Modulo Mate 3

8/11/2019 Modulo Mate 3

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Grficas de Superficies en 3R

Una superficie est representada por una ecuacin en tres variables si las coordenadas de cadapunto de la superficie satisfacen la ecuacin, y si cada punto cuyas coordenadas verifican la ecuacinpertenece a la superficie. Un tipo de superficie es el cilindro.

Definicin: un cilindro es una superficie generada por una recta que se mueve a lo largo de unacurva plana de tal manera que siempre permanece paralela a una recta fija que no est contenida en

el plano de la curva dada. La recta que se mueve se llama generatriz del cilindro, y la curva planadada se llama directriz del cilindro. Cualquier posicin de una generatriz recibe el nombre deregladura del cilindro. Ejemplos:

Se muestra un cilindro circular recto cuya directriz es 422 =+ yx , la cual est en el plano XY

, y cuyas regladuras son paralelas al eje Z . igura !.

Se muestra un cilindro parablico cuya directriz es la parbola xy 82 = , contenida en el

plano , y cuyas regladuras son paralelas al eje Z . igura ".

Se muestra un cilindro el#ptico cuya directriz es la elipse 144169 22 =+ yx , la cual esta en el

plano XY , y sus regladuras son paralelas al eje Z . igura $.

Se muestra un cilindro %iperblico que tiene como directriz la %ip&rbola 100425 22 = yx

contenida en el plano XY , y sus regladuras son paralelas al eje Z . igura '.

igura !igura "

igura $ igura '

Dibujar.

1. 21 xz = ". ( )ySenz= $. zy=

1
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Quadric_Elliptic_Cylinder.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bc/Quadric_Hyperbolic_Cylinder.jpghttp://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/images/imagen34.gif&imgrefurl=http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node8.html&usg=__fzURn4YB8csOMn18yJdXlr_z-r4=&h=251&w=213&sz=12&hl=es&start=3&um=1&itbs=1&tbnid=9tDWWNaVhgRxGM:&tbnh=111&tbnw=94&prev=/images%3Fq%3Dcilindro%2Bcircular%2Brecto%26hl%3Des%26rlz%3D1W1GPEA_es%26sa%3DX%26um%3D1


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TALLER. (ibujar mostrando directrices y regladuras.

a) 2xz= b) ( )zy ln= c) 1=+ yx

Consideremos la directriz en el plano XY y las regladuras paralelas al eje Z . Suponga que una

ecuacin en el plano XY es )(xfy= . Si el punto ( )0,, 00 YX del plano XY satisface esta ecuacin,entonces cualquier punto de la forma ( )ZYX ,, 00 del espacio tridimensional, donde Z es cualquier

n*mero real satisface la misma ecuacin debido a que Z no aparece en la ecuacin.Los puntos ( )ZYX ,, 00 estn ubicados en una recta paralela al eje Z que pasa por ( )0,, 00 YX . +starecta es una regladura del cilindro. +n consecuencia cualquier punto cuyas coordenadas YyX

satisfagan la ecuacin )(xfy= estar en el cilindro. ec#procamente, si el punto ( )ZYXP ,, pertenece el cilindro, entonces el punto ( )0,,YX est en la directriz del cilindro la cual yace en elplano XY , y en consecuencia, las coordenadas YyX de - satisfacen la ecuacin )(xfy= .

Se tiene una eplicacin semejante cuando la directriz esta en alguno de los otros planoscoordenados.

Teorema: +n el espacio tridimensional, la grafica de una ecuacin en dos de las tres variablesZyYX, es un cilindro cuyas regladuras son paralelas al eje asociado con la variable que falta en la

ecuacin y cuya directriz es una curva en el plano asociado con las dos variables que aparecen en laecuacin.

Resumen. -ara graficar una ecuacin que involucra dos de las tres variables ZyYX, efectu& lossiguientes pasos/

!. +labore la grfica de la ecuacin dada, es decir, dibuje en el plano asociado con las variablesque aparecen en la ecuacin. La grfica por lo general es una curva plana o directriz.

". -ara obtener la superficie, lo que se %ace es prolongar la curva plana generada a lo largo deleje asociado con la variable que no aparece en la ecuacin0 esto se logra, trazando rectas oregladuras paralelas a dic%o eje.

2


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-ara graficar la funcin de dos variables ),( yxfz= a menudo resulta *til determinar la forma de lassecciones transversales 1rebanadas) de la grafica. -or ejemplo si mantenemos a X fija al %acer

KX= 1una constante) y dejar que Y var#e el resultado es una funcin de una variable ),( ykfz= ,cuya grafica es la curva que resulta de intersecar la superficie ),( yxfz= con el plano vertical

KX= . (e una forma similar, podemos cortar la superficie con el plano vertical KY= y observar lascurvas ),( kxfz= . 2ambi&n podemos cortarlas con los planos %orizontales KZ= . +stos tres tiposde curvas se llaman las 2343S 1o secciones transversales) de la superficie ),( yxfz= .

Ejemplo: Utilice las trazas para graficar la funcin 224),( yxyxf += .

La ecuacin es 224 yxz += , si 0=X tenemos 2yz= , as# que el plano YZinterseca la superficie enuna parbola. Si %acemos KX= 1constante) obtenemos 224 ykz += . +sto significa que sicortamos la grafica con cualquier plano paralelo al eje YZ, obtenemos una parbola que abre %aciaarriba. Si KY= , obtenemos trazas 224 kxz += , lo cual de nuevo son parbolas en el plano XZ queabren %acia arriba. Si KZ= , las trazas %orizontales sern 224 yxk += , que reconocemos comouna familia de elipses. Como las trazas son el#pticas y parablicas, entonces la superficie

22

4),( yxyxf +=se llama paraboloide el#ptico.

Si 5 6 7 las trazas son 224 ykz += Si 8 6 7 las trazas son 224 kxz +=

Si 4 6 7 las trazas son 224 yxk += 224),( yxyxf +=

Formula general del paraboloide elp!ico: 02

2

2

2

>=+ cconc

z

b

y

a

x

3


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Ejemplo. 9raficar la funcin 22),( xyyxf = . +ncontremos las trazas en cada plano/

Si KX= 6: 22 kyz = parbolas en YZque abren %acia arriba.

Si KY= 6: 22 xkz = parbolas en ZX que abren %acia abajo.

Si KZ= 6: 22 xyk = familia de %ip&rbolas en XY .

-lano YZ

22kyz =

-lano ZX

22xkz =

-lano XY

22xyk =

Formula general del paraboloide "iperblico: 02

2

2

2

>= cconc

z

a

x

b

y

Conjuntado todas las trazas se forma la superficie 22),( xyyxf = , paraboloide%iperblico que tambi&n es conocido con el nombre de silla de montar.

Ejercicios. (ibujar las siguientes superficies indicando las trazas/

1. 149

222 =++ zyx +L;-S


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Funciones #ec!oriales $ %ur&as en32 RyR

+l objetivo es describir la trayectoria, recorrido curva descrita por una part#cula en el plano o en elespacio en cualquier instante t . -ara esto, podr#amos usar puntos, pero, resulta ms convenientedescribirla mediante el punto final de un vector, llamado &ec!or posicin, entonces necesitaremos unvector para cada instante t .

Aecesitamos una funcin que asigne a cada instante t un vector, a esta funcin la llamaremos

Funcin #ec!orial.

