Momento Curvatura
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ANLISIS SECCIONALIntroduccin. Diagramas momento-
curvatura
ETSI Caminos, C. y P.
Universidade da Corua
HORMIGHORMIGN ARMADO Y PRETENSADON ARMADO Y PRETENSADO
-
ANANLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccinn. . DiagramasDiagramas MM--cc
1. Definiciones y nomenclatura
z Funcionamiento habitual de una viga biapoyada: Tracciones en fibra inferior Compresiones en fibra superior
R
Compresiones
Tracciones
R (radio de curvatura)
P
-
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1. Definiciones y nomenclatura
Fibraneutra
P
Compresin
Traccin
R (radio de curvatura)
Flecha,
-
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1. Definiciones y nomenclatura
As Armadura traccionadaAs Armadura comprimida
h Cantob Ancho
d Canto tilx Prof. de la fibra neutra
r Recubrimiento
x
d
'
r
r
rr
cdg
A 's
As
h
b
d
-
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1. Hormign: curva tensin-deformacin
Deformacin de plastificacin
( )0
0.530
0.002 , 50 MPa
0.002 0.000085 50 , 50 MPac ck
c ck ck
f
f f
= = + > 4
0.0035 , 50 MPa
1000.0035 0.0144 , 50 MPa100
cu ck
ckc ck
f
f f
= = + >
Deformacin de rotura a flexin simple
-
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(excepcionalmente, para SD, )
1. Acero: curva tensin-deformacin
Deformacin de plastificacin
max 0.010 =Deformacin de rotura a flexin simple
(segn tipo de acero)
max 0.020 =
-
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2. Comportamiento bajo carga creciente
z En el trabajo de una viga bajo flexin se observa un doble trabajo: La deformacin () de la
viga bajo la carga P creciente: anlisis P/
Las progresivas curvatura (c = 1/r) y deformacin () de cada seccin bajo el momento creciente M: anlisis M/c
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2. Comportamiento bajo carga creciente
z FASE I: Hormign no fisurado Comportamiento lineal
z FASE II: Hormign fisurado El hormign se mantiene lineal en
compresin Comportamiento lineal con menor
rigidezz FASE III: Hormign plastificado
Fase de prerrotura Acaba cuando el acero, el hormign
o ambos alcanzan su deformacin de rotura
Aumento del momento
en la seccin
0
Mfis
MIIMu
NO FIS.
FIS.
PRE-ROTURA
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2. Diagrama P-
P
I II III
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2. Diagramas P- y M-czDiagramas P- (carga/flecha)
Anlisis del comportamiento de una viga bajo una carga que se incrementa
zDiagramas M-c (momento/curvatura) Anlisis del comportamiento de una seccin
M es funcin de P es funcin de c
existe analoga entre las curvas P- y M-c
2
2
1 d y Mcr dx EI
= =
-
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2. Anlisis tensodeformacional de la seccin
1. COMPATIBILIDAD Las secciones planas permanecen planas
tras la deformacin (hiptesis de Navier)
2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS
3. EQUILIBRIO Las acciones internas deben equilibrar las
acciones externas
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2. Anlisis tensodeformacional de la seccin
1. COMPATIBILIDAD Las secciones planas
permanecen planas tras la deformacin (hiptesis de Navier)
2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS 3. EQUILIBRIO
Las acciones internas deben equilibrar las acciones externas
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2. Anlisis tensodeformacionalde la seccin
1. COMPATIBILIDAD Las secciones planas permanecen
planas tras la deformacin (hiptesis de Navier)
2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS
3. EQUILIBRIO Las acciones internas deben
equilibrar las acciones externas
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2. Anlisis tensodeformacional de la seccin
1. COMPATIBILIDAD Las secciones planas
permanecen planas tras la deformacin (hiptesis de Navier)
2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS
3. EQUILIBRIO Las acciones internas
deben equilibrar las acciones externas
