Movimiento Ondulatorio - Teoría y Ejercicios

Generalidades

Movimiento Armnico Simple

FSICA III

Movimiento Oscilatorio


Prof. Lic. Carlos Daniel Gonzlez

Facultad Politcnica

Universidad Nacional de Asuncin

24 de febrero de 2015

CARLOS GONZLEZ FSICA III

Generalidades


Aspectos Administrativos

Horario de Clases

Martes de 17:30 a 19:00

Viernes 15:00 a 17:15

Evaluaciones

Exmenes Parciales

Trabajos Prcticos

Examen Final

Prcticas de Laboratorio de Fsica

Contacto: [email protected]

EDUCA

Curso: Fisica III, se encuentra alojada en rea de Grado y su

denominacin corta es F3

Contrasea: Fisica/3


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Programa de Estudios

Oscilaciones

Oscilacin Armnica Simple

Oscilacin Amortiguada

Oscilacin Forzada

Ondas Mecnicas

Fenomenologa de las Ondas

Ecuacin de Ondas

Ejemplos varios

Ondas Electromagnticas

Ecuaciones de Maxwell y la Ecuacin de Ondas

ptica Fsica

ptica Geomtrica


Generalidades


Textos

Fsica. Volumen 1: Mecnica. Alonso, Finn

Fsica. Volumen 2: Campos y Ondas. Alonso, Finn

Fsica para la Ciencia y la Tecnologa. Volumen 1 y 2. Tipler,

Mosca

Fundamentos de Fsica. Volumen 1 y 2. Resnick, Halliday y

otros

Fsica Universitaria. Volumen 1 y 2. Sears, Zemansky y

otros

Fsica para la Ciencia y la Ingeniera. Volumen 1 y 2.

Serway, Jewett

Otros libros de nivel universitario de fsica general.


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Cinemtica

Ejercicios I

Fuerza y Energa

Ejercicios II

Dinmica

Ejercicios III

Introduccin

Estudiaremos el llamado movimiento vibratorio u oscilatorio

Es uno de los movimientos ms importantes de la naturaleza

Hay diversas clases de movimiento oscilatorio

Decimos que una partcula u objeto oscila cuando se mueve

peridicamente con respecto a su posicin de equilibrio

Pndulo

Cuerpo en el extremo de un resorte

Los tomos de un slido

Los electrones de una antena radiante

El modelo ms simple de los que estudiaremos es el llamado

Movimiento Armnico Simple (MAS)


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Amplitud y Fase

Por denicin una partcula que se mueve sobre el eje x, con

MAS, tiene su posicin en funcin del tiempo dada por:

x = A sin (t+ )

La cantidad t+ se denomina fase del movimiento y porende es la fase inicial del mismo

La cantidad A se denomina amplitud del MAS y la cantidad se llama frecuencia angular del movimiento

En vez de utilizar la funcin seno tambin se puede usar la

funcin coseno

Cuando dos partculas en MAS tienen una diferencia de fase igual a 0 o un nmero entero de veces 2pi se dice que estn enfase


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Amplitud

Amplitud Amplitud


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Amplitud

Amplitud

Amplitud


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Periodo y Frecuencia

La funcin seno se repite cada vez que la fase aumenta en 2piLa posicin de la partcula se repite en intervalos de tiempo

iguales a:

T =2pi

= = 2pi

TEste tiempo se denomina el periodo del movimiento

El inverso del periodo se denomina frecuencia del movimiento

y representa el nmero de oscilaciones completas que la

partcula realiza por unidad de tiempo, as

f =1

T=

2pi= = 2pifEn el SI T se mide en segundo (s), f en

1

so hertz (Hz) y en

rad

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MAS


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Velocidad y Aceleracin

Dado que

x = A sin (t+ )

La velocidad de la partcula est dada por:

v =dx

dt= A cos (t+ )

Y la aceleracin est dada por:

a =dv

dt= 2A sin (t+ ) = 2xSe ve entonces que en el MAS la aceleracin es siempre

proporcional y opuesta al desplazamiento de la partcula


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Posicin, Velocidad y Aceleracin en el MAS


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Ejercicio 1

Un transductor ultrasnico (una especie de altavoz) empleado para

el diagnstico mdico oscila con una frecuencia de 6,7 MHzCunto tarda cada oscilacin, y qu frecuencia angular tiene?


