MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración. 1 Análisis cinemático: ACELERACION.

MECANISMOS. Análisis cinemático: MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.Aceleración.

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Análisis cinemático: Análisis cinemático: ACELERACIONACELERACION

MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración.

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ÍndiceÍndice

► INTRODUCCION.INTRODUCCION.►ANALISIS GRAFICO DE ACELERACIONES.ANALISIS GRAFICO DE ACELERACIONES. Método de las aceleraciones relativas.Método de las aceleraciones relativas.

►ANALISIS NUMERICO DE ANALISIS NUMERICO DE ACELERACIONES.ACELERACIONES. Introducción.Introducción. Planteamiento general.Planteamiento general. Aceleraciones de puntos del mecanismo.Aceleraciones de puntos del mecanismo.


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IntroducciónIntroducción► Una vez realizado el estudio de posición y velocidad en mecanismos Una vez realizado el estudio de posición y velocidad en mecanismos

planos con un grado de libertad, se realizará, en el presente tema, el planos con un grado de libertad, se realizará, en el presente tema, el análisis de aceleraciones para el tipo de mecanismos mencionado.análisis de aceleraciones para el tipo de mecanismos mencionado.

► Al igual que en los temas anteriores, antes de realizar cualquier tipo Al igual que en los temas anteriores, antes de realizar cualquier tipo de análisis se supuso conocido el valor de la variable primaria o de análisis se supuso conocido el valor de la variable primaria o posición del eslabón de entrada o eslabón motor, así como su posición del eslabón de entrada o eslabón motor, así como su variación respecto al tiempo, se supondrá en este tema que la variación respecto al tiempo, se supondrá en este tema que la aceleración del eslabón de entrada es también conocida y, por lo aceleración del eslabón de entrada es también conocida y, por lo tanto, un dato de partida.tanto, un dato de partida.

► Por otra parte, tal y como se ha venido realizando en los temas Por otra parte, tal y como se ha venido realizando en los temas anteriores, se abordará el estudio de aceleraciones en los anteriores, se abordará el estudio de aceleraciones en los mecanismos mediante herramientas gráficas por una parte, y mecanismos mediante herramientas gráficas por una parte, y basadas en el cálculo numérico por otra.basadas en el cálculo numérico por otra.

► Todas las consideraciones hechas hasta el momento sobre la Todas las consideraciones hechas hasta el momento sobre la conveniencia, o no, de la utilización de uno u otro método siguen conveniencia, o no, de la utilización de uno u otro método siguen siendo completamente válidas en el tema que a continuación se va a siendo completamente válidas en el tema que a continuación se va a desarrollar.desarrollar.


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Análisis gráfico de Análisis gráfico de aceleraciones. aceleraciones. ► Método de las aceleraciones relativas: polígono de aceleraciones.Método de las aceleraciones relativas: polígono de aceleraciones.

En la figura se muestra un eslabón genérico sobre el que, se supone, se ha En la figura se muestra un eslabón genérico sobre el que, se supone, se ha realizado un análisis de velocidades, siendo por tanto conocidas las realizado un análisis de velocidades, siendo por tanto conocidas las velocidades de los puntos velocidades de los puntos AA y y BB y la velocidad relativa y la velocidad relativa vvBABA, con lo que la , con lo que la velocidad angular del eslabón quedará determinada por:velocidad angular del eslabón quedará determinada por:

Por otra parte, se conoce la aceleración angular del eslabón, Por otra parte, se conoce la aceleración angular del eslabón, , así como la , así como la aceleración del punto aceleración del punto AA. Para calcular la aceleración del punto . Para calcular la aceleración del punto BB por medio del por medio del método de las aceleraciones relativas, se planteará la igualdad vectorial:método de las aceleraciones relativas, se planteará la igualdad vectorial:

AB

vBA

a a aB A BA


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Análisis gráfico de Análisis gráfico de aceleraciones. aceleraciones. ► Método de las aceleraciones relativas: polígono de aceleraciones.Método de las aceleraciones relativas: polígono de aceleraciones.

y, puesto que la aceleración relativa puede ser a su vez descompuesta en las componentes y, puesto que la aceleración relativa puede ser a su vez descompuesta en las componentes tangencial y normal:tangencial y normal:

Donde:Donde:► siendo su dirección la de la recta siendo su dirección la de la recta ABAB y su sentido de y su sentido de BB a a A.A.