-
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2. Anlisis de la curva M-c
zCaracterizacin del comportamiento de la seccin a travs de momentos representativos
cI II III
MuMII
Mfis
Mfis Momento de fisuracin
MII Final fase II (plastificacin del hormign)
Mu Rotura (momento ltimo)
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2. Fase I: hormign no fisurado
zComportamiento elstico-lineal de la seccin
Acaba cuando la fibra inferior alcanza su resistencia a traccin fct: M = Mfis (momento de fisuracin)
( )2
21
1 d y Mcr dx EI
= =
-
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2. Fase II: hormign fisurado
zComportamiento cuasielstico de la seccin
Se desprecia la aportacin de rigidez del hormign fisurado
Acaba cuando el hormign plastifica: M = MII
( )2McEI
=
-
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2. Fase III: hormign plastificado
z Comportamiento no lineal de la seccin
Acaba cuando uno de los materiales rompe: M = Mu
Rotura dctil Rotura frgil
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2. Fase I: Momento de fisuracinh
b
d
x
t
c
t
c
z Seccin rectangular:
't
fisI fMv
= 2
6t
fisbh fM =
c c cE =
-
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2. Fase I: Rigidezh
b
d
x
t
c
t
c
z Seccin bruta:z Seccin homogeneizada:
c bM E I c=
c c cE =
c hM E I c=1M K c=
-
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2. Fase I: Hormign no fisurado. Tensiones
C=T ; c = tM = 0.5c(b0.5h)(2/3 h) =1/6cbh2
c = t = 6M/(bh2)
C=0.5c(b0.5h)
T=0.5s(b0.5h)
2/3 h
b
1/2 h=x
1/2 h
t
c
Diagrama tensiones
M
c = t = My/Igdonde y = 0.5h
Ig = bh3/12
Cuando t = fr , comienza a fisurar la seccinMomento de fisuracin, Mfis = ftIg/(0.5h) = (ftbh2)/6
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h
b
d
Zona comprimida
Zonatraccionada
Deformaciones Tensiones
2. Fase I: Hormign no fisurado. Deformaciones y curvatura
c
t
c
t
x
Curvatura = c = ~ tg = c/x = (c/E)/x = c/(0.5 h E)c=0.5 h E cM = 1/6 c b h2 = (1/12 b h3 ) E c = E I c = K1 cK1= rigidez en FASE 1Relacin lineal entre Momento y curvaturaPara M = Mfis c = cfis
c = E cM
-
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2. Fase I: seccin homogeneizada
zCoeficiente de equivalencia: n = Es/Ecz Se sustituye el rea de acero As por rea de
hormign nAs
z Ejercicio: calcular rea y momento de inercia homogeneizados para seccin rectangular de canto h, ancho b, canto til d y seccin de acero As
DESCONTAR LOS HUECOS
QUE EL ACERO DEJA EN EL HORMIGNAs
As E s nAs E c
nA s
-
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2. Fase II: Hormign comprimido (rango elstico), hormign traccionado fisurado
s
fy
Zona comprimida
Zona traccinfisurada
deformaciones
fc
Diagrama simplificado del hormign a compresin (bilineal)
c
Diagrama del acero
Es0.0035
tensionesM > Mfisc < 0.002; c < fcs < y ; s < fy
c < 0.002
h
b
d
Fs = s Ass = s/ Es < y
M
0.002
y
-
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2. Fase II: anlisis de la seccin fisurada
t
< fc
s s y
c
C
T
x
/
3
z
h
b
d
x
= /E < s
< 0.002c
c s
x d x =
12 c
s s
C b x
T A
==
SE DESPRECIA LA APORTACIN DEL HORMIGN FISURADO
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2. Fase II: anlisis tensional
12 c
s s
C b x
T A
==
12 3c
xM C z b x d = =
c s
x d x =
; ; /c c c s s s s cE E n E E = = =
( )c s cs
n n d xx d x x = =
2
( ) 12
( )2
cs c
s
n d xA b xx
b xA d xn
= =
1 2 1ss
n A bdxb n A
= +
sc
Abd
=
3s sxM T z A d = =
Resultantes de fuerzas:
Momento en torno a armadura:
Mom. en torno a cdg de compresiones:
Compatibilidad de deformaciones:
Ecuaciones constitutivas:21 1c
c
x nd n
= +
= c
-
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2. Fase II: anlisis tensional
z La profundidad x no depende del momentoz Si el acero y el hormign comprimido se
comportan linealmente, la posicin de x no cambia
z La altura de fisura no vara durante la Fase II
21 1cc
x nd n
= +
-
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2. Fase II: rigidez respecto del acero