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Ejercicio 2

Una partcula en MAS se mueve segn la ecuacin

x = 4 sin(0, 1t+ 0, 5), donde las unidades estn en el SI,determine:

(a) La amplitud, periodo y frecuencia del movimiento

(b) Las condiciones iniciales del movimiento

(c) La posicin, velocidad y aceleracin en t = 5 s.


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Ejercicio 3

Una partcula situada en el extremo de un oscilador pasa por su

posicin de equilibrio con una velocidad de 2 ms1, si la amplituddel movimiento es de 1 mm determine la frecuencia y el periodo demovimiento.


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Fuerza en el MAS

Sabemos que a = 2x y que F = maPor ende F = m2x = kx, donde k m2La constante k, a veces llamada constante elstica, representa

la fuerza necesaria para mover a la partcula una unidad de

distancia

Vemos entonces que como la aceleracin la fuerza es

proporcional y opuesta al desplazamiento

Esta fuerza siempre va dirigida al origen O del sistema, este es

el punto de equilibrio de la partcula

De esta manera tambin se puede denir T = 2pi

m

ky

f =1

2pi

k

m


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Energa Cintica en el MAS

La energa cintica de la partcula est dada por

K =1

2mv2 =

1

2m2A2 cos2 (t+ )

Si recordamos que cos2 = 1 sin2 K =

1

2m2A2

[1 sin2 (t+ )] = 1

2m2

(A2 x2)Tambin es posible de esta manera ver que v =

A2 x2


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Energa Potencial en el MAS

Recordemos que F = dUdx, por lo que

dU = FdxDe esta manera y tomando lmites adecuados tenemos

U =1

2kx2 =

1

2m2x2

De igual manera la energa mecnica total ser

E = K + U =1

2kA2 =

1

2m2A2

Vemos entonces que la energa total es constante y por ende

durante el movimiento hay un constante intercambio entre la

energa cintica y potencial del sistema oscilatorio


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Energa en el MAS


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Ejercicio 4

Una partcula cuya masa es de 0, 5 kg se mueve con MAS. Superiodo es de 0, 15 s y la amplitud de su movimiento es de 10 cm.Determine la aceleracin, la fuerza, la energa potencial y la energa

cintica cuando la partcula est a 5 cm de su posicin de equilibrio.


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Ejercicio 5

Una plancha horizontal oscila con MAS con una amplitud de 1, 5 my una frecuencia de 15 oscilaciones por minuto. Calcula el valor

mnimo del coeciente de friccin a n de que un cuerpo colocado

sobre la plancha no resbale cuando la plancha se encuentre en

movimiento.


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Ejercicio 6

Un objeto de 3 kg ligado a un resorte oscila con una amplitud de4 cm y un periodo de 2 s. Determine:

(a) La energa total

(b) El mdulo de mximo de la velocidad del objeto

(c) La posicin en la cual la velocidad del objeto es igual a la

mitad de su valor mximo.


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Ejercicio 7

Un bloque de masa M descansa en una supercie sin friccin y estconectado a un resorte horizontal con constante de fuerza k. Elotro extremo del resorte est jo a una pared. Un segundo bloque

de masa m est sobre el primero. El coeciente de friccin estticaentre los bloques es S . Determine la amplitud de oscilacinmxima que no permite que el bloque superior resbale.


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Dinmica del MAS

Para analizar el origen de las ecuaciones que hemos visto con

anterioridad es necesario que estudiemos las Leyes de Newton

Ya vimos que para que haya MAS debe haber existir sobre la

partcula una fuerza proporcional e inversa a la aceleracin

Es decir:

FR = kx

md2x

dt2= kx

d2x

dt2= k

mx


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Dinmica del MAS

2 km

d2x

dt2+ 2x = 0

d2x

dt2+ a

dx

dt+ bx = 0

Para resolver esta ecuacin denimos el operador m ddt, por lo

que

m2 + 2 = 0

Este es el caso en donde m1 = p+ qi y m2 = p qi, donde p = 0y m = iq = i


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Dinmica del MAS

La solucin de esta ecuacin por ende debe ser

x = epx (c1 cos qt+ c2 sin qt)

asi que x = c1 sint+ c2 cost

si denimos que c1 = A cos y c2 = A sin

tenemos que x = A cos sint+A sin cost

por lo que

x = A sin (t+ )


