Movimiento en 2-D bajo la aceleración constante de la gravedad

En esta sección, se estudia un caso particular de movimiento curvilíneo, el tiro parabólico. Se tratará de mostrar que el tiro parabólico es la composición de dos movimientos:

• Uno uniforme a lo largo del eje X.

• Otro uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y.

FLORENCIO PINELA

Para resolver un problema de tiro parabólico es necesario seguir los siguientes pasos

0oy =

oy h=

1.-Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y los ejes horizontal X, y vertical Y

h

y

x

x

y

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2.-Determinar el valor y el signo de la aceleración vertical

h- g + g

y

y

x x

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3.-Las componentes de la velocidad inicial (incluido el signo)

ox o

oy o

V V CosV V Sen

θθ

==

θ oxV

oyV

x

y

oV

θoxV

0 yV−

x

y

oV

ox o

oy o

V V CosV V Sen

θθ

=

= −

FLORENCIO PINELA

4.-La posición inicial

0oy = oy h=h

x

x

yy

FLORENCIO PINELA

5.-Escribir las ecuaciones del movimiento

2

2 2

1 ( )2

2( )

y

y oy

o oy

y oy

a g

V V gt

y y V t g t

v v g y

= ±

= ±

= + + ±

= + ± Δ

6.-A partir de los datos, hallar las incógnitas

FLORENCIO PINELA

• Movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X

•Uni

form

emen

te a

cele

rado

a lo

larg

o de

l eje

Y

x

y

FLORENCIO PINELA

• Movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X

•Uni

form

emen

te a

cele

rado

a lo

larg

o de

l eje

Y

x

y

vo

vox

voy

La componente horizontal de la velocidad inicial siempre se mantiene constante

FLORENCIO PINELA

Las ecuaciones del movimiento se obtienen fácilmente teniendo en cuenta que el movimiento resultante es la

composición de dos movimientos:

2

( )

1 ( )2

y

y oy

o oy

a g

V V g t

y y V t g t

= −

= + ±

= + + ±

0x

x ox

ox

av v

x v t

==

Δ =

• Movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X

•Uniformemente acelerado a lo largo del eje Y

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Caídas de agua—Tiempo de llegada al suelo¿Cuál(es) de las caídas de agua tarda el mayor tiempo en llegar al suelo?

¡Cuando el lanzamiento es horizontal, el tiempo de vuelo depende únicamente del valor de la altura!

A) A

B) A, B y C

C) C

D) D

E) E

F) F

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21 ( )2o oyy y V t g t= + + −

Si el proyectil es lanzado horizontalmente, el tiempo de vuelo es idéntico al de un objeto dejado caer desde el reposo.

21 22

hy g t tg

= ⇒ =

oxx v tΔ =Alcance horizontal!xΔ

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Alcance Horizontal máximo

212

y g t=

¿Cuál de los carritos experimenta el mayor alcance horizontal al llegar al suelo?

FLORENCIO PINELA

Determine el valor de la velocidad con la que fue lanzado el proyectil.

FLORENCIO PINELA

¿Cuál de las flechas indicadas alcanza la máxima altura si todas son lanzadas desde la misma posición inicial?

FLORENCIO PINELA

Proyectiles—Tiempo de Vuelo

¿Cuál (s) de los siguientes proyectiles permanece el mayor tiempo en el aire?

G. Todos permanecen el mismo tiempoFLORENCIO PINELA

Proyectiles—Distancia Horizontal

oxx v tΔ =

¿Cuál (s) de los siguientes proyectiles experimenta el mayor alcance horizontal?

Todos experimentan el mismo alcance horizontal.

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Un objeto se lanza horizontalmente con una velocidad Vo desde una altura Ho logrando un alcance horizontal Xo. Si se cuadruplica la altura, y la velocidad de lanzamiento se redujera a la mitad, el alcance horizontal sería:

A. la cuarta parteB. la mitadC. el mismoD. el dobleE. cuatro veces mayor

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Un atleta olímpico lanza una jabalina con cuatro ángulosdiferentes respecto a la horizontal, cada lanzamiento con lamisma rapidez y a: 30°, 40°, 60°, y 80°. ¿Qué par delanzamientos de la jabalina darán lugar al mismo alcancehorizontal?