1 1s ss s s
Tcd x d x E d x A E
= = =
13
3s s
x MM T z T d cxd x A E d
= = =
( )3s sxM d x A E d c = ( )2 3s s
xK E A d x d =
Relacin entre tensin del acero y curvatura:
Sustituyendo T = M/z,
Relacin entre momento y curvatura:
RIGIDEZ FISURADA DE LA SECCIN
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2. Fase II: rigidez respecto del hormign
1 1 2c cc c
Ccx x E x b x E
= = =
1 2 1 2
3
c
cc
C Mcxx x b x E x b x d E
= = =
2
2 3 cb xM x d E c =
2
2 2 3cb x xK E d =
Relacin entre compresin del hormign y curvatura:
Sustituyendo M = C/z,
Relacin entre momento y curvatura:
RIGIDEZ FISURADA DE LA SECCIN
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z La Fase II finaliza cuando uno de los materiales plastifica: Hormign:
Acero:
2. Fase II: momento MII
,2, ,2 3 2 3
c plasc c plas II c c plas c
b x b xM x d E E x dx
= = =
( )2
2
2 3 2 3y
s y II c y cb x b x xM x d E E d
d x d x = = =
2
,min ; 2 3 2 ( ) 3II c plas c y cb x b x xM E x d E d
d x =
-
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h
b
d
Tensionescompresinfcfy
Es 0.0035
2. Fase III: Hormign comprimido en rango no elstico: Prerrotura
c < 0.0035deformaciones tensiones
s < 0.01
M >> Mfisc < 0.0035; c = fcs > y ; s = fy
Fs = s As
c
Diagrama real del hormign a compresinDiagrama del acero
Zona traccinfisurada
Zona comprimida
s
M
-
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2. Fase III: prerroturah
b
d
x
< 0.010s
< 0.0035c
t
= fc cC
T
z
-
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z Si est plastificado el acero, ste no puede aportar ms carga (T = As fy)z El momento slo se puede incrementar
aumentando el brazo de palanca zz Para conseguir el equilibrio de fuerzas debe
crecer la curvatura para que el hormign trabaje ms (reduciendo la profundidad)z Se produce un leve incremento de carga y la
curvatura crecer en funcin de la situacin deformacional de los dos materiales
2. Fase III: acero plastificado
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z Si ha plastificado el hormign, el agotamiento est cercano: slo queda el 1.5 de deformacinz Es posible alcanzar la rotura con un leve
aumento de la carga sin que ni siquiera el acero haya plastificado
situacin de rotura frgilz Esta condicin corresponde a un menor
aprovechamiento de materiales, motivado por condicionantes geomtricos
2. Fase III: hormign plastificado
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2. Fase III: resumen
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z Fase I: se tiene en cuenta en la inercia homogeneizada
z Fase II: los equilibrios de fuerzas y momentos son ahora
2. Influencia de la armadura comprimida
12 c s s
s s
C b x A
T A
= +=
( )12 3c s s
xM b x d A d d = +
-
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2. Influencia de la armadura comprimida
' 'c s s c s snx d x x d x d x x d
= = = =
s
< 0.002c < fc
s s y
c
C
T
x
/
3
z
's
d
'
A ' 's s
h
b
d
x
= /E <
-
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z Profundidad de la fibra neutra:
zRigidez fisurada:
2. Influencia de la armadura comprimida
( ) ( )( )2
' ' '1 2 1
's s s s
s s
n A A b d A d Ax
b n A A
+ + = + +
22 '( ') ( ')2 3c s s
b xK E x d E A x d d d = +
( ) ( )( )2' '/
' 1 2 1'
s ss s
s s
d dx nd n
+ = + + +
sc
sc
Abd
Abd
= =
-
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z Incremento de ductilidad de la seccin para armados a traccin supercrticos
zMejora el funcionamiento de secciones de hormign armado con cantos reducidos (cuantas de armadura elevadas)
zCaso lmite: armadura simtrica, habitual en elementos que pueden sufrir momentos de signos opuestos
2. Influencia de la armadura comprimida
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Ejemplo: M/c en fases 1 y 2
zDatosEJEMPLO SECCIN canto h 500 mm ancho b 300 mm As2 1472.621556 mm^2 redondos 3 redondos dimetro 25 mm rec (cdg) 50 mm As1 2945.243113 mm^2 redondos 6 redondos dimetro 25 mm rec (cdg) 50 mm
b = ancho
d = canto til
x = profundidad hasta F.N.
