m™^ R c e A - T H - ^ ORSAY N* d'ordres

UNIVERSITE DE PARIS-SUD CENTRE D'ORSAY

T H E S E

Présentée pour obtenir Le Titre de Docteur en Sciences

de l'Université de Paris XI - Orsay Physique des Gaz et des Plasmas

par Mario Saul Pain

Sujet: Conception et Réalisation d'un Code NxOD destiné a l'Etude du Transport de l'Energie Electronique dans les Tokamaks.

Soutenue le 28 Janvier 1387 devant la Commission d'examen

MM. M. FITAIRE Président M. A. DUBOIS J. HOEKZEMA Rapporteur J. HUETZ G. MATTHIEUSENT Rapporteur

REMERCIEMENTS

Je tiens ici a remercier Monsieur Jean Tachon t les autorités du DRFC qui ont bien voulu «'accueillir au Service de Confinement des Plasmas, ainsi que Mademoiselle Anne-Laure Pecquet et Messieurs Michel Chatelier, Laurent Jacquet, .ouis Laurent et Jean-Pierre Roubin dont les critiques et les suggestions m'ont été'précieuses.

Je tiens aussi a remercier toute l'équipe scientifique et technique de TFR, dont le travail quotidien y est pour beauccjp dans la réussite de mon travail.

Je tiens enfin à remercier tout particulièrement Monsieu.

Marc Antoine Dubois, qui A bien voulu assurer la direction de mes

travaux. Sans sa confiance, sa gentillesse et son appui constant,

ce travail ne serait sans doute pas ce qu'il est.

INTRODUCTION

Le travail qui a fait l'objet de cette thèse a été accompli

dans le cadre de l'expérience de chauffage cyclotronique

électronique sur le tokamak TFR. Lors de cette expérience, le

chauffage additionnel du plasma était assuré par des ondes à la

fréquence cyclotronique électronique. Trois gyrotrons pouvant

fournir 200 kU durant 100 ms à 1? fréquence de £0 GHz et le fait

que la position de la couche résonante dépend du champ magnétique

(a tO GHz le champ résonant est de 21.4 kQ) permettaient d'essayer

divers types de chauffage: chauffage central, ch-uffage

périphérique, application de G00 kU en un seul échelon ou en

escalier par pas de 200 kU, chauffage modulé, etc.

L'objectif de notre travail était de développer un outil de

calcul destiné a l'interprétation de ces expériences du point de

vue des phénomènes de transport. Pour cela, il fallait Un code de

calcul réunissant les caractéristiques suivantes:

- Légèreté et facilité d'exploitation: Il fallait pouvoir le

faire tourner sur l'ordinateur local de TFR.

- Convivialité: Il fallait que le code soit simple à utiliser

car son utilisation en cours d'expérience pouvait être utile

dans la définition du programme de celle-ci. Ceci a été rendu

.possible par l'écriture d'un code de gestion des données à

"menus déroulants pouvant gérer l'introduction des données,

leur prétraitement (fabrication de profils imposés, inversion

d'Abel), le lancement des travaux, etc.

- Flexibilité: Il fallait donner dès le départ au code une

structure lui permettant d'évoluer facilement afin

d'incorporer les processus nouveaux que l'on pourrait

observer au fur et à mesure de l'évolution de l'expérience.

Le résultat de ce "cahier des charges" à été le choix de la

structure KxOD. Un code 00 est un code qui considère tout l'espace

physique ramené a un point: les grandeurs physiques sont définies

à chaque instant uniquement en ce point, ce qui revient a supposer

que le plasma est homogène et uniforme. Un code ID considère

l'espace physique ramené à une droite. Les grandeurs physiques

- 3 -

sont alors définies comme fonction d'un paramètre et du temps. Ce paramètre est théoriquement continu Cbien qu'en pratique les nécessités du calcul numérique conduisent à l e discrétiser en un ensemble fini de points aussi nombreux que possible). La structure NxOD se place entre ces deux structures: e l l e considère l'espace ramené a "quelques points" peux nombreux (de un a dix) , ce qui revient a considérer l e plasma coiw» consitué par plusieurs régions pouvant être traitées avec des hypothèses 00, mais pouvant échanger énergie et matière entre e l l e s . Oh a alors une finesse supérieure à ce l l e d'un code OD, sans la lourdeur des codes ID. La perte de finesse par rapport a un code 10 se trouve être réduite du fait que l e faible nombre de données disponibles oblige, dans l e cas des codes 10, a postuler la valeur de nombreux paramètres en fonction de diverses considérations. Le choix des points de calcul en fonction de critères physiques permet en outre d'optimiser l e code.

Le code NxOD a été prévu pour avoir deux modes de fonctionnement: Un mode "dépouillement'', destiné à caractériser l e confinement en fonction des données expérimentales, et un mode "simulation", permettant de simuler l'évolution des températures électronique et ionique avec un mécanisme de transport imposé et destiné au test d'hypothèses théoriques.

Ce code à été u t i l i s é tout au long de l'expérience, et a permis de mettre en évidence un certain nombre de phénomènes affectant l e confinement de l'énergie électronique. Entre autres, i l a permis de quantifier la dégradation du confinement de l'énergie lors de l'application du chauffage, de mettre, en évidence deux régimes de confinement ohmique dépendants de la valeur du courant et conduisant au même régime lors de l'application du chauffage, et d'effectuer .'es calculs préliminaires pour estimer l ' intérêt d'une t e l l e expérience sur Tore-Supra. On a aussi u t i l i s é l e code pour tester une hypothèse de transport non local , avec des résultats encourageants, et pour vérifier certaines l o i s d'échelle, avec des résultats assez proches de ceux fournis par l e code MAK0K0T.

Accessoirement, on a développé un code- permettant de calculer la queue suprathermique de la fonction de distribution des électrons, dont les résultats se sont révélés proches de ceux de la spectrométrie X-mou, et qui a servi à prévoir les résultats du chauffage cyclotronique u t i l i s é pour la création de courant.

CHAPITRE I

L'EXPERIENCE z TFR

1-1 INTRODUCTION

L'expérience TFR400 (Tokamak de Fontenay-aux-Roses, 400 kA)

a commencé à fonctionner en 1973. Devenue quelques années plus

tard TFR600 du fait de l'agrandissement du diamètre disponible

pour le plasma dans la chambre à vide, elle est arrêtée

définitivement depuis la fin Juin 1986. Comme la quasi-totalité

du travail que nous avons accompli l'a été dans le cadre de TFR,

il nous i semblé utile de décrire ici l'expérience.

Etant donné la littérature générale publiée dans le domaine

de la théorie des Tokamaks, nous n'approfondirons pas ici ce

point. Pour plus de détails, on pourra consulter <1> et <2>. Nous

avons par contre trouvé intéressant de développer les problèmes

rencontrés dans le fonctionnement réel de l'expérience: la

stabilité du plasma, l'accessibilité, les diagnostics disponibles

et leur fiabilité.

Enfin, comme nous avons consacré une bonne partie de nôtre

étude au chauffage du plasma par une onde à la fréquence

cyclotronique électronique ŒCRH) il nous a semblé important de

consacrer quelque temps à la description du dispositif utilisé.

1-2 LE TOKAMAK TFR

Premier Tokamak français, TFR correspond & une génération de

Tokamaks intermédiaire entre les petites machines CTOSCA, CLEO,

T3> et les machines gigantesques construites ces dernières années

(JET, TFTR). Il consiste en une chambre à vide torique en inconel

dont le grand rayon (noté désormais Rg) est de 98 cm et le petit

rayon (noté a) est de 26 cm. Dans la chambre à vide se trouvent

en particulier des objets (appelles "patins" a cause de leur

forme) destinés à empêcher tout contact du plasma avec la chambre

A vide. Ces patins réduisent le diamètre utile du plasma à 20 cm.

Cette chambre à vide est entourée de bobines destinées à créer le

champ magnétique toroidal Bt, et cet assemblage est contenu à

l'intérieur d'une "cage" formée par des pièces polaires servant à

- 5 -

induire (comme dans un transformateur) l e courant plasma à l ' in tér ieur d» là ehambr* à vide grace à des bobines enroulées autour du noyau cent ra l du transformateur. La f i gu re suivante représente une coupe hor izonta le du montage ( f i g 1-1):

flNKFMJ DE GARDE

DIAPHRAGME

Figure 1 -1 : Coupes Médianes Hor izonta le et Ve r t i ca le de TFR

G -

En outre on peut apercevoir sur la figure des bobines dites

"de champ vertical" servant à créer des champs complémentaires

permettant de positionner le plasma. Le courant circulant dans

ces bobines est fourni par des alimentations dont le débit est

asservi à plusieurs paramètres du plasma afin de le centrer le

mieux possible dans la chambre à vide.

Les bobines destinées a induire le courant plasma sont

alimentées par des alimentations programmables asservies de façon

a maintenir le courant plasma constant (cet asservissement peut

être modifié pour certaines expériences, comme par exemple celles

de création de courant). Comme ces alimentations seraient

incapables de fournir la puissance nécessaire pour provoquer

l'amorçage du plasma, elles sont épaulées durant la phase de

montée du courant par des banc.-, de condensateurs.

Les bobines créant le champ toroidal posent un problème

plus complexe: En effet, la création de champs magnétiques de

l'ordre de 40 kG nécessite des puissances considérables <de

l'ordre de 100 MW). L'énergie nécessaire est stockée dans un

volant d'inertie de 15 tonnes accéléré jusqu'à la vitesse de 5000

tours/minute. Ce volant est' couplé a un alternateur. Lorsque le

choc commence, on excite la génératrice de l'alternateur de façon

a créer le champ. La tension appliquée à la génératrice est

asservie de façon a maintenir le champ magnétique toroidal

constant, ce qui permet de contrôler le champ en agissant sur un

circuit de faible puissance. Durant le choc, les bobines

subissent des efforts mécaniques et thermiques importants: Pour

résoudre ce problème, on a utilisé la technologie des bobines de

Bitter <fig 1-2) refroidies par une circulation continue de

pyralêne.

Figure 1-2: Bobines de Bitter, Vue d'une Spire

„ 7 _

Avant chaque expérience (ou "choc"), il règne dans la

chambre a vide un vide poussé de l'ordre de 10' c torr. Le

déroulement d'un choc est le suivant:

- On impose le champ toroidal quelque 500 ms avant le début

du courant plasma.

- On commence a inj'ecter du gaz (de l'hydrogène, du

deuterium, plus rarement de l'hélium, mélangés

éventuellement avec d'autres gaz) et on branche les bancs de

condensateurs sur les bobines qui jouent le role de primaire

du transformateur afin de créer l'ionisation du gaz et de

monter le courant plasma a sa valeur nominale (ou

"plateau"). On commence à voir sur les mesures la densité,

la température et le courant plasma monter. En même temps

les asservissements destinés a centrer le plasma se mettent

en route: en effet, l'amorçage du plasma a lieu toujours

vers l'intérieur du tore (car le champ électrique induit est

plus fort, comme conséquence du théorème de Maxwell) et

selon la façon dont l'injection de gaz et la pente du

courant sont réglés le plasma a tendance a partir soit vers

l'intérieur, soit vers l'extérieur. Dans l«s deux cas, le

plasma finirait par casser (par refroidissement par contact

sur les patins intérieur ou extérieur) si ce déplacement

n'était contré par l'asservissement.

- Lorsque les condensateurs sont déchargés, les

alimentations prennent la relève et mantiennent le courant

constant. On continue à injecter du gaz afin de monter le

plus possible la densité. Le courant it la température

restent constants, avec de légères variations.

- Fin du plasma: Deux situations peuvent se produire:

Dans le cas "normal", au bout d'un temps réglé par

l'opérateur les alimentations qui induisent le courant

plasma sont arrêtées. Le courant plasma chute et la décharge

se termine. Comme l'induction du courant requiert de

produire un dl/dt constant dans les bobines correspondantes,

la durée du choc est limitée par les performances des

alimentations. Cette limite est de l'ordre de 500 ms.

Dans le cas "disruptif", il se produit un phénomène

d'instabilité (contact trop violent avec un patin,

instabilité MHD> qui provoque la décroissance brusque du

courant plasma, et un arret prématuré et violent de la

décharge <3>.

- 8 -

- Après la fin du plasma, le champ toroidal est arrêté (la

vitesse du volant aura décru de 50'/.). Avant de lancer un

nouveau choc, il faudra attendre le refroidissement des

bobines et la réaccélération du volant d'inertie, ce qui

requiert de une a cinq minutes, selon la valeur du champ.

Pendant ce temps, le système informatique devra lire les

systèmes d'acquisition rapide des divers diagnostics et

transférer les données sur une bande magnétique, en même

temps les principales données seront affichées par les

visualisations du poste de pilotage.

1-3 ACCESSIBILITE ET DIAGNOSTICS

Comme on' a pu le voir sur la figure 1-1, les bobines du

champ toroidal sont disposées de façon à laisser accessibles

depuis l'extérieur huit parties du tore appellees "sections

d'observation" ou "queusots*. Celles-ci se présentent comme des

ouvertures sur le coté, le haut et le bas de la chambre, avec des

pièces soudées permettant de les fermer par des brides ad hoc.

Les ouvertures supérieures et inférieures jont des triangles dont

la base et la hauteur mesurent entre dix et vingt centimètres.

Les ouvertures latérales sont des rectangles de 20 centimètres de

large et 30 de hauteur approximativement. Ce sont les seules

ouvertures dont on dispose pour accéder au plasma et mesurer ses

caractéristiques. Bien qu'il soit possible de disposer des objets

à l'intérieur de la chambre ailleurs que dans les queusots, ces

objets ne peuvent être très volumineux sans être très proches du

plasma et par conséquent, soumis à un bombardement d» particules

ainsi qu'à des rayonnements qui les détériorent rapidement.

D'autre part, aucune de ces ouvertures ne permet le passage d'un

homme. Les interventions à l'intérieur de la chambre restent donc

très délicates.

Ces ouvertures sont utilisées pour disposer les diagnostics

et les chauffages. Nous allons dans ce paragraphe dresser la

liste des diagnostics. Il va de soit que nous n'avons consacré

des paragraphes explicatifs qu'à ceux que nous avons utilisés

couramment :

Les diagnostics de température: Il y a plusieurs

diagnostics destinés à la mesure des températures

électronique et ionique:

- 9 -

* Diffusion Thomson: La diffusion Thomson fournit la température électronique à partir du spectre de diffusion de photons (produits par un laser à rubis) par l e s électrons du plasma et ceci en 13 points placés sur un diamètre vertical du plasma. Ses grands inconvénients: peu fiable à très faible densité car l e nombre de photons diffusés est faible, et surtout, ce diagnostic ne fournit la température électronique qu'à un seul instant au cours de la décharge car l e laser disponible sur TFR ne t ire qu'une fois durant la décharge. D'autre part, ce diagnostic n'est sensible qu'aux électrons thermiques. Une forte déformation de la partie suprathermique de la fonction de distribution ne sera pas perçue par ce diagnostic.

* Emission au deuxième harmonique de la fréquence cyclotronique électronique: L'intensité du rayonnement émis par l e plasma à 2*^est proportionnelle a la terapérature_ électronique (si la distribution des électrons est maxwellienne). Comme i l est faci le de mesurer cette intensité d'une façon continue pendant toute la durée de la décharge, et que l e profil de température fourni par la diffusion Thomson, permet de déterminer l e coefficient de proportionnalité et donc de calibrer l e diagnostic, nous disposons d'une mesure CONTINUE de la ' température. Comme la fréquence cyclotronique électronique est fonction du champ magnétique donc du point à l ' intérieur du plasma, en possédant - un instrument permettant de mesurer l'émission en fonction de la fréquence, nous pouvons tracer le profil de température. On dispose sur TFR de deux poss ib i l i tés : Un f i l t re (interféromètre de Fabry-Pèrot) permettant de suivre la température en un point au cours du temps <4> et un interféromètre de Michelson a miroir vibrant, qui permet grace à la transformation de Fourier un balayage spatial a plusieurs instants <S>. Contrairement à la diffusion Thomson, ce diagnostic est très sensible à la forme de la fonction de distribution des électrons: une fonction dont la partie suprathermique a été enrichie par rapport à la maxuellienne conduira à une surestimation de la température.

- 10 -

* L'émission X-mous: L'émission dans l e domaine des rayons X mous est l i é e à la température électronique par une loi fort complexe nécessitant en particulier des hypothèses sur la forme de la fonction de distribution. Dans certains cas, cependant, ce diagnostic peut servir au contrôle des résultats fournis par l e s autres. Nous disposions pour exploiter ces renseignements de détecteurs Xmous disposés en batterie mesurant le spectre intégré sur différentes cordes du plasma <S> et d'un specf". omètre muni d'un détecteur Silicium-Lithium <7>.

* L'échange de charge: La mesure de l'énergie des atomes neutres émis par l e plasma donne des renseignements sur la température ionique.

- Diagnostic de densité: Il y en a un seul, mais i l est très fiable. Il s 'agit de l'interférométrie infrarouge : On dispose d'un laser infrarouge dont l e faisceau est divisé en dix: neuf d'entre eux traversent l e plasma suivant des cordes verticales différentes, le dixième, appelle faisceau de référence, passe à l'extérieur. Le décalage de phase entre chaque faisceau et la référence est proportionnel à la densité électronique intégrée sur la corde de plasma traversée par l e rayon (fig 1-3). Pour remonter aux densités électroniques i l faut un calcul assez délicat appelle "inversion d'Abel", qui est explicité dans l'annexe 1. Sous réserve d'effectuer ce calcul autant de fois que nécessaire, on dispose de la densité électronique avec une résolution temporelle maximale de 0.8 ms.

Af = K (\ cil

* — m

!»» P" la.'

Figure 1-3:

Mesure de la Densité

V-**-

- 11 -

Spectroscopies I I serait lung de décrire tous les diagnostics de spectroscopie disponibles. Comme on ne s'en est pas servi directement, nous n'approfondirons pas. Nous pouvons néanmoins dire que la spectroscopie est importante pour déterminer l e comportement des in.puretés pendant la décharge.

- Turbulence: Des diagnostics de diffusion (d'un faisceau Laser infrafouge ou micro-ondes) servaient sur TFR a l 'étude de l a turbulence.

- Enfin, plusieurs diagnostics servaient a connaître les

caractéristiques du plasma sans q u ' i l soit nécessaire

d'accéder au plasma lu i me.,ie: Mesure j<j courant plasma (.(. t

mesure de l ' induction sur des bcïu . s de Rogowski), de l a

tension par tour (idem), du cham,? jroidal (par mesure du

courant dans les bobines du champ t c r o i d a l ) t e t c .

1-4 LE CHAUFFAGE CYCLOTRuNIQUE ELECTRONIQUE : LA THEORIE

L'objectif du chauffage cyclotronique électrorique est de fournir de l 'énergie aux électrons de la décharge en injectant à l ' in té r ieur de l a chambre à vide du rayonnement a la fréquence cyclotronique électronique. Considérons un volume homogène de plasma soumis à un champ magnétique B, dans lequel se propage une onde électromagnétique de pulsation CJ , dans le mode ordinaire {c'est a d i re , t i l que le champ électrique E de l 'rnde soit paral lè le A B, par opposition au mode extraordinaire, pour lequel E et 6 sont orthogonaux). Considérons une part icule de vitesse % + \J_, ? «s signes // et X entendus par rapport au champ magnétique. Nous savons que la part icule décrit une hélice le long d'une l igne de champ ( f i g 1-4):

ÂK V&+ 5 A XG

Figure 1-4: Mouvement d'un Electron

- 12 -

Considérons l e référentiel l i é au "centre guide" G de la

particule. Dans ce référentiel, l e champ électrique de l'onde

s 'écri t d'après la transformation de Lorentz

où

* . ( , -

(avec les nêmes conventions concernant les signes //et £ ).

Dins ce référentiel, nous pouvons utiliser les expressions

de l'énergie cédée par l'onde à la particule trouvées pour des

particules ayant une vitesse parallèle nulle <8>

« t f c V * J «ne*

| «L* (>*&) 5(*»-»iùW/-^

On remarquera que l'absorption est d'autant meilleure que la

particule est plus rapide, et que donc le plasma isera d'autant

plus absorbant qu'il sera plus chaud. De plus, ce phénomène ne

peut que favoriser l'enrichissement de la queue suprathermique de

la fonction de distribution.

A la place d'un plasma homogène, considérons maintenant la

disposition réelle de TFR. Négligeons le champ poloidal devant le

champ magnétique toroidal. Le champ magnétique à l'intérieur du

Tokamak à la forme suivante (fig 1 5 ) :

13

or

alt X.fewwr

«U

1

.*/

B t . - h . l A /

Figure 1-5: Forme du Champ Toroidal et Résonance Cyclotronique

La condition de résonance qui ressort de l'équation précédente montre que l'absorption n'est possible qu'au voisinage d'une certaine corde verticale, pour laquelle la valeur du champ est t e l l e que la fréquence cyclotronique électronique coincide avec la fréquence de 1,'onde. Le chauffage cyclotronique est donc un chauffage LOCALISE.

