Números Complejos

Antes de entrar en el tema hagamos una reflexión ver imagen para entenderlo mejor^ h** 6 nº. giro de 180º^ h =- nº

ejemplo 2. giro de 180º^ h

=a6 7 844444444 44444444

=- 2

2.a =- 2( a =- 1

** 6 nº. giro de 180º^ h . giro de 180º^ h = nº

ejemplo 2. giro de 180º^ h=a

6 7 844444444 44444444. giro de 180º^ h

=a6 7 844444444 44444444

= 2

2.a.a = 2( 2a2 = 2( a2 = 1

ahora que pasa se damos dos veces giro de 90º

ejemplo 2. giro de 90º^ h=a

6 7 84444444 4444444. giro de 90º^ h

=a6 7 84444444 4444444

=- 2

2.a.a =- 2( 2a2 =- 2( a2 =- 1 es imposible

se soluciono este problema en matematica, haciendo a = i = -1 ojo nunca se puede escribir -1^ h

El motivo por el cual no se puede escribir -1 es el seguiente:

i2 =- 1 también sabemos que i2 = i.i = -1 . -1 = -1^ h -1^ h = 1 = 1

lo cual nos indica que - 1 = 1 que es incierto. el i es un nº imaginario

y Son de la forma Z = a + bi , donde a,b^ h d R2 i2 =- 1

a parte real , b parte imaginaria la expresion a + bi se llama forma Binomica

El conjunto de los nº complejos es C = a + bi/ a,b^ h d R2" , , R 1 C

** Z = a + bi A Z es Imaginario puro sia=0real sib=0$

** conjugado de Z se presenta por Z = a - bi , opuesto es -Z =- a - bi

** Potencias de i

i0 = 1 , i1 = i , i2 =- 1 , i3 =- i , i4 = 1 , i5 = i

Para calcular in, se coge n ' 4si el resto es 1,2,3^ h( 1 A i , 2 A i2 =- 1^ h , 3 A i3 =- i^ h

si el resto es 0( in = 1'

** Propiedades

Sean dos nº complejos Z = a + bi y W = c + di

Z = W, b=da=c" , Z + W = a + c^ h + b + d^ hi , Z - W = a - c^ h + b - d^ hi

Z.W = ac - bd^ h + ad + bc^ hi , WZ =

c + dia + bi =

c2 + d2ac + bd +

c2 + d2bc - ad

i

Z.W = a + bi^ h c + di^ h = ac + adi + bci - bd = ac - bd^ h + ad + bc^ hiWZ =

c + dia + bi =

c + dia + bi

c - dic - di =

c2 + d2ac - adi + bci + bd =

c2 + d2

ac + bd^ h + bc - ad^ hi

Z.Z = a + bi^ h. a - bi^ h = a2 + b2

Modulo y Argumento de un nº complejo

Modulo: de un nº complejo Z es la longitud del vector y se representa por Z = a2 + b2

Argumento: de un nº complejo Z es el angulo formado entre Z y el eje x positivo Arg Z^ h = arctag ab = a

imagen de abajo se ve lo que es modulo , argumento, conjugado y opuesto

Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

Z = a + bi = ra = eia = r cosa + i.sena^ h

si Z = a + bi, Z = a - bi,- Z =- a - bi , luego Z = Z = -Z = a2 + b2

** el inverso de Z es Z1 =

Z1

Z

Z =Z.Z

Z =a2 + b2

Z

** Z d R, Z = Z , Z es imaginario puro Ssi Z =- Z

** Z + W = Z + W , Z.W = Z .W , WZ` j =

W

Z

** Z + Z = 2.R Z^ h A R Z^ h = parte real de Z

** Z - Z = 2i.Im Z^ h A Im Z^ h = parte Imaginaria de Z

** Z.W = Z . W = Z . W ,W

Z=

WZ, Z + W # Z + W , Z - W $ Z - W

** Z = 0, Z = 0 , Z2 = Z.Z , Z ! 0( Z

1 =Z

2Z

Forma Binómica Trigonometrica Polar y Exponencial

Z = a + bi = r cos a + 2kr^ h + i.sen a + 2kr^ h^ hForma trigonometrica

6 7 8444444444444444444444 444444444444444444444

= ra

forma polar?

= e i a+2kr^ hforma exponencial6 7 8444 444

, siendo r = Z

modulo de ZA

= a2 + b2

Ojo kd Z a = arctag ab

Formula Euler eia = cosa + i.sena , cosa =2

eia + e-ia, sena =

2ieia - e-ia

Formula de Moivre Zn = r cos a + 2kr^ h + i.sen a + 2kr^ h^ h" ,6 @n = rn cos na^ h + i.sen na^ hn.2kr=2 lk r=0

