Momento Angular

Os slides marcados (*) não serão cobrados.

São derivações matemáticas para alunos interessados.

https://www.youtube.com/watch?v=PwE3eiREYA4&t=101s

https://www.youtube.com/watch?v=-Cc-jGnIwCM

Momento Angular de uma PARTÍCULA

𝐋 = 𝐫 × 𝐩 = 𝑚(𝐫 × 𝐯)

𝑑𝐋

𝑑𝑡= 𝑚

𝑑𝐫

𝑑𝑡× 𝐯 + 𝐫 ×

𝑑𝐯

𝑑𝑡

= 𝐫 × 𝐅

Momento angular da partícula em

relação à origem escolhida

TORQUE da força 𝐅em relação à

origem escolhida

𝑑𝐋

𝑑𝑡𝛕

Sobre |𝐚 × 𝐛|

𝐚𝐛

𝜃

𝑏⊥

𝐚𝐛 𝜃

𝑎⊥

𝐚 × 𝐛 = 𝑎𝑏 sin 𝜃 = 𝑎𝑏⊥ = 𝑎⊥𝑏

𝑂

𝐫

𝐯

𝐯′𝑣⊥

𝐋

𝐯

𝐯′𝑣⊥

𝐋

𝐯𝐋 = 𝟎

𝐋 é ortogonal a 𝐫 e 𝐯

𝐋 = 𝑚𝑟𝑣⊥

𝐋

sentido em que 𝐫 gira em torno de 𝑂

Ilustração 1: Movimento Linear Uniforme

𝐫𝐯

𝑂

b𝐫′

𝐤𝑂’

𝐋 = 0 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡)

𝐋′ = − 𝑚𝑣𝑏 𝐤 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡)

𝐫′(𝑡1)

𝐫′(𝑡2)

𝐫(𝑡1)

𝐫(𝑡2)𝑂

Ilustração 2: Movimento Circular Uniforme

𝐯(𝑡1)

𝐯(𝑡2)

𝐋 𝑡1 = 𝐋 𝑡2 = − 𝑚𝑅𝑣 𝐤

𝐋′ 𝑡1 ≠ 𝐋′ 𝑡2

𝑂’

𝐤

𝐟

−𝐟

𝐅2

𝐅1

Momento Angular de um SISTEMA DE PARTÍCULAS

𝑂

𝑑𝐋𝑂

𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡

𝑑𝐥1𝑑𝑡

= 𝐫1 × (𝐅1 + 𝐟)

𝑑𝐥2𝑑𝑡

= 𝐫2 × (𝐅2 − 𝐟)

𝑑(𝐥1 + 𝐥2)

𝑑𝑡= 𝐫1 × 𝐅1 + 𝐫2 × 𝐅2

𝐫1 − 𝐫2 × 𝐟 = 0

𝐫1

𝐫2

(𝐫1−𝐫2)

𝑑𝐋𝑂

𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡

Apenas forças EXTERNAS são capazes de alterar o momento angular de um sistema

de partículas

Momento Angular vs. Momento Linear

𝑑𝐋𝑂

𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡

𝑑𝐏

𝑑𝑡= 𝐅𝑒𝑥𝑡

sem atrito

Como fazer para se deslocar?

Como fazer para girar?

https://www.youtube.com/watch?v=-Cc-jGnIwCM

O vetor 𝐋 e o momento de inércia 𝐼

𝑏𝑖

𝑂

𝐤

𝐫𝑖

𝐋𝑂 = 𝑖𝑚𝑖(𝐫𝑖 × 𝐯𝑖)

𝐚 × 𝐛 ∙ 𝐜 = (𝐜 × 𝐚) ∙ 𝐛

= 𝑖𝑚𝑖( 𝐤 × 𝐫𝑖) ∙ 𝐯𝑖

𝜔

= 𝑖𝑚𝑖𝑏𝑖(𝑏𝑖𝜔) = 𝐼0𝜔

𝐯𝑖

CORPO RÍGIDO (direção de rotação fixa)

𝑖𝑚𝑖(𝐫𝑖 × 𝐯𝑖) ∙ 𝐤𝐋𝑂 ∙ 𝐤 =

No caso de direção de rotação ao longo de um eixo de simetria...

