Modulo No. 3 v2014 Simulación Cinemática y Dinámica de ... · PDF...

Modulo No. 3 – v2014

Simulación Cinemática y Dinámica de Mecanismos Planos en Maquinas

José L. Oliver

Universidad Politécnica Valencia

Ingeniería Mecánica.

Julio 2014

M3 - Simulación de Mecanismos Planos en Maquinas –v2014- Prof. Dr. José L Oliver

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Contenido

1. Introducción. ............................................................................................................................................................................................................................ 7

Presentación. ............................................................................................................................................................................................................................... 7

Utilidad del Modulo ..................................................................................................................................................................................................................... 7

Conocimientos Previos. ................................................................................................................................................................................................................ 7

Objetivos ...................................................................................................................................................................................................................................... 7

Esquema de Contenidos (#). ........................................................................................................................................................................................................ 7

Secuencia de Aprendizaje (#). ...................................................................................................................................................................................................... 8

2. Conceptos Mecánicos Necesarios. ........................................................................................................................................................................................... 9

Ingeniería Mecánica y Mecanismos. ............................................................................................................................................................................................ 9

Conceptos Básicos. ..................................................................................................................................................................................................................... 11

3. Movilidad en Mecanismos Espaciales. ................................................................................................................................................................................... 15

Otro Punto de Vista – Análisis Dinámico Estativo. ..................................................................................................................................................................... 18

Actuadores. ................................................................................................................................................................................................................................ 19

4. Grados de Libertad Inútiles. ................................................................................................................................................................................................... 21

Mecanismos Espaciales. ............................................................................................................................................................................................................. 21

Mecanismos Planos. .................................................................................................................................................................................................................. 23

5. Mecanismos con Restricciones en Exceso. ............................................................................................................................................................................ 25

Mecanismos Sobrerestringidos Localmente. ............................................................................................................................................................................. 25

Mecanismos Sobrerestringidos Globalmente. ........................................................................................................................................................................... 26

Familia de los Mecanismos Planos. ............................................................................................................................................................................................ 27

Familia de los Mecanismos Esféricos. ........................................................................................................................................................................................ 27

Propiedades de los Mecanismos Sobrerestringidos Globalmente. ........................................................................................................................................... 27

6. Utilidad del Criterio de Movilidad. ......................................................................................................................................................................................... 29

7. Ejemplos de Aplicación del Criterio de Movilidad. ................................................................................................................................................................ 30

8. Mecanismos Auto-alineadores. ............................................................................................................................................................................................. 41

9. Clases de Pares Cinemáticos. ................................................................................................................................................................................................. 41

Par Puntiforme. .......................................................................................................................................................................................................................... 43

Par Lineal. ................................................................................................................................................................................................................................... 45

Para Anular. ................................................................................................................................................................................................................................ 46

Para Esférico. ............................................................................................................................................................................................................................. 48

Para Plano. ................................................................................................................................................................................................................................. 50

Para Cilíndrico. ........................................................................................................................................................................................................................... 51

Para Giratorio. ............................................................................................................................................................................................................................ 53

Par de Traslación. ....................................................................................................................................................................................................................... 55

10. ACTIVIDAD 1: Simulación de Cuadriláteros Articulados. Formas de Montaje. (*). ........................................................................................................... 59

11. ACTIVIDAD 2: Mecanismos de 4 Cuerpos con Deslizaderas. Impulsores. (*). ................................................................................................................... 61

12. Aplicación General del Criterio de Movilidad – Planteamiento de Phillips. ...................................................................................................................... 63

Pares Ordinarios. ........................................................................................................................................................................................................................ 64

Pares Especiales – 1 gdl. ............................................................................................................................................................................................................ 65






Aplicaciones (1). ......................................................................................................................................................................................................................... 68

Aplicaciones (2). ......................................................................................................................................................................................................................... 69

Aplicaciones (3). ......................................................................................................................................................................................................................... 70

Casos especiales (1) – Mecanismos Planos. ............................................................................................................................................................................... 72

Casos Especiales (2). .................................................................................................................................................................................................................. 72


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Casos Especiales (3) – Mecanismos Esféricos. ........................................................................................................................................................................... 73

Casos Especiales (4) – Cuerpos flexibles. ................................................................................................................................................................................... 74

13. ACTIVIDAD 3: Mecanismos Trazadores Articulados. Lazos Cinemáticos. (*). .................................................................................................................... 75

14. ACTIVIDAD 4: Mecanismos Trazadores con Deslizaderas. Lazos Cinemáticos. (*). ........................................................................................................... 77

15. Construcción Real de Pares Cinemáticos – Selección de Cojinetes. .................................................................................................................................. 79

Cojinete de Empuje de Rodillos Esféricos – Par Puntiforme. .................................................................................................................................................... 81

Cojinete de Bolas de Empuje Axial – Para Puntiforme. ............................................................................................................................................................. 82

Cojinete de Bolas Doble Esférico Radial – Par Puntiforme. ....................................................................................................................................................... 82

Cojinete de Rodillos Doble Esférico Radial – Par Puntiforme. ................................................................................................................................................... 83

Pares Anulares. .......................................................................................................................................................................................................................... 83

Cojinete de Bolas Axial – Par Plano. ........................................................................................................................................................................................... 84

Cojinete de Rodillos Cónicos Axial – Par Plano – Par Giratorio. ................................................................................................................................................ 85

Cojinete de Rodillos Axial – Par Plano. ....................................................................................................................................................................................... 85

Cojinete de Bolas Radial – Par Plano – Para Cilíndrico – Par Giratorio. ..................................................................................................................................... 86

Cojinete de Rodillos Cilíndricos Cortos – Para Cilíndrico – Para Giratorio. ................................................................................................................................ 87

16. ACTIVIDAD 5: Mecanismos de Artobolevsky con Engranajes. Factor Transmisión. (*). .................................................................................................... 89

17. MODELOS PLANOS de Mecanismos de Artobolevsky con “Solidworks 2007”. ................................................................................................................. 91

Mecanismo a-z-1128. ................................................................................................................................................................................................................. 91

Mecanismo a-z-1130. ................................................................................................................................................................................................................. 93

Mecanismo a-z-1131. ................................................................................................................................................................................................................. 95

Mecanismo a-z-1132. ................................................................................................................................................................................................................. 97

Mecanismos a-z-1133. ............................................................................................................................................................................................................... 99

Mecanismo a-z-1135. ............................................................................................................................................................................................................... 101

Mecanismo a-z-1138. ............................................................................................................................................................................................................... 103

Mecanismo a-z-1141. ............................................................................................................................................................................................................... 105

Mecanismo a-z-1144. ............................................................................................................................................................................................................... 107

Mecanismo a-z-1147. ............................................................................................................................................................................................................... 109

Mecanismo a-z-1153. ............................................................................................................................................................................................................... 111

Mecanismo a-z-1154. ............................................................................................................................................................................................................... 113

Mecanismo a-z-1156. ............................................................................................................................................................................................................... 115

Mecanismo a-z-1163. ............................................................................................................................................................................................................... 117

Mecanismo a-z-1165. ............................................................................................................................................................................................................... 119

Mecanismo a-z-1166. ............................................................................................................................................................................................................... 121

Mecanismo a-z-1167. ............................................................................................................................................................................................................... 123

Mecanismo a-z-1169. ............................................................................................................................................................................................................... 125

Mecanismo a-z-1173. ............................................................................................................................................................................................................... 127

Mecanismo a-z-1174. ............................................................................................................................................................................................................... 129

Mecanismo a-z-1177. ............................................................................................................................................................................................................... 131

Mecanismo a-z-1178. ............................................................................................................................................................................................................... 133

Mecanismo a-z-1179. ............................................................................................................................................................................................................... 135

Mecanismos a-z-1180. ............................................................................................................................................................................................................. 137

Mecanismo a-z-1181. ............................................................................................................................................................................................................... 139

Mecanismo a-z-1182. ............................................................................................................................................................................................................... 141

Mecanismo a-z-1184. ............................................................................................................................................................................................................... 143

Mecanismo a-z-1185. ............................................................................................................................................................................................................... 145

Mecanismo a-z-1187. ............................................................................................................................................................................................................... 147

Mecanismo a-z-1188. ............................................................................................................................................................................................................... 149

Mecanismo a-z-1189. ............................................................................................................................................................................................................... 151

Mecanismo a-z-1191. ............................................................................................................................................................................................................... 153

Modelo 1192 ............................................................................................................................................................................................................................ 155

Mecanismo a-z-1194. ............................................................................................................................................................................................................... 157


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2. Conceptos Mecánicos Necesarios.