6 7 8444444444444 444444444444c m** ra .rb

,= r.r,^ h

a+b AA r.e ia.r, .e ib = r.r,e i a+b^ h

** rb,

ra= r,

r_ ia-b

AA

r, .e ib

r.e ia

= r,r e i a-b^ h

** ra^ hn = rn^ ha+2kr^ h.n = rn^ hn.a AA r.e ia^ hn = rn

.e ina, a + 2kr^ h .n = na + 2knr = na

** ran = rn^ hn

a+2kr AA re ian = re i a+2kr^ hn = rn e ni a+2kr^ h

Calculo del Argumento

** Z = a + bi

si a 2 0 ( Arg Z^ h = arctag ab= a

si a = 0 y b 1 0( Arg Z^ h =-2r

si a = 0 y b 2 0( Arg Z^ h =2r

si a 1 0 y b 1 0( Arg Z^ h = arctag aba k-r = a

si a 1 0 y b 2 0( Arg Z^ h = arctag aba k+r = a

si a 1 0 y b = 0( Arg Z^ h = r = asi a 2 0 y b = 0( Arg Z^ h = 00 = 2r = asi a = 0 y b = 0( Arg Z^ h = Indefenido

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

Ejercicios de nº complejos

1 Ejercicio

Hallar i12 , i37 , i-139

Respuesta:

** i12$ 012

34$ i12 = 1 ; ó bién i12 = i4^ h

3 = 13 = 1

** i37$ 137

94$ i37 = i1 = i ; ó bién i37 = i4^ h

9.i = i

** i-139$

319139

344$ i-139 = i-3 = i3^ h

-1= -i^ h

-1=-i1

ii = i

ó bién i-139 = i-4^ h34.i-3 =

i41a k

34

.i31a k = -i

1` j

ii = i

................................................................

2 Ejercicio

Sean los nº complejos :

z1 = 1 - i ; z2 = 1 - i 3 ; z3 =z2^ h

4

z1^ h5

a Halla sus modulos y argumentos y sus formas polares trigonometricas y exponenciales.

b Determine la parte real e imaginaria de z3 y cual es su afijo.

c Deduzca los valores de cos 12r

y sen 12r

Respuesta:Recuerda: Z = a2 + b2 , Arg Z^ h = arctag ab = a , zn = z

n, Arg zn^ h = n.Arg z^ h

wz =

w

zArg w

z_ i = Argz - Argw Z = a + bi

binomicaE

= ra

polar?

= eia

exponencial@

= r cosa + i.sena^ h

trigonometrica6 7 84444444444 4444444444

a b z1 = 1 - iArg z1^ h = arctag 1

-14º cuadrante^ h =

4-r

z1 = 1 + 1 = 2*

z1 = 1 - i = 2 cos 4-r_ i+ i.sen 4

-r_ i8 B = 2^ hei 4-r= 2^ h

4-r

afijo de z1 es 1, - 1^ h , Parte real = 1 Parte Imaginaria =- 1

z2 = 1 - i 3Arg z2^ h = arctag - 3 4º cuadrante^ h =

3-r

z2 = 1 + 3 = 2*

z2 = 1 - i 3 = 2 cos 3-r_ i+ i.sen 3

-r_ i8 B = 2ei 3-r= 2^ h

3-r

afijo de z2 es 1, - 3^ h , Parte real = 1 Parte Imaginaria =- 3

z3 =z2^ h

4

z1^ h5

=2ei 3

-r6 @42^ hei 4

-r6 @5=

2^ h8

2^ h5

ei 3-4r

ei 4-5r

= 2^ h-3ei 12-15r

ei 1216r

=42ei 12r

z3 =z2^ h

4

z1^ h5

=16 cos 3

-4r + i.sen 3-4r` j

4 2 cos 4-5r + i.sen 4

-5r` j=

4 cos r + 3r

_ i- i.sen r + 3r

_ i` j

2 cos r + 4r

_ i- i.sen r + 4r

_ i` j

z3 =4 -cos 3

r_ i+ i.sen 3

r_ i` j

2 -cos 4r_ i+ i.sen 4

r_ i` j

=42

2

-1 + i 3c m

2

- 2 + i 2c m

=42

-1 + i 3^ h

- 2 + i 2^ h

-1 - i 3^ h

-1 - i 3^ h

z3 = 42

46 + 2

+ i 46 - 2

c m

z3 = 42

cos 12r_ i+ i.sen 12

r_ i8 B =

42ei 12r

=42

c m

12r

afijo de z3 es 46 + 2

, 46 - 2

c m , Parte real = 46 + 2

Parte Imaginaria = 46 - 2

c cos 12r_ i =

46 + 2

, sen 12r_ i =

46 - 2

Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

3 Ejercicio

Resolved en C las ecuaciones seguientes:

a 5z = 4 - i , b 1 + i^ h z + 1 - i = 0 , c 3z + 2iz = 5 - 3i

Respuesta: Recuerda: Z = a + bi, Z = a - bi,- Z =- a - bi , Z2 = Z.Z = a2 + b2

a + ib = c + id,b = da = c$

** a 5z = 4 - i, z = 54 -

5i, z = 5

4 +5i

** b 1 + i^ h z + 1 - i = 0, z =1 + i1 - i =

1 + i1 - i

1 - i1 - i =

21 - i^ h

2

=2-2i =- i, z = i

** c 3z + 2iz = 5 - 3i 1 , sea z = a + bi, z = a - bi

1 , 3 a - bi^ h + 2i a + bi^ h = 5 - 3i, 3a - 3bi + 2ai - 2b = 5 - 3i

1 , 3a - 2b + i 2a - 3b^ h = 5 - 3i(2a - 3b =- 33a - 2b = 5$

a =

23-3-2

-35

-3-2

=-9 + 4-15 - 6 =

521

b =

23-3-2

23-35

=-9 + 4-9 - 10 =

519

luego z = 521 +

519

i

................................................................

