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Métodos para resolver integrales:

Leibniz vs Fubini vs Cambio de Variable

Alejandra – Quintero García

Resumen Las integrales y derivadas son muy útiles para resolver casi todos los problemas de la física, ya que estos se modelan con ecuaciones que en su mayoría son ecuaciones integro-diferenciales. Algunos de estos modelos se observan en las ondas electromagnéticas, en el cálculo de la carga total, el calor, el movimiento, o hallar un área entre curvas. Por lo cual, y en base a la importancia que tiene el saber resolver una integral, es también muy importante conocer diferentes métodos y/o teoremas que nos ayudan a resolver de una manera más sencilla las integrales, para esto se explica el Teorema de Leibniz, el Teorema de Fubini y el Teorema de Cambio de Variable haciendo énfasis en este último en el Jacobiano. También se muestran ejemplos del cómo se emplean dichos Teoremas. Palabras Claves: Fubini, Leibniz, Cambio de Variable, Integrales, Jacobiano. Metodología Existen diferentes formas de resolver una integral dependiendo de la forma de la función a integrar, a continuación se presentan algunas formas de realizar una integral dependiendo la forma del integrando.

Por ejemplo, el método de sustitución se realiza de la siguiente manera: si 𝑢 = 𝑔(𝑥) es una

función diferenciable cuyo rango es un intervalo 𝐼 y 𝑓(𝑥) es continua en 𝐼, entonces

∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢

después de realizar la integral se sustituye 𝑢 por 𝑔(𝑥) para expresar la respuesta final en términos

de 𝑥. Otra forma de resolver integrales es por integración por partes. Este método se utiliza cuando

la función a integrar se puede expresar como un producto de una función por la derivada de otra

∫ 𝑓(𝑥)𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + ∫ 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Cuando la función tiene la forma 𝑠𝑒𝑛𝑚(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑛(𝑥), por ejemplo, entonces se le llama Potencias

trigonométricas la manera de resolverla depende si 𝑚 es impar, si 𝑛 es impar o si 𝑚 y 𝑛 son par, o

si tiene la forma 𝑠𝑒𝑐𝑚(𝑥)𝑡𝑎𝑛𝑛(𝑥), la manera de resolverla dependen si 𝑚 es par, si 𝑛 es impar, o de no presentarse ninguno de los casos anteriores entonces se intenta convertir en senos y cosenos.

También se puede resolver por sustituciones trigonométricas, esta se utiliza cuando el

integrando tiene la forma √𝑎2 − 𝑢2, √𝑎2 + 𝑢 2 ó √𝑢2 − 𝑎2, estas pueden estar elevadas a diferentes potencias.

Integración de funciones racionales utilizando fracciones parciales, donde el integrando tiene la

forma 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) donde f(x) y g(x) son polinomios, se obtienen las fracciones y se integra dependiendo la

forma de la fracción. Conclusiones: El realizar un proceso más corto para calcular o bien resolver una integral nos lleva a tener seguridad en que dicho proceso es correcto, aunque siempre existe la posibilidad de algún error, pero al realizar menos operaciones esta posibilidad disminuye. Por ello es útil conocer los diferentes métodos y Teoremas que existen para calcular una integral. Originalidad: Se presentan tres resultados importantes que facilitad el cálculo de integrales.

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INTRODUCCIÓN

Las integrales y derivadas son muy útiles para resolver casi todos los problemas de la física, ya que estos se modelan con ecuaciones que en su mayoría son integro-diferenciales. Para ello existen diversos métodos para encontrar el resultado de una integral.

Como se sabe el operador que se utiliza para denotar una integral es ∫ , esta notación fue

creada por Leibniz. En sus primeros escritos, Leibniz utilizó la notación “omn” (abreviatura del vocablo latino “omnes”) para denotar la integración. Después, en octubre de 1675, escribió: “será

útil escribir ∫, en lugar de omn. y por lo tanto, ∫ 𝑙 en vez de omn…”. Dos o tres semanas más

tarde refinó aún más la notación y escribió ∫[ ]𝑑𝑥 en vez del símbolo ∫ solo. También Leibniz

desarrollo la Regla de derivación, de la cual se mostrará más adelante su aplicación.