+ntonces, suponga que una part#cula que se mueve en el plano de modo que las coordenadas ( )yx, de su posicin en cualquier instante t ' estn determinadas por las ecuaciones/

.)()().()( escalaresfuncionessontgytfDondetgyytfx ==

La idea la podemos llevar al espacio donde las coordenadas ( )zyx ,, de la posicin de la part#culaen cualquier tiempo t estn dadas por las tres ecuaciones param&tricas/

.)()(),().()(),( escalaresfuncionessonthytgtfDondethzytgytfx ===

-ara cualquier posicin de la part#cula eiste un vector y los puntos terminales de estos vectoresdeterminan una curva recorrida por la part#cula.

=ajo esta idea vamos a considerar una funcin cuyo dominio es un conjunto de n*meros reales talque su contradominio es un conjunto de vectores. 3 esta funcin se le llama Funcin #ec!orial.

Definicin de Funcin #ec!orial.

Sean hygf, funciones reales de la variable real t . +ntonces se define la funcin vectorial )(tR

por medio de kthjtgitftR )()()()( ++= ))(),(),(()( thtgtftR =

(onde tes cualquier n*mero real del dominio com*n de las funciones escalares hygf, .

Ejemplo. (eterminar el dominio de las siguientes funciones vectoriales/

(. ktjtittR ++= )3ln()( 3

Solucin: +l dominio de es el conjunto de todos los valores de t para los cuales

tthzttgyttfx ====== )(),3ln()(,)( 3 estn definidas. +ntonces/

)(tf +st definida para todos los reales.

)(tg +st definida para los .303 tentoncest

)(th +st definida para .0t

+l dominio de ktjtittR ++= )3ln()( 3 es el intervalo [ ).3,0

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). ktjtittR )ln()3(2)( 1 ++=

Solucin:

)(tf +st definida para .2t

)(tg +st definida para .3t

)(th +st definida para .0>t

+l dominio de ktjtittR )ln()3(2)( 1 ++= es { }3,2/ ttt

Ejercicio. >allar el dominio de/

a* )5,1,()( 2 ttttR =

b* ),1

),(ln()( tet

tttR

=

Taller. (etermine el dominio de la funcin vectorial dada/

1) jtit

tR += 41

)(

2) ( ) jt

itsentR1

1)(

1

++=

3) ( )ktjtittR cot42)( +++=

4) ktjtitsentR 4ln16ln)( 2 +++=

5) ktjtittR ++= 51)( 2

La ecuacin kthjtgitftR )()()()( ++= se denomina ecuacin vectorial la cual describe la curva Cdefinida por las correspondientes ecuaciones param&tricas ).()(),( thzytgytfx === +sdecir, una curva puede definirse por medio de una ecuacin vectorial o por un conjunto de ecuacionesparam&tricas.

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Si a%ora consideramos la funcin vectorial )(tR , entonces )(tR es el vector posicin del punto))(),(),(( thtgtfP sobre C.

%onclusin. Cualquier funcin vectorial )(tR define una curva en el espacio C, que se forma por la

punta del vector en movimiento )(tR .

Ejemplo.

1. (ibuje la grafica de la funcin vectorial ( ) jtittR 1)( 2 ++=

2. (ibuje la grafica de la funcin vectorial 0);,()( 2 = tconeetR tt

3. (ibuje la curva C cuya ecuacin vectorial es ( ) ( ) ktjtsenittR ++= 2cos2)( con 40 t

Una %&lice en forma general tiene la ecuacin vectorial/ ( ) ( ) ktcjtbsenitatR ++= cos)(

Con ecuaciones param&tricas/ ( ) ( ) tcztbsenytax === ,,cos

Si ba= %&lice es circular. Si ba %&lice el#ptica.

Ejercicios. (ibujar la curva C con ecuacin vectorial/

1. ( ) ( ) ktjtsenittR ++= cos2)( con 40 t

). ),,1()( 2tttR =

+. )1,1,()( 2 += tttR

'. ( ) 20))cos(23(21)( +++= tconktjtsenitR

,. 11;),1()( 2 = tcontttR

B. ( )22

)()(

+= tconjtSenitCostR

7

Supongamos que hygf, son funciones

reales en un intervalo ;. +ntonces el

conjunto C de todos los puntos ( )zyx ,, enel espacio en que

)()()( thztgytfx === y t variaen todo el intervalo ;, se llama CU3 en

el espacio. -odemos considerar que % setraza al mover una part#cula cuya posicin

en el tiempo t es ).)(),(),(( thtgtf


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-. 11;1

2,

1

1)(

22

2

++

= tcon

t

t

t

ttR

. 10;)12,()( 2 += tconttttR

D. ( ) ( )22

2)(


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+l l#mite de una funcin vectorial se define en t&rminos de sus componentes reales.

Definicin de lmi!e de una funcin &ec!orial.

Sea una funcin vectorial cuyos valores de funcin estn dados por/

( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitftR ++=

+ntonces el l#mite de )(tR cuando t tiende a a esta definido por/

( ) ( ) kthjtgitftRatatatat

+

+

=

)(limlim)(limlim

Si ( ) ( ) ( )thtgtfatatat

lim,lim,lim eisten.

Ejemplo. Calcular el ( )tRt 0lim

si/

a) ( ) ( ) kjeittR t 32cos ++=

b) ( ) ( )( )

kt

tj

t

tsenietR t

1ln3

62

+++

++=

Taller.Calcular/

a) ( ) ( )= tRsitRt 0lim iRjteie tt /+

b) ( ) ( )= tRsitRt 0lim ( )( ) ( )( ) kjRkejteitsene ttt + /cos

c) ( ) ( )= tRsitRt 0lim ( ) ( ) kiRkttsen

jteit t +++ /1 3

d) ( ) ( )= tRsitRt 1lim ( ) kjiRktjtt

it 1tan2

12/tan

1

13

2 +++

++

e) ( ) ( )= tRsitRt 1lim ( ) ( )

kjiRkt

tj

t

tseni

t

t

+

+

+

2/

1

tan

12

22

f) ( ) ( )=

tRsitRt 0

lim ( ) ( ) ktsent

ttjtsentite tt

)(

tan)(2

11

+++

9


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Definicin de con!inuidad de una funcin &ec!orial.

La funcin vectorial )(tR es continua en el n*mero a si y solo si se satisfacen las tres condicionessiguientes/

i. )(aR eiste0

ii. ( )tRatlim eiste0

iii. ( )tRatlim 6 )(aR

Se puede decir que una funcin vectorial )(tR es continua en el numero a si y solo si suscomponentes reales son continuas en a .

Ejemplo. (etermine los n*meros en los que la siguiente funcin vectorial es continua.

!. ( ) kt

tjtsenittR

1

1ln)(

2

++=

". ( ) ( )

+= 24ln,,1)( ttsent

tR

$. ( ) ( )( )2,,tan)( tsenttR =

TALLER. (etermine los n*meros para los que la funcin vectorial )(tR es continua.

a) ( ) ( ) ( )+

++= ,22,1/2

11ln)(

2Rk

tjtittR

b) ( ) ( ) ( ) ZKkRRktjtittR

+++= 21

/tanseccos)(

c) RR

tsi

tsikjtietR t

/

00

0)(2

12

=

++=

Definicin de la deri&ada de una funcin &ec!orial.

Sea )(tR una funcin vectorial, entonces la derivada de )(tR es una funcin vectorial, denotada por

( )tR' y definida por/

( ) ( ) ( )t

tRttR

ttR

dt

dR

+

==

0

lim' Si este l#mite eiste.

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Significado geom/!rico:

#ec!or Secan!e #ec!or Tangen!e

Teorema. Si )(tR es una funcin vectorial definida por ( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitftR ++= , entonces/

( ) ( ) ( ) ( ) kthjtgitftR '''' ++= Si ( ) ( ) ( )thytgtf '',' eisten.TALLER.

a) 2race la curva plana con la ecuacin vectorial )(tR dada.

b) +ncuentre ( )tR'

c) (ibuje el vector posicin )(tR y el vector tangente ( )tR' para el valor dado de t .

