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01/04/2014 06:42 a.m.1UPAOUNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGODEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIASFSICA AVANZADAMOVIMIENTO OSCILATORIOAutor: Segundo Lizardo Gallardo ZamoraTrujillo-2014

MOVIMIENTO OSCILATORIOMovimiento Oscilatorio es el movimiento de vaivn que realiza un mvil bajo la accin de una fuerza que siempre est dirigida hacia su posicin de equilibrio.Ejemplo 1. En la Fig.1(a) el resorte de constante elstica k se man-tiene en equilibrio esttico bajo la accin de la fuerza deformadora F = mg aplicada en su extremo inferior y la fuerza recuperadora F del resorte. Este sistema se denomina OSCILADOR ARMNICO SIMPLE.Figura 1.En (b), jalamos la masa m hacia abajo deforma-mando el resorte hasta B en una longitud (-s), generando la fuerza recuperadora del resorte F = -ks que acelera la masa hacia la posicin de equilibrio O. La energa cintica adquirida por la masa en este trayecto se transforma en trabajo para comprimir el resorte la longitud s hasta B.

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora2Fk(a)mgk(b)BO-sF Bk(c)+s-F En (c), el resorte ejerce la fuerza recuperadora F = - k s que nuevamente acelera la masa hacia la posicin de equilibrio O.MOVIMIENTO OSCILATORIOLa fuerza recuperadora F, dirigida hacia la posicin de equilibrio es la res-ponsable de las oscilaciones de la masa entre las posiciones extremas B, B y la posicin de equilibrio O.Ejemplo 2. El movimiento de una pequea masa atada al extremo de un hilo inextensible constituye el pndulo simple de la Fig. 2.-Ejemplo 3. El movimiento de una barra suspendida de un punto lejos de su Centro de Gravedad constitu-ye el pndulo fsico de la Fig.3.AAFigura 3

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora3AAOFigura 2Posicin extremaPosicin extremaPosicin extremaPosicin extremaCGMOVIMIENTO OSCILATORIOEjemplo 4. El movimiento de rotacin parcial de un disco suspendido de un hilo o varilla delgada de metal (pndulo de torsin) Fig.4.Ejemplo 5. El movimiento de los puntos de una cuerda templada respecto a la posicin de equi-librio, Fig.5.Figura 5.

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora4Figura 4CARACTERSTICAS DEL MOVIMIENTO OSCILATORIOMOVIMIENTO OSCILATORIOOscilacin o vibracin. Es el recorrido de ida y vuelta que realiza el mvil oscilante pasando por las dos posiciones extremas.Perodo ( T ). Es el tiempo que demora el mvil oscilante en realizar una oscilacin completa. Se mide en segundos.Frecuencia ( f ). Es el el nmero de oscilaciones que realiza el mvil oscilante en la unidad de tiempo. Se mide en Oscil/s, Vibrac/s, Ciclos/s o Hertz: Hz . La frecuencia y el perodo se relacionan en forma inversa.f = 1 / T(1)

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora5Elongacin (lineal o angular). Es el desplazamiento del mvil oscilante respecto a la posicin de equilibrio en cualquier instante. MOVIMIENTO OSCILATORIOAmplitud (lineal o angular). Es la mxima elongacin lineal (xm = A) o mxima elongacin angular ( m ) que se desplaza el mvil oscilante a uno y otro lado de la posicin de equilibrio. Elongacin angular(t)OmBBFigura 7.OA- AXElongacin linealFigura 6.x (t)El desplazamiento lineal se representa por x(t), (Fig.6), se mide en [m] y el desplazamiento angular por (t), (Fig.7), se mide en [rad].

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora6 MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE (MAS)MOVIMIENTO OSCILATORIOEl estudio dinmico del MAS se hace utilizando un OSCILADOR ARMNICO SIMPLE, consistente de una masa m atada al extremo libre de un resorte de constante elstica k como en la Fig.8 El MAS es el modelo ms adecuado para el estudio y descripcin matemtica de las diversas oscilaciones peridicas que existen en la naturaleza.Las oscilaciones se inician cuando el resorte es estirado o comprimido una distancia x = A, mediante una fuerza externa F aplicada sobre m.Al cesar la fuerza externa F queda la fuerza recuperadora F del resorte que mueve la masa hacia la posicin de equilibrio x = 0.Figura 8.- A+ Aomk-FF