4 Ejercicio

z1 = 1 - 3 i , z2 = 3

Hallar ¿ z = z2z1

? , z^ h-1

Respuesta:

z = z2z1 =

31 - 3 i

=31 -

33i, z = 3

1 +33i

z^ h-1 =

z

1 =

31 + 3 i

1 =1 + 3 i

3 =1 + 3 i

3

1 - 3 i

1 - 3 i=

1 + 3

3 1 - 3 i^ h=

43 1 - 3 i^ h

................................................................

5 Ejercicio

sean los nº complejos z1 = 3 + i , z2 = 1 - i

a halla los modulos y argumentos de z1 , z2 , z2z1

y sus formas trigonometricas

exponenciales y polares

b deducir los valores de cos 125r

y sen 125r

Respuesta:

a modulos y argumentos de z1 , z2 , z2z1

y sus formas trigonometricas exponenciales y polares.

z1Argumento = Arg z1^ h = arctag

3

11º cuadrante^ h =

6r

modulo = z1 = 3^ h2+ 1^ h

2 = 4 = 2Z

[

\

]]]]]]]]]

z1 = 3 + i forma binomica^ h = 2 cos 6r + i sen 6

r_ i forma trigonometrica^ h

= 2ei 6r

forma exponencial^ h = 26r forma polar^ h

z2Argumento = Arg z2^ h = arctag 1

-14º cuadrante^ h =

4-r

modulo = z2 = 1^ h2 + -1^ h

2 = 2*

z2 = 1 - i forma binomica^ h = 2 cos 4-r + i sen 4

-r_ i forma trigonometrica^ h

= 2 e-i 4r

forma exponencial^ h = 2^ h4-r forma polar^ h

Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

z2z1 =

2 e-i 4r

2ei 6r

=2

2ei 6r

ei 4r

= 2 ei 6r+i 4r

= 2 ei 125r

z2z1

Arg z2z1_ i =

125r

z2z1 = 2

*

= 2 cos 125r + i.sen 12

5r` j = 2 ei 12

5r= 2^ h

125r

z2z1 =

1 - i

3 + i=

1 - i

3 + i

1 + i1 + i =

23 - 1 + i 3 + 1^ h

= 22 2

3 - 1 + i 3 + 1^ h< Fb deducir los valores de cos 12

5ry sen 12

5r

z2z1 = 2 cos 12

5r + i.sen 125r

` j = 22 2

3 - 1+ i

2 2

3 + 1< F&sen 12

5r =2 2

3 + 1

cos 125r =

2 2

3 - 1Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]

................................................................

6 Ejercicio

Calcula en forma trigonometrica , exponencial y polar z = 1 - i^ h4,y z

Respuesta:

Recuerda: Euler eia = cosa + i.sena , cosa =2

eia + e-ia, sena =

2ieia - e-ia

, z^ hn = zn^ h

de Moivre Zn = r cos a + 2kr^ h + i.sen a + 2kr^ h^ h" ,6 @n = rn cos na^ h + i.sen na^ h

n.2kr=2 lk r=06 7 8444444444444 444444444444d n

lz = 1 - i( lzArg lz = arctag 1

-1(4º cuadrante) = 4

-r

lz = 1^ h2 + -1^ h

2 = 2* luego lz = 2 e-i 4

r

z = 1 - i^ h4 = lz^ h

4= 2 e-i 4

r^ h

4= 4e-ir

exponencialD

= 4 cos -r^ h + i.sen -r^ h6 @

Trigonometrica6 7 8444444444444444 444444444444444

= 4-r

polarA

= -4

binomica@

z = 1 - i^ h4 = 1 - i^ h6 @4

Argz =- Argz = r

z = z = 4( & z = 4eir = 4 cos r^ h + i.sen r^ h6 @ = 4r =- 4

................................................................

7 Ejercicio

Hallar modulo y argumento de z =1 - i1 + i` j

5, 3z y - 5z y expresalos en su fomrma

trigonometrica, exponencial y binomica

Respuesta:

Recuerda: 6 n d N ,6 z d C*Arg zn^ h = n.Arg z^ h

zn = zn

( , z2z1 =

z2

z1, Arg z2

z1 = Argz1 - Argz2

6 m d R* ,6 z d C*

Arg m.z^ h =Arg z^ h + r si m 1 0

Arg z^ h si m 2 0(

m.z = m . zZ

[

\

]]]]]]]]]

sea z1 = 1 + iArgz1 = arctag 1

11º cuadrante^ h =

4r

z1 = 1 + 1 = 2* ( z1 = 2 ei 4

r

sea z2 = 1 - iArgz2 = arctag 1

-14º cuadrante^ h =

4-r

z2 = 1 + -1^ h2 = 2

* ( z2 = 2 ei 4-r

( z2z1 =

1 - i1 + i

Arg z2z1 = Argz1 - Argz2 = 4

r -4-r =

2r

z2z1 =

z2

z1=

2

2= 1

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

( z2z1 = 1ei 2

r

= ei 2r

z = z2z1_ i

5=

1 - i1 + i` j

5

Arg z2z1_ i

5= 5.Arg z2

z1 =25r = 2r + 2

r =2r

z2z1_ i

5=

z2z1 5 = 15 = 1

Z

[

\

]]]]]]]]]