!. ( ) ( )4

cos)(

=+= tenjtsenittR

". ( ) 11)( 2 =++= tenjtittR

$. 0)( 2 =+= tenjeietR tt

Reglas de Deri&acin.

Suponga que "yu son funciones vectoriales diferenciables, que C es un escalar y que fes unafuncin real, entonces/

i. ( ) ( )[ ] ( ) ( )t"tut"tudt

d'' +=+

ii. ( )[ ] ( )tuCtuCdt

d'=

iii. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )tutftutftutfdt

d'' +=

11


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iv. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )t"tut"tut"tudt

d'' +=

v. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t"tut"tut"tudt

d''][ +=

TALLER. Sean ( ) ( ) jtittu 12 += y ( ) ( ) ( ) jtitsent" cos+= .

>allar/

a) ( ) ( )[ ]t"tudt

d

b) ( ) ( )][ t"tudt

d

Regla de la cadena.

Si es una funcin vectorial y funa funcin escalar, entonces f es una funcin vectorial y su

derivada en t es/

( )( )[ ] ( )( ) ( )tftftfdt

d'.'=

+n otras palabras, si )()( tfsysr == , entonces/

dt

ds

ds

dr

dt

dr.=

Ejemplo. Sea jsisr 32 += donde tes 2= . >allar

dt

dr

TALLER.

(etermine ( ) ( )[ ]t#tdt

d y ( ) ( )][ t#t

dt

d de dos formas distintas, para/

a) ( ) ( ) ( ) jtsenitt#jtiet t 3,22 +=+=

b) ( ) ( ) ( ) ( ) jtsenitt#jtitt 3,3cos3 2 +=+=

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jtitt#jt

itt ++=+= 1ln2tan,1

3tan 1

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0n!egrales.

La integral definida de una funcin vectorial continua )(tR puede definirse en gran medida como se%izo para las funciones reales, ecepto que la integral es un vector.

( ) ( ) ( ) ( )

+

+

=

b

a

b

a

b

a

b

a

kdtthjdttgidttfdttR

Teorema fundamen!al del clculo para funciones &ec!oriales.

( ) ( ) ( ) ( ) ==b

a

b

a arbrtrdttR , donde res una antiderivada de ( )tR . Gsea ( ) )(' tRtr = .

TALLER.

!. +valuar/

a. ( ) ++1

0

32

dtktjtit b. ( ) ( ) ( )( ) ++4

0

22cos

dtktsentjtsenit c. ( ) ( )( ) ++ dtktjtsenit 2cos2

d.

++

4

1

2

1dtk

tjetit t e. ( )( ) ++ dtktjtie t ln2 f. ( ) ( )( ) ++ dtktjtsenit cos

2. >alle )(tR si ( )tR' 6 ( ) jRyktjtit =+ 04 232

3. >alle )(tR si ( )tR' 6 ( ) ( ) ( ) kjiRyktjtitsen 202cos ++=+

4. >alle )(tR si ( )tR' 6 ( ) kjiRykjeie tt 503 ++=++

1o!a.ecuerde que cuando )(tR describe la posicin de una part#cula que se mueve a lo largo de

una curva, entonces decimos que ( )tRtS =)( 1vector posicin), ( )tRt$ ')( = 1vector velocidad o vectortangente) y ( )tRta ")( = 1vector aceleracin).

5. Una part#cula se mueve describiendo una %&lice circular ( ) ( ) ( )( )tbtasentatR ,,cos= determineel ngulo que forman los vectores velocidad y aceleracin.

6. +n el instante t, el vector posicin de un baln que se lanzo es ( ) jtittR 21632 =

a) (ibuje la trayectoria y a)1(R

y )2(R

b) Calcule y trace ( ) )2()1(,0 $y$$ .

7. -ara la trayectoria ( ) ( ) ( ) ktjtsenittR 633cos ++= calcule el vector velocidad y la rapidez.

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8. >alle la funcin posicin )(tR a partir de la funcin velocidad ( )tR' 6 ( )432,3,10 + te t con( )20,6,0)0( =R .

9. >alle la funcin vectorial )(tR a partir del vector aceleracin( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,0,500,4,12016,0, === Ry$contta .

10. (etermine la fuerza centr#peta de un objeto de masa !E si su movimiento es la

trayectoria ( ) ( ) ( ))24,2cos4( tsenttR = .

11. La funcin posicin de una part#cula esta dada por ( ) ( ).16,5, 22 tttttR = HCuandoes m#nima su rapidezI

12. Una fuerza con una magnitud de "E A act*a directamente %acia arriba del plano XYsobre un objeto de masa de ' 7g. +l objeto comienza en el origen con una velocidad inicial

( )1,1)0( =$ . (etermine su funcin posicin y su velocidad en el tiempo t.

13. >allar los valores de ttales que )(tR y ( )tR' sean perpendiculares.

a. ( ) ( )1,, 2 = ttttR b. ( ) ( )5,,

22 = ttttR c. ( ) ( ) ( )),cos( tsenttR =

Longi!ud de Arco 2L* de %ur&as en32 RyR

%ur&as en el espacio.

>emos visto como la posicin de un punto ( )zyxP ,, en el espacio esta dada por el vector( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitftR ++= , donde hygf, son funciones diferenciales de t. Cuando t var#a

continuamente, ( )zyxP ,, traza una curva en el espacio.

Longi!ud de arco.

amos a establecer que si C es una curva en el espacio que tiene ecuaciones param&tricas),()(),( thzytgytfx === o, equivalentemente tiene la ecuacin vectorial

( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitftR ++= , entonces podemos definir la longitud de arco de una curva en el espaciotrazada por una part#cula en movimiento como el l#mite de las longitudes de trayectorias poligonalesde aproimacin.

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Definicin.

Sea C la curva cuya ecuacin vectorial es ( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitftR ++= y suponga que( ) ( ) ( )thytgtf '',' son continuas en el intervalo cerrado [ ]ba, . +ntonces si L es la longitud de arco de

C desde el punto ( ) ( ) ( )),,( ahagaf %asta el punto ( ) ( ) ( )),,( bhbgbf , entonces/

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) =++=b

a

b

a

dttRdtthtgtf% '''' 222

Ejemplo.

a) >alle la longitud de arco de la %&lice circular con ecuacin vectorial( ) ( ) ( ) ktjtsenittR ++= cos desde 0=t %asta 2=t .

b) >alle L de ( ) ( ) ( )ktjtsenittR cos334 23

+= desde 0=t %asta 2=t .

TALLER.

A. >allar la longitud eacta del arco desde 1t %asta 2t de la curva con ecuacin vectorial/

!. ( ) ( ) ( ) ( )214ln4

5

2

321/2;1211 21

2 +++==++= RttconktjtittR

". ( ) ( ) ( ) ( )abRbtatconktjtsenittR ==++= 13/;cos332 21

$. ( ) 8/1;02236 2132 RttconktjtittR ==++=

'. ( ) 8;03

221

23

==+= ttconjtittR

J. ( ) ( ) ( ) 2;0coscos 21 ==++= ttconjsentttitsentttR

B. ( ) 1;0cos 212 ==++= ttconktjsentittR

K. ( ) ==++= 21 ;0cos ttconkejsenteitetR ttt

3. !. Una abeja vuela en la trayectoria espiral cuya funcin vectorial viene dada porttt etsenetetR = 100,100,cos100)( . (etermine la distancia que recorri la abeja durante su

vida 1con E t M N).". +ncuentre el punto ( )zyxP ,, sobre la curva cuya funcin vectorial viene dada por

( )ttsenttR ,,cos)( = y que se encuentra a una distancia de 200 unidades a lo largo de la curvadesde el origen en la direccin de la longitud del arco creciente.