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora77Por la ley de Hooke, la fuerza deformadora F es directamente proporcional a la deformacin xMOVIMIENTO OSCILATORIOF = k x(2)Y como la fuerza recuperadora F es de igual mdulo pero de sentido opuesto a la fuerza deformadora (Fig.9) entonces:F = k x(3)La fuerza recuperadora acelera la masa hacia la posicin de equilibrio, incrementando su velocidad desde cero en x = A, hasta alcanzar un valor mximo en la posicin de equilibrio x = 0. xFSegn esta ecuacin, la fuerza recuperadora es mxima en los extremos (x = A) y es cero en la posicin de equilibrio (x = 0)

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora8Figura 9.kmoFECUACIN BSICA DEL MASMOVIMIENTO OSCILATORIOLa ecuacin dinmica bsica del MAS se obtiene aplicando las leyes de Newton al Oscilador Armnico Simple (OAS). F = m a = k x m = k xd2x d t2que puede escribirse en la forma:Como ya indicamos, en el OAS, la fuerza recuperadora F = - k x es la responsable del movimiento de la masa hacia la posicin de equilibrio. Entonces aplicando la segunda ley de Newton, a la Fig.10, se tiene:

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora9kmxFFigura 10o= xd2x d t2(4)kmEsta es una ecuacin diferencial homognea de segundo orden cuya solucin es una funcin del tipo x(t). MOVIMIENTO OSCILATORIOUna interpretacin matemtico-literal de la Ec.(4), nos dice que la funcin solucin x(t) debe ser tal que: su segunda derivada sea igual a la funcin misma, multiplicada por una constante con signo cambiado (en el OAS la constante es: k / m).Considerando que, en el segundo ciclo de estudios, solamente sabemos derivar y todava no sabemos resolver ecuaciones diferenciales, vamos a utilizar la conjetura como mtodo prctico para deducir la forma de la funcin matemtica x(t) que satisfaga la ecuacin diferencial del MAS (Ec.4). Este mtodo consiste en utilizar algunas de las funciones matemticas que conocemos y verificar si satisfacen la ecuacin diferencial del MAS, tal como se muestra en la Tabla 1.

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora10MOVIMIENTO OSCILATORIOTabla 1.

Nx(t)dx/dtd2x/dt2Satisface123456Segn la Tabla 1, solamente las funciones armnicas SENO y COSENO satisfacen la ecuacin diferencial del MAS. Por ser estas funciones las que satisfacen la ecuacin dinmica del OA, el movimiento se denomina MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE.

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora118t2 4t +516t 416 x(t)NO3 Sen 2t6 cos 2t 12 sen 2t = 4 x(t)SI2 e3t6e3t18e3t = 9 x(t)NO7 cos 2t 14 sen 2t 28 cos 2t = 4 x(t)SINONOLn 6t1/t 1/t2 x(t)Tan 5t5 Sec2 5t50(Sec2 5t)(Tan 5t) x(t)VEste mtodo tambin se sustenta en el grfico de la curva que des-cribe el marcador de la masa oscilante de la Fig. 11, sobre una cinta de papel que se desplaza hacia la derecha frente a la masa oscilan-te. El grfico resultante es similar al de las funciones seno o cosenoMOVIMIENTO OSCILATORIOtxA-A0Una oscilacinFigura 11. Grfico experimental descrito por un oscilador armnico similar al grfico de la funcin SENO o COSENO

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora12T/4T/23T/42TTmPor lo tanto, la funcin matemtica x(t) que satisface la ecuacin diferencial del MAS deben ser del tipo SENO COSENO, que en su forma ms simple seria: x = sen t, , x = cos t.

MOVIMIENTO OSCILATORIOx = A sen (o t + )x = A cos (o t + )oEn el desarrollo de la presente unidad analizaremos el Movimiento Armnico Simple (MAS) de una partcula a lo largo de una recta como por ejemplo el eje X,X, entre las posiciones extremas A y (-A), como en la Fig.12.

