Clases Características y Curvatura

Seminario de la Banda Geómetra

Sobre Clases Características y

Curvatura

Efraín Vega Landa

2012-10-23, 13hrs, Salón S-104

Departamento de Matemáticas

Sobre Clases Características y Curvatura 2

La intención de esta plática es dar una introducción intuitiva a Clases Características

y mencionar alguna relación con el concepto de curvatura.

Mencionamos rápidamente que las Clases Características pueden estar presentes en

muchas áreas de matemáticas y física, algunos ejemplos son:



1 Geometría diferencial

Un objetivo central de geometría diferencial es entender como las propiedades ge-

ométricas de una variedad Riemanniana tales como su curvatura están relacionadas

con la topología de la variedad.

1. Teorema de Gauss-Bonnet-Chern.



2 Topología algebraica

Una manera de medir los hoyos de un espacio topológico X es a través de la k-teoría

que consiste en ver cuantos haces vectoriales diferentes sobre X existen. Las clases

características brindan un puente entre el grupo de la k-teoría de X, k0 (X), y sus

grupos ordinarios de cohomología.

1. Teorema de Riemann-Roch theorem

2. Teorema de Atiyah-Singer



3 Topología diferencial

Las clases características de Stiefel-Whitney y Pontryagin determinan las clases de

cobordismo orientado de una variedad orientada.

1. La conjetura generalizada de Poincare generalizada (n ≥ 5) es resuelta usando

cobordismo.

2. Ideas de cobordismo son usadas para distinguir n-variedades que son homeomorfas

pero no difeomorfas a Sn, es decir, esferas exóticas.



4 Ecuaciones diferenciales y foliaciones.

1. La topología de la variedad en donde está definido el flujo obliga la existencia de

puntos fijos en dicho flujo.

2. Más en general, también obliga a que haya ciertas regiones singulares cuando

intentamos foliar una variedad.



5 Teoría de singularidades

Dado un mapeo suave f : M → N , para cualquier tipo de singularidad α, el dual de

Poincare del lugar geométrico en M está dado por un polinomio de Thom en las clases

caractéristicas de Stiefel-Whitney wi (M) y f ∗wi (N).



6 Clasificación de variedades

Sullivan prueba en 1977 que ha solo un número finito de variedades suaves cerradas

simplemente conexas de dimensión m ≥ 5 con cualquier tipo de homotopía dado y

dadas sus Clases de Pontryagin de su haz tangente.



7 Física

1. Teoría de instantones.

Nuevas clases características fueron encontrados por Simon Donaldson y Kotschick

Dieter en la teoría de los Instantones (soluciones a las ecuaciones de Yang-Mills).

2. Teoría cuántica de campos

Un ejemplo es la teoría de Chern-Simons (que es una teoría cuántica de campos

en dimensión 3) usada por E. Witten para interpretar invariantes de nudos y enlaces

de manera geométrica.



8 Haces Vectoriales.

Son variedades que se obtienen de ir pegando parches que son el producto de U×Rn,donde U es un abierto de Mm.

Al pegar globalmente la variedad resultante puede estar torcida, en este caso el haz

vectorial no es un producto M × Rn o no es trivial.



Los haces vectoriales pueden estar torcidos

¿Como medir el torcimiento del haz?

Una forma es a través de las clases características.



Las clases características se definen habitualmente como elementos en las clases de

cohomología de la variedad base del haz

wi ∈ H i (Mm;Z2)

Visualizaremos dichas clases wi de cohomología a través de subvariedades1 D (wi)utilizando la dualidad de Poincaré

wi ∈ H i=Hm−i 3 D (wi)

1 A veces serán subvariedades con singularidades.



Dichas clases de homología resultarán, cuando son distintas de cero, de intersec-

ciones inevitables entre dos subvariedades dentro de una variedad más grande.

0-variedades(puntos)→ D (wm)



Esas intersecciones pueden ser variedades (ciclos) de distintas dimensiones

[0-variedades (puntos)]∈ H0 ←→ D (wm)[1-variedades]∈ H1 ←→ D (wm−1)[2-variedades]∈ H2 ←→ D (wm−2)

... ... ...

