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Métodos Matemáticos en FísicaEJEMPLO de Planteamiento de problema (clase)

Se obtiene una barra fina (problema 1-dimencional) de longitud L mediante unión de dos barras homogéneas (L=L1+L2) con diferentes coeficientes de conductividad térmica (k1,2) y de difusion termica (a1,2) [a2=k/C donde es densidad de material y C su capacidad calorífica).

La superficie lateral y extremo derecho de barra están aislados ( ver figura) mientras que extremo izquierdo se pone en contacto térmico con un medio de difusion térmica infinita (foco termico) a temperatura cero.

1. PLANTEAR el PROBLEMA MATEMATICAMENTE

2. Hallar autofunciones de problema Sturm Louville

k1 a1; k2 a2

L

Extremo term. aislado

Extremo en contacto con foco termico a T=0

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Formulación matemática

1 1

2 1

1 1

2 1

1 1

2 1

0

(t>0)

(0<x<L )( )

(L <x<L)

(0<x<L )( )

(L <x<L)

(0<x<L )( )

(L <x<

( ) ( ) [ ( )

L): (0) ( ) 0

] 0

(t>0): ( ,0)

x

t xx C x u k

kk x

k

x

CC x

CCC u u LCI

x

x T

x

u

u

k1 a1; k2 a2

L

Métodos Matemáticos en Física1er_Ex_Par_10_11

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Separando variables

n n m0

[ ( ) ]( ) 0

( ) ( )

[ ( ) ]

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Ortoganalidad para v : ( ) ( ) ( )v (x)v ( )

*

0

para v(x

( ) 0

)

0) (

xt

L

x

n

x

m

u T t v

k x vx v x

v v L

SL

x

k x vT xT x C x v x

x C x

Cond x C x x dx

k1 a1; k2 a2

L


55

21 1 1

121

22 2 2

222

21

12 21

22

221,22

1,21,2 1,2

22

k

=

0

0

1 0

1 0

d v C vdx k

d v C vdx k

od v vdx

con

a

d v vdx Ca

a

Separando Ec. (*) en 2 partes

k1 a1; k2 a2

L


Hallamos Cond. Contorno y de unión de v1,2

1

2

11

22

(0) 0 =>

(

v =A Sen( )

v =B Cos () [ )]0

xa

x La

v

dv Ldx

1

2

k1 a1; k2 a2

L


CL: Condiciones de union de dos funciones?

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1 1 2 2

1

1 1

( ) ( )

(*) por entorno de la union x=L

obtendremos condicio

[ ( ) ] (

n de union de der

) 0 *

(

ivadas:

L ) (L )

x

x x

k x v x C x

Integramos dx

Entonce

v xx

k v k

s

v

k1 a1; k2 a2

L


58

Métodos Matemáticos en FísicaL.5A. Cond_Cont_Conduccion de Calor Cap.5APL

Tipos de Cond. Contorno que vimos

Oscilaciones: Fijos, Libres, Mediolibres/Fijos

Conduccion termica: anclados a Foco termico, aislados, medio-aislados

Gases/Liquidos: contornos cerrados, abiertos, (medio-abiertos)

Electrostatica: potencial de campo en contornos metalicos (contornos aislantes, metal/aislante)

59


Cond. Contorno Dieléctricos

Electrostática: de Ec. Maxwell

rot(E)=0

60



Teorema Stokes

Continuidad de componente tangencial de campo en contornos Dieléctricos

rot(E)

61



Integramos otra Ec. de electrostática por el volumeninfinitesimal a lo largo de interfase (- permisividad dieléctrica del medio no metálico).

Usando Teorema Gauss

62


Integramos por superficie S´infinitesimal paralela a interfase

CC para Proyección normal de campo eléctrico

Contribución de proyección paralela a superficie es despriciable

63


tU Const

nn U E

Cuando uno de medios es metálico

CC para Proyección normal de Campo eléctrico

tU Const

64


Problema de penetración de campo Eléctromagnetico en METALES <=> Ec. DIFUSION(ver libro Budak… 3.11) Clase_ omitimos deduccion

Ausentes1.Cargas externas2.Campos exteriores

1

2

65


Como es medio conductor,Corrientes de desplazamiento son nulas

Además

0

Relaciones entre distintos parámetros físicos

3

4

5

6

7

66


Usando (5,7) Ec (1,2) se REescriben de manera

Aplicando Operador rot(*) a (1´)Hallando derivada por (t) de (2`)Excluimos H de ambos Ec.

1`

2`

67


Además simplificar rot rot (E)

Como grad (div E)=0div E=0 como no hay cargas

68


Como

Ec Difusion descibe la propagación / penetracion de campo E/M en metales

2

2

4

4

dE c Edt

dH c Hdt

69


Ejemplos Planteamiento de problemasLIBRO APL- 5.2Plantear problema de contorno sobre las vibraciones longitudinales pequeñas de una barra elástica en medio sin resistencia si uno de sus extremos es fijo rígidamente y otro experimenta una resisitencia proporcional a la velocidad

No hay extremo derecho para elemento dx

FRICCION

70


izquierdo

derecho( )

( 0) CC(2) es

(0, ) 0

) (:

t

x t

t x t

u t

u L u

Extremo

Extremoxu Eu

xE

L u

71


Ejemplos Planteamiento de problemas (Libro APL 5.6.b)

Un tubo abierto por un extremo se desplaza en la dirección de su eje con velocidad constante VEn el instante t=0 se detiene instantáneamente.Determinar el desplazamiento de aire dentro de tubo a una distancia (x) en función de tiempo (en terminos de variacion de densidad-”condensacion”)

2 0tt xxu a u

v

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1. como desplazamiento (de moleculas)

izquierdo

derecho abierto(0, ) 0

( ,0) 0( ,0)

( , ) 0

u

a) b)

x

t

Considerando

Extremo

Extremou

u t

u xu

t

x

L

CIV

Analogía: Coche se estrella contra farola

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02. como

izquierdo cerrado

derecho(0, ) 0

( ,0) 0( ,0)( ,0) 0

u ( - ) s

( ,0)?? ?

abierto( , ) 0

a)

b ??)

x

t

Considerando

Extremo

Extremou

u t

u xx

L

tu

txx

t

CI

”condensacion”

74


0

0 0

0 0 00 0

Ec. de continuidad (1D)

( 0) ( 0)

( )

:

( )L L

Usamosvt t

t x

v v xx

Comprabacion

v dx v x dx vx

v

L

Función Heaviside Funcion Delta(ver libro APL, Apéndice A)

75


Definición de Función Delta Dirac a partir de función Heaviside (ver detalles en libro APL, Apéndice A)

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0( ,: 0) ( )2 x t v xt

CI

dv/dx

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