𝜔𝜔

𝐋𝑂 = 𝐼𝑂𝜔 𝐤

𝐤

𝑂 𝑂

𝑑𝐋𝑂

𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡

nos problemas de EIXO FIXO

𝐼0𝛼 = 𝑅𝐹⊥

𝐅⊥

𝑅

𝐅∥ (inútil)

(produz rotação)

𝐼0𝛼 = 𝑅𝐹⊥

𝑂𝐫

𝐤 𝑑𝐋𝑂

𝑑𝑡= 𝐫 × 𝐅

𝐅

𝑑(𝐋𝑂∙ 𝐤)

𝑑𝑡= (𝐫 × 𝐅) ∙ 𝐤

𝑑(𝐼0𝜔)

𝑑𝑡= 𝑅𝐹⊥

𝛼

= ( 𝐤 × 𝐫) ∙ 𝐅

(*)

Um resultado útil:

𝐋𝑂 = 𝑀 𝐑 × 𝐕 + 𝐋𝐶

𝐑

𝐋𝑂 = 𝑀 𝐑 × 𝐕 + 𝐋𝐶

𝐕𝐫𝑖

𝐯𝑖

𝐶

𝑂𝑂

⟹ 𝑖𝑚𝑖𝐯𝑖 = 0

𝑖𝑚𝑖𝐫𝑖 = 0

Do ponto de vista do CM...

𝐋𝑂 =

𝑖

𝑚𝑖(𝐑 + 𝐫𝑖) × (𝐕 + 𝐯𝑖)

= 𝑀 𝐑 × 𝐕 +

𝑖

𝑚𝑖(𝐫𝑖 × 𝐯𝑖)

𝐋𝐶

(*)

Ilustração-1

𝑚2

𝑚1𝐯2𝐫2

𝑚1 = 2 kg

𝐫1 = −1, 0 m

𝐯1 = 0, −2 m/s

𝑚2 = 1 kg

𝐫2 = +1, 0 m

𝐯2 = 0, +1 m/s

𝐋𝑂 = 5 kg m2/s 𝐤

𝑀(𝐑 × 𝐕) = 1 kg m2/s 𝐤

𝐢

𝐣

𝑂𝐯1

𝐫1

𝐕

𝐥𝑂1 = 4 kg m2/s 𝐤 𝐥𝑂2 = 1 kg m2/s 𝐤

𝐑 = −13, 0 m

𝐕 = 0, −1 m/s

Do ponto de vista do CM ...

𝐯1

𝐯2

𝑚2

𝐫2𝑚1 𝐫1

𝐫1 = 𝐫1 − 𝐑

= 0, −1 m/s

= +43, 0 m

= 0, +2 m/s

𝐋𝐶 = 4 kg m2/s 𝐤

= −23, 0 m

𝐫2 = 𝐫2 − 𝐑

𝐯1 = 𝐯1 − 𝐕 𝐯2 = 𝐯2 − 𝐕 𝐢

𝐣

𝐶

Ilustração-2 (girando um disco girante)

𝜔

Ω 𝐋𝑂 ∙ 𝐤 = 𝑀 𝐑 × 𝐕 ∙ 𝐤 +𝑀𝑟2

2𝜔

𝑂

𝐑

𝐤

𝐑 × 𝐕 ∙ 𝐤 = ( 𝐤 × 𝐑) ∙ 𝐕

𝐋𝑂 ∙ 𝐳 = 𝑀𝐷2Ω +𝑀𝑟2

2𝜔

𝐷

= 𝐷2𝛺

𝐕 = 𝐷Ω𝐕

A equação do 𝐋𝐶

Observação Chave:

𝑑 𝑀𝐑 × 𝐕 + 𝐋𝐶

𝑑𝑡

𝑑𝐋𝑂

𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡

= 𝑖(𝐑 + 𝐫𝑖) × 𝐅𝑖

𝑒𝑥𝑡

𝑑(𝑀𝐑 × 𝐕)

𝑑𝑡= 𝑀

𝑑𝐑

𝑑𝑡× 𝐕 + 𝐑 ×

𝑑𝐕

𝑑𝑡= 𝐑 × 𝐅𝑒𝑥𝑡

𝐑𝐫𝑖

𝐶

𝑂𝑂 𝐋𝑂

𝐅𝑖𝑒𝑥𝑡𝐕

= 𝐑 × 𝐅𝑒𝑥𝑡 + (𝛕𝐶)𝑒𝑥𝑡

(*)

𝑑𝐋𝑂

𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡

𝑑𝐋𝐶

𝑑𝑡= (𝛕𝐶)𝑒𝑥𝑡

Válido mesmo que 𝐶 não seja inercial, como acontece geralmente

𝑀𝐠𝑀𝐠

𝑀𝐀 = 𝐅𝑒𝑥𝑡

𝐼𝐶𝛼 = (𝜏𝐶)𝑒𝑥𝑡

𝑑𝐋𝐶

𝑑𝑡= (𝛕𝐶)𝑒𝑥𝑡

nos problemas de ROLAMENTO

𝐫𝐶

𝐼𝐶𝛼 = 𝑅𝐶𝐹⊥𝑒𝑥𝑡

𝐅⊥

𝑅𝐶

𝐅∥ (inútil)

(produz rotação)𝐶

𝐤 𝑑𝐋𝐶

𝑑𝑡= 𝐫𝐶 × 𝐅

𝑑(𝐋𝐶∙ 𝐤)

𝑑𝑡= (𝐫𝐶 × 𝐅) ∙ 𝐤

𝑑(𝐼𝐶𝜔)

𝑑𝑡= 𝑅𝐶𝐹⊥

𝐅

𝛼

= ( 𝐤 × 𝐫𝐶) ∙ 𝐅

(*)

As equações para a Rotaçãomais geral possível do

CORPO RÍGIDO

𝑑𝐋𝑂

𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡

𝑑𝐋𝐶

𝑑𝑡= (𝛕𝐶)𝑒𝑥𝑡

𝑀𝐀 = 𝐅𝑒𝑥𝑡

Use quando HÁ um ponto fixo

Use quando NÃO HÁ um ponto fixo

APLICAÇÕES

Conservação de Momento Angular

1- Patinadora girando

𝜔

𝑀𝐠

𝐍

𝜔′

𝑀𝐠

𝐍

𝐼𝑂𝜔 = 𝐼𝑂′ 𝜔′

𝐾 aumentou?