[(m− 2)-variedades]∈ Hm−2 ←→ D (w2)[(m− 1)-variedades]∈ Hm−1 ←→ D (w1)



9 Definición de las clases características de

Stiefel-Whitney

D (wm−q) ∈Hq (M,Z) si q es impar o q = 0

Hq (M,Z2) si par y q > 0



Las clases características son un invariante de los haces vectoriales.

Si E y F son isomorfos, entonces las clases de Stiefel-Whitney wi (E) y wi (F ) son

iguales.

Si alguna clase de Stiefel-Whitney es diferente entonces E y F no son isomorfos.



10 La clase característica tope D (wm) del haz

tangente.

A esta clase característica le corresponde un elemento en H0 (M,Z).

¿Cómo obtenemos esta clase en H0 (M,Z)?

La idea es dar una sección arbitraria en el haz tangente TM (un campo vectorial).

¿Se anula la sección de manera inevitable?

¿Todo campo en M deberá tener ceros?

La topología de la variedad a través de la clase característica tope D (wm) (TM) de-

termina si se anula inevitablemente la sección.



Ejemplos:

R

Hay campos sin ceros.



S1

Hay campos sin ceros.



11 El teorema del índice de Poincaré-Hopf.

La suma de los índices de los puntos singulares de un campo vectorial es igual a la

característica de Euler de la variedad.

∑In = χ (M)



Poincaré-Hopf nos dice que en algunos casos podremos separar la sección cero en el

haz tangente, así como sucedía con

R2



En el caso de la esfera NO podremos separar una sección que parta de la sección

cero

χ(S2)

= 2



En el caso del toro sí podremos separar una sección que parta de la sección cero.

χ(T 2)

= 0



En el caso del doble, triple, ... n-toro NO podremos separar una sección que parta de

la sección cero

χ(T 2#T 2# · · ·#T 2

)= −2 (n− 1)



En general podemos pensar la característica de Euler como las intersecciones inevita-

bles de un campo vectorial con la sección cero del haz.



Interpretemos el teorema de Poincare-Hopf con las ideas de intersección.

CAMPO=SECCION en TM

Una subvariedad de dimensión m en el haz tangente.

La sección cero es otra variedad de dimensión m.

La característica de Euler es el índice de intersección de dichas variedades.

χ (M) = INTERSECCIÓN DE SUBVARIEDADES

Pues bien la característica de Euler es una expresión de la clase dual de Poincaré a la

m-ésima clase característica del haz tangente.

χ (M) = D (wn (TM)) ∈ H0 (M,Z) = Z



12 La idea que motivará las clases características de

Stiefel-WhitneyLa OBSTRUCCIÓN a dar 1, ..., n secciones (campos) globales linealmente independi-

entes en el haz tangente2.

2 no necesariamente tiene que ser el haz tangente.



El teorema de Poincaré-Hopf es un caso particular de la idea anterior.

n = 1

Un vector es linealmente independiente cuando es distinto de cero.

Así que se hará linealmente dependiente cuando el vector del campo sea CERO.

CEROS DEL CAMPO=OBSTRUCCIÓN a ser LI=INTERSECCIÓN



Poincaré-Hopf formulado en terminos de OBSTRUCCIÓN a que el campo sea lineal-

mente independiente.

Formulación usual:

La suma de los índices de los puntos singulares de un campo (CEROS) vectorial es

igual a la característica de Euler de la variedad.

Formulación con enfoque de OBSTRUCCIÓN a ser linealmente independientes:

Los puntos enM en los cuales se hace linealmente dependiente una sección (CEROS)

en TM da lugar a la m-ésima clase característica D (wm) (TM) ∈ H0 (M) del haz

tangente.



La formulación con el enfoque de OBSTRUCCIÓN a ser LI da lugar a las demás clases

características:

Los puntos enM en los cuales se hace linealmente dependiente una sección (CEROS)

en TM da lugar a la m-ésima clase característica D (wm) (TM) ∈ H0 (M).

Los puntos en M en los cuales se hacen linealmente dependientes dos secciones en

TM da lugar a la (m− 1)-ésima clase característica D (wm−1) (TM) ∈ H1 (M).

Los puntos en M en los cuales se hacen linealmente dependientes tres secciones en

TM da lugar a la (m− 2)-ésima clase característica D (wm−2) (TM) ∈ H2 (M).

...