► con dirección perpendicular a la recta AB y su sentido el indicado por la aceleración con dirección perpendicular a la recta AB y su sentido el indicado por la aceleración angularangular ..

a a aBA BA

nBAt

a ABBA

n 2

a ABBA

t


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Análisis gráfico de Análisis gráfico de aceleraciones. aceleraciones. ► Método de las aceleraciones relativas: polígono de Método de las aceleraciones relativas: polígono de

aceleraciones.aceleraciones. Más habitual que el caso estudiado suele ser el que a continuación se Más habitual que el caso estudiado suele ser el que a continuación se

presenta, en el que no se conoce la aceleración angular del eslabón, pero sí la presenta, en el que no se conoce la aceleración angular del eslabón, pero sí la dirección de la aceleración del punto dirección de la aceleración del punto BB. Para calcular esta aceleración, así . Para calcular esta aceleración, así como la aceleración angular del eslabón, se procederá como a continuación se como la aceleración angular del eslabón, se procederá como a continuación se indica.indica. Se plantea la ecuación de aceleraciones relativas:Se plantea la ecuación de aceleraciones relativas:

a a aB A BA

a) Se elige un polo de a) Se elige un polo de aceleraciones aceleraciones OO y se traza a y se traza a escala el vector , escala el vector , obteniéndose el punto obteniéndose el punto aa . . b) Se calcula la aceleración .b) Se calcula la aceleración . c) Por el extremo de se c) Por el extremo de se

dibuja el vector .dibuja el vector . d) Por el extremo de se traza d) Por el extremo de se traza

un recta perpendicular a este un recta perpendicular a este vector. La dirección de esta vector. La dirección de esta recta coincidirá con la de la recta coincidirá con la de la aceleración tangencial relativa aceleración tangencial relativa . . e) Por el polo de aceleraciones e) Por el polo de aceleraciones

se dibuja una línea paralela a la se dibuja una línea paralela a la dirección, conocida, de la dirección, conocida, de la aceleración del punto aceleración del punto BB..

aBA

n

aBA

n

Aa

aA

aBA

n

aBA

t


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Análisis gráfico de Análisis gráfico de aceleraciones. aceleraciones. ► Método de las aceleraciones relativas: polígono de Método de las aceleraciones relativas: polígono de

aceleraciones.aceleraciones. f) Al tenerse que cumplir la relación expresada anteriormente de suma de f) Al tenerse que cumplir la relación expresada anteriormente de suma de

aceleraciones, el punto donde se cruzan las dos últimas rectas determina el aceleraciones, el punto donde se cruzan las dos últimas rectas determina el punto b, con lo que queda calculada la magnitud, la dirección y el sentido de la punto b, con lo que queda calculada la magnitud, la dirección y el sentido de la aceleración aceleración

Por otra parte, si se desea Por otra parte, si se desea calcular la aceleración calcular la aceleración angular del eslabón, puesto angular del eslabón, puesto que:que:

se obtiene que:se obtiene que:

Ba

a ABBA

t

a

ABBAt


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Análisis gráfico de Análisis gráfico de aceleraciones. aceleraciones. ► Método de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4 Método de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4

eslaboneseslabones Se aplicará el método descrito al mecanismo de cuatro eslabones. Como es Se aplicará el método descrito al mecanismo de cuatro eslabones. Como es

habitual, antes de comenzar el análisis de aceleraciones se supondrá resuelto habitual, antes de comenzar el análisis de aceleraciones se supondrá resuelto el problema de velocidades; de igual forma, la aceleración angular del eslabón el problema de velocidades; de igual forma, la aceleración angular del eslabón motor (el eslabón 2 en el caso propuesto) deberá ser conocida.motor (el eslabón 2 en el caso propuesto) deberá ser conocida. La aceleración del punto La aceleración del punto AA puede ser de inmediato conocida a través de sus puede ser de inmediato conocida a través de sus

componentes normal y tangencial:componentes normal y tangencial:

a O A

a O A

An

At

22

2

2 2

Por otra partePor otra parte : :

descomponiendo descomponiendo la aceleración la aceleración del punto del punto BB y la y la relativa del relativa del punto punto BB respecto respecto del del AA, se obtiene:, se obtiene:

a a aBA BA

nBAt

a a a a aB

nBt

A BAn

BAt


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Análisis gráfico de Análisis gráfico de aceleraciones. aceleraciones. ► Método de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4 eslabonesMétodo de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4 eslabones

