Charla Esc Primavera Bioreactores-1 (2)

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Introduccin Modelo Matemtico Problema de Tiempo Mnimo El caso de una y dos especies Conclusiones

Problemas de tiempo mnimo para elcontrol de bioreactores

Hctor Ramrez C.

DIM & CMM, Universidad de Chile, Santiago de Chile

Escuela de Primavera 2007

Planificacin

1 Introduccin

2 Modelo Matemtico de un Bioreactor

3 Formulacin del Problema de Tiempo Mnimo

4 El caso de una y dos especies

5 Conclusiones

Bioreactores Industriales

Bioreactores de Laboratorio

Bioreactores

Los bioreactores son aparatos utilizados en laboratorios o de maneraindustrial para trabajar con microorganismos.

Un bioreactor experimental reproduce una amplia variedad de sistemasque van desde lagos hasta plantas de tratamiento de aguas, pasandopor numerosas aplicaciones productivas.

Podemos describirlo (de manera muy general) como un recipiente conuna apertura para que el flujo de material estril entre y una salida paraque el flujo resultante del proceso salga (microorganismos, estril onutriente, desechos, etc.)

Bioreactores




Bioreactores




Distintos Tipos de Bioreactores

Modo Continuo o Quimiostato: Flujos Qin = Qout 6= 0 y volumen Vconstante.

Modo Semi-continuo (o fedbatch): Qin 6= 0, Qout = 0 y V vara.Modo Discontinuo (o batch) : Qin = 0, Qout = 0 y V constante.

X y S representan las concentraciones de los microorganismos y delnutriente, respectivamente.

Sin es la concentracin del nutriente en el flujo entrante.

Hiptesis Fundamentales para Nuestro Modelo

El recipiente del bioreactor est perfectamente mezclado, es decir:el nutriente esta uniformemente distribuido y, en caso de haber ms deuna especie de microorganismo, estas tienen el mismo acceso alnutriente.

As, es razonable pensar que lo que se consume es proporcional a lacantidad de microorganismos, es decir:

consumo = (S)VX , con (S) 0, (0) = 0.

El crecimiento de los microorganismos es proporcional a lo que seconsume. La constante de proporcionalidad ser denotada por Y .Esta hiptesis esta validada empricamente.




consumo = (S)VX , con (S) 0, (0) = 0.





consumo = (S)VX , con (S) 0, (0) = 0.


Modelo Matemtico de un Bioreactor

Ecuaciones de balance de masa para XV y SV nos llevan a escribir elmodelo de un bioreactor como sigue:

8>:s = QinV (sin s) (s)x ,x = [Y(s) QinV ]x ,V = Qin Qout .

Aqu (s, x ,Qin,Qout ,V ) D = R2++ [0,Qmax] [0,Qmax] [0,Vmax], y donde

1) s(t) y sin son las concentraciones del nutriente al tiempo t y en el flujoentrante, respectivamente (microgramos por milmetro3; t en horas),2) x(t) es la concentracin de la especie al tiempo t (clulas por milmetro3),3) Qin y Qout son los flujos de entrada y salida, respectivamente (enm3/horas),4) V es el volumen del recipiente (en m3),

Modelo Matemtico de un Bioreactor

Ecuaciones de balance de masa para XV y SV nos llevan a escribir elmodelo de un bioreactor como sigue:

8>:s = QinV (sin s) (s)x ,x = [Y(s) QinV ]x ,V = Qin Qout .

Aqu (s, x ,Qin,Qout ,V ) D = R2++ [0,Qmax] [0,Qmax] [0,Vmax], y donde

5) D = Qin/V es la tasa de dilucin del quimiostato (horas1),6) () representa la tasa de crecimiento de la especie (horas1),7) Y es la constante de la produccin de la especie (clulas por microgramosde nutriente).

Distintas Funciones para la Tasa de Crecimiento

Consideramos funciones de crecimiento del tipo Monod (1942):

(s) =msa+ s

.

y del tipo Haldane (1968):

(s) =ms

s2/a1 + s + a2.

Utilidades de los Distintos Modos

Modo Continuo (Qin = Qout y V = constante):

+ Tratamiento on-line (no se necesita almacenamiento).- Proceso es menos eficiente pues hay menos control sobre laconcentracin del nutriente.

- Riesgo de contaminacin del proceso.