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#ec!or !angen!e uni!ario.

Si ( )tR es el vector de posicin de una curva C en un punto - de C el vector tangente unitario en la

direccin de ( )tR' , si ( ) 0' tR , entonces/ ( ) ( )( )tRtR

tT'

'=

#ec!or normal uni!ario.

Si ( )tT es el vector tangente unitario de la norma C en el punto - de C, el vector normal unitario,denotado por ( )t& , es el vector unitario en la direccin de ( )tT' . +s decir/

( ) ( )( )tTtT

t&'

'=

Ejemplo. >allar ( )tT y ( )t& para la curva con ecuacin vectorial dada/

a) ( ) ( ) ( ) ktjtsenittR ++= cos

b) ( ) ( ) jtitttR 23 33 +=

(ebido a que los vectores tangente y normal unitarios son ortogonales, el ngulo entre ellos es 2 .

+ntonces/

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

sent&tTt&tT =

( ) ( ) 1= t&tT

Como el producto cruz de ( )tT y ( )t& es un vector unitario, el cual es ortogonal tanto a ( )tT como a( )t& . +ste vector se llama vector binormal unitario y denotado por ( )t' , est definido por/

)()()( t&tTt' =

16

Teorema/ si ( )tR es una funcin vectorialdiferenciable en un intervalo y ( )tR esconstante para toda tdel intervalo,

entonces los vectores ( )tR y ( )tR' sonortogonales.


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Los tres vectores unitarios mutuamente ortogonales ( )tT , ( )t& y ( )t' de una curva C recibenel nombre de triedro mvil.

La representacin de ( )tT y ( )t& en el punto - forman el plano osculador.

La representacin de ( )tT y ( )t' en el punto - forman el plano rectificador.

La representacin de ( )t& y ( )t' en el punto - forman el plano normal.Ejemplo.

a) ++= aktjtasenitatR

b) >allar ecuacin del plano normal y el osculador para la %&lice circular

( ) ( ) ( )( ) (2

,1,0,,cos (untoelenttsenttR = .

TALLER.

1. allar la medida del ngulo entre los vectores ( )1& y ( )1"R para la curva con ecuacinvectorial ( ) ( ) ( ) .334 32 jttittR +=

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%ur&a!ura 24* de una !ra$ec!oria

0dea in!ui!i&a.+s la medida del pandeo o combadura de la trayectoria en un punto de la curva.

Definicin. La curvatura de una curva es la rapidez con la que la curva se aleja de su recta tangenteen un punto - dado de ella. 3 esta rapidez se le llama Ocurvatura de la curva en el punto -P.

+l concepto de curvatura es local.

La curvatura de una recta es cero.

La curvatura de un c#rculo es constante.

ecuerde que el vector tangente unitario ( )tT indica ladireccin de la curva.

Se puede ver que ( )tT cambia de direccin muy lentamente cuando C es casi recta, pero lo%ace ms rpido cuando C se dobla o se tuerce ms.

Definicin.Se define la curvatura como la norma de la razn de cambio del vector tangente unitario

( )tT con respecto a la longitud de arco S. 3s#dS

dTK= donde, Q es la curvatura0 ( )tT el vector

tangente unitario y Sla longitud de arco.

+s ms fcil calcular la curvatura ( )tK si se epresa en t&rminos del parmetro ten vez de S, paraello utilizamos la regla de la cadena, as#/

dt

dS

dS

dT

dS

dT= -ero ( )tR

dt

dSy

dS

dTk ==

+ntonces ( ) ( )( )tRtT

tK= .

Teorema.Si ( )tR es el vector posicin de la curva C, entonces la curvatura ( )tK de C es/

( ) ( ) ( )

( ) 3tRtRtR

tK

= .

Ejemplos.>allar la curvatura ( )tK de la curva con ecuacin vectorial dada/

a) ( ) ( ) ( ) 0;cos >+= ajtasenitatR

b) ( ) ktjtittR 2ln21 ++=

18


19/56

TALLER.(eterminar la curvatura ( )tK de la curva con ecuacin vectorial dada/

a) ( ) ( ) ( ) 0,;cos >++= ktjtsenittR

b) ( ) ( ) ( ) ( )kttjtittR 22 312 +++++=

c) ( ) ( ) 1;12 2 =+= tenjtittR

d) ( ) ktjtittR 32 2236 ++=

e) ( ) ktjtittR ln22 ++=

f) ( ) ( ) ( ) ( ) .cos2 ktsenjtsenittR ++=

g) ( ) ( ) ( ) 03coscos +++= tconkjttsentitsentttR

%) ( ) jt

tittR

+= 1

)ln(2

Funciones de ms de una &ariable

Funciones de dos &ariables.

Sea R alguna regin en el plano XY . Una regla que asigna a cada punto Pen R uno y solamenteun numero se llama funcin de dos variables.

P +s el valor de entrada.

( )Pf +s el valor de salida.

Si estamos en coordenadas rectangulares el valor deentrada se epresa como ),( yxP= y el valor de salida seescribe ( )yxfz ,= , el conjunto R se llama dominio de lafuncin f.

Ejemplo. >allar el dominio de/

!)y

xz =

")

22

9 yxz =

$) ( )25

1,

22 +=

yxyxf

')xy

z

= 1

19


20/56

TALLER. (etermine el dominio de la funcin dada y dibuje el dominio de las funciones como unaregin 2R .

!. ( )1

1,

22 +=

yxyxf

". ( ) 221, yxyxf =

$. 164 22 += yxz

'. 22

44

yx

yxz

=

J. ( )yxz = 1cos

B. ( )1ln = xyz

K. 22

5

xy

xyz

=

R. 22

xy

xz

=

D. ( )yxz ln=

!E. ( )

xy

yxz

+=

cos

!!.1

1

++=

x

yxz

!". ( )xyxz = 2ln

Definicin de la grfica de una funcin de dos &ariables.

Si fes una funcin de dos variables, entonces la grafica fes el conjunto de todos los puntos

),,( zyx de 3R para los cuales ),( yx es un punto del dominio de fy ( )yxfz ,= .

Ejemplo. 9raficar/

!) 1+= yxz

") 22 yxz +=

$) 229 yxz =

15TA.epasar las grficas de las superficies ya estudiadas antes.

20


21/56

Como algunas curvas de la forma ( )yxfz ,= tienen grficas relativamente complicadas. +iste otramanera de representar el comportamiento de una funcin ( )yxfz ,= de manera geom&trica.

+n vez de esbozar la traza en el plano kz= , se bosquejan las proyecciones de tales trazas en elplano XY . La proyeccin se llama cur&a de ni&elde la funcin ( )yxf , .

Lmi!es $ con!inuidad de funciones de ms de una &ariable

Recuerde.La siguiente nota es para el clculo de l#mites en una variable ( ) %xfax =lim si x tiende a

a entonces ( )xf tiende a % .

3%ora para el caso de dos variables decimos que ( ) ( ) ( ) %yxfbayx = ,lim ,, si ( )yx, tiende a ( )ba, entonces ( )yxf , tiende a % .

Ejemplo.Calcular los siguientes l#mites, si eisten.

a) ( ) ( ) 22

22

1,1,lim

yx

yx

yx +

b) ( ) ( )( )

1lim

22

22

0,0, +++

yx

yxsen

yx

c) ( ) ( )( )22lim 223

1,2,++

yyxx

yx

d)( ) ( ) 22

22

0,0,lim

yx

yx

yx +

TALLER.