La dificultad para evaluar una integral simple ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 depende normalmente de la función 𝑓,

y no del intervalo [𝑎, 𝑏]. Ésta es una diferencia importante entre las integrales simples y las integrales dobles, debido a que después de evaluar la primera integral se puede obtener un integrando muy complejo de integrar.

El Teorema de Fubini lo demostró el matemático italiano Guido Fubini (1879-1943). El Teorema

establece que si 𝑅 es vertical u horizontal simple y 𝑓 es continua en 𝑅, la integral doble de 𝑓 en 𝑅 es igual a una integral iterada.

Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que en forma

rectangular, esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides y de

integrandos que contienen 𝑥2 + 𝑦2, y este cambio de coordenadas se puede realizar gracias al Teorema de Cambio de variables, donde utilizamos el Jacobiano, llamado así en honor al matemático alemán Carl Gustav Jacob Jacobi quien realizó el primer estudio serio del cambio de variables en integrales múltiples a mediados del siglo XIX.

INTEGRAL

La integral o también conocida como antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada. La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida.

Como se sabe la derivada de cualquier función constante es cero, así pues, una vez que se ha encontrado una primitiva 𝐹, sumándole o restándole una constante 𝐶 se obtiene otra primitiva,

porque (𝐹 + 𝐶) ′ = 𝐹 ′ + 𝐶 ′ = 𝐹′. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

Por ejemplo, supóngase que se quiere encontrar las primitivas de 2𝑥. Una de estas primitivas

es 𝑥2, otra es 𝑥2 + 1, una tercera es 𝑥2 + 2, y en general 𝑥2 + 𝐶. Cada una de estas funciones tiene por derivada 2𝑥. Resulta que añadir y restar constantes es el único grado de libertad que hay al encontrar primitivas diferentes de la misma función (ver figura 1). Es decir, todas las primitivas son las mismas con la diferencia de una constante, así pues se tiene que,

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Figura 1.-Grafica de la función primitiva con diferentes valores de c.

INTEGRAL DEFINIDA

Dada una función 𝑓(𝑥) de una variable real 𝑥 y un intervalo [𝑎, 𝑏] de la recta real, la integral

definida es igual al área limitada entre la gráfica de 𝑓(𝑥), y las líneas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏.

Tomando como ejemplo la función anterior 𝑓(𝑥) = 2𝑥, la integral dfinida en el intervalo [𝑎, 𝑏] es el área representada de color azul en la figura 2.

Figura 2.- Representación del área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 en el intervalo [𝑎, 𝑏].

VOLUMEN BAJO LA SUPERFICIE

Se requiere determinar el volumen contenido entre la superficie 𝑓(𝑥, 𝑦) y el plano 𝑥𝑦, donde la

región transversal del solido está definido por la región 𝑅 (en este caso un rectángulo en ℝ2); como se muestra en la figura 3.

Si se utiliza como base rectángulos más pequeños de dimensiones ∆𝑥𝑖 y ∆𝑦𝑖, donde

∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 , ∆𝑦𝑗 = 𝑦𝑗 − 𝑦𝑗−1,

y 𝑥𝑖, 𝑦𝑗 es una partición de 𝑅, tal que

𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏, 𝑐 = 𝑦0 < 𝑦1 < 𝑦2 < ⋯ < 𝑦𝑚 = 𝑑,

Lo anterior se muestra gráficamente en la figura 4.

4

Figura 3.- Área bajo la superficie. Figura 4.- Superficie.

