Guía Del estudiante

Modalidad a distancia

Modulo

FUNDAMETOS MATEMÁTICOS PARA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESEAS AGROPECUARIAS

I SEMESTRE

BIENVENIDA

DATOS DE IDENTIFICACION

TUTOR Luis Enrique Alvarado Vargas

Teléfono 435 29 52 – CEL. 310 768 90 67

E-mail leav70@gmail.com

Lugar Madrid Cundinamarca

Corporación Universitaria Minuto de Dios – Rectoría Cundinamarca

El pensamiento numérico y los sistemas numéricos

Los Lineamientos Curriculares de Matemáticas plantean el desarrollo de los procesos curriculares y la organización de actividades centradas en la comprensión del uso y de los significados de los números y de la numeración; la comprensión del sentido y significado de las operaciones y de las relaciones entre números, y el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación. Dichos planteamientos se enriquecen si, además, se propone trabajar con las magnitudes, las cantidades y sus medidas como base para dar significado y comprender mejor los procesos generales relativos al pensamiento numérico y para ligarlo con el pensamiento métrico. Por ejemplo, para el estudio de los números naturales, se trabaja con el conteo de cantidades discretas y, para el de los números racionales y reales, de la medida de magnitudes y cantidades continuas.

Aquí se puede ver una clara relación con los cinco tipos de pensamiento matemático enunciados en los Lineamientos curriculares: en la aritmética, el pensamiento numérico; en la Geometría, el pensamiento espacial y el métrico; en el álgebra y el cálculo, el pensamiento métrico y el variacional, y en la probabilidad y estadística, el pensamiento aleatorio.

En el caso de los números naturales, las experiencias con las distintas formas de conteo y con las operaciones usuales (adición, sustracción, multiplicación y división) generan una comprensión del concepto de número asociado a la acción de contar con unidades de conteo simples o complejas y con la reunión, la separación, la repetición y la repartición de cantidades discretas. En cierto sentido, la numerosidad o cardinalidad de estas cantidades se está midiendo con un conjunto unitario como unidad simple, o con la pareja, la decena o la docena como unidades complejas, y las operaciones usuales se asocian con ciertas combinaciones, separaciones, agrupaciones o reparticiones de estas cantidades, aunque de hecho se refieren más bien a los números que resultan de esas mediciones.

Históricamente, las operaciones usuales de la aritmética eran muy difíciles de ejecutar con los sistemas de numeración griegos o con el romano, y sólo en el Siglo XIII se empezó a adoptar en Europa el sistema de numeración indo-arábigo. Entre los Siglos XIV y XIX, la enseñanza de la aritmética escolar se redujo en la práctica al manejo de este sistema de numeración para los naturales y de su extensión para los racionales positivos (o “fraccionarios”). Pero durante el Siglo XX hubo una proliferación muy grande de otros contenidos matemáticos en la Educación Básica y Media; enparticular, además de los naturales, se empezaron a estudiar los sistemas numéricos de los enteros, los racionales, los reales y los complejos, y otros sistemas de numeración antiguos y nuevos (como el binario, el octal, el hexadecimal, el vigesimal y el sexagesimal para los naturales y sus extensiones a los racionales), así como las notaciones algebraicas para los números irracionales, los reales y loscomplejos.

Estas extensiones sucesivas de los sistemas numéricos y de sus sistemas de numeraciónrepresentan una fuerte carga cognitiva para estudiantes y docentes y una serie de dificultades didácticas para estos últimos. Es conveniente recordar, por ejemplo, que durante la Edad Antigua y Media ni siquiera las razones entre dos números de contar se consideraban como verdaderos números. Hoy día se aceptan como una nueva clase de números, llamados precisamente “racionales” (por la palabra latina “ratio”, que significa “razón”).

El paso del concepto de número natural al concepto de número racional necesita una reconceptualización de la unidad y del proceso mismo de medir, así como una extensión del concepto de número. El paso del número natural al número racional implica la comprensión de las medidas en situaciones en donde la unidad de medida

no está contenida un número exacto de veces en la cantidad que se desea medir o en las que es necesario expresar una magnitud en relación con otras magnitudes.Las primeras situaciones llevan al número racional como medidor o como operador ampliador o reductor (algunos de estos últimos considerados a veces también como “partidores” o “fraccionadores” de la unidad en partes iguales), representado usualmente por una fracción como “¾”, o por un decimal como “0,75”, o por un porcentaje como “el 75%”. Las otras situaciones llevan al número racional comorazón, expresado a veces por frases como “3 de 4”, o “3 por cada 4”, o “la relaciónde 3 a 4”, o por la abreviatura “3:4”.

Históricamente, las operaciones usuales de la aritmética eran muy difíciles de ejecutar con los sistemas de numeración griegos o con el romano, y sólo en el Siglo XIII se empezó a adoptar en Europa el sistema de numeración indo-arábigo.