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Ecuaciones Adicionales

Recordemos que x = A sin (t+ ) y quev = A cos (t+ )

Para t = 0 tenemos x0 = A sin y v0 = A cos

Dividiendo tenemos

x0v0

=A sin

A cos=

1

tan

Por lo que tan =x0

v0

Por otro lado sin =x0Ay cos =

v0A

Elevando al cuadrado y sumando tenemos que A =

x20 +

v202


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Ejercicio 8

Formando las ecuaciones diferenciales de movimiento estudiar el

movimiento de una masa m unida a un resorte de constantek,determinando su frecuencia y periodo de oscilacin. El mismo sesuelta desde el reposo con la masa alejada del origen una distancia

A.


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Ejercicio 9

Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo jo.

Conectando una balanza de resorte al extremo libre y tirando hacia

la derecha, se determina que la fuerza de estiramiento es

proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6.0 N causa un

desplazamiento de 0, 030 m. Al quitar la balanza y conectar undeslizador de 0, 50 kg al extremo, se deforma el resorte 0, 020 mpor una pista de aire sin friccin, al soltarle se ve que oscila.

(a) Determine la constante de fuerza del resorte.

(b) Calcule la frecuencia angular,

(c) Calcule la frecuencia y el periodo de la oscilacin.


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Ejercicio 10


movimiento de un pndulo de masa m y longitud ` determinandosu frecuencia y periodo de oscilacin, el mismo se suelta desde el

reposo desde una posicin angular 0


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Ejercicio 11


movimiento de un pndulo fsico de masa m y momento de inerciaI con relacin a su eje de oscilacin, determinando su periodo yfrecuencia de oscilacin.


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Ejercicio 12

Un anillo de 10 cm de radio esta suspendido de una varilla como semuestra en la gura. Determine su periodo de oscilacin.


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Ejercicio 13


movimiento de un pndulo de torsin de momento de inercia I conrelacin a su eje de oscilacin, determinando su periodo y

frecuencia de oscilacin.


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Ejercicio 14

Un disco uniforme slido de metal con masa de 6,50 kg y dimetro

de 24,0 cm cuelga en un plano horizontal, apoyado en su centro

con un alambre metlico vertical. Usted sabe que se requiere una

fuerza horizontal de 4,23 N tangente al borde del disco para girarlo

3, 34, y as torcer el alambre. Se suelta el disco del reposo.(a) Cul es la constante de torsin para el alambre metlico?

(b) Cules son la frecuencia y el periodo de las oscilaciones de

torsin del disco?


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Ejercicio 15

Un objeto cuadrado de masa m se construye con cuatro varasuniformes idnticas, cada una con longitud L, unidas entre s. Esteobjeto se cuelga de su esquina superior en un gancho. Si se gira

ligeramente a la izquierda y luego se suelta,con qu frecuencia

oscilar de un lado a otro?


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Ejercicio 16

Un bloque de madera de dimensiones a, b, c y densidad relativaal agua ota en agua con el lado a en posicin vertical. Si se lo

hunde ligeramente y se lo suelta comienza a oscilar. Determine su

periodo de oscilacin.


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Ejercicio 17

Una partcula de masa m se coloca sobre una mesa horizontal sinfriccin y se sostiene de un par de alambres tensos de longitud `0cuyos extremos estn jos. La tensin en los alambres es T y la

partcula se desplaza una pequea cantidad x0 en comparacin dela longitud de los alambres para luego soltarse y oscilar. Suponiendo

que la tensin en los alambres no cambia ni tampoco su longitud se

pide:

(a) Demostrar que el movimiento es Armnico Simple

(b) Determinar el periodo y la frecuencia del movimiento.

20

x0


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Ejercicio 18

Dos cilindros slidos conectados a lo largo de su eje comn por una

varilla corta y ligera tienen radio R y masa total M, y descansan

sobre una mesa horizontal. Un resorte con constante de fuerza k

tiene un extremo sujeto a un soporte jo, y el otro, a un anillo sin

friccin en el centro de masa de los cilindros. Se tira de los cilindros

hacia la izquierda una distancia x, estirando el resorte, y se sueltan.

Hay suciente friccin entre la mesa y los cilindros para que stos

rueden sin resbalar al oscilar horizontalmente. Demuestre que el

movimiento del centro de masa de los cilindros es armnico simple,

y calcule su periodo en trminos de M y k.


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