Ambas aceleraciones normales pueden ser calculadas, ya queAmbas aceleraciones normales pueden ser calculadas, ya que::

siendo la dirección de la aceleración normal del punto siendo la dirección de la aceleración normal del punto BB la de la recta la de la recta OO44BB y su y su sentido de sentido de OO44 a a BB, mientras que la dirección de la componente normal de la , mientras que la dirección de la componente normal de la aceleración relativa es la de la recta aceleración relativa es la de la recta ABAB y su sentido desde y su sentido desde BB hacia hacia AA..

Por otra parte las Por otra parte las direcciones de direcciones de las aceleraciones las aceleraciones tangenciales tangenciales incógnita son incógnita son también también conocidas:conocidas:

► es es perpendiculaperpendicular a r a OO44BB

► es es perpendiculaperpendicular a r a BABA

a O B

a BA

Bn

BAn

42

4

32

aB

t

aBA

t


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Análisis gráfico de Análisis gráfico de aceleraciones. aceleraciones. ► Método de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4 eslabonesMétodo de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4 eslabones

Por lo tanto, operando como a continuación se indica se obtendrá la aceleración del punto Por lo tanto, operando como a continuación se indica se obtendrá la aceleración del punto BB::► a) Se elige una escala de aceleraciones, el polo y se traza .a) Se elige una escala de aceleraciones, el polo y se traza .

► b) Por el extremo de se dibuja .b) Por el extremo de se dibuja .

► c) Por el extremo de se dibuja una perpendicular a la dirección c) Por el extremo de se dibuja una perpendicular a la dirección BABA..► d) Con origen en el polo se dibuja el vector y por su extremo una perpendicular a la dirección d) Con origen en el polo se dibuja el vector y por su extremo una perpendicular a la dirección OO44BB..

► e) Donde se cruzan las perpendiculares trazadas a e) Donde se cruzan las perpendiculares trazadas a BABA y a y a OO44BB se obtiene el punto se obtiene el punto bb y, por tanto, la y, por tanto, la aceleración del punto aceleración del punto BB

aA

nBa

nBAa

aA

nBAa


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Análisis gráfico de Análisis gráfico de aceleraciones. aceleraciones.

► Método de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4 Método de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4 eslaboneseslabones Una vez conocidas las aceleraciones tangenciales, pueden ser calculadas las Una vez conocidas las aceleraciones tangenciales, pueden ser calculadas las

aceleraciones angulares de los eslabones 3 y 4, puesto que:aceleraciones angulares de los eslabones 3 y 4, puesto que:

a BAa

BA

a O Ba

O B

BAt BA

t

Bt B

t

3 3

4 4 44


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Análisis gráfico de Análisis gráfico de aceleraciones. aceleraciones. ►Método de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4 eslabonesMétodo de las aceleraciones relativas: mecanismo de 4 eslabones

En el caso de que se quiera calcular la aceleración de otro punto del eslabón (por ejemplo el En el caso de que se quiera calcular la aceleración de otro punto del eslabón (por ejemplo el punto punto CC del eslabón flotante 3 del mecanismo de la figura), al estar previamente calculada la del eslabón flotante 3 del mecanismo de la figura), al estar previamente calculada la aceleración angular de dicho eslabón aplicando el método de las velocidades relativas, se tendrá:aceleración angular de dicho eslabón aplicando el método de las velocidades relativas, se tendrá:

Puesto que la aceleración del punto Puesto que la aceleración del punto AA es conocida, sólo falta por determinar la relativa; es conocida, sólo falta por determinar la relativa; descomponiendo esta en tangencial y normal:descomponiendo esta en tangencial y normal:

Siendo el valor de dichas componentes conocido al haberse calculado previamente Siendo el valor de dichas componentes conocido al haberse calculado previamente 33 y y 33::

a a aC A CA

a a aCA CA

nCAt

a CA

a CA

CAt

CAn

3

32


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Análisis gráfico de Análisis gráfico de aceleraciones. aceleraciones. ►Mecanismos con órganos deslizantes.Mecanismos con órganos deslizantes.