Algo parecido sucede con el paso del concepto de número natural al de número entero más general, que puede ser positivo, cero o negativo, y del concepto de número racional positivo (también llamado “número fraccionario”) al de número racional más general, que también puede ser positivo, cero, o negativo. Aunque los chinos e hindúes empezaron a explorar números negativos hace más de mil años, en los países europeos éstos no se aceptaron como números hasta bien entrado el Siglo XVII. Elconcepto de número negativo es el resultado de la cuantificación de ciertos cambiosen las medidas de una magnitud, o de la medida relativa de una magnitud con respecto a un punto de referencia, identificado con el cero. Este paso de los números naturales a los números enteros positivos y negativos (con el cero como entero) y a los números racionales positivos y negativos (con el cero como racional) no sólo amplía el concepto de número, sino que también obliga a cambios conceptuales en las operaciones y las relaciones entre ellos, configurando así sistemas numéricos diferentes. El fracaso en la medición de ciertas longitudes cuando se tomaba otra como unidad llevó al concepto de número irracional, que complementó el de número racional y llevó a pensar en un sistema unificado de números racionales e irracionales llamados “reales”, con sus operaciones y relacionesapropiadamente extendidas a los nuevos números.

Las conceptualizaciones relativas a los números reales implican la aritmetización de procesos infinitos, y por ende, la construcción de las nociones de inconmensurabilidad, irracionalidad, completitud y continuidad. Igualmente, este paso de los números racionales a los números reales requiere del uso y comprensión de diferentes tipos de representaciones numéricas, sobre todo, las relativas a los números irracionales, tanto por medio de decimales infinitos como de símbolos algebraicos.El fracaso en la solución de ciertas ecuaciones algebraicas llevó a la conceptualización de un nuevo tipo de número, llamado “imaginario”, que complementó el de número real y llevó a pensaren un sistema unificado de números llamados “complejos”. Éstos, a su vez, requieren de diferentes tipos de representaciones y una extensión de las operaciones y las relaciones entre estos nuevos números complejos.Se fueron configurando así sistemas numéricos llamados “naturales”, “racionales positivos” (o “fraccionarios”), “enteros”, “racionales”, “reales” y “complejos”, cada uno de ellos con operaciones y relaciones extendidas a los nuevos sistemas numéricos a partir de su significado en los naturales y con sus sistemas de numeración o sistemas notacionales cada vez más ingeniosos. El pensamiento aritmético opera mentalmente sobre sistemas numéricos en interacción con los sistemas denumeración, y sin estos últimos no se hubieran podido perfeccionar ni siquiera los sistemas numéricos naturales, mucho menos los demás.

Así pues, el desarrollo del pensamiento numérico exige dominar progresivamente un conjunto de procesos, conceptos, proposiciones, modelos y teorías en diversos contextos, los cuales permiten configurar las

estructuras conceptuales de los diferentes sistemas numéricos necesarios para la Educación Básica y Media y su uso eficaz por medio de los distintos sistemas de numeración con los que se representan. El complejo y lento desarrollo histórico de estos sistemas numéricos y simbólicos esbozado arriba sugiere que la construcción de cada uno de estos sistemas conceptuales y el manejo competente de uno o más de sus sistemas simbólicos no puede restringirse a grados específicos del ciclo escolar, sino que todos ellos se van construyendo y utilizando paciente y progresivamente a lo largo de la Educación Básica y Media. Un acompañamiento pedagógico paciente y progresivo de los estudiantes puede lograr que la gran mayoría de ellos logre la proeza de recorrer doce milenios de historia del pensamiento numérico en sólo doce años de escolaridad.

La comprensión del número, su representación, las relaciones que existen entre ellos y las operaciones que con ellos se efectúan en cada uno de los sistemas numéricos. Se debe aprovechar el concepto intuitivo de los números que el niño adquiere desde antes de iniciar su proceso escolar en el momento en que empieza a contar, y a partir del conteo iniciarlo en la comprensión de las operaciones matemáticas, de la proporcionalidad y de las fracciones. Mostrar diferentes estrategias y maneras de obtener un mismo resultado. Cálculo mental. Logaritmos. Uso de los números en estimaciones y aproximaciones.

UNIDAD DE TRABAJO No.2

Indicadores

Reconocer los sistemas numéricos y sus propiedades, para aplicarlos en la solución de situaciones problémicas propias de la carrera.

Resolver problemas que se plantean a lo largo de las actividades de la vida estudiantil y profesional Caracterizar los elementos de producción de la zona de estudio a través del pensamiento numérico y la

encuesta, para asumir el compromiso de iniciar el trabajo investigativo.

Proponer un modelo asociativo a través de las propiedades de las operaciones con números racionales e

irracionales.

Proponer un modelo asociativo a través de las propiedades de las operaciones con números reales

NÚMEROS

Contenido

Los números naturales El principio de inducción matemática División exacta y división entera Descomposición en factores primos Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides Representación de un número natural en una base cualquiera

Los números enteros

Los números racionales Relación de orden en el conjunto de los racionales Densidad del conjunto de los racionales. Propiedad arquimediana Cardinal de los racionales Representación decimal de los números racionales

Los números irracionales

Los números reales

¿Cómo el pensamiento numérico en la solución de problemas propios de la administración Agropecuaria?