( z2z1_ i

5= ei 2

r

Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

z = z2z1_ i

5= ei 2

r

= cos 2r + i.sen 2

r = 12r = i

3z = 3. z2z1_ i

5

Arg 3z^ h = Argz = 2r

porque 3 2 0

3z = 3. z = 3* ( 3z = 3.ei 2

r

3z = 3.ei 2r

= 3. cos 2r + i.sen 2

r_ i = 3

2r = 3i

- 5z =- 5. z2z1_ i

5

Arg -5z^ h = Argz + r

porque -5106 7 84444 4444

=2r + r =

23r

-5z = -5 . z = 5. z = 5Z

[

\

]]]]]]]]]]

(- 5z = 5.ei 23r

- 5z = 5.ei 2r

= 5. cos 23r + i.sen 2

3r` j = 5

23r =- 5i

................................................................

8 Ejercicio

Calcula los nº complejos seguientes en forma binomica, trigonometrica,polar e exponencial

obteniendo a la vez sus opuestos y conjugados y por ultimo representalos graficamente.

1 za =- 3 , 2 zb = 2 + 2i , 3 zc = 3 - i , 4 zd =1 - 3 i

i90, 5 ze = 1 + i

-1 - i^ h3i53

Respuesta:Recuerda: z = z = -z , Arg z^ h =- Arg z^ h , Arg -z^ h = Arg z^ h + r

1 za =- 3 = 3 -1^ h = 3 cosr + i.senr^ h = 3 ei.r = 3^ hr

Conjugado z a =- 3 = 3 cos -r^ h + i.sen -r^ h^ h = 3 ei. -r^ h = 3^ h-r

Opuesto - za = 3 = 3 cos0 + i.sen0^ h = 3 ei.0 = 3^ h0

2 zb = 2 + 2iArg zb^ h = arctag 2

2 = 1` j

1º cuadrante1 2 34444 4444

=4r

zb = 2^ h2 + 2^ h

2 = 8Z

[

\

]]]]]]]]]]

( zb = 8 cos 4r + i.sen 4

r_ i = 8 ei. 4

r

= 8^ h4r

Conjugado zb = 2 - 2i = 8 cos 4-r + i.sen 4

-r_ i = 8 ei. 4-r

= 8^ h4-r

Opuesto - zb =- 2 - 2i = 8 cos 45r + i.sen 4

5r` j = 8 ei. 4

5r= 8^ h

45r

3 zc = 3 - iArg zc^ h = arctag

3

-1c m

4º cuadrante[

=3-r

zc = 3^ h2+ -1^ h

2 = 2Z

[

\

]]]]]]]]]]]]

( zc = 2 cos 3-r + i.sen 3

-r_ i = 2ei. 3-r

= 2^ h3-r

Conjugado zc = 3 + i = 2 cos 3r + i.sen 3

r_ i = 2ei. 3

r

= 2^ h3r

Opuesto - zc =- 3 + i = 2 cos 32r + i.sen 3

2r` j = 2ei. 3

2r= 2^ h

32r

4 zd =1 - 3 i

i90calculemos 1º i90 = i4^ h

22.i2 = 1. -1^ h =- 1 asi que

zd =1 - 3 i

i90 =1 - 3 i

-1 =1 - 3 i

-1

1 + 3 i

1 + 3 i=

4

-1 - 3 i

zd = 4

-1 - 3 i

Arg zd^ h = arctag

4-14

- 3

= 3

J

L

KKKKKKKK

N

P

OOOOOOOO

3º cuadrante1 2 344444444 44444444

=3r- r =

3-2r

zd =4-1` j

2+

4

- 3c m

2

=41 =

21

Z

[

\

]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]

( zd = 4

-1 - 3 i=21

cos 3-2r + i.sen 3

-2r` j =21ei. 3

-2r=21

3-2r

Conjugado zd = 4

-1 + 3 i=21

cos 32r + i.sen 3

2r` j =

21ei. 3

2r=

21` j

32r

Opuesto - zd = 41 + 3 i

=21

cos 3r + i.sen 3

r_ i =

21ei. 3r

=21` j

3r

5 ze = 1 + i

-1 - i^ h3i53calculemos 1º i53 = i4^ h

13.i1 = 1. i^ h = i asi que

^ h

Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

1 i^ h ^ h

ze = 1 + i

- 1 + i^ h3i=- 3i = 3 -i^ h = 3 cos 2

-r + i.sen 2-r_ i = 3ei. 2

-r= 3^ h

2-r

Conjugado ze = 3i = 3 cos 2r + i.sen 2

r_ i = 3ei. 2

r

= 3^ h2r

Opuesto - ze = 3i = 3 cos 2r + i.sen 2

r_ i = 3ei. 2

r

= 3^ h2r

................................................................