Modo Semi-continuo (Qin 6= 0, Qout = 0 y V vara):+ Se puede adaptar el proceso a las necesidades del

microorganismo.+ Proceso es ms eficiente.- Requiere almacenamiento.- Riesgo de contaminacin del proceso.

Modo Discontinuo (Qin = 0, Qout = 0 y V constante):

+ Proceso es ms eficiente.+ No hay riesgo de contaminacin del proceso.- Requiere almacenamiento.

Bioreactores Semicontinuos

Los bioreactores semicontinuos o secuenciales por lote (SBR eningls) son usualmente utilizados en industrias biotecnolgicas,principalmente en el tratamiento de aguas.

Tpicamente, un tanque es llenado con un lodo activo omicro-organismos capaces de degradar algn sustrato no deseado.

El mtodo consiste en secuencias de ciclos compuestos de tres fases:

Fase 1: llenar el bioreactor con el agua contaminada,Fase 2: esperar que la concentracin del sustrato decrezca hastaun nivel de concentracin considerado bajo,Fase 3: vaciar el agua limpia del bioreactor, dejando el lodoactivo dentro.

El tiempo necesario para realizar estos ciclos puede ser largo y tieneun impacto econmico en el proceso total

Manipular el flujo de entrada durante la fase de llenado tiene una clarainfluencia en la duracin del proceso total (ms precisamente en laduracin de las fases 1 y 2 pues la fase 3 tiene un tiempo fijo)

Ecuaciones para un Bioreactor con n especies

Modelo Bioreactor Semicontinuo (SBR)8>>>>>>>:xi = i(s)xi Fv xi , xi(t0) = yi (i = 1 n)

s = nX

j=1

j(s)xj +Fv(sin s), s(t0) = z

v = F , v(t0) = w

donde

xi : concentracin de la especie i en el tanque

s: concentracin del sustrato en el tanque

v: volumen de agua presente en el tanque

i(): funcin de crecimiento de la especie iF : variable de control no negativa

sin: concentracin constante en la entrada

= (y1, . . . , yn, z,w) Rn+]0, sin[]0, vmax[: condiciones inicialesT = Rn+]0, sout ] {vmax}: conjunto objetivo para las variables deestado

Problema de Tiempo Mnimo

Problema de Control Optimo8>>>>>>>:xi = i(s)xi Fv xi , xi(t0) = yi (i = 1 n)

s = nX

j=1


v = F , v(t0) = w

Dada cualquier condicin inicial = (y1, . . . , yn, z,w), el objetivo es alcanzarel conjunto T en un tiempo mnimo, es decir

V () = infF ()

nt t0 | s,F (t) sout , v,F (t) = vmax

o, (1)

donde s,F (), v,F () denotan soluciones del sistema anterior concondiciones iniciales y control F ()

Problema de Tiempo Mnimo

Problema de Control Optimo8>>>>>>>:xi = i(s)xi Fv xi , xi(t0) = yi (i = 1 n)

s = nX

j=1


v = F , v(t0) = w

Dada cualquier condicin inicial = (y1, . . . , yn, z,w), el objetivo es alcanzarel conjunto T en un tiempo mnimo, es decir

V () = infF ()

nt t0 | s,F (t) sout , v,F (t) = vmax

o, (1)

donde s,F (), v,F () denotan soluciones del sistema anterior concondiciones iniciales y control F ()

Controles Impulsionales

Permitiremos que F () sea impulsional, esto nos lleva a considerar medidasdF , que pueden descomponerse en una medida dt , y en una singularidad oparte "impulsiva":

dF (t) = u(t)dt + d

Cuando un impulso d ocurre en el tiempo t , el volumen v cambiabruscamente de v(t) a v+(t), implicando un cambio en las concentracionesde xi y s como sigue:

x+i (t) = xi (t)

v(t)v+(t)

s+(t) = s(t)v(t)v+(t)

+ sin1 v

(t)v+(t)

9>>>>=>>>>;

8>>>:dxid

= uvxi

dsd

=uv(sin s)

de a + con cualquier control u() que satisfaceZ +

u()d = v+(t) v(t) .