A través de los sistemas numéricos ¿A qué tipo de situaciones le podemos dar solución en la carrera?

¿QUE ES UN NÚMERO?

Un número es un ente (algo intangible, por decirlo así) que nos sirve para contar y establecer un orden de sucesión entre las cosas. Los números se pueden clasificar en: Naturales, Enteros, Fraccionarios, Irracionales y reales.

Cada conjunto de números engloba a otros, como puedes observar en esta imagen:

N=Números NaturalesZ=Números EnterosQ=Números RacionalesI=Números Irracionales R=Números Reales

NUMEROS NATURALES:

Los números naturales son aquellos que normalmente utilizamos para contar. Son aquellos números positivos y sin parte decimal.

N= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ...}

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...}

Con los números naturales se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo.

Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo. El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que

pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número , es decir, el conjunto cuando es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito

numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verá más adelante.

El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales, e , o bien , o bien .

RQ

Z N

I

Todo subconjunto no vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento tal que para todo de se tiene .

Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2. Principio de inducción matemática: si un subconjunto de verifica que y, si ,

resulta que , entonces .

o Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todo natural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de los primeros números naturales es podemos hacerlo

por inducción en la forma siguiente:

Para es claro que la suma de los 1 primeros números naturales es .

Suponiendo cierta la fórmula para , es decir, , veamos

que también es cierta para ,

Luego la fórmula es válida para todo n natural.

o Ejercicio: Demostrar, razonando por inducción, las siguientes fórmulas:

Dados dos números naturales , no es cierto en general que exista un natural tal que

. Si tal existe se denomina cociente exacto de por , y la división se denomina exacta. En este caso se dice que es divisible por , o que es un divisor de , o que es un múltiplo de .

Cuando no es así, siempre es posible encontrar y que verifiquen con Los

números , , y se denominan dividendo, divisor, cociente y resto respectivamente y el procedimiento para determinar y a partir de y se denomina división entera.

Descomposición en factores primos: Un número primo es aquél número natural que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., son números primos.

Hay infinitos números primos. Un famoso procedimiento para encontrar números primos es la denominada criba de Eratóstenes, que consiste en tomar una lista de los números naturales e ir tachando sucesivamente los múltiplos de cada natural que aún no hubiera sido tachado previamente.

El uso de números primos grandes tiene aplicaciones en criptografía (ocultación de secretos). Todo número natural admite una descomposición en producto de números primos. Esta descomposición es única salvo el orden de los primos considerados. En el siguiente recuadro tienes algunos

ejemplos.

Encontrar la factorización de números grandes es un problema con elevada complejidad computacional, de hecho no hay ningún algoritmo eficiente para ello. Por eso varios sistemas criptográficos se basan en este problema. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides.

El máximo común divisor de dos números se define, como su propio nombre indica, como el divisor más grande que ambos números tienen en común. Si disponemos de la factorización de ambos números, entonces el máximo común divisor se obtiene quedándose solamente con aquellos factores comunes a ambas descomposiciones y elevados al menor de los exponentes con los que aparezcan.

El mínimo común múltiplo, nuevamente como indica su nombre, es el múltiplo más pequeño que ambos números tienen en común. Atendiendo a las descomposiciones de ambos números, el mínimo común múltiplo se obtiene considerando todos los factores distintos que aparecen (comunes y no comunes), cada uno de ellos elevado al mayor exponente con el que aparezca.

Según se dijo antes, calcular la factorización de un número es un proceso muy costoso. Sin embargo, puede calcularse el máximo común divisor de dos números de una manera eficiente, sin necesidad de factorizar previamente ambos números. Es lo que se conoce como algoritmo de Euclides y consiste en lo siguiente:

o Dados dos números , comenzamos realizando la división entera de entre .

o Cada paso consiste en una nueva división, en la que el dividendo es el número que actuó de divisor en la división anterior y el divisor es el número que se obtuvo como resto en la división anterior.

o Cuando en una división se obtiene resto nulo, el máximo común divisor de los números de los que partimos será el número que ha actuado como divisor en esa última división efectuada y que resultó ser una división exacta.

Una vez obtenido el máximo común divisor de esta manera, ¿se te ocurre cómo obtener el mínimo común múltiplo sin necesidad de factorizar los números?

Representación de un número natural en una base cualquiera:

El método de divisiones enteras sucesivas permite escribir cualquier número natural en forma única en una base cualquiera p, en la forma siguiente:

en base p, donde .

Para lograr dicha expresión basta con realizar sucesivas divisiones enteras de n por p y tomar los restos, es decir,

Hasta que en la r-ésima división, se tenga . Se toma

, y hemos terminado.

o Nótese que nuestra actual notación posicional para los números naturales se corresponde con la representación de los números naturales en base decimal (p=10). Se denomina notación posicional porque el valor de una cifra depende de la posicón que ésta tenga en el número: un 5 en el lugar de las unidades vale 5, mientras que en el lugar de las centenas vale 500.

o La notación binaria, tan común en el mundo de la informática es el resultado de tomar p=2 y representar los números naturales en dicha base.

o ¿Conoces otras representaciones en bases distintas? Hexadecimal, sexagesimal...