9 Ejercicio

Calcula z = -646

Respuesta: Recuerda: zn( hay n soluciones de z

z = -646 = 64. -1^ h6 = 64 cosr + i.senr^ h6 @61 , hay 6 soluciones de z

z = 64 cos r + 2kr^ h + i.sen r + 2kr^ h^ h6 @61 = 646 cos 6r + 2kr` j+ i.sen 6

r + 2kr` j` j8 Bz = 2 cos 6

r + 2kr` j+ i.sen 6r + 2kr` j` j k d Z

para k = 0 A z0 = 2 cos 6r_ i+ i.sen 6

r_ i` j = 2. 2

3+ i 2

1c m = 3 + i

para k = 1 A z1 = 2 cos 2r_ i+ i.sen 2

r_ i` j = 2. 0 + i 1^ h = 2.i

para k = 2 A z2 = 2 cos 65r` j

r- 6r

E

+ i.sen 65r` j

r- 6r

Ef p

= 2 -cos 6r_ i+ i.sen 6

r_ i` j = 2. - 2

3+ i 2

1c m =- 3 + i

para k = 3 A z3 = 2 cos 67r` j

r+ 6r

E

+ i.sen 67r` j

r+ 6r

Ef p

= 2 -cos 6r_ i- i.sen 6

r_ i` j = 2. - 2

3- i 2

1c m =- 3 - i

para k = 4 A z4 = 2 cos 69r` j

r+ 63r

E

+ i.sen 69r` j

r+ 63r

Ef p

= 2 -cos 2r_ i- i.sen 2

r_ i` j = 2. -i^ h =- 2.i

para k = 5 A z5 = 2 cos 611r` j

2r- 6r

6 7 8444 444

+ i.sen 611r` j

2r- 6r

6 7 8444 444f p

= 2 cos 6-r_ i- i.sen 6

-r_ i` j = 3 + i

................................................................

10 Ejercicio

Sea el nº complejo z =- 2 1 + i^ h

a Halla el modulo y argumento de z

b Halla su forma trigonometrica,polar e exponencial.

c Halla modulo y Argumento de las raices cubicas de z.

Respuesta:

a b z =- 2 1 + i^ h = - 2 - 2 i^ h

Arg z^ h = arctag- 2^ h

- 2^ h3º cuadrante^ h =

4r - r =

4-3r

z = - 2^ h2+ - 2^ h

2= 4 = 2

Z

[

\

]]]]]]]]]]

z = 2 -22-

22ic m = 2 cos 4

5r` j+ i.sen 4

5r` j` j = 2ei. 4

5r= 2^ h

45r

c z3 = 23 cos 45r` j+ i.sen 4

5r` j` j3

1

aplicando de Moivre

z3 = 23 cos 345r + 2krd n + i.sen 3

45r + 2krd nd n = 23 cos 12

5r +32kr` j + i.sen 12

5r +32kr` j` j

z3 = 23 cos 125r +

32kr` j + i.sen 12

5r +32kr` j` j , k d Z A hay 3 soluciones.

para k = 0( z03 = 23 cos 12

5r` j + i.sen 12

5r` j` j

para k = 1( z13 = 23 cos 12

13r` j + i.sen 12

13r` j` j

para k = 2( z23 = 23 cos 12

21r` j + i.sen 12

21r` j` j

................................................................

Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

11 Ejercicio

Halla Modulo y argumento del nº complejo zn = 1 + i 3^ hn

siendo n d N

para que valores de n,zn d R.

Respuesta: Recuerda: zn = zn

, Arg zn^ h = n.Arg z^ h

1 + i 3^ h

Arg 1 + i 3^ h = arctag 13

1º cuadrante^ h =3r

1 + i 3 = 1^ h2 + 3^ h

2= 2

Z

[

\

]]]]]]]]]

zn = 1 + i 3^ hn= 2n cos 3

r + 2kr_ i+ i.sen 3r + 2kr_ i8 Bn

zn = 1 + i 3^ hn= 2n cos 3

n.r + 2.nkr_ i+ i.sen 3nr + 2nkr_ i8 B

zn = 2n cos 3n.r + 2. lk r_ i+ i.sen 3

nr + 2 lk r_ i8 B

zn es real si y sólo si sen 3nr = 0 = sen0,

3nr = r + 2kr

3nr = 0 + 2kr* , 3

nr = kr

3nr = kr, n = 3k( n tiene que ser un multiplo de 3

................................................................

12 Ejercicio

Halla las Raices cubicas de la unidad.

Respuesta: Recuerda: a3 - b3 = a - b^ h a2 + ab + b2^ h

1º metodo

z3 = 1, z3 - 1 = 0, z - 1^ h z2 + z + 1^ h,z2 + z + 1 = 0

z = 1%

z2 + z + 1 = 0 3= b2 - 4ac = 1 - 4 =- 3( z = 2a

-b ! i -3=

2

-1 ! i 3

las soluciones son: z1 = 1 , z2 = 2

-1 + i 3, z3 = 2

-1 - i 3

2º metodo

z3 = 1, z = 13 = cos0 + i.sen03 = cos0 + i.sen0^ h31= cos 3

0 + 2kr + i.sen 30 + 2kr` j

z = cos 32kr` j+ i.sen 3

2kr` j` j k d Z

para k = 0 A z0 = cos 0^ h + i.sen 0^ h^ h = 1

para k = 1 A z1 = cos 32r` j+ i.sen 3

2r` j` j = cos r - 3

r_ i+ i.sen r - 3

r_ i` j = -cos 3

r_ i+ i.sen 3

r_ i` j

z1 = 2

-1 + i 3

para k = 2 A z2 = cos 34r` j+ i.sen 3

4r` j` j = cos r + 3

r_ i+ i.sen r + 3

r_ i` j = -cos 3

r_ i- i.sen 3

r_ i` j

z2 = 2

-1 - i 3

................................................................

