Método de colocação polinomial para equações integro-diferenciais … · 2014-09-26 · são...
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Método de colocação polinomial para equações integro-diferenciais singulares:
convergência
Míriam Aparecida Rosa
Método de colocação polinomial para equações integro-diferenciais singulares:
convergência
Míriam Aparecida Rosa
Orientador: Prof. Dr. José Alberto Cuminato
Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas
e de Computação - ICMC-USP, como parte dos
requisitos para obtenção do título de Doutor em
Ciências - Ciências de Computação e Matemática Computacional. VERSÃO REVISADA
USP – São Carlos
Agosto de 2014
SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP
Data de Depósito:
Assinatura:________________________
______
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,
com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
R788mRosa, Míriam Aparecida Método de colocação polinomial para equaçõesintegro-diferenciais singulares / Míriam AparecidaRosa; orientador José Alberto Cuminato. -- SãoCarlos, 2014. 69 p.
Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação emCiências de Computação e Matemática Computacional) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação,Universidade de São Paulo, 2014.
1. Equações integro-diferenciais singulares. 2.Método de Colocação Polinomial. 3. Convergência. 4.Espaço de Besov ponderado. 5. Norma de Besovponderada. I. Cuminato, José Alberto, orient. II.Título.
Agradecimentos
Aos meus pais, pelo grande apoio e compreensão nos momentos em que eu não pude
estar presente, devido a preparação deste trabalho.
À toda minha família, pelo incentivo que recebi neste período.
Agradeço também aos amigos com quem convivi, pelas palavras de apoio recebidas
em momentos difíceis e felizes, que tive durante o período desse trabalho.
Ao meu orientador Poti, pelas muitas coordenadas sugeridas, para que eu pudesse
produzir este trabalho, e ao professor Valdemir, pelo grande incentivo e apoio sempre que
lhe foi possível.
Ao CNPQ e à CAPES, pelo apoio nanceiro.
Resumo
Esta tese analisa o método de colocação polinomial, para uma classe de equações integro
diferenciais singulares em espaços ponderados de funções contínuas e condições de fron-
teira não nulas. A convergência do método numérico em espaços com norma uniforme
ponderada, é demonstrada, e taxas de convergências são determinadas, usando a suavi-
dade dos dados das funções envolvidas no problema. Exemplos numéricos conrmam as
estimativas.
Abstract
This thesis analyses the polynomial collocation method, for a class of singular integro-
dierential equations in weighted spaces of continuous functions, and non-homogeneous
boundary conditions. Convergence of the numerical method, in weighted uniform norm
spaces, is demonstrated and convergence rates are determined using the smoothness of
the data functions involved in problem. Numerical examples conrm the estimates.
Sumário
Contextualização 1
1 Teoria das equações integrais singulares 3
1.1 Denições e teoremas principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 O problema de valor de fronteira de RiemannHilbert para arcos abertos . 8
1.2.1 Solução do problema de RiemannHilbert homogêneo . . . . . . . . 9
1.2.2 Solução do problema de RiemannHilbert nãohomogêneo . . . . . 12
1.2.3 Solução de equações integrais singulares com núcleo tipo Cauchy . . 13
1.2.4 Solução da equação dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.5 Solução da equação completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Equações integrodiferenciais singulares 20
2.1 Considerações iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Método de colocação polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Espaço de Operadores 28
3.1 Conceitos e teoremas principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Propriedades de mapeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Convergência do método de colocação polinomial . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Outros métodos numéricos do tipo colocação polinomial 49
4.1 Equação integro-diferencial singular analisada de outra forma . . . . . . . . 49
4.2 Convergência do método de colocação na norma uniforme . . . . . . . . . . 51
4.3 Método Multhopp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
ii
Contextualização
Desde a segunda metade do século XX, a teoria das equações integrais tem ganhado
crescente importância, pelo fato de modelarem problemas físicos interessantes envolvendo
aerodinâmica, mecânica de fraturas, acústica entre outros.
O clássico livro de Muskhelishvili [18], sintetiza os principais desenvolvimentos na
teoria da equações integrais singulares (EIS). Usando a fórmula de PlemeljSokhotski, a
EIS é reduzida a um problema equivalente ao problema de valor de fronteira de Riemann
Hilbert, e a partir daí se desenvolve a teoria de solução da EIS.
Uma classe de equações integrais que aparec com frequência em problemas práticos,
são as equações integrodiferenciais, que são caracterizadas por apresentar derivadas da
função incógnita sob o sinal de integração. Os primeiros autores a mencionarem a pos-
sibilidade de usar métodos numéricos para resolver EIS na solução de equações integro-
diferenciais singulares (EIDS), foram Ioakimidis & Theocaris [11]. Kalandiya em [13],
modela uma série de problemas utilizando a equação de Prandtl
ϕ(x)
B(x)− 1
2π−∫ 1
−1
ϕ′(t)
t− xdt = f(x),
com as condições de fronteira ϕ(−1) = 0 e ϕ(1) = 0, onde B(x) 6= 0 e f(x) são Hölder
contínuas. No entanto, EIDS com condições de fronteira não homogêneas aparecem na
prática, como por exemplo, a equação da vela, estudada em [24].
Na literatura, uma gama enorme de métodos numéricos foram desenvolvidos para a
solução de EIDS. Neste trabalho, será analisado o método de colocação polinomial (MCP),
apresentado por Monegato & Strozzi em [17], onde os autores provam a convergência desse
método num espaço L2 ponderado. Cuminato, em [6] e [7], prova a convergência do método
na norma uniforme para a solução numérica de EIS com coecientes constantes, e em [8]
estende os resultados para o caso de coecientes variáveis. Em [19], Nagamine & Cuminato
1
SUMÁRIO 2
apresentam a análise de convergência para a solução numérica de EIDS com coecientes
constantes.
Um dos primeiros trabalhos que investigam a convergência uniforme ponderada de
métodos de aproximação polinomial, para resolver EIS, foi apresentado por Capobianco,
Junghanns, Luther & Mastroianni em [3], e uma extensão foi apresentada em [12]. Em [4],
[5] e [14] a análise de convergência do MCP, para resolver EIDS, foi realizada considerando
condições de fronteira homogêneas, e em [4] a convergência desse método é provada na
norma L2 ponderada. Em [14], a mesma análise é realizada na norma L1 ponderada, e em
[5], na norma uniforme ponderada. A análise de convergência deste trabalho também é
considerada na norma uniforme ponderada, no entanto, considerando a EIDS segundo um
ponto de vista distinto do apresentado em [5] e condições de fronteira não homogêneas.
O principal objetivo desta tese é derivar uma estimativa da ordem de convergência do
MCP, que depende da regularidade das funções que denem a EIDS.
Apresentamos primeiramente, uma breve introdução sobre a teoria das EIS de Cauchy,
apresentando denições, lemas e principais teoremas, a relação entre as EIS e o problema
de valor de fronteira de RiemannHilbert, e métodos de solução.
No Capítulo 2, apresentamos a EIDS objeto deste estudo, sua redução a uma EIS, a
representação em forma de operadores e aplicação do MCP.
No Capítulo 3, apresentamos um espaço ponderado de funções contínuas, ao qual per-
tencem os coecientes da EIDS proposta, as propriedades de mapeamento dos operadores
denidos no Capítulo 2, a prova da convergência do MCP, e uma estimativa para a taxa
de convergência do MCP.
No Capítulo 4, analisamos a EIDS proposta no Capítulo 1 segundo o ponto de vista
proposto em [5], mostramos a estimativa para a taxa de convergência do MCP na norma
uniforme apresentada em [19], apresentamos o método Multhopp, e comentamos suas
restrições quanto ao tratamento da EIDS.
No Capítulo 5, apresentamos alguns exemplos de EIDS resolvidos com o MCP. Faze-
mos uma análise dos dados do problema para deduzir uma estimativa para a ordem de
convergência. Apresentamos os resultados numéricos obtidos com a aplicação do MCP,
que comprovam essas estimativas.
Capítulo 1
Teoria das equações integrais singulares
Neste capítulo, apresentamos os principais conceitos da teoria das EIS e sua relação
com o problema de valor de fronteira de RiemannHilbert. Utilizamos esta teoria no
tratamento das EIDS.
Apresentamos aqui, apenas os principais conceitos e resultados básicos, necessários
para uma breve revisão bibliográca do assunto. Todos os detalhes desta teoria, são apre-
sentados, discutidos e demonstrados no clássico livro sobre o tema: Singular Integral
Equations de Muskhelishvili, [18].
1.1 Denições e teoremas principais
Denição 1.1.1. Um contorno suave L, é uma curva no plano complexo representada na
forma
L(s) := (x(s), y(s)), a ≤ s ≤ b,
onde x(s) e y(s) são funções contínuas no intervalo de denição, satisfazendo as seguintes
propriedades:
1) Suas derivadas de primeira ordem x′(s) e y′(s), respectivamente, são contínuas ao
longo de L e não simultaneamente nulas;
2) Se s1, s2 ∈ (a, b), x(s1) = x(s2) e y(s1) = y(s2) somente se s1 = s2.
3) Se x(a) = x(b) e y(a) = y(b), L é um contorno fechado.
3
1.1. DEFINIÇÕES E TEOREMAS PRINCIPAIS 4
Faremos referência aos pontos a e b como os extremos de L, e em alguns casos indi-
caremos L por L = ab.
Denição 1.1.2. Denimos a orientação positiva de L, como sendo aquela em que L é
percorrido no sentido de a para b.
Denição 1.1.3. Seja ϕ uma função real ou complexa denida sobre L. Dizemos que ϕ
satisfaz a condição de Hölder em L, se para quaisquer t1, t2, pontos de L,
|ϕ(t2)− ϕ(t1)| ≤ C|t2 − t1|µ,
onde C é constante positiva denominada constante de Hölder e 0 < µ ≤ 1 é denomi-
nado índice de Hölder. Nestas condições, dizemos que ϕ satisfaz a condição H µ(L), ou
simplesmente, satisfaz a condição H (L), quando não houver necessidade de menção ao
índice µ.
Denição 1.1.4. Sejam L e L′ contornos suaves, denidos nos intervalos [a, b] e [a′, b′],
respectivamente, para [a′, b′] ⊂ [a, b] mas a′ 6= a, b′ 6= b. Suponha que a função ϕ(t) satisfaz
a condição H (L′), e que nos extremos de L e próxima a eles, ϕ seja da forma:
ϕ(t) =ϕ∗(t)
(t− c)α, 0 ≤ α < 1,
onde ϕ∗(t) satisfaz a condição H (L) e c representa um dos extremos de L. Neste caso,
dizemos que ϕ satisfaz a condição H ∗(L).
Considere um contorno suave L = ab. Sejam x um ponto de L não coincidindo com
os extremos, γ um disco centrado em x de raio δ, l a intersecção entre L e γ, e t1, t2 os
extremos de l. Dena como orientação positiva de l, a de t1 para t2, conforme a Figura
1.1.
Figura 1.1: Contorno L− l
1.1. DEFINIÇÕES E TEOREMAS PRINCIPAIS 5
À vizinhança de x, dividida nas regiões de γ à direita e à esquerda de l quando
percorrido no sentido positivo, nos referimos como vizinhanças à direita e à esquerda de x,
e as denotaremos por S− e S+, respectivamente. Se L for um contorno fechado, denotamos
as regiões à direita e à esquerda de L, quando percorrido no sentido anti-horário, por S−
e S+ respectivamente, conforme a Figura 1.2.
Figura 1.2: Regiões denidas pela curva L
Denição 1.1.5. O valor principal da integral de Cauchy de ϕ no ponto x de L, é
denido por:
−∫
L
ϕ(t)
t− xdt := lim
δ→0
∫L−l
ϕ(t)
t− xdt,
quando o limite existir.
Denição 1.1.6. Sejam x um ponto arbitrário de L, que não coincida com seus extremos,
e Φ(z) uma função contínua em todo ponto z da vizinhança de x. Dizemos que Φ(z) é
contínua à esquerda (resp. à direita) de L, se Φ(z) tende a um limite denido Φ+(x)
(resp. Φ−(x)), quando z tende a x, para z um ponto da vizinhança à esquerda (resp. à
direita) de x.
Apresentamos a seguir, um teorema que será crucial para obtenção dos resultados
seguintes.
Teorema 1.1.7. Sejam L um contorno suave, z um ponto do plano e ϕ uma função que
satisfaz a condição H (L). Então, a função
Φ(z) =1
2πi
∫L
ϕ(t)
t− zdt
é contínua à esquerda e à direita de L, exceto possivelmente nos extremos para os quais
ϕ(x) 6= 0.
1.1. DEFINIÇÕES E TEOREMAS PRINCIPAIS 6
A demonstração deste teorema, pode ser encontrada em [18, p. 38].
Observe que o caso em que z ∈ L, implica que Φ(x) é contínua sobre L, exceto
possivelmente, nos extremos para os quais ϕ(x) 6= 0.
Denição 1.1.8. Sejam L um contorno suave, ϕ uma função que satisfaz a condição
H (L), z 6∈ L, e x um ponto de L que não coincida com um dos seus extremos, caso neles
ϕ(x) 6= 0. Denimos os limites à esquerda e à direita de L a partir da função
Φ(z) =1
2πi
∫L
ϕ(t)
t− zdt,
respectivamente por:
Φ+(x) = limz→x
Φ(z), z ∈ S+ e Φ−(x) = limz→x
Φ(z), z ∈ S−.
Teorema 1.1.9. (Fórmulas de Plemelj-Sokhotski) Seja Φ(z) como na Denição
1.1.8. Então
Φ+(x) =1
2ϕ(x) +
1
2πi−∫
L
ϕ(t)
t− xdt
e
Φ−(x) = −1
2ϕ(x) +
1
2πi−∫
L
ϕ(t)
t− xdt.
A demonstração deste teorema pode ser encontrada em [18, p. 42].
Observe que somando e subtraindo as fórmulas de PlemeljSokhotski, obtemos
Φ+(x) + Φ−(x) =1
πi−∫
L
ϕ(t)
t− xdt,
Φ+(x)− Φ−(x) = ϕ(x).
Em [18, p. 46], encontrase a demonstração do teorema seguinte, feita considerando
o Teorema 1.1.9.
Teorema 1.1.10. (Teorema de PlemeljPrivalov) Suponha Φ como na Denição
1.1.8. Se ϕ(x) satisfaz a condição H µ(L), então Φ+(x) e Φ−(x) satisfazem a condição
H µ(L) quando µ < 1, e H 1−ε(L) quando µ = 1, com ε > 0 sucientemente pequeno,
exceto possivelmente em uma vizinhança arbitrariamente pequena dos extremos, para os
quais ϕ(x) 6= 0.
1.1. DEFINIÇÕES E TEOREMAS PRINCIPAIS 7
Destes dois últimos teoremas, segue que:
Teorema 1.1.11. Seja Φ como na Denição 1.1.8. Se ϕ(x) satisfaz a condição H µ(L),
então Φ(x) satisfaz H µ(L) quando µ < 1 e H 1−ε(L) quando µ = 1, com ε > 0 sucien-
temente pequeno, exceto possivelmente em uma vizinhança arbitrariamente pequena dos
extremos, para os quais ϕ(x) 6= 0.
A demonstração deste teorema, pode ser encontrada em [18, p. 46].
Apresentamos a seguir, alguns conceitos associados ao problema de valor de fronteira
de RiemannHilbert, que enunciaremos na próxima seção.
Denição 1.1.12. Sejam L um contorno suave, e Φ(z) uma função contínua em L e
holomorfa no plano, exceto nos pontos de L. Suponha também que Φ(z) seja contínua à
esquerda e à direita de L, exceto possivelmente nos extremos, nos quais satisfaz a condição
|Φ(z)| ≤ C
|z − c| α, 0 ≤ α < 1,
onde c representa um extremo genérico e C é uma constante positiva. Então Φ(z) é dita
ser seccionalmente holomorfa com linha de descontinuidade L.
Denição 1.1.13. Se na expansão
Φ(z) =
j=+∞∑j=−∞
aj zj,
de uma função Φ(z) na vizinhança de um ponto no innito, existir apenas um número
nito de termos com potências positivas de z, dizemos que Φ(z) possui grau nito no
innito.
Teorema 1.1.14. Seja ϕ(x) uma função que satisfaz a condição H µ(L). Se Φ(z) é uma
função seccionalmente holomorfa, exceto possivelmente para z =∞, que possui grau nito
no innito e satisfaz a condição de fronteira
Φ+(x)− Φ−(x) = ϕ(x), x ∈ L,
então
Φ(z) =1
2πi
∫L
ϕ(t)
t− zdt+ Pk(z), (1.1)
onde Pk(z) é um polinômio arbitrário de grau no máximo k.
1.2. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE RIEMANNHILBERT PARAARCOS ABERTOS 8
Demonstração: A igualdade (1.1) pode ser obtida diretamente das fórmulas de Plemelj
Sokhotski, e sua unicidade, exceto pelo termo Pk(z), pode ser facilmente demonstrada.
Suponha que exista uma outra função Ψ(z) que também satisfaça as condições do
teorema. A função Υ(z) = Φ(z)−Ψ(z) é tal que
Υ+(x)−Υ−(x) = 0.
Sendo Υ(z) uma função holomorfa no plano, e que se anula no innito, necessariamente
Υ(z) = 0.
Todos os resultados apresentados até aqui continuam válidos para os casos em que
ϕ ∈ H ∗(L). Este caso, é discutido em [18].
O problema de valor de fronteira de RiemannHilbert que enunciamos a seguir, mostra
claramente sua conexão com a resolução da integral singular do Teorema 1.1.14.
1.2 O problema de valor de fronteira de RiemannHilbert
para arcos abertos
Problema de RiemannHilbert:
Sejam L um contorno suave e G(x) uma função que não se anula em ponto algum de L
e satisfaz a condição H (L). Encontrar uma função seccionalmente holomorfa Φ(z) com
grau nito no innito, que satisfaça a condição de fronteira
problema homogêneo: Φ+(x) = G(x)Φ−(x) em L. (1.2)
problema não-homogêneo: Φ+(x) = G(x)Φ−(x) + g(x) em L,
onde g(x) satisfaz a condição H (L).(1.3)
Apresentamos a seguir, a resolução do problema de valor de fronteira de Riemann
Hilbert. Nos problemas de nosso interesse, o contorno L é um arco aberto. Tendo em vista
a resolução de equações integrais singulares via problema de RiemannHilbert, apresenta-
mos os problemas de RiemannHilbert homogêneo e nãohomogêneo para arcos abertos.
Os casos em que L consiste de um conjunto nito de contornos suaves fechados que não se
1.2. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE RIEMANNHILBERT PARAARCOS ABERTOS 9
intersectam, é considerado e discutido em [18]. Primeiramente, consideramos o problema
de valor de fronteira de RiemannHilbert homogêneo, e em seguida, com o auxílio da
solução do problema homogêneo, mostramos a resolução do problema nãohomogêneo.