NUMEROS ENTEROS:

Son todos los números naturales y sus opuestos, es decir, los números enteros positivos y negativos.

Z = { 1 , -1 ,2 , -2 , 3 , -3 , 4 , -4... }

Cuando se necesita además restar surgen los números enteros ={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Los enteros se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la

operación suma. Si a y b denotan números naturales, la suma de dos números enteros a+(-b), se

define como:

el entero positivo a-b, si a > b,0, si a=bel entero negativo -(b-a) si a < b

La suma de dos enteros negativos se define como (-a)+(-b)=-(a+b)

De hecho, los enteros, con la operación suma tienen estructura de grupo conmutativo.

Si además de la suma, consideramos la operación de multiplicación definida como

o (-a)(-b)=ab

o (-a)b=a(-b)=-(ab),

el conjunto de los enteros, con ambas operaciones tiene estructura de anillo conmutativo y con unidad.

Por cierto, ¿qué hay más?, ¿números enteros o números naturales?. Nótese que se puede establecer una correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos, , por ejemplo como ésta:

si n es un entero positivo

Por tanto, el conjunto de los enteros es también infinito numerable. También es un conjunto totalmente ordenado, cuando se considera la relación de orden definida en la forma obvia y que extiende la relación de orden que se tiene en . También es cierto que en los enteros todo subconjunto acotado inferiormente tiene elemento mínimo, y recíprocamente, todo subconjunto acotado superiormente tiene elemento máximo.

NUMEROS RACIONALES:

Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción. Incluyen los naturales, enteros.

Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados),

={... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, ...... } Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la

multiplicación.

o La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.

o El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.

o Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc.

(En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros)

o Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.

De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.

En se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aquéllas de la forma

ax+b=0, con a y b racionales. En se puede definir un orden total compatible con las operaciones suma y

producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente en y en . Para ello basta con definirlo como sigue:

Dados dos números racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos (esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un número racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice que si y sólo si

respecto del orden existente en el conjunto de los enteros.

Por tanto con dicho orden es un conjunto totalmente ordenado.

Densidad del orden:

Dados dos números racionales distintos, , siempre existe otro número racional

tal que .

Para ello, si , con b y d positivos, basta con

tomar

Ejercicio: probar que efectivamente (por ejemplo, entre 3/5 y

2/3 se encuentra 5/8)

Ahora bien, reiterando el proceso de introducir un racional entre cada dos racionales distintos es claro que entre dos racionales distintos existen infinitos racionales distintos,

Por ejemplo, ahora entre 3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre 3/5 y 8/13 se encuentra 11/18, etc., tenemos asi 3/5 < ...... < 11/18 < 8/13 < 5/8 < 2/3.

por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjunto denso. No tiene sentido hablar del racional siguiente o anterior a uno dado. Esto es algo que no ocurría ni en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros.

Propiedad arquimediana (o de Arquímedes):Dados dos números racionales y , siempre existe un n natural tal que

. Esto quiere decir que por pequeño que sea , si consideramos la sucesión

de racionales , llegará un momento en que sobrepasasaremos a ,

por muy grande que este sea.

Por ejemplo:

Esta es una propiedad que también poseían los números naturales y los enteros.

El cardinal de los racionales:¿Cuántos números racionales hay? ¿Qué hay más, naturales o racionales?

Puede parecer que la respuesta sería, obviamente hay más racionales, puesto que los naturales son también números racionales, y además hay otros racionales, como 1/2 por ejemplo, que no son naturales, por lo que podemos concluir que el cardinal de los racionales es que el de los naturales.

Pero podemos también probar que hay más naturales que racionales. Una forma de hacerlo sería seguir el siguiente razonamiento gráfico. Coloquemos los enteros en un eje horizontal, y también en un eje vertical. Cada punto (a,b) del retículo que se forma representará al racional a/b. Comenzamos ahora a trazar un camino en espiral, partiendo del origen que recorra uno a uno todos los puntos del retículo como se ve en la siguiente gráfica:

Es claro que podemos poner en correspondencia biyectiva los puntos del retículo con los naturales sin más que irlos numerando a medida que la linea espiral pasa por cada uno de ellos. Ahora bien, no todos los puntos del retículo se corresponden con números racionales, ya que los de la forma (n,0) no se corresponden con ningún racional, y además muchos puntos del retículo representan al mismo número racional, por ejemplo (1,2) y (2,4) representan al mismo número racional, ya que 1/2=2/4. De aquí se concluye que podemos dar una correspondencia sobreyectiva de en , y por tanto que el cardinal de es que el cardinal de .

Combinando ambos resultados podemos concluir que el cardinal de es igual que el de , es decir, que es un conjunto infinito numerable.

Ejercicio: encontrar un correspondencia biyectiva entre y .

Representación decimal de números racionales:

Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0.5 , 3405/25=136.2 y 1/3= 0.33333.......