Ingeniería Mecánica y Mecanismos.

El diseño de mecanismos constituye una parte fundamental de la ingeniería mecánica. Según la opinión del autor de este módulo, en nuestra universidad cualquier estudiante de ingeniería mecánica debería realizar a lo largo de su periodo de formación en esta disciplina, un proyecto que incluyese el diseño cinemático y dinámico de una pequeña máquina, así como la fabricación de las piezas necesarias para finalmente montarla y poder comprobar su funcionamiento. Así como en ingeniería mecánica hay ciertos campos que se comparten con otras disciplinas de la ingeniería, este no es el caso del diseño de mecanismos. Únicamente la ingeniería mecánica lo trata en toda su extensión. A pesar de ser un tema que posee una larga historia, de hecho los primeros estudios se remontan a los tiempos de los romanos, el diseño de mecanismos sigue siendo un componente vital del diseño práctico de la maquinaria moderna. Precisamente por este hecho, al igual que sucede en otros campos de la ingeniería, la aplicación práctica de los contenidos incluidos en ella está continuamente cambiando con el desarrollo de nuevas tecnologías. Nuevas tecnologías que han cambiado dramáticamente la forma de realizar el diseño mecánico, han realizado cambios fundamentales en la naturaleza de las máquinas que hoy en día se diseñan, y lo más importante desde mi punto de vista, han realizado cambios substanciales en la forma en que los estudiantes deben aprender los contenidos de esta disciplina. Hasta hace relativamente pocos años, los mecanismos se diseñaban utilizando técnicas manuales de tipo gráfico. La llegada de los ordenadores ha revolucionado la metodología. Las herramientas CAD permiten la automatización directa de algunos métodos gráficos tradicionales. Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones es más productivo utilizar la geometría cinemática fundamental con el fin de desarrollar formulaciones analíticas sobre las que es posible programar algoritmos que permiten obtener la solución más adecuada. Esto constituye la base de algunos paquetes de software de propósito especial que se han desarrollado para llevar a cabo las operaciones de diseño de mecanismos más usuales, como el que se considera para la creación del Modelo Cinemático Autoalineador es esta propuesta, denominado COSMOS MOTION. Recientemente, se han conseguido avances notables en la manera en que los ingenieros llevan a cabo los cálculos rutinarios en este campo de la ingeniería. Actualmente, los lenguajes de programación orientados a procedimientos, han sido sustituidos por paquetes de computación numérica especializados, y por paquetes de matemática simbólica. La influencia de los ordenadores también ha resultado vital en otros dos aspectos de este campo de la ingeniería. En primer lugar, actualmente resulta mucho más práctico el diseño de mecanismos tridimensionales, ya que los programas de modelado sólido, y los simuladores tridimensionales permiten salvar la dificultad de visualizar un sistema tridimensional a partir de los planos tradicionales realizados a tinta. En segundo lugar, los avances en la tecnología de los actuadores (generadores del movimiento) y en el control digital y en las técnicas de comunicación han permitido liberar al diseñador de la máquina tradicional en la que todos sus componentes estaban mecánicamente coordinados a partir de un único actuador o generador de movimiento, que en la mayoría de las ocasiones era un motor. Actualmente, es posible utilizar una máquina mecánicamente simple que posee múltiples actuadores que están electrónicamente coordinados. Aunque esta forma de entender la máquina ofrece una flexibilidad funcional muy grande, no es siempre apropiada. Los avances en las herramientas de programación de ordenadores también han influido notablemente en el campo del diseño de mecanismos. El primer software de análisis y síntesis de mecanismos se realizó en lenguaje ensamblador. No mucho tiempo después, los tradicionales lenguajes de programación orientados a procedimientos, como el FORTRAN se utilizaron en la programación de este tipo de problemas en ordenadores del tipo “mainframe” siguiendo los procedimientos de procesamiento por lotes. En los entornos de programación distribuida actuales, en los que se utilizan potentes estaciones de trabajo y ordenadores personales que son más potentes que los antiguos “mainframe”, se hace posible


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que el usuario interaccione con el ordenador de forma intensiva. Esto ha permitido el uso de estrategias de computación diferentes, tanto en los paquetes especializados, como en el uso de lenguajes de programación. Concretamente, actualmente disponemos de programas que combinan la flexibilidad universal de un lenguaje de programación con potentes funciones numéricas incorporadas. Estos programas se han convertido en el medio habitual de resolver problemas de diseño en ingeniería.


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Conceptos Básicos. Llamase PAR CINEMATICO a la unión de elementos que limita unos movimientos relativos y admite otros. El número de movimientos limitados (condiciones de enlace o restricciones) lineales, a lo largo de un eje coordenado dado, o angulares, en torno a un eje de coordenados dado, lo denominaremos CLASE DE PAR y lo designaremos por cifras romanas. Este significa asimismo el número de fuerzas o momentos que pueden ser transmitidos por el par considerado. La cantidad de movimientos relativos libres recibe el nombre de MOVILIDAD DEL PAR. La suma de la clase de un par cinemático y de su movilidad es igual a seis. Llamase LIGADURAS O RESTRICCIONES DE UN PAR CINEMÁTICO a los desplazamientos relativos limitados, efectuados a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas, y a los desplazamientos angulares limitados, efectuados alrededor de cada uno de esos ejes. Un desplazamiento lineal limitado en un par, provoca la existencia de una fuerza de restricción, mientras que un desplazamiento angular limitado, provocará la existencia de un momento de restricción. Por esto asociado al concepto de “restricción” en cinemática, están los conceptos de “fuerza o momento de restricción” en dinámica. El par debe calcularse (determinarse las dimensiones de los cuerpos que lo componen) para que resista esas fuerzas o momentos de restricción que aparecerán. Para examinar por separado los pares cinemáticas, pongámoslos en la Tabla 1.1. Allí, las clases (número de restricciones) se designan por las cifras romanas I, II, III, IV y V, y aparecen en cada una de las filas. Las columnas representan posibles soluciones constructivas, y están numeradas mediante números arábigos, 1, 2, 3, 4, 5. Designaremos cada par por una cifra romana con el subíndice correspondiente al número de la columna. Semejante notación permite localizar fácilmente en la tabla el par cinemático utilizado en el esquema examinado del mecanismo. En la columna del extremo derecho se designa la movilidad del par cinemático, es decir, el número de movimientos lineales y angulares que este permite entre los elementos que conecta. En general, la suma de la clase de un par y de su movilidad, siempre es igual a seis. El número de grados de libertad (gdl) de un cuerpo es el número de coordenadas independientes necesarias para especificar de forma única la posición de ese cuerpo respecto a un sistema de referencia dado. De forma similar, diremos que el mínimo número de coordenadas necesarias para especificar de forma única las posiciones de todos los componentes de un sistema de cuerpos rígidos, será el número de grados de libertad de ese sistema. Utilizaremos el concepto de número de grados de libertad de tres formas distintas pero muy relacionadas entre ellas. La primera será el número de grados de libertad de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia dado, que hemos definido anteriormente. La segunda será el número de grados de libertad de un par cinemático. Y la tercera será el número de grados de libertad de un mecanismo. Tanto por el hecho que “número de grados de libertad” es bastante largo de decir, como por el hecho que estamos utilizando este concepto de tres formas distintas, y con ánimo de clarificar, cuando tengamos que referirnos al número de grados de libertad de un par

cinemático utilizaremos la palabra conectividad, if . Adicionalmente, este mismo término lo

aplicaremos al número de grados de libertad relativos entre dos cuerpos. De forma análoga, nos referiremos al número de grados de libertad de un mecanismo utilizando el término movilidad de ese mecanismo. Estos términos se pueden definir formalmente de la siguiente forma: (1) Si un par cinemático se define entre dos cuerpos que no están conectados a ningún otro, la conectividad de ese par es el número de grados de libertad de movimiento de uno cualquiera de los dos cuerpos conectados con respecto al otro; (2) La movilidad de un mecanismo es el mínimo número de coordenadas necesarias para especificar las posiciones de todos los componentes del mecanismo con respecto a un determinado componente del mismo que se ha elegido como el cuerpo base o fijo.