Entonces, una aproximación al volumen bajo la superficie es

𝑉 ≈ ∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ,𝑚𝑗=1 𝑦𝑗)𝑛

𝑖=𝑗 ∆𝑥𝑖∆𝑦𝑖 ,

si 𝑛, 𝑚 → ∞ ∆𝑥𝑖 , ∆𝑦𝑖 → 0 si ∆𝑥 = 𝑚á𝑥{∆𝑥𝑖}, ∆𝑦 = 𝑚á𝑥{∆𝑦𝑗} → 0

𝑉 = lim∆𝑥→0

∆𝑦→0∑ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ,

𝑚𝑗=1 𝑦𝑗)𝑛

𝑖=𝑗 ∆𝑥𝑖∆𝑦𝑖 ,

= ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

.

𝑅

donde 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 ó 𝑑𝐴 = 𝑑𝑦𝑑𝑥 es llamado diferencial de área.

Ejemplo: Determinar el volumen del solido que se encuentra bajo 𝑧 = 1 + 𝑥2 + 𝑦2 y el plano 𝑥𝑦, y que está acotado por 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = −1 y 𝑦 = 1.

Solución.

∫ ∫ 1 + 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑦𝑑𝑥1

−1

1

0

= ∫ [(1 + 𝑥2)𝑦 +1

3𝑦3]

−1

1

𝑑𝑥1

0

= ∫ (

8

3+ 2𝑥2) 𝑑𝑥

1

0

= [8

3𝑥 +

2

3𝑥3]

0

1

=10

3

REGLA DE DERIVACIÓN DE LEIBNIZ

En las aplicaciones, algunas veces se encuentran funciones como

𝑓(𝑥) = ∫ (1 + 𝑡)𝑑𝑡𝑥2

𝑠𝑒𝑛𝑥

y 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑡2𝑑𝑡

2√𝑥

√𝑥

,

definidas por integrales que al mismo tiempo tienen una variable en los límites superiores de integración y una variable en los límites inferiores de integración. La primera integral puede evaluarse directamente, pero la segunda no. Sin embargo, obtendremos la derivada de cualquier integral usando la fórmula llamada Regla de Leibniz.

d

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Regla de Leibniz. Si 𝑓 es continua en [𝑎, 𝑏] y si 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) son funciones diferenciables de 𝑥,

cuyos valores están en [𝑎, 𝑏], entonces

𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑣(𝑥))

𝑑𝑣

𝑑𝑥− 𝑓(𝑢(𝑥))

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑣(𝑥)

𝑢(𝑥)

La figura 5 da una interpretación geométrica de la regla de Leibniz. En ella se muestra una

alfombra de ancho variable 𝑓(𝑡), que se enrolla a la izquierdad al mismo tiempo que 𝑥 se

desenrolla a la derecha. (En esta interpretación, el tiempo es 𝑥). En el instante 𝑥, el suelo está

cubierto desde 𝑢(𝑥) hasta 𝑣(𝑥). La tasa 𝑑𝑢

𝑑𝑥 a la que la alfombra se está enrollando no debe ser la

misma que la tasa 𝑑𝑣

𝑑𝑥 en la que se está desenrollando.

En cualquier tiempo dado 𝑥, el área cubierta por la alfombra es

𝐴(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑣(𝑥)

𝑢(𝑥)

Figura 5.- Interpretación Geométrica.

Corolario (Regla de Derivación de Leibniz). Sean 𝐼, 𝐽 intervalos no triviales, con 𝐼 compacto y

𝐽 abierto. Sea 𝑓: 𝐼 × 𝐽 → ℝ una función continua en 𝐼 × 𝐽 tal que 𝑓(𝑥) es derivable en 𝐽 para todo

𝑥 ∈ 𝐼. Supongase además que 𝜕𝑓

𝜕𝜆 es continua en 𝐼 × 𝐽. Sea 𝑡0𝜖 𝐼 y 𝑔: 𝐽 → 𝐼 una función derivable.