Controles Impulsionales

Permitiremos que F () sea impulsional, esto nos lleva a considerar medidasdF , que pueden descomponerse en una medida dt , y en una singularidad oparte "impulsiva":

dF (t) = u(t)dt + d

Cuando un impulso d ocurre en el tiempo t , el volumen v cambiabruscamente de v(t) a v+(t), implicando un cambio en las concentracionesde xi y s como sigue:

x+i (t) = xi (t)

v(t)v+(t)

s+(t) = s(t)v(t)v+(t)

+ sin1 v

(t)v+(t)

9>>>>=>>>>;

8>>>:dxid

= uvxi

dsd

=uv(sin s)

de a + con cualquier control u() que satisfaceZ +

u()d = v+(t) v(t) .

Reparametrizacin del Tiempo

As, las trayectorias del sistema pueden ser parametrizadas con un tiempoficticio tal que dt = rd , donde r es un control que toman los valores r = 1cuando dF es regular en , y r = 0 cuando dF es impulsional:

r=0

r=0

r=1

r=1

r=1

!

t

jump jump

Reparametrizacin del TiempoAs, las trayectorias del sistema pueden ser parametrizadas con un tiempoficticio tal que dt = rd , donde r es un control que toman los valores r = 1cuando dF es regular en , y r = 0 cuando dF es impulsional:

8>>>>>>>>>>>>>:

dxid

= ri(s)xi uv xi (i = 1 n)

dsd

= rnX

j=1

j(s)xj +uv(sin s)

dvd

= u.

Aqu, los controles r() y u() son elegidos como funciones medibles c.r. a ,que toman valores en [0, 1] y [0, umax], respectivamente.

Obteniendo as la siguiente reformulacin de problema:

V () = infu(), r()

(Z tt0

r()d | s,u,r (t) sout , v,u,r (t) = vmax)

Reparametrizacin del TiempoAs, las trayectorias del sistema pueden ser parametrizadas con un tiempoficticio tal que dt = rd , donde r es un control que toman los valores r = 1cuando dF es regular en , y r = 0 cuando dF es impulsional:

8>>>>>>>>>>>>>:

dxid

= ri(s)xi uv xi (i = 1 n)

dsd

= rnX

j=1

j(s)xj +uv(sin s)

dvd

= u.

Aqu, los controles r() y u() son elegidos como funciones medibles c.r. a ,que toman valores en [0, 1] y [0, umax], respectivamente.

Obteniendo as la siguiente reformulacin de problema:

V () = infu(), r()

(Z tt0

r()d | s,u,r (t) sout , v,u,r (t) = vmax)

El caso de una especie

Sistema con n = 1 8>>>>>>>>>:

dxd

= r(s)x uvx

dsd

= r(s)x + uv(sin s)

dvd

= u.

creciente(1) Realizar inmediatamente un impulso hasta llenar el bioreactor(2) esperar

creciente-decreciente(1) Llegar al nivel mximo (con un impulso o esperando)(2) mantenerse en este nivel hasta que el bioreactor este lleno(3) esperar


Sistema con n = 1 8>>>>>>>>>:

dxd

= r(s)x uvx

dsd

= r(s)x + uv(sin s)

dvd

= u.




Sistema con n = 1 8>>>>>>>>>:

dxd

= r(s)x uvx

dsd

= r(s)x + uv(sin s)

dvd

= u.




Sistema con n = 1 8>>>>>>>>>:

dxd

= r(s)x uvx

dsd

= r(s)x + uv(sin s)

dvd

= u.




Sistema con n = 1 8>>>>>>>>>:

dxd

= r(s)x uvx

dsd

= r(s)x + uv(sin s)

dvd

= u.




Sistema con n = 1 8>>>>>>>>>:

dxd

= r(s)x uvx

dsd

= r(s)x + uv(sin s)

dvd

= u.




Sistema con n = 1 8>>>>>>>>>:

dxd

= r(s)x uvx

dsd

= r(s)x + uv(sin s)

dvd

= u.




Sistema con n = 1 8>>>>>>>>>:

dxd

= r(s)x uvx

dsd

= r(s)x + uv(sin s)

dvd

= u.



El caso de dos especies

Sistema con n = 28>>>>>>>>>:

dxid

= ri(s)xi uv xi i = 1, 2dsd

= r(1(s)x1 + 2(s)x2) + uv (sin s)dvd

= u.