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La movilidad, o número de grados de libertad de un mecanismo, se utiliza para determinar cuántas variables de par deben especificarse antes de poder localizar o situar todos los puntos de todos los componentes del mecanismo como funciones del tiempo. Un mecanismo


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tiene que tener una movilidad de valor uno o superior. Tradicionalmente, casi todos los mecanismos tenían un grado de libertad. Sin embargo, en la práctica moderna del diseño, han empezado a utilizarse de forma habitual mecanismos con dos o más grados de libertad. Si la movilidad es cero, o es negativa, tal y como se determinara por las ecuaciones de movilidad más adelante, el ensamblaje es una estructura. Si la movilidad es cero, la estructura se denomina estáticamente determinada. Si la movilidad es negativa, la estructura es estáticamente indeterminada. Para poder calcular la movilidad, consideraremos en primer lugar el caso plano y a continuación extenderemos el resultado al caso espacial o tridimensional. En el plano, un cuerpo que pueda moverse libremente tiene tres grados de libertad. Se define un mecanismo como plano cuando se da la circunstancia que todos los cuerpos que lo componen se mueven en un plano o en planos paralelos. A partir de esta definición podemos concluir que la inmensa mayoría de los mecanismos habitualmente utilizados en la práctica son planos, en el sentido anteriormente indicado, de ahí la importancia de estudiar este tipo de mecanismos inicialmente. Consideremos un mecanismo dado, en el que existen N componentes o cuerpos rígidos, y un número P de pares cinemáticos que los conectan entre ellos. En el plano la movilidad total del mecanismo será:

P

ii 1

M 3 * (N - P - 1) * f

Esta ecuación recibe el nombre de criterio de movilidad. En la literatura relacionada con estos temas es posible encontrar versiones que aparentemente son diferentes de la obtenida. Todas ellas, de hecho, son equivalentes entre sí. En el CASO ESPACIAL, el movimiento en el espacio cada cuerpo que tiene movimiento libre tiene seis grados de libertad en lugar de tres. Por lo que la ecuación que representa el criterio de movilidad en este caso resulta ser:

P

ii 1

M 6 * (N - P - 1) * f

Esta ecuación recibe el nombre de Criterio de Gruebler. Este último criterio es el que utiliza la aplicación COSMOS MOTION, integrada en Solidworks, para calcular internamente la movilidad o grados de libertad (DOF, “degree of freedom” en inglés) de un mecanismo.


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3. Movilidad en Mecanismos Espaciales.

En el movimiento en el espacio cada cuerpo que tiene movimiento libre tiene seis grados de libertad en lugar de tres. Usando el mismo razonamiento que se utilizó en el caso plano, la ecuación que representa el criterio de movilidad en este caso resulta ser:

P

ii 1

M 6 * N P 1 f

(Ec. 3)

La Ec. 3 recibe el nombre de Criterio de Kutzbach. MECANISMOS CON MOVILIDAD UNO Y PARES CON CONECTIVIDAD UNO En el caso que consideremos sólo pares inferiores, cada uno con conectividad uno, la ecuación anterior adopta la forma:

M 6 * N 5 * P 6 Si se requiere que el mecanismo tenga movilidad igual a 1, entonces la condición que debe cumplirse es la siguiente:

6 * N 5 * P 7 (Ec. 4) La Ec. 4 se corresponde con la Ec. 2 obtenida en el caso de movimiento plano. Tal y como lo era aquella ecuación, esta también es una ecuación de Diofanto que solo admite valores enteros de las variables. Resulta evidente que P debe ser impar ya que 5*P lo debe ser para poder combinarse con el número 7 y producir un número par tal. Además la suma 5 * P 7 debe ser divisible por tres. Las soluciones de la Ec. 4 son un poco más difíciles de obtener que las correspondientes a la Ec. 2. La solución más simple es la proporcionada por los valores P 1 y N 2 . Solución que coincide con la más simple de las soluciones para el caso plano que se representaron en la Fig. 5a. de la sección anterior. La siguiente solución posible es la proporcionada por los valores P 7 y N 7 . Se trata de una configuración simple de un solo lazo con siete componentes y siete pares. Representaría en mecanismos espaciales el mismo papel que representa en mecanismos planos el mecanismo cuadrilátero articulado. La siguiente solución posible es la proporcionada por los valores P 13 y N 12 . En este caso existen tres formas topológicas distintas. Por último, indicar que en mecanismos espaciales la complejidad se incrementa con el número de cuerpos y de pares mucho más rápido que en el caso plano.


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EJEMPLO 1.1. Grados de libertad de un mecanismo espacial. PROBLEMA: Determine la movilidad del mecanismo que aparece en la Fig. 1. Se trata de un mecanismo espacial. Esta formado por pares inferiores del tipo indicado.

Un mecanismo formado por cuatro componentes, de un solo lazo, espacial.

N P 4 ,

P

ii 1

f 2 * 3 1 * 1 1 * 2 9

, M 6 * 4 4 1 9 3

Criterio de Movilidad alternativo – Análisis Cinemático. Otra forma de plantear el criterio de movilidad es en términos de lazos o cerramientos. Para ello debemos imaginar que estamos llevando a cabo el montaje del mecanismo comenzando por situar el cuerpo base o fijo, y sucesivamente vamos añadiendo el resto de componentes mediante la creación de los correspondientes pares cinemáticos. Si un par cinemático conecta un componente adicional al sistema, el número de grados de

libertad del mismo se ve incrementado por if , si if es la conectividad del par, y el

número de componentes y de pares se ven incrementado ambos en una unidad. Si se monta un par entre dos componentes que ya formaban parte del mecanismo, el número total de grados de libertad se ve disminuido por el número de restricciones que supone el citado par. Se entiende que el número de restricciones impuestas por un par es el número de grados de libertad que pierde el sistema cuando ese par se define. Para mecanismos espaciales, ese número es i6 f , ya que dos cuerpos tienen seis grados de libertad de movimiento relativo

entre ellos cuando se consideran libres y sólo grados de libertad de movimiento relativo después de haber sido unidos mediante el citado par. En este caso, es decir cuando se activa un par entre dos componentes que ya formaban parte del mecanismo, el resultado es la creación de un lazo formado por los componentes y sus correspondientes pares. A este lazo se le suele denominar “cerramiento”. Procediendo de esta forma, la movilidad del mecanismo puede calcularse como:


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P

ii 1

M f 6 * L

(Ec. 5)

donde L es el número de lazos. Cuando se forma un lazo, el número de componentes del mecanismo no se ve incrementado, mientras que el número de pares se ve incrementado en una unidad. Si en el mecanismo considerado no existe lazos (fue obtenido a partir de una cadena cinemática abierta), el número de componentes esta dado por N P 1 siendo el

componente adicional (el 1) el cuerpo fijo o base. Por tanto, si existen L lazos en el mecanismo, se verificará que: L P 1 N . La sustitución de esta expresión para en la Ec. 5 da como resultado la Ec. 3. La relación entre L, P, y N se ilustra en la Fig. 2.

