Monografia Flujo Bidimensional Del Líquido Ideal

8/18/2019 Monografia Flujo Bidimensional Del Líquido Ideal

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“AÑO DE LA DIVERSIFICACIÓN PRODUCTIVA Y DELFORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIÓN”

UNIVERSIDAD DE HUÁNUCO

FACULTAD DE INGENIERÍA

E.A.P INGENIERIA

CIVIL

TEMA: FLUJO BIDIMENSIONAL DEL LÍQUIDO IDEAL

CURSO : MECÁNICA DE FLUIDOS I

CICLO : V

SECCIÓN : “A”

PROFESOR : CHIGUALA CONTRERAS, Ya!" E#!"!$

ALUMNOS : ACOSTA JARA, R!%&' S()!"

TINGO MARÍA * PER+

-./


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FLUJO BIDIMENSIONAL DEL LÍQUIDO IDEAL

I%$"'0(1123%

La mayoría de problemas sobre conducción de agua en tuberías y canales se resuelven con la hipótesis de

f1ujo unidimensional. Pero también hay un grupo importante de problemas en los que se hace

imprescindible considerar el flujo en dos dimensiones (flujo plano! asumiendo que la descripción del

flujo en planos paralelos es idéntica a la estudiada.

Parecería que só1amente el líquido ideal (sin viscosidad y por ello irrotaciona1 puede ser objeto de

estudio en lo que se refiere a movimiento plano! pero no es así. "omo regla general! se puede producir un

flujo casi irrotaciona1 en liquidas reales si el efecto de la viscosidad en el movimiento es de poca

importancia.

#n caso singular lo constituye el movimiento del agua en un medio poroso! como es el subsuelo o una

presa de tierra! pues dicho movimiento se produce con predominio de $la viscosidad (flujo laminar pero

resulta casi irrotacional. %sto hace que el estudio del flujo plano alcance también a este importante caso

de flujo.

E1(a123% 0! 1'%$2%(20a0.& %n coordenadas cartesianas se considera el volumen de control elemental d'!

d! d)! con centro en el punto P ('! ! ).

%n el punto P ocurren los valores p y v como funciones de punto y del tiempo.

*e puede aplicar la ecuación+

%l segundo miembro! en la dirección '+

%n las otras dos direcciones se obtienen e,presiones an-logas! por lo que el caudal neto de masa que sale

es+


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eempla/ando y simplificando+

0ue es la e,presión de la ecuación de continuidad para flujo compresible e incompresible! permanente y

no permanente.

Para fluidos incompresibles! como es el caso del líquido ideal+

La 4(%123% 0! 1'""2!%$!

"omo cuestión previa recordemos la definición del gradiente en el plano y sus propiedades.

2ada una función escalar en el plano '! ! tal como 3 ('! ! se llama gradiente de la misma el vector

cuyas componentes son las derivadas parciales de 3+

*us propiedades son+

1 el grad. 3 es normal a las líneas 34constante

5 el módulo de grad. 3 es la derivada de 3 seg6n la normal a las líneas 34constante.

7 el sentido de grad. 3 a es el que corresponde a las 3 crecientes.

*e puede suponer un líquido incompresible en movimiento bidimensional! permanente! que se desarrolla

en planos perpendiculares al eje )! de modo que su estudio puede hacerse en el plano '8

*e puede considerar luego una familia de 1.c.! las que no cambiar-n con el tiempo por tratarse de un

movimiento permanente.


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La ecuación de estas 1.c.es+

y se puede considerar que la familia de 1.c. viene definida por una cierta función escalar ф ('&! que se

denomina función de corriente! con un valor constante diferente para cada 1.c.

%n el punto P! sobre una l.c.! los tres vectores indicados en la figura son normales entre sí! de modo que se

cumple+

siendo las componentes de v +

y en coordenadas polares+


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Por otra parte! si n es la dirección normal a la 1.c. genérica 9.

y por la+

de modo que+

es decir+


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La 4(%123% 5'$!%12a6

%l estudio del flujo plano es posible sólo si se cumple que el campo de velocidades es un campo

potencial! es decir un campo en el que e,iste una función escalar :! llamada función potencia! tal que+

*e puede mostrar con facilidad que rot v 4 ;! es decir que si el campo de velocidades es potencial es

irrotacional! lo cual justifica que se pueda decir indistintamente campo potencial o campo irrotac1onal.

2e la definición de función potencial se desprende que las componentes de v son+

y en coordenadas polares+

y también que se cumple+

siendo s la dirección normal a las líneas 94 cte.! llamadas líneas equipotenciales.

Puesto que las direcciones s y n son normales entre si! las lineas de corriente

y las líneas equipotenctales son ortogonales entre sí.

La "!0 0! 1'""2!%$!

prescindiendo del signo.


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2e aqui+

o bien+

"omo se puede ver! si se escogen incrementos iguales para 9 y 9 resulta

ds 4 dn. %s decir! que las 1.c. y las 1.e. adem?s de ser ortogonales formarían una malla de cuadrados. <

esta malla se denomina red de flujo o red de corriente.

%n 6ltima instancia! el estudio del flujo plano en un cierto contorno se refiere a la obtención de la red de

corriente para ese contorno! y a partir de la "! que es 6nica en cada contorno! deducir la distribución de

velocidades o la distribución de presiones en las /onas de interés.

%l líquido ideal es incompresible por lo que satisface la ecuación de continuidad+

es decir! 9 cumple la ecuación de Laplace! indicando con ello que es una función armónica.

%l liquido ideal es 1rrotaciona1! por 1; que la componente seg6n ) del vector rot @ es nula+

reemp1a/ando seg6n+


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es decir! 9 también cumple la ecuación de Laplace! indicando con ello que es una función armónica.