1, 2 crecientes implican dos posibles soluciones

(1) Realizar inmediatamente un impulso hasta llenar el bioreactor(2) esperar

o

(1) alcanzar algn nivel especifico del sustrato (con un impulso oesperando)

(2) mantenerse en este nivel hasta que el bioreactor este lleno(3) esperar


Sistema con n = 28>>>>>>>>>:

dxid


= r(1(s)x1 + 2(s)x2) + uv (sin s)dvd

= u.



o




Sistema con n = 28>>>>>>>>>:

dxid


= r(1(s)x1 + 2(s)x2) + uv (sin s)dvd

= u.



o




Sistema con n = 28>>>>>>>>>:

dxid


= r(1(s)x1 + 2(s)x2) + uv (sin s)dvd

= u.



o




Sistema con n = 28>>>>>>>>>:

dxid


= r(1(s)x1 + 2(s)x2) + uv (sin s)dvd

= u.



o




Sistema con n = 28>>>>>>>>>:

dxid


= r(1(s)x1 + 2(s)x2) + uv (sin s)dvd

= u.



o




Sistema con n = 28>>>>>>>>>:

dxid


= r(1(s)x1 + 2(s)x2) + uv (sin s)dvd

= u.



o




Sistema con n = 28>>>>>>>>>:

dxid


= r(1(s)x1 + 2(s)x2) + uv (sin s)dvd

= u.



o




Sistema con n = 28>>>>>>>>>:

dxid


= r(1(s)x1 + 2(s)x2) + uv (sin s)dvd

= u.

1, 2 crecientes y 1 2 implican(1) Realizar inmediatamente un impulso hasta llenar el bioreactor

(2) esperar


Sistema con n = 28>>>>>>>>>:

dxid


= r(1(s)x1 + 2(s)x2) + uv (sin s)dvd

= u.

1, 2 crecientes y 1 2 implican(1) Realizar inmediatamente un impulso hasta llenar el bioreactor

(2) esperar

Esperar puede ser una estrategia optima...

Ejemplo

Consideremos1(s) = 5

s, 2(s) = s2,

y los valores sout = 0.1 y sin = 5

Figure: Grfico de las dos funciones de crecimiento

Esperar puede ser una estrategia optima....

Ejemplo

Para las condiciones iniciales vmax = 10, y1 = 1, z = 3 y w = 1, hemoscalculado el posible s para diferentes valores de y2.

Table:

y2 T (IOI) s T (SA(s)) ganancia0 2.320765 NO es ptimo

104 2.126756 1.678 1.973976 7%103 1.700494 1.97 1.515415 11%102 1.186231 2.46 1.101530 7%0.05 0.867009 3.05 0.842255 3%0.1 0.746446 3.34 0.739046 1%0.5 0.522361 NO es ptimo

Conclusiones

La comprensin del funcionamiento de los bioreactores permitemejorar una numerosa gama de problemas industriales, en particular eltratamiento de aguas

En esta charla hemos caracterizado la gestin optima (en trminos detiempo mnimo) para el tratamiento de aguas con un bioreactor SBRcon una y dos especies

El ltimo ejemplo muestra que en presencia de pequeas poblacionesde una especie que es ms eficiente para pequeas concentracionesde sustrato, la estrategia que consiste en alcanzar un cierto nivel desustrato y esperar puede ser mejor que la de llenado rpido con unimpulso inmediato

Creemos que este resultamos puede tener un impacto en aplicacionesbiotecnolgicas

Bibliografa

J. MONOD.La technique de culture continue. Thorie et applications.Ann. Inst. Pasteur Paris 79, pp. 390410, 1950.

A. NOVICK AND L. SZILARD.Description of the chemostat.Science 112, pp. 715716, 1950.

H.L. SMITH AND P. WALTMAN.The Theory of the Chemostat.Cambridge University Press, 1995.

P. GAJARDO, F. MAZENC, H. RAMREZ C.Competitive exclusion principle in a model of chemostat with delays.To appear in Dynamics of Cont., Discrete and Impulsive Systems, Ser. A

P. GAJARDO, H. RAMREZ C., A. RAPAPORTMinimum time impulse control of SBR with one or more species.To appear in SIAM Journal on Control & Optimization

IntroduccinModelo Matemtico de un BioreactorFormulacin del Problema de Tiempo MnimoEl caso de una y dos especiesConclusiones

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