!. ;ndique y dibuje el dominio de cada una de las siguientes funciones y obtenga y bosquejealgunas curvas de nivel.

a.xy

z 1=

b.yx

z+

= 1

e. ( )xyz ln=

f.1

1

++

=x

yxz

g. ( )xyxz = 2ln

21

TALLER. (ibuje algunas curvas denivel de/

!) yxz 236 =

") 224 yxz +=

$) 22 xyz =

') 229 yxz =


22/56

c. ( )22ln yxz +=

d.

=

x

yz 1tan

%.x

yz=

". (etermine si eiste cada uno de los siguientes l#mites, o muestre utilizando diferentestrayectorias de acercamiento que dic%o l#mite no eiste.

$. ( ) ( )( )yxyyxyx 32lim 522

3,2,+

'.( ) ( )

yx

yxe

2

4,1,lim

+

J.( ) ( ) 22

2

0,0,lim

yx

x

yx +

B.( ) ( ) 3

23

0,0,lim

yx

yx

yx +

K. ( ) ( )( )

220,0,lim

yx

xseny

yx +

R. ( ) ( ) 11lim

22

22

0,0, ++

+ yx

yx

yx

Definicin. +presamos ( ) ( ) ( ) %yxfbayx = ,lim ,, y decimos que el l#mite de ( )yxf , cuando ( )yx, seaproima a ( )ba, es % , si podemos acercar los valores de ( )yxf , a % tanto como queramos,siempre y cuando tomemos el punto ( )yx, lo suficientemente cerca del punto ( )ba, , pero sin quesea igual a este.

3%ora recuerde que para limites de funciones de una variable, cuando dejamos que x se aproime aa , solo %ay dos posibles direcciones de acercamiento, desde la izquierda o desde la derec%a. 8, se

dec#a que si ( ) ( )xfxfaxax +

limlim entonces ( )xfaxlim no eiste.

-ara funciones de dos variables la situacin no es tan sencilla puesto que podemos %acer que ( )yx, se aproime a ( )ba, desde un numero finito de direcciones siempre y cuando ( )yx, este dentro deldominio de f.

2rayectorias de acercamiento

22

Si ( )yxf , tiende a 1% conforme ( )yx, tiende a( )ba, a lo largo de la trayectoria 1C y si ( )yxf ,

tiende a 2% conforme ( )yx, tiende a ( )ba, a lo

largo de la trayectoria 2C , donde 21 %% ,

entonces decimos que/

( ) ( ) ),(lim

,,yxf

bayx 1o e6is!e


23/56

TALLER.Utilizando diferentes trayectorias de acercamiento, muestre que no eisten los siguientesl#mites.

a) ( ) ( ) 22

22

0,0,lim

yx

yx

yx +

d) ( ) ( ) 44

22

0,0,

8lim

yx

yx

yx +

b)( ) ( )

3

23

0,0,

lim

yx

yx

yx + e)

( ) ( )

220,0,

3

4lim

xy

xy

yx

c) ( ) ( ) 24

2

0,0,

2lim

yx

yx

yx + f) ( ) ( ) 220,0,)(

limyx

xseny

yx +

Deri&adas 7arciales

La diferenciacin de funciones de valor real de n variables se reduce al caso de una dimensin alconsiderar una funcin de una variable mientras que las dems se mantienen fijas. +sto conduce alconcepto de derivada parcial.

Deri&ada parcial de una funcin de dos &ariables.

Sea funa funcin de dos variables x y y . La derivada parcial de fcon respecto a x es la funcin

denotada por ( )yxfx , tal que su valor en cualquier punto ( )yx, del dominio de festa dado por/

( ) ( ) ( )h

yxfyhxfyxf

hx

,,lim,

0

+=

Si este l#mite eiste.

(e forma anloga, la derivada parcial de fcon respecto a y es la funcin denotada por ( )yxfy , , talque su valor en cualquier punto ( )yx, del dominio de festa dado por/

( ) ( ) ( )h

yxfhyxfyxf

hy

,,lim,

0

+=

Si este l#mite eiste.

Ejemplo. 3plique la definicin y %alle ( )yxfx , y ( )yxfy , para la funcin ( ) 22 24, yxyxf = .Calcule ( ) ( )1,11,1 yx fyf .

TALLER. Utilizando la definicin %allar ( )yxfx , y ( )yxfy , de/

a) ( ) 22 23, yxyxyxf +=

b) ( ) 736, += yxyxf

c) ( ) 22, yxyxf +=

23


24/56

1o!acin para deri&adas parciales.Si ( )yxfz ,= , escribimos/

( ) ( ) fDfDfx

zyxf

xx

ffyxf xxx ===

==

== 11,,

( ) ( ) fDfDfy

zyxf

yy

ffyxf yyy ===

==

== 22,,

Reglas para calcular las deri&adas parciales de ( )yxfz ,= .

1. para %allar ( )yxfx , , considere a y como una constante y derive ( )yxf , con respecto a x .

2. para %allar ( )yxfy , , tome a x como una constante o fija y derive ( )yxf , con respecto a y .

Ejemplos. >allar ( )yxfx , y ( )yxfy , de/

a) ( ) 3323 2, yyxxyxf +=

b) 223

4 yxyz ++=

c) ( yxsenz 2= .

TALLER.>allar xz

y yz

de/

!) yxyxz 222 ++=

") 22 yx

exz =

$)

+= yx

senz 1

') ( )yxz 1tan =

J) ( )yxxz cos=

B) ( )2243 cos yxyz +=

K) ( )yxsenxz += 2

R) ( )yxz 2ln +=

D) 3yx

ez=!E) ( )yxarcsenz 3+=

!!)

+

=22

lnyx

xyz

!") ( )22ln13 yxz ++=

24


25/56

-ara brindar una interpretacin geom&trica de las derivadas parciales, recordemos que la ecuacin( )yxfz ,= representa una superficie S. Si ( ) cbaf =, , entonces el punto ( )cbaP ,, est en S.

+ntonces, las derivadas parciales ( )yxfx , y ( )yxfy , pueden interpretarse geom&tricamente como laspendientes de las rectas tangentes en ( )cbaP ,, a las trayectorias 1C y 2C de Sen los planos by=y ax= respectivamente.

Ejemplo.-ara 22 24 yxZ = , %allar ( )1,1xf y ( )1,1yf e interpretar grficamente.

Ejemplo.Fediante derivacin impl#cita encuentre ( )yxfx , y ( )yxfy , de 16333 =+++ xyzzyx

Ejemplo. >allar zyx fyff , de zezyxf xy ln),,( = .

Deri&adas de orden superior.

Si ( )yxfz ,= es una funcin de dos variables, entonces sus derivadas parciales ( )yxfx , y ( )yxfy , tambi&n son funciones de dos variables, de modo que podemos considerar a sus derivadas parciales

xxf )( , yxf )( , xyf )( y yyf )( , las cuales se llaman segundas derivadas parciales de f. Si

( )yxfz ,= , utilizamos la siguiente notacin/

( ) 2

2

2

2

x

z

x

fff xxxx

=

== ( )xy

z

xy

fff xyyx

=

==22

( )yx

z

yx

fff yx

xy

=

==

22

( ) 2

2

2

2

y

z

y

fff yy

y

y

=

==

Ejemplo.Calcule las segundas derivadas parciales de/

( ) 2323 2, yyxxyxf += ( ) ( )xyyyxf cos, = ( ) 7452, yxxyxf +=

25

3l fijar by= , el plano vertical by= cruzala superficie Sen la curva 1C , es decir,

1C es la trayectoria de S en el plano

by= .

La curva 1C es la grfica de la funcin

( )bxfxz ,)( = de manera que la pendientede la tangente en ( )cbaP ,, es

( ) ( )bafaz x ,' = .