2e los desarrollos anteriores se desprende que las funciones 9 y 9 no son independientes sino que est-n

relacionados entre sí a través de las ecuaciones de "auchy&iemann! en coordenadas cartesianas+

en coordenadas polares+

Atras propiedades de la función potencial (9 son+

a *i 91 95 son dos funciones potenciales Bque satisfacen la ecuación de Laplace! las funciones

(91 C 95 ó (91 & 95 también cumplen con la ecuación de Laplace. b #na función potencial qué satisface la ecuación de Lap1ace en un flujo determinado en un cierto

contorno! representa la soluc1ón 6nica del problema de dicho flujo.c "onsiderando una curva


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es decir! en el flujo plano del líquido ideal la circulación vale cero.

T"a&a0' 7"8421' 0! 6a "!0 0! 1'""2!%$!

2e lo estudiado hasta aquí se desprende que la red de corriente se dibuja para representar la configuración

del flujo en los casos de flujo irrotacional. La red est- formada por+

a una familia de l.c. espaciadas de tal forma que el caudal es el mismo entre cada dos pares de l.c.!

y

b otra familia de curvas ortogonales y espaciadas de tal forma que la separación entre ellas es igual

a la separación entre las 1.c. adyacentes.

Para describir completamente un flujo en condiciones de contorno dadas se requiere un n6mero muy

grande de 1.c. Eo obstante el n6mero de 1.c. empleadas en la pr-ctica es el mínimo necesario paraobtener la precisión de seada. "uando se ha obtenido la " para una forma de los contornos que li mitan

el flujo! dicha red puede utili/arse para todos los flujos irrotacina1es en tanto que los contornos sean

geométricamente semejantes.

%l procedimiento para dibujar la " entre los contornos de una curva hori/ontal es el siguiente.

1 en una sección entre contornos paralelos se divide el flujo en un cierto n6mero de bandas de

igual ancho !

5 para determinar la dirección de las l.c. se dibujan las 1.e.! espaciadas de forma que

en la /ona de contornos paralelos y en el resto87 las l8e. son ortogonales a las l.c. en cada punto de intersección! y a los contornos ya que estos son

l.c. 2e esta manera se obtiene un diagrama que se asemeja a una malla de cuadrados.

Abtenida la red se puede dibujar la variación de velocidades en los puntos ;! 1! 5! 7! F! utili/ando la

relación+

Gambién se puede dibujar la variación de velocidades en los puntos a! b!

c! d! e! del contorno! utili/ando la relación+


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Hmedio en el contorno

Por 6ltimo! se pl1ede dibujar la vartactl*n de la presión en los mismos puntos a! b! c! d! e! del contorno!

utili/ando la variación de velocidades recién encontrada+

EAG


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Los esquemas que siguen tienen por objeto dar una idea de la " en cada caso y aclarar algunos

conceptos.


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/ona de estancamiento ()% es aquella /ona de flujo en que la

separación entre las 1. c. es grande! indicando con ello que la

velocidad del agua es casi cero.

%l punto P se llama punto de estancamiento.

)ona de separación ()* es aquella /ona de flujo en que el

líquido por la inercia del movimiento se separa del

contorno.

2entro de ella no se cumple la " pero fuera de ella si. La

linea de separación (ls es una 1.c.

EAG


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Para un punto genérico Ji se puede averiguar la velocidad siendo

donde Ko es la carga en la /ona de acercamiento del agua. *e grafica @i versus la distancia *i medida

como indica la figura.

C')' ! "!1'"0a"a: 9

L(!7'

de manera que se puede graficar la curva 9 versus s como consta en la misma figura. %n seguida se toman

incrementos iguales y se determinan los valores de s para los puntos J1!. J5! etc. %stos puntos

pueden ahora ser ubicados sobre la l.c.


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La figura siguiente muestra la " definitiva.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

E!)56' .+

@erificar si los siguientes campos de flujo incompresibles & satisfacen la ecuación de continuidad. Indicar

en cada caso si el flujo es rotacional o irrotacional.

a @, 4 ('&5t@y 4 (5'&t

b @, 4 '5cos

@y 4 5'sen

La ecuación de continuidad es+ div.

y la ecuación del rotaciona1 de v es+

determinando valores! resulta+

a div v4;! rot v4 ; Hel f1ujo es i rrotaciona1 b div v4;! rot vN ; Hel flujo es rotaciona1

E!)56' :

2ada la función escalar 4,ѱ 7 & 5y5 C ,/ & /5 C 1! hallar las componentes del vector grad en el punto (1!ѱ

7! 5.

Orad 4ѱ


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E!)56' ;:

ed de corriente en un vertedero de pared delgada. %l vertedero de la figura se encuentra instalado en un

canal rectangular muy ancho8 la altura del vertedero es de ;.>1 m y a 5.1F m aguas arriba el tirante es

1.77 m. *e trata de determinar el empuje total del agua sobre el vertedero por metro de ancho de éste!

sabiendo que el caudal vale q 4 ;.>1 m7Qsg por metro de ancho! y también la di1stribución de presiones.

1 se dibuja la " mediante un procedimiento de tanteos seg6n el método de Prasil 85 se dibuja la distribución de presiones sobre la placa del vertedero & usando la ecuación de

Dernou11i. Para un plano de referencia coincidente con el fondo del canal+

para cada punto sobre la placa+

de donde+

7 la fuer/a de presi=n total es igual al -rea encerrada en el de distribución de presiones8 su valor es

?5; Rg.

F utili/ando el Bdiagrama de distribuci=n hidrost-tica de presiones se ob tiene un valor del empuje

mayor que el real (?F= Rg.


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BIBLIOGRAFÍA

"K%%0#% JA?. Libro de Mecánica de fluidos I . Per6+ Pontificia #niversidad "atólica

2el Per6.

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