Enfin, on remarquera que, pour atteindre la région résonante, l'onde doit traverser l e plasma. Pour savoir si la propagation est possible, on peut ut i l i ser l e diagramme CMA CClenmow, ttullaly, Allen) <9> (fig 1-6)

On remarque que la propagation d'une onde introduite à partir du coté extérieur du tore jusqu'à la région résonante <y a* ) est possible uniquement dans l e mode ordinaire. Par contre, si l'onde est introduite du coté intérieur du tore <fig 1-5), la propagation est possible dans les deux modes.

Pour des raisons techniques, on u t i l i s e sur TFR l ' inject ion du coté extérieur, ce qui oblige à ut i l i ser l e mode ordinaire. Pour ce mode, la condition de propagation s 'écrit

I-iA/)/tAjx > 0 (u,t=hee7£,rn)

- 14 -

la propagation devient impossible si

ce qui introduit une limite sur IÏ densité dec plasmas

utilisables.

Figure I-6s Diagramae CMA

- 13 -

1-5 LE CHAUFFAGE CYCLOTRONIQUE ELECTRONIQUE : L'EXPERIENCE

La source utilisée pour produire les ondes à la fréquence

cyclotronique électronique consiste en trois "gyrotrons", tubes

électroniques hyperfréquences dont on peut voir un schéma

simplifié dans la figure 1-7. Leur principe de fonctionnement est

le suivant <10>:

Figure 1-7: Schéma de Principe d'un Gyrotron

Les électrons émis par le canon a électrons (A) passent par

une cavité (B) où règne un champ magnétique intense dont la

valeur est telle que la fréquence cyclotronique des électrons

soit 60 GHz, fréquence nominale de travail donnée par le

fabricant (Varian). Ce champ magnétique est crée par des bobines

- 16 -

supraconductrices CO. La cavité est la partie la plus délicate du tube. Elle est légèrement desaccordée par rapport a la fréquence nominale de 60 SHz et a une forme particulière permettant de transférer 1'énergie du faisceau a l'onde grace a de phénomènes non l inéaires, et de sélectionner un mode l e plus pur possible et d'atténuer les autres. Elle doit être finement modelée afin d'avoir un bon rendement énergétique. Le faisceau d'électrons cède une partie de son énergie à une onde à la fréquence cyclotronique électronique avant d'etre capturé par un collecteur de grande dimension refroidi a l'eau, pour évacuer l'énergie rémanente du faisceau. L'onde se déplace longitudinaleaent et sort par une fenêtre en oxyde de beryllium refroidie e l l e aussi, pour emprunter ensuite un chemin composé de guides d'onde, de convertisseurs de modes (afin de transporter l e rayonnement dans l e s guides d'onde dans l e mode qui permet de réduire l e plus possible les pertes, l'onde sort du gyrotron dans l e mode TE02, qui est converti en TE01 puis en TE11) pour être ensuite injecté dans l e plasma dans l e mode ordinaire par une antenne consistant en un tube de cuivre dont les dimensions sont grandes par rapport a la longueur d'onde. On disposait sur TFR de tro is gyrotrons délivrant chacun une impulsion de 200 kU durant 100 ras, l e s deux premiers ayant des antennes qui injectent l'onde perpendiculairement au champ magnétique toroidal, le troisième ayant une injection avec un angle par rapport au champ toroidal de 74*, permettant d'effectuer des expériences faisant jouer l e terme Poppler dans la condition de résonance <11>.

Ce montage à été u t i l i s é pour effectuer diverses expériences: Chauffage électronique, génération de courant, contrôle des modes MHDP études de transport par modulation de la puissance, etc . <12> <13> <14>.

Le choix du mode "ordinaire" (champ électrique de l'onde parallèle au champ magnétique toroidal) est du aux diff icultés technologiques que présente l e mode "extraordinaire": Celui ci ne peut se propager jusqu'au centre que s ' i l est émis du coté intérieur du tore, ce qui est impossible techniquement compte tenu de la place occuppée par l e noyau en fer de TFR. Cependant, pour améliorer l e chauffage, on a placé devant l e s antennes et du coté intérieur du tore un miroir corrugué capable de convertir l e mode ordinaire en mode extraordinaire Cfig 1-B)

- 17 -

^ % +z

J\^l

Figure I-S: Transformation

Extraordinaire

du Mode Ordinaire en Mode

La puissance qui n'est pas absorbée lors du premier passage

de l'onde dans le plasma est ainsi renvoyée dans le node

extraordinaire, dont l'absorption est dans certains cas

meilleure.

1-6 LES DIFFICULTES EXPERIMENTALES

Le lecteur n'ayant pas forcément une- expérience de travail

sur un Tokamak, il nous a semblé intéressant de consacrer

quelques lignes aux difficultés rencontrées dans la production

du plasma et la mesure de ses caractéristiques. On comprendra

alors peut-être le pourquoi de la prudence de certaines

conclusions que nous avons tirées à la fin de notre travail.

Le réglage de TFR pour obtenir un bon plasma reproductible

est un travail délicat. En effet, indépendament du fait qu'un

certain nombre de paramètres inconnus et difficilement mesurables

(metallisation des patins par vaporisation de divers objets

présents dans la chambre à vide, dégazage de certaines impuretés

par ces objets) et surtout incontrôlables, et sans compter sur

- 18 -

l e s défaillances de certains maillons des disposit ifs de contrôle (car TFR était dans l e s derniers mois de sa vie u t i l e ) , un des grands problèmes reste la stabilisation du plasma:

En effet , dans une machin? toute action sur l e plasma provoque un déplacement de celui ci (car on modifie un des termes de l'équation d'équilibre <15>).

Ce déplacement peut être compensé par les bobines complémentaires décrites au paragraphe i-k. uur TFR ces déplacements sont rapides, et l e s asservissements sont incapables de ramener à tout moment l e plasma à une position centrée. La solution existait sur TFF400: une coque en suivre entourait la chambre & vide, et lors de chaque déplacement du plasma, l e s courants de Foucault générés s'opposaient au déplacement en vertu de la loi de Lez. Mais lors du passage de TFR400 À TFR600 ( le chiffre correspond au courant maximum prévu dans l e plasma) la coque a été retirée pour agrandir l'espace disponible pour l e plasma.

Il faut donc à chaque expérience tenir compte des e f fets sur l e s mesures dus à l 'excitation extérieure (injection de glaçon, chauffage cyclotronique, injection de neutres ou d'impuretés) et ceux dus aux déplacements, ce qui peut être très délicat.

La deuxième diff iculté est ce l le de la quantification exacte des caractéristiques du plasma: En effet, l e s diagnostics dont on dispose fournissent des informations fragmentaires sur l e plasma, d'où i l est d i f f i c i l e de déduire certaines grandeurs d'une façon fine: nous n'avions aucun moyen d'accéder expérimentalement au profil de courant, l e s barres d'erreur sur la température sont t e l l e s qu'il est impossible d'en déduire l e gradient en chaque point

T

Figure 1-9: Incertitude e

- 19 -

Seules façons de résoudre ce problème: L'exploitation d'un grand nombre d'expériences répétitives (afin de réduire les barres d'erreur non systématiques), ce qui requiert que les expériences soient reproductibles, et surtout traduire les hypothèses que l'on désire vérifier en termes expérimentaux en essayant de faire reposer la vérification sur les mesures les plus sensibles et f iables.

- 20 -

CHAPITRE II

PROBLEMES DE TRANSPORT DANS LES TOKAMAKS

II-Î INTRODUCTION

La construction de machines capables de provoquer la fusion contrôlée d'une façon énergétiquement rentable (c'est à dire capable au moins de s'auto-entretenir) nécessite la création d'un plasma à très haute température pour que la section efficace du phénomène de fusion soit raisonnable. Pour que cette température puisse se maintenir, i l faut éviter que l e plasma se vide de son énergie trop rapidement. Or, plus un plasma est chaud, plus i l a tendance à perdre de l'énergie. Ces deux contraintes (température et confinement) contradictoires sont résumées dans l e diagramme de Lawson (figure I I - l ) :

«I

= 10"

I-LJJ , . • . I , L J

» 100

KT (keV)

Figure II-l! Diagramme de Lawson

- 21 -

La grandeur mise en ordonnée est le produit entre la densité n du

plasma et la grandeur appellee le "temps de confinement de

l'énergie". C'est une grandeur commode pour mesurer la qualité du

confinement de l'énergie. Elle est définie comme le quotient

entre l'énergie contenue dans le plasma et la puissance fournie à

celui-ci (c'est à dire, c'est le temps que la décharge mettrait à

se vider de son énerqie si les pertes étaient constantes).

On peut se demander quels sont les mécanismes qui provoquent

les pertes d'énergie dans le plasma. Nous pouvons regrouper ces

phénomènes en trois types:

- Le rayonnement: C'est la source de pertes la mieux connue.

On dispose de modèles qui rendent bien compte des résultats

expérimentaux. Les principales sources de rayonnement sont

les particules fmnées ou accélérées Cque ce soit le

freinage collisionnel ou bremmstrahlung ou l'accélération du

champ magnétique qui se manifeste dans le rayonnement

cyclotron et synchrotron), le rayonnement de raies et les

rayonnements de recombinaison (rayonnement du aux

transitions des niveaux énergétiques des ions).

- La conduction: Cette catégorie regroupe les phénomènes de

transfert d'énergie entre plusieurs régions du plasma

lorsque celui ci se fait sans transfert de matière.

- La convection: Cette catégorie regroupe les phénomènes de

transfert d'énergie qui s'accompagnent de transferts de

matière.

Les phénomènes de conduction et convection sont beaucoup

moins simples à quantifier que le rayonnement. Plusieurs modèles

théoriques existent, mais sans donner une description

quantitative satisfaisante. Aussi a-t-on recours à des lois

semi-empiriques appellees "lois d'échelle".

II-2 QUELQUES CONVENTIONS

Prêtons quelques lignes pour établir un certain nombre de

conventions qui nous seront très utiles dans la suite.

Désormais, nous utiliserons les signes // et J. qui doivent

être entendus par rapport au champ magnétique.

- 22 -

Nous définirons un répère adapté à la géométrie du Tokamak de la façon suivante (figure II-2):

Figure 11-2: Notations

L'angle (p est appelle l'angle toroidal, l'angle Q l 'angle poloidal, r est l e rayon poloidal.

Le champ magnétique est supposé avoir une composante toroidale (de l'ordre de 4 kSauss ) et une composante poloidale crée par l e courant plasma (de l'ordre de 600 gauss au bord du plasma, que l'on néglige généralement dans l e s calculs devant la composante toroidale), à laquelle s'ajoutent des perturbations périodiques ou "modes" donnés par l'expression

3 B - 5"Bo c*± (uih + toe-nV)

l e s entiers m et n définissent le mode. Le traitement des problèmes de transport fait intervenir l'étude de flux de matière et d'énergie, d'où l'équation de conservation pour un volume de plasma ef. pour une espèce j :

hW - x ç*« - p. RAy

- 23 -

. Cette équation est appellee "equation de bilan" de l'espèce j.ÇVest la puissance perdue par rayonnement,J* est celle perdue par conduction et K ^ celle' perdue par convection. F^. e s t l a

puissance reçue par effet Joule du fait du courant plasma et JJ* celle déposée par les chauffages additionnels. ..

Par analogie avec les processus de diffusion, on a tendance à écrire la puissance perdue par conduction en fonction des gradients sous la forme:

d, • v ( i <"1 En fa i t , l e transport est érainement différent dans la

direction parallèle au champ Magnétique et dans la direction orthogonale. On aboutit donc A définir l e coefficient de transport X par

« SA

oùyLîst le flux radial de chaleur. Le neoe type d'équation peut être écrit pour l e s flux de

particules:

* . - D 3h

où <(f> est l e flux radial de particules et D est appelle l e coefficient de transport des particules.

II-3 LE TRANSPORT CLASSIQUE ET NEOCLASSIQUE

Les premiers travaux sur l e transport de matière et d'énergie dans les plasmas confinés magnétiquement <1> ont pour base l'étude de l'équation cinétique et aboutissent à l'établissement de l'opérateur de col l i s ion de Fokksr-Planck adéquat <2>.

Ces expressions permettent d'établir une expression des flux de matière et d'énergie par résolution approchée de l'équation cinétique <3>. Cette théorie négligeait la variation spatiale du

- 24 -

champ magnétique. C'est ce qu'on appelle l e modèle classique.

Ce modèle est enrichi par l a prise en compte de la géométrie . très part icul ière du champ magnétique de confinement dans les

tokamaks. Galéev et Sagdéey <4> mettent en évidence le role joué par les particules piégées par l e gradient du champ toroidal ( t ra jectoires "banane"), et metten* en évidence l 'existence de t ro is régime:: de transport, s*>"jn la valeur de la fréquence de col l is ion <5> (f igure I I - 3 ) :

0 >

Régime banane Régime plateau

[Gsleev - Sagdeev)

Régime collisionnel [Pflrsch - Schiater)

1 - - V Êff /Vb

Figure I I - 3 : Les Trois Régimes de Transport des Particules

(en fonction de la fréquence de col l is ion)

Le régime "banane" correspond à une prédominance du transport par les particules piégées par les gradients de champ sur les t ra jectoires du même nom. Ces particules sont très nombreuses lorsque les coll isions sont rares.

Le régime "coll isionnel" correspond à un transport par random walk combiné avec les ef fe ts de l a géométrie toroidale.

Ce modèle, d i t "néoclassique-, donne des résultats assez

Broches de l'expérience dans le cas des ions. Maxs les

£ E J . de transport prévus par ce modèle dif fèrent de

plusieurs ordres de grandeur de ceux observés dans les tokamaks

pour les électrons comme l e montre l a figure I I - 4 <6>:

25

JVXIU.

. faJcn

IS

2 -

15

1 -

1 1

f»3cm ^ »

» . . . .L- , , . - 1 - -

3 »tW. / vb 4

Fig. 16 - Anomalie Xwp/XNC du coefficient de transport expérimentât au coefficient neacîasstque pour les ions

<• W *

-"Anomalie"xl,p/)(Sc du coefficient de transport eypérinentat au coefficient néoclassique pour [es

électrons Ha flèche indique les rayons croissants)

Figure II-4: Comparaison des Xe Déduits du Modèle Néoclassique

avec ceux Mesurés sur TFR . .jr les I«.«is et les Electrons

- 26 -

Pourquoi ces differences ?. A cela deux raisons:

- Les équations cinétiques utilisées par ces modèle» sont

linéaires. Tous les phénomènes de couplage de modes

résultant de non linéarités ne sont pas considérés, ce qui

fait disparaître un certain nombre de phénomènes importants,

comme certains modes MHD su la turbulence électromagnétique.

- Comme dans tout modèle cinétique, les collisions jouent un

role déterminant Or, les plasmas tokamak sont peu

collisionnels et le deviennent de moins en moins lorsque la

température croît.

On s'attend donc a voir le transport dans le plasma gouverné

par d'autres mécanismes, designés dans la littérature sous le nom

commun de "transport anormal".

II-4 LES INSTABILITES ELECTROMAGNETIQUES

L'importance des instabilités électromagnétiques au sein des

plasmas est connue bien avant l'invention des Tokamaks. Les

instabilités "saucisse" et le mode "kink" des colonnes droites

sont des exemples asse^ connus <7>. Mais le fait que la

configuration Tokamak utilise des plasmas très conducteurs

confinés par des champs magnétiques de topologie complexe et

conduisant des courants importants donne à ces instabilités une

importance considérable.

Sans entrer profondément dans l'écriture des équations

régissant ces instabilités, nous pouvons déjà prévoir comment le

système d'équations le plus général sera constitué:

- Les equations liant les champs magnétique et électrique

aux courants et aux charges (équations de Maxwell)

e£iv J> - p dîv & =o

not E = - 2B jwt H = & + ?

- 27 -

Un oupe d'équations traduisant le comportement du

milieu: Ces équations dérivent forcément des équations

microscopiques du milieu et en dernière instance de

l'équation de Boltzmann et modelisent la réaction du plasma

aux champs électromagnétiques et aux forces. Elles

modelisent la viscosité, la conductivity et la polarisation

du millieu Par exemple, on peut prendre:

pzo âT F + eE a f J

- Les équations de conservation (de la matière, de la

quantité de mouvement, de l'énergie): Ces équations sont

très semblables aux équations de base de la mécanique des

fluides (équation de Navier-Stokes).

Ce système est bien entendu non linéaire en général. Pour

traiter un tel système, on ne dispose pas de méthode générale,

mime numérique, de résolution. Une méthode très utilisée pour

tirer de l'information de ce système est de chercher (après avoir

effectué un certain nombre de simplifications et en général avoir

linéarisé le système résultant) les solutions ayant une forme

fixée d'avance déduite des observations expérimentales ou

d'une proposition théorique. Ces solutions sont appellees

"modes". On a mis ainsi en évidence plusieurs dizaines de modes:

Modes électrostatiques (ondes de dérive, <8», - modes

magnéto-hydro-dynamiques (dérivés d'approximations considérant le

plasma comme un fluide conducteur), etc.

Nous ne ferons pas ici une liste exhaustive des modes

actuellement. figurant dans la bibliographie. A titre

d'illustration, nous allons voir un certain nombre de modes

classiques:

- Modes MHD idéaux: Ils dérivent de l'hypothèse d'un seul

fluide ayant une conductivité infinie, ce qui donne

l'équation

- 28 -

elf + J A B = O

la nanifestation la plus courante de ces instabilités est le

node "kink" m=l.

- Modes MHD résistifs: On les obtient en écrivant les

équations a un fluide ayant une conductivite donnée:

e£*+ Ï x 8 = y ï

Les nodes "tearing" ("déchirement") sont la manifestation la

plus visible de ces phénomènes. En fait, chaque mode idéal a

un analogue résistif <9>.

Les modes de déchirement se manifestent dans les tokamaks

par l'apparition d'ilôts magnétiques sur les surfaces

magnétiques pour lesquelles le facteur de sécurité q (défini

comme le nombre de tours qu'une ligne de champ effectue

autour de l'axe principal du tore pour un tour autour de

l'axe poloidal) est rationnel (figure II-5):

Section méridienne

d'îlot

Surfaces magnétiques

toriques

Séparatrice

Figure II-5: Kode m=2 n=l résonant sur la surface q=2

- 29 -

Instabilités microscopiques: Elles résultent de la

considération d'un modèle MHD à deux fluides et de la prise

en compte de l'équation cinétique. On trouve dans cette

catégorie les ondes de dérive, les modes d'électrons piégés

et les micro-tearings <10>. .

Le fait que les modèles permetta.it de traiter ces

instabilités soient linéaires occasionne une perte d'information

importante par rapport aux équations originales: Ils permettent

de savoir quels sont les modes susceptibles de se développer mais

cachent les problèmes de saturation qui sont contenus dans les

équations non linéaires, ainsi que le couplage entre les

différents modes. En effet, un système gouverné par une équation

linéaire se caractérise par le fait que ses modes propres sont

indépendants et ne peuvent transférer de l'énergie de l'un à

l'autre. Or, il semblerait que le couplage des modes dans le

plasma soit une donnée essentielle.

II-5 LES LOIS EMPIRIQUES ET SEMI-EMPIRIQUES

La faiblesse des moyens théoriques dont nous disposons

renforce l'intérêt des études empiriques du transport. Le

recoupement des résultats de ces études pourrait permettre de

dégager les instabilités qui seraient candidates a un role

dominant dans le transport de l'énergie électronique.

On construit alors, a partir de considérations générales et

de résultats expérimentaux des lois de variation du temps de

confinement de l'énergie et des coefficients de transport en

fonction des divers paramètres du plasma <11>.

Par exemple, on peut partir du fait que la forme des profils

de température et de densité sur une machine est peu sensible aux

conditions expérimentales et semble 3tre liée uniquement aux

dimensions de la machine. Cela revient- à dire que pour une

machine donnée, le temps de confinement de l'énergie est

proportionnel à la densité. D'autre part, on a trouvé que pétait

aussi proportionnel au carré du rapport d'aspect du tokamak

(rapport du petit rayon au grand rayon du tore], d'oi; la loi

d'Alcator: ,

- 30 -

Cette loi est respectée par la plupart des Tokamaks (T10, PLT, TFR, ALCATOR C) <12>.

D'autres l o i s d'échelle peuvent être construites en essayant par des études systématiques du confinement dans un Tokamak de trouver la valeur des exposants permettant d'écrire le temps de confinement de l'énergie sous la forme:

X e <* He <£ ( I f Tj I,\....

Un exemple en est la loi de Mercier <13>

Ces l o i s peuvent être comparées avec des l o i s établies de façon théorique par l'étude de l'invariance de certaines équations. La méthode est relativement simple: Une fois que l'on a écrit un système d'équations régissant l e plasma Ccomme on l ' a vu au paragraphe précédent), on peut trouver un certain nombre de transformations des variables laissant les équations inchangées. Les solutions des équations doivent donc avoir les mêmes propriétés d'invariance <14>.