26/56


27/56

b. Fuestre que esta ley satisface 0=

+

T

PT

$

P$ y 1 =

P

T

T

$

$

P

11. La ecuacin de onda es 2

2

2

22

txc

=

, con c una constante. Fuestre que

( ) ( )tcx coscos= satisface la ecuacin de onda.

12. La frmula321

1111RRRR

++= determina el valor de la resistencia total R producida por

tres conductores con resistencias 1R , 2R y 3R 0 conectadas en paralelo. +ncuentre1R

R

.

13. Una abeja volaba ascendiendo a lo largo de una curva que es la interseccin de lasuperficie 1234 ++= yxxz con el plano 1=x . +n el punto ( )5,2,1P la abeja se fue por larecta tangente. H(onde peg la abeja con el plano XZI

7LA15S TA1GE1TES

Suponga una superficie S con ecuacin ( )yxfz ,= , donde las primeras derivadas ( )yxfx , y( )yxfy , son continuas y sea ( )000 ,, zyxP un punto sobre S. Sean 1C y 2C las curvas que se

obtienen al cortar los planos verticales 0yy= y 0xx= con la superficie S. +ntonces el punto( )000 ,, zyxP esta en 1C y 2C . Sean 1T y 2T las rectas tangentes a las curvas 1C y 2C en el

punto ( )000 ,, zyxP . +ntonces el 7LA15 TA1GE1TEa la superficie Sen el punto ( )000 ,, zyxP sedefine como el plano que contiene las dos rectas tangentes 1T y 2T .

+l plano tangente a Sen ( )000 ,, zyxP es el plano que mas se aproima a la superficie Scerca delpunto ( )000 ,, zyxP .

ecordemos/ que la ecuacin de un plano esta dada por/

( ) ( ) ( ) 0000 =++ zzCyy'xx*

27


28/56

La cual podemos escribir as#/

( ) ( ) ( )000

yybxxazz += +cuacin del plano tangente en P.

La interseccin del plano tangente con el plano 0yy= es la recta tangente 1T . Si %acemos 0yy= en la ecuacin del plano tangente tenemos/

( ) ( )00 xxazz = Con 0yy=

ue reconocemos con la ecuacin de una recta con pendiente a .

Sabemos que la pendiente de 1T es ( )00 ,yxfx . -or lo que tendr#amos que ( )00 ,yxfa x= .

(e manera similar ocurre con el plano 0xx= . (nde ( )00 ,yxfb y= .

Definicin.

Suponga que ( )yxfz ,= tiene derivadas parciales continuas. Una ecuacin del plano tangente a

( )yxfz ,= en el punto ( )000 ,, zyxP es/

( ) ( ) ( ) ( )0000000 ,, yyyxfxxyxfzz yx +=

Ejemplo.

>allar ecuacin del plano tangente a/

222 yxz += , en el punto ( )3,1,1P . ( )yxsenz += , en ( )0,1,1 P .

TALLER.

>allar ecuacin del plano tangente a/

1) 22 xyz = en ( )9,5,4P .

2) ( )yxz += 2ln en ( )0,3,1P .

3) yez x

ln= en ( )0,1,3P .

01%RE8E1T5S 9 D0FERE1%0ALES

0ncremen!o de una funcin en dos &ariables.

Si ( )yxf , es una funcin de las variables x y y , entonces el incremento de ( )yxf , en el punto

( )00 , yxP , denotado por ( ) ( )0000 ,, yxzyxf = , esta dado por/

( ) ( ) ( ) ( )00000000 ,,,, yxfyyxxfyxzyxf ++== ;ncremento en z.

28


29/56

Diferencial !o!al de una funcin de dos &ariables.

Si ( )yxf , es una funcin de las variables x y y , y si ( )yxf , es diferenciable en ( )yx, , entonces ladiferencial total de fes la funcin dzdf = que tiene valores de funcin determinados por/

( ) ( )dyyxfdxyxfdzdf xx 0000 ,, +== G dyyz

dxx

zdz

+

=

7ara !res &ariables.Sea ( )zyxf+ ,,= una funcin de tres variables, entonces/

+l incremento de + es/ ( ) ( )000000 ,,,, zyxfzzyyxxf+ +++=

+l diferencial de + es/ dzz

+dy

y

+dx

x

+d+

+

+

=

Ejemplos.

1) para ( ) 22 3, yxyxyxfz +== %allar/

a) z

b) dz

c) si x cambia de " a ".EJ y y cambia de $ a ".DB compare z y dz.

2) Sea un cono circular recto cuyo radio de la base mide !E cm y altura "J cm. +n alg*n instanteel cono sufre un cambio y su radio cambia a !E.! cm y su altura a "J.! cm. (etermine elcambio que sufre el volumen del cono.

3) Las dimensiones de una caja rectangular son KJ cm, BE cm y 'E cm. Cada medida tiene unacorreccin de E." cm. Use diferenciales para calcular el mimo error posible cuando secalcule el volumen de la caja.

Apro6imacin por diferenciales.

Sea ( )yxfz ,= una funcin de dos variables, cuando x y y sean pequeTos, entonces/

dzz

Como ( ) ( )0011 ,, yxfyxfz = y ( ) ( ) dyyxfdxyxfdz xx 0000 ,, += , entonces/

( ) ( ) dzyxfyxf 0011

,,

( ) ( ) ( ) ( ) dyyxfdxyxfyxfyxf xx 00000011 ,,,, +

( ) ( ) ( ) ( ) dyyxfdxyxfyxfyxf xx 00000011 ,,,, ++

29


30/56

Ejemplos. Calcular utilizando diferenciales/

1. Si ( ) 22

1,,

z

yxzyxf

+= , use diferenciales para estimar ( )03.2,98.1,01.1f .

". ( ) 98.308.1

TALLER.

!) +l radio y la altura de un cilindro circular recto miden $ y R unidades, con un error posible en lamedicin de E.EJ unidades. +stime el error al calcular el volumen y el rea del cilindro.

2) Las dimensiones de una caja rectangular cerrada son RE, BE y JE cm. Con un error posible enla medicin de E." cm en cada dimensin. Use diferenciales para estimar el error en el clculodel rea de la superficie.

3) Los catetos de un triangulo rectngulo que tienen B y R cm., con un error posible de E.!cm.3proime el error en la medida de su %ipotenusa.

4) La frmula21

111

RRR += determina la resistencia combinada R cuando las resistencias 1R y

2R estn conectadas en paralelo. Suponga que 1R y 2R fueron medidas en "J y !EE


31/56

b.

98.1

01.1a!ctan

c. ( ) ( )32 1.23.3 +

LA REGLA DE LA %ADE1A

Regla de la cadena 2%aso 0*. Suponga que ( )yxfz ,= es una funcin derivable en x y y , donde)(tgx= y )(thy= son funciones diferenciables de t. +ntonces zes una funcin diferenciable de t.

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

+

=

Ejemplos.

1) Sea42

3xyyxz += donde ( )tsenx 2= y ( )ty cos= . Calculedt

dzcuando 0=t .

2) Si 3,3, 232 tytxyxz === . >allar

dt

dzcuando 1=t .

Regla de la cadena 2%aso 00*. Suponga que ( )yxfz ,= es una funcin diferenciable de x y y ,donde ),( tsgx= y ),( tshy= son funciones diferenciables de s y t. 3s# pues,

s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

+

=

8t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

+

=

TALLER.

1. Si ( )ysenez x= donde tsystx 22 ; == . >allar tz

sz

;

2. Si32 yxz += donde ss reyrex == ; . >allar s

zr

z

;

3. Si324 zyyxu += donde ( )tssenrzersyrsex tt 22 ;; === . >allar s

u

cuando 2=r ,1=s , 0=t .