1.2.1 Solução do problema de RiemannHilbert homogêneo
No que se segue, vamos considerar que:
1) L é a união nita de arcos abertos suaves Lj, 1 ≤ j ≤ p, não se intercectando, e
com uma direção (positiva) denida. Indicaremos seus extremos por: aj, bj, sendo a
direção positiva de Lj denida de aj para bj,
2) ϕ satisfaz a condição H ∗(L).
3) Denimos
∆(z) =1
2πi
∫L
lnG(t)
t− zdt, (1.4)
tomando para lnG(t) algum ramo desta função multivalente que varia continua-
mente sobre cada Lj.
Admitindo que estas condições estão satisfeitas, pelas equações de PlemeljSokhotski, a
função Φ(z) = e∆(z) satisfaz a igualdade
Φ+(x) = G(x)Φ−(x) em L. (1.5)
No entanto, e∆(z) pode não ser seccionalmente holomorfa por não satisfazer a condição
| e∆(z)| < C
|z − cj|α.
Para contornar este problema, veja que lnG(t) satisfaz a condição H (L), e neste caso,
foi demonstrado em [18, p. 230], que próximo aos extremos cj, a função ∆(z) possui a
forma
∆(z) = ± ln[G(cj)]
2πiln
1
z − cj+ ∆∗(z),
onde o sinal acima é positivo se cj = aj e negativo se cj = bj. A função ∆∗(z) satisfaz a
condição H (L) próxima a cj se z ∈ L, e para z não pertencente a L, ∆∗(z) é uma função
limitada, tendo limite denido quando z → cj. Sendo assim, denindo
γj + iδj = ∓ lnG(cj)
2πi, (1.6)
1.2. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE RIEMANNHILBERT PARAARCOS ABERTOS 10
com o sinal acima negativo se cj = aj e positivo se cj = bj, e γj e δj constantes reais,
podemos escrever
e∆(z) = (z − cj)γj+iδjΩ(z),
onde Ω(z) é função limitada que não se anula.
Selecione inteiros λj, tais que
−1 < γj + λj < 1 (1.7)
e dena
Π(z) =
2p∏j=1
(z − cj)λj .
Então a função
X(z) = Π(z)e∆(z), (1.8)
satisfaz a condição (1.5), e por (1.7) X(z) é seccionalmente holomorfa. Sendo assim, X(z)
é uma solução particular do problema de RiemannHilbert para arcos abertos, e será
chamada solução fundamental , assim como cX(z), para c uma constante não nula.
No entanto, esta solução só está completamente denida se γj for inteiro, pois caso
contrário, a escolha dos valores de λj que satisfazem a condição (1.7) não é única. Se γj
for inteiro, λj é determinado unicamente por
λj = −γj.
Denição 1.2.1. Aos extremos cj para os quais γj é inteiro denominamos extremos
especiais. Aos demais denominamos extremos nãoespeciais.
Denição 1.2.2. Sejam cj, 1 ≤ j ≤ m, todos os extremos nãoespeciais de uma solução
Φ(z) do problema de RiemannHilbert (1.5). Se nos extremos cj, 1 ≤ j ≤ q, Φ(z) for
limitada, dizemos que Φ(z) é uma solução de classe h(c1 , ..., cq). Se q = m, dizemos
simplesmente que Φ(z) é de classe hm e se q = 0, que Φ(z) é de classe h0 .
Tomando os limites à esquerda e à direita de X(z) sobre L, e aplicando as fórmulas
de PlemeljSokhotski, obtemos
X+(x) =√G(x)X(x) X−(x) =
X(x)√G(x)
, (1.9)
1.2. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE RIEMANNHILBERT PARAARCOS ABERTOS 11
donde
X(x) =
2p∏j=1
(x− cj)αjΩ(x), (1.10)
sendo αj = γj + iδj + λj, e Ω(x) uma função que satisfaz a condição H (L) e que não se
anula em L. Portanto, se a função X(z) pertence à classe h(c1, ..., cq), X(z) se anula nos
extremos c1, ..., cq, e não se anula em outras partes do plano. Além disso, nos extremos
especiais X(z) é limitada.
Denição 1.2.3. Ao inteiro
κ = −2p∑j=1
λj,
denominamos índice do problema de RiemannHilbert em uma dada classe de so-
luções h(c1, ..., cq).
Por (1.8), concluise que o grau da solução X(z) no innito é −κ.
Teorema 1.2.4. Uma função Φ(z) é solução do problema de RiemannHilbert (1.5) em
uma dada classe, se e somente se
Φ(z) = X(z)P (z), (1.11)
onde P (z) é um polinômio arbitrário e X(z) é uma solução fundamental do problema.
Demonstração: Suponha que Φ(z) seja solução do problema de RiemannHilbert (1.5)
em uma dada classe. Por hipótese,
Φ+(x) = G(x)Φ−(x) e X+(x) = G(x)X−(x) emL,
sendo que X+(x), X−(x) 6= 0, exceto nos extremos e para um ponto no innito. Portanto,
Φ(x)+
X+(x)=
Φ−(x)
X−(x)
e consequentemente, Φ(x)/X(x) é holomorfa no plano, e próxima aos extremos poderá
tornarse innita, com grau menor que um. Como Φ(z) possui grau nito no innito,
Φ(x)/X(x) é um polinômio.
Por outro lado, se (1.11) é válido, obtemos
Φ+(x) = X+(x)P (x) e Φ−(x) = X−(x)P (x).
1.2. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE RIEMANNHILBERT PARAARCOS ABERTOS 12
Como X+(x) = G(x)X−(x), temse
Φ+(x) = G(x)Φ−(x).
Observe que para Φ(z) ser limitada próxima a um extremo não especial c, o polinômio
P (z) deve possuir o termo (z − c), e neste caso, Φ(z) = 0 para z = c.
Segue de (1.11), que no innito o grauΦ(z) = −κ + k, onde k é o grau do polinômio
P (z). Portanto, o menor grau possível de uma solução no innito é −κ, e neste caso, ela
é uma solução fundamental.
1.2.2 Solução do problema de RiemannHilbert nãohomogêneo
Seja Φ(z) uma solução de classe h(c1, ..., cq) do problema de RiemannHilbert nãohomo-
gêneo
Φ+(x) = G(x)Φ−(x) + g(x) em L, (1.12)
onde G(x) e g(x) satisfazem a condição H (L) e G(x) não se anula em ponto algum
de L. Seja também X(z) a solução fundamental, de mesma classe, do problema de
RiemannHilbert homogêneo associado ao problema (1.12)
Φ+(x) = G(x)Φ−(x) em L,
a qual denominamos função fundamental de classe h(c1, ..., cq) do problema (1.12).
EntãoΦ+(x)
X+(x)− G(x)
X+(x)Φ−(x) =
g(x)
X+(x)⇒ Φ+(x)
X+(x)− Φ−(x)
X−(x)=
g(x)
X+(x).
Por suposição, Φ(z) e X(z) são limitadas próximas aos extremos c1, ..., cq e portanto,∣∣∣∣ Φ(z)
X(z)
∣∣∣∣< C
|z − cj|α, 1 ≤ j ≤ q.
Sendo assim, a função Φ(z)/X(z) é seccionalmente holomorfa e possui grau nito no
innito. De acordo com o Teorema 1.1.14,
Φ(z) =X(z)
2πi
∫L
g(t)
X+(t)(t− z)dt+X(z)Pk(z),
onde Pk(z) é um polinômio arbitrário de grau no máximo k.
1.2. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE RIEMANNHILBERT PARAARCOS ABERTOS 13
Teorema 1.2.5. A solução Φ(z) do problema de RiemannHilbert nãohomogêneo (1.12),
de classe h(c1, ..., cq), que se anula no innito, é dada por:
• Se κ ≥ 0,
Φ(z) =X(z)
2πi
∫L
g(t)
X+(t)(t− z)dt+X(z)Pκ−1(z), (1.13)
onde X(z) é a função fundamental de classe h(c1, ..., cq) e índice κ do problema (1.12),
Pκ−1(z) é um polinômio arbitrário de grau no máximo κ − 1 e Pκ−1 ≡ 0 para κ = 0.
• Se κ < 0, a solução só existe se∫L
tjg(t)
X+(t)dt = 0, j = 0, 1, · · · ,−κ − 1.
Se estas condições forem satisfeitas, então Φ(z) é dada por (1.13) com Pκ−1 ≡ 0.
A demonstração deste teorema pode ser encontrada em [6], Seção 81.
1.2.3 Solução de equações integrais singulares com núcleo tipo
Cauchy
Apresentamos a seguir, algumas denições e resultados necessários ao desenvolvimento
da teoria da resolução de EIS.
Denição 1.2.6. Seja a equação integral
a(x)ϕ(x) +1
πi
∫L
K(x, t)ϕ(x)
t− xdt = f(x), (1.14)
onde f(t) é dada e ϕ(t) é desconhecida. Se as seguintes condições,
1) as funções a(t) e K(x, t) satisfazem a condição H (L), no caso de K(x, t) em ambas
as variáveis, e f(x) satisfaz a condição H ∗(L),
2) L consiste da união nita de arcos suaves não se interceptando,
3) as funções a(x) e b(x) são tais que a2(x)− b2(x) 6= 0,
forem satisfeitas, a equação acima será chamada equação integral singular com nú-
cleo do tipo Cauchy ou simplesmente equação integral singular.
1.2. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE RIEMANNHILBERT PARAARCOS ABERTOS 14
Podemos reescrever a equação (1.14) de uma forma mais conveniente, como:
a(x)ϕ(x) +b(x)
πi
∫L
ϕ(t)
t− xdt+
∫L
l(x, t)ϕ(t) dt = f(x),
onde b(x) = K(x, x) e l(x, t) = [K(x, t)−K(x, x) ]/[ πi(t− x) ].
Denição 1.2.7. A equação
a(x)ϕ(x) +b(x)
πi
∫L
ϕ(t)
t− xdt = f(x) (1.15)
é denominada equação dominante correspondente à equação completa (1.14), e os
termos a(x) e b(x) são os coecientes da equação dominante.
1.2.4 Solução da equação dominante
Primeiramente investigamos a resolução da equação dominante, e em seguida, de posse
desta solução, podemos resolver a equação completa.
Lema 1.2.8. Considere a equação (1.15) e as condições 1, 2 e 3 da Denição 1.2.6 ver-
dadeiras. Suponha que
Φ(z) =1
2πi
∫L
ϕ(t)
t− zdt,
onde ϕ(t) é a solução de (1.15), e satisfaz a condição H ∗(L). Então Φ(z) é solução do
problema de RiemannHilbert
Φ(x)+ =a(x)− ib(x)
a(x) + ib(x)Φ(x)− +
f(x)
a(x) + ib(x), (1.16)
que se anula no innito.
Demonstração: Aplicando as fórmulas de PlemeljSokhotski para Φ(z), e substituindo
em (1.15), obtemos (1.16).
Pelo o Teorema 1.1.14, obtemos
Φ(z) =1
2πi
∫L
ϕ(t)
t− zdt+ Pk(z),
onde Pk(z) é um polinômio arbitrário de grau no máximo k. De acordo com o Teorema
1.2.5, a solução de classe h(c1, · · · , cq) do problema de RiemannHilbert:
1.2. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE RIEMANNHILBERT PARAARCOS ABERTOS 15
Encontrar uma função Φ(z) seccionalmente holomorfa, com grau nito no innito e
que satisfaça a condição de fronteira (1.16), onde a(x) e b(x) satisfazem a condição H (L)
e a2(x)− b2(x) 6= 0, é dada por:
• Se κ ≥ 0,
Φ(z) =X(z)
2πi
∫L
f(t)
[a(t) + ib(t)]X+(t)(t− z)dt+X(z)Pκ−1(z), (1.17)
onde X(z) é a função fundamental de classe h(c1, · · · , cq) e índice κ, e Pκ−1(z) é um
polinômio arbitrário de grau no máximo κ − 1, sendo que Pκ−1 ≡ 0 para κ = 0.
• Seκ < 0, a solução só existe se∫L
tjf(t)
[a(t) + ib(t)]X+(t)dt = 0, j = 0, 1, · · · ,−κ − 1.
Se estas condições forem satisfeitas, Φ(z) é dada por (1.17) com Pκ−1 ≡ 0.
Notação. Denotamos a função fundamental de classe h(c1, · · · , cq) do problema de
RiemannHilbert (1.16), por Z(x), conforme denida em (1.8), e por r(x) a função√a2(x) + b2(x).
Teorema 1.2.9. Nas condições do Lema 1.2.8, a solução geral da equação (1.15) é dada
por
ϕ(x) =
A∗f − 2ib(x)Z(x)
r(x)Pκ−1(x) se κ ≥ 0,
A∗f se κ < 0 e∫L
tjf(t)
r(t)Z(t)dt = 0, j = 0, 1, ...,−κ − 1,
(1.18)
onde
A∗f =a(x)
r2(x)f(x)− b(x)Z(x)
πir(x)
∫L
f(t)dt
r(t)Z(t)(t− x).
Demonstração: Tomando os limites à esquerda e à direita de (1.17) e substituindo em
ϕ(x) = Φ+(x)− Φ−(x),
1.2. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE RIEMANNHILBERT PARAARCOS ABERTOS 16
obtemos:
ϕ(x) =X+(x) +X−(x)
2[ a(x) + ib(x) ]X+(x)f(x) +
X+(x)−X−(x)
2πi
∫L
f(t)dt
[a(t) + ib(t)]X+(t)(t− x)+
+ [X+(x)−X−(x)]Pκ−1. (1.19)
Como X(z) é solução fundamental do problema de RiemannHilbert homogêneo
Φ+(x) =
[a(x)− ib(x)
a(x) + ib(x)
]Φ−(x) = G(x) Φ−(x),
associado ao problema (1.16) e de mesma classe, por (1.9)
X+(x) =√G(x)Z(x) e X−(x) =
1√G(x)
Z(x),
o que implica em
[a(x) + ib(x)]X+(x) =r(x)X+(x)√
G(x)= r(x)Z(x),
X+(x) +X−(x) =2a(x)Z(x)
r(x)e X+(x)−X−(x) = −2i b(x)Z(x)
r(x),
(1.20)
e aplicando as equações (1.20) em (1.19), obtemos
ϕ(x) = A∗f − 2ib(x)Z(x)
r(x)Pκ−1(x), Pκ−1(x) ≡ 0 se κ ≤ 0.
Se κ < 0, pelo Teorema 1.2.5, para que a solução exista as condições∫L
tjf(t)
r(t)Z(t)dt = 0, j = 0, 1, · · · ,−κ − 1,
devem ser satisfeitas.
1.2.5 Solução da equação completa
Seja a EIS
Aϕ = a(x)ϕ(x) +b(x)
π
∫L
ϕ(t)
t− xdt+
∫L
l(x, t)ϕ(t) dt = f(x), (1.21)
como na Denição 1.2.6. Denindo
Aϕ ≡ a(x)ϕ(x) +b(x)
π
∫L
ϕ(t)
t− xdt e
aϕ ≡∫
L
l(x, t)ϕ(t) dt,
1.2. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE RIEMANNHILBERT PARAARCOS ABERTOS 17
podemos escrever (1.21) como:
Aϕ = Aϕ+ aϕ = f ⇒ Aϕ = f − aϕ.
Se o lado direito desta última equação for conhecido, pela seção anterior podemos resolver
esta equação. Como f − aϕ satisfaz a condição H ∗(L), a solução da equação completa é
dada por
ϕ(x) = A∗[f − aϕ]− 2ib(x)Z(x)
r(x)Pκ−1(x), (1.22)
para A∗f , Z(x) e Pκ−1(x) como no Teorema 1.2.9. Se κ < 0, para que a solução exista,
as seguintes condições devem ser satisfeitas:∫L
tj[f(t)− aϕ(t)]
r(t)Z(t)dt = 0, j = 0, 1, · · · ,−κ − 1.
Denição 1.2.10. Considere a equação
a(x)ϕ(x) +
∫L
l(x, t)ϕ(t)dt = f(t), (1.23)
onde a(x), l(x, t) e f(x) são funções contínuas. Se o termo a(x) é nulo, a denominamos
equação de Fredholm de primeira espécie, e se a(x) 6= 0 equação de Fredholm de
segunda espécie.
Denimos
N(x, t) =a(x)
r2(x)l(x, t)− b(x)Z(x)
πr(x)
∫L
l(t1, t)dt1Z(t1)r(t1)(t1 − x)
.
Então
A∗aϕ(x) =
∫L
N(x, t)ϕ(t)dt,
e a equação (1.22) pode ser escrita como:
ϕ(x) +
∫L
N(x, t)ϕ(t)dt = A∗f − 2i b(x)Z(x)
r(x)Pκ−1(x). (1.24)
De (1.10), temos que
Z(t) =
2p∏j=1
(t− cj)αjΩ(t), (1.25)
1.2. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE RIEMANNHILBERT PARAARCOS ABERTOS 18
para αj = γj + iδj + λj, e Ω(t) função não nula que satisfaz a condição H (L). Suponha
que os números αj estejam ordenados de forma que0 < Re [αj] < 1 se 1 ≤ j ≤ q,
−1 < Re [αj] < 0 se q + 1 ≤ j ≤ m,
Re [αj] = 0 se m+ 1 ≤ j ≤ 2p.
Se denimos
T (t) =m∏
j=q+1
(t− cj)αj ,
então podemos escrever
Z(t) = T (t) Ω0(t), (1.26)
onde Ω0(t) é uma função que satisfaz a condição H (L).
Escreva ϕ(t) sob a forma
ϕ(t) = T (t)ϕ0(t). (1.27)
Então (1.24) pode ser reescrita como
ϕ0(x) +
∫L
N(x, t)T (t)ϕ0(t)
T (x)dt =
1
T (x)
(A∗f − 2i b(x)Z(x)Pκ−1(x)
r(x)
). (1.28)
Notemos que a integral em (1.28) não possui singularidade na variável x, mas pos-
sui na variável t. Para removermos esta singularidade, fazemos uma transformação de
coordenadas, denindo
τ =
∫ t
aj
T (s)ds e τ0 =
∫ x
aj
T (s)ds em Lj = aj bj, 1 ≤ j ≤ p.
Reescrevendo (1.28) nesta variável, obtemos
ϕ0(τ0) +
∫Λ
n(τ0, τ)ϕ0(τ) dτ =1
T (τ0)
(A∗f − 2i b(τ0)Z(τ0)
r(τ0)Pκ−1(τ0)
), (1.29)
onde n(τ0, τ) = N(τ0, τ)/T (τ0), e Λ denota a união dos arcos Λj, correspondentes aos
arcos Lj do plano. Esta é uma equação de Fredholm.