Entonces,

𝜕𝑓

𝜕𝜆(∙, 𝜆) es integrable para todo 𝜆 ∈ 𝐽,

∫ 𝑓(𝑥, 𝜆)𝑑𝑥𝑔(𝜆)

𝑡0 es derivable en 𝐽 para todo 𝑥 ∈ 𝐼,

y se cumple la regla de derivación de Leibniz

𝑑

𝑑𝜆∫ 𝑓(𝑥, 𝜆)𝑑𝑥 =

𝑔(𝜆)

𝑡0

𝑓(𝑔(𝜆), 𝜆)𝑔′(𝜆) + ∫𝜕𝑓

𝜕𝜆

𝑔(𝜆)

𝑡0

(𝑥, 𝜆)𝑑𝑥 ∀𝜆 ∈ 𝐽

La aplicación de este y de los demás teoremas se mostrara más adelante.

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TEOREMA DE FUBINI

El Teorema de Fubini da una técnica para el cálculo de integrales de funciones de varias variables mediante el cálculo de varias integrales de funciones de una variable.

Teorema (Fubini). Sea 𝑓 continua en una región plana 𝑅.

1. Si 𝑅 está definida por 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 y 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥), donde 𝑔1 y 𝑔2 son continuas en

[𝑎, 𝑏], entonces (ver figura 6)

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝑅

= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥𝑔2(𝑥)

𝑔1(𝑥)

𝑏

𝑎

2. Si 𝑅 está definida por 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 y ℎ1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ2(𝑦), donde ℎ1 y ℎ2 son continuas en

[𝑐, 𝑑], entonces (ver figura 7)

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴

𝑅

= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦ℎ2(𝑦)

ℎ1(𝑦)

𝑑

𝑐

Figura 6.- Región 𝑅 del Teorema Fubini 1. Figura 7.- Región 𝑅 del Teorema Fubini 2.

TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLE

Cuando se quiere resolver una integral y se tiene un gran número de operaciones, esto puede conducir a un resultado erróneo, para evitar este tipo de problemas se puede utilizar el Teorema de Cambio de Variable.

Antes de enunciar el Teorema, es necesario ver el concepto de Jacobiano, ya que es un concepto importante en el cambio de variable.

Definición (Jacobiano en dos variables). Supóngase que 𝑥 y 𝑦 son dos variables

independientes que se pueden expresar en términos de otras dos variables independientes 𝑢 y 𝑣

por la fórmula 𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣) y 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣). El Jacobiano de 𝑥 y 𝑦 con respecto a 𝑢 y 𝑣, denotado 𝜕(𝑥,𝑦)

𝜕(𝑢,𝑣) ó 𝐽(𝑢, 𝑣), es

𝐽(𝑢, 𝑣) = |

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

| =𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣−

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

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Definición (Jacobiano en tres variables). Supóngase que 𝑥, 𝑦 y 𝑧 son tres variables

independientes que se pueden expresar en términos de otras tres variables independientes 𝑢, 𝑣 y

𝑤 por la fórmula 𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣, 𝑤) y 𝑧 = 𝑙(𝑢, 𝑣, 𝑤). El Jacobiano de 𝑥, 𝑦 y 𝑧 con

respecto a 𝑢, 𝑣 y 𝑤, denotado 𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)

𝜕(𝑢,𝑣,𝑤) ó 𝐽(𝑢, 𝑣, 𝑤), es

𝐽(𝑢, 𝑣, 𝑤) =|

|

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑤𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑤𝜕𝑧

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝜕𝑣

𝜕𝑧

𝜕𝑤

|

|

Teorema (Cambio de Variable ℝ𝟐). Si 𝑓(𝑥, 𝑦) es continua en R, R ⊆ ℝ2 y existen relaciones uno a uno entre las variables 𝑢, 𝑣 y 𝑥, 𝑦, es decir

𝑢 = 𝐺(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝐻(𝑥, 𝑦)

de manera que es posible escribir

𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣), 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣)

Si 𝑓 es continua en una región R𝑢,𝑣 ⊆ ℝ2, entonces

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑥,𝑦 = ∬ 𝑓(𝑔(𝑢, 𝑣), ℎ(𝑢, 𝑣))| 𝐽(𝑢, 𝑣)|𝑑𝐴𝑢,𝑣