13 Ejercicio

Halla las Raices cuartas de 16.

Respuesta:

z = 164 = 16.14 = 16 cos0 + i.sen0^ h4 = 16 cos0 + i.sen0^ h6 @41= 164 cos 4

0 + 2kr + i.sen 40 + 2kr` j

z = 2 cos 2kr` j+ i.sen 2

kr` j` j k d Z

para k = 0 A z0 = 2 cos 0^ h + i.sen 0^ h^ h = 2

para k = 1 A z1 = 2 cos 2r_ i+ i.sen 2

r_ i` j = 2.i

para k = 2 A z2 = 2 cos r^ h + i.sen r^ h^ h =- 2

Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

^ h ^ h^ h

para k = 3 A z3 = 2 cos 23r` j+ i.sen 2

3r` j` j = 2 cos r + 2

r_ i+ i.sen r + 2

r_ i` j = 2 -cos 2

r_ i- i.sen 2

r_ i` j =- 2.i

................................................................

14 Ejercicio

Halla las raices en C de la ecuacion -1 + i^ hz3 - 2i = 0

Respuesta:

-1 + i^ hz3 - 2i = 0, z3 = -1 + i2i =

-1 + i2i

-1 - i-1 - i =

22 - 2.i = 1 - i

z3

Arg z3^ h = arctag 1-1

4º cuadrante^ h =4-r

z3 = 1 + 1 = 2* ( z3 = 2 cos 4

-r + i.sen 4-r_ i

z = 26 cos 4-r + 2kr_ i+ i.sen 4

-r + 2kr_ i8 B31 = 26 cos 12-r +

32kr` j+ i.sen 12

-r +32kr` j8 B , k d Z

para k = 0 A z0 = 26 cos 12-r_ i+ i.sen 12

-r_ i8 Bpara k = 1 A z1 = 26 cos 12

7r` j+ i.sen 12

7r` j8 B

para k = 2 A z2 = 26 cos 1215r` j+ i.sen 12

15r` j8 B = 26 cos r + 4

r_ i+ i.sen r + 4

r_ i8 B = 26 -cos 4

r_ i- i.sen 4

r_ i8 B

................................................................

15 Ejercicio

Resuelve en C la seguiente ecuación sabiendo que 1 + i^ hes una de las soluciones

2z2 + bz + 2 = 0 siendo b,z^ h d C2

Respuesta:

como 1 + i^ hes una de las soluciones de la ecuación( 2 1 + i^ h2 + b 1 + i^ h + 2 = 0

4i + b 1 + i^ h + 2 = 0, b =1 + i-2 - 4i

1 - i1 - i =- 3 - i, b =- 3 - i

como ya sabemos que en las ecuaciones de 2º grado az2 + bz + c = 0

siendo z1 y z2 las solucionesz1 .z2 = a

c

z1 + z2 = a-b

*

asi que z1 .z2 = 22 = 1 siendo z1 = 1 + i ( z2 = 1 + i

1, z2 = 1 + i

11 - i1 - i

, z2 = 21 - i

................................................................

16 Ejercicio

Resuelve la ecuación: z3 + z2 + -1 + i^ hz + 2 + 2i = 0 a

sabiendo que - 2 es una de las soluciones, representa graficamente las soluciones.

Respuesta:

como - 2 es una solucion( z + 2^ h z2 + az + b^ h = 0 , determinemos los coeficientes a y b.

z + 2^ h z2 + az + b^ h = z3 + z2 a + 2^ h + b + 2a^ hz + 2b = z3 + z2 + -1 + i^ hz + 2 + 2i

aplicando igualdad de dos polinomios(2b = 2 + 2i( b = 1 + 1

b + 2a =- 1 + ia + 2 = 1( a =- 1

)

luego a , z + 2^ h z2 - z + 1 + i^ h6 @ = 0(z2 - z + 1 + i^ h = 0 2

z + 2 = 0 1(

2 z2 - z + 1 + i^ h = 0 3= -1^ h2 - 4.1. 1 + i^ h = 1 - 4 - 4i

6 7 844444 44444=

fijate bién?

1 - 4i + 4i26 7 8444444 444444

= 1 - 2i^ h2

z = 21 ! 1 - 2i^ h

=i

1 - i$

................................................................

Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

17 Ejercicio

Sea z =1 + i.taga

1halla su modulo y argumento.

Respuesta: Recuerda: cos -a^ h = cosa , sen -a^ h =- sena

z =1 + i.taga

1 =

cosacosa + i.sena

1 =cosa + i.sena

cosacosa - i.senacosa - i.sena =

cos2a + sen2a

cosa cosa - i.sena^ h

z = cosa cosa - i.sena^ h

** si cosa 2 0, 2-r + 2kr 1 a 1 2

r + 2kr k d Z^ h( z = cosa cos -a^ h + i.sen -a^ h^ hArg z^ h =-a

z = cosa(

** si cosa 1 0, 2r + 2kr 1 a 1 2

3r + 2kr k d Z^ h( z =- cosa cos r - a^ h + i.sen r - a^ h^ hArg z^ h = r - a

z =- cosa(

................................................................