(a) N 5 , P 5 , L 1 (b) N 6 , P 6 , L 1 (c) N 6 , P 7 , L 2

Figura 3.1. Efecto de añadir un componente a un mecanismo junto con un par (b), y de añadir un par sin la adición de un componente (c). La adición de un par sin la adición

de un componente siempre da como resultado la creación de un lazo en el mecanismo. En el caso de mecanismos planos, esa misma ecuación tendría la forma:

P

ii 1

M f 3 * L

(Ec. 6)

La razón de haber planteado el criterio de movilidad o de restricción desde este punto de vista es que esto se encuentra relacionado con el análisis cinemático de la posición de mecanismos. Cuando en un mecanismo espacial se forma o existe un lazo, es posible formular un conjunto de seis ecuaciones algebraicas denominadas “ecuaciones de lazo” o “de cierre”. El número dado por la expresión 6 * L 6 * (P 1 N) es por tanto el número de

ecuaciones disponibles para poder realizar el análisis cinemático del mecanismo. Las variables en esas ecuaciones son las variables de cada par, las variables necesarias para

fijar las posiciones relativas de los cuerpos conectados por cada par. Existen de esas

variables para el par . Por lo tanto el número total de variables a considerar en un mecanismo es

P

ii 1

f

De esta forma, es posible entender que la Ec. 5 proporciona la movilidad de un mecanismo como la diferencia entre el número de variables a considerar en su análisis cinemático, menos el número de ecuaciones que es posible plantear debido a los lazos existentes.


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Otro Punto de Vista – Análisis Dinámico Estativo. Existe incluso otro punto de vista para el planteamiento del criterio de movilidad, que resulta conveniente cuando se tiene que realizar el análisis de fuerzas estáticas en el mecanismo. En un análisis de fuerzas estáticas de un mecanismo es necesario dibujar los denominados diagramas de cuerpo libre para todos sus componentes excepto para el cuerpo base. Es posible plantear seis ecuaciones de equilibrio para cada cuerpo libre. Por lo que hay 6 * (N 1) ecuaciones que describen el comportamiento del sistema.

En cada par hay un número de componentes de fuerzas y momentos de reacción que es igual al número de restricciones que posee ese par. Esas componentes de fuerzas son las variables

en un análisis de fuerzas estáticas. Ya que el número de restricciones en el par es

i6 f , el número de variables es

P P

i ii 1 i 1

6 f 6 * P f

Por lo tanto, la diferencia entre el número de variables y el número de ecuaciones es

P

ii 1

6 * P f 6 * N 1 M

Luego la movilidad es significativa también desde un punto de vista de un análisis estático de fuerzas. CASO 1 Si M 0 , el mecanismo no tiene capacidad de movimiento, siendo por tanto una estructura. El problema de posición puede resolverse con el fin de obtener las posiciones de los pares, que no podrán variar. El problema de equilibrio estático puede resolverse y obtener todas las componentes de las fuerzas y pares de reacción. La estructura se denomina “estáticamente determinada”, al existir una única solución para el problema de equilibrio estático. CASO 2 Si la movilidad es M 1 , el número de ecuaciones para el problema de posición excede el número de variables. Por tanto, en general no existirá una solución para el problema de posición. Para que pueda existir una solución es necesario que las ecuaciones sean dependientes. Lo que significa que la geometría del mecanismo debe satisfacer las condiciones necesarias para que dichas ecuaciones sean dependientes. Desde un punto de vista físico, esto significa que, en general, no será posible ensamblar el mecanismo. Uno o más de los lazos no será posible montarlos. Sin embargo, si se modifica la geometría de los componentes hasta conseguir alinear las superficies de los pares que forman los lazos, será posible ensamblar el mecanismo. Desde el punto de vista del análisis de fuerzas, la movilidad es el número de ecuaciones de equilibrio estático menos el número de variables fuerza: situación homóloga a la que se da en el análisis de posición. Por tanto, si M 1 es que hay una variable de fuerza mas que el número de ecuaciones que las relaciona. Consecuentemente, existen soluciones para el sistema, pero no existe una única solución. El problema de fuerzas no podrá ser resuelto sin información adicional que relaciona las fuerzas en el sistema. El mecanismo se dice que es una estructura estáticamente indeterminada. Si se consideran en el análisis los cuerpos como elásticos, en lugar de considerarlos como cuerpos rígidos, la compatibilidad entre sus deformaciones bajo la influencia de las cargas, nos proporcionará la relación adicional necesaria para poder resolver el problema de fuerzas.


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CASO 3 De forma análoga, si la movilidad es uno o mayor, el número de variables de posición es mayor que el número de ecuaciones de posición. Existen soluciones para el sistema, pero no existe una solución única. El número de ecuaciones de fuerza es mayor que el número de variables de fuerza, por lo tanto, en general, no existirá solución para el problema estático de fuerzas. En la práctica, la aplicación de un conjunto de cargas sobre el mecanismo produce una rápida, aceleración incontrolada, no pudiéndose describir el comportamiento del sistema sin la ayuda de las ecuaciones que proporciona la dinámica. Lo cual, sin embargo, invalida la suposición de modelo estático.

Actuadores. La especificación del valor de una variable de par es equivalente a fijar ese par. Desde un punto de vista físico, esto se puede conseguir colocando un actuador en ese par que lo mantenga en la posición deseada. El par puede soportar una fuerza, o un momento. El efecto de especificar el valor de una variable de par es incrementar en una unidad el número de variables fuerza desconocidas. Si un mecanismo tiene movilidad uno, el hecho de fijar la posición de un par con conectividad uno lo convierte en una estructura. Lo cual convierte el problema estático de fuerzas de uno en el que había una ecuación mas que variables, en uno en el que el número de variables es el mismo que el número de ecuaciones. Es decir, convierte el problema en estáticamente determinado. El hecho de fijar el momento aplicado en un par giratorio, o la fuerza aplicada mediante un actuador sobre un par prismático, tiene un efecto diferente si lo comparamos con el hecho de especificar el valor de una variable de par. No cambia el número de variables ni el número de ecuaciones ni del problema de posición ni del problema de fuerzas. Ello es debido al hecho que la consideración de un par pasivo es siempre equivalente a fijar la variable de fuerza o momento de ese par. El momento aplicado sobre un par giratorio pasivo tiene un valor fijo de cero. Cambiar este valor por otro no afecta al número de variables desconocidas. Obviamente, tampoco afecta al valor de las variables fuerza desconocidas. Esto es bastante importante en aplicaciones prácticas en mecanismos dotados de múltiples actuadores. Consideremos el manipulador robotizado que aparece en la Fig. 3. Posee siete componentes (simbolizados en la figura mediante números escritos en itálica) y seis pares. Las líneas a tramos con números escritos en negrita indican los ejes de los pares. Los pares 1, 2, 4, 5 y 6 son pares giratorios. El par número 3 es un par prismático. Los ejes de los pares 3 y 4 son coincidentes. El componente número uno es el cuerpo fijo o base. Aplicando el criterio de movilidad a este mecanismo obtenemos:

N 7 , P 6 ,

P

ii 1

f 6

, M 6 * 7 6 1 6 6

Figura 3.2. Manipulador robotizado que se utiliza para obtener movimientos en el espacio de tipo general de su mordaza. El mecanismo posee siete componentes, señalados

mediante letras en cursiva, y seis pares. Los pares 1, 2, 4, 5 y 6 son giratorios. El par 3 es prismático. Las líneas a tramos indican los ejes de los pares. Los ejes de

los pares 3 y 4 son coincidentes.