Lema 1.2.11. Seja a equação de Fredholm
Nϕ = a(x)ϕ(x) +
∫L
n(x, t)ϕ(t)dt = g(t), (1.30)
1.2. O PROBLEMA DE VALOR DE FRONTEIRA DE RIEMANNHILBERT PARAARCOS ABERTOS 19
onde L é a união nita de arcos suaves não se interceptando, e a(x) é uma função que
não se anula em ponto algum de L. Então, se a equação
Nϕ = 0
não possuir solução não nula, a solução de (1.30) é única, e é dada por
ϕ(x) = α(x)g(x) +
∫L
ς(x, t)g(t)dt,
onde α(x) = 1/a(x) e ς(x, t) é uma função com as mesmas características de n(x, t).
A demonstração deste lema, pode ser encontrada em [18, p. 137].
Deste lema, concluímos que (1.28) possui uma única solução, desde que −1 não seja
autovalor do núcleo de n(τ0, τ).
Capítulo 2
Equações integrodiferenciais singulares
Neste capítulo, propomos a resolução de um tipo de EIDS com núcleo de Cauchy
generalizada. Devido ao fato de muitos problemas práticos descritos por uma EIDS ou EIS,
possuírem condições de fronteira nãohomogêneas, impomos estas condições na equação
proposta aqui. Pelo mesmo motivo, assumimos o contorno L como sendo um arco aberto,
mais especicamente, o intervalo [−1, 1].
Através de mudanças de variáveis, a EIDS é tranformada em uma EIS, e dessa forma
podemos resolvê-la aplicando a teoria apresentada no Capítulo 1.
Apresentamos o MCP que utilizamos para resolver a EIS obtida, e a equação a ser
resolvida na prática com a aplicação deste método.
2.1 Considerações iniciais
Considere a EIDS
a1 ϕ′(x) +
b1
π−∫ 1
−1
ϕ′(t)
t− xdt+
∫ 1
−1
l1(x, t)ϕ′(t)dt+ a2(x)ϕ(x) +
∫ 1
−1
l2(x, t)ϕ(t)dt = f(x),
|x| < 1, (2.1)
onde a2(x) e f(x) são funções que satisfazem a condição H ∗([−1, 1]) e l1,2(x, t) satisfaz a
condição H ∗([−1, 1]) em ambas as variáveis ou l1,2(x, t) = l∗1,2(x, t)/(x − t) onde l∗1,2(x, t)
satisfaz a condição H ([−1, 1]) em ambas as variáveis. As constantes a1, b1 devem satisfazer
as condições a21 + b2
1 = 1. As condições de fronteira
ϕ(−1) = ξ1 e ϕ(1) = ξ2,
20
2.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS 21
também devem ser satisfeitas.
Para simplicar alguns cálculos, aplicamos a mudança de variáveis
ψ(x) = ϕ(x) + c1x+ c2,
com o objetivo de que
ψ(−1) = 0 e ψ(1) = 0,
e obtemosψ(−1) = ξ1 − c1 + c2 = 0
⇒ c1 = (ξ1 − ξ2)/2 e c2 = −(ξ1 + ξ2)/2,
ψ(1) = ξ2 + c1 + c2 = 0
donde podemos escrever
ψ(x) = ϕ(x) +(ξ1 − ξ2)
2x − (ξ1 + ξ2)
2.
Na variável ψ(x), a equação (2.1) pode ser escrita na forma:
a1 ψ′(x) +
b1
π−∫ 1
−1
ψ′(t)
t− xdt+
∫ 1
−1
l1(x, t)ψ′(t)dt+ a2(x)ψ(x) +
∫ 1
−1
l2(x, t)ψ(t)dt =
= f(x), (2.2)
onde
f(x) = f(x) +(ξ1 − ξ2)
2
a1 +
b1
πlog
∣∣∣∣1− x1 + x
∣∣∣∣+∫ 1
−1
l1(x, t)dt+ a2(x)x+
+
∫ 1
−1
l2(x, t) t dt
−(ξ1 + ξ2)
2
[a2(x) +
∫ 1
−1
l2(x, t)dt
].
Observe que devido à mudança de variáveis aplicada, a função f(x) possui singularidades
nos extremos do intervalo [−1, 1]. A não limitação de f(x) em [−1, 1], gera algumas
diculdades na prova de convergência do método, que serão tratadas no próximo capítulo.
Para que possamos aplicar a teoria das EIS discutida no Capítulo 1, devemos transfor-
mar a equação (2.2) em uma equação integral. Por este motivo, fazemos outra mudança
na variável dependente
u(x) = ψ′(x) ⇒ ψ(x) =
∫ x
−1
u(t)dt,
2.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS 22
e substituindo em (2.2), obtemos
a1u(x) +b1
π−∫ 1
−1
u(t)
t− xdt+
∫ 1
−1
l1(x, t)u(t)dt+ a2(x)
∫ x
−1
u(t)dt+
+
∫ 1
−1
l2(x, t)
[ ∫ t
−1
u(s)ds
]dt = f(x). (2.3)
A condição de fronteira para u(x) é∫ 1
−1u(x) dx = 0.
Fazendo uma integração por partes no termo∫ 1
−1l1(x, t)u(t)dt, a equação (2.3) pode
ser reescrita como:
a1u(x) +b1π−∫ 1
−1
u(t)
t− xdt+ a2
∫ x
−1u(t)dt+
∫ 1
−1
(− ∂ l1(x, t)
∂t+ l2(x, t)
)(∫ t
−1u(s)ds
)dt =
f(x), (2.4)
com∫ 1
−1u(t)dt = 0.
A partir de (1.5), (1.6) e (1.16), obtemos
γj + iδj = ∓ 1
2πiln
[a1 − ib1
a1 + ib1
], j = 1, 2,
sendo o sinal acima negativo para j = 1, ou seja, para o extremo c1 = −1, e positivo para
j = 2, para o extremo c2 = 1.
De acordo com a teoria do Capítulo 1, devemos encontrar M e N inteiros que satisfa-
çam as desigualdades
−1 < − γ1 +M < 1 e − 1 < γ1 +N < 1, (2.5)
e por (1.25),
Z(x) = (1− x)−γ1−iδ1+M(1 + x)γ1+iδ1+N Ω(x) = (1− x)α(1 + x)β Ω∗(x),
para α e β dados por
α = −γ1 +M e β = γ1 +N.
Portanto, o índice do problema é
κ = −(M +N) = −(α + β).
Pelas condições sobre M e N dadas em (2.5), o valor de κ se restringe a −1, 0, 1.
No caso em que κ = 1, a solução de (2.4) é de classe h0 e é ilimitada nos extremos −1 e
2.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS 23
1, além de −1 < α, β < 0. Devido à forma da equação (2.4) e sua condição de fronteira,
devemos procurar soluções que pertençam a esta classe.
Das equações (1.26) e (1.27), podemos escrever
ϕ(x) = Z(x) g(x),
onde Z(x) é função fundamental da classe h0 do problema de RiemannHilbert associado
à equação (2.4), e g(x) satisfaz a condição H ∗([−1, 1]).
Denotaremos a função Z(x) por ωα,β(x). Esta será a função peso da equação de inte-
resse. Disto, temos que (2.4) pode ser reescrita como:
a1ωα, β(x)g(x) +
b1
π−∫ 1
−1
ωα, β(t)g(t)
t− xdt+ a2(x)
∫ x
−1
ωα, β(t)g(t)dt+
+
∫ 1
−1
(− ∂ l1(x, t)
∂t+ l2(x, t)
)(∫ t
−1
ωα, β(s)g(s)ds
)dt = f(x), (2.6)
com∫ 1
−1ωα, β(t)g(t)dt = 0.
Denimos os operadores
Hg(x) = a1ωα, β(x)g(x) +
b1
π−∫ 1
−1
ωα, β(t)g(t)
t− xdt,
Df(x) = a2(x)f(x),
Rg(x) =∫ x−1ωα, β(t)g(t)dt,
l(x, t) = −∂ l1(x, t)
∂t+ l2(x, t),
Lf(x) =∫ 1
−1l(x, t)f(t)dt,
Hg(x) = a1ω−α,−β(x)g(x)− b1
π−∫ 1
−1
g(t)ω−α,−β(t)
t− xdt.
(2.7)
Então, a equação (2.6) escrita em termos de operadores toma a forma:
[H + (D + L)R ] g = f.
Utilizando o Teorema 1.2.9, em [6] mostrouse que o operador H satisfaz
HHg =
g + g0 se κ = 1,
g se κ ≤ 0, e para 0 ≤ j ≤ −κ − 1,∫ 1
−1
xj
Z(x)
[a1ω
α, β(x)g(x) +b1
π−∫ 1
−1
ωα, β(t)g(t)
t− xdt
]dx = 0,
2.2. MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 24
para g0 ∈ kerH, uma constante arbitrária. Assim, I + H[ (D + L )R ]g = Hf − g0, se κ = 1,
I + H[ (D + L )R ]g = Hf, se κ ≤ 0,(2.8)
e então, se κ ≤ 0, H é inversa à esquerda de H, ∀g ∈ H ∗( [−1, 1] ) e∫ 1
−1ωα, β(t)g(t)dt = 0.
Como visto no Capítulo 1, as equações (2.8) são equações de Fredholm de segunda
espécie, e possuem solução única, desde que −1 não seja autovalor de H[ (D + L )R ]
caso κ ≤ 0. No caso de κ = 1, devemos determinar a constante g0 para obtermos
uma única solução, impondo em (2.8) a condição∫ 1
−1ωα, β(t)g(t)dt = 0. Se o operador
[ I + H[ (D + L )R ] for inversível, multiplicando a primeira equação de (2.8) por
[ I + H[ (D + L )R ]−1, e em seguida por ωα, β(x), integrando a equação resultante so-
bre [−1, 1] em x, obtemos
0 =
∫ 1
−1ωα, β(x) [I + H[ (D+L )R ] ]−1Hf (x)dx−
∫ 1
−1ωα, β(x) I + H[ (D+L )R ] −1g0 dx.
Então para determinar g0 de maneira única, devemos ter:∫ 1
−1
ωα, β(x) I + H [ (D + L )R ] −11dx 6= 0. (2.9)
Vamos considerar que esta condição é satisfeita.
2.2 Método de colocação polinomial
Primeiramente, relembremos alguns resultados clássicos relacionados aos polinômios or-
togonais.
Denição 2.2.1. São chamados polinômios de Jacobi de grau n, os polinômios P α, βn (t)
tais que ∫ 1
−1
ω α, β(t)P α, βi (t)P α, β
j (t)dt = hi δij, i, j = 0, 1, ...
para α, β > −1, ωα, β(t) conforme denido anteriormente, δi,j o delta de Kronecker e
hi =2α+β+1
2i+ α + β + 1
Γ(i+ α + 1) Γ(i+ β + 1)
Γ(i+ 1)Γ(i+ α + β + 1).
2.2. MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 25
Denimos a aproximação da função g(x), como sendo:
gn(x) = c0Pα, β
0 (x) + c1Pα, β
1 (x) + · · ·+ cnPα, βn (x), (2.10)
onde
cj =2α+β+1
2j + α + β + 1
Γ(j + α + 1) Γ(j + β + 1)
Γ(j + 1)Γ(j + α + β + 1)
∫ 1
−1
ω α, β(x)P α, βj (x)g(x) dx, 0 ≤ j ≤ n,
(veja [22], equação (9.1.1)). Observe que devido às condições de fronteira impostas em
(2.6), c0 = 0.
Substituindo gn em (2.6), podemos denir o resíduo
rn(x) =n∑j=1
cj
a1 ω
α, β(x)Pα, βj (x) +
b1
π−∫ 1
−1
ωα, β(t)Pα, βj (t)
(t− x)dt+
+a2(x)∫ x−1ωα, β(t)Pα, β
j (t) dt+
∫ 1
−1
l(x, t)
[∫ t
−1
ωα, β(s)Pα, βj (s) ds
]dt
−f(x).
(2.11)
Da fórmula de Rodrigues generalizada (veja [22], equação (4.10.1)), temos que
ωα, β(x)P α, βj (x) = − 1
2j
d
dx[ωα+1, β+1 P α+1, β+1
j−1 (x) ], (2.12)
o que implica em∫ x
−1
ωα, β(t)P α, βj (t) dt = − 1
2jωα+1, β+1(x)P α+1, β+1
j−1 (x). (2.13)
Aplicando este resultado em (2.11), obtemos
rn(x) =n∑j=1
cj
a1ω
α, β(x)P α, βj (x) +
b1
π−∫ 1
−1
ω α, β(t)P α, βj (t)
(t− x)dt−
− 1
2j
[a2(x)ω α+1, β+1(x)P α+1, β+1
j−1 (x) +
∫ 1
−1
l(x, t)ω α+1, β+1(t)P α+1, β+1j−1 (t) dt
]−
−f(x). (2.14)
Para tratar os dois primeiros termos de (2.14), utilizaremos o próximo lema.
Lema 2.2.2. ([6], Lema 3.4.1)Sejam P α,βn e P −α,−βn sequências de polinômios de
Jacobi de grau n, ortogonais com respeito aos pesos ω α, β(x) e ω−α,−β(x) respectivamente,
com α, β não inteiros. Então,
aω α, β(x)P α, βn (x) +
b
π−∫ 1
−1
ω α, β(t)P α, βn (t)
(t− x)dt = − 2−κ
sen(π α)bP−α, −βn−κ (x),
aω−α, −β(x)P−α, −βn (x)− b
π−∫ 1
−1
ω−α, −β(t)P−α, −βn (t)
(t− x)dt = − 2κ
sen(π α)bP α, β
n+κ (x),
onde P α, βn = P−α, −βn ≡ 0 se n < 0 e κ é o índice do problema.
2.2. MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 26
Aplicando o Lema 2.2.2 na equação (2.14), obtemos
rn(x) =n∑j=1
cj
−b1P−α, −βj−1 (x)
2sen(π α)− 1
2j
[a2(x)ω α+1,β+1(x)P α+1,β+1
j−1 (x)+
+
∫ 1
−1
l(x, t)ω α+1,β+1(t)P α+1,β+1j−1 (t) dt
]− f(x).
(2.15)
O resíduo rn(x) pode ser escrito na forma:
rn(x) = [H + (D + L)R ]gn − f (x). (2.16)
Denição 2.2.3. O método de colocação polinomial consiste na aproximação da fun-
ção g(x) por gn(x) =n∑j=0
cjPj(x), onde Pjnj=1 é uma base para o conjunto de polinômios
de grau n, e os coecientes cj são determinados a partir da equação residual, quando a
ela é imposta a condição rn(xi) = 0 para n pontos distintos xi, denominados pontos de
colocação, que são escolhidos de forma conveniente sobre [−1, 1].
Impondo que rn(xi) = 0 para 0 ≤ i ≤ n, obtemos sistema de equações lineares
rn(xi) =n∑j=1
cj
− b1P−α, −βj−1 (xi)
2sen(π α)− 1
2j
[a2(xi)ω
α+1,β+1(xi)Pα+1,β+1j−1 (xi) +
+
∫ 1
−1
l(xi, t)ωα+1,β+1(t)P α+1,β+1
j−1 (t) dt
]− f(xi) = 0.
Escolhemos como pontos de colocação, os zeros do polinômio de Chebyshev de primeira
espécie de grau n
xi = cos
[(2i+ 1)π
2n
], 1 ≤ i ≤ n.
O motivo desta escolha cará claro mais adiante, na Seção 3.3.
Observe que a integral ∫ 1
−1
l(x, t)ω α+1,β+1(t)P α+1,β+1j−1 (t) dt,
em geral não pode ser resolvida analiticamente. Por este motivo, quando necessário, em-
pregamos neste termo uma quadratura de Gauss-Jacobi com n nós, dada por∫ 1
−1
l(x, t)ω α+1,β+1(t)P α+1,β+1j−1 (t) dt '
n∑i=1
l(x, ti)Pα+1,β+1j−1 (ti)λ
α+1,β+1i :=
:= Ln [P α+1,β+1j−1 (x)ω α+1,β+1(x) ],
(2.17)
2.2. MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 27
onde
λα+1,β+1i = 2α+β+3 Γ(n+ α + 2)Γ(n+ β + 2)
Γ(n+ 1)Γ(n+ α + β + 3)(1− t2i )−1 [ (P α+1, β+1
n )′(ti) ]−2, (2.18)
(veja [22], equação (15.3.1) ), e ti, 1 ≤ i ≤ n, denotam as n raízes do polinômio
P α+1,β+1n (t), obtidas com o auxílio do software MATHEMATICA.
De [22], equação (4.21.7), obtemos a identidade
d
dxP α, β
n (x) =1
2(n+ α + β + 1)P α+1, β+1
n−1 (x), (2.19)
que aplicada em (2.18), nos leva à identidade
Ln [P α+1, β+1j−1 (x)ω α+1,β+1(x) ] =
2α+β+5
(n+ α + β + 3)2
Γ(n+ α + 2)Γ(n+ β + 2)
Γ(n+ 1)Γ(n+ α + β + 3).
.
n∑i=1
l(x, ti)Pα+1,β+1j−1 (ti) (1− t2i )−1 [P α+2,β+2
n−1 (ti) ]−2.
Para calcularmos os polinômios P−α, −βj (x), P α+1,β+1j (x), 1 ≤ j ≤ n−1 e P α+2,β+2
n−1 (x),
lançamos mão da identidade
P α, βn (x) =
n∑k=0
(n+ α
n− k
)(n+ β
k
)(x− 1
2
)k(x+ 1
2
)n−k,
(veja [22], equação (4.3.2)). Nos casos particulares em que α = β = −1/2 e α = β = 1/2,
as expressões dos polinômios possuem uma forma mais simplicada que a anterior, dadas
por:
P −1/2, −1/2n (x) =
1
4n
(2n
n
)Tn(x) e P 1/2, 1/2
n (x) =2√π
Γ(n+ 3/2)
Γ(n+ 2)Un(x),
onde Tn(x) = cos(n arccosx) e Un(x) = sen[ (n + 1) arccosx ]/sen( arccosx ) são os po-
linômios de Chebyshev de primeira e segunda espécie, respectivamente (veja [1], equações
(22.5.23) e (22.5.32)).
O sistema de equações lineares que resolvemos na prática é Ac = f , onde
Ai,j =−b1P
−α, −βj−1 (xi)
2sen(π α)− 1
2j
[a2(xi)ω
α+1,β+1(xi)Pα+1,β+1j−1 (xi) +
+n∑k=1
l(xi, tk)Pα+1,β+1j−1 (tk)λ
α+1,β+1k
], 1 ≤ i, j ≤ n,
c = [c1 · · · cn]> e f = [f(x1) · · · f(xn)]>.
Capítulo 3
Espaço de Operadores
Neste capítulo, apresentamos as propriedades de mapeamento dos operadores denidos
em (2.7), quando aplicados em espaços ponderados de Besov.