Los puntos en M en los cuales se hacen linealmente dependientes k secciones en

en TM da lugar a la (m− k + 1)-ésima clase característica D(wm−(k−1)

)(TM) ∈

Hk−1 (M).Seminario de la Banda Geómetra


13 La obstrucción a ser LI a través de intersecciónUsando teoría de intersección veremos que en efecto la región en M en la que se

hacen linealmente dependientes k secciones será un elemento de Hk−1 (M).

k-marcos linealmente dependientes=OBSTRUCCIÓN a ser LI=INTERSECCIÓN

Generalizando el enfoque de intersección:

En Poincaré-Hopf intersecamos dos subvariedades contenidas en otra:

1. Haz tangente TM ←→Haz de k-marcos.

2. Sección en TM (campo)←→Sección en el haz de k-Marcos (k campos)

3. Sección cero←→ k-marcos linealmente dependientes sobre M (Un haz de conos)

La intersección del haz de conos con la sección en el haz de k-marcos nos dará (al

proyectar a la variedad base) las clases de Stiefel-Whitney.



14 ¿Cómo es el conjunto de k-marcos linealmente

dependientes (singulares) en Rm?



2-marcos en R2

Podemos interpretar cada 2-marco como la imagen de una base bajo un mapeo lineal

L : R2 → R2.

de modo que habrá tantos 2-marcos como mapeos lineales L

Es decir habrá tantos 2-marcos como M (2× 2) matrices de 2× 2 o puntos en R4.Seminario de la Banda Geómetra


Los marcos singulares son las matrices M0 (2× 2) y M1 (2× 2) de rango 0 y 1.

R4 tiene 3 estratos que corresponden a las matrices de rango 0, 1, 2:

M2 (2× 2) es la 4-variedad de Stiefel (abierta) V 22 en R4.

M1 (2× 2) es T 2 × R+, una 3-variedad (estrato) en R4.

M0 (2× 2) es 0 ∈ R4, una 0-variedad (estrato) en R4.Seminario de la Banda Geómetra


La estratificación de los 3-marcos en R3

M3 (3× 3) es la 9-variedad de Stiefel (abierta) V 33 en R9.M2 (3× 3) es

S2 ×G2

(R3)× [T 3 − (x, x, x)]

× R+, una 8-variedad (estrato) en R9.

M1 (3× 3) es(S2 × RP 2

)× R+, una 5 variedad en R9

M0 (3× 3) es 0 ∈ R9, una 0-variedad (estrato) en R9.Seminario de la Banda Geómetra


k-marcos de vectores en Rm

Cada punto en Rkm es un marco de k vectores.

Sólo algunos de ellos representan marcos linealmente dependientes y son los puntos

que corresponden a Mk−j (m× k) con3 j = 1, ..., k.

Rkm quedará partido en k + 1 conjuntos que corresponden a Mk−j (m× k) con j =0, ..., k.

Mk (m× k) forman una variedad de Stiefel de dimensión km en Rkm

Mk−1 (m× k) forman una variedad (estrato) de dimensión km− (m− (k − 1)) en Rkm

...

Mk−j (m× k) forman una variedad (estrato) de dimensión km−j (m− (k − j)) en Rkm

...

M0 (m× k) forman una variedad (estrato) de dimensión 0 en Rkm

3 j es el corango, es decir, k menos la dimensión del espacio que generan lo k vectores de un marco.



En resumen

j dim (Mk−j (m× k))0 km1 km− (m− (k − 1))... ...

j km− j (m− (k − j))... ...

k 0



15 La estratificación que inducen los k-marcos en

Rkm para algunos valores de m, k y j.

k = m vectores en Rm

j\m 0 1 2 3 4 5 6 · · · m0 0 1 4 9 16 25 36 · · · m2

1 0 3 8 15 24 35 m2 − 12 0 5 12 21 32 m2 − 43 0 7 16 27 m2 − 94 0 9 20 m2 − 165 0 11 m2 − 256 0 · · · m2 − 36... ...

k · · · 0La tabla muestra la dimensión de las variedades de Stiefel Mk−j (m× k) que

estratifican a Rm2

.