4. Si ( ) ( )2222 ,, sttsftsg = y fes diferenciable, muestre que gsatisface la ecuacin/

0=

+

t

gs

s

gt

31


32/56

Diferenciacin implci!a.

Si fes una funcin diferenciable de la variable x tal que )(xfy= y festa definida impl#citamentepor la ecuacin 0),( =yx! , y si ! es diferenciable y ( ) 0, yx!y , entonces/

),(),(

yx!yyx!x

dxdy =

Si fes una funcin diferenciable de x y y tal que ( )yxfz ,= y festa definida impl#citamente porla ecuacin 0),,( =zyx! , y si ! es diferenciable y ( ) 0,, zyx!z , entonces/

),,(

),,(

zyx!z

zyx!x

x

z=

8),,(

),,(

zyx!z

zyx!y

y

z=

Ejemplos.

1) >alledx

dysi 06

33 =+ xyyx

2) >allex

z

y

z

, si 016333 =+++ xyzzyx

TALLER.

1) (ada22 yyxz = donde ( ) teytsenx == ; . >allar

dt

dzcuando 0=t .

2) Use la regla de la cadena para calculardt

dzy

dt

d+ de/

a. 2322 1,, tytxyxz +==+=

b. ( ) teztytxz

y

y

x+ 3,2cos,, ===+=

3) (eterminet

z

s

z

, de/

a. ( ) ( ) ( ) 222 ,,cos tsytsxyxsenz ===

b. ( ) tseytxxyxz === ,,tan 21

4) Sitst rseyrex

y

xz === ,, %allar

t

z

s

z

r

z

,, cuando 1=r , 2=s , 0=t .

32


33/56


34/56


35/56

b. ( )2,1,3 22 Pxyxz += en la direccin que apunta %acia el origen.

El #ec!or Gradien!e

3 partir de ( ) ( ) ( ) byxfayxfyxfD yxu ,,, += podemos escribirla como el producto punto de dosvectores as#/ ( ) ( ) ( ) ( )bayxfyxfyxfD yxu ,),,,(, =

( ) ( ) ( ) uyxfyxfyxfDyxu

= ),,,(,

( ) ( ) uyxfyxfDu

= ,,

(onde ( )=+= babjaiu , vector unitario y ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( yxfyxfjyxfiyxfyxf yxyx ,,,,,, =+= gradiente de f.

Definicin.Si fes una funcin de dos variables x y y , entonces el gradiente de fes la funcin

vectorial f , definida como/

( )

=

y

z

x

zyxf ,, 9radiente de ( )yxf , .

A"ora:

( ) ( ) uyxfyxfDu= ,,

( ) ( ) cos,, uyxfyxfDu

=

En!onces:

( ) ( ) cos,, yxfyxfDu =

Analiando:

Si 1cos0 == y ( ) ( )yxfyxfDu ,, = lo que significa que ( )yxfDu , toma su

mimo valor, el cual ocurre cuando

u y ( )yxf , estn en la misma direccin.

Si 1cos == y ( ) ( )yxfyxfDu ,, = lo que significa que ( )yxfDu , toma su

m#nimo valor, el cual ocurre cuando

u y ( )yxf , estn en direcciones opuestas.

35


36/56

15TA.

+l gradiente indica el sentido o direccin de crecimiento ms rpido de una funcin en unpunto dado.

La derivada direccional tiene su valor mimo en el sentido del gradiente y coincide con su

norma.

Ejemplo.

a) Si yxez= %allar la razn de cambio de fen el punto )0,2(P en direccin de Pa

2,2

1, .

+n que direccin ftiene la razn mima de cambio. Cual es dic%a razn.

Deri&ada direccional $ Gradien!e.

Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de ),( yxfz= en el punto ),( 00 yx en la

direccin de un vector unitario arbitrario ),( bau=

. -ara esto consideramos la superficie S con

ecuacin ( )yxfz ,= y sea ( )000 , yxfz = . +ntonces el punto ),,( 000 zyxP esta sobre S. +l planovertical que pasa por el punto Pen la direccin del vector

u interseca a la superficie Sen la curva

T . La pendiente de la recta tangente a la curva T en al punto Pes la tasa de cambio de Z en la

direccin de

u . +sta es la interpretacin geom&trica de la derivada direccional.

Con propsitos del clculo, se usa la siguiente frmula.

36


37/56

Teorema.

Sea una funcin escalar diferenciable en , entoncestiene derivada direccional en la direccin de cualquier vector unitario

y

Ejemplo. Calcule la derivada direccional de 224 yxz = en el punto )1,1(P en la direccin del

vector

=

21,

21u . +fectu& usted el -rocedimiento.

Anlisis:+sto nos dice que la razn de cambio de ),( yxfz= en un punto Pen la direccin del

vector

u es 22 , es decir, que ),( yxfz= en esta direccin esta decreciendo. +n la figurasiguiente se ilustra esta situacin.

Ejemplo. Calcule la derivada direccional ( )yxfDu , si 23 43),( yxyxyxf += y

u es el vector

unitario dado por 6 = . HCunto vale ( )2,1fDu I

Solucin. Usando la frmula nos queda/

37


38/56

(e donde/

Suponga que tenemos una funcin fde dos o tres variables y consideramos todas las posibles

derivadas direccionales de fen un punto Pdado. +sto proporciona las tasas de cambio de fen

todas las posibles direcciones. (e modo que podemos plantear la siguiente pregunta/ H+n quedireccin cambia con mayor rapidez una funcin en un punto dado, o en que direccin se da la mayorpendiente de una funcin en un punto, o en que direccin es mayor la derivada direccional en unpuntoI, y Hcul es el valor de esa mayor pendiente, o cual es la mima razn de cambio, o cual esel valor mas grande de esa derivada direccionalI Las respuestas a estas preguntas las da elsiguiente teorema.

Teorema.(ireccin de mimo cambio o crecimiento de una funcin.

Sea 2#Df una funcin escalar. +l valor mimo de la derivada direccional ( )yxfDu , es( )yxf , y se representa cuando u tiene la misma direccin que el vector gradiente ( )yxf , . +s

decir, se da en la direccin del gradiente.

La direccin de m#nimo cambio o decrecimiento de la funcin en un punto se da en la direccin

opuesta o contraria al gradiente ( )yxf , , y su valor es ( ) ( )yxfyxfDu ,, = .

Se debe tener en cuenta tambi&n que/

La ( )yxfDu , es nula en la direccin perpendicular al gradiente ( )yxf , .

Si ( ) 0, = yxf en un punto P, entonces todas las ( )yxfDu , en P son cero sea cual sea ladireccin de u .

Ejemplo. Suponga que la temperatura en un punto ),,( zyxP en el espacio esta dada por

( ) 222 321

80,,

zyxzyxT

+++= . (onde T esta medida en grados cent#grados y x ,y ,z estn en

metros. H+n que direccin aumenta ms rpido la temperatura respecto al punto )2,1,1( P I Cuales la mima tasa de variacin de la temperaturaI

Solucin. +l gradiente de 2 es/

( ) ( ) ( ) ( ) kzyxz

jzyx

y

izyx

x

zyxT 222222222222 3621

480

321

320

321

160

,, +++++++++=

+valuando en el punto )2,1,1( P obtenemos/

( ) ( )kjiT 628

52,1,1 ++=

38


39/56

-or tanto, respecto a )2,1,1( P , la temperatura se incrementa con mayor rapidez en la direccin delvector gradiente kjiT

62 ++= .