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora13Como demostraremos ms adelante, estas funciones no cam-bian su naturaleza oscilante si las escribimos en la forma:(5)x = A sen (o t + )x = A sen (wt + j) La posicin x de la partcula en funcin del tiempo t est definida por la ecuacinFigura 12. MAS de una partcula sobre el eje X-X-AAXX Donde: A , es la amplitud del MASMOVIMIENTO OSCILATORIO

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora14(o t + ), es la fase del MAS y se expresa en [rad] o , es la frecuencia angular del MAS y se mide en [rad/s] , es la fase inicial del MAS y se mide en [rad] La fase inicial es la cantidad que nos permite medir las osla-ciones desde cualquier posicin e instante iniciales en la trayec-toria de la partcula.La frecuencia angular se define comoo = 2 f = 2 T(6)xo = A sen (o (0) + )Si en to = 0 la posicin inicial de la partcula oscilante es xo, podemos usar estos valores iniciales en la Ec.(5) y obtener:xo = A sen De donde la fase inicial es: = sen-1(xo/A)(7)MOVIMIENTO OSCILATORIO

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora15Por lo tanto, la fase inicial nos permite contar las oscilaciones desde una posicin diferente a las posiciones triviales: xo = 0 y xo = A.x = A sen (o t + ) A sen (o t + )Tambin se demuestra que la solucin es la combinacin lineal:VERIFICACIN DE LA SOLUCIN. Verifiquemos que la funcin x = A sen (ot + ) efectivamente satisface la ecuacin diferencial del MAS, (Ec.4).Derivando la funcin x(t) respecto al tiempo dos veces se tiene:= o A cos (o t + ) d x d t= (o)2 A sen (o t + ) d2 x d t2y= xd2xd t2km15MOVIMIENTO OSCILATORIORemplazando en la ecuacin diferencial obtenemos: (o)2 A sen (o t + ) = A sen (o t + )km

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora16Esta igualdad se cumple siempre que (o)2 = km(8)De donde la frecuencia angular del MAS de un Oscilador Armnico simple es(9)o = kmLa frecuencia lineal es(10)f = =o 2 1 2 kmEl perodo es(11)T = = 2 2o mkMOVIMIENTO OSCILATORIO

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora17Est importante resaltar que, segn estas ecuaciones en el MAS la fre-cuencia angular, la frecuencia lineal y el perodo no dependen de la amplitud de las oscilaciones.Usando la Ec.(8) podemos escribir la ecuacin diferencial del MAS en la forma= - xd2x d t2(o)2 (12)Velocidad del MAS. La velocidad instantnea del MAS se define como la derivada de la posicin respecto al tiempo.V =d x d tV = o A cos (o t + )(13)Esta forma de la ecuacin dinmica del MAS nos ser muy til ms adelante cuando tengamos que definir la frecuencia angular de otros sistemas oscilantes.MOVIMIENTO OSCILATORIODonde el coeficiente de la funcin trigonomtrica es la mxima velocidad del MASVm = o A (14)

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora18De la identidad trigonomtrica : sen2 + cos2 = 1, obtenemos:cos = 1 sen2 Aplicando esta relacin en la Ec.(12) de la velocidad se tiene:v = o A2 x2V = o A 1 sen2 (o t + ) = o A2 A2 sen2 (o t + ) (15)Segn esta ecuacin la velocidad depende de la posicin del mvil oscilante. Por lo tanto:v = o A2 02v = o A = vmEn x = 0 ( posicin de equilibrio) se tiene que:MOVIMIENTO OSCILATORIO

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora19En x = A ( posicin extrema)v = o A2 A2v = 0v = 0v = 0-A+AoxFigura 12.En la Fig. 12 se muestran las posiciones donde la velocidad es mxima y donde es cero.- vm+ vmAceleracin del MAS. La aceleracin instantnea del MAS se define como la derivada de la velocidad respecto al tiempo.d v d ta = a = (o)2 A sen (o t + ) (16)am = (o)2 A (17)Donde el coeficiente de la funcin trigonomtrica es la mxima aceleracin del MASMOVIMIENTO OSCILATORIOx = A sen (o t + ) Estos resultados nos indican que la aceleracin del MAS es cero en la posicin de equilibrio y es mxima en las posi-ciones extremas.En la Ec.(15) podemos usar la funcinEn esta ecuacin, el signo menos ( - ) indica que la aceleracin siempre es opuesta al desplazamiento y depende de ste.En x = 0 ( posicin de equilibrio) se tiene que:a = ( o )2 (0) = 0En x = A ( posicin extrema)a = ( o )2 Aa = ( o )2 x(18)y entonces:

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora20MOVIMIENTO OSCILATORIOa = 0A+AoxFigura 13.En la Fig. 13 se muestra las posiciones donde la aceleracin es cero y es mxima.+am am