20

Si situamos actuadores en todos los pares de tal manera que podamos especificar sus posiciones, la posición en el espacio de todos los componentes del mecanismo queda especificada. Consideremos ahora lo que sucede si el manipulador coge un objeto que está fijado respecto al cuerpo base, tal y como aparece en la Fig. 4. Se supone que la mordaza coge el objeto con la suficiente fuerza como para que el movimiento relativo no sea posible. El efecto de esta situación es que el cuerpo 7 es ahora parte del cuerpo 1. Por tanto, aplicando el criterio de movilidad en este caso obtenemos:

N 6 , P 6 ,

P

ii 1

f 6

, M 6 * 6 6 1 6 0

El mecanismo se ha convertido en una estructura, con lo que ya no tenemos la libertad de especificar las variables de par a cualesquiera valores que seleccionemos. Intentar controlar el mecanismo mediante la especificación de las posiciones de los pares, tal y como se realiza cuando el manipulador puede moverse libremente, no es efectivo en este caso.

Figura 3.3. El manipulador robotizado de la Fig. 3 cogiendo un cuerpo fijado a la base. Si la mordaza coge el objeto de tal forma que el movimiento relativo sea imposible, la mordaza resulta fija con el cuerpo base. Esto da como resultado una disminución de los

componentes del sistema a seis y crea un lazo cerrado. Al ser la mayor parte de los manipuladores muy rígidos hace que pequeños errores de posición produzcan como resultado grandes fuerzas en los actuadores. Lo que produce a su vez que el controlador del actuador resulte inestable, produciendo como consecuencia un comportamiento vibratorio violento. Sin embargo, si los actuadores están controlados de forma que produzcan unas fuerzas o momentos determinados, este problema no existe. Las fuerzas y momentos que producen los actuadores se pueden especificar a unos valores determinados. Con lo que es posible aplicar un sistema de fuerzas determinado sobre el objeto fijado A de la figura, por medio del manipulador. Téngase en cuenta que las fuerzas y momentos con que se controlan los actuadores no siempre serán una solución. Si las fuerzas que realice el actuador están controladas cuando el manipulador se mueve libremente, el número de ecuaciones de equilibrio estático excede el número de variables en un rango de seis, con lo que el manipulador realizará movimientos rápidos incontrolados, violando la condición de estabilidad estática.


21

4. Grados de Libertad Inútiles.

Mecanismos Espaciales.

P

ii 1

M 6 * N P 1 f

(Ec. 3)

La Ec. 3 en determinadas ocasiones da resultados inadecuados. Existen varias razones para justificar esos resultados. Consideremos el mecanismo que aparece en la Fig. 1. Está formado por cuatro componentes y cuatro pares. Dos de los pares son giratorios. Los otros dos son esféricos. El mecanismo es bastante usado formando parte del sistema de suspensión de los automóviles. Aplicando el criterio de movilidad, tenemos:

N 4 , P 4 , if 2 * 1 2 * 3 8 , M 6 * 4 4 1 8 2

Sin embargo, la experiencia práctica al tratar con este tipo de mecanismos nos muestra que

existe un único valor del ángulo del seguidor,, para cada valor dado del ángulo del

impulsor,. ¿Cómo puede explicarse esto?

Figura 3.4. Un mecanismo espacial formado por cuatro componentes y cuatro pares. Dos de

los pares son giratorios. Los otros dos son pares esféricos. es el ángulo de

entrada y es el ángulo de salida. El mecanismo tiene un grado de libertad inútil

ya que el componente 3 puede girar alrededor de la línea que une los centros de los

pares esféricos sin tener ningún efecto sobre la relación entre y .

Un examen detallado del mecanismo revela que el acoplador tiene libertad para girar alrededor de la línea que pasa por los centros de los dos pares esféricos. Este movimiento puede tener lugar en cualquier posición del mecanismo sin tener ningún efecto sobre los valores de los ángulos de entrada y salida. A este grado de libertad se le denomina inútil. Es decir, es un grado de libertad que no afecta a la relación entre los ángulos de entrada y salida del mecanismo. El problema planteado aquí es real, y consiste en que usualmente no estamos interesados en la movilidad del mecanismo completo, es decir, de todos sus componentes. En su lugar, estamos interesados en la conectividad que el mecanismo proporciona considerándolo como si fuera todo el un par entre dos de sus componentes, los que consideremos como impulsor y seguidor, que en cada caso dependerán de la aplicación real que posea el mecanismo. Este es un nuevo uso del término conectividad. Anteriormente aplicábamos este término a pares simples mediante los cuales dos componentes contactaban entre ellos directamente. Sin embargo, un mecanismo restringe el número de grados de libertad de movimiento relativo de cualquiera dos de sus componentes. Por tanto se puede considerar todo el mecanismo como si fuese un par cinemático entre cualquiera dos de sus componentes.


22

De esta manera, podemos definir la conectividad entre dos de sus componentes, considerando el mecanismo que como si fuese un par entre esos componentes, como el número de grados de libertad de movimiento relativo que existen entre ambos componentes, a pesar que esos componentes no tienen un contacto real entre ambos, sino por medio de la existencia del mecanismo del que forman parte. En el EJEMPLO de la Fig. 1, la conectividad del mecanismo entre los componentes de entrada y salida es uno, a pesar que la movilidad del mecanismo es dos, y la conectividad entre el componente 3 y el 1 es dos. La movilidad actúa como un límite superior en la conectividad del mecanismo considerado como un par entre dos de sus componentes. No existe un método directo para determinar la conectividad, por eso se utiliza la ecuación de movilidad. Si la movilidad es uno y el mecanismo no está sobrerestringido en alguna región local, no hay problema. La conectividad del mecanismo considerado como si fuese un par entre cualquiera dos de sus miembros es también uno. Si la movilidad es mayor que uno, estrictamente hablando, todo lo que se puede decir es que la conectividad entre cualquiera dos de sus componentes puede ser o la movilidad o puede ser menor que ese número. Afortunadamente, los grados de libertad inútiles usualmente pueden ser identificados por inspección.

Figura 3.5. Plataforma de Stewart. Otro EJEMPLO se muestra en la Fig. 2. Se trata de una variedad del denominado mecanismo plataforma de Stewart. El mecanismo se utiliza comúnmente para producir movimientos espaciales generales en simuladores de aviones para el entrenamiento de pilotos. El componente de salida (o seguidor) está conectado a la base mediante seis “miembros”, cada uno de los cuales posee un actuador en el par prismático situado en el medio y dos pares esféricos uno en cada extremo. Hay 14 componentes, N 14 : dos en cada miembro más los componentes base y de salida. Hay 18 pares, P 18 : 6 pares prismáticos y 12 pares

esféricos. Por tanto if 6 * 1 12 * 3 42 . Por tanto, su movilidad es

M 6 * 14 18 1 42 12

Sin embargo, es fácil observar que cada miembro tiene libertad de giro alrededor de la línea que une los centros de los pares esféricos sin tener ello efecto sobre la posición del componente de salida respecto al componente base. Por tanto, el mecanismo tiene seis grados de libertad inútiles, siendo su conectividad considerado como un par entre la base y el componente de salida igual a

C M 6 6 Por tanto, posicionando adecuadamente los actuadores prismáticos, el componente de salida puede colocarse en cualquier posición dentro de su volumen de trabajo.


23

Mecanismos Planos.

P

ii 1

M 3 * N P 1 f

(Ec. 1)

Mientras que los grados de libertad pasivos son muy comunes en los mecanismos espaciales, también pueden aparecer en mecanismos planos. Típicamente, esto ocurre cuando consideramos levas y seguidores de rodillo. Por EJEMPLO, si calculamos la movilidad del mecanismo de la Fig. 3, encontraríamos que es 1, si existe contacto de rodadura sin deslizamiento entre el seguidor de rodillo (componente 5) y la leva (componente 6) en el punto C. Sin embargo, si consideramos contacto tipo leva en C, la movilidad calculada será 2. Contacto por rodadura sin deslizamiento en punto C:

N 6 ,P 7 , if 7 * 1 7 , M 3 * 6 7 1 7 1

Contacto tipo leva en punto C:

N 6 ,P 7 , if 6 * 1 1 * 2 8 , M 3 * 6 7 1 8 2

El grado de libertad extra está asociado con el giro libre del componente 5 respecto al cuerpo base. Normalmente, esta rotación no será de interés ya que el movimiento de todos los componentes en el mecanismo no se verán afectados por esta rotación.