Primeiramente, apresentamos os principais conceitos relativos aos espaços ponderados
de funções contínuas e de subspaços destes, do tipo Besov, aos quais consideramos per-
tencer os coecientes da equação (2.6). Em seguida, mostramos como se comportam os
operadores de (2.7) nestes espaços, principalmente no que tange à sua limitação. Final-
mente, apresentamos uma análise de convergência do MCP, segundo a norma uniforme
ponderada.
3.1 Conceitos e teoremas principais
Denição 3.1.1. Para ρ, τ ≥ 0, denimos o espaço de funções
Cρ,τ := f ∈ C(−1, 1) : fω ρ,τ ∈ C[−1, 1] ,
equipado da norma
‖f‖∞, ρ,τ = max|x|≤1| (fωρ,τ )(x)|.
Notação. Denotamos por C0ρ,τ , o subspaço de Cρ,τ das funções f tais que (fω ρ,τ )(1) = 0 se ρ > 0
(fω ρ,τ )(−1) = 0 se τ > 0.
Notação. Denotamos por Πn, o conjunto dos polinômios de grau no máximo n.
28
3.1. CONCEITOS E TEOREMAS PRINCIPAIS 29
Notação. Denotamos por E ρ, τn (f), o erro da melhor aproximação uniforme ponderada
de f por polinômios em Πn, isto é,
E ρ, τn (f) = inf ‖f − pn‖∞, ρ,τ : pn ∈ Πn .
Denição 3.1.2. Seja B = bn uma sequência de números reais positivos, tal que
limn→∞
bn = 0. Denotamos por C Bρ,τ , o espaço ponderado de Besov
C Bρ,τ :=
f ∈ Cρ,τ : ‖f‖∞, ρ,τ + sup
n=1,2,...
E ρ, τn (f)
bn<∞
.
Proposição 3.1.3. ([12], Proposição 3.1) CBρ,τ é espaço de Banach.
Lema 3.1.4. ([12], Lema 3.2) Se B = bn e C = cn são sequências de números
reais positivos, tais que limn→∞
(bn/cn) = 0, então C Bρ,τ é compactamente imerso em CC
ρ,τ .
Observação 3.1.5. ([12], Observação 3.4) Se existir uma constante positiva M , tal
que bn ≤M cn, a imersão C Bρ,τ ⊂ C C
ρ,τ é contínua.
Observação 3.1.6. ([12], Observação 3.5) Se ρ1 ≤ ρ2 e τ1 ≤ τ2, a imersão
C Bρ1,τ1⊂ C C
ρ2,τ2é contínua.
Denição 3.1.7. Sejam p um inteiro não negativo e θ ∈ (0, 1]. Denotamos por C p,θ, o
espaço de Banach das funções a valores reais de classe Cp[−1, 1], tais que sua p-ésima
derivada satisfaz a condição H θ([−1, 1]). A norma em C p,θ é dada por:
‖u‖p,θ :=
p∑k=0
‖u(k)‖∞ + sup
|u(x)− u(t)||x− t| θ
: x, t ∈ [−1, 1], x 6= t
.
Notação. Denotamos por
ρ0 =
minρ, 1 se ρ > 0,
1 se ρ = 0.e τ0 =
minτ, 1 se τ > 0,
1 se τ = 0.
Notação. Suponha que existam constantes positivas M e γ, tais que bn ≤ Mn−γ,
n = 1, 2, . . .. Então, dizemos que bn = O(n−γ).
3.2. PROPRIEDADES DE MAPEAMENTO 30
Lema 3.1.8. ([12], Lema 3.11) Suponha que B = bn, seja tal que bn = O(n−γ), e
que f ∈ C Bρ,τ . Então, exitem constantes positivas ν = minρ0, τ0/[ γ + 2(1 + maxρ, τ) ]
e c, tais que
fω ρ,τ ∈ C 0, νγ e ‖fωρ,τ‖0, νγ ≤ c ‖f‖ρ,τ,B.
A exigência de que as funções a2(x), l(x, t) e f(x) ∈ C Bρ,τ para certos valores de ρ, τ e
algum B, será imposta nos lemas e teoremas a seguir. Segundo o Lema 3.1.8, isto garante
que os termos da equação (2.6) satisfaçam a condição H ∗([−1, 1]), conforme a teoria do
Capítulo 1 exige para ser aplicada.
3.2 Propriedades de mapeamento
Primeiramente apresentamos alguns resultados que serão utilizados na demonstração de
convergência do MCP.
Denição 3.2.1. Denimos as constantes não negativas α+, α−, β+ e β− por:
α = α+ − α− e β = β+ − β−, 0 ≤ α±, β± < 1.
Proposição 3.2.2. ([12], Proposição 4.4) Seja f ∈ CBα−, β−. Então Hf ∈ Cα+, β+ e
‖Hf‖∞, α+, β+ ≤ c
(‖f‖α−, β− ,B
nµ+ ‖f‖∞, α−, β− log n
),
onde fωα−, β− ∈ H µ([−1, 1]).
Corolário 3.2.3. ([12], Corolário 4.5) Para Pn ∈ Πn, n ≥ 2,
‖HPn‖∞, α+, β+ ≤ c ‖Pn‖∞, α−, β− log n.
Notação. Se X e Y são espaços de Banach, denotaremos por L(X, Y ) o espaço de todos
os operadores lineares limitados de X em Y .
Proposição 3.2.4. ([12], Proposição 4.7) Sejam G(n) =
1 se n = 1,
logq n se n ≥ 2,
para q ≥ 0 e bn = G(n)/nγ para γ > 0. Então, para n sucientemente grande, temos
H ∈ L (CBα−, β− , C
B lognα+, β+ ) e H ∈ L (CB
α+, β+ , CB lognα−, β− ).
3.2. PROPRIEDADES DE MAPEAMENTO 31
Notação. Dizemos que l(x, t) ∈ CBρ, τ,x ∩ Cν, ς, t, quando
i) l(x, t)ωρ,τ (x)ων, ς(t) ∈ C[−1, 1] 2 e
ii) lν,ςt = l(x, t)ων,ς(t) ∈ CBρ, τ uniformemente com respeito a t ∈ [−1, 1].
O lema seguinte será de grande utilidade nas demonstrações das próximas proposições.
Lema 3.2.5. ([12], Lema 4.11) Seja l(x, t) ∈ CBρ, τ,x∩Cν, ς, t. Então existe uma sequência
Pn∞n=1 de polinômios Pn(x, t) =n∑j=0
cnj(t)xj de grau não maior que n em x, onde
cnj(t)ων,ς(t) é constante por partes para j = 0, · · · , n e
supx,t∈[−1,1]
| [ l(x, t)− Pn(x, t) ]ωρ,τ (x)ων,ς(t) | ≤ c bn, n = 1, 2, . . . ,
onde c não depende de n.
As duas proposições seguintes são adaptações das Proposições 4.12 e 4.13 de [12], que
se zeram necessárias devido à mudança no domínio do operador L.
Proposição 3.2.6. Sejam ν, ς constantes não negativas, tais que ν + α−, ς + β− < 1. Se
l(x, t) ∈ CBρ, τ,x ∩ Cν,ς,t, então L ∈ L (Cα−,β− , C
Bρ,τ ).
Demonstração: Sejam l(x, t) ∈ CBρ, τ,x ∩ C ν, ς, t e f ∈ Cα−, β− , temos:
| (Lf)(x)ω ρ,τ (x) | =
∣∣∣∣ ∫ 1
−1l(x, t)f(t)ω ρ,τ (x) dt
∣∣∣∣≤ ∫ 1
−1| l(x, t)f(t)ω ρ,τ (x)ω ν,ς(t)ω−ν,−ς(t) | dt ≤
≤ c
∫ 1
−1|ω−ν+α−−α−,−ς+β−−β−(t)f(t) | dt ≤ c ‖f‖∞,α−,β−
∫ 1
−1ω−ν−α
−,−ς−β−(t) dt.
Como ν + α−, ς + β− < 1, a integral∫ 1
−1ω−ν−α
−,−ς−β−(t) dt é limitada. Portanto,
‖Lf‖∞, ρ, τ ≤ c ‖f‖∞, α−, β− .
Denimos
Qn(x) =
∫ 1
−1
Pn(x, t)f(t)dt,
onde Pn(x, t) são dados pelo Lema 3.2.5. Portanto Qn ∈ Πn se cnj(t)ω ν, ς(t) ∈ L∞ (−1, 1).
3.2. PROPRIEDADES DE MAPEAMENTO 32
Então obtemos:
|(Lf −Qn)(x)ωρ,τ (x)| =
∣∣∣∣ ∫ 1
−1
[ l(x, t)− Pn(x, t)] f(t)ωρ,τ (x) dt
∣∣∣∣≤≤∫ 1
−1
| [ l(x, t)− Pn(x, t)]f(t) |ωρ,τ (x)ων−ν,ς−ς(t) dt ≤
≤ c bn
∫ 1
−1
| f(t) |ω−ν+α−−α−,−ς+β−−β−(t) dt ≤
≤ c bn ‖f‖∞,α−,β−∫ 1
−1
ω−ν−α−,−ς−β−(t)dt ≤ c bn ‖f‖∞, α−, β− .
Portanto,
Eρ,τn (Lf) ≤ c bn ‖f‖∞,α−,β− e Lf ∈ C B
ρ, τ .
Proposição 3.2.7. Seja l(x, t) = [ k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) com k(x, t) ∈ C B0, 0, x ∩ C 0, 0, t.
Então,
L ∈ L (Cα−, β− , CB lognα−, β− ), n ≥ 2.
Demonstração: Pelo Lema 3.1.8, segue que k0,0t ∈ H µ([−1, 1]) uniformemente com
respeito a t ∈ [−1, 1], para algum 0 < µ < 1. Usando o fato que∫ 1
−1
| t− x|µ−1 ω−ρ+,−τ+(t) dt ≤ c ω−ρ
+,−τ+(x),
de [3], e supondo que f ∈ Cα−, β− , obtemos:
|Lf(x)| =
∣∣∣∣ ∫ 1
−1
k(x, t)− k(t, t)
t− xf(t) dt
∣∣∣∣ ≤ c ‖f‖∞,α−,β−∫ 1
−1| t− x|µ−1 ω−α
−,−β−(t) dt ≤
≤ c‖f‖∞, α−, β− ω−α−,−β−(x),
ou seja, Lf ∈ Cα−, β− .
Seja Pn(x, t) a sequência de polinômios do Lema 3.2.5 para a função k(x, t). Como
Pn(x, t) =n∑j=0
(∂j
∂xjPn(x, t)
)(t)
(x− t)j
j!=⇒ Pn(x, t)− Pn(t, t)
t− x=
n−1∑j=0
dnj(t)xj,
com dnj ∈ L∞(−1, 1), então
Qn(x) =1
π
∫ 1
−1
Pn(x, t)− Pn(t, t)
t− xf(t) dt ∈ Πn.
3.2. PROPRIEDADES DE MAPEAMENTO 33
Seja B = bn como denido na Proposição 3.2.4. Neste caso, existe um δ > 0 para
o qual n−δ = O(bn). Escolha algum m ≥ (2 + δ)/2µ. Então, aplicando o Lema 3.2.5 e a
desigualdade de Markov ‖p′n‖∞ ≤ n2 ‖pn‖∞ para pn ∈ Πn, obtemos
|Lf(x)−Qn(x)| ≤∫ 1
−1
∣∣∣∣ ( k(x, t)− k(t, t)
t− x− Pn(x, t)− Pn(t, t)
t− x
)f(t)
∣∣∣∣ dt ≤≤ c ‖f‖∞, α−, β−
bn
( ∫ x−(1+x)/(2n2m)
−1
+
∫ 1
x+(1−x)/(2n2m)
)ω−α
−,−β−(t)
| t− x|dt+
+
∫ x+(1−x)/(2n2m)
x−(1+x)/(2n2m)
ω−α−,−β−(t)| t− x|µ−1 dt+ c n2
∫ x+(1−x)/(2n2m)
x−(1+x)/(2n2m)
ω−α−,−β−(t) dt
.
De [3], tem-se( ∫ x−(1+x)/(2n2)
−1
+
∫ 1
x+(1−x)/(2n2)
)ω−α
+,−β+(t)
| t− x|dt ≤ c ω−α
+,−β+
(x) log n, (3.1)
para n ≥ 2. Desta desigualdade e do fato que ω−α−,−β−(t) ≤ c ω−α
−,−β−(x) para
t ∈ [x− (1 + x)/(2n2), x+ (1− x)/(2n2) ], obtemos
|Lf(x)−Qn(x)| ≤ c ‖f‖∞,α−,β− ω−α−,−β−(x)
bn log n+ c n2
∫ x+(1−x)/(2n2m)
x−(1+x)/(2n2m)| t− x|µ−1 dt
≤
≤ c ‖f‖∞,α−,β− ω−α−,−β−(x) bn log n.
Logo,
Eα−, β−
n (f) ≤ c ‖f‖∞, α−, β− bn log n e L ∈ L (Cα−, β− , CB lognα−, β− ).
Proposição 3.2.8. Se g(x) ∈ Cα+, β+, então Rg ∈ Cα−, β−.
Demonstração: Como −α−,−β− > −1, obtemos
|(Rg)(x)| =∣∣∣∣ ∫ x
−1
g(t)ωα, β(t) dt
∣∣∣∣ ≤ c‖g‖∞, α+, β+
∫ x
−1
ω−α−,−β−(t) dt ≤ c‖g‖∞, α+, β+ .
Então Rg ∈ C 0, 0. Pela Observação 3.1.6, obtemos Rg ∈ Cα−, β− .
Proposição 3.2.9. Sejam a2(x) ∈ C B0,0 e Rg(x) ∈ C C
α−,β− com B = bn, bn = O(n−γ1)
e C = cn, cn = O(n−γ2). Então,
D ∈ L(C Cα−,β− , C
Dα−,β− ),
para D = dn = O(n−γ) e γ = minγ1, γ2.
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 34
Demonstração: Como a2, Rg ∈ C0,0, obtemos | (DRg)(x) | ≤ c‖g‖∞, α+, β+ . Então
D ∈ L(Cα−, β− , C 0, 0), o que implica em D ∈ L(Cα−, β− , Cα−, β−).
Sejam p∗n(x), p∗∗n (x) tais que En(a2) = ‖a2 − p∗n‖∞ e E α−, β−n (Rg) = ‖Rg − p∗∗n ‖∞, α−, β− .
Então,
Eα−,β−
2n (Dg) ≤ ‖a2(x)Rg(x)− p∗n(x)p∗∗n (x)‖∞, α−, β− ≤
≤ ‖ (a2 − p∗n)Rg‖∞, α−, β− + ‖ (Rg − p∗∗n )p∗n‖∞, α−, β− ≤ c En(a2) + Eα−, β−n (Rg) ≤
≤ c ‖a2‖ 0, 0,B bn + ‖Rg‖α−,β−,C cn ≤ c dn ≤ c d2n.
Observação 3.2.10. Nas condições da Proposição 3.2.6, para ρ ≤ α− e τ ≤ β−, obtemos
C Bρ,τ ⊂ C B
α−,β− e
LR ∈ L(Cα+,β+ , C Bα−,β−) ⇒ HLR ∈ L(Cα+,β+ , C B logn
α−,β− ).
Nas condições da Proposição 3.2.7, obtemos
LR ∈ L(Cα+,β+ , C B lognα−,β− ) ⇒ HLR ∈ L(Cα+,β+ , C B logn
α−,β− ).
e pela Proposição 3.2.9, obtemos
DR ∈ L(Cα+,β+ , C Dα−,β− ) ⇒ HDR ∈ L(Cα+,β+ , C D logn
α−,β− ).
3.3 Convergência do método de colocação polinomial
Nesta seção, encontram-se os principais resultados que utilizamos na prova da convergên-
cia do MCP, segundo a norma uniforme ponderada ‖ . ‖∞, α+, β+ . Primeiramente, apresen-
tamos algumas considerações iniciais.
Seja o operador de projeção
Pn−1 := C[−1, 1] → C[−1, 1]
f → (Pn−1f )(x) =n∑i=1
f(xi)li(x),
onde li, para 1 ≤ i ≤ n, denotam os polinômios fundamentais da interpolação de Lagrange
correspondentes às abscissas xi, que são os nós de interpolação.
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 35
Lema 3.3.1. ([6], Lema 3.4.2) De acordo com as considerações anteriores, para rn(x)
denida em (2.16), obtemos
rn(x) = 0 ⇔ Pn−1rn(x) = 0.
Aplicando este lema em rn, denida em (2.16), temos
Pn−1Hgn + Pn−1DRgn + Pn−1LRgn = Pn−1f.
Pelo Lema 2.2.2, Hgn é polinômio de graun − 1 e a equação anterior pode ser expressa
por:
Hgn + Pn−1DRgn + Pn−1LRgn = Pn−1f.
Apresentamos a seguir, alguns conceitos necessários ao enunciado do lema seguinte.
Denição 3.3.2. Um sistema de funções φ1, . . . , φn é dito satizfazer a condição
de Haar se φi, 1 ≤ i ≤ n, é contínua, e se todo conjunto de n vetores da forma
(φ1(x), · · · , φn(x)) é linearmente independente.
Denição 3.3.3. Seja a função ψj tal que
n−1∑j=0
φj(xi)ψj(t) = l(xi, t), 1 ≤ i ≤ n,
onde φj é uma base para o conjunto de polinômios de grau n−1 satisfazendo a condição
de Haar. Denimos o polinômio interpolador de l(x, t) na variável x como:
l(n−1)(x, t) =n−1∑j=0
φj(x)ψj(t). (3.2)
Lema 3.3.4. ([6], Lema 3.4.3) Sejam l(x, t) e l(n−1)(x, t) conforme denido em (3.2).
Seja também o operador
L(n−1)f(x) =
∫ 1
−1
l(n−1)(x, t)f(t)dt. (3.3)
Então,
Pn−1L = L(n−1).
Denição 3.3.5. A constante de Lebesgue ponderada é denida por:
‖Pn−1‖∞,ρ,τ := sup‖Pn−1f‖∞,ρ,τ : f ∈ Cρ,τ , ‖f‖∞,ρ,τ = 1.
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 36
O lema a seguir, é apresentado em [12], Lema 5.2. Devido à necessidade de adaptação
do seu enunciado para a demonstração do teorema de convergência do MCP, apresentamos
sua demonstração com as devidas modicações.
Lema 3.3.6. Se f ∈ C Bρ, τ com ρ ≤ α− e τ ≤ β−, então
‖ H(f − Pn−1f) ‖∞, α+, β+ ≤ c log n ‖Pn−1‖∞, ρ, τ E α−,β−
n−1 (f), n ≥ 2.
Demonstração: Seja p∗n−1 tal que Eα−,β−
n−1 (f) = ‖ f − p∗n−1‖∞,α−,β− . Então pela Propo-
sição 3.2.2, obtemos
‖ H(f − Pn−1f) ‖∞,α+,β+ ≤ c[‖ f − Pn−1f‖∞,α−,β− log n+
‖ f − Pn−1f‖α−,β−,Bnµ
]≤
≤ c
[(‖f − p∗n−1‖∞,α−,β− + ‖Pn−1(f − p∗n−1)‖∞,α−,β−
)log n+ sup
m=1,2,...