(Por ejemplo la dimensión de las variedades M6−j (6× 6) que estratifican R36)Seminario de la Banda Geómetra


k = m− 1 vectores en Rm

j\m 0 1 2 3 4 5 6 · · · m0 0 2 6 12 20 30 · · · (m− 1)m− 0 (1)1 0 4 8 18 28 (m− 1)m− 1 (2)2 0 6 14 24 (m− 1)m− 2 (3)3 0 8 18 (m− 1)m− 3 (4)4 0 10 (m− 1)m− 4 (5)5 0 (m− 1)m− 5 (6)... · · · ...

m− 1 0

La tabla muestra la dimensión de las variedades de Stiefel Mk−j (m× k) que

estratifican a R(m−1)m




j\m 0 1 2 3 4 5 6 · · · m0 0 3 8 15 24 · · · (m− 2)m− 0 (2)1 0 5 12 21 (m− 2)m− 1 (3)2 0 7 16 (m− 2)m− 2 (4)3 0 9 (m− 2)m− 3 (5)4 0 (m− 2)m− 4 (6)... . . . ...

m− 2 0



(Por ejemplo la dimensión de las variedades M4−j (6× 4) que estratifican R24)




j\m 0 1 2 3 4 5 6 · · · m0 0 4 10 18 · · · (m− 3)m− 0 (3)1 0 6 14 (m− 3)m− 1 (4)2 0 8 (m− 3)m− 2 (5)3 0 (m− 3)m− 3 (6)... . . . ...

m− 3 0






j\m 0 1 2 3 4 5 6 · · · m0 0 5 12 · · · (m− 4)m− 0 (4)1 0 7 (m− 4)m− 1 (5)2 0 (m− 4)m− 2 (6)... . . . ...

m− 4 0






j\m 0 1 2 3 4 5 6 · · · m0 0 6 · · · (m− 5)m− 0 (5)1 0 (m− 5)m− 1 (6)... . . . ...

m− 5 0



(Por ejemplo la dimensión de las variedades M1−j (6× 1) que estratifican R6)



16 La obstrucción a ser LI a través de intersecciónUsando teoría de intersección veremos que en efecto la región en M en la que se

hacen linealmente dependientes k secciones será un elemento de Hk−1 (M).

k-marcos linealmente dependientes=OBSTRUCCIÓN a ser LI=INTERSECCIÓN

Generalizando el enfoque de intersección:

En Poincaré-Hopf intersecamos dos subvariedades contenidas en otra:

1. Haz tangente TM ←→Haz de k-marcos.

2. Sección en TM (campo)←→Sección en el haz de k-Marcos (k campos)

3. Sección cero←→ k-marcos linealmente dependientes sobre M (Un haz de conos)

La intersección del haz de conos con la sección en el haz de k-marcos nos dará (al

proyectar a la variedad base) las clases de Stiefel-Whitney.



17 Ejemplo D (w1)(TM2

):generalizar a una pareja de

campos en una 2-variedad.

1. Haz tangente TM ←→Haz de 2-marcos.

El haz de 2-marcos es una 6-variedad.



2 Sección en TM (campo)←→Sección en el haz de 2-Marcos (2 campos)

La sección en el haz de 2-Marcos (2 campos) es una subvariedad de dimensión 2.



3 Sección cero←→ 2-marcos linealmente dependientes sobre M , un haz de conos.

El haz de conos es una 5-subvariedad4

4 Hay que tomar solamente la parte del cono singular que corresponde a M1 (2× 2).Seminario de la Banda Geómetra


1. La dimensión del haz de 2-marcos es 6

2. La dimensión de la sección en el haz de dos marcos es 2.

3. La dimensión del haz de conos singulares es 5.

La suma 2 + 5 excede en 1 a la dimensión 6 del haz de 2-marcos.

Si las subvariedades se intersecan será5 en una variedad de dimensión 1.

5 genéricamente, es decir, cuando lo hacen de manera transversal.



18 La obstrucción a ser LI a través de intersecciónUsando teoría de intersección vimos que la región en M 2 en la que se hacen lineal-

mente dependientes 2 secciones será un elemento de H1 (M).

k = 2-marcos linealmente dependientes=OBSTRUCCIÓN a ser LI=INTERSECCIÓN

1. Haz de 2-marcos.

2. Sección en el haz de 2-Marcos (2 campos)

3. 2-marcos linealmente dependientes sobre M , un haz de conos.