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora21Es importante resaltar que, los vectores desplazamiento x(t) velocidad v(t) y aceleracin a(t) pueden graficarse en el mismo instante a fin de saber que direccin tienen y como se mueve la partcula oscilante. Observe los siguientes esquemas de las Fig.14 y Fig.15-A+Aoxv aFigura 14. Para esta partcula que se mueve hacia el extremo +A, los vectores posicin x(t) y velocidad v(t) tienen la misma direccin pero son opuestos al vector aceleracin a(t)MOVIMIENTO OSCILATORIO

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora22Figura 15. Para esta partcula que se mueve hacia el extremo -A, el vector posicin x(t) es opuesto con los vectores velocidad v(t) y aceleracin a(t)Para el efecto, consideremos que las funciones: x(t) = 5 sen( t + 0,6435), en [m], V(t) = 5 cos( t + 0,6435) en [m/s] y a(t) = - 52 sen( t + 0,6435) en [m/s2 ], determinan el desplazamiento, velocidad y aceleracin del MAS que realiza una partcula en funcin del tiempo medido en [s].Matemticamente tambin podemos demostrar el desfasaje entre el des-plazamiento, la velocidad y la aceleracin de una partcula que realiza un MAS.Como el perodo de este movimiento es T = 2/ = 2/ = 2 [s], usamos in-tervalos de tiempo iguales a un dcimo del perodo para elaborar la si-guiente Tabla 2 de los valores de estas funciones y luego los graficamos.-A+Aox-v a Tabla 2.MOVIMIENTO OSCILATORIO

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora23t [s[x [m]v [m/s]a [m/s2 ]03.012.6-29.60.14.19.0-40.40.24.84.6-47.20.35.0-0.2-49.30.44.7-5.1-46.70.54.0-9.4-39.50.62.9-12.8-28.40.71.5-15.0-14.50.8-0.1-15.70.70.9-1.6-14.916.01-3.0-12.629.61.1-4.1-9.040.41.2-4.8-4.647.21.3-5.00.249.31.4-4.75.146.71.5-4.09.439.51.6-2.912.828.41.7-1.515.014.51.80.115.7-0.71.91.614.9-16.023.012.6-29.6t x10-1 [s][m][m/s[m/s2]Figura16. Grficos de x(t), v(t) y a(t) de un MASEn la Fig.16 observamos que, cuando el desplazamiento es mximo, X(t) = Xm, la velocidad es V(t) = 0, lo que significa que estas dos funciones estn desfasadas en /2 rad. Tambin observamos que en X(t) = Xm, la acelera- cin es mxima y de sentido opuesto al desplazamiento, a(t) = am , lo que significa que el desplazamiento y la aceleracin estn desfasados en rad. MOVIMIENTO OSCILATORIO

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora24En otro instante vemos que cuando X(t) = 0, la velocidad es mxima, V(t) = Vm y la aceleracin es cero, a(t) = 0.Ejemplo 6. Una masa de 20,0 [g] oscila con MAS atada al extremo libre de un resorte de constante elstica k = 70,0 [N/m]. Las oscilaciones se empiezan a contar en t = 0, cuando el desplazamiento de la masa es de 3,0 [cm] y su velocidad es 1,32 [m/s]. Calcular: a) la frecuencia angular, b) la fase inicial, c) la amplitud y d) la ecuacin del MAS que realiza la masa. Datos: m = 20,0 [g] = 2,00x10-2 [kg], k = 70,0 [N/m], en to = 0, xo = 3,0x10-2 [m] y vo = 1,32 [m/s]MOVIMIENTO OSCILATORIOSolucin.a) La frecuencia angular se obtiene usandoo = km = 70,0 2,00x10-2o = 59,16 [rad/s]

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora25b) La fase inicial se obtiene usando los valores de la frecuenciaangular y los valores iniciales de xo y vo en to = 0, en las ecuaciones:de la elongacin: x = A sen (o t + ), obteniendo3,0x10-2 = A sen [59,16 (0) + ]y de la velocidad: v = o A cos (o t + ), obteniendo 1,32 = (59,16) A cos [59,16(0) + ]A sen = 3,0x10-2 (i)A cos = 2.23x10-2 (ii)MOVIMIENTO OSCILATORIODividiendo miembro a miembro las relaciones (i) y (ii) se tieneA cos 2,23x10-2 A sen 3,0x10-2 =