A) 30° y 80°

B) 40° y 60°

C) 40° y 80°

D) 30° y 60°

E) Imposible, con cada ángulo se logra alcance diferente

FLORENCIO PINELA

Para el proyectil de la figura determine el valor de la altura máxima medida desde el suelo, y el alcance horizontal al llegar al suelo

Y+

FLORENCIO PINELA

El helicóptero y el auto se mueven con velocidad constante como se indica en la figura. Al instante indicado se suelta un objeto desde el helicóptero. Determine el ángulo θ de la figura para que el objeto impacte sobre el auto al llegar al suelo.

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Un basquebolista lanza verticalmente hacia arriba un balón con una velocidad inicial v, al mismo tiempo y con una velocidad inicial dos veces mayor un futbolista patea un balón con un ángulo de elevación θ. Si los dos balones llegan al suelo al mismo instante, el ángulo θ fue.

A. 30ºB. 45ºC. 55ºD. 90ºE. no tiene solución.

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El siguiente enunciado se aplica a los siguientes tres problemasUn auto de competencia de alta velocidad parte del reposo y se

acelera a razón de 10 m/s2. A los 5 s después de su partida el vehículo se incendia y el piloto es expulsado automáticamente del vehículo en dirección vertical. El piloto cae al suelo a una distancia de 200 m del punto de donde partió el vehículo (el piloto no lleva paracaídas).

Determine la velocidad vertical con que fue expulsado el piloto

A. 2,45 m/sB. 4,9 m/sC. 9,8 m/sD. 7,35 m/sE. 12,25 m/s

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Determine la velocidad con la que el piloto impacta el suelo

A. 95,0 m/sB. 87,1 m/sC. 76,3 m/sD. 60,2 m/sE. 50,5 m/s

FLORENCIO PINELA

Determine la altura máxima que alcanzó el piloto después de ser expulsado

A. 11,2 mB. 8,4 mC. 5,6 mD. 2,8 mE. 1,4 m

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VELOCIDAD RELATIVA(Composición de velocidades)

Observadores en diferentes marcos de referencia pueden medir desplazamientos, velocidades y aceleraciones diferentes para una partícula dada.

En esta sección veremos como los puntos de vista de diferentes observadores en distintos marcos de referencia se relacionen entre sí.

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Si el bote se dirige directamente a la orilla opuesta (vBW) y el río se mueve de manera transversal, velocidad del río respecto a la orilla (vWS). El bote experimentará una velocidad resultante igual a la suma de estas dos velocidades, velocidad del bote respecto a la orilla (vBS).

FLORENCIO PINELA

Si el bote quisiera llegar a la orilla opuesta, tendrá que apuntar su dirección de tal forma que la velocidad resultante se dirija exactamente en esa dirección (vBS).

Si el bote quisiera llegar a la orilla opuesta, en la misma dirección de partida. ¿En quédirección tendría que dirigirse?

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Ejemplo 1: Composición de velocidades paralelas.Un río fluye hacia el este con velocidad de c = 3 m/s. Un bote se dirige hacia el este (aguas abajo) con velocidad relativa al agua de v =4 m/s. Calcular la velocidad del bote respecto de tierra cuando el bote se dirige hacia el este (río abajo) y cuando se dirige hacia el oeste (río arriba).

Cuando el bote navega aguas abajo la velocidad del bote respecto de tierra es c+v, es decir de 7 m/s.

V

C

C

V

O P

•Cuando el bote navega en sentido contrario a la corriente la velocidad del bote respecto de tierra es c-v, es decir de -1 m/s.

FLORENCIO PINELA

Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d=100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

•El tiempo que tarda el bote en hacer el viaje de ida es

•El tiempo que tarda en hacer el viaje de vuelta es

t1=d/(v+c)=14,3 s

t2=d/(v-c) =100 s

V

C

C

V

O P

relativa

dtV

=

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Ejemplo 2Ahora, vamos a hacer que el bote atraviese el río y vuelva al punto de partida.

Un río fluye hacia el este con velocidad de c = 3 m/s. El bote se mueve en agua quieta con una velocidad de v = 4 m/s.

¿Cómo debe ser dirigido el bote para que llegue a un punto P situado en la orilla opuesta enfrente de O?

d

O

P

c

v

V c

vV

Viaje de ida Viaje de vuelta

θ

FLORENCIO PINELA

Calcular el tiempo que tarda el bote en desplazarse d =100 m hasta el punto P y regresar de nuevo al punto de partida O.

El viaje de vuelta es similar al viaje de ida. El tiempo total de viaje será d

O

P

c

v

V c

vV

Viaje de ida Viaje de vuelta

θ

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