11-6 CONSISTENCE DES PROFILS ("PROFILE CONSISTENCY")

L'idée de la consistence des profi ls est une idée relativement nouvelle <1S>. Elle repose sur l ' idée que puisque l e profil de température et l e profil du courant dans l e s tokamaks sont très l i é s , et que l e profil de courant est "gelé" dans l e plasma à cause de la grande conductivité de celui c i , l e profil de température est très d i f f i c i l e à modifier, et qu'au cours de toute modification i l conserve sa forme primitive <16>. Cette position iloit être nuancés après l e s résultats de deux expériences:

- Sur l e tokamak ASDEX, dont la principale caractéristique est de disposer d'un divertor (système, permettant par modification de la topologie magnétique au bord du plasma de contrôler la teneur en impuretés du plasma), ur\ mode de confinement violant la "profile consistency" a pu être

- 31 -

obtenu: ce node, dit mode H, se caractérise par un profil de

température de la forme: <17> (figure II-6)

V CM-J

r '"/«.

Figure II-6: Forme Caractéristique du Profil

de Température Electronique sur ASDEX

On remarquera le gradient très important au bord du

plasma.

- Sur le Tokamak TFR, lors des expériences de chauffage

cyclotronique électronique on a obtsnu des profils de

température en "casque à pointe" (figure II-7): <1B>

T. ,

*

2

Figure II-7: Forme Caractéristique du Profil de

Température Electronique sur TFR avec CCE

En fait, il semblerait que la consistence du profil

doive être abandonnée dans son sens le plus général, au

profit d'une limitation des gradients dans la région du

plasma située entre la région centrale où les gradients sent-

faibles et le bord, où le transport est gouverné par les

phénomènes radiâtifs. Une loi autorisant les déformations du

- 32 -

profil à l' intérieur de la surface q=l et au bord mais limitant dans la zone intermédiaire l e s gradients par une relation:

Kg W c < /3 k c v

semble être plus réal is te <19>.

I I - 7 TRANSPORT NON LOCAL

Puisque l'augmentation du transport durant l e s expériences de chauffage ne peut être totalement imputée à une augmentation des gradients, i l est séduisant d'essayer de concevoir un mécanisme de pertes dans lequel l e centre du plasma puisse perdre de l'énergie sans que ce l le ci intervienne dans les bilans des régions traversées. Un mécanisme envisageable serait une perte préférentielle des électrons rapides du centre du plasma <20> qui, étant donnée leur faible col l is ionnalité pourraient quitter la configuration sans interagir avec l e plasma des régions périphériques. Un te l mécanisme expliquerait une perte importante d'énergie avec un faible nombre de particules très énergétiques. De plus, un chauffage tendant à peupler les hautes énergies de-la fonction de distribution au centre provoquerait un acroissement des pertes (ce qui correspond aux observations expérimentales) et l'apparition anormale de particules rapides dans les régions périphériques ce qui expliquerait l e s différences constatées entre l e s mesures de température par diffusion Thomson (sensible aux particules thermiques} et par mesure du rayonnement cyclotronique (sensible aux suprathermiques). Nous reviendrons sur ces problème au chapitre IV.

1I-B POSITION EU PROBLEME

Après ce tour d'horizon très bref des recherches sur l e transport dans l e s tokamaks, i l nous a semblé important de situer notre travail dans ce l l e s -c i .

- 33 -

Notre objectif a été de développer des outi ls de calcul permettant d'exploiter l e s données expérimentales en calculant à partir de ce l l e s ci l e s caractéristiques du trasport de l 'énergie. Ces outi ls devaient permettre aussi de simuler l'évolution du plasoa avec un modèle de trasport donné afin d>- tester ce lu i -c i . Nous avons des lors construit deux out i l s :

- Un code de calcul destiné à l'étude macroscopique du transport de l'énergie électronique par résolution.des équations de bilan dans diverses hypothèses.

- Un code destiné a l'étude de la partie suprathermique de la fonction de distribution électronique, présumée responsable d'une partie importante des pertes lors de l 'u t i l i sa t ion du chauffage cyclotronique électronique.

34

CHAPITRE I I I

METHODES NUMERIQUES

I I I - l AVERTISSEMENT

L'essentiel du travail original réal isé au cours de cette thèse l ' a été avec l 'aide du calcul numérique. Pour cela, un assez grand nombre de pet i t s codes de calcul très spécial isés ont été développés et u t i l i s é s . Nous avons choisi , afin de garder une cohérence à l'exposé, de traiter i c i seulement l e s deux codes l e s plus puissants et "achevés" dont on a disposé. Le lecteur intéressé trouvera en annexe un aperçu de ces out i l s qui ont servi soit a explorer des idées qui nous ont semblé intéressantes so i t a traiter des données servant aux codes principaux (par exemple, l'inversion d'Abel, voir annexe 1) .

II1-2 POURQUOI DES METHODES NUMERIQUES ?

Le travail du physicien (du moins te l que l e conçoivent l e s partisans de la méthode hypothético-déductive) est de déduire de l'expérience des lo i s générales de comportement. Pour cela, on a recours au procédé qui consiste a élaborer un modèle du système étudié et à vérifier que celui ci a un comportement semblable au système de référence pour ensuite tenter de généraliser l e modèle construit afin de lui donner un caractère prédictif. Dans la pratique, la modélisation se réduit à l 'écriture d'un système d'équations censé gouverner l e système. La vérification de la val idité du modèle (et à plus forte raison sa généralisation? nécessite en général la résolution des equations du modèle, ou, dans l e cas où ce l le -c i est impossible, l'étude de certaines des propriétés des solutions de ces équations à partir de la forme de ce l l e s - c i .

Jusqu'au milieu du vingtième s ièc le , l e physicien était réduit donc à l'étude des problèmes dits "solubles", c'est à dire, dont les équations avaient des solutions analytiques connues et simples (car l e calcul numérique était long et coûteux). Or, la plupart des problèmes fréquents (équations de

- 35 -

Laplace, Navier-Stokes, Maxwell) deviennent rapidement insolubles lorsque les conditions aux limites et la géométrie du problème sont un tant soit peu cor-plexes. Le développement rapide de., calculateurs électroniques depuis les années cinquante a permis le développement de méthodes mathématiques (dites numériques) permettant d'approcher la solution de problèmes insolubles analytiquement par une solution approchée discrète, méthodes qui apportent en général une information substantielle, malgré leurs limitations Oiotanant la difficulté à traiter les problèmes non linéaires).

Les méthodes numériques peuvent être classées en trois grands groupes:

1 - Les méthodes fondées sur la construction d'un opérateur

linéaire discret:A partir d'un système différentiel linéaire sur

R de la forme

v.

où A est un opérateur d i f fé rent ie l l inéa i re , B une fonction de R dans et les ensembles U et V sont respectivement

l'ensemble des points où des conditions aux l imi tes sont définies et l'ensemble des valeurs prises par L.X en ces points. L'operateur L représente l e f a i t que les conditions aux l imites peuvent être imposées à l a solution X mais aussi à une combinaison l inéa i re quelconque de ses dérivées. Une méthode de résolution numérique consiste à choisir un sous ensemble discret M dans H Cque l 'on appelle couramment mai 11age), et d'approcher l a solution X, les ensembles U et V et l'opérateur A de l a façon suivante:

*V- e M , X.XLhii) = BU,-)

v«i, Ê tinu , ï.y 00= v,-- 36 -

A.X dépend des valeurs que prend X sur les points du naillage

(qui sont en nombre fini), et cela linéairement car A est un

opérateur linéaire. Il existe donc une matrice Q de R telle que

le système puisse s'écrire

La résolution approchée du système (I) se ramène donc à la

résolution d'un système linéaire dont l'ordre est le carré du

produit du nombre de points du mai 11age par le nombre de degrés

de liberté de chaque noeud (p). Ce système linéaire est en

général de très grande dimension, et sa résolution fait appel à

des algorithmes de résolution très puissants qui exploitent

complètement les particularités de la matrice Q. En général cette

matrice est "vide" (beaucoup d'éléments nuls, notament lorsqu'on

s'éloigne de la diagonale principale) et n-diagonale (c'est a

dire que les éléments non nuls ne se trouvent que sur les n

premières diagonales parallèles a la diagonale principale),

quelquefois symétrique (on utilise alors la factorisation de

CROUT) et dans le meilleur des cas définie et positive (on

utilise alors la factorisation de CHOLESKY). Le lecteur aura

remarqué que cette méthode n'est appliquable que lorsque le

système différentiel de départ est linéaire. Dans le cas où l'on

doit résoudre un système non linéaire on ne dispose pas à l'heure

actuelle d»- méthode numérique générale. Dn est donc réduit à

utiliser r ;s méthodes de linéarisation (méthodes de perturbation,

par exemple).

Dans ce survol du principal groupe de méthodes de résolution

de systèmes différentiels nous avons volontairement passé sous

silence les principales difficultés comme le choix du mai 11age et

la modélisation de l'opérateur A. Ces choix sont en effet

largement tributaires du phénomène physique que l'on veut

étudier. Nous aurons l'occasion d'y revenir par la suite.

2 - Les méthodes statistiques (dites de Monte-Carlo):

- 37 -

Ce genre de méthodes n'est u t i l i s é que pour l 'étude de quelques problèmes bien déterminés et est dans ce sens moins générale que les méthodes de réduction à des systèmes l inéaires, nais présente l'avantage d'etre moins lourd en temps de calcul et d'une mise en oeuvre plus simple.

La méthode de Monte Carlo est u t i l i sée dans le cas où le problème étudié peut être modelisé par des équations faisant intervenir une variable aléatoire d'exemple le plus connu est celui des problèmes de col l is ion) . On u t i l i s e alors pour simuler ce comportement un générateur pseudo a léatoi re , et l 'on étudie suffisamment de cas pour que la lo i des grands nombres soit respectée. Pour i l l u s t r e r ceci , prenons un exemple classique: Le calcul d'une intégrale déf inie par la méthode de Monte-Carlo. Soit par exemple l a fonction

•"H

I - 1l*)Ji.

A & x Pour calculer l ' in tégra le I , nous allons considérer un objet

ponctuel que nous lançons au hasard à l ' in tér ieur du rectangle

ABCO. I l semble évident que, s i l 'on considère la variable

aléatoire X déf inie pour un t i rage comme étant 1 s i l 'objet tombe

au dessus de l a courbe y-fCx) et 0 dans l e cas inverse, on aura

1= 5, = Ptx=«0 (.s.i-sO

ou P(X=n> est l a probabil i té de voir l a variable X prendre la valeur n.

Pour calculer P(x=0), nous allons u t i l i se r le générateur aléatoire d'un calculateur pour t i r e r NO paires x,y dans le rectangle ABCD, nous compterons ensuite l e nombre N de fois où fCxXy. Alors, pour NO suffisaient grand

- 38 -

<

* M P

m

Cette illustration, au demeurant classique, montre que la

méthode de Monte Carlo ne peut être utilisée que dans certains

cas bien particuliers lorsqu'on a réussi à trouver une

modélisation qui se prête à une interprétation statistique. Comme

précédemment, nous avons évité pour le moment de parler de

certaines difficultés, comme le choix du nombre d'expériences NO

et la convergence de la méthode. Nous aurons l'occasion d'y

revenir.

3 - Le dernier groupe est constitué par les méthodes de

décomposition. La base de ces méthodes est de décomposer les

solutions que l'on souhaite trouver sous diverses forces: séries

entières, séries de Fourier, polynômes, etc. La découverte de la

transforaation de Fourier rapide ( Cowley et Tukey, 19655 a

ouvert a ces méthodes un large champ d'application.

III-3 LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES APPLIQUEE AUX PROBLEMES

D'EVOLUTION

Parmi les méthodes fondées sur l'approximation d'opérateurs

différentiels il en est une qui se prête particulièrement a

l'étude des problèmes de transport et d'une façon plus générale,

aux problèmes d'évolution: il s'agit de la méthode des

différences finies. Nous allons tout d'abord décrire succintement

la méthode des différences finies classique , afin de lors de la

description du code NxOD ce qu'il y a de non classique et

d'original dans sa construction.

Revenons au système différentiel considéré précédement.

A . X = S (XiH-R*, B: H^lR?

t kCllch)

Nous allons effectuer sur ce système un certa-' < noms,c - 39 -

d'hypothèses restrict ives . Tout d'abord, nous supposerons que l'opérateur A est un opérateur différentiel au sens s tr ic te , c'est à dire, ne contenant que des opérations de dérivation à l'exclusion de toute opération intégrale. Nous supposerons ensuite l'opérateur A l inéaire. Et pour finir, nous supposerons que l'opérateur A ne contient que des dérivations du premier ordre par rapport à l'une des variables, appellio variable d'évolution (en général, l e temps). Nous prendrons comme ensemble d'arrivée de X l e corps des réels , afin de simplifier l e s notations. Enfin, nous supposerons que la condition aux limites est de la forme

X (*,.... xn ,h) = CLLX,....X«) S, i - 0

Sous ces réserves, l e système différentiel de départ peut s'écrire sous la forme

3X + A' X z B

Un tel problème est appelle problème d'évolution, et nous remarquons que l'équation classique du bilan d'énergie Jans le pi asm?

\ h \, *e k T c ) = ?1 * ^ * f £* • k» • ^-fc relève exactement de cette description. C'est cette équation que nous envisageons de résoudre.

Le nombre n est apporté la dimension du système, et classiquement l e problème ainsi posé est dit "nD". Pour approcher A nous allons construire un mai 11 age de l'espace. Pour cela considérons n suites croissantes extraites des intervalles de variation de chacune des variables et considérons l e mai11age formé par les éléments de l'ensemble produit:

- 40 -

^ = WL *....* C*:),., '<&r,

Nous pouvons alors approcher l'opérateur A en approchant

chacune des opérations de dérivation qui y sont contenues suivant

le schéma:

axy ,* v^)-x(^;...^r..^.t)-y^; x?..xi,ij

Le système différentiel devient alors

W...k„.*,

On remarquera donc que si l'on définit un vecteur formé par

les valeurs

prises par la solution dans les points du maillage, on peut alors

écrire le système sous la forme matricielle:

' ± [(U^t)Ux(.t;ÏÏ + Q ^ w j - (BW)

(" w ) • W Du ce qui revient au même

- 41 -

(*(<*) J = (*} «* (xiwiy) r /xco) f A6 g[jfwj

Nous avons donc une Méthode itérative permettant dés lors que l'on connait l 'état in i t ia l du système de suivre son évolution et de trouver =on état à un instant quelconque. On remarquera que l e s différents états pris par l e système au cours du temps sont déterminés par une condition aux limites qui n'est autre que l 'état in i t ia l du système, ce qui est satisfaisant du point de vue physique.

Une question se pose alors à nous: quelle est l'erreur commise lors des approximations effectuées ? Nous n'allons pas exposer ic i la théorie complète de ce problème, mais nous pouvons apporter quelques éléments de réponse:

- Il semble assez intui t i f que l'erreur commise diminue lorsqu'on prend un mai 11 age de plus en plus fin, car la différence entre l a valeur de la dérivée exacte et son approximation peut s'écrire

ax _ x & -V-'-xà) - x ( x,; - *.*... xf ,t) I 9ici *.?• ~ x) I

1 ciXj "a;

On a donc intérêt à prendre un mai 11 age l e plus fin possible; notament dans les régions ou la solution est susceptible de varier rapidement. On remarquera toutefois que la matrice Q a pour ordre l e nombre de points du mai11age et que la simulation d'un intervalle donné dans l e temps demande d'autant plus d'itérations que le pas de temps est plus pet i t . Augmenter la finesse de la maille en espace et en temps augmente donc l e coût du calcul. On est donc amené à prendre des mailles irrégulières, plus fines dans les régions ou l'on s'attend aux variations importantes de la solution. Encore une fois donc l'analyse physique

- 42 -

préalable du problème se révèle nécessaire pour dégrossir l e calcul.

- Lorsque la finesse du mai 11 age en temps et en espace tend vers l ' inf ini (c'est a dire, lorsque

4*A^ | 3L*f! - 7L* j - * O e t Ai -» 0

Nous voudrions que la solution approchée tende vers la solution rée l le . Une discrétisation possédant cette propriété est di te "convergente". Les propriétés qu'une discrétisation doit posséder pour être convergente sont données par l e théorème de Lax <1>: une discrétisation est convergente s i et seulement s i e l l e est staole et consistante. La condition de s tab i l i t é est une condition sur l'opérateur A • La condition de consistance est une condition de correspondance entre l'opérateur discret et l'opérateur réel .

Etant donnée la complexité de la définition rigoureuse de ces notions dans l e cas général, nous ne l e s expliciterons que pour le cas particulier de la convergence de la discrétisation K>.OD. Pour une approche plus générale, on pourra consulter <2>.

III-4 UN CODE NxOD

Le code NxOD est du point de vue strictement mathématique très proche d'un code 1C. La différence réside essentiellement dans la signification que l'on donne au maillage de l'espace:

En effet , jusqu'ici l e système discretisé se revenait u t i l e à condition que l e s dimensions de la maille soient pet i tes devant l e phénomène à étudier. L'idée sous-jacente était de représenter les volumes dx dy dz du calcul différentiel par des mailles. De ce fai t , l e problème du comportement des solutions à l ' intérieur d'une maille se trouvait ne pas avoir de sens. Ensuite, l e s poss ibi l i tés de représenter effectivement la réal i té par une t e l l e approximation se trouvait être un problème de convergence mathématique du modèle.

L'idée du code NxOD est basée sur- une position inverse: Nous considérons des mailles dont les dimensions sont du même ordre de grandeur que l e s longueurs caractéristiques des phénomènes

- 43 -

étudiés (quelques cent imètres) . Chacune de ces mai l les couvre une

zone où l ' o n pense a p r i o r i (pour des ra isons physiques, et non

mathématiques) que les mécanismes qui gouvernent les pr inc ipaux

phénomènes physiques sont les mêmes et par conséquence peuvent

ê t r e t r a i t é s dans une hypothèse OD. Le code t r a i t e ces mai l les

comme l e f e r a i t un code OD mais à l a d i f fé rence de ce lu i c i i l

est possib le de t r a i t e r l es termes décrivant l 'échange entre l es

diverses ma i l l es .

On peut se démander quels sont l es avantages d'un t e l code

par rapport à un grand nombre de codes ID et 2D ex is tan ts

(MAKOKOT, par exemple < 3 » qui puissent compenser ses

inconvénients: En e f f e t , l e p r i nc i pa l inconvénient est l i é au

f a i t qu'un f a i b l e noirbre de grandes mai l les impl ique

nécessairement que l a méthode A une f a i b l e réso lu t ion spa t i a l e et

q u ' e l l e f o u r n i t des r é s u l t a t s dans un f a i b l e nombre de po in t s .

Nous pouvons à ce su je t f a i r e deux remarques:

- Dans l a mesure où es code est dest iné à ê t r e u t i l i s é pour

l e dépouillement des mesures effectuées sur TFR, i l est

i n u t i l e d 'avo i r un mai 11 age p lus f i n que l es mesures

effectuées par l es d iagnost ics d ispon ib les . Lorsque l ' o n

s a i t que l a densi té et l a température du plasma sont

mesurées en une d iza ine de po in t s , on v o i t qu'un code p lus

f i n ne peut ê t r e u t i l i s é qu'en postulant l e comportement des

grandeurs entre deux po in ts de mesure, ce qui rev ien t

f inalement à l a même chose q u ' u t i l i s e r un mai l i age comme l e

no t re .

- I l est d 'au t re -art t r è s u t i l e pour l ' e ssa i de modèles

théor iques de t rans o r t de disposer d 'un code é v o l u t i f ,

c 'es t à d i r e const a i t de t e l l e façon q u ' i l s o i t f a c i l e de

l u i a jouter des se -. modules correspondant aux idées que

l ' o n veut tes te r sans -our autant ê t re un professionnel de

l ' i n f o rma t i que .

Ces considérat ions ont abouti à une sor te de "Cahier des

Charges" du code, que l ' o t peut résumer de l a façon su ivante:

- D i sc re t i sa t i on d. l 'espace en p lus ieurs (une à d ix )

grandes mai l les considérées comme des systèmes sans

dimension (OD) dont l e comportement à été modelise de façon

éventuellement d i f f r - e n t e et qui sont interconnectées par

des termes de t ranspor t . Ce mail lage servant à résoudre les

- 44 -

équations de bi lan énergétique a chaque pas de temps.

- Deux ut i l isa t ions standard: dépouillement des données (on fournit au code l 'évolution des grandeurs du plasma et l e modèle de transport et le code calcule les éléments caractéristiques de celui c i : Xe, X i , etc) et prediction Con fournit un modèle de transport et un état i n i t i a l et l e code calcule l 'évolution de certaines grandeurs du plasma: en général Te et T i ) . Ce dernier mode de fonctionnement est plus particulerement destiné à tester des mécanismes de transport.

