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NATURALEZA DE LOS MODELOS DE ECUACIONES

SIMULTÁNEAS

Tema 1: Modelos de ecuaciones simultáneas

Ana E. Marín Jiménez

Naturaleza de los modelos de ecuaciones simultáneas

1.1 Introducción

Clasificación de las variables de un modelo de ecuaciones simultáneas

• Variables endógenas

• Variables predetarminadas

* Exógenas corrientes.

* Exógenas retardadas.

* Endógenas retardadas.


1.2 Sistemas recursivos y simultáneos

Se clasifican en:

• Sistemas de ecuaciones de regresión.

Son aquellos que no contienen variables endógenascorrientes en el segundo miembro de ninguna ecuación.

• Modelos de ecuaciones simultáneas.

Son aquellos que contienen alguna variable endógenacorriente en el segundo miembro de alguna ecuación.



Tipos de modelos de ecuaciones simultáneas

1. Ecuaciones simultáneas o interdependientes.

Un sistema de ecuaciones se dice que es simultáneo ointerdependiente cuando no se puede resolver ningunaecuación de manera independiente.

1 1 2 2 3 3 5 2 1

2 1 3 3 4 1 5 2 2

3 1 2 1 3 2 4 1 3

Y Y Y X uY Y X X uY Y Y X u

α α α αβ β β βγ γ γ γ

= + + + +

= + + + += + + + +

Ejercicio: Especificar un modelo económico de ecuaciones simultaneas.



Tipos de modelos de ecuaciones simultáneas

2. Sistemas de ecuaciones recursivos o recurrentes.

Un sistema de ecuaciones se dice que es recursivo orecurrente si cada una de las variables endógenas puede serdeterminada secuencialmente.

1 1 2 1 3 2 1

2 1 2 1 3 1 2

3 1 2 1 3 2 5 2 3

Y X X uY Y X uY Y Y X u

α α αβ β βγ γ γ γ

= + + +

= + + += + + + +

Ejercicio: Especificar un modelo económico de ecuaciones recursivo.



Sistemas de ecuaciones de regresión

En estos sistemas las variables endógenas corrientes sólo están en los primeros miembros de las ecuaciones.

1 1 1 1

2 2 2 2

G G G G

Y X uY X u

Y X u

ββ

β

= += +

= +



Sistemas de ecuaciones de regresión

1. Sistema de ecuaciones con datos de series temporales de sección cruzada.

11 1 2 11 3 21 11

12 1 2 12 3 22 12

13 1 2 13 3 23 13

Y X X uY X X uY X X u

α α αβ β βγ γ γ

= + + +

= + + +

= + + +

2. Sistema de ecuaciones aparentemente no relacionadas.

1 1 2 1 2 2 1

2 1 2 3 3 4 2

3 1 2 5 3 6 3

Y X X uY X X uY X X u

α α αβ β βγ γ γ

= + + += + + +

= + + +


1.3 Forma estructural reducida y final.

• La forma estructural es un conjunto de relaciones estructuralescuyos parámetros se denominan parámetros estructurales.

• La forma reducida consiste en poner las variables endógenascorrientes en función de las predeterminadas.

• La forma final del modelo consiste en poner las variablesendógenas corrientes en función de sólo las exógenas (corrientesy retardadas).Ejemplo: Consideremos el siguiente modelo simple de renta nacional:

( )( )

0 1 2 1

0 1 1 2 2 1 2

1t t t t

t t t t t

t t t t

c y r u

i y y r uy c i g

α α τ α

β β β− − −

= + − + +

= + − + +

= + +

Donde y= PIB; c = consumo; i = inversión;

g = gastos del gobierno; r = tipo de interés

tau = tipo impositivo

Ejercicio: Obtener la forma reducida del modelo anterior.


1.4 Expresión matricial del sistema de ecuaciones simultaneas.En el contexto del modelo multiecuacional con g variables endógenas y k predeterminadas la ecuación h-ésima se puede expresar:

( )1 1 1 1 0 1h i hg gi h i hk ki hi hhy y x x uγ γ β β γ+ + + + + + = = −… …

Donde al nombrar los subíndices se ha seguido el siguiente acuerdo:

• Para las variables el primer subíndice indica la variable y el segundo subíndice indica la observación.

• Para los parámetros el primer subíndice representa la ecuación y el segundo la variable a la que acompaña.

Otras alternativas para expresar el sistema de ecuaciones son:

( )1 1 1 1 1h i hg gi h i hk ki hi hhy y x x uγ γ β β γ+ + + + + = =… …

( )1 1 1 1 0hi h i hg gi h i hk ki hi hhy y y x x uγ γ β β γ= + + + + + + =… …


1.4 Expresión matricial del sistema de ecuaciones simultaneas.

Forma estructural

• Ecuación h-ésima en forma matricial:

' ' 0i h i h hiy x uγ β+ + =

donde:

[ ]1 1

' '1 1

h h

i i gi h i i ki h

hg hk

y y y x x xγ β

γ βγ β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

… … … …



Forma estructural

• Modelo de g ecuaciones:

' ' 0i i iy x uΓ + Β+ =

donde:

11 1 11 1'

1

1 1

g g

i i gi

g gg k gk

u u u

γ γ β β

γ γ β β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤Γ = Β = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

… ……

… …



Forma estructural

• El modelo en su conjunto y para todos los valores muestrales:

0Y X UΓ + Β+ =donde:

11 1 11 111 1

1 1 1

g gk

n gn n kn n gn

y y u ux xY X U

y y x x u u

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

… ……

… … …

Ejercicio: Especificar el orden de las matrices anteriores.

Ejercicio: Considerar un modelo en el cual se tenga 3 ecuaciones, 3 variables endógenas, 2 predeterminadas y n observadas .