E α−,β−m (f − Pn−1f)
nµ
]≤
≤ c
[(E α−,β−
n−1 (f) + ‖Pn−1‖∞,ρ,τE α−,β−
n−1 (f)
)log n + sup
m=1,2,...
E α−,β−m (f − Pn−1f)
nµ
]≤
≤ c
[log n ‖Pn−1‖∞,ρ,τE α−,β−
n−1 (f) + supm=1,2,...
E α−,β−m (f − Pn−1f)
nµ
].
Vejamos que
E α−, β−m (f−Pn−1f)
= E α−, β−m (f) se m ≥ n− 1,
≤ ‖ f − Pn−1(f)‖∞, α−, β− ≤ c ‖Pn−1‖∞, ρ, τE α−, β−
n−1 (f) se m < n− 1.
Logo,
‖ H(f − Pn−1f) ‖∞, α+, β+ ≤ c log n ‖Pn−1‖∞, ρ, τ E α−, β−
n−1 (f).
O próximo teorema, será utilizado na demonstração dos Lemas 3.3.8 e 3.3.11, adapta-
ções dos Lemas 6.7 e 6.11 de [12].
Teorema 3.3.7. ([10, p. 328]) Se os nós de uma fórmula de quadratura interpolatória
são os zeros do polinômio ortogonal de grau n associado ao peso do termo λi(t), então
essa fórmula possui grau de precisão 2n− 1.
Lema 3.3.8. Sejam ν e ς constantes não negativas tais que ν + α− < 1 e ς + β− < 1.
Se l(x, t) ∈ CBρ, τ,x ∩ Cν,ς,t, então
‖ (Ln − L)Rgn ‖∞, ρ, τ ≤ c E ν, ςn (l ρ,τx ).
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 37
Demonstração: Sabemos que
(Rgn)(x) =n∑j=0
∫ x
−1
cjPα, βj (t)ω α,β(t) dt = −
n∑j=1
cj2jP α+1, β+1j−1 (x)ω α+1, β+1(x)
e portanto, Rgn(t)ω−α−1,−β−1(t) é um polinômio de graun − 1. Tomando ti, 1 ≤ i ≤ n
como os zeros de P α+1, β+1n (t), obtemos
LnRgn = −n∑j=1
cj2j
n∑i=1
l(x, ti)Pα+1, β+1j−1 (ti)λ
α+1, β+1i ,
para λα+1, β+1i (t) conforme denido em (2.18). Então, obtemos
| ( Ln − L)Rgnωρ,τ (x) | =
∣∣∣∣ ∫ 1
−1
[ n∑i=1
l(x, ti)ωρ,τ (x)Rgn(ti)ω
−α−1,−β−1(ti)λα+1,β+1i −
− l(x, t)ω ρ,τ (x)Rgn(t)
]dt
∣∣∣∣.Seja p∗2n−1 tal que E ν, ς
2n−1( l ρ,τx Rgn ω−α−1,−β−1 ) = ‖ l ρ,τx Rgn ω
−α−1,−β−1 − p∗2n−1 ‖∞,ν,ς .
Pelo Teorema 3.3.7, temos
| (Ln − L)Rgn(x)ω ρ,τ (x) | =
=
∣∣∣∣ ∫ 1
−1
n∑i=1
[ l(x, ti)ωρ,τ (x)Rgn(ti)ω
−α−1,−β−1(ti)− p∗2n−1(ti) ]λα+1,β+1i −
−[l(x, t)ω ρ,τ (x)Rgn(t)ω−α−1,−β−1(t)− p∗2n−1(t) ]ω α+1,β+1(t)−
−[p∗2n−1(t)ω α+1,β+1(t)− p∗2n−1(ti)λα+1,β+1i ]
ω ν,ς(t)ω−ν,−ς(t) dt
∣∣∣∣≤≤ E ν,ς
2n−1(l ρ,τx Rgn ω−α−1,−β−1)
∫ 1
−1 |λα+1,β+1
i |+ ω α+1,β+1(t) ω−ν,−ς(t) dt.
Como por hipótese ν + α− < 1 e ς + β− < 1, então −ν,−ς > −1, e isto resulta em∫ 1
−1ω−ν,−ς(t)dt ser limitada. Portanto,
| (Ln − L)Rgn(x)ω ρ,τ (x) | ≤ cE ν,ς2n−1( l ρ,τx Rgnω
−α−1,−β−1 ).
Seja p∗n tal que Eν, ςn (l ρ,τx ) = ‖l ρ,τx − p∗n‖∞,ν, ς . Então, obtemos
E ν,ς2n−1( l ρ,τx Rgn ω
−α−1,−β−1 ) ≤ ‖ ( l ρ,τx − p∗n )Rgn ω−α−1,−β−1 ‖∞,ν, ς ≤ cE ν, ς
n (l ρ,τx ).
Para a demonstração do Lema 3.3.11 utilizamos os dois teoremas seguintes.
Teorema 3.3.9. ([9], Teorema 8.4.8) Sejam Pn ∈ Πn e w ∈ J∗∞, classe de pesos que
inclui os pesos de Jacobi ωρ, τ (x), para ρ, τ ≥ 0. Então, para 0 < c < n2,
‖Pnw‖L∞ [−1,1] ≤M(c) ‖Pnw‖L∞ [−1+cn−2, 1−cn−2],
onde M(c) é uma constante positiva independente de n e Pn.
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 38
Teorema 3.3.10. ([9], Teoremas 7.3.1) Sejam r um inteiro positivo e pn tal que
En(f) = infpn∈Πn
‖f − pn‖Lp[−1,1]. Então vale a desigualdade
‖φ p(r)n ‖Lp[−1,1] ≤ M(r)
∑0≤k≤n
(k + 1)r−1Ek(f),
onde φ(x) =√
1− x2.
Lema 3.3.11. Seja l(x, t) = [k(x, t) − k(t, t)]/(t − x) com k(x, t) ∈ C B0,0,x ∩ C B
0,0,t e
B = bn, bn = O(n−γ). Então,
‖ (Ln − L)Rgn+1 ‖∞,α−,β− ≤ c ‖Rgn+1 ω−α−1,−β−1‖∞
1/n se γ > 1,
log n/nγ se γ ≤ 1.
Demonstração: Denimos a quadratura de LRgn =
∫ 1
−1
[k(x, t)−k(t, t)]/(t−x)Rgn(t) dt
como sendo
Ln (Rgn) :=n∑
i 6=d=1
k(x, ti)− k(ti, ti)
ti − xRgn(ti)ω
−α−1, −β−1(ti)λα+1, β+1i ,
onde λα+1, β+1i e ti são conforme denidos em (2.18), e d = j : |x− tj| = min
1≤i≤n|x− ti| .
Suponha que para cada x ∈ [−1, 1] xado, p∗n seja tal que
E 0, 0n [ k0, 0
x (t)− k(t, t) ] = ‖ [ k 0, 0x − k(t, t) ]− p∗n‖∞.
Levando em conta o fato que [ k 0, 0x (t)− k(t, t) ](x) = 0, obtemos
‖ k 0, 0x (t)− k(t, t)− p∗n(t)− p∗n(x)‖∞ ≤ cE 0, 0
n [ k0, 0x (t)− k(t, t) ].
Então, para k0,0x ∈ H µ([−1, 1]) e m ≤ (γ + 2)/(2µ), obtemos
| (Ln − L)Rgn+1(x) | =
∣∣∣∣ ∫ 1
−1
n∑i 6=d=1
[k0,0x (t)− k(t, t)
t− x− p∗n(t)− p∗n(x)
t− x
]Rgn+1(t) −
−[k0,0x (ti)− k(ti, ti)
ti − x− p∗n(ti)− p∗n(x)
ti − x
]ω−α−1, −β−1(ti)Rgn+1(ti)λ
α+1, β+1i
−
−( n∑i 6=d=1
−n∑i=1
)p∗n(ti)− p∗n(x)
ti − xRgn+1(ti)ω
−α−1, −β−1(ti)λα+1, β+1i dt
∣∣∣∣≤≤ c ‖Rgn+1 ω
−α−1, −β−1‖∞ ∫ 1
−1
∣∣∣∣ k0,0x (t)− k(t, t)
t− x− p∗n(t)− p∗n(x)
t− x
∣∣∣∣ωα+1, β+1(t) dt +
+ E 0,0n [k0,0
x (t)− k(t, t)]
n∑i 6=d=1
∣∣∣∣ λα+1, β+1i
x− ti
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣p∗n(td)− p∗n(x)
td − x
∣∣∣∣ |λα+1, β+1d |
.
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 39
Para tratar a última integral, vamos reescrevêla como:∫ x+(1−x)/2n2m
x−(1+x)/2n2m
∣∣∣∣ k0,0x (t)− k(t, t)
t− x− p∗n(t)− p∗n(x)
t− x
∣∣∣∣ωα+1, β+1(t) dt +
+
(∫ x−(1+x)/2n2m
−1
+
∫ 1
x+(1−x)/2n2m
)∣∣∣∣ k0,0x (t)− k(t, t)
t− x− p∗n(t)− p∗n(x)
t− x
∣∣∣∣ω α+1, β+1(t) dt.
Aplicando a desigualdade de Markov ‖p′n‖∞ ≤ n2‖pn‖∞, temos
|(Ln − L)Rgn+1(x) | ≤ c ‖Rgn+1ω−α−1,−β−1‖∞
n2
∫ x+(1−x)/2n2m
x−(1+x)/2n2m
|x− t|µ−1ω α+1, β+1(t) dt+
+ E 0,0n [k0,0
x (t)− k(t, t)]
( ∫ x−(1+x)/2n2m
−1+
∫ 1
x+(1−x)/2n2m
)ω α+1, β+1(t)
|x− t|+
+ E 0,0n [k0,0
x (t)− k(t, t)]n∑
i 6=d=1
∣∣∣∣ λα+1, β+1i
x− ti
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣p∗n(td)− p∗n(x)
td − x
∣∣∣∣ |λα+1, β+1d |
.
Usando o fato de
ω−α−, −β−(t) ≤ c ω−α
−, −β−(x) para t ∈ [x− (1 + x)/(2n2m), x+ (1− x)/(2n2m) ],
e a desigualdade (3.1) (substituindo n por nm e α+, β+ por α−, β−), obtemos
| (Ln − L)Rgn+1(x) | ≤ c ‖Rgn+1ω−α−1, −β−1‖∞
ω α+1, β+1(x) bn +
+
∣∣∣∣p∗n(td)− p∗n(x)
td − x
∣∣∣∣ |λα+1, β+1d | + E 0,0
n [k0,0x (t)− k(t, t)]
(ω α+1, β+1(x) log n+
+n∑
i 6=d=1
∣∣∣∣ λα+1, β+1i
x− ti
∣∣∣∣ ).Pelo teorema do valor médio e o Teorema 3.3.9, obtemos:∣∣∣∣p∗n(td)− p∗n(x)
td − x
∣∣∣∣= c | (p∗n)′(ξ) | ≤ sup|t|≤1−(2n)−2
c | (p∗n)′(t) | ≤ c n ‖ (p∗n)′ ‖∞,1/2,1/2,
para ξ entre x e td. Pelo Teorema 3.3.10, obtemos
‖ (p∗n)′ ‖∞,1/2,1/2 ≤ c∑
0≤i≤n
Ei[k0,0x (t)− k(t, t)] ≤ c
n∑i=1
bi,
e do Teorema 9.22 de [20], segue
se x 6∈ [t1, tn] então√
1− t2d ≤√
2 max√
1 + t1,√
1− tn ≤ c n−1,
portanto: ∣∣∣∣p∗n(td)− p∗n(x)
td − x
∣∣∣∣≤ c
∑1≤i≤n bi√1− t2d
, x 6∈ [t1, tn].
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 40
Se x ∈ [t1, tn], do Teorema 4.1 de [3], obtemos |ξ − td| ≤ c (√
1− ξ2 + n−1 )n−1.
Também de [20], Teorema 9.22, segue
1/n ≤ c√
1− tn ≤ c√
1− ξ, 1/n ≤ c√
1 + t1 ≤ c√
1 + ξ,
donde obtemos |ξ − td| ≤ c (1± ξ) e consequentemente 1± td ≤ c (1± ξ). Assim,∣∣∣∣p∗n(td)− p∗n(x)
td − x
∣∣∣∣ ≤ c
∑1≤i≤n bi√1− t2d
, x ∈ [−1, 1].
De [20], Teoremas 6.3.28 e 9.22, para α, β > −1,
λα, βi ≤ cωα+1/2, β+1/2 (ti)
n, 1 ≤ i ≤ n, n = 1, 2, · · · .
Portanto, obtemos∣∣∣∣p∗n(td)− p∗n(x)
td − x
∣∣∣∣ |λα+1, β+1d | ≤ c
ω α+1, β+1 (td)
n
n∑i=1
bi.
Pelo Lema 4.1 de [15], tem-se para −1/2 ≤ γ, δ ≤ 1/2,
n∑i 6=d=1
(1− ti)γ(1 + ti)δ
n | t− ti|≤ c ωγ−1/2, δ−1/2
n (t) log n, |t| ≤ 1,
onde
ωγ−1/2, δ−1/2n (t) =
(√1− t− 1
n
)2γ−1(√1 + t+
1
n
)2δ−1
.
Então, como ωγ, δ(t) ≤ c ωγ, δn (t) para γ, δ ≥ 0, obtemos
n∑i 6=d=1
∣∣∣∣ λα+1, β+1i (t)
x− ti
∣∣∣∣ ≤ cn∑
i 6=d=1
ωα+3/2,β+3/2 (ti)
n|x− ti|≤ c
n∑i 6=d=1
ω−α−+1/2,−β−+1/2 (ti)
n|x− ti|≤
≤ c log nω−α−,−β−
n (x) ≤ c log nω−α−,−β− (x).
Portanto,obtemos
| (Ln − L)Rgn+1(x) | ≤ c ‖Rgn+1ω−α−1, −β−1‖∞
bn ω
,α+1, β+1(x) +ω α+1, β+1(td)
n
n∑i=1
bi +
+E 0,0n [k0,0
x (t)− k(t, t)] (ω α+1, β+1(x) log n + ω−α−,−β−(x) log n ) ≤
≤ c ‖Rgn+1ω−α−1, −β−1‖∞
bn ω
−α−,−β−(x) log n +ωα+1, β+1(td)
n
n∑i=1
bi
.
Como ω α+1, β+1 (x) ≤ c ω α+1, β+1 (td), obtemos
‖ (Ln − L)Rgn+1 ‖∞,α−,β− ≤ c ‖Rgn+1ω−α−1, −β−1‖∞
(log n
nγ+
∑1≤i≤n bi
n
).
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 41
Em [1, p.68], pode ser encontrada a identidade limn−→∞
( n∑k=1
1/k − log n
)= γ, onde
γ ∼ 0.5772... é a constante de Euler-Mascheroni. Então, temos
n∑i=1
bi ≤
c se γ > 1,
c log n se γ = 1,
c∫ n
11/tγ dt ≤ c n1−γ se γ < 1
e
‖ (Ln − L)Rgn+1 ‖∞,α−,β− ≤ c ‖Rgn+1ω−α−1, −β−1‖∞
1/n se γ > 1,
log n/nγ se γ ≤ 1.
No que se segue, considere o seguinte espaço de funções.
Denição 3.3.12. Denotamos por W sγ, δ, o espaço de Sobolev ponderado denido por
W sγ, δ := f ∈ Cγ,δ : f (s−1) ∈ A.C.loc e ‖ f (s) φs ω γ, δ ‖∞ < ∞,
onde f (s−1) ∈ A.C.loc signica que f é s − 1 vezes diferenciável e f (s−1) é absolutamente
contínua em todo intervalo fechado [ c, d ]⊂ (−1, 1). Equipamos o espaço W sγ, δ com a
norma
‖ f ‖W sγ, δ
= ‖ fω γ, δ ‖∞ + ‖ f (s) φs ω γ, δ ‖∞.
O próximo teorema, apresenta a taxa de convergência da melhor aproximação polino-
mial na norma ponderada.
Teorema 3.3.13. ([9], Estimativa do tipo Jackson) Seja f ∈ W sγ, δ com s e n inteiros
positivos. Então,
E γ, δn (f) ≤ c
nsEγ+s/2, δ+s/2n−s ( f (s) ) ≤ c
ns‖ f (s) φsω γ, δ ‖∞.
Notação. Denotamos por W s, µγ, δ , o subconjunto de W s
γ, δ denido por:
W s, µγ, δ := f ∈ W s
γ, δ : f (s)φsωγ, δ ∈ H µ([−1, 1]) .
Denição 3.3.14. Denimos a função módulo de continuidade de f por:
Ωδ( f ) = supd(x,y)≤δ
| f(x)− f(y) |,
onde f é uma função a valores reais denida em [−1, 1].
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 42
Lema 3.3.15. Seja f ∈ W s, µγ, δ. Então,
E γ, δn (f) ≤ c
ns+µ‖f (s) φsω γ, δ‖∞.
Demonstração: Denimos Υ(x) = n
∫ x(1−1/n)+1/2n
x(1−1/n)−1/2n
f (s)(t)φs(t)ω γ, δ(t) dt. Então,
|Υ(x)− f (s)(x)φs(x)ω γ, δ(x) | =
= n
∣∣∣∣ ∫ x(1−1/n)+1/2n
x(1−1/n)−1/2nf (s)(t)φs(t)ω γ, δ(t)− f (s)(x)φs(x)ω γ, δ(x) dt
∣∣∣∣≤ cΩ3/2n(f (s)φsω γ, δ).
Sejam S ′(x) = f (s)(x)φs(x)ω γ, δ(x) e 0 < θ < 1/2n. Então, obtemos
|Υ(x) | = n
∣∣∣∣ ∫ x(1−1/n)+1/2n
x(1−1/n)−1/2n
S ′(t) dt
∣∣∣∣= n |S(x− x/n+ 1/2n)− S(x− x/n− 1/2n) | =
= n |S(x− x/n+ 1/2n) − S(x− x/n) + S(x− x/n) − S(x− x/n− 1/2n) | =
= n |S ′(x− x/n+ θ)− S ′(x− x/n− θ) |/2n ≤ cΩ1/n(S ′).
Destes resultados e do Teorema 3.3.13, obtemos:
E γ, δn (f) ≤ c
ns ‖f (s)φsω γ, δ −Υ‖∞ + ‖Υ‖∞ ≤
≤ c
nsΩ3/2n(f (s)φsω γ, δ) + Ω1/n(f (s)φsω γ, δ) ≤ c
ns+µ.
