Flujo Bidimensional Del Líquido Ideal

8/18/2019 Flujo Bidimensional Del Líquido Ideal

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FLUJOBIDIMENSIONALDEL LÍQUIDOIDEAL


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Introducción

La mayoría de problemas sobre conducción de agua en tuberías resuelven con la hipótesis de f1ujo unidimensional. Pero también importante de problemas en los que se hace imprescindible considedos dimensiones ujo plano!" asumiendo que la descripción del paralelos es idéntica a la estudiada.

Parecería que só1amente el líquido ideal sin viscosidad y por ellpuede ser objeto de estudio en lo que se re#ere a movimiento plano" p

$omo regla general" se puede producir un ujo casi irrotaciona1 en si el efecto de la viscosidad en el movimiento es de poca importancia.

%n caso singular lo constituye el movimiento del agua en un medio poel subsuelo o una presa de tierra" pues dicho movimiento se predominio de &la viscosidad ujo laminar! pero resulta casi irrotacioque el estudio del ujo plano alcance también a este importante caso


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La función de corriente

$omo cuestión previa recordemos la de#nición del grad

plano y sus propiedades.(ada una función escalar en el plano )" *" tal como + )" *gradiente de la misma el vector cuyas componentes son laparciales de +,


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-us propiedades son,

1! el grad. es normal a las líneas +/constante

0! el módulo de grad. es la derivada de + segn la normal a las lí

+/constante.

2! el sentido de grad. a es el que corresponde a las + crecientes

-e puede suponer un líquido incompresible en movimiento bidimen

permanente" que se desarrolla en planos perpendiculares al eje 3" dque su estudio puede hacerse en el plano 4y5

-e puede considerar luego una familia de 1.$." Las que no cambiartiempo por tratarse de un movimiento permanente.


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La ecuación de estas 1.$. 's,


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* se puede considerar que la familia de 1.$. 7iene de#nida por unafunción escalar ф )" *! que se denomina función de corriente" conconstante diferente para cada 1.$.

'n el punto p" sobre una l.$." Los tres vectores indicados en la #gurnormales entre sí" de modo que se cumple,

•


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-iendo las componentes de v,

1

8!


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* en coordenadas polares,

9!


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Por otra parte" si n es la dirección normal a la 1.$. :enérica ;.

* por la,

(e modo que,


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's decir,


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La función potencial

'l estudio del ujo plano es posible sólo si se cumple que e

velocidades es un campo potencial" es decir un campo en ee4iste una función escalar =" llamada función potencia" tal

-e puede mostrar con facilidad que rot v / >" es decir que de velocidades es potencial es irrotacional" lo cual justi#ca pueda decir indistintamente campo potencial o campo irrot


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(e la de#nición de función potencial se desprende que las componeson,

?!

* en coordenadas polares, @!


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* también que se cumple

A!

-iendo s la dirección normal a las líneas ;/ cte." Llamadas líneasequipotenciales.

Puesto que las direcciones s y n son normales entre si" las lineas de

* las líneas equipotenctales son ortogonales entre sí.


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La red de corriente

• Bgrupemos las ecuaciones

• (e aqui,


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C bien,

$omo se puede ver" si se escogen incrementos iguales para ; y ;

(s / dn. 's decir" que las 1.$. * las 1.'. Bdemos de ser ortogonalesuna malla de cuadrados. B esta malla se denomina red de ujo o recorriente.


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'n ltima instancia" el estudio del ujo plano en un cierto contorno la obtención de la red de corriente para ese contorno" y a partir de es nica en cada contorno" deducir la distribución de velocidades odistribución de presiones en las 3onas de interés.

'l líquido ideal es incompresible por lo que satisface la ecuación decontinuidad,


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's decir" ; cumple la ecuación de laplace" indicando con ello que efunción armónica.

'l liquido ideal es 1rrotaciona1" por 1> que la componente segn 3 rot v es nula,


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Deemp1a3ando segn,

's decir" ; también cumple la ecuación de laplace" indicando con euna función armónica.


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(e los desarrollos anteriores se desprende que las funciones ; y ;independientes sino que est6n relacionados entre sí a través de lasde cauchyEriemann" en coordenadas cartesianas,

'n coordenadas polares,


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Ctras propiedades de la función potencial ;! son,

-i ;1 * ;0 son dos funciones potenciales Fque satisfacen la ecuaciólaplace" las funciones ;1 G ;0! ó ;1 E ;0! también cumplen con de laplace.

%na función potencial qué satisface la ecuación de lap1ace en un determinado en un cierto contorno" representa la soluc1ón nica dede dicho ujo.

$onsiderando una curva ab cualquiera dentro de un ujo" la integralo largo de" esa curva desde a hasta b es,


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(onde ds es el vector diferencial de arco sobre la curva BH.

'n el caso presente,

(e modo que si la curva es cerrada" la integral de linea que ahora rnombre de circulación r!" vale,

's decir" en el ujo plano del líquido ideal la circulación vale cero.


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Traado !r"#co de la red de corr

(e lo estudiado hasta aquí se desprende que la red de corr

dibuja para representar la con#guración del ujo en los casirrotacional. La red est6 formada por,

• una familia de l.c. espaciadas de tal forma que el caudal mismo entre cada dos pares de l.c." y

• otra familia de curvas ortogonales y espaciadas de tal forseparación entre ellas es igual a la separación entre las 1adyacentes.


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• Para describir completamente un ujo en condiciones de contorno

requiere un nmero muy grande de 1.$. Io obstante el nmero d

'mpleadas en la pr6ctica es el mínimo necesario para obtener la

seada. $uando se ha obtenido la D$ para una forma de los contor

mitan el ujo" dicha red puede utili3arse para todos los ujos irrot

tanto que los contornos sean geométricamente semejantes.

• 'l procedimiento para dibujar la rc entre los contornos de una cur

hori3ontal es el siguiente.


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'n una sección entre contornos paralelos se divide el ujo en un cie

de bandas de igual ancho


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Para determinar la dirección de las l.$. -e dibujan las 1.'." 'spaciadque 'n la 3ona de contornos paralelos y en el resto5

Las l5e. -on ortogonales a las l.$. 'n cada punto de intersección" y acontornos ya que estos son l.$. (e esta manera se obtiene un diag

asemeja a una malla de cuadrados.Cbtenida la red se puede dibujar la variación de velocidades en los0" 2" 8" utili3ando la relación,


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Jambién se puede dibujar la variación de velocidades en los puntose" del contorno" utili3ando la relación,

Kedio en el contorno


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Por ltimo" se pl1ede dibujar la vartactlsn de la presión en los misma" b" c" d" e" del contorno" utili3ando la variación de velocidades recencontrada,

ICJB, la variación de velocidades en el contorno encontrada en la f

se ha descrito es m6s real que la obtenida con la ecuación de conti

H ...Bncho medido sobre una 1.e.

Mgual comentario cabe hacer en torno de la variación de la presión.

B continuación se presenta la rc para una contracción gradual" la vavelocidades en el contorno y la variación de la presión también en e


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B


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B


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B


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Los esquemas que siguen tienen por objeto dar una idea de la D$ ey aclarar algunos conceptos.


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B


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Nona de estancamiento N'! es aquella 3ona de ujo en que la sepaentre las 1. $. 's grande" indicando con ello que la velocidad del agcero.

'l punto p se llama punto de estancamiento.


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B


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• Nona de separación N-! es aquella 3ona de ujo en que el líquido

inercia del movimiento se separa del contorno.

• (entro de ella no se cumple la D$ pero fuera de ella si. La linea d

separación ls! es una 1.c.


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ICJB, el fen


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EJEM$LOS DEA$LI%A%I&N


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E'e(plo ),

7eri#car si los siguientes campos de ujo incompresibles E satisfaceecuación de continuidad. Mndicar en cada caso si el ujo es rotacionirrotacional.

B! v4 / 4E0y!t

7y / 04Ey!t

H! v4 / 40cosy

7y / 04seny

La ecuación de continuidad es, div.


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* la ecuación del rotaciona1 de v es,

(eterminando valores" resulta,

• (iv v/>" rot v/ > Kel f1ujo es i rrotaciona1

• (iv v/>" rot vO > Kel ujo es rotaciona1


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E'e(plo *+

(ada la función escalar /42 E 0y0 G 43 E 30 G 1" hallar las componvector grad en el punto 1" 2" 0!.

:rad /


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A

Para cada punto sobre la placa,

(e donde,


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•

La fuer3a de presi Qg.

• %tili3ando el Fdiagrama de distribuci

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