8/16/2019 Newton (Autoguardado)

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Newton-Raphson

 xn+1= xn− f  ( xn)f ' ( x

n)

1. Dada la ecuación:

cos x+ x−0.5− x

3

9=0

Obtener la raíz más cercana a 2. con una precisión de 10−6

.

!olución: x

0=2.5

f '  ( x )=−sen ( x )+1−

 x2

3

 x

 x x¿n¿¿¿¿¿¿

−sen ( xn )+1−¿

(¿¿ n)+ xn−0.5−(¿¿ n)3

9

¿cos¿

 xn+1= xn−¿

n   xn Error (

 xn−1− xn¿

0 2. -

1 2.1"#$""% #.%1&$11'

2 2.1$&1%""%1 #.#%1$#&&&&

3 2.1$""22(1% #.###%1(21"

4 2.1$""22"1 %.21"1&)-#"

)l resultado es: 2.1$""22

2. *pro+imar la solución de

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e x=

1

 x

con ( decimales e+actos.!olución:

Representando las cur,as:  y=e x

    y=

1

 x

!e toma como ,alor inicial  x0=0.5

f  ( x )=e x−1

 x

f '  ( x )=e x−

 1

 x2

 x

e xn−

  1

(¿¿ n)2

 xn+1= xn−e xn−   1

 xn¿

  ε ≤0.5×10−6=0.0000005

n   xn Error (

 xn−1− xn¿

0 #. -

1 #.(21"'%#1 #.#(21"'%#1

2 #.('11&"1& #.##$&%21"

3 #.('1$%2& 2.%$'#&)-#

4 #.('1$%2& .2#1'&)-1#

)l resultado es: #.('1$%

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%. )ncontrar una buena apro+imación a una raíz de la siuiente /unción:

f  ( x )= x3− x−1

 0omar como punto de partida  x0=1

!olución:

f '  ( x )=3 x2−1

 xn+1= xn− x

n

3− xn−1

3 xn2−1

n   xn Error (

 xn−1− xn¿

0 1 -

1 1. #.

2 1.%$'"2(#"' #.121'%&1%

3 1.%22##%&& #.#22(2(""

4 1.%2$'1"1'$ #.###$"222

5 1.%2$'1'&' 2.1('$)-#'

)l resultado es: 1.%2$'1'&'

$. alcular la solución de

e− x− x=0

con un error menor ue 10−4

!olución:

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 0omamos  x0=0

f  ( x )=e− x− x

f ' ( x )=−e− x−1

 xn+1= xn−   e− x

− x−e− x−1

n   xn Error (

 xn−1− xn¿

0 # -

1 #. #.

2 #.((%11##% #.#((%11##%

3 #.('1$%1( #.###"%21(2

4 #.('1$%2& 1.2%')-#'

)l resultado es: #.('1$%2&

. !ea

tan x=tanh  ( x )

)ncontrar la solución para la relación anterior si  x0=4

!olución:f  ( x )=tan x−tanh ( x)

f ' ( x )=sec 2 ( x )−1+ tanh2  ( x)

 xn+1= xn−  tan xn−tanh  ( xn)

sec2 ( xn )−1+ tanh

2 ( xn)

n   xn Error (

 xn−1− xn¿

0 $ -

1 %.&%22$$" #.#(''$1

2 %.&2((%$%#1 #.##(111"$

3 %.&2((#2%1% %.1&"'')-#

4 %.&2((#2%12 1.#2$#&)-#&

)l resultado es: %.&2((#2%12

3unto 45o

1.   x3+ x−6=0

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!olución: Determinar inter,alo de con4anza

x F(x)

-3 -%(

-2 -1(

-1 -"

0 -(

1 -$

2 $

3 2$

6nter,alo de con4anza: 7128

3unto medio:1+22

=1.5

3osibles despe5es

g ( x )=(6− x)

1

3

h ( x )=(6− x3)

Deri,ando los despe5es

g' ( x )=

  −1

3(6− x)2

3

h' ( x )=−3 x2

Reemplazando el punto auel ue cumpla lo siuiente

  −1≤ g ' ( x)≤1   será apto para iterar

g' ( x )=

  −1

3(6−1.5)2

3 9-#.122&%(#1 *pto para iterar

h'  ( x )=−3 (1.5)2=−6.75 No apto para iterar

6terar con el despe5e apto

  g ( x )=(6− x)1

3

n   xn G(x) Error (

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 xn−1− xn¿

0 1. 1.(#&(%(2$ -

1 1.(#&(%(2$ 1.(%22&1%% #.1#&(%(2

2 1.(%22&1%% 1.(%$(2$#& #.#1"('22'