En ce qui concerne l a réal isat ion technique de ce code, nous nous sommes fixés un certain nombre d'impératifs:

- Légèreté: Nous souhaitions avoir un out i l dont la mise en oeuvre soit l a plus simple possible pour un non informaticien. Pour cela, i l f a l l a i t tout d'abord un code rapide optimisant dans l a mesure du possible lu i même les paramétres du calcul ( l e pas de temps, par exemple) et dont les données puissent être introduites simplement. Pour résoudre ce problème, l e code de calcul est accompagné d'un module disposant de menus de t rava i l et permettant d' introduire les données et de les modifier, ainsi que de mettre en route l e calcul . La description de ce module (qui ne f a i t intervenir aucune notion Je physique, car ce n'est qu'un out i l commode de t r a v a i l ) se touve en annexe.

- F l e x i b i l i t é : I l é ta i t t rès d i f f i c i l e dès le départ de prévoir tous les.mécanismes de chauffage, de transport et de rayonnement que les ut i l isateurs pourraient vouloir u t i l i s e r et d 'écr i re les modules en conséquence. Nous avons donc choisi d' inclure dans l a version standard seulement les modules a pr ior i les plus employés, et de donner au programme de calcul une structure permettant l 'adjonction très rapide et simple de nouveaux modules ayant accès à toutes les données standard ainsi qu'à cel les dont i l s auraient seuls l'usage. I l aurait été envisageable d' inclure tous 'ces modules dans le code, l e choix étant paramétré de façon a être fourni comme une donnée de plus. Malheureusement, l a t a i l l e du code aurait alors dépassé la capacité mémoire disponible dans l'ordinateur u t i l i s é , nous obligeant alors a u t i l i se r des techniques d'overlay

- 45 -

coûteuses en temps de calcul. Le choix des nodules à utiliser doit donc être fait au moment de l'édition des liens du programme.

.'ows allons dans les paragraphes suivants décrire en'détail

comment nous avons résolu les problèmes posés par ce cahier de

charges.

III-5 CONFIGURATION DU PROBLEME ET DONNEES

Plusieurs sortes de données doivent être fournies au code: Les données de configuration géométrique (dimensions et localisation des mailles), les grandeurs physiques constantes (masses atomiques des impuretés, des ions, etc) et les grandeurs physiques en fonction du temps. Pour stocker ces dernières dans une place mémoire raisonnable, nous avons choisi de stocker leur valeur a des instants bien précis (dont le nombre peut varier de deux a dix) appelles "points anguleux". Entre deux de ces points, la valeur de la grandeur est obtenue par interpolation. Nous avons songé au départ à utiliser une interpolation spline (c'est a dire, par une famille de polynômes); nous avons remarqué qu'un choix convenable des points anguleux permettait d'approcher très convenablement ces grandeurs par interpolation linéaire dans les cas correspondant à la réalité expérimentale (figure SU—1).

4»

"*< *I *> *., < 5 t

Figure 111—1 : Discrétisation des données du code NxOD

Les données fournies au code de façon standard (c'est a dire pour un large choix des modules disponibles sont):

- 46 -

- La configuration géométrique: Les mailles sont des

couronnes circulaires concentriques dont la configuration

est définie par deux rayons: Le rayon central (rayon pour

lequel sont définies les grandeurs telles que les

températures et les densités) et le rayon limite (rayon de

la surface séparant la maille considérée de la suivante)

comme le montre la figure III-2. C'est pour ce dernier que

sont définis généralement J<*s gradients et les coefficients

de transport. Le choix de la forme des mailles est basé sur

le fait que le transport est très rapide le long des lignes

de champ, ce qui fait que les surfaces isodensités et

isothermes coincident avec les surfaces magnétiques et sont

donc en première approximation des cercles concentriques .

i .

J / S — N ^ ^ \ \

( ' \ JY\ i \ \ V >C1' ' /

\ \ - -^ y**

Figure II1-2: liai 11 age du Code NxOD

- La configuration temporelle: C'est la liste des points

anguleux choisis ainsi que les intervalles de temps que l'on

souhaite laisser entre deux impressions des résultats. On

fournit aussi la limite supérieure du pas de temps du calcul

qui sera utilisé lors de l'optimisation de celui ci, comme

il sera expliqué plus loin.

- La valeur des densités électronique, ionique, de

l'impureté légère et lourde prédominante dans la décharge

aux points anguleux.

- La masse atomique des ions et des deux impuretés prises en

- 47 -

compte.

- La valeur du champ toroidal

- La valeur in i t i a l e des grandeurs simulées par l e code (pratiquement toujours les températures électronique et ionique)

A ces données standard s'ajoutent l e s données particulières requises par l e s modules choisis (données des différents chauffages, par exemple) au moment de la dernière édition des l iens du programme. A t i t re d'exemple- nous présentons l e s données requises par l e s trois modules de chauffage ohmique disponibles actuellement.

- Module POHM: Ce module calcule la puissance déposée par l e chauffage ohmique à partir d'hypothèses sur la res i s t iv i t è du plasma et du profil de courant ainsi que de la mesure du courant tota l . On calcule la puissance ohmique par unité de volume par l'expression:

P = £ P 2J

oup est la re s i s t i v i t è de Spitzer <4>

Ce module nécessite donc outre l e s données standard la densité de courant dans chaque maille aux point anguleux (calculée par exemple a l 'aide d'un autre code, <5>).

Module PDHM2: On peut prendre l'hypothèse de Zeff constant, et alors la densité locale de courant à l 'équilibre s'écrit

^ K T . " "

en ayant le courant total dans la décharge, nous pouvons écrire

- 4B

I = J i dS = K J t3'* db d'où, s i l'on dispose de la tension par tour

P = V f c „-£— *TJU

Ce module requiert donc outre les données standard le

courant total et la tension par tour. On remarquera que ces

profils sont calculés en général une fois pour toutes au

début de la simulation. Lors d'un changement des profils de

température, il ne faut changer le profil de courant que si

l'on étudie un chauffage dont la durée est de l'ordre du

temps de diffusion du courant, qui est de l'ordre de

quelques dizaines de millisecondes pour les plasmas de TFR.

Le même cas se présente pour les autres chauffages. D'une

façon générale, on fournit les instants de début et de fin de

chauffage, ainsi que les puissances transmises aux ions et aux

électrons. Pour les mécanismes de transport, on est aussi amenés

à fournir des paramètres complémentaires qui dépendent du

mécanisme de transport choisi. Pour faire face à des cas aussi

multiples, le code lit ses données dans deux fichiers: Un fichier

"standard" au format fixe que l'on peut manipuler avec le module

de préparation des données et qui a un format fixe quelque soient

les modules utilisés dans le calcul, et un autre fichier dit

"secondaire", qui doit être manipulé avec l'éditeur de texte car

son format n'est pas fixe et dépend des données particulières

requises par les divers modules.

III-6 STRUCTURE DU CODE DE CALCUL

Le code est écrit en FORTRAN IV et est construit comme un

module principal qui contient toutes les données et qui appelle

successivement les divers modules. Au départ, le module principal

lit les données standard dans le fichier correspondent et les

place dans des structures COMMON accessibles à tous les aut"--s

modules. D'autre part, chacun des autres modules se vc

communiquer au moment de son appel deux tableaux à modifier

appelles ENERGE et ENERGI, qui contiennent respectivement la

puissance apportée aux électrons et aux ions. Le module en

- 49 -

question doit, avant retour au nodule principal, ajouter dans ces tableaux la variation d'énergie électronique et ionique par unité de temps et de volume qu'il a calculé. A la fin de tous les appels, ces tableaux contiennent donc l e membre de droite des equations de bilan (voir chapitre II)

3 .2 tn efcTeJ , P^t ?Ka Z. P ^ - PCBNb - Z P - Pm

X 3fc J ' RKY

Le déroulement d'une boucle de calcul correspondante à l' instant T est l e suivant:

- Mise à zero des tableaux ENERBE et ENERGI

- Appel d'un module d'interpolation qui fournit à partir du tableau des valeurs des grandeurs standard aux points anguleux l a valeur à l ' instant T de ces grandeurs.

- Appel du module calculant la puissance ohm'ique apportée aux électrons. Ce module doit être écrit de façon à accéder aux données placées dans les COMMONS, à l i re lors du premier passage l e s données complémentaires dont i l a besoin dans l e fichier secondaire, et additionner dans ENERGE la puissance calculée. On peut disposer d'une bibliothèque de t e l s modules, et d'effectuer une nouvelle edition des l iens du code chaque fois que l'on souhaite changer de module.

- Appel du module calculant l'échange d'énergie entre l e s électrons et l e s ions. On dispose d'un seul module a cet effet , qui u t i l i s e les expressions <6>

Ê,i = k (T«-Ti) re' • j / i

- Appel du module calculant la puissance échangée par rayonnement: On n'a pris pour le moment en considération que l e brevsstrahlung, ce qui n'est pas gênant lorsque l'on s'intéresse au transport dans lis régions centrales du plasma <7>. Pour étudier l e s phénomènes de bord, i l serait nécessaire d'élaborer un modèle plus Un tenant compte du

- 50 -

rayonnement des raies des impuretés et de l a recombinaison radiat ive.

- Appel du module tenant compte du chauffage additionnel. L? module disponible ne fa i t qu'apporter durant un interval le de temps choisi par l 'u t i l i sa teur une puissance donnée aux électrons et une autre aux ions. Ceci nécessite que le p ro f i l de déposition de puissance a i t été calcule par a i l l eurs .

- Appel au module calculant l a puissance échangée par transport: Plusieurs modules disponibles:

* Calcul néoclassique (uniquement A t i t r e d'essai)

* Calcul en dépouillement des Xe et Xi en supposant l e transport conductif, c'est à dire gouverné par une equation du type

est domina-.t.

* Simulation en considérant pour Xe des lois dé la forme

X. = Te- ,* [ i ) V

catégorie dans laquelle entrent l e s formes les plus c i tées de la l ittérature comme on a DU l e voir au chapitre II .

- Bilan: Arrivés a ce point, nous pouvons résoudre l'équation de bi lan

3t Z S t ^ '

avec un schéma aux differences finies

- 51 -

l e ( t 4 - o i j - T e W t W * E i / £ « £

Hais quelle valeur prendre pour Dt ? Si l'on prend une valeur fixe, i l faudra qu'elle soit suffisament petite pour tenir compte d'une variation très rapide de la température (par exemple lors de l'application du chauffage), et on perdra alors beaucoup de temps avec un pas de temps très petit dans l e s intervalles ob la température varie lentement. Pour optimiser ce paramètre, nous asservissons celui ci à la variation de la temperature, en imposant une variation maximale par pas de temps de IX pour la température. Pour éviter que dans un cas stationnaire l e pas de temps soit excessivement grand nous imposons un pas de temps maximal lors de la lecture des données. Cet asservissement du pas de temps permet de gagner jusqu'à un rapport cinq dans l e temps de calcul.

- Une fois calculée la nouvelle valeur de la température, on incrémente l e compteur de temps de Dt, on vérifie si l'on a atteint une valeur du rompteur justifiant l'impression des résultats et dans l'affirmative on l e fait (en général on imprime Te, Ti, ne, q, etc) et on commence une nouvelle boucle.

- Lorsque l'on à atteint la fin de la simulation, l e programme trace l'évolution de Te et TL en fonction du temps et arrête l'exécution.

Des exemples d'util isation de ce code dans les divers cas de figure feront l'objet du Chapitre IV.

III-7 CONVERGENCE DU CODE NxOD

La convergence du code NxOD dépend de la structure des modules u t i l i s é s . Il faut donc avant d'ajouter un nouveau module s'assurer qu'il ne provoquera la divergence du schema aux différences f inies .

A t i t re d' i l lustration, nous allons montrer comment en assure la convergence dans l e cas où l'en considère un modèle de

- 52 -

transport diffusif:

2. (n.fc7) f X 3 Y = o 3fc S ft.1

»o Le schema utilisé dans le code revient à écrire er. prenant G

&e i rK^ui ) - r iv ; ) - _ x rVeJ(T&-Aty TO'-H

Ce scheme est connu sous le non de Ç-schema, et est

conditionnellemfrtt stable. La condition de stabilité est <S>:

At X < j . n t Ah ^ 2

En pratique, étant donnée la dimension des mailles cette condition est toujours vérifiée:

Û X 2- I ,. •i*t.

I I I -B METH0DE3 STATISTIQUES: METHODE DE MONTE-CARLO APPLIQUEE A LA SIMULATION DE LA FONCTION DE DISTRIBUTION DES ELECTRONS: LE CODE RUNWAY

L' idée e s s e n t i e l l e de l a méthode de Monte-Carlo e s t de

modéliser l e Phénomène physique que l ' o n souha i te é tudier à

l 'aide d'une ' triable aléatoire, pour em.uite simuler ce l le ci en util isant un ênérateur informatique de nombres aléatoires. On voit que de >ombreux processus physiques correspondent à cette description: coll i . . .ons, diffi-iion de pi. tic j l es i travers de champ= ergodiques, e t c . . Celui qui nous a intéressé lors de

- 53 -

l ' écr i ture du code RUNWAY est celui de col l is ion entre les

électrons et les autres composants du plasma. Le code RUNWAY dérive d'un code existant destiné au calcul

du taux des électrons découplés dans TFR <9>. Sur cette base, nous avons construit un code capable de fournir l a part i? haute énergie de la fonction de distr ibut ion, en présence et en absence de chauffage cyclotroniaue électronique.

I I I - 9 REPRESENTATION DE L'ESPACE ET DE LA POPULATION

ELECTRONIQUE

Pour calculer l a fonction de distr ibution de l 'énergie électronique nous devons t rava i l l e r sur une population qui modelisera l e comportement de la population r é e l l e . Cette population sera appellee "population test" . Son intérêt est de réduire l e nombre de part icules a considérer. Cette réduction repose bien évidement sur une hypothèse stat ist ique permettant de généraliser a toute une population l e comportement d'un échantillon convenablement choisi .

L'espace physique est représenté suivant des hypotheses 0D: On étudie un pet i t volume de plasma supposé homogène et isotherme.

L'espace des vitesses est par contre représenté d'une façon bien plus f ine , car nous allons voir qu ' i l peut être divisé en plusieurs régions correspondant à des comportements physiques totalement d i f férents. Nous pouvons dès le dépara restreindre l'espace des vitesses tridimensionnel- au plan CAJJ, l£) ou les signes / / et X doivent être entendus par rapport à la direction du champ magnétique car les deux composantes de la vitesse perpendiculaire sont équivalentes du point de vue de l a fonction de distr ibution ainsi que de l 'act ion des champs et des col l is ions. La ' «presentation retenue alors est l a suivante Cfigure I I I - 3 ) :

- 54 -

Figure III-?.i . laillage de l 'Espace des Vitesses

E est l e champ électr ique toroidal induit dans l e tokamak ayant pour but de maintenir l e courant plasma, B est l e champ magnétique to ro ida l .

REGION 1: I l s ' ag i t de l a région thermique. Le code ne se préoccupe pas de ce qui se passe à l ' i n t é r i e u r de ce l l e c i . El le ne nous intéresse que par sa frontière, l e cercle V = Vi. En effet , d'après une hypothèse classique en physique s t a t i s t i que , l'ensemble des posit ions occupées par l es par t icules d'une dis t r ibut ion sera décr i t au cours du temps par une par t icule quelconque de l a même dis t r ibut ion . Toute par t icule t raversera ce cercle à un moment ou un autre dans les deux sens. Nous avons donc choisi de commencer l e suivi de chaque par t icule t e s t au

. moment où e l l e traverse ce cerc le . La par t icu le est suivie ensuite jusqu'à ce qu ' e l l e entre dans une zone où e l l e sera

- 55 -

perdue Czones 3 et 4) ou bien jusqu'à ce qu'elle retombe à l'intérieur de V = Vi. Dans ce dernier cas, e l l e ne sera pas perdue, nais s i son évolution postérieure l'amenait à retraverser l e cercle V = Vi, son comportement coincidera forcement avec celui d'une des particules test à sa "première" traversée, car l e s particules test constituent un échantillon statist ique de particules indiscernables, qui contient donc tous l e s comportements possibles.

Le fait qu'on "lâche" l e s particules test sur l e cercle V = Vi suppose que l'on connaisse la distribution angulaire des vitesses sur ce cercle. Dans l e cas 0(1 Vi est assez faible, nous pouvons supposer que la distribution est isotrope (car on est prés du "bulk" et la col l is ionnalité est forte, donc la déformation angulaire due au champ électrique toroidal est faible) . Nais s i Vi est très grande par rapport a la vitesse thermique, i l est nécessaire de faire appel & des fonctions de distribution approchées Cpar exemple, l'approximation de Gurevitch <10» .

REGION 2: C'est la région a l'intérieur de laquelle nous voulons calculer la fonction de distribution. Pour la diseréi iser, nous l'avons divisée en mailles qui sont des secteurs de couronne circulaire: Il y a vingt couronnes (c'est à dire que l'on calcule la distribution en vingt niveaux d'énergie) et chacune est divisée en dix secteurs de 18* chacun. On remarquera que ceci ne couvre que 1B0*: La raison est que l e problème est symétrique autour de la direction du champ magnétique. On peut donc se • limiter à l'étude du demi-plan <v 4, |vj). Nous verrons plus loin quel est l e traitement des particules a l ' intérieur de cette région.

REGION 3: C'est ce qu'on appellera la région des électrons découplés. Considérons un électron du plasma: Il subit tro is acct lerations:

- Une accélération magnétique VxB, qui provoque la rotation autour des l ignes du champ mais qui ne modifie pas l'énergie cinétique de la particule.

- Une accélération due au champ électrique toroidal eE/m.

- Un freinage coll is ionel moyen que l'on peut écrire <11>

- 56 -

< À ^ > = A,/^ Wl 1

L'equation du mouvement, projetée dans la direction toroidale s 'écrit

dk m 2 r n v z

On remarquera que l'on peut trouver une vitesse d'équilibre

si et seulement si

ir. < % i A. \Vz

La vites&e d'équilibre est appellee vitesse de Dreicer <12>. Si cette condition n'est p a s remplie, la particule est

indéfiniment accélérée. Une t e l l e particule est appellee "découplée" (runaway, dans la literature en anglais). En pratique, la particule n'est pas, bien entendu, accélérée indéfiniment. D'une part, lorsque la particule devient re lat iv is te , l e s pertes par rayonnement synchrotron augmentent rapidement selon l'expression: <13>

P/ I &ïï£0

R. 1 ( ' - * ) '

* - [-v2/6* J'"*

D'autre part, l e s particules rapides deviennent très sensibles aux perturbations magnétiques et ont tendance a quitter

- 57 -

rapidement la configuration pour atteindre l e s diaphragmes ou les parois de la chambre à vide, avec émission de rayonnement X-dur.

Dans tous les cas, i l ne semblait pas possible de suivre l e s particules une fois qu'elles sont tombées dans cette région en tenant compte de tous ces phénomènes. Lorsqu'une particule-test entre dans cette région, nous la considérerons comme perdue pour la simulation de la Région 2. Le code considère leur évolution postérieure comme gouvernée par l'équation

dt en

ce qui revient à négliger l e s effets de turbulence.

REGION 4: Cette région a été introduite pour tenir compte d'un phénomène de piégeage que l'on a eu tendance à négliger lors de la construction de TFR: l e s électrons super-piéges.

Lorsqu'on fait des calculs sur une configuration torique, on a tendance dans un souci de simplification a supposer l e champ toroidal comme crée par une nappe de courant circulant sur l e tore. En fait , ce champ est crée par un ensemble de bobines discrètes (24 en tout pour TFR). Comme conséquence, l e champ magnétique crée n'est pas parfaitement toroidal, mais présente des irrégularités de la forme suivante Cfigure II1-4)i

Figure III-4: Miroirs Locaux dus aux Bobines Discrètes

La valeur de la perturbation du champ a été calculée avec des programmes spécialisés et vaut approximativement

%b/ ^ 4-5 >.