Esto puede dar lugar a dos tipos de expresiones decimales, las exactas y las periódicas. Éstas últimas pueden a su vez dividirse en periódicas puras o periódicas mixtas.

o Expresión decimal exacta, es aquélla que tiene un número finito de términos. Por ejemplo: 0.5, 1.348 ó 367.2982345Esta expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la expresión irreducible) sólo contiene los factores 2 y 5. Por ejemplo 1349/1000, 40/25, ...

o Expresión decimal periódica es aquélla que tinene un número infinito de cifra decimales, pero de modo que un grupo finito de ellas se repite infinitamente, de forma periódica, por ejemplo 0.333333....., 125.67777777....... ó 3.2567256725672567...... Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5, por ejemplo, 1/3=0.33333.....La parte que no se repite se denomina anteperíodo y la que se repite, período.

Periódica pura es aquélla que no tiene anteperíodo. Periódica mixta es aquélla que sí tiene anteperíodo.

Podría considerarse que las expresionas decimales exactas son periódicas mixtas pero con período 0.

Recíprocamente, dada una expresión decimal exacta o periódica, puede encontrarse una expresión racional para la misma siguiendo la siguiente norma:

Si la expresión es exacta se coloca como numerador el número entero que resulta de

suprimir el punto decimal y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras se encontraran a la derecha del punto decimal en la expresión decimal original.

Si la expresión es periódica, se coloca como numerador el resultado de restar al número entero formado por el anteperíodo seguido de la primera repetición del período, el entero formado por el ante período, todo ello multiplicado por la unidad seguida de tantos ceros como cifras significativas se encuentren a la izquierda del punto decimal. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Ejemplos:

Posteriormente se pueden simplificar las fracciones obtenidas para conseguir la expresión irreducible.

NUMEROS IRRACIONALES:

Son los números que poseen infinitas cifras decimales.

Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es

0.1234567891011121314151617181920........

claramente, esta representación decimal no es exacta ni periódica, por tanto no puede corresponderse con ningún número racional.

Veamos otros ejemplos.

Se trata de un ejemplo típico de número no racional con una demostración muy sencilla de que, en efecto, no puede ser racional

En el siguiente recuadro puedes ver las primeras 100 cifras decimales de . Además se muestra una manera

de construir el número sobre la recta real con regla y compás y finalmente se da una serie de números

racionales que converge hacia .

Para construir la serie que converge hacia hemos usado obviamente la sucesión de cifras decimales indicada

más arriba. También podíamos haber definido una sucesión de números racionales que converge hacia de la forma siguiente

donde es el mayor número entero que verifica .

Otro de los ejemplos cásicos de números irracionales que estamos acostumbrados a manejar es el conocido por la letra griega Pi que representa la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia.

A diferencia de lo que ocurre con , no es posible dibujar con regla y compás el número sobre la recta real. El problema es conocido como la rectificación de la circunferencia y hay métodos algebraicos para demostrar que no tiene solución, a pesar de que mucha gente la buscó durante siglos (y algunos siguen buscándola hoy en día). Otros problemas de parecida índole son los famosos de la cuadratura del círculo, que consiste en construir con regla y compás un cuadrado que tenga el mismo área que un círculo dado, y la trisección del ángulo, que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales. Todos ellos son imposibles con regla y compás y puede demostrarse algebraicamente su imposibilidad.

En el siguiente recuadro tienes las primeras cien cifras decimales de y además una serie de números racionales que converge hacia .

La serie indicada es conocida como serie de Leibniz y hemos de advertir que su convergencia es bastante lenta. ¿Cuántos términos te hace falta sumar para obtener 10 cifras decimales correctas?

También el número , base de los llamados logaritmos naturales o neperianos es un número irracional. Este número surge de forma natural al considerar el interés compuesto.

Supongamos que tenemos un capital unidad a un interés anual (en tanto por uno). Al cabo del año nuestro

capital será .

Sin embargo, si dividimos el año en dos semestres e incorporamos el interés al finalizar cada uno dos semestres,

al final del primer período tendremos y al finalizar el año

Si dividimos el año en tres cuatrimestres, incorporando los intereses al capital al final del cada período,

tendremos respectivamente al final de cada cuatrimestre.

...

Si dividimos el año en n períodos tendremos al final del año .

Se define como el límite del resultado anterior cuando n se hace infinitamente grande (infinitos períodos infinitamente pequeños), siendo , es decir

En el recuadro siguiente vemos las 100 primeras cifras decimales de , así como dos formas de ver como límite de sucesiones de números racionales (en el segundo caso se trata de una serie).

Igual que pasaba con , no es posible dibujar con regla y compás un punto en la recta real a distancia del origen.

Si consideramos el conjunto de todas las expresiones decimales, solamente aquéllas finitas o periódicas se corresponderán, como ya se vio, con números racionales; el resto forman el conjunto de los números irracionales.

El conjunto de los irracionales, denotado por tiene, como , la propiedades de orden total, densidad y propiedad arquimediana. En cambio no es un conjunto numerable. ¿Se te ocurre alguna forma de probar que no es numerable?