Cuando se trata de determinar la aceleración de un punto perteneciente a un eslabón que se Cuando se trata de determinar la aceleración de un punto perteneciente a un eslabón que se desliza sobre otro eslabón que a su vez posee un movimiento determinado, aparece un desliza sobre otro eslabón que a su vez posee un movimiento determinado, aparece un problema de movimiento compuesto del punto, cuya solución mediante la aplicación de problema de movimiento compuesto del punto, cuya solución mediante la aplicación de métodos gráficos será tratada en el presente apartadométodos gráficos será tratada en el presente apartado..

Un caso típico en el que se presenta este tipo de movimiento es el mecanismo de cruz de Un caso típico en el que se presenta este tipo de movimiento es el mecanismo de cruz de Malta.Malta.

Este mecanismo consta de una manivela con un tetón en el extremo que se desliza por las Este mecanismo consta de una manivela con un tetón en el extremo que se desliza por las ranuras del eslabón en forma de cruz, al que comunica un movimiento rotativo intermitente.ranuras del eslabón en forma de cruz, al que comunica un movimiento rotativo intermitente.


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En la figura se muestra la representación esquemática del mecanismo) junto En la figura se muestra la representación esquemática del mecanismo) junto con la solución gráfica al problema de cálculo de velocidades y de con la solución gráfica al problema de cálculo de velocidades y de aceleraciones, cuya construcción a continuación se explicaaceleraciones, cuya construcción a continuación se explica

Puesto que son conocidos tanto Puesto que son conocidos tanto 22 como como 22, se podrá calcular de , se podrá calcular de forma inmediata la aceleración del forma inmediata la aceleración del punto punto AA del eslabón 2. del eslabón 2.

Siendo:Siendo:

Por otra parte, teniendo en cuenta Por otra parte, teniendo en cuenta que el punto que el punto AA22 se desplaza según se desplaza según la dirección la dirección AA44OO44, que a su vez , que a su vez tiene un movimiento de rotación tiene un movimiento de rotación respecto al centro respecto al centro OO44 . .

Siendo el primer término de la Siendo el primer término de la derecha la aceleración de arrastre:derecha la aceleración de arrastre:

a a aA A

nAt

2 2 2

a A O

a A O

An

At

2 22

2 2

2 2 2 2

a a a aA A A cor2 4 2 4 /

a a aA A

nAt

4 4 4


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Puesto que se supone resuelto el problema de velocidades, la velocidad angular Puesto que se supone resuelto el problema de velocidades, la velocidad angular del eslabón 4 será conocida y, por tanto, la aceleración normal del punto del eslabón 4 será conocida y, por tanto, la aceleración normal del punto AA44 : :

En cuanto a la aceleración En cuanto a la aceleración tangencial del punto tangencial del punto A4A4, sólo será , sólo será conocida su dirección: conocida su dirección: perpendicular a la de la perpendicular a la de la aceleración normal.aceleración normal.

Por otra parte, el término es Por otra parte, el término es la aceleración del punto la aceleración del punto AA22 tal y tal y como la percibe un observador como la percibe un observador situado en el eslabón 4, es decir situado en el eslabón 4, es decir la aceleración relativa del punto la aceleración relativa del punto respecto a un supuesto sistema respecto a un supuesto sistema de referencia unido de forma de referencia unido de forma invariable a dicho eslabón. Para invariable a dicho eslabón. Para este observador, la aceleración este observador, la aceleración del punto del punto AA22 sólo tendrá sólo tendrá componente tangencial, puesto componente tangencial, puesto que la trayectoria desde su que la trayectoria desde su referencia es rectilínea por lo que referencia es rectilínea por lo que esta componente será paralela a esta componente será paralela a la dirección la dirección AA44OO44

a A OA

n4 4

24 4

aA2 4/


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El último término representa la aceleración de Coriolis, cuyo valor esEl último término representa la aceleración de Coriolis, cuyo valor es:: donde es la velocidad del eslabón 4 (velocidad de rotación del sistema de donde es la velocidad del eslabón 4 (velocidad de rotación del sistema de referencia móvil) y la velocidad relativa del punto referencia móvil) y la velocidad relativa del punto AA del eslabón 2 tal y como la ve un observador del eslabón 2 tal y como la ve un observador

situado en el eslabón 4; por tanto, se puede calcular el módulo de la aceleración de Coriolis mediante:situado en el eslabón 4; por tanto, se puede calcular el módulo de la aceleración de Coriolis mediante:

siendo su dirección perpendicular siendo su dirección perpendicular a la de la velocidad relativa y su a la de la velocidad relativa y su sentido el obtenido al aplicar la sentido el obtenido al aplicar la regla de Maxwell en el producto regla de Maxwell en el producto vectorial vectorial