- 58 -

Les gradients de champ ainsi crées forment des miroirs nagnétiques locaux, qui ont toutes les propriétés de piégeage des miroirs magnétiques classiques. Or, le piégeage par ces miroirs locaux a des conséquences importantes sur le confinement des particules: Eh effet, le concept* classique du Tokamak repose sur une compensation des derives dues au gradient de champ par l'effet de rotation. Les particules suivent les lignes de champ, qui sont des spirales qui s'enroulent autour de l'axe principal du tore ainsi que sur l'axe poloidal. Dans ce mouvement, la particule dérive orthogonalement au gradient du champ magnétique toroidal avec une vitesse <14> (figure 111-5}

0^

1 ^ e s* Figure III-5: Derives dues aux Gradients de champ Toroidal

Supposons que l e sens du champ toroidal soit te l que les électrons dérivent vers l e bas. Alors, e l l e est compensée par l e fait que e l l e a tendance à augmenter l e rayon de rotation autour de l'axe poloidal lorsque la particule est dans la partie basse du tore et à l e réduire lorsqu'elle est dans la partie haute. A chaque tour autour de l'axe du tore, un électron fait plusieurs tours dans l e plan poloidal. Il s'ensuit que lorsque la particule est piégée dans un miroir local, c'est a dire, lorsque

S R ^ i J£L_< (IÂ)

la particule reste piégée entre deux bobines, et reste soit dans la partie supérieure du tore, soit dans la partie inférieure. L'effet de dérive n'est plus compensé et la particule quitte

- 59 -

alors la configuration (par le bas, dans le cas des électrons sur TFR), a moins qu'une collision ait lieu avant et la dépiège. Nous pouvons donc définir un critère de de-piégeage en fonction des vitesses et du temps de collision

Ou ce qui revient au mené

lîi \Q J T * le.tBl

Ce critère explique la forme que nous avons donné à la Région 4. Le phénomène de super-piégeage est très loin d'etre négligeable: i l est peut-être responsable du percement de la chambre à vide de TFR en 1973 <1S> où l'on avait bien observé la détérioration de la partie inférieure de la chambre a vide par des impacts.

I11-10 SIMULATION DU COMPORTEMENT DES PARTICULES TEST DANS LA REGION 2

C'est la modélisation du comportement des particules test dans cette région qui fait tout l ' intérêt du code. En effet , à chaque pas de temps de la simulation, nous devons tenir compte pour chaque particule des actions suivantes:

- Action du champ électrique toroidal: C'est une force électrique parallèle au champ magnétique.

Action du chauffage cyclotronique électronique: La modélisation est déjà plus compliquée. Le chauffage apporte aux particules qui satisfont la condition de résonance

une impulsion orthogonale au champ magnétique

- 60 -

2- db &*> " "- X <• l * >

- L'action des col l i s ions: Dans un code a pas séparés, la prise en compte des col l is ions nécessite l 'écriture d'un opérateur de col l i s ion que l'on introduit dans une équation de Boltzmann ou Fokker-Planc!. pour ensuite la résoudre. Dans un code de Monte-Carlo tout est plus simple: Il nous faut construire une variable aléatoire simulable par un ordinateur qui modelisera l'action des col l i s ions . Cela suppose admis le fait que la variation de la vitesse d'une particule due aux col l i s ions est une variable aléatoire, ce qui est vrai lorsque le nombre de degrés de l iberté du système est grand.

Considérons la variable aléatoire AV" définie comme la variation de vitesse due aux col l i s ions pendant l e temps considéré comme grand devant l e temps de co l l i s i cn . Soit P la distribution de probabilité de cette variable. Soit une particule test placée dans l'espace des v i tesses , dans lequel nous définissons l e s vecteurs K>,et ^uni ta ires comme le montre la figure III-E:

A U ,

» fa.l-Cïtfule

u,

\

Figure III-6: Définition des Vecteurs ul et u2

Nous pouvons alors écrire les moments d'ordre un et deux de cette distribution

<À-n->-= f û - i r P(A-ir) <iÀV-

61

et simuler la variable aléatoire d'origine par une nouvelle variable iléa'ïoire

Où 2, et t z sont deux variables aléatoires pouvant prendre l e s valeurs 1 et -1 de façon équiprobable. Cette variable a l e s mentes momerts d'ordre un et deux que la distribution originale. Il serait possible, si l'on souhaitait plus de précision, de prendre une distribution construite à partir des moments d'ordre quatre, cinq, e t c . .

La valeur des coefficients ^ 4 ^ 1 < àV?>, <.&%'?* été calculée par Chandrasekhar <11>

< Au-> = Ao.

-tr

111-11 STRUCTURE DU CODE DE MONTE-CARLO

- Lecture des données: Le code reçoit deux sortes de

données: Des données statiques Cqui conservent la même

Vùieur à tous les instants) et des données dynamiques (qui

varient au cours du temps). Ces dernières sont interpolées

de la même façon que pour le code NxOD. Voici les données

nécessaires:

* Données physiques: Température, Densité, Tension par

tour, Puissance de chauffage, Champ magnétique

toroidal.

* Données statistiques: Nombre de particules test,

- 62 -

Nombre pour in i t ia l i ser l e générateur aléatoire.

- Init ial isation de la boucle des particules-test: tout ce qui suit est exécuté pour chaque particule test . En effet , pour économiser de la place mémoire, l es particules test ne sont pas traitées en parallèle, mais les unes à la suite des autres. On peut ainsi réutil iser la place de stockage des grandeurs du calcul plusieures fois .

- Début de la boucle des pas de temps: On commence à t = tO et a chaque fois on incrémente l e compteur de temps. Au départ, la particule est supposée être sur l e cercle V - Vi.

Tirage des nombres aléatoires < i et E t . Les poss ibi l i tés pour l e générer sont multiples. En fa i t , tous les générateurs informatiques ne sont pas aléatoires mais pseudo-aléatoires: l es nombres t i rés forment une séquence qui f init par se répéter, la longueur de cette sequence est appellee la période du générateur. Voici une méthode mathématique de génération aléatoire:

A/ Considérons un nombre de la forme 2 +1 qui soit

premier. Un tel nombre existe pour N assez grand. Considérons un nombre a t^ue l'on appelle amorce du générateur) supérieur à 2 . Considérons la suite

[Ctn ) . . , = ( 0? rnoct£a'f.] )

M

Cette suite contient tous l e s nombres de 0 à 2 Ccar l e groupe 2 / > * i 2 e s t monogène du fait que 2 +1 est premier. Si l'on prend alors la suite

on aura généré une suite prenant les valeurs 1 ou -1 pseudo aléatoirement avec une période de 2 .

Une autre poss ibi l i té pour générer un nombre aléatoire est par échantillonage d'un multivibrateur dont la période est beaucoup plus grande que ce l l e de l'horloge de l'ordinateur, ou bien l'echantillonage d'un bruit blanc.

- S3 -

Nous avons u t i l i s é la méthode des modules: à cause de sa simplicité mais aussi parce qu'elle présente l'avantage d'etre "reproductible" (en util isant la même amorce), ce qui est très u'.ile lors des tes t s du code.

- Calcul de AlT en tenant compte des col l i s ions , du chauffage et du champ électrique

Au- = / e £ + A-ir, -H A-0- . , , \ x A t

V "I /

et repositionnement de la particule test dans l e plan (v 0 fVj ) . Le pas de temps Ot est asservi d'une façon semblable a ce l l e u t i l i s ée dans l e code NxOD, avec la limitation qu'il ne peut Jamais être plus petit qu'un certain nombre de fois l e temps de col l i s ion <en pratique, dix) .

- Test: La particule est e l l e entrée dans la Region 1 ?. Sans l'affirmative, la particule est considérée corame perdue et on passe à la particule suivante.

- Test: La particule est e l l e entrée dans la Region 3 ?. Dans l'affirmative, la particule est considérée comme perdue, l e code met a Jour l e tableau répertoriant les particules découplées et passe à la particule suivante.

- Test: La particule est e l l e entrée dans la Region 4 ?. Dans l'affirmative, la particule est considérée comme perdue, l e code met à Jour l e tableau répertoriant les particules super-piegées et passe à la particule suivante.

- Mise à Jour du tableau qui répertorie l e temps durant lequel chaque maille A été occuppée par une particule. A la fin du calcul ce tableau est l i é à la valeur de la fonction de distribution par un coefficient de proportionnalité qui est en fait un coefficient de normalisation.

- On incremente l e compteur du temps de Dt. Si l'on dépasse ainsi un point anguleux, on passe à la particule suivante. Lorsqu'on a fini toutes les particules, on peut imprimer l e s résultats obtenus pour cet instant, et on recommence ensuite la boucle de particules en commençant chaque suivi de

- 64 -

particule au dernier point anguleux dépassé.

- Lorsque l'on a fini toute la simulation, on appelle l e s divers modules d'exploitation des résultats du calcul: Calcul du courant par intégration de la fonction de distribution

I = e [ v 4br) ei-v

calcul du rayonnement <17>, etc.

Le seul point délicat est le choix du nombre de particules a étudier. Un calcul mathématique du nombre nécessaire à la convergence de la méthode serait très complexe. En fait, c'est un choix purement expérimentait Lorsqu'une variation du nombre de particules de l'ordre de 102 ne provoque pas de variation notable des résultats, on peut considérer que l'échantillon est statistiquement valable. En pratique, ce nombre est entre 100 et 500 particules, et dans ce cas la simulation de 2 point anguleux nécessite 10 minutes de calcul sur un SOLAR 1S-75.

Ci-

CHAPITRE IV EXPLOITATION DU CODE NxOD

IV-1 INTRODUCTION

L'objet du présent travail était pour l 'essentie l l e développement d'un outi! de calcul destiné à l'exploitation des expériences de chauffage cyclotronique électronique et d'une façon plus générale, à l'étude préliminaire de différentes hypothèses de transport dans l e s plasmas tokamak. La structure et l e s caractéristiques de cet outil ont été développées dans l e chapitre précédent. L'objet du présent chapitre est de j. "Center l 'ut i l i sat ion et les résultats obtenus grace à cet out i l .

Le code NxOD a été opérationnel à partir de novembre 1985. Il a été u t i l i s é dans plusieurs cas de figure:

- Pour l'étude du confinement en régime ohmique, études qui ont conduit à la caractérisation de deux modes de confinement pour des plasmas de faible densité et faible courant.

Pour l'exploitation des résultats du chauffage cyclotronique électronique au fur et à mesure de l'avancement de l'expérience.

- Pour l e test de mécanismes de transport qui pourraient expliquer la dégradation du confinement de l'énergie électronique lors des expériences de chauffage.

- Pour la projection sur Tore Supra des résultats obtenus sur TFR dans les études préliminaires d'implementation du chauffage cyclotronique électronique sur Tore Supra.

IV-2 LES REGIMES "FORT COURANT" ET "FAIBLE COURANT"

C'est en réglant l e tokamak pour obtenir l e s plasmas nécessaires aux expériences de chauffage cyclotronique que nous avons remarqué l'existence de deux modes de confinement de

- 66 -

l'énergie électronique suivantes

Ip = 100 kA Ne = 2 10 l Scm Bt = 21 kG Te = 1 kev

Ces plasmas ont les caractéristiques

Le champ toroidal, relativement faible pour TFR, est imposé par l e fait que la fréquence cyclotronique au centre du plasma doit coïncider avec la fréquence des gyrotrons, qui était de 60 GHz dans notre cas. De même, la densité doit rester inférieure a la densité critique Cau delà de laquelle une disruption se produirait) mais aussi de la densité de coupure au delà de laquelle l'onde cyclotronique ne se propagerait plus.

On a observé sur TFR une transition pour une valeur ta courant proche de 10S kA. Selon que l'on est en dessous où en dessus de cette valeur, on obtient des chocs dont l e s caractéristiques de confinement et l ' a c t i v i t é MHD sont très différents. La figure IV-1 montre plusieurs mesures effectuées sur un choc dont l e courant se situe en dessous de la limite:

^ CM]

Courant Plasma

Envelcppe du Mode MHD m=2

- 67 -

Enveloppe d-j ilode MHD m=3

n e t'o"e»-Ji

1 -

-20 -J0 0 10 20

Densité Electronique

f Ceml

Figure IV-1: Caractéristiques d'in Choc "Faible Courant"

Sur ces signaux (nous nous intéressons essentielle* '-nt à la

partie située entre 100 et 300 ms, c'est à dire dans le plateau

de courant et avant qu'un déplacement du plasma ne crée une

perturbation) on peut remarquer:

- Le courant est légèrement inférieur à 100 kA et le facteur

de sécurité au bord du plasma est supérieur à 3.5

Les signaux qui mesurent l'enveloppe des modes ra=2 et m=3

- 68 -

(obtenues par analyse de Fourier des signaux fournis par des

boucles de Kirnov) montrent que les ilôts correspondants

sont de petite taille.

- Le profil de densité est piqué

Voyons maintenant les mêmes mesures pour un choc dont le

courant est au dessus de la limite Cfigure IV-2):

I f 0*3

Courant Plasma

0 100 200 300 Hoo t Qr»5]

UA i 1 i m f

r Enveloppe du Mode MHO m=2

Enveloppe du mode MHD m=3

- 69 -

r-JÎ JjOenV n

Densité Electronique

-20 -10 10 20 Zeml

Figure IV-2s Caractéristiques d'un Choc "Fort Courant"

Par rapport au premier choc, on peut constater plusieurs différences:

- Le courant est nettement supérieur à 100 kA et l e facteur de sécurité au bord est proche de 3 ,2 .

- Les modes m=3 et surtout l e mode m=2 sont beaucoup plus intenses, ceci correspond à l 'existence de trè:, gros i l ô t s sur l e s surfaces q=2 et q=3, cette dernière se trouvant au bord du plasma.

- Le profil de densité est élargi. L'effet est beaucoup moins net sur l e profil de température. Une étude systématique montre néanmoins que dans la plupart des cas un léger élargissement du profil de température peut être observé.

Nous avons u t i l i s é l e code pour dépouiller ces résultats afin de savoir quelle était la différence entre ces deux régimes du point de vue du confinement de l'énergie électronique. Tout d'abord, on constate une forte dégradation du temps de confinement de l'énergie lorsque l e courant augmente. Pour l e s chocs montrés,f était de 8.8 ms pour l e choc "faible courant" et

- 70 -

de 5 ras pour l e choc "fort courant". Les profils de Xe obtenus sont aussi nettement différents, comme le montre la figure IV-3:

n

3"

\ / CL

\ 4 s r

t + Chi fori courant ' ©Cfti taitlc ccorasxt

10 >5 SO r [cm!

Figure IV-3: Comparaison des Coefficients de Transport pour l e s Chocs Faible et Fort Courant

Alors que l e coefficient de transport varie lentement avec l e rayon dans l e cas "faible courant", i l varie rapidement dans l'autre régime pour atteindre un maximum local au voisinage de r=6 cm, alors qu'avec l e profil de courant u t i l i s é par l e code la surface q=2 se trouve approximativement a r=7cm. Le calcul des dimensions des i l ô t s <1> donne BOIT l ' î l o t m=2 une largeur de 6 cm, tout a fait exceptionnelle sur TFR. Avec des i l ô t s aussi grands l e chevauchement des î l o t s m=2 et m=3 est inévitable. Ce chevauchement provoque l'ergodisation des lignes de champ, dégradant le confinement des particules (ce qui peut expliquer 1'aplatissement du profil de densité) et de l'énergie.

- 71 -

Nous nous sonnes aussi demandés quels sont les facteurs qui

déterminent la transition d'un mode vers l'autre:

- Tout d'abord, le couple courant-champ toroidal semble

jouer le role primordial. En effet, la croissance des modes

m-2 et m-3 se manifeste lorsque la surface q=3 se trouve au

bord du plasma. Etant donné que le facteur de sécurité au

bord s'écrit

% =

nous avons facilement la valeur du courant provoquant la

transition. Pour un champ toroidal de 21 kG, on obtient un

courant de 105 kA, alors que l'expérience montre que la

transition se trouve entre 105 et 110 kA.

- L'apparition de ces deux régimes est fortement influencée

par la teneur en impuretés aétalliques du plasma. Rappelions

que TFR est un Tokamak dont les patins sont en carbone.

Comme tous les objets se trouvant dans la chambre a vide,

ceux ci ont tendance à être recouverts par une couche de

métal comme conséquence de la vaporisation sous vide de

divers objets présents dans la chambre du fait des

interactions avec le plasma. Comme la nature d- ces objets a

varié au cours du temps, nous avons essayé d'établir une

corrélation entre le comportement des deux régimes et les

sources d'impuretés présentes dans la chambre à vide. Les

expériences ont été réalisées à trois périodes différentes:

I V

5

34

10 ico no i;o rf &*1

Figure 1V-4: Transition Entre les deux Régimes

Avant Installation du Bouclier

- 72 -

* Au printemps 1985, avec des limiteurs légèrement

métallisés, on obtenait les deux régimes, avec une

transition extrêmement brusque. Une variation du

courant de quelques kiloampères suffisait a changer

fortement le temps de confinement de l'énergie, comme

le montre la figure IV-4:

* A l'automne 1985, des besoins expérimentaux

conduisent à monter dans la chambre a vide un bouclier

en acier inoxydable proche du plasma. Les mesures

spectroscopiques montrent une augmentation de la teneur

en impuretés lourdes (fer, notamment) du plasma. Il

s'avère impossible alors d'obtenir aucun des deux

régimes décrits précédèrent. On observe en fait un

régime intermédiaire, sans activité tti=2 ou m=3 mais

avec un temps de confinement de l'énergie de l'ordre de

5 as. L'obtention de modes MHD saturés devient

impossible, car ceux ci deviennent rapidement explosifs

et provoquent une disruption majeure.

* Au printemps 19S6, le bouclier est retiré et les

limiteurs sont nettoyés pour enlever la metallisation.

Les deux régimes réapparaissent alors mais avec une

transition beaucoup moins brusque, comme le montre la

figure IV-5:

T.

•»••

5-

3-

*

->If CMI

Figure IV-5: Transition entre les deux Régimes

après Nettoyage des Patins

On remarquera que les modes m=2 et m=3 sont couplés, car ils

apparaissent ensemble. Le fait que leur apparition soit nettement

influencée par les impuretés métalliques fait penser qu'en fait

le contact de l'ilot m=3 avec les limiteurs provoque une

- 73 -

modification importante du recyclage des impuretés, qui modifient l e p ro f i l de r é s i s t i v i t é donc celui de courant, ainsi que l e -bi lan r a d i a t i f . On peut penser que l'augmentation de l a r é s i s t i v i t é dans l a périphérie provoque un piquage du p ro f i l de courant, dont les gradients sont la source d'énergie qui alimente les i l ô t s m=2, et que c'est la croissance de ces i l ô t s qui provoque la dégradation du confinement.

IV-3 CONFINEMENT EN PRESENCE DE CHAUFFAGE CYCLDTRCNIQUE

ELECTRONIQUE

L'étape suivante dans notre t rava i l a été d 'u t i l i se r l e code pour étudier l e comportement du plasma soumis au chauffage cydotronique. D'une façon générale, on constate lors de l 'appl icat ion des chauffages au plasma une dégradation du confinement de l 'énergie. Cette dégradation est due a plusieurs phénomènes:

Augmentation des pertes radiatives sous l ' e f f e t de l'augmentation de température et du taux d'impuretés (car l 'appl icat ion du chauffage peut arracher de la matière des objets présents dans l a chambre à vide, en plus des ef fe ts produits par l e déplacement du plasma, particulièrement important sur TFR, et l a modification du recyclage).

- Création par l e chauffage de nombreuses part icules suprathermiques, moins bien confinées car plus sensibles aux perturbations magnétiques.

Dans l e cas du chauffage cyclotronique électronique, cette dégradation n'est pas encore complètement expliquée par l a théorie. Nous nous sommes attachés donc a analyser les résultats de l'expérience pour connaître en détai l l 'évolution du plasma sous l ' e f f e t du chauffage <2> <3> <4>:

- Densité! L 'ef fet du chauffage sur la densité est assez fa ib le . On observe en général une légère diminution de la densité (pump out) au centre avec un léger applatissement du p r o f i l . Ce ef fet est assez d i f f i c i l e a voir (car i l faut séparer ce phénomène du déplacement du plasma au moment du chauffage). On s'attend donc à une légère dégradation du confinement des part icules.

- 74 -

- Température: La température centrale du plasma c ro i t rapidement au moment d 'application du chauffage, e t a t t e i n t sa valeur f inale en une dizaine de millisecondes. Lors des expériences avec application du chauffage par pas successifs de 200 kW, ce t t e montée rapide se repète a chaque pas tfigure IV-B):

Figure IV-6: Evolution de Te sous l ' e f f e t du Chauffage

I l est donc possible que l ' ex is tence d'une température l imite so i t moins due a une saturation du chauffage qu'a l ' appar i t ion rapide d'un mécanisme de per te t e l que

CL ft P6BTE

dTz > Zcc k*//kev

et ayant de plus une constante de temps d'établissement de l 'o rdre de quelques railisecondes. La figure IV-7 montre l e profi l de température obtenu <5>:

75 -

C Efcev]

* JWCE S O

rC««J

Figure IV-7: Profil de Te Caractéristique du Chauffage Cyclotronique Electronique

On remarquera que ce profi l , avec sa forme caractéristique de "casque à pointe" est en contradiction avec l e s théories de "profile consistency". Avec l e profil de courant u t i l i s é dans la simulation, cette violation reste a l'intérieur de la surface q-1 (en fai t , dans une région bien plus pet i te ) . On remarquera encore que l e chauffage est très local isé , et que l'augmentation de la température tend a l e rendre encore plus local, car l'absorption de l'onde cyclotronique Iqrs du premier passage dans le plasma croit avec la température électronique:

& {W)=jreL EÏ ^ 1 £ (<&] JCw.û^.te.trJ <1KJ v nie1 " ^ c J * J

Disposant de ces informations, nous avons u t i l i s é l e code pour déterminer l e s caractéristiques du confinement. Pour cela, nous avons en un premier temps considéré un modèle de transport purement de bilan

radiatif-diffusif, c'est à dire, répondant à l'équation

<££= P- +• Pea» +• V* [Xe. & W j - p™*

76 -

Le problème le plus épineux était de se fixer un profil de

dépôt de puissance du chauffage. Nous savions que l'absorption a

lieu pour une particule lorsque la condition

ùr - Wce _ o =o W - 2J? = o îr **

est sa t i s fa i t e . La région ou l'onde peut être absorbée par des

particules thermiques se présente donc sous l a forme suivante

( f igure IV-83

^ if o,5 cm

Figure IV-S: Absorption de l'Onde Cyclotronique

Où S) note la largeur du faisceau et S z l a largeur de l a zone d'absorption, due à l a largeur spectrale du gyrotron et à l'élargissement Doppler.