(pincha aquí para ver una forma de demostrarlo)

Ya se ha visto para los ejemplos mostrados, pero se puede afirmar en general que todos los números irracionales pueden verse como límites de sucesiones de números racionales. Para ello basta con considerar la expresión decimal del número en cuestión y construir la sucesión obvia que consiste en considerar cada vez un

cifra decimal más, de modo que el término es la fracción que da lugar a la expresión decimalm exacta formada por las n primeras cifras del número dado.

NUMEROS REALES:

La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en , y es un conjunto totalmente ordenado.

Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.

Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos e son heredadas por .

Como ya se ha visto, es denso en . También es denso en .

Podemos considerar como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.

A diferencia de lo visto para , y , el conjunto de los reales no es numerable. (una demostración).

Veamos por último un cuadro resumen de las propiedades que hemos analizado en los distintos conjuntos de números.

Ordenado Denso Numerable Estructura algebraica+ Semigrupo * Semigrupo+ Grupo * Semigrupo +,* Anillo conmut. con1+ Grupo * Grupo +,* Cuerpo conmut.No tiene estructura algebraica al no ser cerrado para + y *+ Grupo * Grupo +,* Cuerpo conmut.

Página creada por Ángela Barbero Díez

Propiedades de los números reales

Si a, b y c son números reales entonces:

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Conmutativa Suma

Multiplicación

a+b = b+a

ab = ba

El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

2+8 = 8+2

5(-3) = ( -3)5

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Asociativa Suma

a+(b+c)=(a+b)+c

Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y

7+(6+1)=(7+6)+1

Multiplicación a(bc) = (ab)cno se afecta el resultado. -2(4x7)= (-2x4)7

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Identidad Suma

Multiplicación

a + 0 = a

a x 1= a

Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva.

Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

-11 + 0 = -11

17 x 1 = 17

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Inversos Suma

Multiplicación

a + ( -a) = 0

La suma de opuestos es cero.

El producto de recíprocos es 1.

15+ (-15) = 0

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Distributiva Suma respecto a

Multiplicación

a(b+c) = ab + ac El factor se distribuye a cada sumando.

2(x+8) =

2(x) + 2(8)

Identifica la propiedad:

5 ( 4 x 1.2 ) = ( 5 x 4 ) 1.2

14 + ( -14 ) = 0

3 ( 8 + 11 ) = 3 ( 8) + 3 (11)

( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5)

Aplica la propiedad indicada:

5(x + 8) ; (conmutativa de suma)

(3 x 6) 2 ; (asociativa de multiplicación)

(9 + 11) + 0 ; (identidad aditiva)

12(x + y) ; (distributiva)

9(6 + 4) ; (conmutativa de multiplicación)

(x + y) + z ; (asociativa de suma)

( RESPUESTAS )

Otras propiedades

Propiedad de los opuestos Que dice Ejemplo

-( -a ) = a El opuesto del opuesto es el mismo número.

- ( - 9 ) = 9

(-a)( b)= a (-b)= -(ab) El producto de reales con signos diferentes es negativo.

( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2)

= - 30

( - a)( -b) = ab El producto de reales con signos iguales es positivo.

( -34) ( - 8) = 34 x 8

-1 ( a ) = - a El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real.

-1 ( 7.6 ) = - 7.6

Propiedades del cero

Propiedad del cero Que dice Ejemplo

a x 0 = 0 Todo real multiplicado por 0 es 0.

16 x 0 = 0

a x b = 0 entonces

a = 0 ó b = 0

Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores es igual a 0.

(a+b)(a-b) = 0 entonces

a + b = 0 ó a – b = 0

Recuerda

Operación Definición Que dice Ejemplo

Resta a – b = a + ( - b) La resta es la suma del opuesto del sustraendo.

2 – 8 = 2 + (-8) = - 6

División La división es la multiplicación por el recíproco del divisor.

RADICALES:

Son una expresión de la forma:

Donde:

"a" es el radicando."n" es el índice."m" es el exponente.

Además la propiedad fundamental de los radicales nos dice que si multiplicamos o dividimos el índice y el exponente de una misma expresión por el mismo numero, seguimos teniendo el mismo radical.

MULTIPLICACION // DIVISION DE RADICALES:

Para multiplicar y dividir radicales es necesario que tengan el mismo índice; si esto no ocurre debemos reducir a índice común.

INTRODUCCION Y EXTRACCION DE FACTORES EN UN RADICAL

ADICCION // SUSTRACCION DE RADICALES

Para sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes, es decir, que tengan el mismo indice y el mismo radicando. Cuando los radicales son semejantes, solo es necesario sumar sus respectivos coeficientes.