En la figura se ha representado la En la figura se ha representado la construcción gráfica del polígono construcción gráfica del polígono de aceleraciones; para su de aceleraciones; para su realización se deben seguir los realización se deben seguir los siguientes pasossiguientes pasos : :

► a) Se representa , a la a) Se representa , a la escala escala

elegida, desde un polo de elegida, desde un polo de aceleraciones aceleraciones OO..

a vcor A 2 4 2 4 /

4 vA2 4/

a vcor A 2 4 2 4 /

aA2


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► b) Por el mismo polo se traza la componente normal de la aceleración y por su b) Por el mismo polo se traza la componente normal de la aceleración y por su extremo una recta perpendicular a ,cuya dirección es la de .extremo una recta perpendicular a ,cuya dirección es la de .

► c) Por el extremo de se dibuja el vector que representa de aceleración de c) Por el extremo de se dibuja el vector que representa de aceleración de Coriolis, de forma que su extremo coincida con el de .Coriolis, de forma que su extremo coincida con el de .

► d) Por el origen de se d) Por el origen de se traza una línea cuya dirección traza una línea cuya dirección será la de la aceleración será la de la aceleración tangencial relativa.tangencial relativa.

► e) Donde se cruzan las rectas e) Donde se cruzan las rectas trazadas por los extremos de trazadas por los extremos de los vectores que representan a los vectores que representan a y y

a , se obtiene el punto a , se obtiene el punto que que

es el extremo del vector .es el extremo del vector .

Como en los casos anteriores, una Como en los casos anteriores, una vez conocido el valor de la vez conocido el valor de la aceleración tangencial de alguno aceleración tangencial de alguno de los punto pertenecientes al de los punto pertenecientes al eslabón 4, su aceleración angular eslabón 4, su aceleración angular será calculada por medio de:será calculada por medio de:

nAa 4

aA4

cora

nAa 4

2Aa

cora 2Aa

aA4

tAa 4

4

4

4 4

a

A OAt


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Análisis numérico de Análisis numérico de aceleraciones. aceleraciones.

► Introducción:Introducción: A modo de introducción A modo de introducción

se desarrollará el cálculo se desarrollará el cálculo de aceleraciones en de aceleraciones en algunos tipos de algunos tipos de mecanismos mecanismos ampliamente utilizados ampliamente utilizados para posteriormente para posteriormente acometer su estudio de acometer su estudio de forma general.forma general.

Se supondrá, en todo Se supondrá, en todo caso, conocida la caso, conocida la aceleración del eslabón aceleración del eslabón motor.motor.


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Análisis numérico de Análisis numérico de aceleraciones. aceleraciones. ► Mecanismo de tres eslabones:Mecanismo de tres eslabones:

Cuando se plantearon las componentes de la ecuación vectorial de bucle Cuando se plantearon las componentes de la ecuación vectorial de bucle cerrado, se obtuvocerrado, se obtuvo ::

Derivando respecto al tiempo y operando:Derivando respecto al tiempo y operando:

f L q L L

f L q L1 1 2 2 3

2 1 2 2

0

0 0

cos cos

sen sen

q

fJ

qii

1

qL

senqL

Lsen

senL

q

fq

f

f

L

f

f

L

f

q

q

L

coscos

cos

1

1

1

222

222

2

1

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

qL

senqL

sen

senLL

Lq

q

L

coscos

cos1

1

1

22

2222

12

2

q

L

LqsenL

q

q

L

K

K L

22

1

21

2

2

cos2

2


20


Para realizar el estudio de aceleraciones se derivarán dos veces respecto Para realizar el estudio de aceleraciones se derivarán dos veces respecto del tiempo las ecuaciones de posición:del tiempo las ecuaciones de posición:

0cosααLsenαLcosqqLdt

df

0senααLcosαLsenqqLdt

df

2222212

2222211

0cosααLsenααLsenααLsenααLcosαLcosqqLsenqqLdt

df2

22222222222222

2112

21

0senααLcosααLcosααLcosααLsenαLsenqqLcosqqLdt

df2

22222222222222

2112

22

2222222222

211

2222222222

211

2

2

222

222

senααLcosααLcosααLsenqqLcosqqL

cosααLsenααLsenααLcosqqLsenqqL

α

L

cosαLsenα

senαLcosα


21


Ecuaciones que representan un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas , siempre y cuando se Ecuaciones que representan un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas , siempre y cuando se conozcan con anterioridad los valores de las variables de posición (primarias y secundarias) y sus variaciones conozcan con anterioridad los valores de las variables de posición (primarias y secundarias) y sus variaciones con el tiempo, esto es sus velocidadescon el tiempo, esto es sus velocidades..

Una vez solucionado el sistema planteando, quedaráUna vez solucionado el sistema planteando, quedará::

Donde se observa que la aceleración se compone de dos términos: Donde se observa que la aceleración se compone de dos términos:

► uno proporcional a .uno proporcional a .

► El otro proporcional a .El otro proporcional a .

qαsenL

L

L

KK2qqαcos

L

Lqα

qαcosLLKqqαsenLqL

22

1

2

αα22

2

12

212α2

212

22

2

q

q2


22


Cuando se calcularon los coeficientes de velocidades se obtuvo:Cuando se calcularon los coeficientes de velocidades se obtuvo:

Derivando respecto al tiempo, teniendo en cuenta que los coeficientes de velocidad son funciones de Derivando respecto al tiempo, teniendo en cuenta que los coeficientes de velocidad son funciones de qq y aplicando de y aplicando de forma correcta la regla de la cadena:forma correcta la regla de la cadena:

que puede expresarse comoque puede expresarse como::

en donde a los términos se les denominará coeficientes derivativos de la velocidad.en donde a los términos se les denominará coeficientes derivativos de la velocidad.

qKq

qKqL L

2

2

2

2

dq

qdKqqKq

dq

qdKqqKqL

dt

dq

dq

qdKqqKq

dt

dq

dq

qdKqqKqL

LL

LL

2

2

2

2

2

2

2

2

22

22

2

2

L q K q L

q K q L

L L22

22

2 2

2 2

LdK

dqL

dK

dqLL

2

2

2

2 y


23

Análisis numérico de Análisis numérico de aceleraciones. aceleraciones.

► Mecanismo de biela-manivela:Mecanismo de biela-manivela: Se propone como ejercicio para el alumno el desarrollo del cálculo de Se propone como ejercicio para el alumno el desarrollo del cálculo de

aceleraciones siguiendo el primero de los métodos indicados en el aceleraciones siguiendo el primero de los métodos indicados en el apartado anterior a partir de las derivaciones sucesivas respecto al apartado anterior a partir de las derivaciones sucesivas respecto al tiempo de las ecuaciones componentes de la ecuación vectorial de bucle tiempo de las ecuaciones componentes de la ecuación vectorial de bucle cerrado:cerrado:

f L q L L

f L q L L1 1 2 2 3 3

2 1 2 2 3 3

0

0

cos cos cos

sen sen sen


24

Análisis numérico de Análisis numérico de aceleraciones.aceleraciones.

►Planteamiento general:Planteamiento general: Como se vio, cuando se plantean las Como se vio, cuando se plantean las

ecuaciones de posición se obtiene un ecuaciones de posición se obtiene un sistema de n ec. con n incógnitas:sistema de n ec. con n incógnitas:

0,,,,

0,,,,

0,,,,

0,,,,

21

213

212

211

nn

n

n

n

qf

qf

qf

qf


25


Derivando respecto del tiempo:Derivando respecto del tiempo:

De donde se obtuvo:De donde se obtuvo:

02

1

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2

1

dt

d

dt

ddt

d

fff

fff

fff

dt

dq

q

f

q

fq

f

n

n

nnn

n

n

n

q

fK

f

q

fq

f i

j

iii

j

ii


26


Una vez resuelto el sistema en los KUna vez resuelto el sistema en los Kii::