12𝐼𝑂′ 𝜔′2 − 1

2𝐼𝑂𝜔2

= −𝑀𝑔∆ℎ + 𝑊𝑖𝑛𝑡

𝐤

𝑑 𝐼𝑂𝜔

𝑑𝑡= 𝑅𝐹⊥

𝑒𝑥𝑡

Peso e normal NÃO exercem torque em relação ao eixo fixo

∆ℎ

𝑂 𝑂 = 12𝐼𝑂𝜔2 𝐼𝑂

𝐼𝑂′ − 1

https://www.youtube.com/watch?v=PwE3eiREYA4&t=101s

https://www.youtube.com/watch?v=0RVyhd3E9hY

𝐼𝑐𝑎𝑚𝑒𝑙 > 𝐼𝑠𝑖𝑡 > 𝐼𝑢𝑝𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡

𝜔𝑐𝑎𝑚𝑒𝑙 < 𝜔𝑠𝑖𝑡 < 𝜔𝑢𝑝𝑟𝑖𝑔ℎ𝑡

https://www.youtube.com/watch?v=5cRb0xvPJ2M

2-Cadeira Giratória + Disco

𝑂

𝐶

𝑀 + 𝑚 𝐠

𝑅𝑟

𝑑𝐋𝑂

𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡

0

𝜔

= 𝑚𝑟2𝜔/2 𝐢

𝐤 𝐣

𝐢

𝐋𝑂 ∙ 𝐤 = 0

𝐋𝑂 = 𝑀 𝐑 × 𝐕 + 𝐋𝐶

1. A componente de (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡 (peso e eixo) na

direção 𝐤 é zero.

2. O peso e o eixo (sem atrito) têm torque em relação a 𝑂, mas não na direção do eixo. Esses torques tendem a tombar/destombar o eixo, mas não o fazem girar.

3. 𝐋𝑂 = 𝑚 𝐑 × 𝐕 + (𝐋𝐶)𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜

𝐑𝑑𝑠𝑐

1. Agora o disco preto e a cadeira executam também um MCU de raio 𝑅 e velocidade angular Ω

2. (𝐋𝑂′ )𝑑𝑠𝑐∙ 𝐤 = 𝑚 𝐑𝑑𝑠𝑐 × 𝐕𝑑𝑠𝑐 ∙ 𝐤 + (𝐋𝐶)𝑑𝑠𝑐∙ 𝐤

3. (𝐋𝑂′ )𝑐𝑎𝑑∙ 𝐤 = −𝐼𝑐𝑎𝑑Ω

0 = −𝐼Ω − 𝑚𝑅2 Ω + 𝑚𝑟2/2 𝜔

Ω =𝑚𝑟2/2

𝐼 + 𝑚𝑅2𝜔

𝑂

𝐤 𝐣

𝐢

= −𝑚𝑅2Ω + 𝑚𝑟2/2 𝜔

Conservação de 𝐋𝑂 ∙ 𝐤:

𝑅

Ω

𝜔

𝐕𝑑𝑠𝑐

3-Massa jogada na porta

𝐯0

𝑏

𝑂

𝐤

𝑂

𝜔

𝐋𝑂 ∙ 𝐤 = 𝑚𝑏𝑣0 𝐋𝑂′ ∙ 𝐤 = 𝑚𝑏 𝑏𝜔 + 𝐼𝑝𝑟𝜔

𝑑𝐋𝑂

𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡

Eixo e peso não exercem

torque na direção 𝐤

𝜔 =𝑚𝑏𝑣0

𝑚𝑏2 + 𝐼𝑝𝑟

Em detalhe

𝑂

𝐑

𝐯0 𝐤 𝑏

𝑚 𝐑 × 𝐯0 ∙ 𝐤 = 𝑚 𝐤 × 𝐑 ∙ 𝐯0

= 𝑚𝑏𝑣0

E se a massa não grudar na porta?

𝑂

𝜔′

𝐯𝑏

𝐋𝑂′ ∙ 𝐤 = −𝑚𝑏𝑣 + 𝐼𝑝𝑟𝜔′𝜔′ =

𝑚𝑏(𝑣0 + 𝑣)

𝐼𝑝𝑟𝜔 =

𝑚𝑏𝑣0

𝑚𝑏2 + 𝐼𝑝𝑟

gruda não gruda

4-Bola solta no carrossel𝑑𝐋𝑂

𝑑𝑡= (𝛕𝑂)𝑒𝑥𝑡

𝜔′

𝑂

𝜔

𝑂 Energia é conservada?

𝐤𝑑

Eixo e pesos não exercem

torque na direção 𝐤𝑚𝐯

𝐋𝑂 ∙ 𝐤 = 𝐼𝑐𝑟𝑠𝜔 𝐋𝑂′ ∙ 𝐤 = (𝐼𝑐𝑟𝑠 + 𝑚𝑑2)𝜔′