Nous avons décidé de considérer l a distr ibution de l a puissance à l ' in tér ieur du diagramme de l'antenne comme une distr ibution normale, et nous avons négligé l a puissance absorbée lors du deuxième passage (c'est à d i re , après reflexion par l e mi ro i r ) . Etant donné l e mai11age choisi l'apport de puissance se l imi te aux deux cases centrales, avec près des deux t i e r s de la puissance dans la case centrale.

- 77 -

Case Rayon Central <cm) Rayon limite (cm)

1 0. 2. 2 3.5 5. 3 6. 7.S 4 S.5 10. 5 11. 12.S E 13.S IS. 7 16.

Au delà de 16 cm l e modèle de rayonnement u t i l i s é par l e code cesse d'etre valable, car l e rayonnement des raies des impuretés et la recombinaison radiative deviennent dominantes.

Avec ces hypothèses, nous avons constaté les fa i ts suivants:

- En ce qui concerne l e s coefficients de transport, on observe une augmentation générale, quelque soit l e rayon. Cette augmentation est particulièrement forte au centre de la décharge.

- Le temps de confinement de l'énergie subit une forte dégradation. La figure IV-9 montre l'évolution du temps de confinement de l'énergie pour divers chocs.

On remarque que l 'e f fet est plus fort lorsque l e choc de départ est un choc du type "faible courant". Pour un choc "fort courant", la dégradation est beaucoup moins forte, et . tout se passe comme s i l'on partait d'un état où l e mécanisme qui provoque la dégradation était déjà en. fonctionnement. La question de savoir s ' i l existe une relation entre l e mécanisme qui dégrade l e confinement dans l e s chocs "fort courant" et celui qui dégrade l e confinement lors du chauffage peut être posée. Il est d'ail leurs intéressant d•> comparer l e s profi ls de Xe lors du chauffage (figure IV-10) avec ceux obtenus en régime ohmique (figure IV-3)

On remarquera que ces résultats sont assez proches de ceux obtenus par H Capes <6> avec l e code MAKQKOT.

- 78 -

10 • t ^ [ h . } ]

5 . .

- * 206 «fôO

O FoLi'ile Coui-oint

+ F o * t Ceuvc».nfc ( M ^ j )

ito £„M Figure IV-9 : Variation du Temps de Confinement de

l 'Energie avec l a Puissance

/-> 0 . 1 5 i 1 1 J ] 1 j 1 J r

0 .00

fee»

0 10 20 r (cm)

Figure IV-10: Profils de Xe lors du Chauffage

- 79 -

W-4 VERIFICATION A L'AIDE DU CODE DE LOIS D'ECHELLE

Le code NxOD permet de vérifier simplement la conformité du comportement de TFR avec diverses l o i s d'échelle. La structure du code permet en effet de donner aux coefficients de trasport une forme du type:

X* 06 v\ÎT*f

rorme qui permet d'écrire la plupart des lo i s d'échelle courantes. Nous avons testé les l o i s suivantes:

- Loi de la forme

«c <ï

où l e s coefficients «C et & étaient à déterminer.

- Loi de Kadontsev <7>

- Loi de Mercier <8>

Dans l e s fa i t s , ncvis avons commencé par étudie- ia première l o i , qui semblait la plus générale. La meilleure cjrrespondance donnait pour l e s coefficients et l e s valeurs:

3*. =-°/^ ft^ = - f i

Ces valeurs correspondent relativement bien aux lois de

Mercier en régime ohmique et de Kadomtsev* en régime de chauffage,

si l'on ne tient pas compte du pic centr 1, comme le montre la

figure IV-11:

- 80 -

Figure IV-11: Simulation de deux Lois d'Echelle

Dans les fa i ts , l e s conclusions de ces i t ides méritent d'etre nuancées. Il est en fait assez facile de faire correspondre l e profil de température simulé à l 'aide de n'iaporte quelle loi d'échelle "raisonnable" avec l e profil expérimental compte tenue des barres d'erreur. De plus, comme l e s profi ls de densité et de température d'une machine donnée sont assez proches d'un choc à l'autr- l e s l o i s d'échelle sensibles a ces paramétres ne peuvent être testées que pour une gamme de valeurs de ces paramètres très réduite. Il est donc très d i f f i c i l e de garantir que l e comportement du plasma en fonction de ces paramètres soit bien représenté par la loi en question.

- 81 -

IV-5 ETUDE PRELIMINAIRE DU TRASPORT NON LOCAL

Dans tout ce qui précède, nous avons traité le transport

comme découlant d'une loi du type

Cette description n'a de sens que si Xe varie moins que ""'jan. . Or, on constate que la variation du gradient de température ne

peut pas expliquer la dégradation du confinement sous l'effet du

chauffage sans une variation considérable de Xe. Il semble donc

intéressant de chercher un mécanisme de transport sans dépendance

du gradient local.

Si l'on tient compte de la faible -ollisionnalité du plasma,

les modèles classiques où le trasport d'énergie est assuré par

les collisions ne suffisent pas a expliquer l'expérience. On est

donc amené a considérer un mécanisme ou l'énergie perdue est

transportée par les particules qui quittent le plasma. Si nous

voulons construire un tel mécanisme, plusieurs contraintes

s'imposent a nous:

- Ces particules sont en nombre relativement faible (car

autrement une nette diminution de densité serait observée

durant le chauffage; il est néamoins intéressant de

remarquer qu'une faible diminution de la densité centrale

accompagne généralement le chauffage cyclotronique).

- Elles transportent une énergie considérable. Rappelions

que l'application du chauffage accroit la puissance reçue

par le plasma d'un rapport 6 sans que les gradients soient

multipliés par 2 à l'extérieur de q-1.

- Il reste à trouver le mécanisme qui provoque la perte de

ces particules. De.' calcul" montrent cependant que les

particules rapides peuvent être déconfinées par des

perturbations magnétiques d'ordre élevé <S>.

Nous avons décidé donc de faire un calcul préliminaire

destiné à savoir dans quelles conditions un mécanisme de perte

- 82 -

des électrons rapides pouvait expliquer les résultats expérimentaux, en faisant abstraction du mécanisme qui provoque leur perte.

Pour cela, nous avons ajouté ur module au code NxOD destiné à calculer l e s pertes suivant l'expression suivante:

W «** - % (SîJ1 J e ^

ce qui revient à supposer que la distribution est proche de la aaxwellienne et que tous l e s électrons d'énergie supérieure a £« sont perdus. Zn est un temps qui caractérise la relaxation de la fonction de distribution (c'est A dire la rapidité avec laquelle l e s électrons rapides sont crées) ainsi que la rapidité avec laquelle ces électr. i s quittent la configuration.

Afin de savoir quelle est l'influence d'une t e l l e perte sur l e confinement des particules (autrement di t , sur la densité électronique) nous avons calculé l e rapport entre l'énergie perdue et la matière perdue en fonction de la température (figure ÏV-12). On remarqu ra que, lorsque la température du plasma augmente, la perte d'énergie augmente avec la température aussi rapidement que la perte de matière. La légère perte de densité observée durant l e chauffage pourrait s'expliquer par ce mécanisme:

2. J's fit) de

E. = 6,5 kev

-• . • » T e C*evT I t î

Figure IV-12s i'ertes de Matière et d'Energie

1 f &•*

*

- 83 -

Il est important de remarquer que les électrons perdus dans une région du plasma traversent l e s autres régions pour pouvoir sortir du plasma. Ces électrons n'influent pas dans l e bilan énergétique expérimental des régions traversées, car l e diagnostic u t i l i s é pour mesurer la température Cdiffusion Thomson) ne voit que l e s électrons thermiques. Mais on peut remarquer qu' i l s pourraient expliquer les differences constatées entre la mesure de temperature Thomson et ce l l e fournie par mesure du rayonnement 2uce, qui, lu i , est sensible à la présence d'électrons suprathermiques.

Nous avons donc tout d'abord fait tourner le code en dépouillement, c'est a dire en lui faisant calculer les coefficients Xe susceptibles de maintenir la situation de départ. Nous avons essayé d'optimiser l e s valeurs de Z\ et Eo de t e l l e façon que l e s Xe aient des valeurs l e plus proches possibles de ce i . e s prévues par la théorie néoclassique, ce qui revient A considérer que la difference entre l e prévisions néoclassiques et l'expérience sont dues uniquement au transport non local . Le meilleur compromis a été trouvé pour

6 5 ka t,t - td\

on peut alors comparer les profils des Xe nécessaires pour équilibrer le bilan énergétique avec et sans le transport non local (figure IV-13):

D»vn

f£e»»1

Figure IV-13: Coefficients de Transport Conducti fs

avec et sans Transport Non Local

- 84 -

Les Xe sont inférieurs dans l e cas du transport non local, car l'énergie devant être évacuée par conduction se trouve diminuée du fait du transport non local.

Une fois ce calcul effectué, nous avons fait tourner l e cod» en simulation de chauffage, afin de calculer î* profil de température après chauffage en supposant les Xe constants. On a obtenu le profil représenté dans la figure IV-14, à comparer à celui obtenu expérimentalement:

T. $

o Eïpet-renee ( î c = l,Smi)

0 SfM „ fo. tien (jcc s 1,5ms)

l 1 C 8 lo i l l ï It, r&<*)

Figure IV-14: Profils de Te Simulés avec Transport non Local

Si l'on normalise les deux profils a leur valeur a la surface q=l, on obtient l e diagramme IV-15: ^

On remarque que la .température centrale simulée est supérieure à ce l l e fournie par l'expérience. Mais s i l'on tient compte du iait que l e pic central est très étroit Cet donc que la mesure de la température est très sensible au déplacement du plasma), la prévision reste très cohérente. On remarquera aussi que s i l'on annule le transport non local tout en maintenant les Xe à la valeur correspondante à l 'équilibre ohmique, l'augmentation de tampérature obtenue par simulation est d'un ordre de grandeur supérieure CTe>20 kev).

Dans tout ce qui precede, nous avons supposé que la partie suprathermique de la fonction de distribution n'est pas perturbée

- BS -

* Expérience

o Simi/Lxti'on

10 £ •©"}

Figure IV-15: Profils de Te Simulés Normalisés

par l e chauffage. Cette hypothèse sous estime l'importance du transport non local, car pour l e chauffage cyclotronique électronique la modification de la forme de la fonction de distribution peut être considérable. Nous n'avons pas effectué de simulation dans ce sens parce que comme nous l e verrons au chapitre V, ces modifications transforment la maxwellienne en une distribution dont la partie basse énergie est une maxwellienne dont la température coincide avec la température du plasma mesurée par diffusion Thomson Caux alentours de 3 kev) et dont la partie haute énergie est une maxwellienne dont la température est de l'ordre de 30 kev. La prise en compte de ce changement revient revient au premier ordre a mettre un coefficient de proportionnalité dans l'expression de la puissance perdue:

P = !L •Ci 1 E V •E/W d£

comme nous avons obtenu par optimisation de Xe au centre, cela n'apporte rien a l'étude. Par contre, lorsque l'on disposera d'un modèle théorique permettant de prédire £« et Zj il sera intéressant d'utiliser pour la fonction de distribution une forme plus proche de la réalité.

Le transport non local fournit donc des résultats dont l'ordre de grandeur correspond au transport anormal de l'énergie électronique. Reste maintenant à trouver les mécanismes physiques de perte permettant de calculer explicitement E„ et I"t.

IV-6 PROJECTION DU CHAUFFAGE DE TFR SUR TORE SUPRA

Disposant des résultats du chauffage cyclotronique électronique sur TFR, i l était intéressant de prévoir l e s résultats d'une t e l l e expérience sur Tare Supra. Nous avons donc défini l e s conditions prévisibles de fonctionnement de Tore Supra:

6rand rayon (R): 2.25 m Petit rayon <r)i 0.7 m Champ magnétique (Bt): 3.6 Tesla (Fce= 100 GHz ) Densité centrale (n0>: 10 en Courant plasma (I): 1.3 MA

Nous avons alors choisi un choc de reference de TFR que nous avons analysé à j 'a ide du code u t i l i s é en dépouillement. Nous avons ainsi obtenu l e s coefficients de transport du choc de reference. La figure IV-16 resume l e s caractéristiques de ce choc:

T f*«»j

Figure IV-iS: Caractéristiques du Choc de Référence

A partir des conditions générales de fonctionnement de Tore Supra, nous avons construit des profils "vraisemblables" pour la

- B7 -

densité (pro f i l b icarré) , pour l a densité d'impuretés (un pour cent de l a densité électronique pour l'impureté légère, un pour dix B i l l e pour l'impureté lourde, ce qui est l e régime moyen de TFR). Nous avons u t i l i s é alors l a lo i d'échelle d'ALCATQR

%*cL eV\6

que nous avons écrite sous la forme

> JC-rf«. H e n*

pour calculer les coeff icients de transport d'un choc de référence de Tore Supra. Nous avons fourni alors ces coeff icients au code en l e faisant t rava i l l e r en préd ic t i f , et nous avons ainsi obtenu le p r o f i l de température ohmique pour l e choc de référence sur Tore Supra. Nous avons pu alors vér i f i e r que l a température centrale obtenue correspondait à ce l le prévue dans le projet TORE SUPRA

'« fo]

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T t LK..J

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'•V

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» « » M K 11 »i si a '•fart

Figure IV-17: Prédiction des Résultats de Chauffage sur Tore Supra

Pour étudier les effets du chauffage, nous nous sommes fixés une puissance totale de chauffage cyclotronique de 2 MU, avec le même profil de déposition que celui utilisé sur TFR. Nous avons supposé que la dégradation du confinement provoquée par le chauffage sur TS est de telle nature que les coefficients Xe de Tore Supra restent liés à ceux de TFR par la loi d'échelle d'Alcator. Nous avons donc codifié les coefficients de transport en conséquence, et appliqué le chauffage dans le code en mode prédictif. Le code fournit alors l'évoli^lon de la temperature. La figure IV-17 résume les résultats:

Les temps de vie de l'énergie obtenus en régime ohmique (370 ras) et durant le chauffage (400 ms> sont très proches et montrent même une légère amélioration probablement non significati' On remarquera que la température prise pour le choc de référence (3 Kev) correspond à une moyenne sur une région entourant le centre de la décharge, cette moyenne étar réalisée par les appareils de mesure. Il a été mis en évidence sur TFR que la température centrale était, durant le chauffage, extrêmement piquée au centre. La température au point.exact de la résonance pouvant atteindre très localement une valeur de l'ordre de S Kev, la faible extension de la région concerné expliquant la faible influence de ce fait sur l.e bilan d'énergie. Il est possible que le même fait soit réalisable sur Ture Supra, permettant alors d'obtenir des températures localement bien supérieures aux 4.4 Kev de notre prédiction.

IV-7 QUELQUES CONCLUSIONS SUR L'UTILISATION VU CODE

Il me semble intéressant de clore ce chapitre par une analyse du code du point de vue de l'utilisateur. En effet, mon objectif était de concevoir et réaliser un outil de travail pour le physicien répondant a une idée: à l'inverse des codes du type HAKOKOT, très puissants mais lourds d'emploi, nous souhaitions disposer d'un outil facile d'emploi et léger, permettant de réaliser une exploitation SYSTEMATIQUE des résultats.

Pourquoi attacher tant d'importance à l'étude systématique:

- Parce que l'étude des phénomènes de transport s'oriente actuellement vers une étude de phénomènes très complexes, dépendant de nombreux paramètres, donc couvrant un champ de variation si vaste qu'une statistique requiert de très nombreuses expériences.

- 39 -

- Parce que la complexité du fonctionnement des tokamaks multiplie les situations pathologiques.

Notre expérience sur TFR a fait' naître la conviction qu'il est dangereux de tirer des lois générales de l'analyse de quelques expériences. Les outils d'étude systématique devraient donc se développer.

L'idéal de notre point de vue aurait été donc d'analyser chaque choc de TFR à l'aide du code. Ceci n'était pas impossible: 11 suffisait de concevoir un code d'interface dont la mission aurait été de traiter les données acquises sur les divers diagnostics et de les mettre en forme pour les confier ensuite au code NxOD pour leur traitement. Ce "dépouillement automatique" n'aura pas vu le jour faute de temps. Néamoins, nous avons écrit un programme utilitaire capable de dialoguer de façon interactive avec l'utilisateur du code et de préparer les données destinées a NxOD. Grace a ce module, le dépouillement d'un choc prenait une quinzaine de minutes, ce qui permet déjà un semblant d'exploitation en ligne. Une description détaillé de cet outil se trouve dans l'annexe 1.

La facilité d'emploi du module de préparation des données a permis aussi l'utilisation du code NxOD par d'autres personnes: pai exemple pour l'exploitation de quelques expériences avec le limiteur pompé <10>.

Au total, plus de ISO cas ont été traités par le code entre janvier et Juin 1986.

- 90 -

CHAPITRE V

EXPLOITATION DU CODE RUNWAY

V-l INTRODUCTION

Le code RUNWAY a été utilisé pour l'examen de la partie

•upratheraique de la fonction de distribution de l'énergie

électronique. En effet, on a vu dans le chapitre précédent que

les particules «uprathermiques peuvent avoir une grande

inportance lors de l'étude du transport de l'énergie.

Comae nous disposions avec le spectromètre X-mou muni d'un

détecteur Silicium-Lithium d'un diagnostic capable de fournir de

l'information sur la fonction de distribution électronique,' nous

nous sommes d'abord attachés a vérifier les résultats du code par

comparaison avec ceux de l'expérience.<1>

Dans le même ordre d'idées, nous l'avons utilisé pour

vérifier les conclusions du rapport sur le percems.it de la

chambre à vide de TFR en 1978 <2>.

Enfin, nous avons utilisé le code pour calculer l'efficacité

du mécanisme de création de courant en utilisant les équipements

destinés au chauffage cyclotronique électronique.

V-2 LE DIAGNOSTIC X-MOU SILICIUM-LITHIUM ET SON UTILISATION

Le système de détection dfs spectres d'émission X-aou est

constitué d'un détecteur Silicium-Lithium sensible aux photons

d'énergie comprise entre 0.5 et 100 Kev et d'un analyseur

multicanal qui traite le signal venant du détecteur et compte le

nombre de photons dans chaque canal d'énergie <3>. On dispose de

256 canaux d'une largeur de 117 ev chacun. La résolution

temporelle de la mesure est de 20 ms. La coupure en énergie

nécessaire pour éviter la saturation de l'analyseur par les

photons de basse énergie est assurée par une feuille de béryllium

de 32.5 microns d'épaisseur qui ramène la limite inférieure à 1.5

Kev. La bande d'énergie 'analysée va donc de Icô a 30 Kev. Le

détecteur vise une corde du plasma et reçoit donc une intensité

intégrée sur cette corde (figure V-l).

- 91 -

Ligne de visée

Axe du tore

0 : Centre de ta chambre

Colonne de plasma

J £ l

Chambre à vide

j — Collimateur

i ==\ss Absorbant n Détecteur Dewar (système cryogénique)

Chaîne de mesure

Figure V-1: Spectrometry X-mou: Dispositif Expérimental

- 32 -

Le spectre experimental £ ^ffiE obtenu est l ié ae spectre .d'émission

d£di Aida.

par l'expression:

A-H : f IT f UL<UL3kUEJielVdX-J J J J t£ MM* "a v V 4 t

Oit At est la résolution temporelle, V le volume visé sur une corde» ret) u fonction de transmission de l'ensemble détecteur-feuille de beryllium (figure V-2) et H est le nombre de coups comptés par l'analyseur.

1 -

05 -

7ÏB

//0^^~

i -1 : 12.5um : 22.5um : 32.5um : S7.5um

il • 10 Energie

(keV)

Figure V-2. Fonction de Transmission du Spectromètre

Pour pouvoir comparer les résultats du code avec les spectres expérimentaux, nous avons ajouté au code un module qui calcule le spectre émis par le plasma a partir de la fonction de distribution simulée par le code.

