + i* t1) * (1 + i* t2)

…………….

Cn = Co * (1 + i x t1 ) * (1 + i x t2 ) * … * (1 + i x tn)Si los períodos son iguales y unitarios t1 = t2 = t3 = .... = tn = 1

Cn = C0 * (1 + i ) n

C0 C1

0 t1I

C2

t2

I

C3

t3

I

CN

tn

I

4. LEY DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Ecuación básica de la cap. Comp.

Montante

Cn = Co * (1 + i ) n

Montante

Cn = Co * (1 + i ) n

Interés total I = Cn - C0

I = C0 x [(1 + i)n – 1]

Capital inicialC0 = Cn x (1 + i) -n

Tipo de Interés

i =(Cn/C0 )1/n - 1

Tiempo

log Cn - log C0 log [Cn /C0 ]n =---------------- = --------------- log (1 + i ) log (1 + i )

C0 C1

0 t1I

C2

t2

I

C3

t3

I

CN

tn

I

4. LEY DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Cn = Co x (1 + i) nCapitalización compuesta:

Capitalización simple: Cn = Co x (1 + i · n)

2. COMPARACIÓN ENTRE CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTA

t1t2 t3 tn

CN en capitalización compuesta

C0

t0

CN en capitalización simple

j (m) = m · i(m)

Donde:

j (m) = Representa el tanto nominal anual

m = Es el número de veces que dicho período está incluido en el año.

i(m) = Es el interés efectivo referido al período m, o interés fraccionado

i = (1+ i(m) ) m - 1 Donde:

i = TAE tasa anual equivalente

m = Es el número de veces que dicho período está incluido en el año.

i(m) = Es el interés efectivo referido al período m, o interés fraccionado

j(m) NO ES FINANCIERAMENTE EQUIVALENTE A i

TANTO NOMINAL

TANTO EFECTIVO

i(m) Es el interés referido a un período de tiempo m

TANTO FRACCIONADOEn capitalización compuesta

3. TANTOS EQUIVALENTES

C0 CAPITAL INICIAL

CN CAPITAL FINAL O NOMINAL

momento 0 t

D DESCUENTO

CAPIT. Cn = Co x (1 + i) n

DESCONTAR Co = Cn x (1 + i) DESCONTAR Co = Cn x (1 + i) -n-n

4. DESCUENTO O ACTUALIZACIÓN COMPUESTOS

línea del tiempo

C1

0 t

5. EQUIVALENCIA FINANCIERA EN C. COMP.

C2

C3

Con la fórmula de la capitalización / descuento compuestos se pueden trasladar capitales de varios tiempos distintos a un mismo momento en el que pueden compararse, sumarse, sustituirse, etc.Los problemas de capitalización compuesta pueden resolverse de dos formas:a)Se trasladan los capitales necesarios, generalmente al momento 0, y se comparan.b) Se trabaja con las fórmulas de equivalencia, vencimientos medio y común para capitalización compuesta.

Con la fórmula de la capitalización / descuento compuestos se pueden trasladar capitales de varios tiempos distintos a un mismo momento en el que pueden compararse, sumarse, sustituirse, etc.Los problemas de capitalización compuesta pueden resolverse de dos formas:a)Se trasladan los capitales necesarios, generalmente al momento 0, y se comparan.b) Se trabaja con las fórmulas de equivalencia, vencimientos medio y común para capitalización compuesta.

- t

C4