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora26Simplificando obtenemosTan = 1,345291480De donde = 0,9316 [rad]c) La amplitud se obtiene elevando al cuadrado (i) y (ii), y luego sumnolas.A2 sen2 = 9,0x10-4A2 cos2 = 4,97x10-4 A2 (sen2 + cos2 ) = 13,97x10-4A2 = 13,97x10-4A 3,74x10-2 [m]MOVIMIENTO OSCILATORIOx = 3,74x10-2 sen (50,0 t 0,9316 ) [m]Usando los valores de las constantes obtenidas, la Ecuacin del MAS es entoncesd)

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora27Ejemplo 7. En la Fig.17 se tiene un grfico de la velocidad versus el tiempo de una partcula de 9 [g] que oscila con MAS. Hallar en t = 1.60 [s]: a) la posicin, b) la velocidad y c) la aceleracinDatos: m = 9 [g] = 9x10-3 [kg], t = 1.60 [s] y del gr-fico T = 8x10-2 [s]t [s] 10-2 2 4 6 8 10 V [m/s] + 10 0 8 Figura 17En primer lugar debemos definir las funciones x(t), V(t) y a(t), usando los datos del grfico.Solucin:T1 oscilacinMOVIMIENTO OSCILATORIOEn el grfico de la Fig. 17, vemos que una oscilacin se realiza en un tiempo T = 8x10-2 [s], que es el perodo del MAS.

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora28Por lo tanto la frecuencia angular del MAS eso = 2 / T = 2 / 8x10-2 o = 25 [rad/s]En el grfico tambin vemos que la velocidad mxima es: vm = 10 [m/s]. vm = o A 10 = 25 A A = [m] 0,4 Usando este valor y el de la frecuencia angular en la ecuacin vm = o A Obtenemos el valor de la amplitud de las oscilacionesFinalmente en la figura vemos que las condiciones iniciales son:vo = 8 [m/s], en t = 0 MOVIMIENTO OSCILATORIOUsando estas condiciones iniciales y los valores de los otros parmetros en la ecuacin de la velocidad, podemos calcular la fase inicial del MASv = o A cos (o t + ) 8 = 25 ( ) cos [25 (0) + ] 0,4 Finalmente la ecuacin completa de la posicin de la partcula oscilante en cualquier instante esX = sen (25 t + 2,4981) [m]0,4 = cos-1 ( 0,80) = 2,498091545 cos = 0,80de dondeConsiderando solamente 4 decimales: 2,4981 [rad]

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora29MOVIMIENTO OSCILATORIOx = 0,076 [m] = 7,6 [cm] b) La velocidad es: v = (25 )( ) cos (25 t + 2,4981)0,4 c) La aceleracin es: a = (25 ) (10) sen (25 t + 2,4981)a = 250 sen (25 (1,60) + 2,4981)a = 471,23 [m/s2 ]v = 10 cos (25 (1,60) + 2,4981)v = 8.00 [m/s]Ahora damos calculamos x, V y a en t = 1,60 [s]a) La posicin es: x = sen (25 (1,60) + 2,4981)0,4

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora30v = 10 cos (25 t + 2,4981)Ejemplo 8. El oscilador armnico de la Fig. 18 consiste de una masa de 1.6 [kg] y un resorte de constante elstica 3.2x103 [N/m]. La masa es separada de su posicin de equilibrio una distancia xo = 9 [cm] y luego es dejada libre para que oscile sobre una su- perficie sin friccin. Hallar: a) la ecuacin que permita calcular la posicin de la masa en cualquier instante, b) el perodo, c) la fre-cuencia en [osc/s]. Luego en t = 0.1 [s] calcular, d) la posicin, e) la velocidad y f) la aceleracin de la masa oscilante.

MOVIMIENTO OSCILATORIODatos: m = 1.6 [kg], k = 3.2x103 [N/m], xo = 0.09 [m] que es la posicin inicial y a su vez la amplitud del MAS, A = 0.09 [m].mkxo = AFFigura 18.