No entanto, o Teorema 3.3.13 não é válido para s = 0. Neste caso, devemos considerar
o seguinte:
|Υ′(x) | = n | ( fω γ, δ )(x− x/n+ 1/2n)− ( fω γ, δ )(x− x/n− 1/2n) | ≤
≤ c nΩ1/n(fω γ, δ),
e E γ, δn (Υ) = ‖(Υ− p∗n)ω γ, δ‖∞ para algum p∗n ∈ Πn. Portanto, obtemos:
E γ, δn (f) ≤ c ‖fω γ, δ −Υ‖∞ + ‖Υ(1− ω γ, δ)‖∞ + ‖(Υ− p∗n)ω γ, δ‖∞ ≤
≤ c
Ω3/2n(fω γ, δ) + Ω1/n(fω γ, δ) +
1
n‖Υ′(x)φ(x)ω γ, δ(x) ‖∞
≤
≤ c Ω3/2n(fω γ, δ) + Ω1/n(fω γ, δ) ≤ c
nµ.
Lema 3.3.16. Se g ∈ Cα+,β+, a função Rg ∈ H q([−1, 1]) para q = min 1−α−, 1− β−.
Demonstração: Seja h > 0. Então, temos
|Rg(x+ h)−Rg(x) | =
= |∫ x+h
−1g(t)ω α,β(t) dt−
∫ x−1g(t)ω α,β(t) dt | ≤ ‖ g ‖∞, α+,β+
∫ x+h
xω−α
−,−β−(t) dt ≤
≤ c 21−α−−β−B 1+x+h
2( 1 − β−, 1 − α− )− B 1+x
2( 1 − β−, 1 − α− )
,
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 43
onde Bx (a, b) é a função beta incompleta. De [1], equações 6.6.8 e 15.3.3, obtemos
Bx (a, b) = a−1 x a2F1[a, 1 − b; a + 1 ; x ] e
2F1[a, b; c; z] = (1− z)c−a−b2F1[c− a, c− b; c; z],
onde 2F1(a, b; c; z) é a função hipergeométrica de Gauss. A partir destas identidades,
obtemos
B 1+x2
( 1 − β−, 1 − α− ) = (1 − β−)−1(1 + x
2
)1−β−
2F1[ 1 − β−, α−; 2 − β−; (1 + x )/2 ] =
= (1− β−)−1
(1 + x
2
)1−β−(1− x2
)1−α−
2F1[ 1, 2− β− − α−; 2− β−; (1 + x)/2 ] =
= 2−2+β−+α− (1− β−)−1 ω1−β−,1−α−(x) 2F1[ 1, 2− β− − α−; 2− β−; (1 + x)/2 ].
Por denição
2F1[a, b; c; z] =∞∑n=0
(a)n(b)n(c)n
zn
n!
onde (a)n = Γ(a + n)/Γ(a) é o símbolo de Pochhammer. Disto, para algum 0 < θ < 1
obtemos
| 2F1[ 1, 2− β− − α−; 2− β−; (1 + x+ h)/2 ]− 2F1[ 1, 2− β− − α−; 2− β−; (1 + x)/2 ] | =
=
∣∣∣∣ ∞∑n=0
(1)n(2− β− − α−)n(2− β−)n
(1 + x+ h)n − (1 + x)n
2nn!
∣∣∣∣==
∣∣∣∣ ∞∑n=0
(1)n(2− β− − α−)n(2− β−)n
h [ (1 + x+ θh)n ]′
2nn!
∣∣∣∣==
∣∣∣∣ ∞∑n=1
(1)n(2− β− − α−)n(2− β−)n
h
2Γ(n)
(1 + x+ θh
2
)n−1 ∣∣∣∣≤≤ h
2
∞∑n=1
Γ(n+ 1)Γ(n+ 2− β− − α−)Γ(2− β−)
Γ(n+ 2− β−)Γ(2− β− − α−)Γ(n)=
h
2
(1− β−)(2− α− − β−)
(1− α−)(2− α−)≤ c h.
De [18, p. 12], se σ1 6= σ2 são números positivos e 0 ≤ µ ≤ 1, então |σµ1−σµ2 | ≤ | σ1−σ2 |µ.
Portanto, ω1−β−,1−α− ∈ H ([−1, 1]) q onde q = min 1− α−, 1− β−, e a função
B 1+x2
(1 − β−, 1 − α− ) ∈ H q([−1 , 1 ]).
Logo, Rg ∈ H q([−1, 1]).
No próximo lema, são vericadas as condições necessárias para que a função Rg per-
tença a W sα−,β− para o maior s possível, e a qual H q′([−1, 1]), Rg(s)φsω α−,β− pertence.
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 44
Lema 3.3.17. Se g ∈ Cα+,β+, então Rg ∈ W s, q′
α−,β− para
q′ = min1− α−, 1− β−, 1/2, α−0 , β−0 e
s =
2 se ( f − a2 )′ ∈ Cα−+1, β−+1 e ∂l(x, t)/∂x satifaz as condições da proposição
(3.2.6) com ρ ≤ 1 + α−, τ ≤ 1 + β−,
1 caso contrário.
Demonstração: Primeiramente, veriquemos o maior valor de s para o qual
Rg(s) ∈ W sα−,β− . É claro que Rg ∈ W 1
α−,β− mas,
Rg(2)(x) = g′(x)ω α,β(x) + g(x)ω α−1,β−1(x)[ β − α− (α + β)x ].
∴ Rg ∈ W 2,qα−,β− se g
′ existir e ‖ g′ω α+,β+φ2 ‖∞ <∞.
No entanto, mesmo que Rg ∈ W 2α−,β− ,
Rg(3)(x) = g(2)(x)ω α,β(x) + 2g′(x)ω α−1,β−1(x)[ β − α− x ]+
+ g(x)ω α−2,β−2(x) β(β − 1)(x− 1)2 + α(1 + x)[−1 + 2β(x− 1)− x] + α2(1 + x)2
∴ Rg(3) /∈ W 3α−,β− , em geral.
Então s é no máximo igual a 2. Agora, vamos vericar as condições necessárias para que
isto ocorra. Pela equação (2.6), obtemos
a1(ωα, β(x)g(x))′ = f ′ − a2(x)′Rg(x)− a2(x)ωα, β(x)g(x)−∫ 1
−1
∂
∂xl(x, t)Rg(t) dt −
− b1
π
∂
∂x
(−∫ 1
−1
ωα, β(t)g(t)
t− xdt
). (3.4)
Se fazemos uma integração por partes na última integral da equação (3.4), e em seguida
aplicamos o Lema 3.3.16, obtemos:∣∣∣∣ ∂∂x(−∫ 1
−1
ωα, β(t)g(t)
t− xdt
) ∣∣∣∣= ∣∣∣∣−∫ 1
−1
(ωα, βg )(t)
(t− x)2dt
∣∣∣∣= 2
∣∣∣∣−∫ 1
−1
Rg(t)
(t− x)dt
∣∣∣∣≤≤ 2
∣∣∣∣−∫ 1
−1
Rg(t)−Rg(x)
(t− x)dt
∣∣∣∣+ 2
∣∣∣∣Rg(x)−∫ 1
−1
1
(t− x)dt
∣∣∣∣≤ c [ (1− x)q + (1 + x)q ]+
+ 2Rg(x) log
∣∣∣∣1− x1 + x
∣∣∣∣, onde q = min1− α−, 1− β−.
Portanto, obtemos∥∥∥∥φ2(x)ω α−,β−(x)
∂
∂x
(−∫ 1
−1
ωα, β(t)g(t)
t− xdt
)∥∥∥∥∞<∞ e
∂
∂x
(−∫ 1
−1
ωα, β(t)g(t)
t− xdt
)∈ AC(−1, 1),
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 45
pois pela teoria do Capítulo 1, a derivada da integral em questão satisfaz a condição
H ([−1, 1]).
Pela Proposição 3.2.6, se ∂ l(x, t)/∂x ∈ Cρ,τ,x∩Cν,ζ,t com ν+α−, ς+β− < 1, obtemos
∂(LRg)/∂x ∈ Cρ,τ . Neste caso, se ρ ≤ α− + 1, τ ≤ β− + 1, tem-se∥∥∥∥φ2(x)ωα−, β−(x)
∫ 1
−1
∂
∂xl(x, t)Rg(t) dt
∥∥∥∥∞
limitado.
Pela Proposição 3.2.7, se l(x, t) = [k(x, t) − k(t, t)]/(t − x) com k(x, t) ∈ C0,0,x ∩ C0,0,t,
LRg ∈ Cα−, β− . Se ∂l(x, t)/∂x = ∂2k(x, t)/∂x2 existe e satisfaz as condições da Proposição
3.2.6, podemos avaliar a limitação de [ ∂ (LRg )/∂x ]φ2ωα−, β−(x) conforme anterior-
mente.
Logo, Rg ∈ W sα−, β− onde
s =
2 se ( f − a2 )′ ∈ Cα−+1, β−+1 e ∂l(x, t)/∂x satifaz as condições da Proposição
3.2.6 com ρ ≤ 1 + α−, τ ≤ 1 + β−,
1 caso contrário.
Pelo Teorema 3.3.13 e o Lema 3.1.8, Rg(s)φs ωα−, β− ∈ H q([−1, 1]) para algum
0 < q ≤ 1. Uma propriedade das funções que satisfazem a condição de Hölder, (veja
[18, p. 16]), arma que: para uma função u(s) ∈ H µ em algum intervalo s1 ≤ s ≤ s2,
se f(u) é denida para valores de u neste mesmo intervalo, tal que f ′(u) é limitada, então
f(u) ∈ H µ. Se aplicamos esta propriedade em f(Rg(1)φωα−, β−) =
∫ x−1
[Rg(1) φωα−, β− ](t) dt,
como∫ x−1
[Rg(1)φωα−, β− ](t) dt = (Rg φωα
−, β−)(x)−∫ x−1Rg(t) [ωα
−, β−(t)φ(t) ]′ dt =
= (Rg φωα−, β−)(x)− (Rg ωα
−, β−)(ξ) [ β− − α− − (α− + β− + 1)ξ ]∫ x−1φ−1(t) dt =
= (Rg φωα−, β−)(x) + cB 1+x
2( 1/2 , 1/2 ),
concluímos que Rg(1)φωα−, β− ∈ H q′([−1, 1]), onde q′ = min 1−α−, 1−β−, 1/2, α−0 , β−0 .
Procedendo de forma análoga com o termo Rg(2)φ2 ωα−, β− , obtemos:∫ x
−1[Rg(2)φ2 ωα−, β− ](t) dt = (Rg(1)φ2 ωα
−, β−)(x)−∫ x−1Rg
(1)(t) [φ2(t)ωα−, β−(t) ]′ dt =
= (Rg(1)φ2 ωα−, β−)(x)− [Rg(1) φωα
−, β− ](ξ)[−2ξ + β−(1− ξ)− α−(1 + ξ) ]∫ x−1 φ
−1(t) dt,
que nos leva a concluir que Rg(2)φ2 ωα−, β− ∈ H q′([−1, 1]).
Observe que devido às condições −1 < α, β < 0 serem verdadeiras quando
κ = 1, obtemos 0 < α−, β− < 1 e portanto, α−0 = α− e β−0 = β−. Então neste caso,
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 46
q′ = min1 − α−, 1 − β−, 1/2. Além disso, este lema nos diz que mesmo a função g
sendo desconhecida, a partir das funções a2, f e l podemos indicar uma estimativa do tipo
Jackson para o termo Rg, e esta estimativa é no máximo 5/2.
Para demonstrarmos a convergência do MCP é necessário mostrar que o
operador linear [I + HPn−1(ΓR + LR) ]−1 é limitado. Para isto, utilizamos o próximo
lema provado em [2, p. 15].
Lema 3.3.18. Sejam X e Y espaços de Banach e T, S : X → Y operadores lineares
limitados, tais que S−1 existe e ‖T − S‖ ‖S−1‖ < 1. Então,
‖T−1‖ ≤ ‖S−1‖1− ‖S−1‖ ‖T − S‖
.
Lema 3.3.19. Suponha que o operador I + H(D + L)R seja continuamente inversível
em Cα−,β−, e as condições das Proposições 3.2.6 ou 3.2.7 e 3.2.9 sejam satisfeitas. Então,
para n sucientemente grande,
‖ [I + HPn−1(DR + LR) ]−1‖∞,α+,β+ ≤
≤‖ [ I + H(D + L)R ]−1‖∞,α+,β+
1− ‖ [ I + H(D + L)R ]−1‖∞,α+,β+ ‖H[Pn−1(D + L ) − (D + L) ]R ‖∞,α−,β−.
Demonstração: Pelas Proposições 3.2.4, 3.2.6 ou 3.2.7 e 3.2.9, o operador
H(D + L)Rg e consequentemente o operador HPn−1(DRg + LRg), são limitados em
Cα−,β− . Pelos Lemas 3.1.8, 3.3.6 e 3.3.15, obtemos HPn−1(DR+LR)g −→ H(D+L)Rg
uniformemente quando n→∞. Então, para n sucientemente grande, obtemos
‖ [ I + HPn−1(D+L)R ]− [ I + H(D+L)R ] ‖∞,α−,β− ‖ [ I + H(D+L)R ]−1 ‖∞,α+,β+ ≤ 1,
e aplicando o Lema 3.3.18, obtemos o resultado.
O teorema a seguir, nos apresenta uma estimativa para a constante de Lebesgue pon-
derada, que utilizamos na demonstração do teorema da convergência uniforme ponderada
do MCP.
Teorema 3.3.20. ([16], Teorema 4.3.1) Sejam f ∈ Cρ,τ e Pn−1f calculada nos zeros
de P σ,ςn (x), σ, ς > −1. Se as condições
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 47
σ
2+
1
4≤ ρ ≤ σ
2+
5
4,
ς
2+
1
4≤ τ ≤ ς
2+
5
4,
forem satisfeitas, então
‖Pn−1f‖∞, ρ, τ ∼ log n,
onde as constantes relacionadas a ∼ são independentes de n.
Teorema 3.3.21. Sejam a2 ∈ W r, υ0,0 , f ∈ W r′, η
α−, β−, Rg ∈ W s, q′
α−, β− e LRg ∈ W r, να−, β−.
Suponha também que l α−, β−
x ∈ W r,µν,ς , para ν, ς constantes não negativas tais que ν+α− < 1
e ς + β− < 1, ou se l(x, t) = [ k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) seja k0, 0x , k0, 0
t ∈ W r,µ0, 0. Então para
n sucientemente grande
‖ g − gn ‖∞,α+, β+ ≤ clog2 n
np, p = minr + υ, r′ + η, s+ q′, r + ν, r + µ− ε,
sendo queε = 0 se lρ, τx ∈ W r,µ
ν,ς ,
0 < ε 1 se r + µ ≤ 1 e l(x, t) = [ k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e k0, 0x , k0, 0
t ∈ W r,µ0, 0,
ε = r + µ− 1 se r + µ > 1, e l(x, t) = [ k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e k0, 0x , k0, 0
t ∈ W r,µ0, 0.
Demonstração: Temos que
[I + H(D + L)R ] g = Hf + g0
[I + HPn−1(D + Ln)R ] gn = HPn−1f + g0.
Se g0 é determinada de forma única conforme a condição 2.9, e [I + H(D + L)R ]−1
existe, pelo Lema 3.3.8, para n sucientemente grande LnRg −→ LRg, e portanto, no
Lema 3.3.19 podemos substituir L por Ln, e as equações anteriores possuem solução única.
Além disso, obtemos
[I + HPn−1(DR + LR) ](g − gn) = H ( f − Pn−1f )− (DR− Pn−1DR )g−
− (LR− Pn−1LR )g − Pn−1 (LR− LnR ) gn ,
e aplicando o Lema 3.3.19, obtemos
‖g − gn‖∞,α+, β+ ≤ c ‖H (f − Pn−1f)‖∞,α+,β+ + ‖H (DR− Pn−1DR)g‖∞,α+,β++
+ ‖H (LR− Pn−1LR )g‖∞,α+,β+ + ‖H Pn−1 (LR− LnR )gn‖∞,α+,β+ .
3.3. CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE COLOCAÇÃO POLINOMIAL 48
Pelo Lema 3.3.6 e pelo Corolário 3.2.3, obtemos
‖g − gn‖∞,α+, β+ ≤ c log n ‖Pn−1‖∞,α−,β−Eα−,β−
n−1 (f) + E α−,β−
n−1 (DRg) + E α−,β−
n−1 (LRg) +
+ log(n− 1) ‖Pn−1 (LRgn − LnRgn) ‖∞,α+,β+ ≤ c log n ‖Pn−1‖∞,α−,β− Eα−,β−
n−1 (f) +
+E α−,β−
n−1 (DRg) + E α−,β−
n−1 (LRg ) + ‖ (LR− LnR )gn ‖∞,α−,β− .
Como LRg ∈ W r, να−, β− , se l
α−, β−x ∈ W r+µ
ν,ς,t podemos concluir que l ∈ CBα−, β−,x ∩ CC
ν,ς,t
para B = bn, bn = O(n−r−ν), e C = cn, cn = O(n−r−µ). Portanto, o Lema 3.3.8 pode
ser aplicado. Por outro lado, se l(x, t) = [ k(x, t) − k(t, t) ]/(t − x) com k0,0x , k0,0
t ∈ Wr,µ0,0 ,
então k ∈ CB0,0,x∩CB
0,0,t para B = bn, bn = O(n−r−µ), e o Lema 3.3.11 pode ser aplicado.
Pelo teorema 3.3.20, obtemos:
‖g − gn‖∞,α+, β+ ≤ c log2 n E α−,β−
n−1 (f) + E α−,β−
n−1 (DRg) + E α−,β−
n−1 (LRg ) +
+ c log2 n
E ν,ςn (l ρ,τx ) se l ∈ CB
ρ, τ,x ∩ Cν,ς,t,
n−( r+µ ) log n se l(x, t) = [ (k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e r + µ ≤ 1,
n−1 se l(x, t) = [ (k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e r + µ > 1.
Aplicando a Proposição 3.2.9 e o Lema 3.3.15, obtemos
‖g − gn‖∞,α+, β+ ≤ c log2 n
1
nr′+η‖f (r′)
ϕr′ωα−,β−‖∞ +
1
ns+q′‖ (Rg)(s) ϕsωα
−,β−‖∞+
+1
nr+υ‖ a(r)
2 ϕrωα−,β−‖∞ +
1
nr+ν‖ (LRg )r ϕrωα
−,β−‖∞
+
+ c log2 n
n−( r+µ ) se l(x, t) ∈ CB
ρ, τ,x ∩ Cν,ς,tn−( r+µ ) log n se l(x, t) = [ (k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e r + µ ≤ 1,
n−1 se l(x, t) = [ (k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e r + µ > 1.