Figura 3.6. Mecanismo plano con un grado de libertad inútil.


24


25

5. Mecanismos con Restricciones en Exceso.

Una segunda razón por las que las ecuaciones de movilidad algunas veces proporcionar resultados inadecuados se puede encontrar en el fenómeno de la sobrerestricción o existencia de restricciones en exceso. Un mecanismo puede estar sobrerestringido bien localmente o bien de forma general.

Mecanismos Sobrerestringidos Localmente. Si el mecanismo esta sobreresringido localmente, una parte del mismo puede ser una estructura, pero sin embargo todo el mecanismo puede tener capacidad de movimiento. Cuando esto sucede, lo que hay que hacer es sustituir esa parte del mecanismo por un solo cuerpo rígido y volver a calcular la movilidad del mismo. Podemos ver un EJEMPLO en la Fig. 1a.

Figura 3.7. (a) Un mecanismo plano en el que una parte del mismo es una estructura, dando lugar a un cálculo incorrecto de la movilidad al utilizar la ecuación

correspondiente a mecanismos planos. Todos los pares son giratorios. (b) Parte del mecanismo que es una estructura estáticamente indeterminada. (c) Modelo modificado del mecanismo con el que se podría utilizando la fórmula calcular un valor correcto de la

movilidad. En ese mecanismo tenemos que: N 9 ,P 2 * 1 2 * 2 2 * 3 12 . Téngase en cuenta que existen dos uniones en las que existen tres componentes conectados y dos en las que

existen cuatro componentes conectados. if P 12 . Por tanto,

M 3 * 9 12 1 12 0

Sin embargo, es posible observar que la parte del mecanismo formada por los componentes 3, 5, 6, 7, 8 y 9 constituyen una estructura estáticamente indeterminada. Esa parte se muestra aislada en la Fig. 1b. En ella si aplicamos la ecuación de la movilidad obtenemos: N 6 , y ya que en cada unión están conectados tres componentes, P 4 * 2 8 . En este

caso, if P 8 . Por tanto,

M 3 * 6 8 1 8 1

Revelando la naturaleza estáticamente indeterminada de la estructura y la fuente del error en el cálculo de la movilidad. Téngase en cuenta que la existencia en una parte de un mecanismo de una estructura estáticamente determinada no va a provocar un error en el cálculo de la movilidad. Para conseguir un valor correcto de la movilidad, el mecanismo debería remodelarse tal como aparece en la Fig. 1c con la parte del mismo que es una estructura reemplazada por un solo componente rígido. El mecanismo de esta forma aparece como un cuadrilátero articulado cuya movilidad sabemos que es uno.


26

Mecanismos Sobrerestringidos Globalmente.

Figura 3.8. El mecanismo de Bennett. Las longitudes de sus componentes y los ángulos que forman los ejes de los pares giratorios verifican la relación

a * Sin[ ] b * Sin[ ] .

Los mecanismos y especialmente los mecanismos espaciales pueden estar sobrerestringidos globalmente. La Fig. 2 muestra un EJEMPLO de un mecanismo espacial con cuatro componentes y cuatro pares giratorios. El mecanismo tiene una geometría especial. Los componentes opuestos son idénticos, y las normales a los ejes de los pares en cada componente se

intersectan justamente en los ejes de los pares. Las longitudes de esas normales (ay b )

están relacionadas con los ángulos entre ejes sucesivos ( y ) por la ecuación

a * Sin[ ] b * Sin[ ]

Bennett demostró hace mas de cien años que la movilidad de este mecanismo es uno. Sin

embargo, si aplicamos la ecuación de movilidad tenemos: N P 4 , y if 4 , siendo

por tanto M 6 * 4 4 1 4 2 .

En este caso, debido a la geometría especial, las ecuaciones de posición del mecanismo resultan ser independientes en cualquier posición. Por este motivo, el número efectivo de ecuaciones es sólo tres, en lugar de las seis que se podría esperar de un mecanismo formado por un solo lazo. Ya que el criterio de restricción o ecuación de movilidad lo que hace es calcular la diferencia entre el número de variables de posición y el número de ecuaciones disponibles, es por lo que en este caso el resultado es inferior en tres unidades a la movilidad real. El número de mecanismos en los que la movilidad calculada resulta incorrecta, tal y como sucede en el mecanismos de Bennett, es bastante grande. A todos ellos se les denomina mecanismos con restricciones en exceso o sobrerestringidos. La mayoría de ellos son curiosos pero sin aplicaciones prácticas apenas. Sin embargo, existen varias familias muy importantes de mecanismos sobrerestringidos que son comunes en la práctica de la ingeniería.


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Familia de los Mecanismos Planos. El ejemplo más común de sobrerestringidos es la familia de los mecanismos planos. No existe “a priori” ninguna razón que justifique por qué los mecanismos planos no cumplen el criterio de movilidad espacial general. Pues de hecho no lo cumplen. La Ec. 3 proporciona

un valor cuando se aplica a estos mecanismos que es siempre 3 * e inferior al valor correcto, donde e es el número de ecuaciones de lazo independientes para el mecanismo. El hecho que los mecanismos planos cumplan el criterio de movilidad para mecanismos planos, que tiene la misma forma que el correspondiente a mecanismos espaciales, pero en el que se ha reemplazado el coeficiente 6 por el 3, indica que solo tres de las ecuaciones producidas por cualquier lazo son independientes en mecanismos planos.

Familia de los Mecanismos Esféricos. Otra familia muy común de mecanismos sobrerestringidos es la familia de los mecanismos esféricos. En ellos todos sus pares son giratorios, y los ejes de todos esos pares pasan a través de un punto único. La Fig. 3 muestra un mecanismo esférico formado por cuatro componentes.

Figura 3.9. Mecanismo esférico de cuatro componentes. Los mecanismos esféricos cumplen la misma forma de ecuación de movilidad que los mecanismos planos y el mecanismo de Bennett. Por tanto, tres de las ecuaciones que resultan por cada lazo cerrado en un mecanismo esférico son siempre dependientes.

Propiedades de los Mecanismos Sobrerestringidos Globalmente. Comparados con los mecanismos adecuadamente restringidos (aquellos que cumplen la ecuación de movilidad para mecanismos espaciales), los mecanismos sobrerestringidos tienen propiedades que son diferentes en ciertas aplicaciones prácticas importantes. Por una parte tienen tendencia a ser muy rígidos y resistentes para soportar cargas, particularmente si esas cargas son ortogonales a la dirección del movimiento en el punto de aplicación. Sin embargo, son sensibles a la exactitud dimensional de sus componentes. Necesitan ser construidos con tolerancias relativamente ajustadas, lo cual puede incrementar el coste.


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En contraposición, los mecanismos adecuadamente restringidos son completamente insensibles a la geometría de sus componentes, en cuanto a la movilidad se refiere. Esto significa que, en situaciones de carga suave, pueden absorber solicitaciones excesivas que deformen sus componentes y todavía funcionar, al menos de alguna manera. Esta es una importante propiedad en situaciones como el control de mecanismos en máquinas agrícolas. En situaciones de carga elevada, el ingeniero de diseño a menudo de forma deliberada incrementara el grado de sobrerestricción para mejorar la rigidez y la resistencia. Un EJEMPLO lo podemos encontrar en mecanismo que soporta la cuchara de una cargadora frontal. Una fotografía de la cargadora se muestra en la Fig. 4., mientras que en la Fig. 5 se identifica uno de los mecanismos de soporte de la cuchara.

E

Figura 3.10. Cargadora frontal. Si se analiza utilizando las ecuaciones de movilidad para mecanismos planos, resulta que se obtiene un número de grados de libertad

inferior a uno. Se utilizan actuadores paralelos en ambos lados de la máquina para equilibrar la carga e incrementar la rigidez. La parte correspondiente al control de

la cuchara tiene dos grados de libertad. En principio, sólo uno de los dos mecanismos deslizadera – manivela invertido plano son

necesarios para soportar y levantar la cuchara. En este caso tenemos: iN P f 4 ,

y M 6 * 4 4 1 4 2 . Pero la movilidad real de este mecanismo sabemos es uno,

luego el grado de sobrerestricción es 1 ( 2) 3 .