𝑅𝑢,𝑣𝑅𝑥,𝑦

Una explicación de lo que se hace cuando se aplica el Teorema de Cambio de Variables es: si

se denota como 𝑅 a una región en el plano 𝑥𝑦 y a 𝑆 una región en el plano 𝑢𝑣, entonces un cambio de variable se describe como una transformación 𝑇 del plano 𝑢𝑣 al plano 𝑥𝑦 definida como

𝑇(𝑢, 𝑣) = (𝑥, 𝑦) donde 𝑥 y 𝑦 están dados por 𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣) y 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣). Tal transformación trazara

un mapeo de una región S en el plano 𝑢𝑣 en otra región R en el plano 𝑥𝑦 (ver figura 8). En la

mayoría de los casos se da la región 𝑅 y entonces hay que buscar una región 𝑆 donde la región a integrar sea más sencilla y por lo cual se usa una transformación.

Figura 8.- Mapeo de una región a otra mediante una transformación.

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Teorema (Cambio de Variable ℝ𝟑). Si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) es continua en R, R ⊆ ℝ3 y existen relaciones

uno a uno entre las variables 𝑢, 𝑣, 𝑤 y 𝑥, 𝑦, 𝑧, es decir

𝑢 = 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑣 = 𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑤 = 𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑧),

de manera que es posible escribir

𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣, 𝑤). 𝑧 = 𝑘(𝑢, 𝑣, 𝑤)

Si 𝑓 es continua en una región R𝑢,𝑣,𝑤 ⊆ ℝ3, entonces

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝐴𝑥,𝑦,𝑧 = ∬ 𝑓(𝑔(𝑢, 𝑣, 𝑤), ℎ(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑘(𝑢, 𝑣, 𝑤))| 𝐽(𝑢, 𝑣, 𝑤)|𝑑𝐴𝑢,𝑣,𝑤

𝑅𝑢,𝑣,𝑤𝑅𝑥,𝑦,𝑧

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Para poder comprender y entender cómo se aplican los resultados anteriores, veamos ejemplos de la aplicación de estos.

Ejemplo 1. Evaluar

∬ (1 −1

2𝑥2 −

1

2𝑦2) 𝑑𝐴

𝑅

donde 𝑅 es la región dada por 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1.

Solución. Utilizando el Teorema de Fubini, como la región 𝑅 es un cuadrado, es vertical y

horizontal simple y se puede emplear cualquier orden de integración; se elige 𝑑𝑦𝑑𝑥 colocando un rectángulo representativo vertical en la región, como se muestra en la figura 9. Con esto se obtiene lo siguiente.

Figura 9.- Rectángulo representativo vertical en la región de integración.

∬ (1 −1

2𝑥2 −

1

2𝑦2) 𝑑𝐴

𝑅

= ∫ ∫ (1 −1

2𝑥2 −

1

2𝑦2) 𝑑𝑦𝑑𝑥

1

0

1

0

= ∫ [(1 −

1

2𝑥2) 𝑦 −

1

6𝑦3]

1

0 0

1

𝑑𝑥

= ∫ (

5

6−

1

2𝑥2)

1

0

𝑑𝑥

= [

5

6𝑥 −

1

6𝑥3]

0

1

=2

3

9

Ejemplo 2. Evaluar la siguiente integral si 𝑅 es la región mostrada en la figura 10

∬1

√𝑥2 + 𝑦2𝑅

𝑑𝐴

Figura 10.- Región a integrar.

Solución. Primero se aplica el Teorema de Fubini, entonces se tiene

∫ ∫1

√𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥

√1−𝑥2

0

1

−1

Ahora se aplica el Teorema de Cambio de Variable haciendo el cambio de coordenadas a coordenadas polares.