Então, obtemos
‖g − gn‖∞,α+, β+ ≤ c
nplog2 n, p = minr′ + η, s+ q′, r + υ, r + ν, r + µ− ε,
comε = 0 se lρ, τx ∈ W r,µ
ν,ς ,
0 < ε 1 se r + µ ≤ 1 e l(x, t) = [ k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e k0, 0x , k0, 0
t ∈ W r,µ0, 0,
ε = r + µ− 1 se r + µ > 1, e l(x, t) = [ k(x, t)− k(t, t) ]/(t− x) e k0, 0x , k0, 0
t ∈ W r,µ0, 0.
Deste teorema, concluímos que a convergência do MCP depende da regularidade das
funções da EIDS proposta. No entanto, pelo Lema 3.3.17, p é no máximo 5/2.
Capítulo 4
Outros métodos numéricos do tipo
colocação polinomial
4.1 Equação integro-diferencial singular analisada de
outra forma
Em [4], [5] e [14], os autores investigam a equação
a1ϕ′(x) +
b1
π
∫ 1
−1
ϕ′(t)
t− xdt+ a2(x)ϕ(x) +
1
π
∫ 1
−1
l(x, t)ϕ(t)dt = f(x), |x| < 1, (4.1)
com a condição de fronteira
ϕ(−1) = ϕ(1) = 0,
onde a1 e b1 são constantes dadas tais que a21 + b2
1 = 1. As funções a2, f ∈ C[−1, 1] e
l ∈ C[−1, 1]2, em [4] e [5], e a2, f ∈ C(−1, 1) e l ∈ C(−1, 1)2, em [14], são funções dadas.
Nestes artigos, os autores aplicam a identidade
d
dx−∫ 1
−1
ϕ(t)
t− xdt = −
∫ 1
−1
ϕ′(t)
t− xdt−
(ϕ(−1)
1 + x+ϕ(1)
1− x
), −1 < x < 1,
e a equação (4.1) é resolvida na forma:
d
dx
[a1ϕ(x) +
b1
π
∫ 1
−1
ϕ(t)
t− xdt
]+ a2(x)ϕ(x) +
1
π
∫ 1
−1
l(x, t)ϕ(t)dt = f(x), |x| < 1, (4.2)
impondose ϕ(−1) = ϕ(1) = 0.
49
CAPÍTULO 4. OUTROS MÉTODOS NUMÉRICOS DO TIPO COLOCAÇÃOPOLINOMIAL 50
Aproximamos a função u(x) por un−1(x) = c0Pρ,τ0 (x) + c1P
ρ,τ1 (x) + ... + cn−1P
ρ,τn−1(x),
onde cj são constantes desconhecidas e denidas em [22], equação (9.1.1), por:
cj =
[2ρ+τ+1
2j + ρ+ τ + 1
Γ(j + ρ+ 1) Γ(j + τ + 1)
Γ(j + 1)Γ(j + ρ+ τ + 1)
]−1∫ 1
−1
ωρ,τ (x)P ρ,τj (x)u(x)dx,
j = 0, · · · , n−1. Observe que neste caso, não podemos considerar c0 = 0, pois∫ 1
−1ϕ(x) dx
pode não ser nula. Observe também que deste ponto de vista, ao contrário do obtido no
Capítulo 2, devemos ter ρ, τ > 0 e portanto
ρ = ρ+ − ρ− ⇒ ρ+ > ρ− e τ = τ+ − τ− ⇒ τ+ > τ−. (4.3)
Quando substituímos u(x) por un−1(x) em (4.2), obtemos o resíduo
rn(x) =∑n−1
j=0 cj
d
dx
[a1 ω
ρ,τ (x)P ρ,τj (x) +
b1
π−∫ 1
−1
ωρ,τ (t)P ρ,τj (t)
(t− x)dt
]+
+ a2(x)ωρ,τ (x)P ρ,τj (x) +
∫ 1
−1
l(x, t)ωρ,τ (t)P ρ,τj (t) dt
−f(x).
Pelo Lema 2.2.2, a equação anterior pode ser reescrita como
rn(x) =∑n−1
j=0 cj
d
dx
[−2b1
sen(πρ)P−ρ, −τj+1 (x)
]+a2(x)ωρ,τ (x)P ρ,τ
j (x) +
+∫ 1
−1l(x, t)ωρ,τ (t)P ρ,τ
j (t) dt
−f(x)
e aplicando a equação (2.19), obtemos
rn(x) =n−1∑j=0
cj
−b1(j − ρ− τ + 2)
senπρP−ρ+1, −τ+1j + a2(x)ωρ,τ (x)P ρ,τ
j (x) +
+∫ 1
−1l(x, t)ωρ,τ (t)P ρ,τ
j (t) dt
−f(x).
Pela unicidade da solução ϕ(x), α = ρ− 1 e β = τ − 1. Sendo assim, a quadratura do
termo∫ 1
−1l(x, t)ωρ,τ (t)P ρ,τ
j (t) dt é calculada nos mesmos pontos de (2.17).
Para que possamos obter uma estimativa da ordem de convergência do MCP aplicando
o Teorema 3.3.21, devemos ter f ∈ W r′+ηρ−, τ− , LRg ∈ W r+ν
ρ−, τ− e l ρ−, τ−
x ∈ W r,µν,ς , para
ν + ρ−, ς + τ− < 1 quando l ∈ Cρ−, τ−, x ∩ C ν, ς, t. Então uma restrição maior quanto a
regularidade dessas funções é exigida, em comparação com a análise do Capítulo 2, pois
por (4.3), Cρ−, τ− é um espaço de funções mais restrito que Cα−, β− . Isto pode levar, ao
aplicar o Teorema 3.3.21 na equação (4.1), a uma estimativa menor que a obtida quando
CAPÍTULO 4. OUTROS MÉTODOS NUMÉRICOS DO TIPO COLOCAÇÃOPOLINOMIAL 51
analisamos a EIDS como no Capítulo 2, como ocorre no Exemplo 3 a seguir, onde a função
f ∈ W 1,ηρ−, τ− , para ρ
− = τ− < 1/2 e η = 1/2− ε, com ε > 0 arbitrário.
Em [4], a equação (4.1) para a1 = 0 é analisada em espaços L2 ponderados, obtendo-se
uma estimativa para a taxa de convergência dependente de restrições bastante parecidas
com as apresentadas no parágrafo anterior. Em [14], a limitação dos operadores integrais
é discutida em espaços L1 ponderados, tendo restrições sobre as funções f e l diminuídas.
Em ambos os casos, as estimativas são bastante parecidas com as apresentadas aqui.
4.2 Convergência do método de colocação na norma
uniforme
Considere a EIDS
1
π−∫ 1
−1
ϕ′(t)
t− xdt+
∫ 1
−1
l1(x, t)ϕ′(t) dt+ a2(x)ϕ(x) +
∫ 1
−1
l2(x, t)ϕ(t) dt = f(x),
|x| < 1,
(4.4)
onde a2, f ∈ H ([−1, 1]) e l1,2 ∈ H ([−1, 1]2). As condições de fronteira ϕ(−1) = ϕ(1) = 0
também devem ser satisfeitas.
Quando aplicamos a mudança de variável
u(x) = ϕ′(x)⇒ ϕ(x) =
∫ x
−1
u(t) dt,
a equação (4.4) pode ser reescrita como:
1
π−∫ 1
−1
u(t)
t− xdt+
∫ 1
−1
l1(x, t)u(t) dt+ a2(x)
∫ x
−1
u(t) dt+
∫ 1
−1
l2(x, t)
[∫ t
−1
u(s) ds
]dt =
= f(x), (4.5)
com∫ 1
−1u(t) dt = 0.
De acordo com o Capítulo 2, uma solução de classe h0 da equação (4.5), é dada por
u(x) = g(x)ω α,β(x), α = β = −1/2.
Em [19], é apresentada uma análise do MCP aplicado à equação (4.4), segundo a
norma uniforme. Para demonstrar o teorema da convergência do MCP nesta norma, foi
utilizado o teorema a seguir.
CAPÍTULO 4. OUTROS MÉTODOS NUMÉRICOS DO TIPO COLOCAÇÃOPOLINOMIAL 52
Teorema 4.2.1. ([21], Desigualdade de Jackson) Seja f ∈ C(s)[−1, 1], tal que
f (s) ∈ H µ([−1, 1]). Então,
En(f) = infpn∈Πn
‖ f − pn ‖∞ ≤c
ns+µ.
Como o termo Rg(x) =∫ x−1ωα,β(t) g(t) dt, é tal que Rg 6∈ C(1)[−1, 1], então pelo Lema
3.3.16,
En(Rg ) ≤ c
n1/2.
Por este motivo, a análise de convergência do MCP na norma uniforme, aplicado a uma
equação da forma (4.4), assegura uma taxa de conververgência de no máximo 1/2.
4.3 Método Multhopp
Nesta seção, apresentamos o método Multhopp conforme descrito em [13]. Este método
resolve numericamente equações de Prandtl:
ϕ(x)
a2(x)− 1
2π−∫ 1
−1
ϕ′(t)
t− xdt = f(x), (4.6)
com a condição de fronteira
ϕ(−1) = ϕ(1) = 0,
onde a2(x) e f(x) são funções dadas em [−1, 1], tais que a2(x) não se anula, exceto
possivelmente nos extremos, e a2, f ∈ H ([−1, 1]).
Fazemos a mudança de variáveis x = cosϑ e t = cos τ (e denimos novamente
ϕ(cosϑ) = ϕ(ϑ)), e a equação (4.6) é reescrita como:
ϕ(ϑ)
a2(ϑ)+
1
2π−∫ π
0
ϕ′(τ)
cos τ − cosϑdτ = f(ϑ). (4.7)
Aplicamos uma interpolação de Lagrange na função ϕ(ϑ), onde os nós utilizados são os
nós de Chebyshev de segunda espécie de grau n,
xi = cos(ϑi), ϑi =iπ
n+ 1, 1 ≤ i ≤ n,
e obtemos
Pn−1 ϕ(x) =2
n+ 1
n∑i=1
ϕ(xi)n∑
m=1
sen (mϑi) sen (mϑ). (4.8)
CAPÍTULO 4. OUTROS MÉTODOS NUMÉRICOS DO TIPO COLOCAÇÃOPOLINOMIAL 53
Se derivamos Pn−1 ϕ(x) com respeito a ϑ e aplicamos identidades conhecidas, obtemos:
1
2π−∫ π
0
ϕ ′(τ)
cos τ − cosϑd τ ' 1
2π−∫ π
0
(Pϕ)′(τ)
cos τ − cosϑd τ =
=1
π(n+ 1)
n∑i=1
ϕ(xi)n∑
m=1
m sen (mϑi)−∫ π
0
cosmτ
cos τ − cosϑd τ =
=1
n+ 1
n∑i=1
ϕ(xi)n∑
m=1
m sen (mϑi)sen (mϑ)
senϑ.
(4.9)
Ao substituirmos ϕ(x) por Pn−1 ϕ(x) em (4.7), considerando ϑ = ϑj, j = 1, · · · , n, e
aplicando as expressões (4.8) e (4.9), obtemos o sistema de equações a ser resolvido
Aϕ = f , onde
Ai,j =1
n+ 1
[∑nm=1 sen (mϑi)sen (mϑj)
(2
a2(ϑj)+
m
senϑj
)],
ϕ = [ϕ(ϑ1) · · ·ϕ(ϑn)]> e f = [f(ϑ1) · · · f(ϑn)]>, 1 ≤ j ≤ n.
(4.10)
A solução do sistema (4.10) é aplicada na expressão (4.8), que aproxima a solução de
(4.7).
O método Multhopp pode ser estendido para EIS da forma:
1
2π−∫ 1
−1
ϕ (t)
t− xdt +
1
2π
∫ 1
−1
l(x, t)ϕ(t) dt = f(x), (4.11)
para ϕ(x) = ϕ0(x) (1−x)ρ(1+x)τ com ρ = τ = ±1/2 ou ρ = −τ = ±1/2, e l(x, t) contínua
em [−1, 1]2. Para o caso ρ = τ = 1/2, através de uma quadratura de Gauss-Chebyshev
obtemos:
1
2π
∫ 1
−1
l(x, t)ϕ(t) dt ' 1
2(n+ 1)
n∑i=1
senϑi l(cosϑ, cosϑi)ϕ0(ϑi). (4.12)
Nos exemplos do Capítulo 5 em que a1 = 0 e ϕ(−1) = ϕ(1) = 0, aplicamos o método
Multhopp adaptado para equações da forma (4.1), onde os termos
a2(x)ϕ(x) − 1
π−∫ 1
−1
ϕ′(t)
t− xdt e
1
π
∫ 1
−1
l(x, t)ϕ(t) dt
são calculados de forma análoga à (4.10) e (4.12) respectivamente. Nos casos em que
a1 6= 0, não é possível aplicar o método Multhopp, sendo esta a desvantagem deste
método em relação ao MCP, pois como veremos a seguir, o método de Colocação é tão
eciente quanto o método Multhopp.
Capítulo 5
Exemplos Numéricos
Nesta seção, apresentaremos alguns exemplos numéricos que conrmam os resultados
teóricos obtidos na seção anterior.
O MCP provém da aproximação de g(x) pelo polinômio gn(x), conforme denido na
equação (2.10). Sendo assim, a aproximação de ϕ(x) é dada por
ϕn(x) =
∫ x
−1
gn(t)ω α, β(t) dt =n∑j=1
cj
∫ x
−1
P α, βj (t)ω α, β(t) dt
e pela identidade (2.13), obtemos
ϕn(x) = −n∑j=1
cj2jP α+1, β+1j−1 (x)ω α+1, β+1(x).
Lembramos que pela Observação 3.2.8, se g ∈ Cα+, β+ então ϕ ∈ C0, 0, e apenas
por conveniência nas demostrações sobre a convergência do MCP aproveitamos o fato de
C0, 0 ⊂ Cα−, β− . Por este motivo, os resultados numéricos serão indicados por
en = ‖ϕ− ϕn ‖∞.
Os dois primeiros exemplos que tratamos aqui, foram propostos em [19].
Exemplo 1
Considere a equação
ϕ(x) +1
π−∫ 1
−1
ϕ′(t)
t− xdt+
∫ 1
−1
cosx
1 + (xt)2ϕ(t) dt = ϕ(x) +
2x
π√
1− x2log
∣∣∣∣√
1− x2 − x+ 1√1− x2 + x− 1
∣∣∣∣, (5.1)
com a condição de fronteira ϕ(−1) = ϕ(1) = 0.
54
CAPÍTULO 5. EXEMPLOS NUMÉRICOS 55
A solução analítica desta equação é
ϕ(x) =
√
1− x2 +2
π(arccos(x)− π) se x ≤ 0,
2
πarccos(x)−
√1− x2 se x ≥ 0,
com ϕ′(x) = (|x| − 2/π)/√
1− x2, isto é ωα,β(x) = 1/√
1− x2 e g(x) = |x| − 2/π.
Como l(x, t) = cosx/[1 + (xt)2], então l ∈ C0,0,x ∩ C0,0,t, LRg ∈ W ∞1/2,1/2 e
l1/2,1/2x ∈ W ∞
0, 0. A função a2 ∈ W∞1/2,1/2 e f ∈ C1/2,1/2, sendo que
f ′(x) =1√
1− x2
sx− 2
π
[1 +
1√1− x2
− 2 log
(1− x+
√1− x2
x− 1 +√
1− x2
)/(1− x2)
],
onde s = −1 se x ≤ 0 e s = 1 se x ≥ 0. Portanto, f ∈ W0, 1/2
1/2,1/2 e pelo Lema 3.3.17,
Rg ∈ W 1,1/21/2,1/2. Então, pelo Teorema 3.3.21 a estimativa para o erro é log2 n/n1/2.
n 2 4 8 16 32 64
e(1)n 0.03747 0.018804 0.005686 0.001399 0.000341 0.000340
τ (1) 0.994808 1.725474 2.022615 2.039638 2.025002
e(2)n 0.051386 0.016672 0.004782 0.001258 0.000321 0.000081
τ (2) 1.623958 1.801683 1.926198 1.969541 1.985031
Tabela 5.1: (1)-MCP; (2)-Método Multhopp.
A Tabela 5.1 mostra uma aproximação da taxa de convergência para os métodos de
Colocação e Multhopp, calculada da forma τ = log(ene2n
)/ log 2.
Os resultados obtidos neste exemplo mostram que o MCP é tão eciente quanto o mé-
todo Multhopp, em se tratando de aproximar numericamente equações do tipo Prandtl's,
com a vantagem de ser mais geral. Além disso, a Tabela 5.1 mostra uma taxa de con-
vergência de aproximadamente 2, melhor que a estimativa que obtivemos aplicando o
Teorema 3.3.21. Esta variação se deve à limitação do Teorema 3.3.21 para obter uma
estimativa mais próxima da observada na prática em certos casos.
No próximo exemplo, mostramos como as estimativas dependem fortemente da regu-
laridade de l(x, t) e de f(x), propondo l(x, t) não regular em ambas as variáveis o que leva
à não regularidade de f(x), depois regular apenas em relação a x, levando a regularidade
de f(x) também, e nalmente regular.
CAPÍTULO 5. EXEMPLOS NUMÉRICOS 56
Exemplo 2
Considere a equação
√1− x2 ϕ(x)− 1
π−∫ 1
−1
ϕ′(t)
t− xdt+
1
π
∫ 1
−1
( |x|+ | t| )ϕ(t) dt = 2− x2 +|x|2
+2
3π,
com a condição de fronteira ϕ(−1) = ϕ(1) = 0.
A solução analítica desta equação é ϕ(x) =√
1− x2, sendo então g(x) = −x e
ω α, β(x) = 1/√
1− x2.
Como l(x, t) ∈ C0,0,x ∩ C0,0,t, obtemos LRg ∈ W0,1/2
1/2,1/2 e l1/2,1/2x ∈ W 0,1
0,0. Já
a2(x) =√
1− x2, então a2 ∈ W 2,11/2,1/2 e f(x) ∈ W
0,1/21/2,1/2. Portanto, Rg ∈ W
1,1/21/2,1/2 e a
estimativa para o erro assintótico é log2 n/√n. Veja os resultados:
n 2 4 8 16 32 64
e(1)n 0.017966 0.004940 0.001477 0.000409 0.000108 0.000028
τ (1) 1.8626 1.7423 1.8521 1.9211 1.9475
e(2)n 0.016797 0.004996 0.001479 0.000409 0.000108 0.000028
τ (2) 1.7494 1.7562 1.8544 1.9211 1.9475
Tabela 5.2: (1)-MCP; (2)-Método Multhopp.
Neste caso, a solução g(x) é um polinômio de primeiro grau e era de se esperar que
a convergência dos métodos fossem imediatas, o que não ocorreu. Isto porque, outras
funções envolvidas nos cálculos, f e l, não são suaves.