As1 = As = rea de armadura traccionada
recubrimiento
As2 = As = rea de armadura comprimida
h = canto
canto util d 450 = h - d
-
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Ejemplo: M/c en fases 1 y 2
zDatosMATERIALES
n 6.71616852 = Es/Ec
HORMIGN fc 35 MPa fct 2.246973709 MPa = fct,k=0,21 (fck)2/3 Ec 29778.88351 MPa = Ej = 8.500 (fcm,j)1/3
ec1 0.002 ecu 0.0035
diagrama lineal lineal 1
parablico 0
ACERO
fy 500 MPa Es 200000 MPa ey 0.0025 = fy/Es
esu 0.01
05
10152025303540
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
def h. comp
t
e
n
s
h
o
r
m
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
def a. tracc
t
e
n
s
a
c
e
r
o
-
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Ejemplo: M/c en fases 1 y 2
z Fase 1: Seccin bruta
Inercia 3125000000 mm^4 0.003125 m^4 bh3/12 rigidez EcI (K1) 9.3059E+13 N mm^2
Mfis 28087171.36 N mm 28.0871714 kN m = ftIb/(0.5h) = (ftbh2)/6 c1fis 3.01821E-07 mm-1 0.30182108 km-1 = Mfis/K1
ec1fis 7.54553E-05 = c1fis h/2 es1fis 6.03642E-05 = c1fis (d-h/2)
-
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Ejemplo: M/c en fases 1 y 2
z Fase 1:Seccin homogeneizadacdg hom (desde fibra inferior) 240.3936132 mm
x 259.6063868 mm I hom 3364052900 mm^4 0.00336405 m^4 Ih
rigidez Ec Ih (K1) 1.00178E+14 N mm^2 Mfis 31444006.87 N mm 31.4440069 kN m = ftIh/x c1fis 3.13882E-07 mm-1 0.31388218 km-1
ec1fis 8.14858E-05 = c1fis x es1fis 5.97612E-05 = c1fis (d-x)
0
5
10
15
20
25
30
35
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35curv (km-1)
M
(
k
N
m
)
600
500
400
300
200
100
0
100-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-
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Ejemplo: M/c en fases 1 y 2
z Fase 2: Sin intervencin de As2x2 186.4325135 mm
+= 1Andb
21bAn
xs
s
rigidez K2 6.02162E+13 N mm^2 ( )
=3x
dEAxdK ss2
M2 segn horm. 645983824 N mm
3x
dx2b
Ecplas,c
M2 segn acero 571164854.3 N mm
3x
d)xd(
x2b
E2
cy
M2 (min ant.) 571164854.3 N mm 571.164854 kN m Plastifica el acero c2 9.48524E-06 mm-1 9.48523672 km-1 = M2 / K2
c2 fis 5.22185E-07 mm-1 0.52218523 km-1 = Mfis / K2 ec2 0.001768357 = c2 x2 es2 0.0025 = c2 (d - x2)
-
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Ejemplo: M/c en fases 1 y 2
z Fase 2: Con intervencin de As2
x2 170.2077363 mm
+
+++= 1)AA(n
)A'dAd(b21b
)AA(nx 2s
,s
'ss
'ss
rigidez K2 6.50528E+13 N mm^2 )'dd(AE)'dx(3x
dx2b
EK 'ss2
c2 +
=M2 segn horm. 764393267.2 N mm = k2 0,002 / x2 M2 segn acero 581260030.1 N mm = K2 y / (d x2)
M2 (min ant.) 581260030.1 N mm 581.26003 kN m Plastifica el acero c2 8.9352E-06 mm-1 8.93520059 km-1 = M2 / K2
c2 fis 4.83361E-07 mm-1 0.48336114 km-1 = Mfis / K2 ec2 0.00152084 = c2 x2 es2 0.0025 = c2 (d x2)
-
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Ejemplo: M/c en fases 1 y 2
z Fase 2: Grficos
600
500
400
300
200
100
0
100-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
100
200
300
400
500
600
700
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10curv (km-1)
M
(
k
N
m
)
05
10152025303540
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
def h. comp
t
e
n
s
h
o
r
m
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
def a. tracc
t
e
n
s
a
c
e
r
o
-
ANANLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccinn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Ejemplo: M/c en fase 3 (caso similar)
-550
-500
-450
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
-8 -6 -4 -2 0 2 4
450
460
470
480
490
500
510
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00c
M
6t0c
6t2c
6t4c
6t6c
-
ANANLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccinn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Influencia de diversos factores
229
254 mm
508 mm 457 mm
28 MPa414 MPa
27
54
81
108
136
163
190
217
244
M
o
m
e
n
t
o
k
N
m
19.7 39.4 59.1 78.7
Curvatura 1/km
-
ANANLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccinn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Influencia del axil
z Fase II
+====
ANf
xIMM
AENcIEM
ctfisI
c
c
NM
M N ( )
=+=
321
21
xdxbydNM
AxbN
cG
ssc
z Fase I
x y KII ya no son ctesz Fase III
N tiende a agotar el hormign comprimido antes Fragilizacin Se pueden alcanzar valores de M mayores si hay poco acero
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ANANLISIS SECCIONALLISIS SECCIONAL IntroducciIntroduccinn. . DiagramasDiagramas MM--cc
Influencia del axil
EJEMPLO1 Momento - Curvatura
1/r [km-1]181614121086420
M
k
[
k
N
m
]
450400350300250
200150100
500
EJEMPLO1 Momento - Curvatura
1/r [km-1]2826242220181614121086420
M
k
[
k
N
m
]
500450400350300250200150100
500
As1=625 ; As2=025
As1=625 ; As2=425
EJEMPLO1 Momento - Curvatura
Nk= 0.0 Nk= 768.7 Nk= 1537.4 Nk= 2306.1Nk= 3074.9
1/r [km-1]2826242220181614121086420
M
k
[
k
N
m
]
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
EJEMPLO1 Momento - Curvatura
Nk= 0.0 Nk= 671.6 Nk= 1343.1 Nk= 2014.7Nk= 2686.2
1/r [km-1]181614121086420
M
k
[
k
N
m
]
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
As1=625 ; As2=025
As1=625 ; As2=425