3 1.(%$(2$#& 1.(%$%%%##1 #.##2%%2'1

4 1.(%$%%%##1 1.(%$%(&%2% #.###2&1#(

5 1.(%$%(&%2% 1.(%$%($'& %.(%22)-#

6 1.(%$%($'& 1.(%$%(%( $.%2()-#(

7 1.(%$%(%( 1.(%$%(2" .((2)-#'

8 1.(%$%(2" 1.(%$%(2&$ '.#"$)-#"

9 1.(%$%(2&$ 1.(%$%(2&% "."#"2)-#&

10 1.(%$%(2&% 1.(%$%(2&% 1.#&&2)-#&

2. *pro+ime la solución de

cosx− x=0on decimales para la /orma

 x= x+cosx

2

* partir del ,alor inicial  x0=1

!olución:

ε ≤0.5×10−5=0.000005

n   xn F(x) Error (

 xn−1− xn¿

0 1 #.''#111% -

1 #.''#111% #.'$%&'"2&( #.22&"$""

2 #.'$%&'"2&( #.'%&"'&21 #.#2(1'2"(

3 #.'%&"'&21 #.'%&21$(12 #.##$#&

4 #.'%&21$(12 #.'%&1#(2( #.###(($($

5 #.'%&1#(2( #.'%"""1 #.###1#"%

6 #.'%"""1 #.'%"(&( 1.'('&)-#

7 #.'%"(&( #.'%"22 2.""1)-#(

)l resultado es: #.'%"

%.   x3−e x+3=0

* partir del ,alor inicial  x0=−1.5

!olución:

Despe5ando corroborando ue −1≤g ' ( x)≤1  

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g ( x )=(e x−3)1 /3

n   xn G(x) Error (

 xn−1− xn¿

0 -1. -1.$#('&% -1 -

1.$#('&%-1.$#1"2&(2$ #.#&$$%2#(

2 -1.$#1"2&(2$

-1.$#1('%"1 #.##%'%"%1

3 -1.$#1('%"1

-1.$#1(('%#" #.###1"1

4 -1.$#1(('%#"

-1.$#1(('#%( (.#'$)-#(

5 -1.$#1(('#%(

-1.$#1(('#2$ 2.'1"1)-#'

6 -1.$#1(('#2$

-1.$#1(('#2$ 1.1%%)-#"

$.   3 x+senx−e x=0

* partir del ,alor inicial  x0=1.5

!olución:

Despe5ando corroborando ue −1≤g ' ( x)≤1  

g ( x )=ln(3 x+senx )

n   xn G(x) Error (   xn−1− xn¿

0 1. 1.'#$2&2%2 -

1 1.'#$2&2%2 1."#"&$1# #.2#$2&2%

2 1."#"&$1# 1."(#'&2"" #.1#$($"2

3 1."(#'&2"" 1."'(#'%#%2 #.#$'1%"2$

4 1."'(#'%#%2 1.""$%%(# #.#1&&&%'$

5 1.""$%%(# 1.""''1$2"2 #.##"2(%#2

6 1.""''1$2"2 1."""&%1$ #.##%%'"2%

7 1."""&%1$ 1.""&($'&"1 #.##1%'#%

8 1.""&($'&"1 1.""&"'$'&' #.###"('

.   x2−e2 x−1=0

!olución:

x F(x)

  -3 '.&&'212

-2 2.&"1("$%(

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-1 -#.1%%%2"

0 -2

1 -'.%"(1

2 -1.&"1

3 -%&.$2"'&%

6nter,alo de con4anza 7-2-18 x

0=−1.5

Despe5ando corroborando ue −1≤g ' ( x)≤1

g ( x )=−(e2 x+1)1

2

n   xn G(x) Error (

 xn−1− xn¿

0 -1. 1.#2$&11'11 1.#2$&11'1 -2.&&&&1&2& 2.2$&11'

2 -2.&&&&1&2&

-1.##1%$1'22 %.&"$"%1

3 -1.##1%$1'22

-1.#(%#&%1 1.&"(#21

4 -1.#(%#&%1

-1.#''11($1 #.#($##&21

5 -1.#''11($1

-1.#"'' #.##'(%&2&

6 -1.#"'' -1.#"$''2$1 #.###"(%&%

7 -1.#"$''2$1

-1.#"$""$2$ &."%%)-#

Reula ;alsi

 xn+1=an f  (bn )−bn f  (an)

f  (bn )−f  (an)

1. 2 x4−5 x2+ x   en el inter,alo 71%.8

!olución:

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