Se na mesma equação escolhermos l(x, t) = x + | t|, então LRg ∈ W ∞1/2,1/2 e
l1/2,1/2x ∈ W 0,1
0,0 como anteriormente. Agora f(x) = 2−x2+x/2+2/(3π), então f ∈ W ∞1/2,1/2
e pelo Lema 3.3.17, Rg ∈ W 2,1/21/2,1/2. Então a estimativa para o erro é log2 n/n.
n 2 4 8 16 32 64
e(1)n 0.022009 0.005580 0.001632 0.000450 0.000119 0.000030
τ (1) 1.9798 1.7738 1.8598 1.91908 1.9406
e(2)n 0.019197 0.005593 0.001632 0.000450 0.000119 0.000030
τ (2) 1.7792 1.7770 1.8586 1.9190 1.9406
Tabela 5.3: (1)-MCP; (2)-Método Multhopp.
CAPÍTULO 5. EXEMPLOS NUMÉRICOS 57
Quando consideramos l(x, t) = |x| + t, obtemos f(x) = 2 − x2 + |x|/2. Então
LRg ∈ W0,1/21/2, 1/2, l
1/2,1/2x ∈ W∞
0,0, f ∈ W0,1/21/2, 1/2 e Rg ∈ W
1,1/21/2,1/2. A estimativa para o
erro é log2 n/n1/2.
Mas se consideramos l(x, t) = x + t, obtemos f(x) = 2 − x2 + x/2 e portanto,
l1/2,1/2x ∈ W∞
0,0 e f ∈ W∞1/2,1/2. Então Rg ∈ W
2,1/21/2,1/2 e a estimativa para o erro é
log2 n/n5/2. Na prática, ambos os métodos produziram a solução exata para l(x, t) = |x|+t
e l(x, t) = x+ t.
Como observamos na Tabela 5.3, mesmo com a suavidade das funções f(x) e l(x, t)
(em relação a x), os resultados foram similares aos do caso anterior. Isto mostra o quanto
a irregularidade em relação à variável de integração inuencia no resultado.
O próximo exemplo mostra porque é mais vantajoso representar a EIDS como descrito
na Seção 2.1, e não da forma descrita na Seção 4.1.
Exemplo 3
Considere a equação
1
π−∫ 1
−1
ϕ′(t)
t− xdt+ ϕ(x) +
∫ 1
−1
x | t|ϕ(t) dt = −1 +2
3x+√
1− x2, (5.2)
com a condição de fronteira ϕ(−1) = ϕ(1) = 0.
A solução analítica desta equação é ϕ(x) =√
1− x2. Portanto, ωα,β(x) = 1/√
1− x2
e g(x) = −x.
A função LRg ∈ W ∞1/2,1/2, e l
1/2,1/2x ∈ W 0,1
0,0 . Em relação à regularidade de f(x), temos:
f ′(x) =2
3− x√
1− x2, f ′′(x) = − 1
(1− x2)3/2e f ′′′(x) = − 3x
(1− x2)5/2.
Portanto f ∈ W 2,11/2,1/2, Rg ∈ W
2,1/21/2,1/2, e a estimativa para o erro é log2 n/n.
CAPÍTULO 5. EXEMPLOS NUMÉRICOS 58
n 2 4 8 16 32 64
e(1)n 0.045917 0.013604 0.004015 0.001104 0.000292 0.000075
τ (1) 1.7550 1.7606 1.8627 1.9187 1.9610
e(2)n 0.052352 0.013811 0.004015 0.001104 0.000292 0.000075
τ (2) 1.9224 1.7823 1.8627 1.9187 1.9610
Tabela 5.4: (1)-MCP; (2)-Método Multhopp.
Assim como no Exemplo 2, a irregularidade de l em relação a t limitou a estimativa
do erro a 1 − ε, ε > 0, embora na prática ambos os métodos tenham convergência de
ordem aproximadamente 2.
Quando substituímos l(x, t) = x| t| por l(x, t) = xt, obtemos f(x) = −1 +√
1− x2 e
f ′(x) = − x√1− x2
, f ′′(x) = − 1
(1− x2)3/2e f ′′′(x) = − 3x
(1− x2)5/2.
Portanto, l 1/2,1/2x ∈ W∞
0,0, f ∈ W2, 11/2, 1/2 e Rg ∈ W 2,1/2
1/2,1/2. Então, a estimativa para o erro é
log2 n/n5/2. Na prática, ambos os métodos produziram a solução exata para este caso.
Observe que neste útimo caso, se α− e β− fossem menores que 1/2, obteríamos
f ∈ W 1, qα−, β− para q = minα−, β−, o que mudaria a estimativa do erro para log2 n/n1+q,
bem menor que a obtida por nós. A estimativa para o erro log2 n/n1+q, é obtida quando
analisamos a equação (5.2) como na Seção 4.1.
O próximo exemplo, propõe a resolução de uma equação para a qual α 6= β. Conforme
descrito na Seção 4.3, este é um dos casos em que o método Multhopp não se aplica.
Exemplo 4
Considere a equação
1√2ϕ′(x)− 1√
2π−∫ 1
−1
ϕ′(t)
t− xdt+ ϕ(x) +
∫ 1
−1
|xt|ϕ(t) dt =
=1
48|x|[−14 − 3
√2 log
(cot
π
8
)]− 1
2− 1
2(1− x)1/4(1 + x)3/4
com a condição de fronteira ϕ(−1) = ϕ(1) = 0.
A solução analítica desta equação é ϕ(x) = − (1 − x)1/4(1 + x)3/4/2. Portanto,
g(x) = (2x− 1)/4 e ω α,β(x) = (1− x)−3/4(1 + x)−1/4.
CAPÍTULO 5. EXEMPLOS NUMÉRICOS 59
Neste caso, LRg ∈ W0,1/4
3/4,1/4 e l 3/4,1/4x ∈ W 0,1
0,0 . A função f ∈ W0,1/43/4,1/4 e portanto,
Rg ∈ W 1,1/43/4,1/4. Então a estimativa para o erro assintótico é log n2/n1/4. Veja os resultados
obtidos:
n 2 4 8 16 32
en 0.018785 0.003684 0.001011 0.000270 0.00070
τ 2.3502 1.8655 1.9048 1.9475
Tabela 5.5: MCP.
Se na mesma equação escolhemos l(x, t) = x| t|, então LRg ∈ W∞3/4,1/4 e
f(x) =1
48x
[−14 − 3
√2 log
(cot
π
8
)]− 1
2− 1
2(1− x)1/4(1 + x)3/4,
f ′(x) = −14
48− 3√
2
48log
(cot
π
8
)− 18
48(1− x)1/4(1 + x)−1/4 +
6
48(1− x)−3/4(1 + x)3/4,
f ′′(x) =3
8(1− x)−7/4(1 + x)−5/4,
f ′′′(x) =3 + 18x
16(1− x)−11/4(1 + x)−9/4.
Portanto, f ∈ W 2,13/4,1/4 e Rg ∈ W
2,1/43/4,1/4. No entanto, como l 3/4,1/4
x ∈ W 0,10,0 , a estimativa
para o erro é log n2/n. Os resultados obtidos foram:
n 2 4 8 16 32
en 0.013781 0.003685 0.001014 0.000272 0.000071
τ 1.9284 1.8275 1.8970 1.9432
Tabela 5.6: MCP.
Quando consideramos l(x, t) = xt, o método produz a solução exata.
Este exemplo mostra que para α 6= β, os resultados obtidos são análogos aos dos Exem-
plos 2 e 3, indicando novamente, que a não regularidade de l(x, t) inuencia fortemente
na convergência do método.
O próximo exemplo, mostra o comportamento das soluções ϕ(x), tais que
ϕ′(x) = g(x)ωα,β(x), quando α e β são próximos de 0 e −1, respectivamente. Lembramos
novamente que neste caso o método Multhopp não se aplica.
CAPÍTULO 5. EXEMPLOS NUMÉRICOS 60
Exemplo 5
Considere a equação
1
4( 1−
√5 )ϕ′(x)− 1
π
√5
8+
√5
8−∫ 1
−1
ϕ′(t)
t− xdt+ ϕ(x) +
∫ 1
−1
(|x|+ |t|)ϕ(t) dt =
= − 1.9718 − 0.914977|x| − 1
2(1− x)9/10(1 + x)1/10,
com a condição de fronteira ϕ(−1) = ϕ(1) = 0.
A solução analítica desta equação é ϕ(x) = − 1
2(1−x)9/10(1+x)1/10, o que implica em
g(x) =5x+ 4
10e ωα,β(x) = (1− x)−1/10(1 + x)−9/10.
Neste caso, LRg ∈ W 0, 1/101/10, 9/10, l
1/10, 9/10x ∈ W 0,1
0,0 e f ∈ W 0, 1/101/10, 9/10, sendo a estimativa
para o erro log2 n/n1/10.
n 2 4 8 16 32
en 0.011393 0.003207 0.000830 0.000209 0.000052
τ 1.8289 1.9500 1.98960 2.0069
Tabela 5.7: MCP.
Se na mesma equação escolhermos l(x, t) = x+ | t|, então LRg ∈ W∞1/10, 9/10 e
f(x) = − 1.9718 − 1
2(1− x)9/10(1 + x)1/10 − 0.914977x,
f ′(x) = −0.914977 + 0.45(1− x)−1/10(1 + x)1/10 − 0.05(1− x)9/10(1 + x)−9/10,
f ′′(x) = 0.09(1− x)−1/10(1 + x)−9/10 + 0.045[ (1− x)9/10(1 + x)−19/10 +
+(1− x)−11/10(1 + x)1/10 ],
f ′′′(x) = −0.1215(1− x)−1/10(1 + x)−19/10 + 0.0135(1− x)−11/10(1 + x)−9/10 −
− 0.0855(1− x)9/10(1 + x)−29/10 + 0.0495 (1− x)1/10(1 + x)−21/10.
Portanto, f ∈ W 2,11/10, 9/10 e Rg ∈ W 2, 1/10
1/10, 9/10. Mas a estimativa para o erro é log2 n/n, pois
l1/10, 9/10x ∈ W 0,1
0,0 .
Quando consideramos l(x, t) = x+ t, o método produz a solução exata.
Observamos que mesmo para valores de α e β próximos a 0 e −1 respectivamente,
o método mostrou resultados análogos aos obtidos nos Exemplos 2, 3 e 4, conforme o
esperado.
CAPÍTULO 5. EXEMPLOS NUMÉRICOS 61
n 2 4 8 16 32
en 0.0150803 0.003959 0.001015 0.000256 0.000064
τ 1.9295 1.9637 1.9873 2.0000
Tabela 5.8: MCP.
O próximo exemplo, proposto em [13], Seção 3.2, apresenta uma equação que rege o
estado de tensão em um corpo elástico, quando um disco rígido de base plana é inserido
em um orifício circular de mesmo raio em um meio elástico plano innito, pressionado por
uma força ao longo do eixo do orifício. É considerado que a tensão e a rotação se anulam
no innito.
Exemplo 6 - Disco rígido circular
Considere a equação
− 1
2π−∫ 1
−1
N ′(t)
t− xdt+
χ− 1
χ+ 1
β
x2 + β2N(x)− β2
π(x2 + β2)
∫ 1
−1
N(t)
t2 + β2dt =
=2χβ
χ+ 1
x2 − β2
(x2 + β2)2, N(−1) = N(1) = 0, (5.3)
com β = 1.20886 e χ = 5/3. A constante N representa a componente normal da força de
tensão externa agindo no centro do disco em relação ao deslocamento do disco no meio
elástico, χ representa a constante elástica do material em que o disco é inserido, e β está
associado à região de contato entre o disco e a força aplicada sobre ele.
Por considerar que o disco é tensionado em um plano elástico innito, por motivos
teóricos (descritos em [13]), a condição
c(β) =2β
π
∫ 1
−1
t2 − β2
(t2 + β2)2N(t) dt = 1
é imposta.
A Tabela 5.9, apresenta a solução numérica da equação com determinados valores
de x para n = 7 e n = 150. O termo c(β) foi aproximado por uma quadratura de
GaussChebyshev de segunda espécie.
CAPÍTULO 5. EXEMPLOS NUMÉRICOS 62
x 0 0.3827 0.7071 0.9239 c
N(1)7 -1.9173 -1.6560 -1.1084 -0.5436 0.999534
N(2)7 -1.9162 -1.6555 -1.1090 -0.5425 0.999324
N(1)150 -1.9167 -1.6556 -1.1090 -0.5426 0.999324
N(2)150 -1.9167 -1.6556 -1.1090 -0.5426 0.999324
Tabela 5.9: (1)-MCP; (2)-Método Multhopp.
Observe que a equação (5.3) não está na forma de Prandtl's, para a qual o método
Multhopp é aplicado. Mas este, pôde ser estendido aproximando o termo∫ 1
−1N(t)/(t2 + β2) dt por uma quadratura de GaussChebyshev de segunda espécie.
O próximo exemplo, proposto em [24], apresenta a equação que analisa o comporta-
mento de velas de barco sob a ação de forças hidro e aero-dinâmicas, geradas por um
escoamento não viscoso incompressível. A forma efetiva com que o escoamento afeta a
tridimensionalidade da vela, está associada à geometria e resistência da vela. O ângulo
de incidência entre a corda da vela e o escoamento do uido, são aspectos levados em
cosideração na modelagem do problema.
Exemplo 7 - Equação da Vela
Considere a equação
1
π−∫ 1
0
S ′′(t)
t− xdt− λS ′(x) = λ γ (5.4)
com as condições de fronteira S(0) = S(1) = 0 e S ′′(1) = 0. O coeciente γ denota o
ângulo entre a vela e o escoamento do uido, o parâmetro λ é uma constante inversamente
proporcional à tensão na vela, e a solução S é a ordenada da vela associada a x.
A partir de uma mudança de variável, podemos reescrever a equação (5.4) como
1
π−∫ 1
0
ϕ′(t)
t− xdt− λϕ(x) = λ γ,
com as seguintes condições de fronteira:∫ 1
0ϕ(t) dt = 0 e ϕ′(1) = 0. Com a nova mudança
de variável ϕ′(x) = u(x), obtemos
1
π−∫ 1
0
u(t)
t− xdt+ λ
( ∫ x
0
u(t) dt −∫ 1
0
∫ t
0
u(s)ds dt
)= λ γ,
CAPÍTULO 5. EXEMPLOS NUMÉRICOS 63
com a condição de fronteira u(1) = 0. Para reescrer a equação (5.4) no intervalo [−1, 1],
aplicamos outra mudança de variável, donde obtemos
1
π−∫ 1
−1
u(t)
t− xdt+
λ
2
( ∫ x
−1
u(t) dt − 1
2
∫ 1
−1
∫ t
−1
u(s)ds dt
)= λ γ, (5.5)
com a condição de fronteira u(1) = 0.A condição de fronteira no extremo x = 1, implica que o índice do problema é κ = 0
eu(x) = (1− x)1/2(1 + x)−1/2 g(x).
Toda a teoria desenvolvida anteriormente é válida, exceto pela não necessidade de con-dições adicionais.
Em [24], o autor resolveu a equação (5.5) por um método de aproximação base-
ado na transformação dessa equação utilizando fórmulas trigonométricas. Resolvemos
a equação (5.5), considerando n = 21 e os pontos de colocação x(i) = − cos(θi), onde
θi = (iπ)/(n−1), i = 0, · · · , n−1. A partir desta solução, obtemos a solução da equação
equivalente (5.4) nos pontos x(i) =1
2(1− cos(θi)). Consideramos γ = π/18 e λ = 5.507,
pois este é um dos autovalores da matriz associada ao sistema obtido para resolver a equa-
ção (5.5) pelo método de [24], o que indica soluções com ângulos de incidência críticos, o
que propicia uma mudança qualitativa no comportamento da solução.
xi S(1)/√
0.073 S(2)/√
0.073 xi S(1)/√
0.073 S(2)/√
0.073
0 0.000000 -0.000000 0.5000 -0.000933 -0.000923
0.0062 0.013530 0.013526 0.5782 -0.144977 -0.144966
0.0245 0.053225 0.053221 0.6545 -0.255501 -0.255492
0.0545 0.115068 0.115067 0.7270 -0.311230 -0.311224
0.0955 0.189678 0.189674 0.7939 -0.309007 -0.309002
0.1464 0.261087 0.261090 0.8536 -0.261570 -0.261570
0.2061 0.308207 0.308207 0.9045 -0.189926 -0.189924
0.2730 0.310063 0.3100717 0.9455 -0.115171 -0.115175
0.3455 0.253984 0.2539897 0.9755 -0.053254 -0.532535
0.4218 0.143206 0.143218 0.9938 -0.013534 -0.135392
1.0000 0.000000 0.000000
Tabela 5.10: (1)-MCP; (2)-Método de [24].
CAPÍTULO 5. EXEMPLOS NUMÉRICOS 64
Por conveniência, o autor em [24] apresentou os resultados sob a forma S/√
0.073,
onde√
0.073 é um valor associado a um pequeno ângulo crítico de incidência.
Capítulo 6
Conclusões
O objetivo desta tese, é apresentar uma estimativa para a taxa de convergência do
MCP, usado para resolver equações integrodiferenciais singulares com núcleo de Cauchy.
Os pontos de colocação usados são os zeros do n-ésimo polinômio de Chebyshev de
primeira espécie, pois conforme o Teorema 3.3.20, neste caso temos uma estimativa para
a constante de Lebesgue ponderada, necessária para estimarmos a ordem de convergência
do método. Nos casos em que se faz necessário, aplicamos uma regra de quadratura de
Gauss-Jacobi com n nós para aproximar a integral Lgn. Foram consideradas condições de
fronteira não nulas, que devido à mudanças de variáveis necessárias às resolução da EIDS,
geram novas irregularidades nos dados da equação a ser resolvida.
Apresentamos a análise de convergência do MCP segundo uma norma uniforme pon-
derada, além de uma estimativa para a taxa de convergência do método, que depende da
regularidade das funções envolvidas. Esta análise mostra que a estimativa para a taxa de
convergência do método, pode ser melhor do que aquela obtida para a norma uniforme,
devido aos requisitos de regularidade dos dados da equação (2.6) serem menores.
Em [19], é apresentada uma análise de convergência do MCP para a norma uniforme,
considerando a equação (2.1) com condições de fronteira homogêneas, a1 = 0, κ = 1 e
a2(x) 6= 0. A estimativa para a ordem de convergência obtida, é restrita a 1/2. Aqui,
foi demonstrado que mesmo quando os dados da equação são mais gerais, a estimativa
pode ser bastante melhorada, podendo chegar a 5/2, aproximandose mais da estimativa
observada na prática, conforme pode ser constatado pelos exemplos do Capítulo 5.
65
CAPÍTULO 6. CONCLUSÕES 66
A análise apresentada em [5], mostrou-se mais restritiva quanto a regularidade im-
posta nas funções f e l, que devem pertencer a um espaço de funções menos abrangente
que o considerado aqui. Isto leva em alguns casos, a uma estimativa para a ordem de
convergência menor que a possível de ser obtida pela análise apresentada aqui, conforme
discutido no Capítulo 4.
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