19 Interpretación de las clases características

ENFOQUE OBSTRUCCIÓN A SER LINEALMENTE DEPENDIENTES:

Podemos ver las clases características a través de las subvariedades6 D (wm−k+1)en las cuales se vuelven linealmente dependientes k-secciones en el haz tangente

(corango j = 1).

ENFOQUE INTERSECCIÓN:

La intersección transversal del haz de conos de k-marcos singulares7 con la sección

en el haz de k-marcos nos dará (al proyectar a la variedad base) las clases de Stiefel-

Whitney D (wm−k+1).

6 podrían ser singulares si el corango de la singularidad es mayor a 1.7 Hay que tomar la parte del cono que corresponde al corrango j = 1, es decir, Mk−1 (m× k).Seminario de la Banda Geómetra


20 D (wn−1) (TM), un par de secciones en el haz

tangente.

La dimensión de los 2-marcos singulares (de rango 1):

dimM1 (m× 2) = 2m− (m− 1)m + 2 = m + 1

que luego al sumar con m, la dimensión de la variedad nos da la dimensión del haz

singular

2m + 1

que al ser sumada con la dimensión m de la sección en el haz de 2-marcos nos da:

3m + 1

que excede en 1 a la dimensión 3m del haz de 2-marcos, por lo que, la dimensión de

la intersección entre el haz de 2-marcos singulares y la sección en el haz de 2- marcos

es una variedad de dimensión

1Seminario de la Banda Geómetra


21 D (wn−2) (TM), un terna de secciones en el haz

tangente.La dimensión de los 3-marcos singulares (de rango 2):

dimM2 (m× 3) = 3m− (m− 2) = 2m + 2


singular

3m + 2

que al ser sumada con la dimensión m de la sección en el haz de 3-marcos nos da:

4m + 2

que excede en 2 a la dimensión 4m del haz de 3-marcos, por lo que, la dimensión de

la intersección entre el haz de 3-marcos singulares y la sección en el haz de 3- marcos

es una variedad de dimensión

2



22 D(wn−(k−1)

)(TM), una k-tupla de secciones en el

haz tangente.La dimensión los k-marcos singulares (de rango k − 1):

dimMk−1 (m× k) = mk − (m− (k − 1))


singular

km + (k − 1)

que al ser sumada con la dimensión m de la sección en el haz de k-marcos nos da:

km + (k − 1) + m = (k + 1)m + (k − 1)

que excede en (k − 1) a la dimensión (k + 1)m del haz de k-marcos, por lo que, la

dimensión de la intersección entre el haz de k-marcos singulares y la sección en el

haz de k-marcos es una variedad de dimensión

(k − 1) .



23 Acercándonos a la definición



¿Qué significan los grupos de coeficientes Z y Z2?

La manera en que se acerca la sección en el haz de k-marcos al (k − 1)-ciclo singular.

De nuevo, será algo análogo a lo que sucede con el índice en el teorema de Poincaré-

Hopf



24 El grupo de Coeficientes (o cómo se enreda la

sección)

Necesitamos analizar el análogo al índice de un campo vectorial.

El índice de un campo vectorial mide como se enreda la sección en el haz tangente

cuando atraviesa la sección cero.

En el caso de campos vectoriales tienes la gráfica de una función Rm → Rm y el índice

es la manera en la cual interseca la gráfica al (0, 0) ∈ Rm2

. Hay básicamente tantas

maneras de intersección como enteros.



25 La manera de atravesar la sección cero.La manera en que se enreda el campo esta codificada por πm−1

(Sm−1

)= Z que es el

índice del campo.



25.1 Compactificando los marcosSi tomamos una curva campos que empiece en la sección original en TM y termine

en un campo unitario (ortonormal)

conseguiremos al final un mapeo f1 : Sm−1 → Sm−1 cuya clase de homotopía en

πm−1(Sm−1

)= Z nos da el índice.



26 La sección en el haz tangente unitario UTM se

enreda en la fibra sobre el punto singular

El elemento en πm−1(Sm−1

)te dice como se enreda (en UTM ) la sección en f1 alrede-

dor de la fibra Sm−1 que está sobre el punto singular del campo.



Cómo se enreda una sección en el haz de 2-marcos

Cuando tienes un par de campos, se harán linealmente dependientes sobre una 1-

variedad.