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora31Solucin:MOVIMIENTO OSCILATORIOa) La ecuacin de la posicin es: x = A sen (o t + )o = kmDonde la frecuencia angular se obtiene de= 3.2x103 1.6o = 44.7 [rad/s]y usando las condiciones iniciales t = 0, x0 = 0.09 [m] en la ecuacin de la posicin se tiene: 0.09 = 0.09 sen [44.7(0) + ]Sen = 1 = /2 [rad]Finalmente:x = 0.09 sen (44.7 t + /2 ) [m] x = 0.09 cos (44.7 t ) [m]

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora32b) El perodo se obtiene conMOVIMIENTO OSCILATORIOT = = 2 o 2 44.7 T = 0.14 [s]c) La frecuencia esf = =1 T 1 0.14 f = 7.14 [osci/s] Ahora en t = 0.1 [s]d) La posicin lo calculamos con la ecuacin obtenida en (a)x = 0.09 cos [44.7 (0.1)]x = - 0.022 [m] e) La velocidad se obtiene conv = dx/dt = - 4.023 sen (44.7 t) [m/s]

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora33 Usando valoresMOVIMIENTO OSCILATORIOv = - 4.023 sen [44.7 (0.1)] v = 3.90 [m/s] f) La aceleracin se obtiene cona = dv/dt = - 179.83 cos (44.7 t ) [m/s2 ]a = - 179.83 cos [44.7 (0.1) ]a = 43.16 [m/s2]

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora34Ejemplo 9. En la Fig. 19 se tiene un bloque A que, atado al extre-mo libre de un resorte, oscila con MAS sobre una superficie hori-zontal liza con un perodo de 0,50 s. Si sobre A colocamos un bloque B y si sabemos que el coeficiente de friccin esttico entre los dos bloques es 0,5 cul es la mxima amplitud que puede tener el sistema para que el bloque B no se deslice?Datos:AFigura 19BT = 0,50 s o = 2/0,50 = 4 rad/s, s = 0,5Solucin.MOVIMIENTO OSCILATORIO

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora35En este problema, hay que considerar que la aceleracin del bloque B debe ser igual a la del MAS que realiza y la friccin con A como la nica fuerza que acta sobre este. .En el MAS la aceleracin est definida por la ecuacin: a = (o)2 A sen (o t + ) Donde la mxima aceleracin es: am = (o)2 A (I) Por otra parte, en el D.C.L (Fig.20) del bloque B, vemos que cuando ste se mueve hacia la derecha con velocidad v, la aceleracin a del MAS que cumple es hacia la izquierda, en el mismo sentido que la fuerza de friccin f. Por lo tanto, aplicando las leyes de Newton se tiene:Fx = -f = - m a (II)y Fy = N mg = 0 (III)XYBFigura 20Nmgvaf De (III) se tiene: N = mg y como f = s N, entonces f = s mgMOVIMIENTO OSCILATORIORELACIN ENTRE EL MAS Y EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMELa relacin entre el MAS y el Movimiento Circular Uniforme se puede visualizar mediante el mecanismo de la Fig. 21 que consiste en un pequeo cilindro colocado en el filo de un disco de radio A que gira a velocidad angular constante y cuya sombra, proyectada en un plano vertical, oscila sobre el eje X .

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora36Usando esta relacin en (II) se tiene: s mg = m aSimplificando la masa y usando (I) se tiene: s g = (o)2 ADe donde la mxima amplitud es:s g (o)2 Am =Usando valores:(0,5)(9,81) (4 )2 Am =Am = 0,031 m = 3,1 cmHacemos incidir un haz de luz paralelo al plano del disco a fin de obtener en la pantalla vertical una sombra del pequeo cilindro.OXPantallaAoDiscoYMOVIMIENTO OSCILATORIOFigura 21.L U Z x = A sen - A+A

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora37Cuando el disco gira con el cilindro observamos que la sobra se mueve oscilatoriamente sobre el eje X, realizando un MAS de am-plitud A.MOVIMIENTO OSCILATORIOLa proyeccin del mvil en la Fig.21, es equivalente a considerar la proyeccin ortogonal del radio vector rotante A sobre el eje diametral (X,X) del circulo para diferentes instantes a partir de la posicin inicial en t = 0, tal como se muestra en las Fig.22, 23 y 24.