Forma reducida

1 1

Y X UY X UY X V

− −

Γ = − Β−

= − ΒΓ − Γ= Π +

11 1 11 1 11 111 1

1 1 1 1

g g gk

n gn n kn k gk n gn

y y v vx x

y y x x v v

n g n k k g n g

π π

π π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

× × × ×

… … ……

… … … …

donde: 1−Π = −ΒΓ y 1V U −= − Γ


1.5 Hipótesis básicas del modelo de ecuaciones simultaneas.

Las hipótesis básicas del modelo de ecuaciones simultáneas sonsimilares a las planteadas en el modelo lineal uniecuacional.

Hay que destacar:

1. Las variables exógenas son no estocásticas, en el caso de que haya variables endógenas retardadas se supondrá que serán independientes de las perturbaciones.

2. Se supone que no existe multicolinealidad exacta.



En relación a las perturbaciones aleatorias:

( )1

'1 0

i

i j j gj

gi

uE u u E u u

u

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎡ ⎤= =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

…

( )21 11

'1

21

gi

i i i gi

gi g g

uE u u E u u

u

σ σ

σ σ

⎡ ⎤⎧ ⎫⎡ ⎤⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎡ ⎤= = Σ =⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎣ ⎦

…… …

…

( ) 0iE u =1

( )' 0 , 1, ,i jE u u para i j n= = …2

( )' 1, ,i iE u u para i n= Σ = …3




4 ( )0,iu N→ Σ

Esto se puede generalizar para el conjunto de las n observaciones:

( ) 0E U = y '1E U Un

⎛ ⎞ = Σ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 21 1 1 1

'

2 21 1

i i gi g

i gi gi g g

u u u n n

E U U E nu u u n n

σ σ

σ σ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = = Σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ ∑

∑ ∑

… …

… …




Perturbaciones de la forma reducida:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' ' 1

' ' 1

' '' ' 1 ' 1 1 1

0i i

i i

i i i i i

v u

E v E u

Var v E v v E u u

−

−

− − − −

= − Γ

= − Γ =

= = Γ Γ = Γ ΣΓ = Ω


1.6 Ejemplos de modelos multiecuacionales.

Ejemplo 1: El modelo de demanda y oferta.

Suponiendo que las funciones de oferta y demanda son lineales:

Función de demanda: 0 1 1 1 0dt t tQ P uα α α= + + <

Función de oferta: 0 1 2 1 0ot t tQ P uβ β β= + + >

d ot tQ Q=Condición de equilibrio:

Ejercicio: Obtenga la expresión matricial y la forma reducida del modelo de oferta y demanda.



Ejemplo 2: El modelo de la telaraña en el cual la cantidadofertada depende del precio del periodo anterior, y la demandase representa mediante una función de demanda inversa dondeel precio se pone en función de la cantidad:

0 1 1 1dt t tQ P uα α −= + +

0 1 2t t tP Q uβ β= + +

Ejercicio: Obtenga la expresión matricial y la forma reducida del modelo de la telaraña.



Ejemplo 3: La curva de Phillips pone de manifiesto la relacióninversa entre la tasa de inflación(%) y la tasa de desempleo(%).Esta relación se explica porque una reducción en la tasa dedesempleo (provocada por una reducción en los impuestos, o porun incremento del dinero o del gasto público) provoca unareducción en los recursos ociosos aumentando la presiones sobrelos salarios, los costes y precios y por tanto sobre la inflación.

Consideremos un modelo de tipo Phillips para determinar elsalario nominal y los precios:

( )0 1 2 1

0 1 2

1/t t t t

t t t

W UN P uP Q u

α α αβ β

= + + +

= + +



W = Tasa de cambio de los salarios monetarios o nominales.

UN = Tasa de desempleo, %

P = Tasa de cambio en los precios del consumo.

R = Tasa de cambio en los costes financieros.

M = Tasa de cambio de los precios de las materias primas.

Ejercicio: Expresar matricialmente el modelo de Phillips y la forma reducida.



Ejemplo 4: El profesor Lawrence Klein para analizar elcomportamiento de la economía norteamericana en el periodo1921-1941 propuso el siguiente modelo de seis ecuaciones:

( ) ( )( )

( )

0 1 1 2 2 1

0 1 2 1 3 1 2

1 0 1 2 1 3 3

Función de consumo

Función de inversión

Función de demanda de trabajo

t t t t t

t t t t t

t t t t

C W W B u

I B B K u

W Y Y t u

α α α

β β β β

δ δ δ δ− −

−

= + + + +

= + + + +

= + + + +

Identidades:

( )( )( )

1

1

Condición de equilibrio

Beneficios privados

Stock de capital

t t t t

t t t t

t t t

Y C I G

B Y W T

K K I−

= + +

= − −

= +


1.6 Ejemplos de modelos multiecuacionales.Todas las variables están medidas en miles de millones de dólares de1934, siendo:C = Consumo privado

W1= Salarios pagados por el sector privado

W2 = Salarios pagados por el sector público.

B = Beneficios

I = Inversión privada

K = Stock de capital privado

Y = Renta nacional

T = Impuestos sobre empresas

G = Gasto público (excepto salarios)

t = Tiempo

ui= perturbaciones aleatorias

α,β y δ = parámetros del modelo



Este modelo contiene tres ecuaciones de comportamiento y tres identidades.

Clasificación de las variables:

Endógenas: C, I, W1, Y, K, B

Predeterminadas:

Endógenas retardadas: Yt-1, Bt-1, Kt-1

Exógenas corrientes: W2, G ,T (t también podría considerarse como exógena)

Ejercicio: Expresar matricialmente el modelo de Lawrence Klein.

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