Sin embargo, el mecanismo está repetido dos veces con el fin de soportar cada uno de los extremos de la cuchara. Con lo que N 6 (dos componentes adicionales para el otro

cilindro hidráulico), iP f 8 , y por tanto M 6 * 6 8 1 8 10 . Por lo

tanto, para el mecanismo duplicado el grado de sobrerestricción es 1 ( 10) 11 .

El resultado es un mecanismo mucho mas robusto ya que mecanismos planos individuales no podrían soportar los momentos de elevado valor fuera del plano que este dispositivo ha de soportar. El coste que hay que pagar está en que los ejes de los pares correspondientes en cada lado deben ser colineales con un nivel muy alto de exactitud, por lo que requieren una cuidadosa fabricación.


29

Figura 3.11. Esquema del mecanismo de soporte derecho de la cuchara para la cargadora frontal de la Fig. 4.

6. Utilidad del Criterio de Movilidad.

El criterio de movilidad resulta de mucha utilidad para el ingeniero cuando está examinando un sistema mecánico con el que no está familiarizado. Permite un chequeo rápido para determinar si los componentes, pares, y actuadores que se han identificado son consistentes con la función del sistema. Cualquier inconsistencia puede indicar que algunos elementos se han identificado incorrectamente o que existen grados de libertad pasivos. En el caso que el mecanismo sea plano o esférico, deberá utilizarse la forma del criterio de movilidad para mecanismos planos en lugar de la forma general. Es posible formular expresiones para la movilidad que incluyan lazos cerrados sobrerestringidos de cualquier tipo. Esas expresiones son equivalentes a la siguiente ecuación:

c P

k ik 1 i 1

M b f

donde c N P 1 es el número de lazos cerrados en el mecanismo.

Desgraciadamente, a menos que los valores de kb asociados con los diferentes lazos se

puedan identificar por inspección, tales expresiones no tienen valor alguno. La razón está en que la ecuación de movilidad proporciona un rápido chequeo del número de variables de posición y de ecuaciones independientes sin la necesidad de llegar a formular esas ecuaciones. Sin embargo, la única manera de verificar un lazo sobrerestringido de un tipo no identificable por inspección es desarrollar las ecuaciones correspondientes y analizarlas desde el punto de vista de la dependencia entre ellas. En este caso por tanto, la ventaja de la ecuación de movilidad de proporcionar un chequeo rápido desaparece, y no hay forma de obtener información del mecanismo sin realizar un análisis de posición completo.


30

7. Ejemplos de Aplicación del Criterio de Movilidad.

MOVILIDAD MECANISMO SOBRERESTRINGIDO MOVILIDAD MECANISMO AUTOALINEADOR


31

M 6 * (4 4 1) 1 2 2 1 0 GDL M 6 * (4 4 1) 1 3 2 1 1 GDL

MOVILIDAD MECANISMO – CON GRADOS LIBERTAD PASIVOS MOVILIDAD MECANISMO AUTOALINEADOR

M 6 * (6 6 1) 1 0 3 3 1 1 3 GDL M 6 * (6 6 1) 1 0 3 1 1 1 1GDL


32


M 6 * (7 8 1) 1 3 1 1 1 1 1 1 2 M 6 * (7 8 1) 1 3 1 1 1 3 2 1 1


33

COMO MECANISMO PLANO

M 3 * (4 4 1) 1 1 1 1 1

COMO MECANISMO ESPACIAL


M 6 * (4 4 1) 1 1 1 1 2

M 6 * (4 4 1) 1 3 2 1 1


34

COMO MECANISMO PLANO

M 3 * (4 4 1) 1 1 1 1 1


35

COMO MECANISMO ESPACIAL


M 6 * (4 4 1) 1 1 1 1 2 M 6 * (4 4 1) 1 3 2 1 1


36

LEVA CON SEGUIDOR DE CARA PLANA COMO MECANISMO PLANO

M 3 * (4 5 1) 1 1 2 1 2 1

LEVA CON SEGUIDOR DE CARA PLANA COMO MECANISMO ESPACIAL


M 6 * (4 5 1) 1 1 4 1 4 1 M 6 * (4 5 1) 1 1 5 1 5 1


37

LEVA CON SEGUIDOR DE RODILLO COMO MECANISMO PLANO

M 3 * (4 4 1) 1 1 1 1 1

LEVA CON SEGUIDOR DE RODILLO COMO MECANISMO ESPACIAL

M 6 * (4 4 1) 1 4 1 1 1


38

ENGRANAJES COMO MECANISMO PLANO

M 3 * (3 3 1) 1 1 2 1

M 6 * (3 3 1) 1 1 5 1


39

CORREAS O CADENAS COMO MECANISMO PLANO

M 3 * (3 3 1) 1 1 2 1

CORREAS O CADENAS COMO MECANISMO ESPACIAL

M 6 * (3 3 1) 1 1 5 1


40


41

8. Mecanismos Auto-alineadores.

Si hubiese que indicar un concepto mecánico que representara el sentido docente de lo que se pretende desarrollar en este módulo, este sería el de “Mecanismo Autoalineador”. Veamos brevemente como se explica en base a algunos párrafos del libro que lo presentó, estando desarrollados los detalles en las siguientes secciones. La teoría de mecanismos y máquinas es la ciencia que estudia los pares cinemáticos (articulaciones) de los mecanismos. Debe proporcionar recomendaciones acerca de los tipos de pares cinemáticas y su empleo. Uno de los autores que más han contribuido a esta tarea fue el Profesor L. Reshetov, con su libro titulado “Mecanismos Autoalineadores”. Una de las conclusiones de este trabajo es que para conseguir una mejora esencial en el funcionamiento del mecanismo, este último debía estar determinado estáticamente, o como el propio autor indica: “ser autoalineador”. En su libro desarrolla una teoría y la aplica sobre ejemplos, con el fin de mostrar a los diseñadores e ingenieros como conseguir que los mecanismos que tengan que utilizar sean autoalineadores. Para facilitar el montaje de los mecanismos es conveniente que se elija un esquema tal que el hecho que las dimensiones de los distintos componentes no sean las teóricas, no suponga problema alguno. Es decir, lo más conveniente es emplear mecanismos estáticamente determinados, es decir sin restricciones excesivas (pasivas), a los que llamaremos mecanismos autoalineadores. Llamase excesivas (pasivas) a las restricciones cuya eliminación no aumenta la movilidad del mecanismo. Las dimensiones de los componentes de un mecanismo pueden variar también durante el servicio de las máquinas, lo cual puede suceder a consecuencia del hundimiento de la cimentación, el desgaste y la regulación del “juego” en los pares cinemáticas, las deformaciones elásticas, la dilatación térmica, así como a causa de los errores cometidos durante la reparación y el montaje. Un mecanismo estáticamente determinado no está sujeto a la variación de las dimensiones de sus elementos. Por lo tanto, la determinación estática de un mecanismo no solo resuelve el problema de reducir el gasto de montaje, sino que también resuelve al mismo tiempo el problema de elevar su fiabilidad en servicio. En una palabra, según el libro del Profesor Reshetov, la existencia de restricciones excesivas en un mecanismo es un factor perjudicial. Por ello esta solicitud lo que persigue es disponer de un conjunto de mecanismos manejables tanto físicamente como en el ordenador (virtualmente), con los que poder practicar la creación de MODELOS CINEMATICOS AUTOALINEADORES, es decir sin restricciones en exceso. Para ello es imprescindible tener un modelo virtual en SolidWorks, con el que se pueda definir y comprobar el modelo cinemático autoalineador mediante la aplicación integrada denominada COSMOS MOTION. 9. Clases de Pares Cinemáticos.