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora38AotoPt > 0AotoPt > 0AoPt = 0Xo PXPXPXo = A sen X = A sen (o t + )-A+AFigura 22.YoXXYFigura 23XXY+Aot = 0-AYFigura 24.XY+AoXt = 0-AY La elongacin X de una partcula que realiza un MAS sobre el eje X-X, est determinada por la proyeccin ortogonal del vector rotan-te A sobre este eje, tal como se ilustra en la Fig.25. MOVIMIENTO OSCILATORIOX = A sen (ot + )

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora39Figura 25.t = 0t > 0AotXYX+A- AooPP`YXA, es el radio de la circunferenciaDonde:(ot + ) es el ngulo que hace el radio vector A con el eje Y. , es la fase inicial del MAS en t = 0Como el vector A gira en sentido an-tihorario, con frecuencia angular o su proyeccin ortogonal est defini-da por OP = X, que segn la Fig.25.39MOVIMIENTO OSCILATORIOLa velocidad V de una partcula que realiza un MAS sobre el eje X-X, est determinada por la proyeccin ortogonal del vector velocidad tangencial VT = o A sobre este eje, tal como se ilustra en la Fig.26. V = VT sen (ot + + /2)V = o A cos (ot + )Figura 26.XAotY+A-AoovPPvT/2

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora40Como el vector VT gira en sentido antihorario, con frecuencia angu-lar o , su proyeccin ortogonal est definida por:V = o A [sen (ot + ) cos /2 + cos (ot + ) sen /2]La aceleracin a de una partcula que realiza un MAS sobre el eje X-X, est determinada por la proyeccin ortogonal del vector ace-leracin centrpeta ac = (o)2 A sobre este eje, tal como se ilustra en la Fig.27. MOVIMIENTO OSCILATORIOa = ac sen (ot + + )Figura 27.YAotX+A- AooPP`ac a a = - (o)2 A sen (ot + )

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora41Como el vector ac gira en sentido antihorario, con frecuencia angu-lar o , su proyeccin ortogonal est definida por:a = (o)2 A [ sen (ot + ) cos + cos (ot + ) sen ]ENERGA DEL OSCILADOR ARMNICO SIMPLEMOVIMIENTO OSCILATORIOConsiderando que el oscilador armnico es un sistema conservativo la energa mecnica total es constante y esta dada por la suma de la energa la energa cintica y la energa potencial. E = Ek + Ep = constante (19)Donde la Energa Cintica del MAS esEk = m (o)2 (A2 x2) = k (A2 x2) (21)Ek = m v2 = m (o)2 A2 cos2 (ot + ) (20)

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora42y la Energa Potencial del MAS esEp = k x2 = m (o)2 A2 sen2 (ot + )(22)(23)Ep = m (o)2 x2MOVIMIENTO OSCILATORIOPor lo tanto la energa mecnica total se puede expresar en la formaE = k (A2 x2 ) + k x2Esto significa que durante una oscilacin la partcula intercambia continuamente energa cintica y energa potencial, de forma tal que la suma de ambas siempre es la misma en cualquier instante, tal como se ilustra en las Fig.28 y Fig.29.E = k A2 = m (o)2 A2 = constante(24)

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora43E = Ek + Ep = constanteE kE pxEp(t)Ek(t)EX+A- AFigura 28.E k A2tFigura 29.T/2TMOVIMIENTO OSCILATORIOEjemplo 10. Una partcula de masa 90 [g] oscila con MAS de frecuencia 4 [vib/s] y amplitud 10.0 [cm]. En t = 0, la partcula est en x = 4.0 [cm]. Calcular en t = 15.2 [s]: a) la posicin, b) la velocidad, c) la aceleracin, d) la energa potencial, e) la energa cintica y f) la energa total de la masa oscilante.Datos: m = 0.090 [kg], f = 4 [vib/s], A = 0.10 [m] y las condiciones iniciales son en t = 0, x = 0.04 [m].Solucin:a) La posicin est definida por: x = A sen (o t + )Donde: o = 2f = 2(4)o = 8 [rad/s]Reemplazando en la ecuacin de la posicin los datos calculados y las condiciones inciales se tiene0.04 = 0.10 sen [8(0) + ]sen = 0.40 = 0.412 [rad]

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora44MOVIMIENTO OSCILATORIOPor lo tanto, la ecuacin de la posicin completamente definida esx = 0.10 sen (8 t + 0.412) [m]Ahora en t = 15.2 [s]x = 0.10 sen[8 (15.2) + 0.412]x = - 0.075 [m] = - 7.5 [cm]b) La velocidad esta definida por: v = dx/dtv = 0.80 cos (8 t + 0.412) [m/s]En t = 15.2 [s]v = 0.80 cos[8 (15.2) + 0.412]v = 1.67 [m/s] c) La aceleracin est definida por: a = d2x/dt2a = - 6.40 2 sen (8 t + 0.412) [m/s2]En t = 15.2 [s]a = 47.23 [m/s2] a = - 6.40 2 sen [8 (15.2) + 0.412]