18 Ejercicio

Calcula el nº complejo z = 1 + i 3^ h5+ 1 - i 3^ h

5

Respuesta:

sea z1 = 1 + i 3

Arg z1^ h = arctag 13

1º cuadrante^ h =3r

z1 = 1 + 3 = 2

*( z1 = 2.ei 3

r

luego z1^ h5 = 25 .ei 3

5r

sea z2 = 1 - i 3

Arg z2^ h = arctag 1

- 34º cuadrante^ h =

3-r

z2 = 1 + 3 = 2

*( z2 = 2.ei 3

-r

luego z2^ h5 = 25 .ei 3

-5r

Por último z = 25 cos 35r + i.sen 3

5r` j+ 25 cos 3

-5r + i.sen 3-5r` j

z = 25 cos 35r + i.sen 3

5r` j + 25 cos 3

5r - i.sen 35r

` j = 2.25 .cos 35r = 26 .cos r + 3

2r` j =- 26 .cos 3

2r` j

z =- 26 .cos r - 3r

_ i = 26 .cos 3r_ i = 26 2

1 = 25

................................................................

19 Ejercicio

Transformar z =1 - a.i1 + a.i

a d R^ h a la forma trigonometrica.

calcula3 - i 3

3 + i 3, w =

1 - i1 + i

, w93 y Lnw93

Respuesta: Recuerda: cos2a = cos2a - sen2a sen2a = 2.sena.cosa

haciendo cambio variable a = tag 2a

1 - a.i1 + a.i =

1 - i.tag 2a

1 + i.tag 2a

=

1 - i.cos 2a

sen 2a

1 + i.cos 2a

sen 2a

=cos 2a - i.sen 2

a

cos 2a + i.sen 2

a

=cos 2a - i.sen 2

a

cos 2a + i.sen 2

a

cos 2a + i.sen 2

a

cos 2a + i.sen 2

a

1 - a.i1 + a.i =

cos2 2a + sen2 2

a

cos2 2a - sen2 2

a + 2i.sen 2acos 2a

= cosa + i.sena = ei.a

3 - i 3

3 + i 3=

1 - i. 33

1 + i. 33

=1 - i.tag 6

r

1 + i.tag 6r

=cos 6r - i.sen 6

r

cos 6r + i.sen 6

r

= cos 3r + i.sen 3

r = ei. 3r

w =1 - i1 + i

A haciendo cambio variable tag 2a = 1 = tag 4

r( 2a =

4r + kr( a =

2r + 2kr

luego w =1 - i1 + i = cos 2

r + i.sen 2r = i = ei. 2

r

^ h ^ h

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1 i

w93= w4^ h

23.w = i4^ h

23.i = i

Lnw93= Ln i^ h = Lnei. 2

r

= i. 2r+ 2kr k d Z

................................................................

20 Ejercicio

Halla el nº complejo z en forma binomica sabiendo que una de sus raices tercera es 1 - i

Respuesta:

z3 = 1 - i , sea z0 = 1 - i

z0Argz0 = arctag 1

-14º cuadrante^ h =

4-r

z0 = 1^ h2 + -1^ h

2 = 2* ( z0 = 2 cos 4

-r + 2kr_ i + i.sen 4-r + 2kr_ i` j

z3 = 2 cos 4-r + 2kr_ i + i.sen 4

-r + 2kr_ i` j, z = 2^ h3

cos 4-r + 2kr_ i + i.sen 4

-r + 2kr_ i` j3

z = 2 2 cos 4-3r + 2 lk r` j + i.sen 4

-3r + 2 lk r` j` j lk = 0 , 1 , 2

sólo queda por sustituir lk por los valores de 0 , 1 , 2

................................................................

21 Ejercicio

Halla el valor de a y b para que2 - 2ib - ai

sea real y de modulo 2

Respuesta:

2 - 2ib - ai

lo 1º la transformaremos en forma binomica

2 - 2ib - ai

=2 - 2ib - ai

2 + 2i2 + 2i

=4 + 4

2b + 2a + i 2b - 2a^ h=

82b + 2a + 2i b - a^ h

=4

b + a + i b - a^ h

2 - 2ib - ai

para que sea real( b - a = 0, a = b

sabemos que2 - 2ib - ai =

4b + a + i b - a^ h

=4

a + b` j2+

4b - a` j

2= 2 , 16

a2 + 2ab + b2 + a2 - 2ab + b2 = 2 +

, 162a2 + 2b2 = 2, a2 + b2 = 16, a2 + a2 = 16, a2 = 8, a = b

-2 2

2 2(

................................................................