Llamase PAR CINEMATICO a la unión de elementos que limita unos movimientos relativos y admite otros. El número de movimientos limitados (condiciones de enlace o restricciones) lineales, a lo largo de un eje coordenado dado, o angulares, en torno a un eje de coordenados dado, lo denominaremos CLASE DE PAR y lo designaremos por cifras romanas. Este significa asimismo el número de fuerzas o momentos que pueden ser transmitidos por el par considerado. La cantidad de movimientos relativos libres recibe el nombre de MOVILIDAD DEL PAR. La suma de la clase de un par cinemático y de su movilidad es igual a seis. Llamase LIGADURAS O RESTRICCIONES DE UN PAR CINEMÁTICO a los desplazamientos relativos limitados, efectuados a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas, y a los desplazamientos angulares limitados, efectuados alrededor de cada uno de esos ejes. Un desplazamiento lineal limitado en un par, provoca la existencia de una fuerza de restricción, mientras que un desplazamiento angular limitado, provocará la existencia de un momento de restricción. Por esto asociado al concepto de “restricción” en cinemática, están los conceptos de “fuerza o momento de restricción” en dinámica. El par debe calcularse (determinarse las dimensiones de los cuerpos que lo componen) para que resista esas fuerzas o momentos de restricción que aparecerán.


42

Para examinar por separado los pares cinemáticas, pongámoslos en la Tabla 1.1. Aquí, las clases (número de restricciones) se designan por las cifras romanas I, II, III, IV y V, y aparecen en cada una de las filas. Las columnas representan posibles soluciones constructivas, y están numeradas mediante números arábigos, 1, 2, 3, 4 y 5. Designaremos cada par por una cifra romana con el subíndice correspondiente al número de la columna. Semejante notación permite localizar fácilmente en la tabla el par cinemático utilizado en el esquema examinado del mecanismo. En la columna del extremo derecho se designa la movilidad del par cinemática, es decir, el número de movimientos lineales y angulares que este permite entre los elementos que conecta. En general, la suma de la clase de un par y de su movilidad, siempre es igual a seis.


43

Par Puntiforme.

2I - PAR PUNTIFORME

El par cinemático más simple es el par 2I , con las superficies de trabajo en contacto

puntiforme. Convengamos en denominarlo PAR PUNTIFORME.

Semejante par se utiliza en los mecanismos de levas con rodillo en forma de barrilete y en los dientes de los piñones con mancha de contacto concentrada (acubados).

Es un par de primera clase, ya que impide el desplazamiento relativo y transmite la fuerza dirigida por la normal común a las dos superficies en contacto, facilitando todos los demás desplazamientos relativos (dos desplazamientos por ambas tangentes y las rotaciones en torno a los tres ejes), es decir es un par con movilidad cinco.

IN PLANE JOINT-PRIMITIVE


44

A partir de este par, por medio de transformaciones lógicas, se pueden obtener todos los pares cinemáticos conocidos.


45

Par Lineal.

2II - PAR LINEAL

La formación de pares de segunda clase a partir de pares puntiformes ofrece dos

soluciones. La primera da lugar al par cinemático 2II , con las superficies de trabajo en

contacto a lo largo de una línea recta. Convengamos en denominarlo PAR LINEAL. Semejante par se utiliza en los mecanismos de levas con rodillos cilíndricos, en el contacto entre dientes de engranajes, y en los cojinetes de agujas.

Un par lineal puede transmitir entre los elementos una fuerza dirigida por la normal y momento pequeño alrededor del eje que es perpendicular a la normal común a las dos superficies y a la línea de contacto. En este par debe asegurarse el contacto lineal a costa de otros pares cinemáticos.

IN LINE JOINT-PRIMITVE


46

Para Anular.

3II - PAR ANULAR

La segunda combinación de pares puntiformes da lugar al par cinemático 3II , con las

superficies de trabajo en contacto a lo largo de una línea que no es recta, cuyo efecto es como si un punto de uno de los elementos se moviera en una línea trazada en el otro, por lo que también se le denomina “punto en la línea”. Se puede presentar su forma constructiva como una esfera que se mueve dentro de un tubo. Convengamos en denominarlo PAR ANULAR.


47

Lo necesitaremos en lo sucesivo al estudiar los cojinetes de contacto rodante. Un par anular puede transmitir dos fuerzas en dos direcciones perpendiculares al eje del tubo.

IN LINE JOINT-PRIMITVE


48

Para Esférico.

'2III - PAR ESFERICO

En la formación de pares de tercera clase a partir de tres pares puntiformes, son posibles dos casos. La primera combinación de tres pares puntiformes da lugar al par cinemático

'2III , con las superficies de trabajo en contacto esféricas. Convengamos en denominarlo

PAR ESFERICO.

Es posible encontrarlo en las tiendas de suministros industriales, como cojinetes esféricos, solos o situados en extremos de barras.


49

Semejante par restringe los desplazamientos por los tres ejes y puede transmitir las fuerzas correspondientes, posibilitando la rotación alrededor de los tres ejes, con lo que se trata de un par de movilidad 3.

JOINT-SPHERICAL


50

Para Plano.

''2III - PAR PLANO

La segunda combinación de tres pares puntiformes da lugar al par cinemático ''2III , con las

superficies de trabajo en contacto planas. Convengamos en denominarlo PAR PLANO.

Semejante par restringe el desplazamiento en dirección normal al plano común de contacto, pudiendo transmitir la fuerza normal correspondiente, y los giros alrededor de los dos ejes coordenados que definen el plano, transmitiendo por tanto los momentos correspondientes alrededor de esos ejes. Se trata de un par de movilidad 3.

JOINT-PLANAR


51

Para Cilíndrico.

2IV - PAR CILINDRICO

Un par de cuarta clase se puede obtener a partir de cuatro pares puntiformes, con las

superficies de trabajo en contacto cilíndricas., lo que da lugar al par cinemático 2IV .

Convengamos en denominarlo PAR CILINDRICO.

Este tipo de par restringe los desplazamientos perpendiculares al eje de traslación y rotación y transmite las fuerzas correspondientes, así como limita los giros alrededor de los ejes perpendiculares a dicho eje y trasmite los momentos correspondientes. Por lo tanto permite el giro y el desplazamiento a lo largo de su eje longitudinal, es decir, es un par con movilidad 2.

JOINT CYLINDRICAL

El par cilíndrico, dadas sus ventajas, difiere notablemente de los otros por la simplicidad de fabricación: aplicando un torneado y el rectificado para uno de los elementos, y el taladrado y escariado para el otro. Este par se desmonta al desplazar axialmente uno de los elementos, es decir, no se requiere la fabricación de elementos desmontables.


52


53

Para Giratorio.

2V - PAR GIRATORIO

El PAR GIRATORIO 2V puede obtenerse uniendo un par cilíndrico con un par plano. El par 2V

posee dos restricciones en exceso, por lo que requiere se mantenga exactamente la perpendicularidad del par plano al eje del par cilíndrico en dos direcciones. Esta precisión se garantiza con facilidad mecanizando las superficies de tope y cilíndrica en una misma fase del proceso.

JOINT REVOLUTE

En las siguientes figuras podemos observar algunas soluciones constructivas disponibles en las tiendas de suministros industriales.


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Par de Traslación.

3V - PAR DE TRASLACION, DE AVANCE O PRISMATICO

El PAR DE AVANCE 3V se obtiene a partir de dos pares planos de tercera clase. Este par

tiene una restricción en exceso, por lo que requiere que en su construcción el ángulo formado por los planos sea precisamente el mismo en los dos elementos del par.

JOINT TRANSLATIONAL

Conviene señalar que si el par de traslación tiene forma de unión por estrías, el número de restricciones en exceso puede ser muy grande. Estas últimas no son perjudiciales ya que de ordinario las uniones por estrías garantizas una exactitud suficiente.

En las siguientes figuras podemos observar algunas soluciones constructivas disponibles en las tiendas de suministros industriales.


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