La sección en el haz de 2-marcos es la gráfica de un mapeo de Rm → R2m que a lo

largo de 1-variedad toma valores en el estrato singular M1 (m× 2).

La idea es ver como la m-variedad que corresponde a sección en el haz de 2-marcos

se acerca a los puntos de la gráfica que están sobre la línea singular.



La manera en la cual se acerca la gráfica queda capturada si nos fijamos en como se

acerca tomando valores en un (m− 1)-espacio transversal a la línea singular.



La sección restringida a ese espacio será una gráfica de una función de Rm−1 → R2m,

es decir una (m− 1)-variedad contenida en Rm−1 × R2m.

Sobre Rm−1 \

0 ∈ Rm−1

, los valores estarán en la variedad de Stiefel V m2 abierta8

Al 0 ∈ Rm−1 le corresponde un valor en el cono singular M1 (m× 2) ⊂ R2m.

8 V m2 =M2 (m× 2), marcos no singulares.



Cuando te acercas al 0 ∈ Rm−1 se da el enredamiento de la (m− 1)-variedad de

marcos no singulares en torno al marco singular.

Podemos pensar que te acercas con esferas Sm−2 ⊂ Rm−1. Los valores sobre estas

esferas estarán contenidos en la variedad de Stiefel de marcos no singulares V m2 .



Si compactificas los marcos obtenemos una sección en el haz de marcos cuya fibra es

la variedad de Stiefel compacta V m2 (roja en la figura de la derecha).

La sección se enredará en una esfera Sm−2 metida en V m2 . es decir en un elemento de

πm−2 (V m2 ).



Es decir en un elemento del grupo de homotopía πm−2 (V m2 )

πm−2 (V m2 )

que mide las maneras en que puede enredarse la sección en el haz de 2-marcos

compactos.

Se sabe que dicho grupo de homotopía es

πm−2 (V m2 ) =

Z si m− 2 es par

Z2 si m− 2 es impar.

Entonces si la dimensión de M es

1. par habrá tantas formas de acercarnos al marco singular como elementos en Z.

2. impar habrá tantas formas de acercarnos al marco singular como elementos en Z2.



En general, cuando pasamos a k-secciones o una sección en el haz de k-marcos

tendremos que la sección se enredará9 en la fibra V mk por arriba de los puntos del

(k − 1)-ciclo singular de tantas maneras como elementos en πm−k (V mk )

Dicho grupo dependerá de paridad de la dimensión m y de los valores de k :

πm−k (V mk ) ∼= Z si m− k ∈ 2Z o si k = 1.

πm−k (V mk ) ∼= Z2 si m− k es impar y k > 1.

9 En el haz de k-marcos con fibra la variedad de Stiefel compacta V mk .



Cada componente de la intersección de la sección de k-marcos con el haz de k-marcos

singulares dará un elemento en Z o Z2.Al sumar estos elementos obtenemos el elemento de la clase característica

wm−(k−1) = wm−q

27 Definición de las clases características de

Stiefel-Whitney



Definición usual en términos de cohomología:

wm−q ∈Hm−q (M,Z) si q es impar o q = 0

Hm−q (M,Z2) si par y q > 0

Con una reducción se consideran todas las clases características como elementos en

D (wm−q) ∈ Hq (M,Z2) .Seminario de la Banda Geómetra


28 Clases de ChernTomas un haz vectorial E complejo de rango n, es decir, la fibra será Cn sobre una

variedad Mm de dimensión real m = 2n.

Las clases de Chern son las obstrucciones a poner 1, ..., n secciones (ojo ahora son

en una fibra compleja) globales en el haz.

Aplicando el mismo razonamiento que usamos para las clases Stiefel-Whitney y toman-

do en cuenta que los marcos

CVnk

son ahora complejos se llega a que los duales de Poincaré a las clases de Chern serán

ahora subvariedades de dimensiones pares.



Obstrucción a 1 sección D (cn (E)) ∈ H0 (M)Obstrucción a 2 secciones D (cn−1 (E)) ∈ H2 (M)Obstrucción a 3 secciones D (cn−2 (E)) ∈ H4 (M)

... ...

Obstrucción a k secciones D (cn−k+1 (E)) ∈ H2(k−1) (M)... ...

Obstrucción a n secciones D (c1 (E)) ∈ H2(n−1) (M)



¿Cómo es el conjunto de k-marcos complejos linealmente dependientes (singulares)

en Cm?