POTENCIA DE UN RADICAL

RAIZ DE UN RADICAL

En esta página podrás encontrar problemas curiosos para los que en general no hace falta ninguna formación matemática previa, pero sí un cierto razonamiento lógico. Tómatelos como una especie de colección de pasatiempos. Ánimo y a por ellos. Algún día incluiré indicaciones para su resolución. De momento siempre puedes contactar conmigo para pedirme pistas, o la resolución completa. Mi dirección de correo electrónico es angbar@wmatem.eis.uva.es Comenzamos por algo sencillito. 1. ¿Podrías descomponer esta figura en 7 polígonos congruentes, es decir, que unos de otros difieran solamente en posibles traslaciones, rotaciones o reflexiones especulares? Nota: todas las líneas de la frontera de la figura tienen longitud 1 y los ángulos internos que aparecen son de 90, 120, 150, 210 y 240 grados.

2. Seguimos con algo un poco más entretenido. Considera los números 1,2,3,...,1000. Demuestra que en cualquier subconjunto con 501 de estos números siempre existen dos números tales que uno es múltiplo del otro.

3. Este problema perteneció a una Olimpiada Matemática. Sea n>1 un número natural. Sea M un conjunto de intervalos cerrados. Supóngase que los extremos u, v de cada intervalo [u, v] de M son números naturales que satisfacen 1<=u<v<=n y que dos intervalos distintos I e I', o bien tienen intersección vacía, o bien uno está contenido en el otro, es decir, dos intervalos distintos nunca se solapan parcialmente. Demuéstrese que |M|<=n-1. 4. Ahora un problema clásico de teoría de grafos. El famoso problema de los puentes de Königsberg.

La antigua ciudad de Königsberg (hoy Kaliningrado, en Rusia) es atravesada por el río Pregel formando islas en la forma que se aprecia en el grabado.

Sobre el río se han construido siete puentes en las posiciones que también se aprecian en las figuras. ¿Puede alguien dar un paseo por la ciudad atravesando todos los puentes, pero solamente una vez cada uno de ellos?

Este problema fue resuelto de forma matemática por Leonard Euler en un artículo de 1736 que se considera como el origen de la Teoría de Grafos.

Siguiendo con el mismo tipo de problema, ¿Se puede dibujar el sobre cerrado sin levantar el lápiz y trazando casa línea una sola vez? ¿Y el sobre abierto? ¿Y la siguiente figura? 5. Sigamos con la teoría de grafos. Supongamos que tres casas se abastecen de agua con tres pozos, pero los vecinos no se llevan bien y no quieren que exista la posibilidad de cruzarse con otro vecino al ir a cualquiera de los pozos. ¿Puedes diseñar caminos que unan cada casa con cada uno de los tres pozos, pero de modos que dos caminos cualesquiera nunca se crucen entre sí? ¿Y si el planeta en que viven los tres vecinos no tuviera forma esférica?

6. Dejemos los grafos de momento y vamos con la geometría.

¿En cuántas regiones queda dividido el plano cuando se trazan n líneas en posición general, es decir, de modo que ningún par de líneas sean paralelas y que nunca más de dos líneas intersequen en el mismo punto?

Solución: n(n+1)/2+1

7. Ahora nos dedicaremos a alicatar. Sea un cuadrado formado por 2^n*2^n cuadraditos como se muestra en la figura (hemos ilustrado el caso n=3). Supongamos que se suprime uno de los cuadraditos al azar. Demuestra que la superficie que queda, cualquiera que sea el cuadradito suprimido, siempre puede ser 'alicatada' completamente con azulejos formados por tres cuadraditos en forma de L, como el que se muestra en la figura, sin que queden huecos ni se produzcan solapamientos.

Indicación: Razónese por inducción.

Números ra c ionales . E je rc ic ios y problemas

1 Pasar a f racc ión:

2 Rea l i za las s igu ientes operac iones con potenc ias :

3 Opera :

4 E fectúa

5 Ca lcu la qué f racc ión de l a un idad r epr esenta:

1La mi tad de la mitad.

2La mi tad de la tercera par te.

3La tercera parte de la mitad.

4La mi tad de la cuarta parte .

6 E lena va de compr as con 180 € . Se gasta 3/5 de esa cantidad.¿Cuánto l e

queda?

7 Dos automóv i les A y B hacen un mismo t rayecto de 572 km. E l automóv i l A

l leva r ecorr i dos l os 5/11 de l t rayecto cuando e l B ha recorr ido los 8/13 de l mismo.

¿Cuá l de l os dos va pr imer o? ¿Cuántos k i l ómetros l leva recor r idos cada uno?

8 Hace unos años Pedro ten ía 24 años , que r epr esentan los 2/3 de su edad

actual . ¿Qué edad ti ene Pedr o?

9 En las e lecc iones loca les ce lebradas en un pueblo , 3/11 de los votos fueron

par a e l par tido A, 5/10 para e l partido B , 5/14 par a C y e l resto par a e l par tido D. E l

tota l de votos ha s i do de 15 400 . Ca lcu lar :

1 E l número de votos obten idos por cada partido.

2E l númer o de abstenc i ones sab iendo que e l númer o de votantes representa

5/8 de l censo e lector a l .

10 Un padr e reparte entre sus h i jos 1 800 € . A l mayor le da 4/9 de esa

cantidad, a l mediano 1/3 y a l menor e l resto . ¿Qué cantidad r ec ib ió cada uno? ¿Qué

f r acc i ón de l d inero rec i b i ó e l tercero?