Derivando esta expresión respecto del Derivando esta expresión respecto del tiempo, teniendo en cuenta que los tiempo, teniendo en cuenta que los coeficientes de velocidad son función de coeficientes de velocidad son función de la variable primaria la variable primaria qq : :

i q Ki

ii

i

i

i

i

LqKq

dq

KdqKq

dt

dq

dq

KdqK

dt

qd

i

i

i

2

2


27


Para realizar la derivada de es necesario conocer los valores de los Para realizar la derivada de es necesario conocer los valores de los componentes de la matriz de coeficientes de velocidad en forma componentes de la matriz de coeficientes de velocidad en forma funcional, esto es, su expresión algebraica; pero en la mayoría de los funcional, esto es, su expresión algebraica; pero en la mayoría de los casos puede resultar demasiado engorroso, por lo tanto se presenta el casos puede resultar demasiado engorroso, por lo tanto se presenta el siguiente método, válido en el caso de que se conozca numéricamente siguiente método, válido en el caso de que se conozca numéricamente (es decir sus valores para la posición analizada del mecanismo).(es decir sus valores para la posición analizada del mecanismo).

Como se ha visto:Como se ha visto:

puesto que es la matriz jacobiana:puesto que es la matriz jacobiana:

Ki

Ki

q

fK

f i

j

i

i

j

if

q

fKJ i

i


28


derivando esta ecuación respecto a la variable primaria derivando esta ecuación respecto a la variable primaria qq::

de donde:de donde:

y por último para calcular la matriz de los coeficientes derivativos de las y por último para calcular la matriz de los coeficientes derivativos de las velocidades: .velocidades: .

q

f

dq

d

dq

KdJK

dq

Jd ii

i

q

f

dq

dK

dq

Jd

dq

KdJ i

i

i

Ld K

dqi

i

q

f

dq

dK

dq

JdJ

dq

KdL i

i

i

i

1


29


Caso 1: El eslabón al que pertenece Caso 1: El eslabón al que pertenece el punto está unido a la bancada:el punto está unido a la bancada:

r r r r LB A BA A 1

►Aceleraciones de puntos de definición Aceleraciones de puntos de definición del mecanismo: pares.del mecanismo: pares.

11

1121

11

111

cos

cos

senL

L

L

senL

y

x

a

a

B

B

By

Bx

11

11 cos

senL

L

y

x

y

x

A

A

B

B

11

111 cos

L

senL

y

x

B

B

Como se puede observar, la aceleración del punto Como se puede observar, la aceleración del punto BB se se compone de dos términos que no son sino la aceleración compone de dos términos que no son sino la aceleración tangencial, el primero de ellos, y la aceleración normal.tangencial, el primero de ellos, y la aceleración normal.


30


Caso 2: El eslabón al que pertenece Caso 2: El eslabón al que pertenece el punto NO está unido a la bancada:el punto NO está unido a la bancada:

►Aceleraciones de puntos de definición Aceleraciones de puntos de definición del mecanismo: pares.del mecanismo: pares.

r r L LC A 1 2

2211

2211 coscos

senLsenL

LL

y

x

y

x

A

A

C

C

2

1

2211

2211

coscos

LL

senLsenL

y

x

C

C

22

21

2211

2211

2

1

2211

2211 coscos

coscos

senLsenL

LL

LL

senLsenL

y

x

a

a

C

C

Cy

Cx


31


Cálculo de la aceleración del punto P Cálculo de la aceleración del punto P (asociado al eslabón i), de (asociado al eslabón i), de coordenadas locales (ucoordenadas locales (upp, v, vpp).).

Derivando respecto del tiempo:Derivando respecto del tiempo:

Y volviendo a derivar se obtienen lasY volviendo a derivar se obtienen las

componentes de la aceleración del componentes de la aceleración del punto.punto.

► Aceleraciones de puntos asociados a un Aceleraciones de puntos asociados a un eslabón.eslabón.

p

p

ii

ii

A

A

p

p

v

u

sen

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y

x

y

x.

cos

cos

P

P

ii

iii

A

A

P

P

v

u

sen

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y

x

y

x

cos

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P

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ii

iii

P

P

ii

iii

A

A

P

P

v

u

sen

sen

v

u

sen

sen

y

x

y

x

cos

cos

cos

cos 2

MECANISMOS. Análisis cinemático: Aceleración. 1 Análisis cinemático: ACELERACION.

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