- 93 -

La puissance émise par rayonnement <*'. freinage pour les interactions d'électrons de vitesse v avec un ion de charge Z dans l ' i n t e r v a l l e spectral < to , W+«k ) s 'écr i t <4>

-£fjz ' F - T V rte h i g** ^ )

où f l e • * h; sont les densités électronique et ionique respectivement, 6 , Pri , V et sont la charge, l a masse et l a

vitesse des électrons et Qe.f( est le facteur de Gaunt. Le facteur de Saunt est en général t rès voisin de 1 , sauf pour l'hydrogène pour lequel i l peut ê t re sensiblement dif férent <S>.

En conséquence, s i l 'on t i en t compte de toutes les impuretés présentes dans l e plasma, l a puissance to ta le émise par rayonneaent de freinage par les electrons de vitesse v peut s 'écr i re sous l a forme:

Kff

Eh sommant sur les vitesses on obtient:

du, oit 3 /J c* m J )v\

Où /%,in * s t déf inie par l a re lat ion de conservation de

l 'énergie au cours de l ' in teract ion électron - ioni

^

z fCv) est la fonction de distribution électronique. Comme le

code fournit une fonction de distribution dans le plan <v ,v. ),

l'intégrale précédente nécessite pour être utilisable quelques

transformations:

<i_w cet 3JT n\( c s J. . . \v\

- 94 -

d3W tSjutLv elh

- IL Tret n\ i i / ï c 1 m v

Avec ^m=iz *tzi

Si l'on suppose le rayonnement isotrope, en coordonnées

polaires et en réécrivant en ternes d'énergie on • obtient

finalement pour l'unité d'angle solide:

l£db<Lsi sfï w?cl t J J

L'expression précédente donne le spectre total émis par

rayonnement de freinage. Pour tenir compte de la contribution du

rayonnement de recombinaison radiative on fait l'hypothèse que

les taux de r«combinaison radi»„ »e restent inchangés lorsque la

fonction de distribution s'éloigne de la maxwellienne. On peut

alors écrire: < 9 >

JE JLh 1st 3va à n* & J J

g étant le facteur tenant compte de la recombinaison supposé indépendant de l'énergie. Dans l'approximation maxwellienne S est indépendant de E pour E^>E-, potentiel de ionisation le plus élevé de l'impureté lourde prépondérante dans le plasma ( pour le nickel, par exemple, E =2.5 Kev >.

V-3 COMPARAISON DES RESULTATS

Pour valider les résultats du code, nous avons choisi les spectres mesurés pendant les décharges adaptées au chauffage cyclotronique électronique, c'est a dire avec des densités de l'ordre de l.S 10 cm' au centre, un courant plasma de 100 A 110 KA et un champ toroidal de 21.4 a 27 Kgauss.

Pour s'affranchir du problème délicat de la normalisation de la fonction de distribution calculée ainsi que du coefficient multiplicatif du a la recombinaison radiative, nous avons préféré comparer les logarithmes des spectres calculés et mesurés. Dans les diagrammes logarithmiques ':-i a tracé des droites des moindres carrés dont les pentes sont exprimées en Kev ~ .

On peut se demander quelle est la signification des droites des moindres carrés dont on a calculé les pentes. Faire passer une droite par les points expérimentaux dar<i le diagramme

- 95

logarithnique revient à supposer que la population suprathernique peut être décrite par une fonction de distribution de la forme

4(E) - c ë r£A r*T*

où T est l a "température apparente" de la population suprathermique. Ces hypothèses sont suggérées par la forme des spectres obtenus lors des premières simulations, dont la forme générale est la suivante (figure V-3)

Lo% Ë M / A E

1 l*«gf«« .. T« v 3 fee*

. t. (r*q<'»„ M tilt)

Z*3

Allure ^«W«*t(« «es Sftelfes atteint» fOAr U ooeCe

« + - 3 M^I

«.oVo EH Figure V-3: Allure générale des Spectres Calculés

1 - Décharges s^ns chauffage cyclotronique électronique La forme du spectre expérimental est la suivante (figure

V-4):

- 96 -

E D« li

Figure V-4: Exemple de Spectre Expérimental (Plasma Ohmique)

Afin d'avoir des données s ignif icatives dans l e domaine 10-30 kev, nous avons été obligés de cumuler plusieurs spectres correspondant a des chocs répét i t i f s de TFR. La comparaison est faite dans l ' interval le l .S a 30 Kev. On a porté l e logarithme de l ' intens i té en fonction de l'énergie pour l e s résultats expérimentaux et calculés dans la figure V-5.~ Le diagramme montre deux régions qui se distinguent par l e s

pentes des droites des moindres carrés: Une première pour l e s énergies inférieures a 10 Kev et une deuxième pour l e s énergies supérieures à 10 Kev. Le spectre calculé présente une troisième région moins marquée que l e s précédentes au delà de 40 Kev, région ob se fait sentir l'influence de la limite de Dreicer (qui est de l'ordre de 50 kev pour l e s chocs considérés).

2 - Décharges avec chauffage cyclotrsnique électronique Dans ce type de décharge, la valeur du champ magnétique

toroidal détermine la position de la couche résonante à l ' intérieur du plasma. Bien que la mesure so i t non locale, la simulation suggère que la contribution de la zone centrale du plasma est prédominante. On s'attend donc à des perturbations d'autant plus marquées que la couche résonante est plus proche du centre, c 'est a dire, pour des valeurs du champ toroidal proches de 21.4 kâauss.

Pour un champ de 21 kGauss, on peut observer l'aspect du spectre expérimental dans la figure V-6

- 97 -

• Poinh Exp, Proiie E*j>.

Figure V-S: Comparaison des Spectres Expérimentaux et Calculés (Plasma Ohmique)

0 10 20 30 E CM»] Figure V-6s Exemple de Spectre Expérimental

(Avec Chauffage Cyclotronique)

et le logarithme des spectres expérimental et calculé dans la figure V-7.

- 98 -

Logs

•• * - v

Energy IkeV)

10 20 25 30

Figure. V-7: Comparaison des Spectres Expérimental et Calculé (Avec Chauffage Cyclotronique)

La pente des droites diminue par rapport au cas sans chauffage.

Pour un champ de 24 kGauss, la résonance est au bord du plasma. On observe un changement de pente moins important que dans le cas à 21 kGauss. Le code donnne le même résultat que dans le cas ohmique.

Pour un champ de 27 kGauss, le changement de pente de la droite expérimentale par rapport au cas ohnique est encore noins important et rentre dans les barres d'erreur. Le code donne le même résultat que dans le cas ohmique.

Les résultats numériques sont résumés dans le tableau suivant:

- 99 -

«V T * „ „ £cPH C*«<1 T * ,«».» ecRtf ft*-] «V e>pp«-.«wC « caUl/ l Eyf-crt'ence «.<U.et/L

21.4 20. 2 6 . 3 40. 33.3

ZH 25.6 33 .3 32. 53.3

2? 29. f - 3 3 - 3 31 . 33.3

Dans la suite on ne comparera que l e s résultats de la région comprise entre 10 et 30 Kev. La région de plus basse énergie est en effet entachée d'erreurs dans l e s résultats expérimentaux A cause du rayonnement de raies des impuretés et du faible nombre» de points et inexacte dans le calcul car très dépendante de la distribution de vitesse i n i t i a l e choisie pour amorcer l e calcul.

Dans l e s cas sans chauffage cyclotronique l e calcul est en très bon accord avec l»s résultats expérimentaux, comme on l ' a vu plus haut.

Lorsqu'on applique l e chauffage a la fréquence cyclotronique électronique, on s'attend a voir la pente des droites diminuer. En effet , la population de la bande d'énergie étudiée dépend de l 'équilibre des flux a travers l e s surfaces qui la délimitent dans l'espace des vi tesses . Du coté des f a i b l e ï v i tesses , ce sont l e s col l i s ions qui déterminent l e flux. Celui ci sera donc peu augmenté du fait du chauffage, car les particules accélérées par l e chauffage seront rapidement thermalisées. Du coté des fortes vitesses , c'est l 'équilibre entre la col l is ionnal i té et l e champ électrique qui détermine l e flux qui est toujours sortant, car une fois qu'une particule dépasse la vitesse de Dreicer, e l l e ne revient pas a des énergies plus basses. Lorsque l e chauffage est appliqué, on fournit de l'énergie aux particules, donc on augmente l e flux sortant vers l e s hautes vi tesses , ce qui à pour effet de dépeupler la bande d'énergie car ce flux n'est pas

- 100 -

compensé par l e flux entrant aux basses énergies. La pente, qui mesure l a variation de l a population avec l 'énergie doit donc diminuer comme conséquence de ce dépeuplement. Ce phénomène apparaît sous l a forme d'un refroidissement de l a queue suprathermique.

Ce phénoaiène se retrouve dans les résultats expérimentaux, où l 'on voit passer, pour un chauffage au centre du plasma, l a température de 50 a 20 kev.

Ce phénomène est aussi re f lé té par les résultats du calcul lorsque l e champ magnétique correspond a une fréquence cyclotronique égale a ce l le de l'onde ( l e code étant 0D dans l'espace, i l ne peut prendre en compte que la valeur du chaap en un point) et dans ce cas l a température passe de 33 à 26 kev. Lorsqu'on s'éloigne de cette valeur du champ, seules les particules t rès rapides peuvent être résonantes du f a i t des corrections re la t i v i s tes , ce qui réduit sérieusement l e nombre de particules affectées par l e chauffage et rend l ' e f f e t global imperceptible-

Bien que l e code fournisse une fonction de distr ibution non isotrope, l a transformation de ce l le c i en spectre d'émission X-mou implique une intégration sur les directions angulaires. Notre comparaison valide donc l a fonction de distr ibut ion uniquement comme 'onction de l 'énergie, mais non sa distr ibution angulaire. Les mesures disponibles ne semblent pas permettre d'avancer plus loin dans cette direct ion.

Afin de fournir un test supplémentaire pour valider les résultats du code, nous avons comparé les valeurs de l 'énergie émise par unité de volume dans un in terva l le donné d'énergie Cen pratique, de 17 a 19 Kev) par imité de temps et dans l ' un i té d'angle sol ide.

VALEUR CALCULEE PAR LE CODE

On doit tout d'abord normaliser la fonction de distr ibut ion calculée par l e code. Celle ci n'étant valable que pour v > v r , on l a prolonge par une naxwellienne  1 Kev dans le domaine <C,Vj. ) . La condition de normalisation s 'éc r i t alors

C f" p ty>Mr f [C<ttrJ«tirl =. h e

La deuxième intégrale est négligeable si v £ est bien choisie, ce qui permet de réduire la condition de normalisation a

- 101 -

-'o Avec la fonction do distribution ainsi normalisée, l'énergie

émise dans l ' interval le donné est de 3.S 10* Joule

VALEUR EXPERIMENTALE

A partir d'un spectre expérimental, on peut calculer l'énergie émise dans l ' interval le donné, que l'on ramène aux unités de volume, d'sngle solide et de temps en tenant compte des données du disposit if expérimental

- ? » -x

X l î / O A V =• {? àt = M A,

- s l'énergie ainsi calculée vaut: 0.8 10 Joule

Il y a entre l e s valeurs expérimentale et calculée un rapport quatre, ce qui est un assez bon résultat compte tenu des barres d'erreur et des approximations. La différence peut s'expliquer par l e fait que l e volume visé par l'expérience couvre des zones chaudes proches du centre du plasma mais aussi des régions plus froides, donc moins «missives. Pour l e code, en revanche, l e calcul est fait dans des hypothèses OD, c'est A dire à température uniforme que l'on a prise égale a la température centrale, ce qui conduit a surestimer l'émission du plasma.

V-4 VALIDITE DES RESULTATS DU CODE

L'existence du spectrometry Silicium-Lithium a permis de vérifier que la fonction de distribution calculée dans la région comprise entre la vitesse in i t i a l e et la vitesse de Dreicer définies au chapitre III étaient bien conformes a ce l l e s fournies par l e calcul. Pour valider l e s résultats obtenus au delà de la vi tesse de Dreicer (c'est a dire, la quantité d'électrons découplés présents dans la décharge), nous avons u t i l i s é la formule de Connor-Hastie <6>. Voici, pour plusieurs situations, l e s valeurs obtenues

- 102 -

Taux de Production d'Electrons Découplés (cm s" )

Calculés par RUNWAY Calculés par Connor-Hastie

2,92 10 2,16 10

5,88 10 7,24 10

3,72 10 3,10 10

Coane on l e voi t , l'accord est asse2 bon. En ce qui concerne l e calcul des électrons super-piégés, i l

ne nous a pas été possible de valider l e calcul effectué par le code. Nous avons néanmoins essayé de vérifier l'hypothèse selon laquelle l e percement de la chambre de TFR en 1873 était du a ce type de particules.

V-5 ANALYSE DU PERCEMENT DE LA CHAMBRE A VIDE DE TFR

En 1973, 1100 décharges seulement après la miss en service de TFR, l'exploitation du tokaraak a du être interrompue par suite du percement de la chambre a vide en Inconel <2>. Suite a cet incident, on a constaté après examen complet de la chambre a vide plusieurs "taches" d'oxydation montrant qu'un échauffement local de la paroi avait eu l i eu . Ces taches étaient distribuées de l a façon suivante (figure V-8)s

- 103 -

Figure V-9i Distribution des Points d'Echauffement Local dans la Chambre a Vide de TFR

On remarquera dans la disposition des taches plusieurs détai ls intéressants:

- Les taches apparaissent toujours entre deux bobinés du chaap toroidal.

- Elles sont toujours dans la partie inférieure de la chambre a vide.

Nous avons décrit dans l e chapitre III l e piégéage des électrons par effet de miroir entre deux bobines du champ toroidal. Nous avons dit que, pour l e sens du champ toroidal employé sur TFR, ces particules dérivaient vers l e bas e t , sous certaines hypotheses, quittaient la configuration. Il est donc naturel de penser qu'une cause possible des échauffements étaient l e s col l i s ions des électrons piégés quittant l e plasma avec la chambre A vide.

Pour vérifier cette hypothèse, nous avons tout d'abord estimé l'énergie nécessaire pour produire les taches observées.

- 104 -

Etant données les dimensions des taches ( approximativement 1.5 cm^ ) et les propriétés thermiques de l ' Inconel , l 'énergie nécessaire pour amener celui c i localement a l a température de fusion (1400 *C) est de l 'ordre de 200 Joule par tache.

Nous avons alors u t i l i s é l e code RUNHAY pour calculer l e nombre d'électrons piégés produits ainsi que leur énergie durant toute l a décharge. Nous avons choisi de prendre les valeurs de densité et de température ainsi que l a tension par tour durant l e plateau de courant du dernier choc avant percement:

T c = 1,1 kev

K = 2.5 V

L'énergie tota le contenue dans les électrons piégés calculée

avait pour valeur:

E c '40 J

Soit les deux tiers de celle théoriquement nécessaire au percement*

Se ce résultat, nous pouvons conclure que l'énergie contenue dans les électrons piégés pourrait expliquer le percement mais sans pouvoir l'assurer.- Eh effet, bien que l'énergie trouvée soit insuffisante à expliquer le percement en un seul choc il est vraisemblable que les irrégularités du champ provoquant le piégéage étant dépendantes de la géométrie du tokamak, elles sont dans les mêmes positions d'un choc à l'autre, permettant de cumuler les effets des échauffements. D'autre part, le résultat du code ae trouve entaché des erreurs propres à un code 00, qui considère le plasma comme un tout homogène.

V-6 ANALYSE DE LA CREATION DE COURANT ("CURRENT DRIVE")

L'équipement destiné au chauffage cyclotronique électronique a été utilisé aussi sur TFR pour des expériences de création de courant. L'intérêt du point de vue de la fusion controllée d'arriver & une configuration du type Tokamak mais dont le

- 105 -

courant plasma ne serait pas induit nais crée par des ondes est

considérable. En effet, le profil de courant dans les tokamaks

est responsable d'un grand nombre d'instabilités ayant un effet

négatif sur le confinement de l'énergie. La création du courant

par des ondes permettrait de contrôler le profil de courant donc

d'influencer le développement de certaines de ces instabilités.

' Pour montrer le mécanisme de la création du courant,

considérons l'équation déterminant la résonan.-e d'une particule,

<-0 - t- s . - k„ Vh =r O

Jusqu'à maintenant, nous n'avons pas prêté grande attention

au troisième terme du membre de droite de cette équation. En

effet, pour les expériences de chauffage, on utilisait pour

inje>:ter l'onde dans le plasma deux guides d'onde orthogonaux au

champ magnétique toroidal, et un guide faisant un angle avec B

de 74 degrés. Du point de vue du chauffage, ceci provoquait

•implement un petit décalage dans l'absorption. Hais considérons

les vitesses de résonance en fonction du champ magnétique (on

suppose l'équidistribution entre v et v >:

new

Figure V-9: Vitesses des Particules Résonantes

- 106 -

On remarque que pour chaque valeur du champ, i l y a deux vitesses qui permettent à une part icule d 'etre résonante. On remarque aussi que l'une de ces vitesses est proche de l a vitesse de l a lumière lorsque l e champ prend des valeurs proches du champ résonant a vitesse nul le (21.4 kG). Peu de particules peuvent être résonantes a cette vitesse car la fonction de distr ibut ion est pratiquement vide a ce niveau d'énergie. I l s'ens»it que en choisissant un champ magnétique supérieur A 21.4 kG sans trop s'en éloigner, nous fournirons de l 'énergie préférentiellement a des particules se déplaçant dans un sens bien déterminé. Comme l e chauffage cyclotronique électronique fournit l 'énergie aux particules sous forme d'énergie perpendiculaire i '. n'y à pas de création de courant par accélération des part ie l S parallèlement au champ magnétique. Hais l e f a i t d'augmenter la vitesse to ta le de l a part icule diminue l a co l l is ionnal i té de ce l le c i . Tout se passe alors comme s i l a r é s i s t i v i t é du plasma diminuait pour les particules se déplaçant dans un sens. C'est l e mécanisme de r é s i s t i v i t é asymétrique développé par Fisch et Boozer <7>. Si l 'on suppose que l e chauffage déplace 5V> particules dans l'espace des vitesses de l a région 1 dans l a région 2 , caractérisées par leur fréquence de co l l is ion , l e courant crée s 'éc r i t

* . • îw K e""' -<i£ e- i l )

pour une dépense d'énergie

Comme le code RUNWAY calcule la fonction de distribution

dans le domaine, des électrons rapides, il est assez facile de

déduire de celle ci le courant transporté par intégration

/ V»

Nous avions donc la possibilité de calculer î'effica -.té de

ce mécanis*.; de création du courant. Nous avons réalisé des

calculs pour plusieurs valeurs du champ toroidal: noua avons

choisi les mêmes valeurs que celles prises lors des expériences

- 107 -

<B> pour faciliter la comparaison. Pour effectuer ces expériences, on a du modifier les asservissements de TFR: en effet, TFR était contrôlé de façon à maintenir le courant plasma constant. La création de courant serait donc passé inaperçue. La modification a permis de maintenir la tension par tour constante une fois l'amorçage du plasma terminé. La figure suivante montre le comportement du courant plasma avec et sans ECRH pour deux valeurs de chanp

— Avec Chauffage CB-24 kS)

— Sans Chauffage

0 250 500 t B»!

Avec Chauffage CB=21.4 kG)

— • Cans Chauffage

0 2 5 0 5 0 0 * £ > » s j

Figure V-10: Courant Plasma Avec et Sans Chauffage

Nous avons résumé, dans l e tableau suivant, l a variat ion du courant transporté par les part icules d'énergie supérieure a 6 kev en fonction du champ magnétique comparée aux résultats expérimentaux. La puissance appliquée par l e guide d'onde incl iné é ta i t de 200 ':U.

Ef f icac i té de l a Création de Courant

B tkS) A I expérimental Al calculé

21,4 • 13 X 24,0 7 X I X 27,0 0 X 0,2 X

- îoa - —

- Bt=21.4 kG : Les particules sont résonantes au centre de la décharge sans correction Doppler. Il y a donc un fort effet de chauffage, qui doit entrainer une variation du courant simplement du fait de la dininution de la réslstivité avec la température. Cette variation devrait être de l'ordre de 20%. Elle n'est que de 13% dans Inexpérience. Le résultat du calcul de simulation n'a pas de signification car les particules résonantes ont une vitesse inférieure a la vitesse initiale de la simulation.