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora45MOVIMIENTO OSCILATORIOd) La energa potencial est definida por: Ep = m (o)2 x2Segn (a), en t = 15.2 [s], x = - 0.075 [m], entoncesEp = (0.090)(8)2(- 0.075)2Ep = 0.16 [J] e) La energa cintica est definida por: Ek = mv2Segn (b), en t = 15.2 [s], v = 1.67 [m/s], entoncesEk = (0.090)(1.67)2Ek = 0.13 [J] f) La energa total est definida por: E = Ep + EkE = 0.16 + 0.13 = 0.29 [J]Entonces

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora46MOVIMIENTO OSCILATORIODatos:m = 2.0 [kg], A = 0.12 [m], en x = 0.07 [m] su Ek = 0.380 [J].Ejemplo 11. Una masa de 2.0 [kg] atada al extremo de un resorte realiza MAS de amplitud 12 [cm]. Cuando su desplazamiento es 7 [cm] su energa cintica es 0.380 [J]. Calcular: a) la velocidad en tal posicin, b) la constante elstica del resorte, c) el perodo de oscilacin y d) la energa total del sistema.Solucin:a) La velocidad se obtiene de: Ek = m v2v = 0.616 [m/s]v = 2Ek m = 2(0.380) 2.0

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora47MOVIMIENTO OSCILATORIOd) La energa total del sistema es : E = k A2E = (80.0)(0.12)2E = 0.576 [J]b) La constante elstica se obtiene de: Ek = k (A2 x2) k = 2Ek (A2 x2) = 2(0.380) (0.122 0.072) k = 80.0 [N/m]T = 2 2.0 80.0 T = 0.99 [s]

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora48Una masa de 500 g se mueve con MAS de perodo 0,15 s y amplitud 10 cm. Calcular la aceleracin, la fuerza, la energa potencial y la energa cintica de esta masa cuando est a 5 cm de la posicin de equilibrio. EJERCICIOS MOS-01M k c) El perodo de oscilacin es :T = 2MOVIMIENTO OSCILATORIOLa masa de 200 g del OAS se desliza sobre una superficie liza y realiza un MAS definido mediante la ecuacin x = 0,8 sen (6t - /5), donde x se expresa en m y t en s. Determinar: a) la amplitud, frecuencia angular, frecuencia lineal, perodo y fase inicial, b) la elongacin, velocidad y aceleracin en t = 0,8 s, c) la constante elstica del resorte del OAS y d) las energas cintica, potencial y total del OAS en el instante t = 0, 8 s.

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora49En la Fig. 30 se tiene un grfico de la aceleracin vs el tiempo de una partcula de 7 [g] que oscila con MAS. Hallar en t = 0,18 [s]: a) la posicin, b) la velocidad, c) la ace-leracin, d) la energa potencial, e) la energa cintica de la partcula oscilante y f) qu fraccin de la energa total es energa cintica y que fraccin es potencial?Figura 30a m/s2t s x10-2 240-2400803691215MOVIMIENTO OSCILATORIOUn muelle elstico de constante 0,4 N/m est unido a una masa de 25 g. En el instante inicial su posicin es x = 5 cm y su velocidad es v = 203 cm/s. Calcular: a) el periodo de la oscilacin, b) las ecuaciones de la posicin, velocidad y aceleracin de este MAS, c) representar grfi-camente la posicin en funcin del tiempo, d) los valores de la energa cintica, potencial y total en la posicin x = 0 y e) los) instante (s) en el que el mvil pasa por la citada posicin.

01/04/2014 06:42 a.m.Segundo L. Gallardo Zamora50Un cuerpo de masa m = 2,0 [kg] es atado al extremo inferior de un resorte de constante elstica 800 [N/m]. Cuando el cuerpo se halla a 0.05 [m] por debajo de la posicin de equilibrio su velocidad es de 0,90 [m/s] hacia arriba. Calcular: a) la amplitud de vibracin del cuerpo y b) la aceleracin mxima del cuerpo. Cuando un sistema masa-resorte, oscilando con MAS, est a la mitad de su amplitud calcular: a) qu fraccin de energa total es cintica y que fraccin es potencial? y b) la posicin de la masa cuando la energa cintica es igual a la energa potencial.FIN