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 𝜃 = arctan (𝑦

𝑥)

Se obtiene el Jacobiano de la transformación:

𝐽(𝑟, 𝜃) = |

𝜕𝑥

𝜕𝑟

𝜕𝑥

𝜕𝜃𝜕𝑦

𝜕𝑟

𝜕𝑦

𝜕𝜃

| = |𝑐𝑜𝑠𝜃 −𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃

| = 𝑟𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑟𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 𝑟

e integrando,

∫ ∫1

√𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥

√1−𝑥2

0

1

−1

= ∫ ∫1

𝑟𝑟

𝜋

0

𝑑𝜃𝑑𝑟1

0

= ∫ ∫ 1

𝜋

0

𝑑𝜃𝑑𝑟1

0

= ∫ [𝜃]0

𝜋𝑑𝑟1

0

= ∫ 𝜋𝑑𝑟

1

0

= [𝜋𝑟]01 = 𝜋

10

Las figuras 11 y 12, la parte de color azul muestran el área bajo la superficie, en coordenadas cartesianas y polares respectivamente, que acabamos de obtener. Cabe notar que en ambas el área bajo la superficie es la misma.

Figura 11.

Área bajo la superficie (coordenadas Cartesianas) Figura 12.

Área bajo la superficie (coordenadas Polares) Ejemplo 3. Utilizando el Corolario de la Regla de Leibniz encontrar las derivadas de la función

𝐹(𝑥) = ∫ √𝑡4 + 𝑥3𝑑𝑡𝑥2

0

Solución. Antes de aplicar directamente la Regla de Leibniz, se localiza cada parte de la integral

de acuerdo a dicha Regla, esto es

𝑔(𝑥) = 𝑥2 𝑦 𝑓(𝑡, 𝑥) = √𝑡4 + 𝑥3

𝑓(𝑥2, 𝑥) = √𝑥4 + 𝑥3 = 𝑥√𝑥2 + 𝑥, 𝑔′(𝑥) = 2𝑥 𝑦 𝑓𝑥(𝑡, 𝑥) =3𝑥2

2√𝑡4 + 𝑥3

Aplicando la Regla de derivación de Leibniz

𝑑𝐹

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥2, 𝑥)𝑔′(𝑥) + ∫ 𝑓𝑥(𝑡, 𝑥)𝑑𝑡

𝑔(𝑥)

0

= (𝑥√𝑥2 + 𝑥) (2𝑥) + ∫3𝑥2

2√𝑡4 + 𝑥3𝑑𝑡

𝑥2

0

Ejemplo 4. Utilice la regla de Leibniz para encontrar la derivada de la función

𝑓(𝑥) = ∫1

𝑡𝑑𝑡

𝑥

1/𝑥

Solución. Analizando las partes para poder aplicar la Regla de derivación de Leibniz

𝑣(𝑥) = 𝑥, 𝑢(𝑥) =1

𝑥, 𝑓(𝑡) =

1

𝑡,

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 1, 𝑓(𝑣(𝑥)) =

1

𝑥,

𝑑𝑢

𝑑𝑥= −

1

𝑥2, 𝑓(𝑢(𝑥)) =

1

1𝑥

= 𝑥,

11

Ahora sí, aplicando la regla de Leibniz

𝑑

𝑑𝑥∫

1

𝑡𝑑𝑡 = (

1

𝑥) (1) − (𝑥) (−

1

𝑥2)

𝑥

1/𝑥

=1

𝑥+

1

𝑥=

2

𝑥

CONCLUSIONES

El realizar un proceso más directo para calcular o bien resolver una integral nos lleva a tener seguridad en que dicho proceso es correcto, aunque siempre existe la posibilidad de algún error, pero al realizar menos operaciones esta posibilidad disminuye. En la actualidad existen diversos softwares que nos ayudan a calcular integrales por ejemplo Máxima, Matlab, Maple; pero hay casos donde estos no nos pueden ayudar por ejemplo en integrales donde se aplica el Teorema de Leibniz, por lo cual es importante que se difunda este Teorema ya que existe muy poca información sobre él, y en algunos textos solo se toma como un tema de discusión y en otros ni siquiera se encuentra.

BIBLIOGRAFIA

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Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. USA.

Spivak, M.D. (1988). Cálculo en Variedades. Reverté.

Thomas, G. B., Weir, M. D., Hass, J., & Giordano, F. R. (2005). Cálculo: una variable (Vol. 1). Pearson Educación.