- Bt«24 kG t Les particules résonantes au centre de la décharge ont des énergies de l'ordre de 10 a 70 kev {selon l'angle de v avec Bt, qui modifie le terne Doppler). Hais la couche résonante A vitesse nulle se trouve a 12 en du centre approximativement. L'expérience donne une variation de l'ordre de 7X, qui correspond a la variation de réslstivité due * l'effet de chauffage. Un test supplémentaire a été réalisé en inversant le sens du couranti la variation du courant a été la même. Le code fournit cette fois ci une variation du courant positive: l'augmentation prévue atteint A peine IX

- Bt=27 kG s La résonance A vitesse nulle se trouve hors du plasma. L'effet de chauffage est donc très réduit, mais la puissance non ^bscliée interagit avec la paroi de la chambre, modifiant les conditions de recyclage. Les particules résonantes au centre ont des énergies comprises entre 30 et ISO kev. On s'attend donc A une très faible efficacité de création de courant, car le nombre de particules affectées très faible. L'expérience donne même une tendance A une DIMINUTION du courant (probablement due A une modification du recyclage sous l'effet du chauffage). Le code fournit le même type de résultat: .2%.

L'expérience de création de courant sur TFR peut donc être considérée comme un échec. Cet échec est du A notre avis A plusieurs raisons: D'une part, il A été nécessaire de se placer A un champ magnétique suffisament élevé pour éviter que la création de courant soit masquée par la variation de réslstivité du plasma due au chauffage. Les particules résonantes grace au terme Doppler se trouvent alors être très énergétiques et donc peu nombreuses. D'autre part, l'idée de base du mécanisme de création

- 109 -

de courant supposait que l'on puisse naintenir une fonction de distribution ayant l'allure suivante:

fw

1T+

Figure V-ll: Fonction de Distribution Adaptée a la Création de Courant

Or cette forne donne naissance a diverses instabilités (instabilités busp-in-tail) qui tendent à régulariser la fonction de distribution et détruisent la résistivité asymétrique.

- 110 -

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES

Il »st difficile de tirer, dans le domaine ou nous avons travaillé, une conclusion définitive. Eh effet, de nombreuses recherches sont en cours dans le domaine du transport de l'énergie électronique sans avoir pour le moment fourni des réponses compatibles avec les résultats de l'expérience. D'autre part, il importe d'etre prudent lors de l'interprétation des résultats des Tokamaks. En effet, les tokanaks sont des machines très complexes, oft il est très difficile de faire varier un paramétre sans modifier les autres. L'interprétation d'une dépendance paramétrique est donc délicate, car les chemins qui lient la variation d'un paramètre a la variation du résultat de l'expérience peuvent être très subtils. Néanmois, le travail accompli nous a permis de tirer quelques constatations qu'il me semble utile de formaliser ici:

Tout d'abord, d'un point de vue méthodologique, il semble nécessaire de reconsidérer l'utilité des codes de simulation. Bien qu'impeccable sur le papier, l'idée qui consiste à vérifier une théorie en simulant le comportement du système étudié et en comparant les résultats obtenus avec ceux de l'expérience butte sur un obstacle: le problème des mesures. Comme les mesures dont on dispose sur les Tokamaks sont fragmentaires, on est obligé de fixer un certain nombre de paramètres d'après des considerations plus ou moins précises. Ces paramètres libres permettent d'ajuster la simulation a l'expérience. Comme de plus les résultats expérimentaux comportent des barres d'erreur considérables, on arrive très difficilement À vérifier une hypothèse un tant soit peu fine. Il est donc inutile de développer d'énormes codes prennant en compte un grand nombre de mécanismes si l'on n'a pas la possibilité de les alimenter avec des données sures. De ce point de vue le code NxOD que nous avons développé semble être un bon compromis.

D'un point de vue physique, les résultats obtenus nous semblent indiquer que l'hypothèse selon laquelle la fonction de distribution des électrons est maxwellienne, qui sert de base à de nombreux calculs, doit être abandonnée lorsqu'on étudie les problèmes de transport. Les électrons suprathermiques semblent pouvoir être a l'origine de la dégradation du confinement lors des expériences de chauffage. Il est important de remarquer que

- ill -

la prise en considération d'un tel mécanisme demande que l'on

abandonne la notion des "coefficients de transport" (qui

sous-entendent un mécanisme de transport lié aux gradients).

Nous avons manqué de temps pour exploiter à fond toutes les

possibilités des outils que nous avons développés. Nous espérons

que ceux ci continueront i être utilisés, ce qui est dèja le cas pour le code NxOD, qui est actuellement en cours d'installation à

l'Ecole Polytechnique pour être utilisé dans le dépouillement des

résultats du chauffage cyclotronique ionique sur JET.

- 112 -

ANNEXE I

CODES D'AIDE A L'UTILISATEUR DU CODE NxOD

INTRODUCTION

Un des éléments du cahier des charyes du code NxOD prévoyait

qu'il devait être facilement et sinplenent utilisable par les

physiciens. C'est pour «ela que sa conception du point de vue de

la technique informatique a été particulièrement soignée.

Tout d'abord, s'est posé le problème du traitement des

données. Les données brutes de TFR ne sont pas utilisables sans

un traitement préalable: il faut prévoir l'inversion d'Abel pour

les mesures de densité, la fabrication de profils polinomiaux

pour certaines grandeurs (courant, densité d'impuretés, etc.).

Ces traitements peuvent être réalisés soit par des codes

independents du code de transport proprement dit soit par calcul

manuel. Il reste ensuite a composer a l'aide d'un éditeur de

texte un fichier de données suivant un format fixé par la façon

dont le code de transport lit ses données. Il faut ensuite

fabriquer un fichier contennant des commandes du système de

l'ordinateur utilisé pour contrôler l'exécution du travail (Job).

Il nous a semblé intéressant pour gagner du temps de crê^r

un code susceptible de traiter les données, soit en réalisant lui

même certaines opérations (inversion d'abel, par exemple), soit

en préparant les fichiers de données a partir d'un système de

menus déroulants, pour éviter l'utilisation de l'éditeur de texte

avec les difficultés et les erreurs qu'il entraine. Ce code (que

nous appellerons pour abréger hTJDDON, pour 'module de données-),

contrôle aussi l'exécution du code de transport NxODi envoi des

travaux, marquage des en-tetes pour différentier deux travaux,

etc.

Afin de rendre le code NxOD portable (c'est a dire,

facilement transcriptible d'un ordinateur à l'autre) celui-ci ne

fait appel à aucune particularité du système d'exploitation de

l'ordinateur hôte. Il n'utilise en fait que les possibilités de

base du Fortran IV. Toutes les opérations nécessitant un accès

aux ressources système seront effectuées par MQDUON.

Nous n'allons pas revenir ici sur la structure du code NxOD

décrite dans le chapitre III, mais nous allons décrire quelques

possibilités offertes par RODDON.

- 113 -

LE CODE MODDQN ET LA STRUCTURE DES DONNEES

Comme le code MODDON utilise toutes les possibilités de l'ordinateur hôte, son fonctionnement est très dépendant du système d'exploitation de ce dernier. II s'ensuit qu'il n'est pratiquement pas portable.

La version originale était destinée a fonctionner sur un SOLAR 16/72 sous MPES. Le gros du code est écrit en Fortran 77, avec quelques nodules en langage machine pour permettre l'accès aux requêtes du syster <acces au traitement par lots, date et heure).

Le système MPES présente deux services: le temps partagé et le traitement par lots. Le temps partagé pernet l'interactivité, mais la place mémoire allouée a chaque utilisateur ne peut dépasser 32 koctets. Le traitement par lots permet par contre l'éxecution de gros programmes, sans aucune interactivité.

Le '.'ode NxOD est construit pour être exécuté en traitement par lots. Les données doivent être fournis dans deux fichiers dits "fichier primaire" et "fichier secondaire". Le fichier primaire contient les données que l'on a appellees "standard"! Densité, température, densité de courant, etc. Ces données sont lues par NxOD quelques soient les modules particuliers utilisés. La structure de ce fichier est donc invariable, ce qui permet de le traiter par un système de menus déroulants. Le fichier de données secondaire a par contre une structure variable. C'est en effet dans ce fichier que sont contenues toutes les données concernant les modules particuliers. Selon les modules choisis par l'utilisateur la structure de ce fichier change. Il n'est donc pas possible de traiter ce fichier par un système de menus. On le fabrique donc avec l'éditeur. Ce n'est pas trop gênant, dans la mesure oft ce fichier dépasse rarement quelque lignes.

Le rode MODDON traite donc essentiellement les données contenues dans le fichier primaire. Une session d'introduction de données se déroule de la façon suivante:

Au démarrage, MODDON demande a l'utilisateur s'il souhaite modifier un ancien fichier ou créer un nouveau. Si l'on souhaite modifier, MODDON demande le nom du fichier, le lit et imprime l'identification du fichier Cqui consiste en la date de création et un titre introduit par l'utilisateur au moment de la création du fichier) pour permettre un contrôle. Ensuite, MODDON imprime

- 114 -

le menu d'accueil qui donne les possibilités suivantes:

1 - CONFIGURATION GEOMETRIQUE ET TEMPORELLE: Ce choix permet

d'introduire la configuration des mailles (rayon central et

rayon limite) ainsi que les points anguleux choisis.

2 - DENSITE ELECTRONIQUE ET IONIQUE: Ce choix permet

d'introduire la densité électronique pour les rayons

centraux et les points anguleux définis par l'option 1. Une

tentative d'entrer des densités avant d'avoir défini la

configuration géométrique provoque l'impression d'un message

d'erreur.

3 - DENSITE DES IMPURETES: Ce choix permet d'introduire la

densité de l'impureté légère et de l'impureté lourde

prédominante dans les mêmes conditions que l'option 2.

4 - DENSITE DE COURANT: Ce choix permet d'introduire la

densité de courant dans les mêmes conditions que l'option 2.

Il est important de remarquer que pour chaque option

densité, on a un sous menu qui permet soit d'entrer toutes

les densités séquentiellement, ce qui est utile lors de la

création d'un fichier, soit de modifier la densité de la

n-ieme case seulement, soit l'appel à un module

complémentaire, qui peut être l'inversion d'Abel (pour la

densité électronique), la proportionnalité par rapport a la

densité électronique (utilisé fréquement pour les

impuretés), où le calcul d'un profil en fonction d'un autre

(celui du courant en fonction de la température

électronique, par exemple).

5 - TEMPERATURE ELECTRONIQUE INITIALE: Permet d'introduire

la température électronique initiale de la simulation.

6 - TEMPERATURE IONIQUE INITIALE: Même fonction que le choix

S mais concerne la température ionique.

7 - PUISSANCE ADDITIONNELLE: Permet d'introduire le temps de

debut et de fin de chauffage, ainsi que les puissances

appliquées aux électrons et aux ions dans chaque maille.

8 - DIVERS: Permet d'introduire diverses données: Courant

- 115 -

total, champ magnétique toroidal, numéro atomique des deux impuretés considérées, pas de temps maximum du calcul, pas de temps de l'affichage des résultats, etc.

9 - ECRITURE DU FICHIER: Une fois les données introduites, cette option permet de les sauvegarder. MODDQN demande alors si l'on souhaite modifier le titre di, fichier, et dans le cas d'une réponse positive, demande le nouveau titre. Il lit ensuite la date et l'heure dans l'horloge temps réel du système puis écrit la nouvelle identification du fichier suivie des données introduites.

10 - LANCEMENT D'UN TRAVAIL! Cette option provoque la

construction d'un fichier de commandes destiné au traitement

par lots, qui est placé dans la queue d'exécution du

traitement par lots. MODDQN demande de préciser les fichiers

primaire et secondaire que l'on veut utiliser.

11 - LECTURE D'UN FICHIER: Permet de charger un nouveau

fichier a traiter en cours d'éxecution.

12 - FIN: Permet de sortir de HODDON

Avec l'aide de ce code, la préparation des données prenait une dizaine de minutes par cas traité.

Du fait de la faible place mémoire disponible en temps partagé, la technique d'overlay a du être utilisées MODDQN est composé d'une "racine" contenant tous les tableaux od les données sont stockées a^nsi que le code nécessaire a la gestion du menu principal. Chaque option de ce menu correspond a un "overlay", qui est chargé lors du choix de cette option et abandonné lors du retour au menu principal. Cette technique aboutit donc a n'avoir en mémoire simultanément que la "racine" et l'overlay correspondant a l'option en cours de traitement.

L'INVERSION D'ABEL

Parmi les données qui ne sont, pas disponibles sans traitement préalable des mesures la plus importante est la densité électronique. Comme nous l'avons dit dans le chapitre I, la mesure de la densité se fait par mesure des intégrales de

- IIS -

celle ci suivant des cordes verticales:

Mg A / M

A/l s C A/e il

L'obtention de l a densité électronique Ne A par t i r des

intégrales Ni est un probléae d'inversion appelle ' inversion

d 'Abel ' . Pour l e résoudre, i l faut un certain nombre '

d'hypothèses:

- Les i n te rsec t i ons des surfaces isodensi tés avec un plan de

coupe po lo ida l sont des ce rc les .

- Les centres de tous ces cerc les sont sur une mené droi te horizontale. *

- Si de p lus on suppose ces cerc les concentr iques, l e problème est appel le ' i nve rs ion d'Abel symétr ique ' . Nous l u i

117

avons préféré le cas général, plus complexe mais plus précis.

La aethode pour résoudre le problèae est fondée sur le principe suivant: Considérons la courbe de densité comme constituée par des 'disques* successifs 'posés* les uns sur les autresi

- lia

Appelions A h la hauteur de chaque disque, supposée petite devant Ne. Alors, comae l'opération d'intégration qui fournit NI a partir de Ne est linéaire, le NI Mesuré sur une corde donnée peut s'écrire comae la sonne des intégrales sur cette corde de chaque disque pris séparément. Comne chaque disque est de densité uniforme an , chaque terme de la somaation se présente comme le produit de An par une intégrale géometique dépendante du rayon du disque en question et de la distance entre le centre du disque et la corde d'intégration.

-1/£-&.-*)*

- 119 -

Cette inforaation est simple à obtenir pour l e plus grand des disques. En e f f e t , dans l a region proche de l a l im i te de ce disque, NI passe de l a valeur nul le a une valeur posi t ive. Cela permet de determiner les deux intersections de ce disque avec l 'axe horizontal , et donc son centr et son rayon.

Une fois qu'on a obtenu as données, on 'ajoute* ce disque dans l e tableau des Ne, et on retranche les intégrales NI obtenues a par t i r de ce disque au tableau contenant les densités intégrées. Tout se passe alors comae si l e plus grand des disque*; n 'exista i t pas. On peut i térer alors le procédé avec l e deuxième disque, et ainsi de sui te . Lorsque tous les disques auront été retranchés, l e tableau des Ne contiendra la densité en chaque point.

Cette simple Méthode d'inversion ne permet pas de tenir coapte des p ro f i l s creux (c'est a d i re , ayant plus d'un Maximum l o c a l ) . Pour s'affranchir de ce problème, on peut remplacer les disques du raisonnement précédent par des couronnes c i rcula i res .

- 120 -

REFERENCES

CHAPITRE I

<1> L. A. ARTSIHOVITCH, Rev. Paper, Nud. Fus., Vol 12 1972

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<14> TFR 6roup-FUM ECRH Team, Proceed of 13th Eur. Conf. on

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Cedited by D. GrésilIon and M. A. Dubois)

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(edited by 0. Grésillon and N. A. Dubois)

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CHAPITRE III

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<2> Ibidem, Chapitré XX, P8S6

<3> H. CAPES, C. MERCIER, J. P. MORERA, D. HADUAN6,

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<4> SPITZER, "Physics of fully ionised gases", Interscience

Tracts on Physics and Astronomy N*3, edited by R. E.

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<5> M. TALVARD, Thèse de Docteur-Ingénieur, 1984

- 123 -

<6> L. A. ARTSinOVITCH, "Controlled Thernonuclear Reactions', Oliver and Boyd, London, 1964

<7> Ibidem <6>

<8> Ibidem <1>, P87&

<9> H. A. DUBOIS, Rapport de Stage Final a L'Ecole Centrale

des Arts et Manufactures de Paris, 1976

<10> A. V. GUREVITCH, Sov. Phys. JETP, Vol 12, 1961

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<12> H. DREICER, Phys. Rev,, 117, 329, 1960 <13> L. LANDAU, E. LIFCHITZ, 'Théorie des Champs", Editions

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<14> N. A. KRALL, A. H. TRIVELPIECE, 'Principles of Plasma Physics", He Sraw Hill, 1973

<15> EQUIPE TFR, Rapport EURATON-CEA FC801, 1975

<16> L. OEKEIO, F. EN6ELMANN, "Runaway Effects Induced by Electron Cyclotron Haves", Association Euratom-FOM, I.R. 84/020, 19B4

<17> EQUIPE TFR, Presented by L. JACQUET and M. PAIN, Proceed, of 13 Eur. Conf. on Contr. Fus. and Plasma Phys., Schliersee, 1986

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<1> A. L. PECQUET, Communication Privée

<2> TFR-6roup et al,., "Experimental Results of Electron Cyclotron Heating in TFR', 5th Int. Workshop on ECE and ECRH, San Diego, 1965

- 124 -

<3> FOTHECRH Team-TFR Group, Proceed of 12th Eur. Conf. on

Controled Fus. and Plasma Phys., Budapest, 1985, Vol 2

P CO

<4> TFR 6roup-F0N ECRH Team, Proceed of 13th Eur. Conf. on

Control*d Fus. and Plasma Phys., Schliersee, 1986

<5> H. A. DUBOIS, H. PAIN, Proc. of Cargèse Workshop, 1986

Cedited by D. Grésillon and II. A. Dubois)

<6> H. CAPES, Communication Privée

<7> KADOnTSEV, P06UTSE, JETP Letters, 39 270, 19B4

<B> C. MERCIER, F.UERKOFF, J. P. MORERA, 6. CISSOKO,

H. CAPES, Nucl. Fus, Vol 21 N*3, 1981

<9> F. LINET, Thèse de Docteur-Ingénieur au CESTI, 1986

CHAPITRE V

<1> L. JACQUET, M. PAIN, 11. A. DUBOIS, A. L. PECQUET,

Rapport EURATOH-CEA FC1289, mai 1986

<2> EQUIPE TFR, Rapport sur le Percement de la Chambre de

TFR, 1973

<3> L. JACQUET, Thèse de Doctorat a l'Université Paris VII,

1986

<4> RIBIKI, LIGHTMAN, "Radiative Processes in Astrophysics"

<S> KAZAN, LATTER, "Electron Radiative Transitions in a

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<S> ALTHANN, Thèse de Doctorat es Sciences a l'Université

Paris

<7> N. J. FISCH, A. H. BOOZER, Phys. Rev. Letters, 45, 720,

1980

<B> TFR-Group et al., "Experimental Results of Electron

- 125 -

Cyclotron Heating in TFR", Sth Int. Horkshop on ECE and ECRH, San Diego, 1985

- 126 -

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION 3

CHAPITRE I l L'EXPERIENCE TFR

1-1 Introduction ..... S

1-2 Le Tokamak TFR 5 1-3 Accessibilité et diagnostics 9 1-4 Le chauffage cyclotronique électronique: théorie.... 12 1-5 Le chauffage cyclotronique électronique: experience. 18

1-6 Les difficultés expérimentales 18

CHAPITRE II i PROBLEMES DE TRANSPORT DANS LES TOKAMAKS

II-l Introduction. 21 II-2 Quelques conventions 22 II-3 Le transport classique et néoclassique 24 II-4 Les instabilités électromagnétiques ' 27

II-5 Les lois empiriques et semi-empiriques 30

II-6 Consistence de profil ("Profile Consistency") 31

II-7 Transport non local 33

II-8 Position du probleae 33

CHAPITRE III : METHODES NUMERIQUES

III-l Avertissement 35

II1-2 Pourquoi des méthodes numériques ?.................. 35

III-3 Méthode des différences finies appliquée aux problèmes d'évolution 39

II1-4 Un code NxOD 43 II1-5 Configuration du problème at données. 46 111-6 Structure du code de calcul... 49 II1-7 Convergence du code NxOD 52

- 127 -

II1-8 Méthode de Monte-Carlo: Le code Runway S3 II1-9 Représentation de l'espace et de la population '

41 ectroni que 54 111-10 Comportement des particules dans la Région 2 SO III-ll Structure du code RUNWAY 62

CHAPITRE IV I EXPLOITATION DU CDDE NxOD

IV-1 Introduction. 66 IV-2 Les régiaes "fort courant* et "faible courant" 66 IV-3 Confinement en présence de chauffage cyclotronlque

électronique 74 IV-4 Vérification a l'aide du code des lois d'échelle.... 80 IV-5 Etude préliminaire du transport non local 82 IV-6 Projection du chauffage de TFR sur Tore Supra. B7 IV-7 Quelques conclusions sur l'utilisation du code 89

CHAPITRE V l EXPLOITATION OU CODE RUNUAY

V-i Introduction 91 V-2 Le diagnostic X-aou Siliciun-Lithium et

son utilisation 91 V-3 Comparaison des résultats 95 V-4 Validité des résultats du code dans les

hautes énergies 102 V-S Analyse du perceaent de la chaabre a vide de TFR....103 V-6 Analyse de la création de courant 105

CONCLUSION ET PERSPECTIVE 111

ANNEXE 1 l CODES AUXILIAIRES 113

- 128 -

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 121

«

- 129 -