22 Ejercicio

Describir el conjunto de puntos del plano determinado por las seguientes ecuaciones.

a z - i # 2 , b z - 2 2 z - 1 , c z.z 2 4 , d z - 3i = 2 , e z 1 1 y Img z^ h 2 0

Respuesta: Recuerda: Ecuación circonferencia: x - a^ h2 + y - b^ h

2 = r2 siendo a,b^ hcentro , r = radio

x - a^ h2 + y - b^ h

2# r2 A solución región interna x - a^ h

2 + y - b^ h2$ r2 A solución región externa

z = a + bi

afijo de z = a,b^ h

parte Imaginaria = Img z^ h = b

parte real = Re z^ h = a_

`

a

bbbbbbbbb

Z

[

\

]]]]]]]]]

, z = a - bi z2 = z.z

a z - i # 2

z - i = a + bi - i = a + i b - 1^ h, z - i = a2 + b - 1^ h2

luego z - i # 2 + a2 + b - 1^ h2# 2,

+ a2 + b - 1^ h2# 4 asi que el conjunto de puntos buscados es el interior del circulo de centro 0,1^ h y radio 2

b z - 2 2 z - 1

z - 2 2 z - 1 , a - 2^ h2 + b2 2 a - 1^ h

2 + b2 , a - 2^ h2 + b2 2 a - 1^ h

2 + b2, a - 2^ h22 a - 1^ h

2

, a2 - 4a + 4 2 a2 - 2a + 1,- 2a 2- 3,- 2a 2- 3, a 1 23

asi que el conjunto de puntos buscados es S = a + bi/a 1 23

y a,b^ h d R2$ .

c z.z 2 4

z.z = z2 = a2 + b2 2 4 asi que el conjunto de puntos buscados es el exterior del circulo de centro 0,0^ h y radio 2

d z - 3i = 2

z - 3i = 2, a2 + b - 3^ h2 = 2, a2 + b - 3^ h

2 = 4 = 22

asi que el conjunto de puntos buscados es un circulo de centro 0,3^ h y radio 2

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^ h

e z 1 1 y Img z^ h 2 0

Img z^ h 2 0, b 2 0 , z 1 1, a2 + b2 1 1, a2 + b2 1 1

a2 + b2 1 1 A nos indica que la solucion es el conjunto de puntos interiores del circulo de centro 0,0^ h y radio 1

pero cuidado b es positiva asi que la solucion es el interior del mediocirculo de centro 0,0^ h y radio 1

................................................................

23 Ejercicio

Resuelve z4 =- 8 + 8 3 .i y demuestre que los afijos A,B,C y D de las soluciones forman un cuadrado.

Respuesta: Recuerda: distancia entre A y B es AB

ABCD forman un cuadrado Ssi AB = BC = CD = DA y forman un angulo de 900

z4 =- 8 + 8 3 .i, z = -8 + 8 3 .i^ h41

w =- 8 + 8 3 .i

Arg w^ h = arctag -8

8 32º cuadrante^ h =

3-r + r =

32r

w = -8^ h2 + 8 3^ h

2= 16

Z

[

\

]]]]]]]]]

z = -8 + 8 3 .i^ h41

= 16 cos 32r + 2kr` j+ i.sen 3

2r + 2kr` j` j41

= 2 cos 122r +

2kr

` j+ i.sen 122r +

2kr

` j` j

z = 2 cos 6r +

2kr

` j+ i.sen 6r +

2kr

` j` j k = 0 , 1 , 2 , 3

Para k = 0 A z0 = 2 cos 6r_ i+ i.sen 6

r_ i` j = 2 2

3+ i 2

1c m = 3 + i ( A 3,1^ h

Para k = 1 A z1 = 2 cos 32r` j

cos r-3r

a k

6 7 84444 4444

+ i.sen 32r` j

sen r-3r

a k

6 7 8444444 444444f p

= 2 -cos 3r_ i+ i.sen 3

r_ i` j =- 1 + 3 i ( B -1, 3^ h

Para k = 2 A z2 = 2 cos r + 6r

_ i

-cos6ra k

6 7 8444444 444444

+ i.sen r + 6r

_ i

-sen6ra k

6 7 84444444 4444444f p

= 2 -cos 6r_ i- i.sen 6

r_ i` j =- 3 - i ( C - 3, - 1^ h

Para k = 3 A z3 = 2 cos 6r+

23r

` j

cos6

10r =2r- 62r

d n

6 7 844444444 44444444

+ i.sen 6r+

23r

` j

sen3-ra k

6 7 8444444444 444444444

J

L

KKKKKKK

N

P

OOOOOOO = 2 cos 3r_ i- i.sen 3

r_ i` j = 1 - 3 i ( D 1, - 3^ h

ver imagen de ABCD

A 3,1^ h B -1, 3^ h C - 3, - 1^ h D 1, - 3^ h

AB = -1 - 3, 3 - 1^ h & AB = -1 - 3^ h2+ 3 - 1^ h

2= 8

BC = 1 - 3, - 3 - 1^ h & BC = 1 - 3^ h2+ - 3 - 1^ h

2= 8

CD = 1 + 3, - 3 + 1^ h & CD = 1 + 3^ h2+ - 3 + 1^ h

2= 8

DA = -1 + 3, 3 + 1^ h & DA = -1 + 3^ h2+ 3 + 1^ h

2= 8

AB = BC = CD = DA ahora queda determinar el angulo que forman

AB . BC = AB BC . cos AB ,BC^ h\ a A producto escalar de dos vectores

AB . BC = -1 - 3, 3 - 1^ h - 3 + 1, - 1 - 3^ h = -1 - 3^ h - 3 + 1^ h + 3 - 1^ h -1 - 3^ h = 0

cos AB ,BC^ h\ =

AB BC

AB . BC =8 8

0 = 0, AB ,BC^ h\ =

2r

Por último podemos confirmar que los puntos ABCD forman una cuadrado.

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