Números re a les . E je rc ic ios

1 C l as ifi ca los números :

2Representa en la r ec ta:

3 Repr esenta en la rec ta rea l los números que ver ifican las s igu ientes

re lac i ones :

|x| < 1 |x| ≤ 1 |x| > 1 |x| ≥ 1

4Ca lcu la l os va lores de l as s igu ientes potenc ias :

5 Ha l la las sumas:

6 Rea l i za las operac iones :

7 Opera :

8Efectúa :

9Ca lcu la :

10 Rac ional i zar

Página creada por Ángela Isabel Barbero Díez

METODOLOGÍA.

El estudiante debe leer la guía, profundizar con las lecturas recomendadas y sugeridas en el P.I.C. Debe sintetizar y tomar los apuntes necesarios para resolver los problemas planteados, formularse otros que considere necesarios, debe presentar sus dudas en la tutoría de los sábados y en Los CIPAS. Sus preguntas deben ser claras y concretas para poder resolverlas de manera ágil y oportuna. en todo caso debe dedicarle por lo menos 10 horas de trabajo individual en casa por cada hora de tutoría.

Los recursos con los que cuenta el estudiante son:

la presente guía, la bibliografía recomendada en el P.I.C. y la bibliografía de la presente guía que le aydará en la profundización de las ideas.

TEXTOS BÁSICOS

Allendoerfer, C y Oakley, Cletus O. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición revisada. Editorial Mc Graww- Hill. Santafé de Bogotá D.C. 1994 Cap. 4, 5, 6, 7, 8, 10 y 11.

Arya, J y Lardner, R. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Tercera edición. Editorial Prentice Hall. 1989. capítulos 1 al 6.

Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre álgebra básica y ecuaciones y sus aplicaciones.

Sydsaeter – Hammond, Knut – Meter J.: Matemáticas para el análisis económico; Prentice – Hall, 1996.

EVALUACIÓN

Presentará una síntesis de los contenidos, los problemas y ejercicios resueltos, se procederá a realizar una autoevaluación, una coevaluación y una heteroevaluación para determinar la situación académica del estudiante en el modulo y aplicar planes de mejora continua que permitan ir superando los aspectos en los cuales se presenten dificultades.

POLITICAS

El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas, sintetizar los conceptos en un portafolio, resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guía, asistir puntualmente a las sesiones presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero, participar activamente de las actividades de socialización y trabajo colaborativo.

Rol del Tutor:

El propósito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes, facilitando su proceso de aprendizaje y el logro de sus competencias. La supervisión que hagan los tutores se enfocará tanto a los procesos, como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a alcanzar la competencia, para ello el tutor asume entre otros los compromisos de:

Atender directamente a los estudiantes a él asignados utilizando diversos medios: encuentro tutorial, teléfono, celular, fax, e-mail, sistemas de mensajería y/o cualquier otro medio acordado previamente

con el estudiante , de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas estrategias didácticas.Asistir al lugar de tutoría asignado, en la hora y el dia indicados previamente para tal fin:Respetar el calendario académico y cada una de las actividades propuestas en el Guiar, facilitar, asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizajeSuscitar la reflexión e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizajeEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluación socializados al estudiante al plantearse la actividad.Retroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutor.Las dudas académicas serán atendidas por teléfono, fax, e-mail y medios como foros en aulas virtuales.

Rol del estudiante

Asumamos que los estudiantes son participantes, honestos y comprometidos que. Como tales, son los principales responsables de iniciar, dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje. Cada estudiante se compromete a propiciar las condiciones que estén a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje de acuerdo a su contexto y posibilidades. De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurrirán en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interacción, actividades terminales e intermedias. Se espera que los estudiantes participen activamente en cada una de las actividades descritas en la guía de estudio, para ello es necesario tener en cuenta que:

El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje, que lo lleva a ser mas activo y propositivo, por consiguiente a desarrollar el auto – estudioDebe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje, habiendo leído los contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guía de estudio.Debe realizar las actividades planteadas en la guía de estudio, entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en los criterios de evaluación, dentro de los tiempos establecidos en le calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividad.En las evidencias escritas, deberá saber citar las fuentes, es decir usar debidamente la bibliografía a fin de evitar el plagio.

BIBLIOGRAFÍA

Allendoerfer, C y Oakley, Cletus O. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición revisada. Editorial Mc Graww- Hill. Santafé de Bogotá D.C. 1994 Cap. 4, 5, 6, 7, 8, 10 y 11.

Arya, J y Lardner, R. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Tercera edición. Editorial Prentice Hall. 1989. capítulos 1 al 6.

Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre álgebra básica y ecuaciones y sus aplicaciones.

Sydsaeter – Hammond, Knut – Meter J.: Matemáticas para el análisis económico; Prentice – Hall, 1996.

http://www.eduteka.org/pdfdir/MENEstandaresMatematicas2003.php

http://www.educared.net/concurso/61/numeros.htm

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm