Monitoreo y control de bioreactores: Estado del arte y su aplicación en el tratamiento de efluentes

M E X I C O

MONITOREO Y CONTRO DE BIOREACTORES: MONITOREO Y CONTRO DE BIOREACTORES: ESTADO DEL ARTE Y SU APLICACIÓN EN EL ESTADO DEL ARTE Y SU APLICACIÓN EN EL

TRATAMIENTO DE EFLUENTESTRATAMIENTO DE EFLUENTES

ESPECIALIDAD: INGENIERIA QUIMICA

Víctor González Álvarez Doctorado. Control de Procesos.

México, D.F. 10 de Agosto de 2006.

Monitoreo y control de bioreactores; estado del arte y su aplicación en el tratamiento de efluentes

Especialidad: Ingeniería Química

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CONTENIDO

Página

Resumen ejecutivo 3 1 Introducción 5 2 Fundamentos 8 3 Un modelo general 14 4 El observador asintótico 16 5 El observador por intervalos 19 6 Un caso de estudio: Un proceso de tratamiento de

aguas residuales

22 7 Regulador robusto de retroalimentación 32 8 La solución integral via internet del problema de control

de la digestión anaerobia.

34 9 Conclusiones 37

10 Referencias 38 11 Bibliografía 40 12 Agradecimientos 41 13 Curriculum vitae 42

ANEXOS

I Tesis dirigidas 45 II Listado de publicaciones 46



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RESUMEN EJECUTIVO

Hoy en día, la aplicación industrial de bioprocesos ha crecido considerablemente debido principalmente a la versatilidad de esta clase de procesos cuyas aplicaciones industriales incluyen: a) la producción de compuestos de alto valor agregado como medicinas, fertilizantes, etc.; b) fermentación alcohólica, y c) el tratamiento de aguas residuales (municipales, federales o industriales). Dada la importancia de estos procesos, resulta natural el pensar en garantizar su óptimo financiamiento que garantice la calidad de sus productos y la respectiva producción de los mimos. Sin embargo, las características intrínsecas de los bioprocesos (comportamiento no lineal, cinéticas inciertas, parámetros biológicos que varían con el tiempo, etc.) hacen que su operación sea díficil de reproducir y controlar.

Hasta el momento el manejo de procesos biológicos ha sido rudimentario. Los

sensores que se utilizan en la actualidad son muy básicos (e.g., temperatura, pH, etc.) por lo que estos procesos generalmente se operan a lazo abierto. Esta situación contrasta con los resultados recientes obtenidos en varios campos de la ingeniería en donde se han podido llevar a la práctica tecnologías avanzadas de operación, supervisión y control automático para poner en evidencia que los bioprocesos deben ser optimizados y mejor controlados. Aunque en el mercado han aparecido nuevas tecnologías de medición (como la de UV o electródos específicos) que pudieran ser aplicadas en bioprocesos, los costos de las mismas hacen que su implementatción en la práctica sea prohibitivo. Los métodos de inteligencia artificial (IA) como los sistemas basados en el conocimiento o aquellos de lógica difusa (fuzzy) han traído nuevas perspectivas de análisis de los bioprocesos y al mismo tiempo, han introducido una “dimensión biológica” en el control y la supervisión de bioprocesos. Los métodos derivados de la teoría de control no lineal han encontrado algunas aplicaciones en algunos bioprocesos sencillos (fermentaciones alcohólicas, principalmente) operados bajo condiciones normales de presión y temperatura pero que no han sido capaces de satisfacer los requisitos de producción y calidad cuando los procesos operan en condiciones anormales. Otros problemas que han complicado la aplicación de algoritmos avanzados de control son los asociados con la inherente variabilidad de los procesos biológicos. Esta es probablemente la razón por la cual la mayoría de los estudios se han venido realizando a escala laboratorio ya que difícilmente pueden implementarse a escala piloto o industrial.

Por otro lado, algunos métodos, como el control predictivo y el control adaptativo, han encontrado ciertas aplicaciones industriales en plantas de tratamiento biológico de efluentes. Esto ha conducido a pensar que los bioprocesos podrían ser optimizados en corto tiempo. Sin embargo, la gran mayoría de algoritmos de control utilizados actualmente son esencialmente del tipo "todo o nada" (on/off), Proporcional Integral (PI) o aun Proporcional Integral Derivativo (PID). Aunque este tipo de reguladores ofrecen resultados satisfactorios en la práctica para problemas monovariables (caso SISO por sus siglas en inglés), ellos no están adaptados a contextos multivariables o multiobjetivos. Además, no toman en cuenta específicamente la naturaleza no lineal de los procesos biológicos.

Finalmente, los resultados obtenidos en el diagnóstico de fallas y el monitoreo de variables no medidas en diferentes procesos biológicos han motivado a extender su uso a bioprocesos mas complejos como la digestión anaerobia, la digestión aerobia, la síntesis de biopolímeros, etc. Esto implica combinar técnicas o esquemas de control avanzado con métodos de inteligencia artificial para monitorear y controlar los bioprocesos, o bien, desarrollar algoritmos de control mas robustos con respecto a las



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diferentes incertidumbres y cambios en este tipo de procesos. Solamente bajo estas condiciones, los algoritmos de control robusto podrán ser usados en una escala industrial y lograr beneficios incalculables hasta el momento.

En este trabajo de ingreso a la Academia de Ingeniería, A.C. el autor presenta el estado del arte de las técnicas avanzadas de control y monitoreo de bioreactores y su aplicación en el tratamiento de efluentes con particular enfásis en la digestión anaerobia de vinazas provenientes de destilerías asi como las tendencias hacia la solución integral del problema de monitoreo y control de bioreactores utilizados en el tratamiento de efluentes altamente contaminantes. El desarrollo de esquemas de estimación de estados y control avanzado y sus subsecuentes aplicaciones en procesos biotecnológicos realizados por el autor le han valido el reconocimiento de sus pares internacionales quienes lo han integrado a redes académicas en la Unión Europea para participar en los proyectos Advanced Modern Control (AMOCO, enfocado a plantas de papel), ECOS-Nord (enfocado al problema de cotaminación de efluentes en agroindustrias) y TELEMAC (en donde se busca la solución del problema general de control de procesos de digestión anaerobia). Palabras clave: Estimación de Estados, Observdaores Robustos, Control Robusto, Digestión Anaerobia, TELEMAC.



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1. Introducción.

Debido a la creciente complejidad y necesidad de procesos industriales seguros, el monitoreo eficiente y los sistemas de soporte para decisiones se han vuelta cada vez más importantes. De hecho, incluso en condiciones normales de operación, pueden ocurrir diferentes tipos de disturbios con consecuencias serias en el desempeño del proceso. Por lo tanto, existe una clara necesidad de control avanzado para mantener el desempeño del sistema tan cerca como sea posible del óptimo. Esto es particularmente cierto en el caso de bioprocesos, donde el estado de la parte viva del sistema debe ser atentamente monitoreado. Se han publicado extensivos estudios y se han efectuado muchas conferencias internacionales sobre este tópico. Incluso, en las últimas dos décadas se ha observado un interés creciente para mejorar la operación de bioprocesos mediante la aplicación de esquemas avanzados de control. En particular, los procesos de tratamiento de aguas residuales (PTAR’s) biológicos, más eficientes que los métodos físico-químicos tradicionales pero al mismo tiempo más complejos, requieren que se garantice continuamente un buen desempeño, que tiene consecuencias importantes para la instrumentación, el control y la automatización [Olsson y Newell, 1999].

Dos importantes hechos (que pueden interpretarse como, incentivos y restricciones) han contribuido a este nuevo paradigma. El primer hecho ha sido la creciente demanda para aguas residuales purificadas de alta calidad en los efluentes de un PTAR que ha conducido incluso a normas más estrictas para cumplir con regulaciones ambientales [Huntington, 1998]. El segundo factor han sido las siempre presentes restricciones financieras en la operación de la planta. Ninguno de estos dos factores se puede disociar y por lo tanto, se deben tomar en cuenta en la instrumentación, control y automatización de los PTAR’s. De hecho, un tratamiento incompleto puede inducir severas fallas en la planta, que no solo reducen la calidad del tratamiento, sino que pueden tener también un impacto económico importante. Así, la necesidad de plantas controladas óptimamente se incrementará debido al endurecimiento de los requerimientos permitidos y la necesidad de la reducción de costos [Olsson y Newell, 1999]. Para cumplir completamente con los requerimientos relacionados con la calidad del agua y las muy estrictas nuevas normas ecológicas, así como reducir costos, el control óptimo de los PTAR’s enfrenta incertidumbres importantes que surgen de la complejidad intrínseca del diseño de la planta.

En este trabajo, la atención se enfoca principalmente en el proceso de digestión anaerobia porque es uno de los bioprocesos con mayor incertidumbre. Utilizado en el tratamiento de aguas residuales, este proceso transforma la materia orgánica de entrada en dióxido de carbono y metano a través de un conjunto de reacciones heterogéneas auto-catalíticas multi-etapa [Heinzle, et al., 1993]. Los siguientes seis principales factores de incertidumbre son ciertos para el tratamiento de aguas residuales en general, y en particular para la digestión anaerobia y claramente ilustran la necesidad de monitorear los sistemas y controlar automáticamente para optimizar la operación del proceso o detectar disturbios.



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• Incertidumbres Paramétricas: Un gran número de especies bacterianas llevan a cabo las transformaciones de la carga orgánica y los nutrientes en los procesos de tratamiento de aguas residuales sin relaciones directas o fácilmente comprensibles entre las poblaciones microbianas y la viabilidad. El rol de cada especie bacteriana no está claro, y aspectos tales como la fisiología celular y su modelado son difíciles de comprender a partir de mediciones externas [Dochain y Perrier, 1998]. Como primera consecuencia, las cinéticas de estas transformaciones son inadecuadamente conocidas [van Impe y Bastin, 1998]. Se han llevado a cabo esfuerzos extensivos para modelar estas cinéticas, pero no han sido exitosos para elucidar como los coeficientes de rendimiento, los parámetros cinéticos y la distribución de las poblaciones bacterianas cambian como una función de la composición de entrada y las condiciones de operación.

• No linealidad: Es bien conocido que los procesos cinéticos muestran

comportamientos altamente no lineales. Esto es una desventaja seria para la instrumentación y el control automático porque en contraste con los sistemas lineales donde la observabilidad puede establecerse independientemente de las entradas del procesos, los sistemas no lineales deben cumplir con la condición de detectabilidad dependiente de la disponibilidad de mediciones en línea, incluyendo las entradas al procesos en el caso de sistemas no autónomos.

• Estabilidad cuando se trabaja con sistemas variantes en el tiempo: Encontrar la

matriz de transición necesaria para establecer las condiciones de estabilidad no es una tarea fácil. De hecho, incluso en la teoría de sistemas lineales, existe usualmente una elección no trivial para resolver las condiciones requeridas y la solución se obtiene preferentemente a partir de integración numérica [Skelton, 1988]. Estos impide garantizar la estabilidad de antemano.

• Falta de sensores en línea: Un cuarto factor de incertidumbres surge a partir de la

falta de sensores adecuados para medir en línea todas las variables importantes en el proceso. Incluso cuando algunos de estos sensores están disponibles comercialmente hoy en día, son todavía costosos, consumen tiempo y requieren gastos adicionales para la instalación y uso [Huntington, 1998]. Por ejemplo, para prevenir que los analizadores se ensucien, las muestras de aguas residuales deben ser pre-tratadas para que estén libres de sólidos suspendidos. Además, cuando se utilizan eficientemente tecnologías de ultrafiltración para este propósito, la limpieza de membranas se vuelve una tarea tediosa y consume tiempo. Más aún, el rango de operación entre las corrientes de entrada y las corrientes de salida es muy diferente. En consecuencia, si se tiene la posibilidad de utilizar un analizador en línea, una práctica común consiste en colocarlo mejor en las corrientes de salida que en las corrientes de entrada o bien si esta instalación ofrece un pequeño margen de variación, dadas las pequeñas concentraciones de sólidos suspendidos, el precio a pagar para tal ventaja es una incertidumbre siempre presente acerca de la composición de entrada.

• Incertidumbre en el flujo de entrada: Estrechamente relacionado al punto

precedente es el hecho de que la composición del influente está altamente influenciado por restricciones, que pueden variar de una forma aleatoria dependiendo de las actividades humanas, industriales o ambientales. De nuevo, sin sensores en línea apropiados para medir estas variaciones, solo las estimaciones basadas en intervalos de confianza estadística pueden utilizarse en algunos casos.



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• Incertidumbres en las condiciones iniciales: El tema de la incertidumbre no es más que la simple tarea de determinar las condiciones del proceso necesarias para estudiar la dinámica global de proceso.

Para hacer frente a estos problemas, se ha propuesto en el pasado diversas

soluciones tales como los clásicos y bien conocidos filtros extendidos de Kalman (FEK) y observadores de Luenberger (OEL) que permiten la estimación de parámetros y estados del sistema. Una de las razones para la popularidad de estos estimadores es que son fáciles de implementar ya que el algoritmo puede efectuarse directamente a partir de un modelo en espacio de estado. Sin embargo, debido a que estos estimadores se basan en un modelo linealizado del proceso, las propiedades de estabilidad y convergencia son esencialmente locales y solo válidas alrededor del punto de operación y es muy difícil garantizar la estabilidad sobre un amplio rango de operación. Una razón para el problema de convergencia de los FEK/OEL es que, para garantizar la convergencia exponencial del observador, el proceso debe ser localmente observable, lo que es restrictivo en muchas situaciones prácticas y puede contribuir en la falla de estos estimadores de estados para encontrar una amplia gama de aplicaciones. Por ejemplo, la implementación de un FEK/OEL en biorreactores se basa en un conocimiento a priori de la observabilidad del proceso. Debido a las no linealidades de su dinámica, el análisis de observabilidad es más bien complejo en aplicaciones de procesos bioquímicos; y las grandes incertidumbres usuales en las cinéticas de las reacciones bioquímicas y las expresiones analíticas utilizadas para describirlas provocan que este enfoque sea incluso más difícil. De hecho, muy pocos trabajos estudian la observabilidad de procesos bioquímicos no lineales (Dochain y Chen, 1992) y están usualmente relacionados con aplicaciones particulares. Otro problema es que la teoría para el FEK/OEL está desarrollada suponiendo un perfecto conocimiento del modelo del sistema y de los parámetros, en particular de las cinéticas del proceso, y como consecuencia, es difícil desarrollar cotas del error para tomar en cuenta las grandes incertidumbres en estos parámetros.

Otras propuestas son los observadores adaptivos [Bastin y Dochain, 1990] y los observadores con modos deslizantes basados en la teoría de sistemas con estructura variable pero su diseño involucra condiciones que deben asumirse a priori o que son usualmente difíciles de verificarse [González-Alvarez, et al., 2006]. Todos estos enfoques resuelven – en un sentido u otro – algunos de los problemas descritos anteriormente pero en la mayoría de los casos, la complejidad de los algoritmos de estimación resultantes es una limitación para el cómputo en tiempo real. Efectivamente, los algoritmos de monitoreo demuestran ser eficientes si son capaces de incorporar la información importante del proceso que es bien conocida mientras hacen frente a la información faltante (ausencia de mediciones en lineal, incertidumbres en los procesos dinámicos, etc.) de una forma robusta.

Se presenta, de igual manera, una metodología de control reciente que utiliza la información parcial obtenida por los observadores por intervalos se ha diseñado para estabilizar exponencialmente una variable regulada en una vecindad de un punto de control predeterminado. Este objetivo se logra garantizando que una función cuadrática del error es una función de Lyapunov robusta exponencialmente estable (Rapaport y Harmand, 2002). Así, esta ley de control es capaz de lidiar con la ausencia de información confiable (observabilidad) y la incertidumbre. En este trabajo, proponemos la aplicación de este enfoque a la regulación una-entrada una-salida (SISO) de la demanda química de oxígeno (DQO) en la salida de un proceso de digestión anaerobia (DA). Un problema de control similar se estudió mediante



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simulación en (Alcaraz et al., 2000) pero en el caso actual, un mayor número de incertidumbres se introducen en las funciones no lineales que describen las cinéticas del proceso y la utilidad de esta metodología se demuestra bajo condiciones de máxima incertidumbre que pueden caracterizar los procesos de DA. Por último, se muestran resultados experimentales de una planta de DA a escala piloto (1 m3).

Finalmente, se presenta un esfuerzo multi e interdisciplinario de solución integral al

problema de control de la digestión anaerobia en donde se incorporan nuevas metodologías, obtenidas del área de la tecnología de la información y la comunicación, en procesos de tratamiento de aguas residuales. Se propone un sistema avanzado de gestión remota, capaz de administrar múltiples plantas de tratamiento de aguas residuales que no posean un experto a nivel local. Esta proupesta utiliza nuevos sensores para estabilizar automáticamente el proceso, alcanzando y manteniendo los requerimientos de depuración y asegurando un biogás de calidad adecuada para su uso en sistemas de cogeneración. Si el sistema automático detecta un fallo que no puede ser resuelto automáticamente o de forma local por un operario, entonces un experto ubicado en el Centro de Control de TELEMAC (TCC) podría contactarse automáticamente, vía Internet, para resolver el problema. 2. Fundamentos.

Los esfuerzos para satisfacer las necesidades específicas para el manejo y optimización de procesos pueden clasificarse de acuerdo al tipo de metodología empleada. Por un lado, es posible distinguir los enfoques basados en conjuntos de datos, aquellos fundamentados en conocimiento de expertos (en el amplio sentido del término) y aquellos fundamentados en una descripción analítica del sistema. Particularmente, este trabajo está interesado en los problemas de estimación y diagnóstico en el contexto de la tercera familia de propuestas, i.e., dentro de un contexto analítico. Por otro lado, se pueden distinguir las metodologías estáticas y dinámicas de acuerdo a si las relaciones entre las variables medidas y aquellas a estimar son estáticas o dinámicas. En este capítulo la atención se enfoca en el caso dinámico, para ser específicos en el eficiente desarrollo e implementación de los esquemas de estimación de estado (estimadores, “sensores suaves”, observadores de estado o simplemente observadores) que pueden utilizarse para diseñar estrategias de control y optimización en procesos químicos y bioquímicos.

Tres importantes razones justifican el recurrir a un estimador:

• Adquisición de conocimiento y modelado: Por ejemplo, cuando se debe determinar una variable que no puede medirse directamente, o para estimar parámetros claves del proceso.

• Control de proceso: Por ejemplo, cuando se desea controlar una variable que no

se mide directamente, o que no está convenientemente disponible o que las variables no medidas intervienen en el diseño de una ley de control.

• Supervisión y diagnóstico: Por ejemplo, cuando es necesario supervisar la

concentración de un microorganismo en una biopelícula para evitar condiciones de operación inestables.

Desde un punto de vista sistemático, las entradas de un estimador son las entradas al proceso (i.e., variables de control y disturbios medidos) también como mediciones disponibles en línea en el proceso, mientras las salidas del estimador son los estimados



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de las variables no medidas. Un diagrama que ilustra este concepto se muestra en la Figura 1.

Fig. 1. Un esquema de estimación general (x: variables de estado, p: parámetros, z: variables auxiliares)

La estructura interna de un observador se basa en el modelo del sistema considerado. Por supuesto, el modelo puede ser extremadamente simple o reducirse a una simple relación algebraica vinculada a mediciones disponibles. Sin embargo, cuando el modelo es de tipo dinámico, el valor de una variable no está solamente influenciado por las entradas en el momento considerado sino que también los primeros valores de las entradas así como por otras variables del sistema. Estos fenómenos se describen entonces por ecuaciones diferenciales. Debido a que estos modelos contienen información de las interacciones entre las entradas y las variables de estado, se utilizan para estimar variables no medidas a partir de mediciones fácilmente disponibles.

En términos de los métodos, los enfoques de síntesis pueden clasificarse de acuerdo

al tipo de modelo en el que se basan. Así, se distinguen – entre los aplicados a los bioprocesos – dos grandes clases: enfoques lineales y no lineales. En los enfoques lineales, se distinguen el observador de Luenberger (OL) y el filtro de Kalman (FK) de acuerdo al contexto determinístico o estocástico, respectivamente. En los enfoques no lineales, se distinguen el OL y FK en sus formas extendidas (i.e., OEL/FEK), los observadores con cinéticas desconocidas (llamado también observador asintótico), los observadores de Alta Ganancia (OAG) y los observadores por intervalos (OI). Estos esquemas de estimación se describen posteriormente en este capítulo. Una revisión del estado del arte de la estimación de estados en bioprocesos se presenta en la Tabla 1 que incluye las ventajas y desventajas de los esquemas más comunes de estimación (i.e., FEK y OEL) y las metodologías más específicas que se han aplicado en tales sistemas dinámicos. 2.1 Observadores para bioprocesos.

Una breve descripción de los observadores. Para describir los principios guía de los observadores considerados en este capítulo, se utiliza el siguiente modelo general sin ruido

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

0 0, ,

dx tf x t u t x t x

dt

y t h x t

= =

=

(1)

Proceso x y/o π

Estimador z

u y

x y/o π

^

^



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donde x(t) ∈ Ω ⊂ ℜn, u(t) ∈ ℜm, y(t) ∈ ℜp, representa el vector de estado, el vector de entrada y el vector de salida, respectivamente. x0 denota las condiciones iniciales al instante t0. f : ℜn × ℜm → ℜn y h : ℜn → ℜp son funciones que cumplen con las propiedades de existencia y unicidad de las soluciones.

Algunos observadores clásicos. La utilidad de los observadores clásicos recae en las características dinámicas de la estimación del error. Si el usuario es capaz de regular la velocidad de disminución del error, la consecuencia directa es que el valor estimado converge tan rápido como se desee hacia el valor real de la variable considerada.

Una descripción general de un observador clásico está dada por

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )ˆ

ˆ ˆ,dx t

f x t u t k h x t y tdt

= + ! (2)

donde f describe exactamente y sin ningún error de modelado el sistema real. Entonces, las predicciones del modelo son corregidas por la diferencia entre la salida (mediciones) y la salida teórica dada por el observador. Después, uno puede sintonizar la amplitud de la corrección mediante k, que se denomina ganancia del observador. Los FEK, OEL y OAG pertenecen a esta clase de observadores pero difieren esencialmente e las suposiciones y en los procedimientos que hacen posible calcular su respectiva ganancia. Para el FEK, la ganancia se calcula de tal forma que las propiedades estadísticas de las variables a ser estimadas se garanticen a pesar de incertidumbres tomadas en cuenta y que pueden afectar las mediciones o el estado del sistema. Vale la pena mencionar desde un punto de vista estocástico que el FEK es un filtro más que un observador. En contraste, el OEL cae dentro del rango determinístico donde las incertidumbres y ruido en las mediciones ya no son caracterizados por propiedades estadísticas. La ganancia de este observador puede entonces calcularse de tal forma que las propiedades relacionadas a su velocidad de convergencia y a su estabilidad se garanticen. En ambos casos, sin embargo, el cálculo de sus ganancias requiere una linealización del modelo del sistema, que es solo válida alrededor de una condición de operación dada y requiere una buena caracterización de las no linealidades que en la mayoría de los bioprocesos implica el completo conocimiento de las cinéticas del proceso. Por otro lado, los OAG’s no requieren de la linealización del sistema, que permite obtener una velocidad de convergencia mayor que el FEK y el OEL. Sin embargo, este observador es muy difícil de sintetizar en la práctica ya que es muy sensible con respecto al ruido y la calidad del modelo utilizado.

Observadores asintóticos. Con respecto a los observadores conocidos como asintóticos, introducidos por Bastin y Dochain [1990], su diseño se efectúa de una forma diferente ya que no tiene ganancia que haga posible sintonizar su velocidad de convergencia. Además, tienen la ventaja de ser completamente independientes de las no linealidades del sistema (i.e., los términos cinéticos) dado que satisfacen ciertas suposiciones durante su síntesis, que se detallará posteriormente. Para ilustrar la base de estos observadores, considere un bioprocesos simple en el que una biomasa X crece con un sustrato S en un reactor continuo de tanque agitado (CSTR):

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )in

X t D t X

S k t X D t S t S

µ

µ

= !

= ! + !

&

& (3)



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donde m(t) : tasa específica de crecimiento de la biomasa k : coeficiente de rendimiento para la conversión del sustrato

en biomasa Sin(t) : concentración de sustrato en la entrada D(t) : tasa de dilución (D(t) = Q(t)/V ≥ 0, donde Q(t) es el flujo

volumétrico y V es el volumen del reactor) Ahora, asuma que se desea estimar la concentración de la biomasa X utilizando las

mediciones de S – presumiblemente continuas –, sin el conocimiento de la velocidad de crecimiento. Con este objetivo, se introduce una variable auxiliar ζ definida por:

kX S! " + (4)

por lo que la dinámica de ζ puede escribirse en la siguiente forma:

( ) ( )( )inD t S t! != " "& (5)

Entonces, una estimación de la concentración de los microorganismos puede fácilmente obtenerse resolviendo (4) para X̂ ; es decir

( )1ˆX̂ S

k!= " (6)

donde !̂ es la solución de:

( ) ( )( )ˆ ˆin

D t S t! != " "& (7)

En este ejemplo, es fácil ver que, la dinámica de ζ es independiente de las cinéticas m, que da una solución específica al problema bien conocida del desconocimiento de la velocidad de crecimiento de la biomasa en el bioproceso [van Impe y Bastin, 1998]. También se puede verificar que la velocidad de convergencia no puede sintonizarse porque depende exclusivamente del valor de la tasa de dilución. Efectivamente, Bastin y Dochain [1990] han mostrado que una condición para garantizar la convergencia del observador es que la tasa de dilución D debe ser una entrada persistente, i.e., que hay dos constantes positivas c1 y c2 tales que, en cualquier instante t:

( )2

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t c

t

c D d! !+

< " # (8)

En la práctica, se ha mostrado que c2 debe ser pequeña comparado con las constantes de tiempo del proceso y que c1/c2 es suficientemente grande para garantizar la velocidad de convergencia del observador [Bernard y Gouzé, 2001]. Con respecto a los observadores por intervalos, se describirá en detalle posteriormente. Sin embargo, su uso para la observación robusta de variables no medidas en el contexto de un PTAR biológico se justifica en la siguiente sección.

Observadores por intervalos. En los enfoques presentados anteriormente, las entradas al sistema son necesarias para sintonizar los observadores. Además, incluso cuando los observadores asintóticos permiten robustificar los OAG’s – en el sentido de que limitan el conocimiento necesario a priori para sintetizarlos –, no permiten la sintonización de la velocidad de convergencia, que se determina completamente por las condiciones del procesos (i.e., la tasa de dilución). Esta propiedad puede involucrar



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tiempos de convergencia importantes.

La mayor dificultad que limita la aplicabilidad de los métodos presentados previamente en los PTAR’s biológicos radica obviamente en la dificultad (y algunas veces en la imposibilidad) de medir las concentraciones de entrada al proceso. Incluso cuando en ciertas industrias (farmacéutica, alimentaria, etc.), las entradas del sistema son frecuentemente variables de control. Este no es el caso en los PTAR’s, donde las variaciones en la composición del efluente a ser tratado es una de las principales fuentes de disturbios e incertidumbres. Una primera solución a esta restricción recae en el uso de los enfoques conocidos como “robustos” respecto a los disturbios desconocidos. Entre aquellos que hacen posible reconstruir unívocamente el estado de la dinámica del sistema, se distinguen dos metodologías: 1) los observadores por modos deslizantes [González-Alvarez, 2006] y, ii) los observadores con entradas desconocidas [Darouach, et al., 1994]. Sin embargo, estas metodologías requieren el conocimiento de las cinéticas – o al menos parcialmente –, que es una restricción difícil en el campo del tratamiento de aguas residuales. Muchas razones han limitado la capacidad de medir las entradas del proceso:

• Antes que nada, la instalación de sensores avanzados generalmente requiere la implementación de una filtración en el sistema. Sin embargo, la presencia de materia suspendida en gran cantidad en las entradas del proceso limita la posibilidad de utilizar este recurso en tales sistemas, que son, además, extremadamente caros, en inversión y mantenimiento;

• En muchas aplicaciones prácticas, los instrumentos de medición cubren un rango específico de operación, que puede utilizarse en la entrada o en la salida del bioproceso pero no en ambos lugares. Las concentraciones de entrada son usualmente mucho mayores que las concentraciones de salida y por lo tanto se requieren dos sensores diferentes con diferentes sensibilidades que pueden ocasionar un costo adicional en instrumentos de medición. Esta observación impide el uso de un solo sensor que puede ubicarse en la corriente de entrada para medir una cierta variable y entonces ubicarse en la salida para registrar alguna otra variable o magnitud;

• Finalmente, si estos sensores son necesarios desde un punto de vista de control de proceso, y tomando en cuenta el hecho de que para instalar dos sensores, uno en la entrada y otro en la salida, no es financieramente posible, el conocimiento limitado del bioproceso y su carácter dudoso motiva a los ingenieros de control a considerar un control re-alimentado en lugar de un control pre-alimentado. Un sensor, si está disponible, se preferirá instalarlo en la salida del proceso que en la entrada.



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Fig. 2. Observabilidad y detectabilidad para sistemas no lineales

De esta forma, parece claro que los enfoques descritos anteriormente no pueden aplicarse rigurosamente a los PTAR biológicos por que no son detectables para tales entradas desconocidas. Ciertamente, en el contexto general de la teoría de los observadores, y desde un punto de vista no lineal, pueden intervenir tres situaciones (ver Figura 2):

a) Sistemas observables donde se puede sintonizar la velocidad de convergencia; b) Sistemas no observables pero detectables – los modos no observables del

sistema son estables – ; c) Sistemas no detectables, donde es posible reconstruir solo un intervalo en el

cual es posible garantizar que los valores reales de las variables medidas se encuentran en realidad.

Los primeros dos casos corresponden a los enfoques del tipo de observadores unívocamente valuados mientras el tercero corresponde al conjunto de enfoques en los que se puede clasificar el observador por intervalos.

Consecuentemente, se ofrecen diferentes alternativas:

• Primeramente, ciertas industrias (por ejemplo, aquellas a cargo de procesamiento de las aguas residuales urbanas) tienen una composición de entrada que varía de una forma periódica. Es, por lo tanto, posible identificar una función que hace posible simular estas variaciones. Sin embargo, el riesgo de equivocarse en un situación de falla es más alto si la composición del efluente diverge significativamente del valor simulado;

• La segunda posibilidad consiste en asumir que estas variaciones se comportan

como una sucesión de saltos cuya amplitud se actualiza mediante mediciones efectuadas fuera de línea. Si este método es ciertamente muy simple, es prácticamente imposible de implementar en la mayoría de las plantas instaladas porque las variaciones son algunas veces relativamente repentinas e imprevistas y el número de muestras fuere de línea que se deben realizar puede volverse muy grande para llevarse a cabo prácticamente;



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• La tercera posibilidad se refiere a un conjunto de temas de investigación sobre el

desarrollo de métodos que hace posible la estimación en línea – para propósitos de control o diagnóstico – de las concentraciones de entrada al proceso. Comenzando a partir del conocimiento del modelo y las mediciones disponibles, tales enfoques consisten en sintetizar observadores de entradas desconocidas1 (Cf. Por ejemplo [Aubrun, et al., 2000]).

• Como última posibilidad pero no menos importante, también se puede recurrir a otros enfoques robustos tratando de limitar el conocimiento disponible de las entradas del proceso. Considere por principio que solo ciertas cotas, entre las que las concentraciones de entrada es probable que varíen, son conocidas. Utilizando solo este conocimiento, no es factible reconstruir el valor exacto de las variables a estimar, pero también es posible en algunas ocasiones, reconstruir intervalos garantizados para las variables a estimar (i.e., intervalos entre los cuales es posible garantizar que los valores reales de las variables consideradas se encuentran realmente).

Este último enfoque se ilustra en el siguiente bioproceso (posteriormente se extenderá el resultado para cubrir sistemas más complejos). De hecho, los observadores por intervalos, tales como los desarrollados aquí, están basados en los observadores asintóticos.

Considere el ejemplo desarrollado previamente para los observadores asintóticos (ecuaciones (3) a (7)). Nótese que, para estimar X̂ utilizando las ecuaciones (6) y (7), es necesaria una medición adecuada de Sin. Suponga que esta medición no está disponible pero en su lugar solo las cotas, dentro de las que esta variable es seguro que evoluciona, se conoce tales como ( ) ( ) ( )in in in

S t S t S t! +

" " . Entonces, es posible

sintetizar dos observadores:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

ˆ ˆ

ˆ ˆ

in

in

D t S t

D t S t

! !

! !

+ + +

" " "

= " "

= " "

&

& (9)

que – dado que están correctamente inicializados – permitirán reconstruir las cotas X̂ + y X̂ ! como:

( )

( )

1ˆˆ

1ˆˆ

X Sk

X Sk

!

!

+ +

" "

= "

= "

(10)

dentro de las que se garantiza que el valor real de X se encuentra, i.e.,

( ) ( ) ( )ˆ ˆX t X t X t! +

" " . Para mostrar esto, se introduce el error de estimación ˆe X X+

= ! .

De esta forma, su dinámica puede escribirse como:

( ) ( ) ( ) ( )( )in ine D t e D t S t S t

+= ! + !& (11)

1 No confundir la teoría de observadores con entradas desconocidas en la que el objetivo es estimar las variables de estado de un sistema sujeto a entradas no medidas. Aquí, el objetivo es precisamente estimar estas entradas desconocidas y no solo ciertas variables de estado.



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Por hipótesis, ( ) ( ) ( )( ) 0in in

D t S t S t+

! > . Consecuentemente, y dado que e(0) ≥ 0,

entonces e(t) ≥ 0, ∀t. Esto muestra que siempre y cuando ( ) ( )0in inS t S t

+< ! , se garantiza

que ( ) ( )ˆX t X t+

! si el observador está adecuadamente inicializado, es decir

( ) ( )ˆ0 0 0X X+< ! . Un razonamiento similar permitiría mostrar que eligiendo

( ) ( )ˆ 0 0X X+

! , es posible garantizar que ( ) ( )X̂ t X t+

! . Finalmente, se ha establecido que

si ( ) ( ) ( )ˆ ˆ0 0 0X X X! +

" " , y dado que ( ) ( ) ( )in in inS t S t S t! +< " , el uso del observador por

intervalos dado por las ecuaciones (9-10) permite reconstruir los límites inferiores y superiores de X, ( ) ( ) ( )ˆ ˆX t X t X t

! +" " .

3. Un modelo general.

En esta sección, se considera una clase de procesos bioquímicos cuyos balances de masa pueden describirse por las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ),x t Cf x t t A t x t b t= + +& (16)

donde x(t) es el vector de estados, C ∈ ℜn×r representa una matriz de coeficientes (e.g. coeficientes estequiométricos de rendimiento) y f(x(t),t) ∈ ℜn denota el vector de no linealidades (incluyendo velocidades de reacción). La matriz variante en el tiempo A(t) ∈ ℜn×n es la matriz de estado mientras b(t) ∈ ℜn pertenece a un vector que agrupa las entradas (i.e., el vector de flujos másicos de alimentación) y/o otras funciones posiblemente variantes en el tiempo (e.g., el vector de flujos de salida de gases, si existen).

Notar que la estructura del modelo (16) no es restrictiva a los bioprocesos y también puede utilizarse para describir una gran variedad de procesos químicos. Algunos ejemplos de estos procesos son los reactores continuos, los reactores con recirculación y los reactores interconectados donde la matriz A(t) es normalmente una función de las condiciones operacionales de la planta (e.g., las tasas de dilución). Ahora, el marco de las incertidumbres y los conocimientos mínimos del sistema que se requieren para diseñar los observadores se describe formalmente. Para este propósito se introducen las siguientes hipótesis.

Hipótesis H1:

a) f(x(t),t) es completamente desconocido. b) A(t) se conoce para todo t ≥ 0. c) m variables de estado se miden en línea. d) C es constante y conocida. e) A(t) está acotada, es decir, existen dos matrices constantes A– y A+ tales que A– ≤ A(t)

≤ A+. f) Las condiciones iniciales del vector de estado son desconocidas pero las cotas

garantizada están dadas por x–(0) ≤ x(0) ≤ x+(0). g) El vector b(t) es desconocido pero sus cotas garantizadas, posiblemente variantes

en el tiempo, están dadas por b–(t) ≤ b(t) ≤ b+(t).



16

Nota 1. El operador ≤ aplicado entre vectores y entre matrices debe entenderse como una colección de desigualdades entre componentes.

Las hipótesis H1a-d se utilizarán para diseñar el observador asintótico, mientras que la hipótesis H1e se utilizará para el análisis de estabilidad. Las hipótesis H1f y H1g se utilizarán posteriormente para diseñar el observador por intervalos. Utilizando la hipótesis H1c, se asume que el espacio de estados puede dividirse de tal forma que (16) se puede rescribir como:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 11 1 12 2 1

2 2 21 1 22 2 2

,

,

x t C f x t t A t x t A t x t b t

x t C f x t t A t x t A t x t b t

= + + +

= + + +

&

&

(17)

donde las m variables de estado medidas se ha agrupado en el vector x2(t) (dim x2(t) = m) y las variables que deben estimarse están representadas por x1(t) (dim x1(t) = s = n – m). Las matrices A11(t) ∈ ℜs×s, A12(t) ∈ ℜs×m, A21(t) ∈ ℜm×s, A22(t) ∈ ℜm×m, C1 ∈ ℜs×r, C2 ∈ ℜm×r, b1(t) ∈ ℜ s y b2(t) ∈ ℜm, son las particiones correspondientes de A(t), C y b(t), respectivamente.

4. El observador asintótico.

Los observadores asintóticos fueron propuestos en Bastin y Dochain[1990] para el caso en el que la tasa de dilución es constante y la matriz A es diagonal, con la tasa de dilución presente en cada elemento de su diagonal principal. En este caso, la condición (8) es suficiente para garantizar la convergencia del observador. Estos observadores se extendieron por Chen [1992] para cubrir un caso más general de la ecuación (16) donde la matriz A puede no ser diagonal. En tal caso, la persistencia regular de la tasa de dilución, cuando es variante en el tiempo, no es suficiente para garantizar la convergencia y estabilidad del observador. Entonces, las condiciones suficientes para garantizar la estabilidad del observador en el caso de una matriz constante A es que debe ser del tipo de Metzler2. Más aún, para garantizar la estabilidad de los observadores asintóticos si una matriz A no diagonal es una función del tiempo, algunas condiciones al menos suficientes, se presentarán en la siguiente sección.

Diseño del observador asintótico. Dado que las no linealidades f(x(t),t) son

desconocidas, el observador asintótico se diseña de tal forma que permite la reconstrucción de los estados no medidos a partir de los estados medidos, sin importar con son las no linealidades desconocidas. Esto puede lograse encontrando una combinación lineal de las variables de estado adecuada w(t) = Nx(t) con N ∈ ℜs×n, tal que:

NC = 0 (18)

Se invoca la siguiente hipótesis adicional:

Hipótesis H2:

rango C2 = c

que implica las siguientes tres propiedades. La primera está relacionada a la partición (17) mientras que las otras dos permiten encontrar al menos una solución no trivial de (18).

2 Una matriz es Meztler si todos sus elementos fuera de la diagonal son positivos o nulos.



17

1. Para cumplir esta hipótesis, m y s se fijan como m ≥ c, y por lo tanto, s ≤ n – c. En otras palabras, el tipo y número de estados que deben medirse y estimarse se fija por la hipótesis H2. Así, esta hipótesis también establece como es la estructura de la partición (17).

2. La segunda es que C1 puede escribirse como una combinación lineal de C2 (i.e., C1 = K C2 con K ∈ ℜs×m).

3. La tercera propiedad es que la solución no trivial de (18) admite que al menos s columnas de N se elijan arbitrariamente.

Una vez que m y s se fijas por la propiedad (1) y, considerando las otras dos propiedades (2) y (3), una solución no trivial para (18) puede establecerse como sigue:

Particiónese N como [ ]1 2N N N= M con N1 ∈ ℜs×s, N2 ∈ ℜs×m y (18) se escriba

consecuentemente como N1C1 + N2C2 = 0. Entonces, debido a las propiedades (2) y (3), la solución más simple de (18) es aquella en que N1 puede elegirse arbitrariamente para calcular N2 como N2 = – N1C1C2

§ donde C2§ es una pseudo-inversa generalizada de C2

que satisface C2C2§C2 = C2. Nótese, sin embargo, que en general C2

§ no es necesariamente única (este hecho se utilizará posteriormente para el análisis de estabilidad). Por lo tanto, bajos las hipótesis H1a – d y H2, el siguiente sistema :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

1

1 1 2 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ0 0

ˆ ˆ

w t W t w t X t x t Nb t

w Nx

x t N w t N x t!

= + +

=

= !

&

(19)

con

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1 11 2 21 1

1 12 2 22 2

W t N A t N A t N

X t N A t N A t W t N

!= +

= + !

es un observador no lineal asintótico para el modelo no lineal variante en el tiempo (16). Nótese que el sistema (19) requiere que el conocimiento completo de A(t) y b(t), que se asegura por la hipótesis H1a-b. Nótese también que, debido a las hipótesis H1c-d y H2, el sistema (19) efectivamente permite la cancelación exacta de los términos no lineales contenidos en f(x(t),t).

Nota 2.

• Se debe notar que una elección de s columnas de N diferentes a N1 también es posible y, cualquiera que sea la elección, la existencia de 1

1N

! es necesaria para

reconstruir los estados no medidos. Sin embargo, sin pérdida de generalidad, se asumirá que N1 = kIs donde k es un parámetro arbitrario, real, positivo y constante. Otra razón para esta elección se detalla posteriormente.

• Para eliminar la dependencia de f(x(t),t), Chen [1992], distingue entre dos casos: a) c ≤ r, y b) c < r. Para cada caso, se proponen diferentes soluciones para (18). En este capítulo, utilizando C2

§ en la solución de (18), se cubren ambos casos.

• Un caso particular de los observadores asintóticos (19) ocurren cuando A(t) es proporcional a la matriz identidad. Bastan y Dochain [1990] han mostrado que en

el caso particular, es posible hacer otra(s) partición(es) ( ) ( ) ( )T

T T

a bx t x t x t! "= # $M (donde

los estados medidos y los no medidos se distribuyen arbitrariamente entre xa(t) y



18

xb(t)); y, por lo tanto, para proponer otra combinación lineal del estado w(t) = Naxa(t) + Nbxb(t) = N1x1(t) + N2x2(t) tales que N’C = 0, [ ]'

T

a bN N N= M . Esto permite que ( )w t& sea

completamente independiente del estado original (lo que es posible debido a la exactitud de la cancelación de la matriz X(t) en (19)). Entonces, N’ puede utilizarse para cancelar los términos no lineales en la dinámica de w(t) y N puede utilizarse para reconstruir los estados no medidos exactamente como en (4). Más aún, en tal caso, solo es suficiente una matriz N1 invertible por la izquierda. Por supuesto, esto permite una flexibilidad mayor en el diseño del observador asintótico. No obstante, en un caso más general, cuando A(t) no es proporcional a la matriz identidad,

cualquier partición del estado diferente a ( ) ( ) ( )1 2

TT T

x t x t x t! "= # $M implicaría la presencia

de los estados no medidos en las dinámicas de w(t), porque la cancelación de X(t) en (19), que es, por supuesto, inaceptable.

Estabilidad del observador asintótico. Como se mencionó anteriormente, Bastin y

Dochain [1990] han propuesto condiciones suficientes para la estabilidad de (19) cuando A(t) es proporcional a la matriz identidad. En tal caso, la estabilidad de (19) depende exclusivamente en las propiedades de A(t). También se estableció previamente que cuando A no es proporcional a la matriz identidad y tiene una estructura definida pero es constante, Chen [1992], proporciona suficientes condiciones para la estabilidad de (19). Entonces, en esta sección se propone una alternativa para el tema de la estabilidad de (19) cuando A(t) no es proporcional a la matriz identidad y dependiente del tiempo. Por otro lado, una propiedad denominada cooperatividad se utilizará. Esta propiedad debe cumplirse sobre la dinámica de la observación del error asociada a (19). La teoría de cooperatividad de un sistema permite comparar varias soluciones de una ecuación diferencial. Más particularmente, si un sistema considerado ( ),f t! !=& es cooperativo, entonces es posible mostrar que

dadas dos condiciones iniciales diferentes definidas término por término como x1(0) ≤ x2(0); entonces, las soluciones a este sistema se obtendrán de tal forma que x1(t) ≤ x2(t), donde x1 y x2 son las soluciones de las ecuaciones diferenciales del sistema con las condiciones iniciales x1(0) y x2(0), respectivamente. Esto es exactamente el mismo resultado establecido previamente en el caso de sistemas simples mono-biomasa/mono-sustrato. Tomando en cuenta esta propiedad se presenta el siguiente lema.

Lema 1. [Smith,1995]: Un sistema ( ),f t! !=& se dice que es cooperativo si ( ),0i

j

f t!

!

"

"# , ∀i

≠ j, que implica que si � (0) ≥ 0 entonces � (t) ≥ 0, ∀t ≥ 0.

Nótese que esta condición significa simplemente que la matriz Jacobiana debe ser una matriz Metzler. Nótese también que esta condición satisface completamente la propuesta de Chen [1992] que se ha evocado antes. El lector notará que cualquier sistema de orden uno es cooperativo; así como el observador asintótico desarrollado en el que la matriz A es diagonal. Por otro lado, nótese que en general, como se ha propuesto anteriormente, C2

§ puede no ser única. El único caso cuando C2§ es única es

cuando C2 es una matriz cuadrada de rango completo y entonces C2§ se vuelve C2

–1. En tal caso, las propiedades de estabilidad de (19) están estrictamente gobernadas por las condiciones de operación del sistema. Además, si C2

§ no es única, la propiedad de estabilidad (19) es una función de los límites operacionales y una elección adecuada de C2

§.



19

Ahora, considere la matriz

We(t) = N1–1W(t)N1 = A11(t) – C1C2

§A21(t) (20)

que está asociada a la dinámica de observación del error de (19). Nótese que bajo la hipótesis H1e es posible calcular cos matrices constantes ( )e e e

W W t W! +" " ∀t ≥ 0.

Entonces, se introducen las siguientes hipótesis.

Hipótesis H3:

a) ,

0e ij

W!" , ∀i ≠ j.

b) e

W! y

eW

+ son Hurwitz.

Proposición 1. Para cualquier C2§ (i.e., C2

§ es una pseudo-inversa generalizada (no solución única) o C2 = C2

–1 (solución única)), el observador (19) es asintóticamente estable si la hipótesis H3 se cumple.

Prueba. Primeramente, con referencia al lema anterior, la primera condición de esta proposición establece que

eW

! y por lo tanto We(t) y e

W+ son cooperativas.

Segundamente, sea ( ) ( ) ( )1 1ˆe t x t x t= ! si ( ) ( )1 1

ˆ 0 0 0x x! " o ( ) ( ) ( )1 1̂e t x t x t= ! , si

( ) ( )1 1ˆ 0 0 0x x! " el error de observación asociado a (19). Es sencillo verificar que e sigue

la dinámica ( ) ( ) ( )ee t W t e t=& . Entonces, debido a la cooperatividad de We(t), e

W! y

eW

+ , e(t)

está acotado por e1(t), la solución de ( ) ( )1 1ee t W e t

!=& , e1(0) = e(0), y e2(t), la solución de

( ) ( )2 2ee t W e t

+=& , e2(0) = e(0) (i.e., e1(t) ≤ e(t) ≤ e2(t), ∀t ≥ 0). Además, si e

W! y

eW

+ son Hurwitz,

entonces e(t) necesariamente converge asintóticamente a cero conforme t → ∞ para cualquier e(0). Por lo tanto, ( )1̂

x t también converge asintóticamente hacia x1(t) conforme t → ∞ para cualquier condición inicial.

Nota 3.

Además del rol que juega C2§ en la estabilidad de observador asintótico, nótese que

la estructura de la matriz asociada con el error de estimación, We(t), sugiere que C2§

puede jugar también un papel importante en la sintonización del observador asintótico. Efectivamente, si C2

§ no es una matriz única y si algunos parámetros diferentes a la(s) velocidad(es) de dilución se presentan en la sub-matriz A21, entonces C2

§ puede utilizarse para ubicar los polos deseados en

eW

! y e

W+ independientemente de las

condiciones de operación del proceso.

5. El observador por intervalos.

Generalizando el razonamiento que se ha presentado previamente en el caso de mono-biomasa/mono-sustrato, es relativamente fácil mostrar que se pueden rodear los estados no medidos de (16), i.e., reconstruir cotas para los estados no medidos dadas las adecuadas condiciones iniciales. La robustificación de este tipo de observadores asintóticos (el originalmente presentado por bastin y Dochain [1990]), en el caso de A diagonal, fue de hecho desarrollado y relativamente fácil establecido por Rapaport y Harmand [1998]. Sin embargo, cuando la matriz A del modelo (16) no es diagonal, el problema es menos obvio porque el observador asintótico asociado se escribe en esta ocasión de una forma diferente (como ha sido enfatizado en la sección precedente). Es entonces necesario utilizar de nuevo la teoría de sistemas cooperativos



20

para sintetizar un observador por intervalos para una clase de sistemas más generales.

Diseño de los observadores por intervalos. La teoría de los observadores por intervalos fue introducida por primera vez por Rapaport y Harmand [1998], estableciendo que, una condición necesaria para diseñar tales observadores por intervalos es que exista un observador con entradas conocidas (i.e., cualquier observador que puede diseñarse si b(t) es conocido). Si tal observador existe y si b(t) es desconocido (i.e., solo se conocen las cotas inferior y superior), la estructura de este observador puede utilizarse para construir un observador por intervalos. En esta sección, el primer requisito se cubre eligiendo un observador asintótico como basa para la estructura por intervalos. Ciertamente, además de ser un observador de entradas conocidas, el observador asintótico tiene la propiedad de ser robusto ante incertidumbres o no linealidades (i.e., permite la cancelación exacta de los términos no lineales).

Por otro lado, la característica principal de los observadores por intervalos es el uso

de la propiedad de cooperatividad antes mencionada, que debe cumplirse en la dinámica de la estimación del error. Ahora, suponga que las hipótesis H1f-g se satisfacen. Esto significa que, por un lado, están disponibles algunas cotas para las condiciones iniciales y, por otro, b(t) se considera en lo siguiente como no medido, pero alguna cota inferior y superior – posiblemente variante en el tiempo – es conocida. En tal situación, nótese que el modelo (16) no puede ser observable. Como consecuencia, no es posible diseñar observadores asintóticos tales como (19). Sin embargo, su estructura básica exponencialmente estable y su propiedad de ser independiente de las no linealidades se puede utilizar. La idea principal desarrollada en lo subsiguiente es diseñar un observador con conjunto-valuado para construir los intervalos garantizados para las variables no medidas en lugar de estimarlos precisamente. Entonces, considera la siguiente proposición.

Proposición 2. Considere que el siguiente sistema dinámico:

Para la cota superior:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

1

1 1 2 2

0 0

w t W t w t X t x t Nv t

w Nx

x t N w t N x t

+ + +

+ +

+ ! +

= + +

=

= !

&

Para la cota inferior: (21)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

2

1

1 1 2 2

0 0

w t W t w t X t x t Nv t

w Nx

x t N w t N x t

! ! !

! !

! ! !

= + +

=

= !

&

con ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1

2 2 2 22 2

T

v t b t b t b t b t b t± ± + ! + !" #= + ± !$ % ,

2 2,ijN N! "= # $% y

1 2 2M N N N! "= # $

%M M .

Si We(t) = N1–1W(t)N1 es cooperativa entonces, bajo las hipótesis H1-H3, el sistema

dinámico (21) es un observador por intervalos estable y robusto para el sistema (16) y garantiza que x1

–(t) ≤ x1(t) ≤ x1+(t) dado que x1

–(0) ≤ x1(0) ≤ x1+(0).

Prueba. Sean e+ = x1+ – x1 y e– = x1

– – x1 los errores de observación asociados a (21) que están relacionados a las variables de estado no medidas para las cotas inferior y superior, respectivamente. Por simplicidad, la notación e* se utiliza en lo subsiguiente para representar cualquiera de los errores e+ o e– ya que sus dinámicas tiene la misma



21

estructura matemática. Entonces, es sencillo verificar que:

( )* * *e W t e V= +& (22)

con V* = N1–1(Mv+ – Nb) en el caso de la cota superior y V* = N1

–1(Nb – Mv–) en el caso de la cota inferior y donde We(t) es estable debido a la hipótesis H3. Es obvio (cuando se consideran las definiciones de e+ y e–) que si la hipótesis H1f se cumple, entonces e*(0) ≥ 0. Por lo tanto, la positividad de V* se garantiza por la hipótesis H1g y la elección de N1 = kIs como se establece en la Nota 1. Así, a partir de la hipótesis H3 y la aplicación del Lema 1, el sistema (22) es cooperativo y estable. Por lo tanto, se garantiza que e* ≥ 0, ∀t ≥ 0 y por lo tanto, x1

–(t) ≤ x1(t) ≤ x1+(t), ∀t ≥ 0.

Sin embargo, se debe notar que normalmente el observador por intervalos (21) no puede sintonizarse. De hecho, debido a que el observador por intervalos está estructuralmente basado en la versión asintótica, tiene los mismos inconvenientes, i.e., cuando la sub-matriz A21 es idénticamente nula, la velocidad de convergencia depende exclusivamente de las condiciones de operación del proceso. También se debe tomar en cuenta que, en el estado estacionario, la amplitud del intervalo obtenida para cada estimación del estado es una función de la amplitud correspondiente al intervalo de las entradas del proceso. Considerar intervalos grandes en las entradas del proceso producirá intervalos grandes en los estados estimados. Así, en las situaciones prácticas relacionadas con la hipótesis H1g, es entonces deseable considerar intervalos tan pequeños como sea posible en las entradas del proceso.

Observadores asintóticos modificados [Alcaraz-González, 2005]. Con el propósito de acelerar la convergencia de los esquemas de estimación derivados de la teoría de los observadores asintóticos se han popuesto una gran variedad de algoritmos de corrección de ganancias que se pueden ajustar bajo diferentes propuestas de modificación. Por ejemplo, si se considera la transformación z4(t) = Ñ(t)x(t), donde

( ) nnt

~ !"# 1N , tal que

( ) ( )[ ]21NÈNN tt

~=

Nuevamente las matrices N1 y N2 corresponden a las del observador asintótico clásico, y la matriz de Ganancias Q(t) es ahora función del tiempo.

El nuevo sistema observador obtenido a partir de esta nueva transformación, queda descrito de la siguiente manera (Alcaraz González, et al., 2005):

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )!

"

!#

$

%=

=

++++=

&%

tttˆtˆ

ˆ~

ˆ

t,tt~

tttˆtt,tˆ~

ttˆ

yNÈzNx

xNz

ubNyYzZxfCNÈCNz

24

1

11

4

44422114

4000

&

(23)

donde



22

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )242221214

1

12121114

NÈZÈuANÈuANY

NuANÈuANZ

tttt,ttt,tt

t,ttt,tt

!++=

+= !

&

6. Un caso de estudio: Un proceso de tratamiento de aguas residuales.

La digestión anaerobia (DA) es una serie del procesos biológicos multi-sustrato multi-organismos que se lleva a cabo en la ausencia de oxígeno y mediante la que materia orgánica (expresada en DQO, la demanda química de oxígeno) es descompuesta y convertida en biogás, una mezcla de principalmente dióxido de carbono y metano, biomasa microbiana y materia orgánica residual [19]. Se han reconocido muchas ventajas a los procesos de DA cuando se utiliza para PTAR’s: alta capacidad para tratar sustratos lentamente degradables a altas concentraciones, muy baja producción de lodos, potencial para la producción de metabolitos intermediarios valiosos, bajos requerimientos de energía y la posibilidad de recuperar energía mediante la combustión de metano. La DA es ciertamente una de las opciones más prometedoras para producir agentes transportadores de energía renovables alternativa, tales como el hidrógeno, a través de la conversión del metano, directa producción de hidrógeno o conversión de subproductos. Sin embargo, a pesar de estos grandes intereses y pocos miles de instalaciones comerciales referenciados en el mundo [65], muchas industrias todavía están renuentes a utilizar procesos de DA, probablemente por su contraparte de su eficiencia: se pueden volver inestables bajo ciertas circunstancias. De esta forma, actualmente los objetivos de investigación no solo se extienden al potencial de la digestión anaerobia, sino también a la optimización de los procesos de DA e incrementar su robustez ante disturbios [van Lier, et al., 2001]. El diseño de estimadores de estado eficientes claramente va en estas dos direcciones ya que la instrumentación es usualmente escasa a escala industrial.

Modelo de la digestión anaerobia. En lo subsiguiente, un modelo de un proceso de digestión anaerobia llevado a cabo en un reactor continuo de lecho fijo para el tratamiento de vinazas proveniente de destilerías de vino se considera [Bernard, et al., 2001]:

( )( )

( )

( )

( )

( ) ( )2

1 1 1

2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 1 1 3 2 2

7 8 2 4 1 1 5 2 2

i

i

i

i

TI TI TI CO TI

X D X

X D X

Z D Z Z

S D S S k X

S D S S k X k X

C D C C k k P Z C S k X k X

µ !

µ !

µ

µ µ

µ µ

= "

= "

= "

= " "

= " + "

= " + + " " + +

&

&

&

&

&

&

(24)

donde X1, X2, S1, S2, y CTI, son respectivamente, la concentraciones de bacterias acidogénicas, bacterias metanogénicas, DQO, ácidos grasos volátiles (AGV) y carbono total inorgánico. La variable Z está relacionada con la alcalinidad total y representa la suma de los iones fuertes en el medio. En un equilibrio químico a pH 7 es razonable suponer que Z = S2 + HCO3

– donde HCO3– es la concentración de bicarbonato. Se supone

que ningún otro ión influye significativamente en Z. La variable D = D(t) es la tasa de dilución. En todos los casos, el superíndice i indica “concentración de entrada”. Para un reactor de lecho fijo, la biomasa se encuentra fija en un soporte. Por lo tanto no se ve



23

tan afectada por la tasa de dilución como en un reactor continuo. No obstante algunas bacterias son desprendidas por el flujo del líquido. Este efecto se puede incorporar en el modelo hidrodinámico de la biomasa si se considera que solo una fracción a de la biomasa es afectada por la dilución. El parámetro α (0 ≤ α ≤ 1) refleja la heterogeneidad del proceso: α = 0 corresponde a un reactor de lecho fijo ideal, mientras que α = 1 corresponde a un CSTR ideal.

Como en cualquier otro balance de masa para bioprocesos, se presenta un comportamiento cinéticos fuertemente no lineal debido a las tasas de reacción que están dadas por:

1 2 2

1,max 1 0 2

1 2 2

1 2 2

y/

S S I

S S

S K S K S K

µ µµ µ! !

+ + + (25)

La presión parcial de CO2 2

COP se expresa como una función de los estados como:

[ ]

2

2

8 2

8

4

2

T

CO

k P COP

k

!" ! "= (26)

con [ ] 2

7

2

2 8

tk Xl

T kCO k P

µ! = + + y [CO2] = CTI + S2 – Z.

Las definiciones de los parámetros y sus valores se enlistan en la Tabla 1. Por simplicidad en la notación, la dependencia del tiempo en las variables de estada así como en la tasa de dilución D y en la presión parcial de CO2

2COP se han omitido en las

ecuaciones (24) a (26).

Los observadores no lineales desarrollados en las secciones anteriores pueden aplicarse al modelo dinámico del proceso (24) definiendo el vector de estado de la siguiente forma:

1 1 3 5

2 2 4 6 2

TI iX C S

X Z S

! ! !

! ! !

= = =

= = =

Así, el modelo (23) toma la siguiente forma matricial:

( )

111

22

4 5 37 7 73 1 1

44 2 2

1 55

2 3 66

1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

DD

D

k k D k k k

D

k D

k k D

!!"!

!"!

!! µ !

!! µ !

!!

!!

# $ %# $ # $# $& ' & ' & '& '%& ' & ' & '& '& ' & ' & '& '# $ % + %

= + +& ' & ' & '& '& '%& ' & ' & '( ) & '

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% %& '& ' & '& ' ( )( ) ( )( )

&

&

& &

&

&

&

2

2

3 7 8

4

5

6

i

i

i

CO

i

i

i

D

D k k P

D

D

D

!

!

!

!

!

# $& '& '& '+& '& '& '& '& '( )

(27)

o simplemente ( )( ) ( ) ( ) ( ),Cf t t A t t b t! ! != + +& que es idéntico al modelo (16) con x(t) = x(t).



24

Tabla 1. Parámetros del modelo de la digestión anaerobia

Parámetro Significado Valor k1 Coeficiente de rendimiento para la degradación de DQO 12.1 kg DQO/kg X1

k2 Coeficiente de rendimiento para la producción de ácidos grasos

181.2 mol AGV/kg X1

k3 Coeficiente de rendimiento para el consumo de ácidos grasos

1640 mol AGV/kg X2

k4 Coeficiente de rendimiento para la producción de CO2 debida a X1

169 mol CO2/kg X1

k5 Coeficiente de rendimiento para la producción de CO2 debida a X2

273 mol CO2/kg X2

k6 Coeficiente de rendimiento para la producción de CH4 1804 mol CH4/kg X2 k7 Velocidad de transferencia gas/líquido 200 d–1

k8 Constante de Henry 0.2201 mol CO2/m

3kPa a Proporción de la tasa de dilución para las bacterias 0.5 (adimensional)

1,maxµ Velocidad máxima de crecimiento para la biomasa

acidogénica 1.25 d–1

m0 Velocidad máxima de crecimiento para la biomasa metanogénica

0.85 d–1

1SK Parámetro de saturación asociado con S1 7.65 kg DQO/m3

2SK Parámetro de saturación asociado con S2 18 mol AGV/m3

2IK Constante de inhibición asociada con S2 25 (mol AGV/m3)1/2

PT Presión total en el reactor 105.72 kPa Diseño de los observadores. A partir del modelo (27) es muy simple aplicar los

observadores (19) y (21) descritos en las secciones anteriores. De (27), es claro que rango C = 2. Por lo tanto, a partir de la hipótesis H2, solo un mínimo de los mediciones son requeridas para reconstruir el estado del proceso de DA. Así, de aquí en adelante, las dos concentraciones de sustrato S1 y S2, se utilizarán para estimar X1, X2, CTI, y Z.

Así, A se particiona de la siguiente forma

( )( )11 12 7 7 7

21 22

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

D

D

A A D k k k

A t D

A A

D

D

!

!

"# $% &"% &% &" + "# $% &% &

= ' = "% &% &% &% & '( ) % &

"% &% &"% &( )

M

M

M M

L L M

M L L L L L L

M

M

(28)

Nótese que en (28) la única variable dependiente del tiempo es la tasa de dilución D. En los cuatro ejemplos desarrollados en esta sección, D fluctúa entre 0.05 ≤ D(t) ≤ 1.15. Entonces, de acuerdo con la hipótesis H1e, A– = A|D = 1.15 y A+ = A|D = 0.05. Sin pérdida de generalidad y de acuerdo con la Nota R1, N1 puede elegirse arbitrariamente como N1



25

= I4. Así, N toma la forma:

[ ]( )

1 3 3

1 3 2 1

1 2

1 3 3 4 2 5 1 51 3

1 3

0 0 0 0

0 0 01

0 0 0

0 0 0 0 0

k k k

k k k kN N N

k k k k k k k kk k

k k

! "# $# $= =# $+# $# $% &

M

MM

M

M

(29)

Es fácil verificar que W(t) y We(t) se describen por:

( ) ( )( )7 7

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

e

D

DW t W t

D k k

D

!

!

"# $% &"% &= =% &" +% &

"% &' (

(30)

Nótese que la hipótesis H3a se satisface automáticamente. Más aún, debido a la hipótesis H1e es posible encontrar dos matrices

eW

! y e

W+ tales que

1.15e e DW W

!

== y

0.05e e DW W

+

== , respectivamente. Es obvio que la hipótesis H3b también se satisface.

Entonces, claramente el Lema 1 y las proposiciones P1 y P2 se cumplen. Finalmente, es fácil verificar que X(t) y M tiene las siguientes estructuras:

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

3

2 1

1 3 3 4 2 5 7 1 7 5 3

1 0

1 11

0 0

k D t

k D t k D tX t

k k k k k k k k k k k

!

! !

"# $% &

" "% &=% &+ "% &% &' (

(31)

( ) ( )

1 3 3 3

1 3 2 1 2 1

1 3 3 4 2 5 1 5 3 4 2 5 1 51 3

1 3

0 0 0 0 0

0 0 01

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

k k k k

k k k k k kM

k k k k k k k k k k k k k kk k

k k

! "# $# $=# $+ +# $# $% &

(32)

Por lo tanto, utilizando (29) a (32), los observadores quedan exactamente establecidos como en las ecuaciones (19) y (21) respectivamente.



26

Fig. 1. Representación esquemática del bioreactor anaerobio de lecho fijo

Ejemplo 1 Aplicación del observador asintótico en una planta de digestión anaerobia real

El observador asintótico se probó en una plante piloto experimental con un reactor anaerobio de lecho fijo con flujo ascendente de 1 m3 utilizado para el tratamiento de vinazas industriales de una destilería de vino obtenidas de las destilerías locales en el área de Narbonne (Francia) (ver la Figura 1). Estas corridas experimentales se llevaron a cabo durante un periodo de 35 días. Las mediciones de la tasa de dilución así como las concentraciones de S1 y S2 y la presión parcial de CO2 se realizaron en línea (ver las Figuras 2 a 5).



27

Fig. 2. Mediciones experimentales en línea de D Fig. 3. Concentración experimental en línea del efluente S1

Fig. 4. Concentración experimental en línea del efluente S2

Fig. 5. Mediciones experimentales en línea de la presión de CO2

Fig. 6. Concentración experimental del influente S1

Fig. 7. Concentración experimental del influente S2



28

Fig. 8. Concentración experimental del influente Z Fig. 9. Concentración experimental del influente CTI

Fig. 10. Estimación de la concentración de las bacterias acidogénicas

Fig. 11. Estimación de la concentración de las bacterias metanogénicas



29

Fig. 12. Estimación de la concentración de Z: (- -) estado estimado, () mediciones

experimentales en línea

Fig. 13. Estimación de la concentración de CTI: (- -) estado estimado, () mediciones

experimentales en línea

Los resultados de la estimación para los estados no medidos se describen en las

Figuras 10 a 13. Nótese que estas corridas experimentales fueron perturbadas con ruido experimental verdadero en las concentraciones de entrada, la tasa de dilución y los estados medidos. A pesar de estas perturbaciones, el observador asintótico mostró excelentes propiedades de convergencia y estabilidad ya que fue capaz de estimar, con una exactitud razonablemente buena, los estados no medidos exhibiendo un comportamiento no divergente.

Ejemplo 2 Aplicación del observador por intervalos en una planta de digestión anaerobia real

El observador por intervalos fue finalmente probado en línea en una serie de corridas experimentales conducidas durante un periodo de 35 días en la planta piloto anaerobia con reactor de lecho fijo. Los parámetros utilizados se enlistan en la Tabla 4. Para la implementación experimental del observador se consideraron desconocidas las concentraciones de entrada y solo se suministró una región frontera conocida para el observador por intervalos. Las Figuras 14 a 16 presentan los correspondientes intervalos para

1

iS y

2

iS y i

Z , respectivamente.

Para propósitos de comparación y para mostrar que la hipótesis H1g se cumple, las lecturas fuera de línea (tomando un periodo de muestreo regular) de estas entradas se han agregado. Cabe mencionar que este conjunto de datos no fue utilizado en la implementación en línea del observador por intervalos. i

TIC ,

1

iX y

2

iX de nuevo se

supusieron despreciables. Los datos experimentales reales para la tasa de dilución, D(t), así como la presión parcial de CO2, que se midieron en línea en la planta piloto, también se han introducido en los cálculos del observador por intervalos. Estas lecturas en línea se describen en las Figuras 17 y 18, respectivamente. Las mediciones de la concentración de sustratos S1 y S2 (mostradas en las Figuras 19 y 20) se obtuvieron a partir de muestreos en línea.



30

Fig. 14. Concentración de entrada 1

iS : ()

cotas, (o) lecturas fuera de línea

Fig. 15. Concentración de entrada 2

iS : () cotas,

(o) lecturas fuera de línea

Fig. 16. Concentración de entrada Z‘: () cotas, (o) lecturas fuera de línea

Fig. 17. Mediciones en línea de la asa de dilución

Fig. 18. Mediciones en línea de la presión parcial de CO2.

Fig. 19. Medición en línea la concentración de salida de la DQO



31

Fig. 20. Medición en línea de la concentración de AGV

Fig. 21. Concentración de la alcalinidad: () cotas superior e inferior estimadas, (o) lecturas fuera de

línea

Fig. 22. Concentración de la alcalinidad: () cotas superior e inferior estimadas, (o) lecturas fuera de línea

Las Figuras 21 y 22 muestran los resultados de la estimación para los intervalos de los estados no medidos CTI y Z. Nótese como las cotas estimadas por el observador por intervalos encierra correctamente estos estados no medidos. Para los otros estados no medidos, nótese que a pesar de que el diseño del observador por intervalos no permite sintonizar la velocidad de convergencia, este observador muestre excelentes propiedades de robustez y estabilidad y suministra resultados de estimación satisfactorios incluso con mediciones altamente corrompidas y fallas operacionales. Nótese en particular, la robustez del observador por intervalos alrededor del día 25 cuando las concentraciones de entrada aumentan drásticamente y cuando ocurre un disturbio mayor al día 31, debido a una falla operacional, resultando en una rápida caída de, la tasa de dilución (que en realidad cae a cero) y las lecturas de las concentraciones de sustrato. Las lectura fuera de línea del CTI y Z (no utilizadas en los cálculos de la estimación de estado) también se agregan a las gráficas para validad el diseño del observador propuesto (ver Figuras 21 y 22). Se debe notar que el



32

compromiso entre la velocidad de convergencia y la robustez no se logra completamente hasta que la dinámica del error estimado alcanza el estado estacionario.

7. Regulador robusto de retroalimentación.

Se recuerda que el objetivo es regular la concentración de DQO, s(t), alrededor de un cierto punto de control ssp. Nótese que, a primera vista, la hipótesis H1 sugiere un ambiente fuertemente incierto. Además, incluso si el observador por intervalos (3) no necesita del conocimiento de la cinética, un conocimiento mínimo de sus parámetros, expresado en intervalos, se necesitará (Cf., la hipótesis H1a y la Tabla 1). A continuación se introduce una hipótesis razonable: Hipótesis H2:

a) ( ) ( )( ) 00 >!!

stsin

b) ( )( ) 0>!!

sp

insts

Así, bajo las suposiciones A1, y las hipótesis H1 y H2 y utilizando los intervalos garantizados de x(t) obtenidos a partir del observador por intervalos (21), es posible demostrar (Rapaport y Harmand, 2002) que la siguiente ley de retroalimentación de la salida estabiliza exponencialmente a s(t) alrededor de ssp para cualquier l > 0 suficientemente pequeño mientras l (la ganancia del controlador) y d (el parámetro de saturación) aseguran que D(t) > d > 0 ∀t.:

!

D t( ) " D#t( ) =

µmax

#s t( )

kS# + s t( )

$# t( ) % & s t( ) % ssp( )

sin#

t( ) % s t( ) (33)

con ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

max

max

max

ˆ, , , si, , ,

ˆ, , , si

in

S spin

S in

S sp

k t s t s t sk t s t

k t s t s t s

µ !µ !

µ !

" + " +

+ " + "

# # # #$ %&

= '<&(

(34)

( )( )[ ]

( ) ( )sp

in

sp

insp

in

spS

spmaxssss

s,smaxs,ˆmin

sk

s!

""

#

$!!

%%

&

'

(()

*

++,

- !

+.

+

!

+

!

/0

1µ

20

0

(35)

!

" <

µmax

#ssp

kS

+ + ssp

min ˆ $ # 0( ),s

in #max ssp ,s 0( )[ ]% +

&

' ( (

)

* + +

s in #max ssp ,s 0( )[ ]

(36)

Es importante resaltar que la ley de regulación (33) no es continua en s(t) = ssp, i.e., dependiendo de los disturbios y las incertidumbres, puede conducir a un control con

“chattering” a través del arco s(t) = ssp entre los dos valores

!

D"1t( ) (i.e.

!

D"t( ) para

s(t) > ssp) y

!

D"2t( ) (i.e.

!

D"t( ) para s(t) < ssp). Para evitar el efecto de estas



33

discontinuidades, se introduce la siguiente modificación a la ley de control que resulta en una retroalimentación continua que estabiliza “prácticamente” el sistema. Para alguna constante e > 0, la siguiente ley de retroalimentación de la salida estabiliza el sistema entre (ssp - e) y (ssp + e):

!

D"#t( ) =

D#1t( ) if s t( ) > ssp + "

D#1t( )s t( ) $ ssp + "( )

2"+ D#2

t( )ssp + " $ s t( )( )

2"if s t( ) $ ssp % "

D#2t( ) if s t( ) < ssp $"

&

'

( (

)

( (

(37) Alvarez-Ramirez et al., (1996) han mostrado que una ley de control todo-nada

(on-off) o una ley de control proporcional pueden producir resultados de regulación satisfactorios sin utilizar cualquier estimador e ignorando la dinámica de la variable regulada. Sin embargo, esta metodología ha mostrado proporcionar acciones de control más grandes que no pueden utilizarse en la mayoría de las aplicaciones prácticas. En la metodología que se ha presentado, hemos utilizado, tanto como es posible, el conocimiento parcial acerca de la estructura de la dinámica y las incertidumbres para diseñar la ley de control para producir una respuesta más razonable con una magnitud práctica que garantiza la estabilidad exponencial del proceso.

Ejemplo 3. Aplicación en una planta piloto.

En esta sección ilustramos las ventajas de la ley regulatoria robusta SISO basado en intervalos (RI) que controla la concentración de DQO de un reactor anaerobio de lecho fijo con corriente ascendente de 1 m3 para el tratamiento de vinazas de la industria destiladora de vino obtenidas de las destilarías locales en el área de Narbonne, Francia (Steyer et al., 2002). Nosotros probamos la ley RI en las situaciones industriales típicas: a) en el evento de cambios en escalón del punto de control y, b) en presencia de perturbaciones drásticas inducidas en la carga orgánica. Para estas aplicaciones, elegimos l = 0.5833 h-1, e = 0.15, y utilizamos los intervalos de incertidumbre para mmax y ks reportados en la Tabla 2. Los resultados, en ambos casos de aplicación, se muestran en las Figuras 23 y 24, respectivamente, que muestran particularmente las siguientes variables en el transcurso del tiempo:

a) La concentración de entrada del DQO, sin. Las cotas utilizadas para sin se representan

con líneas sólidas. La mediciones fuera de línea (denotadas por –o–) se realizaron utilizando métodos estándar solo para validar lo selección del intervalo garantizado para la concentración de sin (Cf., la hipótesis H1e).

b) El término Yx!" estimado por el observador por intervalos (21) (línea sólida). Las

predicciones del modelo (línea punteada) obtenida utilizando los parámetros nominales reportados en la Tabla 1 se presenta solo para validad el observador por intervalos.

c) La tasa de dilución, D(t), (i.e. la variable manipulada). La línea negra representa la señal dada por las ecuaciones (33) a (36) y la línea gris representa la señal obtenida a partir del flujo medido.



34

d) La concentración de salida de s (i.e., la variable regulada) y su región de control (tubo de control) especificada por e.

Caso 1: Cambios en escalón en el punto de control. En esta aplicación, sin se mantuvo constante para el experimento complete (ver Figura 23a). Al comienzo de esta corrida, el proceso operaba a lazo abierto (i.e. sin control) hasta la 18ª hora cuando se aplica la ley de control RI (ver Figuras 23c-d). Los saltos en escalón a la referencia se efectuaron en varios instantes (ver Figura 23d). a) De 1 a 1.5 a 35 horas y de regreso a 1 a 40 horas y, b) de 1 a 1.5 a 84 horas y se mantuvo en este valor para el restos de la corrida experimental. La respuesta del controlador se presenta en la Figura 1d donde se puede ver que la concentración de salida de la DQO, s, se lleva rápidamente hacia el tubo de control una vez que el lazo de control se cerró y justo después de la introducción de los saltos en escalón para la referencia. Estos es posible mediante la manipulación de la tasa de dilución que exhibió un comportamiento bastante suave (ver Figura 23c). Nótese en particular, el excelente desempeño de la ley de control durante el intervalo de tiempo entre la 58ª y la 65ª hora cuando los datos en línea se perdieron debido a un problema técnico con la fuente de energía que resulto en la pérdida total de comunicación con el biorreactor y los dispositivos de control. Durante este corto intervalo de tiempo el proceso operó a lazo abierto pero una vez que la comunicación fue restablecida, la ley de regulación condujo a s de regreso al tubo de control. Caso 2: Perturbaciones en la concentración de entrada. La robustez de la ley RI se puso a prueba ante disturbios en las condiciones de entrada de la DQO (i.e. sin). En esta corrida experimental, inicialmente se alimentó el biorreactor con vinazas diluidas con agua (50:50 en volumen). Entonces, sin se incrementó gradualmente hasta alcanzar la concentración final de vinazas puras, 30 kg/m3 (ver Figura 24a). Los intervalos garantizados elegidos para esta aplicación fueron: 12 kg/m3 ±10% para las primeras 21 horas, 13 kg/m3 ±15% para el intervalo de 21-40 horas, t 22 kg/m3 ±50% cuando se alimentaron al reactor las vinazas puras a las 67ª horas. La Figura 24d describe la excelente respuesta de la ley RI que mantiene la concentración de salida de la DQO dentro del tubo de control. Nótese, en particular, el curso de los resultados de la estimación de x cuyo intervalo estimado incrementa para compensar el efecto de la creciente incertidumbre inducida al alimentar vinazas puras (ver Figura 24b). Por inspección de la Figura 24c, se puede apreciar más claramente el efecto de, la mayor incertidumbre de sin y el consecuente incremento de la incertidumbre de x en la variable manipulada, que mostró un comportamiento on-off durante este periodo de tiempo. Sin embargo, la excursión de D(t) hacia magnitudes no manipuladas mayores se previno gracias a la ley de control RI “práctica” que además corrigió el comportamiento on-off una vez que la incertidumbre de sin se redujo hacia el final de la corrida experimental. Tabla 2 Parámetros del modelo y su incertidumbre utilizados para la corrida experimental PARÁMETRO Valor nominal Incertidumbre Y (Kg X1/ Kg COD) 0.0116 Desconocido a (adimensional) 0.3 0.25≤a≤0.35 µmax ( h -1 ) 0.0541 0.0541≤µmax≤0.0583 ks ( Kg COD/m3 ) 3.7202 3.6≤ ks ≤3.8

Finalmente recordemos que no hemos enfocado en la regulación de la DQO y por lo tanto hemos utilizado principalmente el modelo de la fase acidogénica mientras el



35

efecto de la fase metanogénica no se tomó en cuenta explícitamente para esta aplicación; tal efecto se incluyó en la incertidumbre asociada a los términos cinéticos de la fase acidogénica. Por otro lado la estabilización práctica proporcionada por la ley RI no se restringió a s ya que la concentración de ácidos grasos volátiles, la composición del gas metano y la alcalinidad también alcanzaron sus respectivos valores en estado estacionario. Estos resultados no se muestran en este trabajo.

Figura 23. Resultados experimentales del

Caso 1.

Figura 24. Resultados experimentales del Caso 2.

Tiempo (h) Tiempo (h)



36

8 La solución integral via internet del problema de control de la digestión anaerobia.

El grupo de investigación del autor ha estado involucrado en la solución integral del problema de control de la digestión anaerobia incorporando nuevas metodologías, obtenidas del área de la tecnología de la información y la comunicación. El proyecto Telemonitoring and Advanced Telecontrol of High Yield Wastewater Treatment Plants (TELEMAC) financiado por la Unión Europea (en el cual el grupo de investigación de la Universidad de Guadalajara está involucrado) propone un sistema avanzado de gestión remota, capaz de administrar múltiples plantas de tratamiento de aguas residuales que no posean un experto a nivel local.

El proyecto TELEMAC consiste en diseñar un sistema modular y confiable de apoyo para el telemonitoreo y telecontrol a distancia de pequeñas unidades de tratamiento de aguas residuales que no poseen un experto a nivel local. El proyecto se enfoca específicamente en una tecnología re-emergente; es decir, los procesos de tratamiento anaerobio de aguas residuales (PTAAR). Esta tecnología presenta ventajas interesantes en comparación con el tratamiento aerobio tradicional: gran capacidad para degradar altas concentraciones de sustratos lentamente degradables, baja producción de lodos, bajos requerimientos energéticos y, en algunos casos, recuperación de energía mediante combustión de metano. Sin embargo, a pesar de estas ventajas, en la industria existen muy pocas plantas de tratamiento anaerobio, probablemente porque como contraparte de su eficiencia, el proceso de digestión anaerobia se puede volver inestable en presencia de algunos disturbios, tales como cambios en la cantidad o calidad del agua residual a ser tratada, conduciendo a una desestabilización del proceso debido a la acumulación de componentes intermediarios que provocan la eliminación de la biomasa (Verstraete y Vandevivere, 1999; Van Lier et al., 2001). En este caso se necesitan varias semanas o inclusos varios meses para que el proceso se recupere y, durante este periodo, no se puede realizar tratamiento biológico en la unidad. Como consecuencia, esta tecnología no podría funcionar sin la presencia de un experto a nivel local.

No obstante, las ventajas del esquema de reacción de la digestión anaerobia justifican ampliamente un mayor uso de esta tecnología a pesar de la inconveniente necesidad de la continua y eficiente supervisión de las plantas por parte de los usuarios finales. Por lo tanto resulta un gran reto para las ciencias computacionales y de control hacer que este proceso sea más confiable y factible a escala industrial. La reducción de la contaminación generada por un amplio conjunto de unidades industriales es de vital importancia. En particular esto es verdad para ciertas industrias y contaminantes tales como las industrias vinícolas o las destilerías ya que el tratamiento de las vinasas y aguas residuales alcohólicas es muy difícil. Además, este tipo de aguas residuales tienen un profundo impacto ambiental y son producidas por muchos usuarios alrededor del mundo. Debido a la alta concentración de carbono orgánico (por ejemplo una fábrica de Tequila de tamaño medio produce una contaminación equivalente a 125 00 habitantes) y a la lenta degradación de los efluentes de bebidas alcohólicas, la digestión anaerobia es una buena opción. Sin embargo, las vinasas se producen frecuentemente en unidades pequeñas y/o aisladas (especialmente los SMEs) que tienen su propia planta de tratamiento, pero que no puede pagar un experto para monitorearla. Es claro que los productores de vinos y bebidas alcohólicas necesitan un sistema de tratamiento eficiente y confiable, capaz de funcionar a pesar de disturbios frecuentes y sin contar con un experto a nivel local.



37

Esto mejoraría la calidad de sus procesos de tratamientos, reduciría los costos de tratamiento y permitiría obtener productos derivados más valiosos.

TELEMAC es un proyecto europeo patrocinado por un programa de la Sociedad Europea de Tecnologías de la Información (IST) (i.e., proyecto IST-2000-28156) coordinado por el ERCIM (Francia) y el INRIA (Francia) que comenzó en Septiembre de 2001 incluyendo 15 socios (INRA (Francia), AppliTek (Bélgica), Univ. Gent (Bélgica), Univ. Santiago de Compostella (España), Univ. Louvain-la-neuve (Bélgica), RAL (Reino Unido), SPES (Italia), ENEA (Italia), Agralco (España), Lemaire (Francia), Universidad de Guadalajara (México), Sauza (México), Allied Domecq (Reino Unido)).

El proyecto se enfoca específicamente en el tratamiento de vinasas. Para mejorar este proceso de telemonitoreo, primero se han desarrollado sensores adicionales que suministran información en línea de la cantidad y calidad del biogás, los ácidos grasos volátiles, bicarbonato y alcalinidad. Además de estos instrumentos de medición se utilizan sensores virtuales que toman los beneficios de modelos desarrollados para estimar los valores de las variables no medidas que tienen un gran impacto en el proceso.

Una segunda cuestión para mejorar el desempeño y la estabilidad de los PTAAR consiste en utilizar estrategias avanzadas de control. Dado que se dispone de una serie de modelos validados para condiciones normales de operación y también para fallas específicas, se tiene la base para desarrollar controladores robustos para lograr estrategias de control óptima en condiciones normales y para recuperar el proceso en caso de fallas.

Las estrategias avanzadas de control son suministradas por un sistema supervisor capaz de detectar en tiempo real o tan pronto como sea posible cualquier falla que pueda ocurrir en cualquier elemento del proceso. Esto significa que un sistema supervisor automático es capaz de realizar esta tarea para las SME’s que no pueden pagar un experto local permanente y en donde el análisis puede hacerse por expertos remotos solo cuando es necesario. Para este último punto, la tecnología de comunicación a través de computadoras proporciona una nueva herramienta capaz de mejorar la supervisión del procesos: gracias a los recursos de Internet, un centro remoto puede colectar y analizar eficientemente los datos de varias planta así como efectuar un diagnóstico utilizando bases de datos, para que un operador experto pueda configurar remotamente las pólizas de control de una planta en cualquier momento y desde cualquier parte del mundo (ver Figura 25). Se ha desarrollado un lenguaje XML – denominado PlantML – dedicado específicamente para procesos de tratamiento de aguas residuales para mejorar la modularidad y estandarizar la comunicación entre los diversos módulos.



38

9. Conclusiones.

En este trabajo de ingreso a la Academia de Ingeniería, A.C. se ha detallado una variedad de observadores no lineales útiles para bioprocesos, que son robustos ante un completo desconocimiento de las no linealidades del sistema así como ante incertidumbres importantes en las entradas del proceso. Además de las características del diseño de estos observadores, se han establecido suficientes condiciones para la existencia, estabilidad y convergencia. Particularmente, el uso de observadores por intervalos como una herramienta poderosa para el diagnóstico y detección de fallas fue también introducida. Toda la utilidad de estos observadores no lineales robusto se manifestó en un caso de estudio completamente real: un digestor anaerobio para el tratamiento de aguas residuales de efluentes agrícolas. Además, las estrategias más exitosas para la estimación de parámetros y variables de estado en bioprocesos se han revisado brevemente y comparado con las dos metodologías. Finamente, se han presentado y comentado algunas consideraciones relacionadas al futuro inmediato de estas metodologías cuando se aplican a los PTAR biológicos en general, y en particular a la digestión anaerobia.

Data base,

data-mining

Expert

! "=i

ii

inVV

dtdx

Advanced

ComputingXML XML

Internet

act

uato

rs

sensors

pro

cess

Local supervision

Data base,

data-mining

Expert

! "=i

ii

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dtdx

Advanced

Computing

! "=i

ii

inVV

dtdx

Advanced

ComputingXML XML

Internet

act

uato

rs

sensors

pro

cess

Local supervision

Supervisión local

Base de datos,

Cálculos avanzados

Experto

Pro

ceso

Actu

adore

s

Sensore

s



39

10. Referencias.

Alcaraz-González V., Harmand J., Steyer J. P., Rapaport A., González-Alvarez. V. and Pelayo-Ortiz C. (2000). Robust interval-based SISO regulation of an anaerobic reactor. 3rd IFAC Symposium on Robust Control Design, ROCOND2000, Prague, Czech Republic, 6 pp. on CD-ROM. Alcaraz-González V., Harmand J., Rapaport A., Steyer J. P., González-Alvarez V. and Pelayo-Ortiz C. (2002). Software Sensors for Highly Uncertain WWTP’s: A New Approach Based on Interval Observers. Water Research, 36(10), 2515-2524. Alcaraz-González V., Salazar-Peña R., González-Alvarez V.,. Gouzé J.L, and Steyer J.P. (2005). A tunable multivariable non-linear robust observer for biological systems. Comptes Rendus de l’Academie des Sciences Biologies (in Press), 2004. Alvarez-Ramirez J., Suarez A R. and Femat R. (1996). Control of continuous-stirred tank reactors: stabilization with unknown reaction rates. Chemical Eng. Science, 51(17), 4183-4188. Aubrun,C., Harmand, J., Garnier, O. and Steyer, J.P. (2000). Fault detection filter design for an anaerobic digestion process. Bioprocess Engineering, 22(5):413–420. Bastin, G. and Dochain, D.(1990) On-Line Estimation and Adaptive Control of Bioreactors. Elsevier, Amsterdam. Bernard, O. and Gouzé, J.L. (2001) Automatique des bioprocédés, chapter Estimation d’état, pages 87–120. Hermes, France. Bernard, O., Hadj-Sadok, Z., Dochain, D., Genovesi, A., and Steyer, J.P. (2001) Dynamical model development and parameter identification for anaerobic wastewater treatment process. Biotechnol. Bioeng., 75(4):424–438. Chen, L. (1992) Modelling, identifiability and control of complex biotechnological systems. PhD thesis, Université Catholique de Louvain, Louvain la Neuve, Belgique. Darouach, M., Zasadzinski, M., and Liu, S.J. (1994) Full-order observers for linear systems with unknown inputs. IEEE Trans. Automat. Contr., 39(3):606–609. Dochain, D.and Perrier, M. (1998) Advanced Instrumentation, Data Interpretation, and Control of Biotechnological Processes, chapter Monitoring and Adaptive Control of Bioprocesses, pages 347–400. Kluwer Academic Publishers. Dochain, D.and Vanrolleghem, P. (2001) Dynamical Modelling and Estimation in Wastewater Treatment Processes. IWA Publishing. González-Alvarez, V., Domínguez-Beltrán, J. L., Steyer, J. P., and Castillo Toledo B (2006). Robust observers for a class of time varying nonlinear systems. Application to a wastewater treatment process. Chemical Engineering Journal (en prensa). Henze, M., Harremoës, P., LaCour, R., Jansen, J. and Arvin, E. (1995). Wastewater Treatment: Biological and Chemical Processes. Springer, Heidelberg. Heinzle, E., Dunn, I.J., and Ryhiner, G.B. (1993) Modelling and control for anaerobic



40

wastewater treatment. In R. Aarts, M. Aynsley, J.E. Bailey, P.M. Doran, and I.J. Dunn, editors, Bioprocess Design and Control, volume 48 of Advances in Biochemical Engineering/Biotechnology, pages 79–114. Springer-Verlag, Berlín. Huntington, R. (1998) Twenty years development of ICA in a water utility. Wat. Sci. Technol., 37(12):27–34. Olsson, G. and. Newell, B. (1999) Wastewater Treatment Systems, Modelling, Diagnosis and Control. IWA Publishing, London. Rapaport, A. and Harmand, J. (1998) Robust regulation of a bioreactor in a highly uncertain environment. In IFAC-International Workshop on Decision and Control in Waste Bio-Processing, Narbonne, France, 1998. Rapaport, A. and Harmand, J. (2002) Robust Regulation of a class of partially observed nonlinear continuous bioreactors. Journal of Process Control, 12 (2), 291-302. Skelton, R.E. (1998) Dynamic Systems Control. Linear Systems Analysis and Synthesis. John Wiley & Sons, New York. Smith, H.L. (1995) Monotone dynamical systems. An introduction to the theory of competitive and cooperative systems. AMS Mathematical Surveys and Monographs, 41:31–53. van Impe, J.F. and Bastin, G. (1998) Advanced Instrumentation, Data Interpretation, and Control of Biotechnological Processes, chapter Optimal Adaptive Control of Fed-Batch Fermentation Process, pages 401–435. Kluwer Academic Publishers. Van Lier, J., Tilche, A., Ahring, B.K., Macarie, H., Moletta, R., Dohanyos, M.,. Hulsho� L.W. Pol, Lens, P., and Verstraete, W. (2001) New perspectives in anaerobic digestion. Wat. Sci. Technol., 43(1):1–18. 11. Bibliografía. Dochain, . and Vanrolleghem,P.. Dynamical Modelling and Estimation in Wastewater Treatment Processes. IWA Publishing, 2001. W. Verstraete, P. Vandevivere, New and broader applications of anaerobic digestion. Critical Reviews in Environmental Science and Technology, 29(2), (1999) 151.



41

12. Agradecimientos.

Varias personas han influido significativamente en mi vida profesional. Mi asesor, prof. Klav F. Jensen, ha sido siempre un ejemplo a seguir en el momento de asumir nuevos retos en mi carrera de investigador. La disciplina y la formalidad en el trabajo cotidiano que me inculcó en mis estudios de posgrado me han facilitado el logro de los objetivos que me he trazado en mis labores diarias. El apoyo incondicional que me han otorgado Jesús Alvarez Calderón y Jorge E. Puig Arévalo desde hace 20 años en las diferentes etapas de mi vida y formación profesional nunca se los podré retribuir totalmente.

A mis colaboradores, Jean-Philippe Steyer, Bernardino Castillo Toledo y Ricardo A.

Femat Flores, gracias por compartir sus conocimientos y su gran amistad. Mi mas sincero reconocimiento a todos y cada uno de los estudiantes de posgrado que han colaborado en los proyectos de estimación de estados y control avanzado. Les agradezco particularmente a C.P.O., V.A.G., H.O.M.A., J.P.G.S., R.S.P. y E.A.G. por las largas horas de discusión para encontrar la solución a los problemas compartidos. A mi Universidad de Guadalajara, por darme las facilidades para desarrollar mis ideas y sueños.

Finalmente, quiero agradecer todo el apoyo de mi familia. A mi esposa, Georgina,

y mis hijos, Victor Daniel y Denisse Georgina, les debo todo ya que sin su apoyo no habría podido realizarme como investigador. Gracias por su paciencia y comprensión en todo momento. Los amo.



42

Curriculum vitae del candidato 1. DATOS PERSONALES: NOMBRE VICTOR GONZALEZ ALVAREZ Correo Electrónico: victorga @cucei.udg.mx 2. GRADO ACADEMICO. Licenciatura en Ingeniería Química. Universidad de Guadalajara (1980). Doctorado (Ph.D.) Ingeniería Química. Universidad de Minnesota. E.U.A. (1987). 3. DISTINCIONES . PREMIO DEL GRUPO DURANGO 1992. Otorgado al mejor trabajo técnico del

XXXIII reunión anual de la ATCP. Miembro del Sistema Nacional de Investigadores desde 1987. Padrino de Generación. Ingenieros Químicos 87-92. Calendario B. Padrino de Generación. Ingenieros Químicos 92-97. Calendario A. Padrino de Generación. Ingenieros Químicos 93-98. Calendario A. Miembro del Comité de Evaluación de Programas de Posgrado del Padrón de

Excelencia del CONACyT. Evaluador externo. Abril de 1997.

Miembro del Comité de Evaluación del Sistema de Investigación SIMORELOS del CONACyT. Evaluador del área de Ingeniería y Tecnología. Junio de 1997.

Miembro del Comité de Evaluación del Sistema de Investigación SIMORELOS del

CONACyT. Evaluador del área de Ingeniería y Tecnología. Junio de 1998. Presidente de la Mesa del Area 5: Tecnología e Ingeniería.



Evaluador de proyectos FOMES 2000. SEP. Toluca, Edo. de México. Septiembre de

2000. Miembro del Comité de Evaluación del Sistema de Investigación SIMORELOS del






43

Miembro del Comité de Evaluación del Sistema de Investigación SIMORELOS del CONACyT. Evaluador del área de Ingeniería y Tecnología. Junio de 2002. Presidente de la Mesa del Area 5: Tecnología e Ingeniería.

Mejor Profesor de la Carrera de Ingeniero Químico. Universidad de Guadalajara.

CUCEI. Mayo de 2000. Ingeniero Químico 2000. Otorgado por el Colegio de Ingenieros Químicos de

Jalisco. Junio de 2000. Evaluador de proyectos de investigación científica del CONACyT desde 1990 a la

fecha.

Miembro del Comité Evaluador del Premio Estatal de Ciencia y Tecnología. COECyTJAL. Agosto de 2001.

Evaluador de proyectos de Fondo Mixto Hidalgo. CONACyT. 2002. Evaluador de proyectos de Fondo Mixto Jalisco. CONACyT. 2003. Miembro de la Academia Mexicana de Ciencias. Noviembre de 2004. Miembro de la Academia de Ingeniería, A.C. Octubre de 2005. Participación en los grupos de investigación apoyados mediante los siguientes programas de investigación:

1) FORTALECIMIENTO DE LA INFRAESTRUCTURA EXPERIMENTAL EN LA UNIVERSIDAD DE GUADALARA. (Proyecto aprobado por el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología). Partida 4: Medidores en línea de polímeros.

2) MODELADO, VALIDACION Y CONTROL DE UNA DIGESTION ANAEROBIA

REALIZADA EN U BIOREACTOR DE LECHO FLUIDIZADO. Institución que apoya el proyecto: ECOS _ANUIES_CONACYT. Número de convenio: MB-01-97. Objetivo: Modelar, validar un sistema anaerobio de tratamiento de vinazas tequileras.

3) TELEMONITORING AND ADVANCED TELECONTROL OF HIGH YIELD

WASTEWATER TREATMENT PLANTS. 5th Framework program IST. Unión Europea. 2001-2004.

4. EXPERIENCIA PROFESIONAL. Asistente de Investigación. Universidad de Minnesota. 1981-1984 Asistente de Investigación. Compañía 3M. St. Paul, MN 1984 1987 Asesor : SYPISA (Tratamiento de aguas residuales). 1987-1990 Asesor: EPINAGISA (Tratamiento de aguas residuales). 1990-1992 Asesor: DEPQUISA (Tratamiento de aguas residuales). 1992-Presente



44

5. EXPERIENCIA EN INVESTIGACION Y DOCENCIA. Profesor de medio tiempo: Universidad de Guadalajara. 1978-1981 Asistente de Investigación. Universidad de Minnesota. 1981-1984 Asistente de Investigación. Compañía 3M. St. Paul, MN 1984 1987 Profesor de tiempo completo: Universidad de Guadalajara 1987-presente.

6. PARTICIPACION UNIVERSITARIA

Coordinador del posgrado en Ingeniería Química. U. de Guadalajara. 1990-92 Coordinador del posgrado en Procesos Biotecnológicos. U. de Guadalajara. 1992-94. Coordinador de Investigación. Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías. U. de Guadalajara. 1994-2004. Rector del Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías. U. de Guadalajara. 2004-2007.



45

ANEXO I

TESIS DIRIGIDAS. Terminadas En proceso

Licenciatura 72 0 Maestría 44 3 Doctorado 9 3



46

ANEXO II. LISTADO DE PUBLICACIONES Revistas internacionales con arbitraje. 1. Estimation of molecular weight distributions in batch polymerizations. M.F.

Ellis, T.W. Taylor, V. González-Alvarez y K.F. Jensen. AIChE J. 34, No. 8, 1341 (1988).

2. Processing conditions optimization of PVC plastisol rotational molding. E.

Mendizabal, J.M. Candia, L. Cruz, V. González-Alvarez y C.F. Jasso. J. of Vynil Tech., 16, 2 (1994)

3. Monomer Chain Cross-Transfer Constants and cross termination factor

evaluation on styrene-acrylonitrile copolymerizations. E. Mendizabal, S. Velázquez, V. González-Alvarez C.F. Jasso. Polym. Engng. & Sci., 35, No. 2, 195 (1995)

4. A mathematical model of a fermentation process carried out in a fluidized

bed bioreactor. V. Alcaraz G., V. Zuñiga Partida y V. González-Alvarez. En el libro Advances in Bioprocess Engineering. Galindo y Ramírez (eds.) Kluwer. Pag. 349 (1994).

5. Desarrollo y validación de un modelo matemático de un proceso

fermentativo realizado en un bioreactor de lecho fluidizado. V. Alcaraz G., V. Zuñiga Partida y V. González-Alvarez.. Información Tecnológica. Marzo-Abril (1997).

6. Estimación de estados de un proceso fermentativo realizado en un bioreactor

de lecho fluidizado. V. Alcaraz G., V. Zuñiga Partida y V. González-Alvarez. Información Tecnológica. Marzo-Abril (1997).

7. Ammoxidized Kraft lignin as slow-release fertilizer tested on Sorghum

vulgare. F. Ramírez, M. Crespo, V. González-Alvarez , D. Meier, O. Faix y V. Zuñiga. Bioresource Technology 61,43-46 (1997).

8. Robust Nonlinear Control of a Fermentation Reactor. B. Castillo Toledo, V.

González-Alvarez y J.A. Luna Gutiérrez. Chemical Engineering Technology 22, 8, 1 (1999).

9. Neural Network Modelling of a Depollution Process.. J.P.Steyer, C. Pelayo-

Ortiz, V. González-Alvarez , B. Bonnet and A. Bories. Bioprocess Engineering, 1999 10. Slow Release Performance of N-Functionalized Lignin Treated on Two

Consecutive Fodder Sorghum Crops. F. Ramírez, A. Ramos, V. González-Alvarez , O. Faix, D. Meier and V. Zuñiga. Bioresource Technology, 16 (2000)

11. Immobilized biomolecules on plasma functionalized cellophane. I.

Covalently attached α-chymotrypsin. A. J. Martínez, S, Manolache, V. González, R. A. Young and F. Denes.J. Biomater. Sci. Polymer Edn., Vol. 11, No. 4, pp. 415-438 (2000).



47

12. Corrosion of copper in tequila at different temperatures. Carreón, A., N.

Casillas, V. González Álvarez y R. Prado Ramírez. Materials Perfomance, 40, No. 2, 50-53 (Dic. 2001)

13. Software Sensors for Highly Uncertain WWTP´s: A new Approach Based on

Interval Observers. V. Alcaraz González, J. Harmand, J.P. Steyer , A. Rappaport, V. González Alvarez y C. Pelayo Ortiz. Water Research 36 (10) 2515-2524 (2002).

14. Control de temperatura en un reactor catalítico para la alquilación de

hidrocarburos a pesar de cinética incierta. G. Carrizalez-Martínez, R. Femat y V. González-Alvarez. Información Tecnológica 14 (5), 43-49 (2003).

15. Temperature Oscillations in a Biological Reactor with Recycle. R. Femat,

H.O. Méndez-Acosta, J.P. Steyer and V. González-Alvarez. Chaos, Solitrons & Fractals 19, 875-889 (2004).

16. Modelado Dinámico de Tratamiento de Aguas Residuales por Digestión

Anaerobia Considerando Acumulación de Ácido Propiónico. V. Alcaraz, R. Salazar, V. González Alvarez y O. Bernard. Información Tecnológica 15 (2) 63-69 (2004).

17. Observador Asintótico Ajustable para Reactores Bioquímicos: Aplicación a

la Digestión Anaerobia. V. Alcaraz, R. Salazar, V. González Alvarez y O. Bernard. Información Tecnológica 15 (2) 69-74 (2004).

18. Fermentation de glycerol avec Propionibacteria et optimisation de la

production d’acide propionique. Bories, A. Himmi, E. Jauregui, JJA, Pelayo-Ortiz, C. and González-Alvarez, V. Sciences des Aliments 24 (2) 121-135 (2004)

19. The Role of Batch Distillation on the Quality of Tequila. Prado-Ramírez, R.,

H.A. Vega-Gómez, Pelayo Ortiz, C., H.E. Gómez Hernández y V. González-Alvarez. J. of Food Sci. and Technol., 40, 701–708. (2005)

20. Robust Exponential Nonlinear Observers for a Class of Lumped Models Useful

in Chemical and Biochemical Engineering: Application to a Wastewater Treatment Process. V. Alcaraz González, J. Harmand, J.P. Rappaport, V. González-Alvarez and J.P. Steyer. Australasian Journal of Chemical Processing and Mining 13 (3/4) 267-278 (2005).

21. TELEMAC: An Integrated System to Remotely Monitor and Control

Anaerobic Wastewater Treatment Plants through Internet. Bernard, O., Chahuat, B., Helias, A., Le Dantec, B., Steyer, J.P., lardon, L., Neveu, P., lambert, S. Ratini, P., Fratessi, S., Lema, J., Roca, E., Ruiz, G., Rodríguez, J., Franco, A. Vanrolleghem, P., Zaher, U., De Pauw, D.J.W., De Neve, K., Lievens,K., Dochain, D., Schoefs, O., Fibrianto, H., Farina, R., Alcaraz-González, V., González-Alvarez, V., Lemaire, P., Martínez, J.A., Duclaud, O. and J.F. Lavigne. Water Science and Technology 52 (1-2), 457-462 (2005).



48

22. A tunable multivariable nonlinear robust observer for biological systems. Alcaraz-González V.1, Salazar-Peña R.1, González-Álvarez V. 1, Gouzé J. L.2 and Steyer J. P. Biologies special issue “Conferénces d’Alcala, Ecologie Theorique” C.R. Biologies 328, 317-325 (2005),

23. A robust feedforward/feedback control for an anaerobic digester. Méndez-

Acosta, H.O.; Campos Delgado, D.U., Femat, R. González-Alvarez, V. Comp. and Chem. Engng. 29, 1613-1623 (2005).

24. Robust interval-based regulation for anaerobic digestion processes. V.

Alcaraz-González, J. Harmand, A. Rapaport, J. P. Steyer, V. González-Álvarez and C. Pelayo-Ortiz. Water Science and Technology , 52 (1-2), 449-456 (2005).

25. Kinetic Parameters Estimation in an Anaerobic Digestion Process using

Successive Quadratic Programming. C. A. Aceves-Lara, E. Aguilar-Garnica, V. Alcaraz-González, O. González-Reynoso, J. P. Steyer, J. L. Dominguez-Beltran and V. González-Álvarez. Water Science and Technology 52 (1-2), 419-426 (2005).

26. Optimización de la producción de inulinasas por Saccharomyces sp. a

partir de agave Tequilana Weber variedad azul. Corona-González, R.I, Pelayo-Ortiz, C. González-Alvarez, V. Y Zuñiga-Partida, V. e-gnosis (on line) 3:8 (2005)

27. Dos enfoques distintos para el diseño de un observador asintótico aplicado en un

proceso fermentativo descrito por EDP. E. Aguilar-Garnica, V. Alcaraz-González and V. González-Álvarez. Información Tecnológica (ISSN 0716-8756). ( Aceptado para su publicación 2006).

28. Reactions, characterization and ingestion of ammoxidized kraft ligning

labeled with 15N. F. Ramírez, G. Varela, E. Delgado, F. López-Dellamary, V. Zúñiga, V. González. O. Faix, and D. Meier. Bioresource Technology (ACEPTADO, 2005).

29. Robust Tracking for Oscillatory Chemical Reactors. J.P. García-Sandoval, V.

Castillo-Toledo and V. González-Alvarez. Aceptado para su publicación en el libro Topics in Dynamics and Control of Chemical and Biological Processes. Méndez-Acosta, H.O., Femat, R. and González-Alvarez, V. Springer-Verlag (2004).

30. Temperature Control via Robust Compensation of Heat Generation:

Isoparaffin/Olefin Alkylation. Carrizales-Martínez, G., Femat, R. and V. González-Alvarez. Aceptado para su publicación en el libro Topics in Dynamics and Control of Chemical and Biological Processes. Méndez-Acosta, H.O., Femat, R. and González-Alvarez, V. Springer-Verlag (2004).

31. Output Feedback Control of an Anaerobic Digester against Uncertainties: 1.

Design and Experimental Implementation. Méndez-Acosta, H.O., Femat, R., González-Alvarez, V. and Steyer, J.P. Aceptado para su publicación en el libro Topics in Dynamics and Control of Chemical and Biological Processes. Méndez-Acosta, H.O., Femat, R. and González-Alvarez, V. Springer-Verlag (2004).



49

32. Output Feedback Control of an Anaerobic Digester against Uncertainties: 2. Improving the Performance against Saturation. Méndez-Acosta, H.O., Femat, R., Campos-Delgado, D.U. and González-Alvarez, V. Aceptado para su publicación en el libro Topics in Dynamics and Control of Chemical and Biological Processes. Méndez-Acosta, H.O., Femat, R. and González-Alvarez, V. Springer-Verlag (2004).

33. Temperature Oscillations in a Biological reactor with Recycle. Méndez-

Acosta, H.O., Femat, R., Steyer, J.P. and González-Alvarez, V. Aceptado para su publicación en el libro Topics in Dynamics and Control of Chemical and Biological Processes. Méndez-Acosta, H.O., Femat, R. and González-Alvarez, V. Springer-Verlag (2004).

34. Artificial neural network modeling of a depollution process: II. Comparison

with a first principles model. C. Pelayo-Ortíz, V. González-Alvarez, J. P. Steyer and A. Bories. Biochemical Engineering Journal (submitted, 2003).

35. Robust interval observers for a class of uncertain nonlinear systems:

application to a wastewater treatment process., V. Alcaráz-González, C. Pelayo-Ortíz, V. González-Alvarez, J. Harmand, A Rapaport, and J. P. Steyer. Journal of Process Control (submitted, 2004).

36. Substrate regulation in an anaerobic digester via robust asymptotic

control: theoretical framework and experimental results. Méndez-Acosta,H.O., R. Femat, V. González-Alvarez and J.P. Steyer. Chemical Engineering Science (submitted, 2005).

37. Temperature control via robust compensation of heat generation:

isoparaffin/olifin alkylation. Carrizales-Martínez, G., R. Femat and V. González Alvarez. Chemical Engineering Journal (ACEPTADO 2006)

38. Nonlinear robust control of a polymerization reactor operating under

forced oscillations. J. P. García-Sandoval, V. González-Alvarez and B. Castillo Toledo. Computers and Chemical Engineering (submitted, 2005).

39. Robust observers for a class of time varying nonlinear systems.

Application to a wastewater treatment process. J. L. Domínguez-Beltrán, J. P. Steyer, B. Castillo Toledo and V. González-Alvarez. Chemical Engineering Journal (submitted, 2005).

40. Listado de publicaciones de memorias in extenso 41. On-line estimation and control of molecular weight distributions in

methylmethacrylate polymerizations. Proc. of the 1986 American Control Conference. Seattle, WA. T.W. Taylor, V. González-Alvarez y K.F. Jensen, Junio de 1986.

42. Estimation of the molecular weight distributions in MMA batch

polymerization. Proc. of the 1987 American Control Conference. Minneapolis, MN T.W. Taylor, M.F. Ellis, V. González-Alvarez y K.F. Jensen. Junio de 1987.



50

43. An experimental study of a simultaneous hydrolysis and fermentation process of sugar cane bagasse. Proc. of the 2nd Braz. Int. Symp. of Chem. of Lign. and other Wood. Campinas. Pag. 175 (1991). C. Pelayo, V. González-Alvarez, A. Camacho y V. Zuñiga. Septiembre de 1991.

44. Ammoxidation of lignocellulosic materials in a fluidized bed reactor. Proc. of

the 2nd. Europ. Workshop of Lignocellulosics. Grenoble, France . Page 235 (1992). A. Martínez, A. Camacho, E. Delgado, V. González-Alvarez, G. Allan y V. Zuñiga. Agosto de 1992.

45. Determinación de constantes cruzadas y factor de terminación en la

copolimerización de estreno-metacrilato de metilo. Memorias del II Congreso Latinoamericano de Polímeros. Guadalajara, México (1990). E. Mendizabal, S. Velásquez, V. González-Alvarez y C.F. Jasso.

46. Catalytic ammoxidation of kraft lignin in a fluidized bed reactor. Proc. of the

7th. Int. Symp. on Lign. Chem. Beijing, PRC. Page 549 (1993). Con A. Martínez, A. Camacho, E. Delgado, V. González-Alvarez, G. Allan y V. Zuñiga.Junio de 1993.

47. Organic fertilizers based on N-functionalized lignins. Proc of the 15th. World

Congress of Soil Science. Vol. 3b, 75 (1994). D. Rojas, A. Camacho, V. González-Alvarez, y V. Zuñiga. Acapulco, MX Agosto de 1994.

48. Robust Exponential Nonlinear Observers for a Class of Lumped Models Useful

in Chemical and Biochemical Engineering: Application to a Wastewater Treatment Process. Proc. Of the MISC Workshop on Application of Interval Analysis to Systems and Control. Girona, España. Febrero de 1999. V. Alcaraz González, J. Harmand, J.P. Rappaport, V. González-Alvarez and J.P. Steyer.

49. 15 N-Functionalization of Kraft Lignin and its charcaterization by FTIR, Py-GC-

MS and NMR. Proc. of the 10th Internatinal Symposium on Wood an Pulping Chemistry. Yokohama, Japón. Junio de 1999. G. Varela, E. Vidrio, E. Delgado, J. Ramos, V. Zuñiga, V. González-Alvarez , O. Faix, D. Meier, F. López-Dellamary and F. Ramírez.

50. Robust interval-based siso regulation for a class of highly uncertain

nonlinear systems: application to an aerobic reactor., V. Alcaráz-González, C. Pelayo-Ortíz, V. González-Alvarez, J. Harmand, A Rapaport and J.P. Steyer. Proc. 3rd. IFAC, Symp. of robust control design, Praga, Czech Rep. Junio, 2000

51. Mass Balance and Artificial Network Modelling of a Depollution Process: a

comparison study. C. Pelayo-Ortiz, V. González-Alvarez, J.P. Steyer and A. Bories. Proc. of the 11th Int. Biotech. Symp. Berlín, Germany. Septiembre (2000)

52. Comparison of propionic acid production using two Propionibacterium

acidipropionici strains and two substrates: whey and glycerol. V. Zúñiga-Partida, D. M. Díaz-Montaño, V. González-Alvarez, C. Pelayo-Ortíz and A. Bories. Proc. of the 11th Int. Biotech. Symp. Berlín, Germany.Septiembre (2000)

53. Enzymatic repolymerization of commercial polyhydroxyalkanoates (PHA’s)

in organic solvents. J. Nungaray-Arellano, S. Delon, A. González-Alvarez, V. González-Alvarez, and P. Meffre. Proc. of the 11th Int. Biotech. Symp. Berlín, Germany.Septiembre (2000).



51

54. Inulinase production from Saccharomyces sp grown on juices of Agave

tequilana Weber cv. Azul. R. I. Corona-González, V. Zúñiga-Partida, V. González-Alvarez and C. Pelayo-Ortíz. Proc. of the 11th Int. Biotech. Symp. Berlín, Germany.Septiembre (2000).

55. Parameter estimation in unstructured models of biological systems. O.

González-Reynoso, H.E. Ruthweiller,, V. González-Alvarez. Proc. of the 11th Int. Biotech. Symp. Berlín, Germany. Septiembre (2000).

56. Surface NH2-functionalization of cellophane from plasma-generated free radicals.

A.J. Martínez Gómez, R.A. Young, S. Anolache, F. Denes and V. González-Alvarez. Memorias del XXII Encuentro Nacional de la Academia Mexicana de Investigación y Docencia en Ingeniería Química. Mazatlán, México, Página 227 (2001).

57. Robust Interval-Based SISO and SIMO Regulation for a Class of Highly

Uncertain Bioreactors: Application to the Anaerobic Digestión. V. Alcaraz González, A. Maloum, J. Harmand, J.P. Steyer , A. Rappaport, V. González Alvarez y C. Pelayo Ortiz. Proceedings of the IEEE CDC 2000. Sydney, Australia, Diciembre 2000

58. Control de Temperatura en la alquilación de isobutano con tasa de reacción

desconocida G. Carrizales Martínez V. González-Alvarez y R. Femat Flores. Memorias del XXII Encuentro Nacional de la Academia Mexicana de Investigación y Docencia en Ingeniería Química. Mazatlán, México , Mayo 2001.

59. Chemical modification of Kraft lignin using 15N-labeled ammonia for

amoxidation. 11th Internatinal Symposium on Wood and Pulping Chemistry. Niza, Francia. Junio de 2001. F. Ramirez, G. Varela, E. Delgado, F. López-Dellamary, V. Zúñiga, V. González, O. Faix and D. Meier.

60. Robust Interval. Based SISO Regulation of a Highly Uncertain Anaerobic

Digester. V. Alcaraz González, J. Harmand, J.P. Steyer , A. Rappaport, V. González Alvarez y C. Pelayo Ortiz. Proceedings of the 8th International Conference on Computer Applications in Biotechnology. Modelling and Control of Biotechnological Processes. Québec, Canadá, Junio 24-27, 2001.

61. Robust Interval. Based SISO Regulation under maximum uncertainty

conditions in an anaerobic digester. V. Alcaraz González, J. Harmand, J.P. Steyer , A. Rappaport, V. González Alvarez y C. Pelayo Ortiz. Proceedings of the IEEE ISIC 2001. México City, México, Septiembre 2001.

62. Control Robusto Nolineal de un Digestor Anaerobio. H.O. Méndez-Acosta, R.

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H.O. Méndez-Acosta, R. Femat, D.U. Çampos-Delgado and V. González-Alvarez. ROCOND 2003. Junio de 2003. Milan, Italy.

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70. Observador asintótico ajustable para reactores (bio)químicos: aplicación a

la digestión anaerobia. R. Salazar-Pena, V. Alcaraz-González, J.L. Gouzé and V. González-Alvarez. CAIP 2003. Septiembre de 2003. Puebla, México.

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72. Estudio de la Reducción de Cobre en Tequila. A. Carreón Alvarez, R. Prado

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73. Estudios de las Variables de Operación de un Reactor Coaxial de Descargas

de Barrera Dieléctrica: Análisis Estadístico de la Generación de Ozono. K.A. Rodríguez Rivera, M.A. Sánchez Carrillo, V. González Alvarez, L.E. Cruz Barba y A. de J. Martínez Gómez. XXVI Encuentro Nacional AMIDIQ. Acapulco, Gro. México. Mayo de 2005.

74. Mejoramiento la Humectabilidad de Carbón Activado Mediante el uso de

Plasma No Isotérmico a Presión Atmosférica en un Reactor de Lecho Fluidizado. K.A. Rodríguez Rivera, M.A. Sánchez Carrillo, V. González Alvarez, L.E. Cruz Barba y A. de J. Martínez Gómez. XXVI Encuentro Nacional AMIDIQ. Acapulco, Gro. México. Mayo de 2005.



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75. Uso de Plasma Atmosférico en un Reactor de Lecho Fluidizado para Limpieza de Micropartículas dentro de los Intersticios de Carbón Activado.. M.G. Morales Ramos, M.A. Sánchez Carrillo, V. González Alvarez, L.E. Cruz Barba y A. de J. Martínez Gómez. XXVI Encuentro Nacional AMIDIQ. Acapulco, Gro. México. Mayo de 2005.

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Aguilar Garnica, V. Alcaraz González and V. González-Alvarez. The 7th. IASTED International Conference on Control Applications CCA 2005. Cancún, Q.R. May 2005.

77. Asymptotic Observer Design and Stability Analysis for a Fermentation

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78. Fuzzy Robust Tracking of a Bioreactor. J.P. García Sandoval, B. Castillo Toledo

and V. González-Alvarez. IFAC Congress. Praha, Czech Republic. July 2005. 79. Comparison of two Different Approaches for the Design of an Adjustable

Asymptotic Observer and its Implementation in a Fermentation Process Described by PDE. Efrén Aguilar Garnica, V. Alcaraz González, J.P. García Sandoval and V. González-Alvarez. European Conference on Mathematical and Theoretical Biology (ECMTB 2005). Dresden, Germany. July 2005.

80. Dos enfoques distintos para el diseño de un observador asintótico aplicado

en un procesos fermentativo descrito por EDP. Efrén Aguilar Garnica, V. Alcaraz González, J.P. García Sandoval and V. González-Alvarez. CAIP 7o CongresoInteramericano CAIP'2005 Univ. de Trás-os-Montes e Alto Douro, UTAD Depto de Engenharias, Quinta de Prados 5000 Vila Real - Portugal. Septiembre de 2005.

81. Novel atmospheric pressure non-equilibrium system: Dielectric barrier

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82. Estudio Comparativo de dispersión atmosférica de emisiones controladas

de metil isobutil cetona (MIBK). M.A Ruiz Briones; M. Rabelero Velasco; L.E. Ortega Rosales; V. Alcaraz González; V. González Álvarez y J.H. Pérez López. 25 Encuentro Nacional AMIDIQ, pp. IAM7-IAM8, mayo 2004, Puerto Vallarta, México.

83. Robust State estimation in batch bioreactors using adjustable asymptotic

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84. Comparison of two different approaches for the design of an adjustable

asymptotic obserevr and its implementation in a fermentation process described by PDE. Aguilar-Garnica E., Alcaraz-González V., García-Sandoval J.P., y González-Alvarez V. European Conference on Mathematical and Theoretical Biology, ECMTB 2005, Vol. 1, pp 397, julio 2005, Dresden, Alemania.



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85. Interval Obserever design for a fermentation process described by PDE.

Aguilar-Garnica E., Alcaraz-González V., y González-Alvarez European Conference on Mathematical and Theoretical Biology, ECMTB 2005, Vol. 2, pp 232, julio 2005, Dresden, Alemania.

86. Comparación del desempeño de dos observadores por intervalos para un

proceso fermentativo descrito por EDP. Aguilar-Garnica Efrén, Alcaraz-González Victor y González-Alvarez Víctor. Congreso Nacional de Control Automático 2005, pp 27, octubre 2005, Cuernavaca Morelos, México.

Reportes de investigación/Desarrollos Tecnológicos:

[1] O. Bernard, B.Chachuat, M.Moisan, A. Hélias, L.Mailleret, F.Grognard, C. A. Aceves-Lara, V. Alcaraz-González, O. González-Reynoso, E. Aguilar-Garnica, V. González-Álvarez, L.Lardon, and J.-P. Steyer. Software sensors for state forecasting accompanied with fault residues. Deliverable D2.5. TELEMAC Project (IST–2000-28156), 19st September 2002, Sophia-Antipolis, France.

[2] O. Bernard, L.Mailleret,J.L.Gouzé, V. Alcaraz, V. González-Alvarez, R. Salazar,

U. Zaher, Peter A. Vanrolleghem, A. Puñal, J.P. Steyer and J. Rodriguez. Design of models for normal working conditions. Deliverable D3.1a. TELEMAC Project (IST–2000-28156), 6th August 2004, Sophia-Antipolis, France.

[3] O. Bernard, B. Chachuat, M.Djuric, A.Hélias, L.Mailleret, C. A. Aceves-Lara, V.

Alcaraz-González, O. González-Reynoso, E. Aguilar-Garnica, V. González-Álvarez, J. Rodriguez and G. Ruiz. Design of models for abnormal working conditions and destabilisation risk analysis. Deliverable D3.1b. TELEMAC Project (IST–2000-28156), 28th May 2004, Sophia-Antipolis, France.

[4] F. Grognard, O. Bernard, A. Hélias, L.Mailleret, J. Rodríguez, G. Ruiz, J.-P.

Steyer, L. Lardon, P.Ratini, J.F-Lavigne, C. A. Aceves-Lara, V. Alcaraz-González, O. González-Reynoso, E. Aguilar-Garnica, V. González-Álvarez and P. Lemaire. Development of set of robust controllers with various objectives. Deliverable D3.3. TELEMAC Project (IST–2000-28156), 8th June 2004, Sophia-Antipolis, France.

Monitoreo y control de bioreactores: Estado del arte y su aplicación en el tratamiento de efluentes

Engineering

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