Linealmente dependientes Linealemente independientes



CV22 : 2-marcos en C2

Podemos interpretar cada 2-marco como la imagen de una base bajo un mapeo lineal

λC : C2 → C2.

de modo que habrá tantos 2-marcos como mapeos lineales λC

Es decir habrá tantos 2-marcos CV22 como MC (2× 2) matrices complejas de 2 × 2 o

puntos en C4.Seminario de la Banda Geómetra


Los marcos singulares son las matrices MC0 (2× 2) y MC

1 (2× 2) de rango 0 y 1.

C4 tiene 3 estratos que corresponden a las matrices de rango 0, 1, 2:

MC2 (2× 2) es la 4-variedad compleja de Stiefel (abierta) CV

22 en C4.

MC1 (2× 2) es 3-variedad10 compleja (estrato) en C4.

MC0 (2× 2) es 0 ∈ R4, una 0-variedad (estrato) en C4.

10 ¿CP 1 × T 2 × C∗?



29 D (cn (E)) para una M una 4-variedad (dimensión 2

compleja)

1. La dimensión del haz tangente (1-marcos) es 4 (compleja)

2. La dimensión de la sección en el haz de 1- marcos es 2 (compleja).

3. La dimensión del haz de conos singulares (sección cero) es 2.

D (cn (E)) ∈ H0 (M)



1. La dimensión del haz de 2-marcos es 6 (compleja)

2. La dimensión de la sección en el haz de dos marcos es 2.

3. La dimensión del haz de conos singulares es 5.

La suma 2 + 5 excede en 1 a la dimensión 6 del haz de 2-marcos.

Si las subvariedades se intersecan será11 en una variedad de dimensión 1.

11 genéricamente, es decir, cuando lo hacen de manera transversal.



30 El grupo de Coeficientes

Tienes para k-secciones una variedad de dimensión compleja k − 1.

Esto en un espacio de dimensión compleja n.

Tomas el espacio transversal que tendrá dimensión compleja n − k + 1. Pasemos a

dimensión real, dicho espacio tendrá dimensión 2 (n− k + 1), es decir, será R2n−2k+2,la esfera en dicho espacio será S2n−2k+1.La manera en que te enredas en torno a la variedad singular estará dada entonces por

el siguiente grupo de homotopía de los k-marcos complejos en Cn :

π2n−2k+1 (CVnk ) = Z

De modo que las clases de Chern quedan definidas de la siguiente manera

cn−q ∈ H2(n−q) (M,Z)

donde q = k − 1 es el número de secciones menos 1.



31 Clases de PontryaginTomas un haz vectorial real E sobre una variedad Mm.

Construimos la complejificación de dicho haz E ⊕ iE que será un haz complejo sobre

M 4j=2n=m. (j es la dimensión real de la fibra de E, n = 2j es la dimensión de la fibra

de E ⊕ iE).

Las clases de Pontryagin son las obstrucciones a poner 1, 3, ..., 2 (j − 1) + 1 secciones

complejas (ojo ahora son en una fibra compleja) globales en el haz E⊕ iE. Sus duales

de Poincaré seran ciclos de dimensiones reales 0, 4, ..., 4 (j − 1)

pj (E) = (−1)j c2j (E ⊕ iE) ∈ H4j (M,Z)



Obstrucción a 1 sección D (pj) = D (cn (E)) ∈ H0 (M)Obstrucción a 3 secciones D (pj−1) = D (cn−2 (E)) ∈ H4 (M)

... ...

Obstrucción a 2 (k − 1) + 1 secciones D(pj−(k−1)

)= D

(cn−2(k−1) (E)

)∈ H4(k−1) (M)

... ...

Obst. a 2 (j − 1) + 1 = n− 1 secc. D(P1=j−(j−1)

)= D

(c2=n−2(j−1) (E)

)∈ H4(j−1) (M)



32 Teorema de Gauss-BonnetHay dos ideas respecto al teorema de Gauss-Bonnet.

1. Verlo desde el punto de vista extrínseco, esto es pensarlo como una hipersuperficie

Mn ⊂ Rn+1. El haz tangente determina un mapeo

Mn → Gn+1n = Gn+1

1 = Sn

a través de la aplicaciónde Gauss. Las clases de homotopía de dicho mapeo estan

en relación directa con el torcimiento del haz tangente.

2. Pensarlo intrínsecamente como la obstrucción a dar una sección en el haz tangente.

Independientemente de la conexión que escojamos la integral∫M

ωn (Ω) = vol(Sn−1

)χ (M)

de ωn relacionada con la 2-forma de curvatura Ω nos da el volumen de la esfera.

Así que es equivalente hablar de clases de homotopía no triviales en el mapeo de

Gauss o hablar del torcimiento del haz tangente y su correspondiente clase caracterís-

tica Tope o de Euler



1. Cuando haces la integral de la curvatura en el teorema de Gauss-Bonnet extrínseco

(clásico) estás calculando el número de veces que tapas a la esfera.

∫kext= 2πχ (M) =

χ (M)

24π =

χ (M)

2vol(S2)

= degNvol(S2)

Por otro lado cuando haces la integral de la forma de curvatura (relacionada con la

forma de curvatura) estás calculando el volumen de las fibras sobre las cuales se

enreda la sección.

vol(S1)χ (M)

int=

∫k = 2πχ (M)

En general tendremos que[Cvol

(Sn−1

)]χ (M)

int=

∫Pf (Ω)

ext= vol (Sn)

χ (M)

2= vol (Sn) degN

donde Pf (Ω) es una m-forma relacionada con la 2-forma de curvatura.



La curvatura en la dirección de un par de vectores ξ, η de tamaño 1 puede ser expre-

sada en términos del tensor de curvatura Ω por la fórmula

k (ξ, η) = 〈Ω (ξ, η) ξ, η〉

donde los corchetes denotan el producto escalar dada la métrica riemanniana. Lo que

hacen es proyectar el vector del campo Ω (ξ, η) evaluado en el vector ξ al vector η para

obtener la velocidad con la que gira el campo proyectado al plano que generan los

vectores (ξ, η).



Tomando una base adecuada e1, ...en se puede ver de una manera más sencilla que

k (e1, e2) · · · k (en−1, en) = Pf (Ω) = k1k2 · · · kn−1kn = det (dN)

el producto de las n2 curvaturas seccionales, es decir, el Pfaffiano de la forma de cur-

vatura Pf (Ω), será igual al producto de las curvaturas principales, es decir, al deter-

minante de la diferencial de la aplicación de Gauss.

La topología de la variedad a través de la clase característica tope wm (TM) determina

si se puede o no definir tal sección.



Esto significa que al hacer la integral obtendremos que∫M

Pf (Ω) =

∫M

det (dN ) = degN (vol (Sm)) =χ (M)

2vol (Sm)

=χ (M)

2

(2m+22 π

m2

(m− 1)!!

)donde

degN =χ (M)

2



La no trivialidad del mapeo de Gauss o de la elección de la primera sección implica no

trivialidad en el haz tangente (complementario a la primera sección).



Gracias a todo

el Seminario de la banda geómetra.



J. Milnor & J. Stasheff, Characteristic Classes, Princeton.

S. Halperin & D. Toledo, Stiefel-Whitney Homology Classes.

T. Gowers, The Princeton companion to mathematics

N. Steenrod, The Topology of fiber bundles, Princeton.

V.Arnold, R. Uribe & G. Capitanio, Geometry.

V.Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics.

E. Tellez, Introducción a Formas Diferenciales, Tesis de Licenciatura, UNAM (2012).

J. Dieudonné, A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960, Birkhauser.

O. Romero, El teorema de Guauss-Bonnet-Chern, Tesis de maestria, UAM (2012).

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N. Jaramillo, Sobre el teorema de Gauss-Bonnet-Chern, Tesis de licenciatura, UNAM

(2006).

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X. Gómez Mont, Dualidad en geometría, plática impartirda en el festejo del 100 aniver-

sario de la muerte de Poincaré, Colegio Nacional (septiembre 2012).

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O. Palmas & H. Sánchez Geometría Riemanniana, La Prensa de Ciencias (2008).

http://en.wikipedia.org/wiki/Stiefel-Whitney_class



http://en.wikipedia.org/wiki/Stiefel_manifold

http://en.wikipedia.org/wiki/Chern_class

http://en.wikipedia.org/wiki/Pontryagin_class


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