La tasa mima de incremento es la longitud o norma del vector gradiente. +s decir/

( )8

41562

8

52,1,1 =++= kjiT

Ejemplo. Considere una placa rectangular. La temperatura en un punto ),( yxP de la placa esta

dada por ( ) 2225, yxyxT ++= . (etermine la direccin en la que se debe mover un insecto que estaen el punto )2,4(P , para que se enfr#e lo ms rpido posible.

Solucin. -ara que el insecto se enfriara ms rpidamente, respecto al punto )2,4(P , debe seguiruna direccin opuesta al gradiente, es decir/

( ) ( ) ( ) ( )4,162,42,4, = = TyxyxT .

< sea debe ir en la direccin del vector jiu

416 = .

Ejemplo. H+n que direccin, a partir del punto )2,3,1(P es mima la derivada de la funcin

22),,( yxzzyxg = I.

Solucin. La derivada de la funcin ser mima en la direccin del gradiente y, por lo tanto, valdr/

( ) ( )( ) ( )2,6,4,,

2,2,2,,

==

zyxg

xyzzyxg

TALLER.

1. La temperatura medida en grados en un punto )3,2( P sobre la superficie de una placametlica est dada por la funcin ( ) 22420, yxyxf = , donde x ,y estn en cent#metros.H+n que direccin crece ms rpidamente la temperatura respecto al punto )3,2( P I Cuales el valor de ese mimo crecimiento de la temperaturaI

2. >allar la derivada direccional ( )yxfDu , de ( ) xyyxf += 20, en el punto )2,1(P en ladireccin de ( )

54,

53=

u . (ar la direccin de mimo crecimiento de la funcin.

3. Un esquiador se encuentra en el punto )14,2,1( P de una montaTa con ecuacin

( ) 22 42, yxyxf = . Hue direccin debe tomar el esquiador para descender lo ms rpido

posibleI

4. +l nivel de radiacciones ticas de cierto territorio lo cuantifica la frmula ( ) 22 53, yxyxf = .Si un individuo esta situado en el punto )1,1(P del territorio. H+n que direccin se %acemimo el riesgo de contaminacin y cual es el valor de ese mimo riesgoI H>acia dondedebe moverse el individuo para disminuirlo al mimoI

39


40/56

5. Una gota se deposita en el punto )0,0(P de la superficie con ecuacin

( ) )cos()cos(, xeyeyxf yx += . H+n que direccin se mover la gotaI

6.


41/56

Definicin.+tremos 3bsolutos de unciones de dos ariables.

i. Se dice que la funcin fde dos variables tiene un valor mimo absoluto en su dominio D

del plano xy si eiste alg*n punto ( )0 0,x y en D tal que ( ) ( ) ( )0 0, , ; ,f x y f x y x y D , en

tal caso ( )0 0,f x y es el valor mimo absoluto de fen D .

ii. Se dice que la funcin fde dos variables tiene un valor m#nimo absoluto en su dominio D del plano xy si eiste alg*n punto ( )0 0,x y en D tal que ( ) ( ) ( )0 0, , ; ,f x y f x y x y D , en

tal caso ( )0 0,f x y es el valor m#nimo absoluto de fen D .

Definicin.+tremos elativos de unciones de dos ariables.

i. Se dice que la funcin fde dos variables tiene un valor m6imo rela!i&o en el punto

( )0 0,x y si eiste un disco abierto ( )( )0 0, ;' x y r tal que( ) ( ) ( )0 0, , ; ,f x y f x y x y ' .

ii. Se dice que la funcin fde dos variables tiene un valor mnimo rela!i&oen el punto

( )0 0,x y si eiste un disco abierto ( )( )0 0, ;' x y r tal que( ) ( ) ( )0 0, , ; ,f x y f x y x y ' .

Teorema.Si ( ),f x y eiste en todos los puntos de alg*n disco abierto ( )( )0 0, ;' x y r y si f tiene unetremo relativo en ( )0 0,x y , s# ( )0 0,xf x y y ( )0 0,yf x y eisten, entonces ( )0 0, 0xf x y = y

( )0 0, 0yf x y = .

Definicin.-unto Cr#tico. Si ( ),f x y eiste en todos los puntos de alg*n disco abierto ( )( )0 0, ;' x y r elpunto ( )0 0,x y es un punto cr#tico de fsi una de las siguientes condiciones se cumple/

i. ( )0 0, 0xf x y = y ( )0 0, 0yf x y =

ii. ( )0 0,xf x y ( )0 0,xf x y no eisten.

41


42/56

Teorema. %ri!erio de la Segunda Deri&ada

Sea funa funcin de dos variables tal que fy sus derivadas parciales de primer y segundo orden

son continuas en un disco abierto ( )( ), ;' a b r . Suponer adems que ( ), 0xf a b = y ( ), 0yf a b = .Utilizamos para clasificar los puntos cr#ticos de la funcin el De!erminan!e o ;essiano de f'el cual

es/

(1a, b)6 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2, ,, , ,

, ,

xx xy

xx yy xy

yx yy

f a b f a bf a b f a b f a b

f a b f a b =

Si 0D> y ( ) ( ), 0 $ , 0xx yyf a b f a b> > , entonces ( ),f a b es un m#nimo local.

Si 0D> y ( ) ( ), 0 $ , 0xx yyf a b f a b< < , entonces ( ),f a b es un mimo local.

Si 0D< , entonces ( ),f a b no es un etremo relativo, pero ( ),f a b es un punto de silla.

Si 0D= , no se tiene ninguna conclusin a cerca de etremos relativos.

Ejemplos.

a) >allar y clasificar los puntos cr#ticos de ( ) 124, 23 ++= yxyxyxf

b) >allar los etremos de la funcin ( ) 163, 22 +++= yxxyyxyxf

c) (etermine la distancia mas corta que eiste desde el punto ( )2,0,1 P al plano 42 =++ zyx .

d) Un canaln cuya seccin transversal tiene forma de trapecio, con ngulos en la base iguales,

se va a construir doblando bandas iguales a lo largo de ambos lados de una pieza larga demetal de !" pulgadas de anc%ura. +ncuentre los ngulos de la base y la anc%ura de los ladosque producen la mima capacidad de acarreo.

42


43/56

8ul!iplicadores de LaGrange

+plicaremos la base geom&trica del m&todo de La9range para funciones de dos variables, aunquese utiliza para funciones de dos o ms variables.

;niciemos tratando de encontrar los valores mimos y m#nimos de ( ),f x y , sujetos a una condicinde la forma ( ) kyxg =, . +n otras palabras, buscamos los valores etremos de ( ),f x y cuando el

punto ),( 00 yxP est limitado a pertenecer a la curva de nivel ( ) kyxg =, .

Faimizar la funcin ( ),f x y sujeta a la restriccin ( ) kyxg =, ,sirve para determinar el valor ms grande que tome c tal quela curva de nivel ( ) cyxf =, corte ( ) kyxg =, . Seg*n la figuraesto parece suceder cuando las curvas se tocan0 es decir,cuando tienen una recta tangente com*n. +sto significa que las

rectas normales en el punto ),( 00 yxP donde se tocan sonid&nticas. Como consecuencia los vectores gradientes 1que

son perpendiculares a las curvas de nivel en ),( 00 yxP , son

paralelos o sea/ ( ) ( )0000 ,, yxgyxf = para alg*n escalar . (onde el n*mero de la ecuacin se llama mul!iplicador

de LaGrange.

8/!odo de los mul!iplicadores de LaGrange.

-ara encontrar los valores mimos y m#nimos de ( ),f x y limitada o restringida por ( ) kyxg =, ,procedemos/

a) (etermine los valores de x , y y tales que/ ( ) ( )0000 ,, yxgyxf = y ( ) kyxg =, .

b) +valu& f en todos los puntos ),( yx que obtiene del paso 1a). el mayor es el valor mimo defy el ms pequeTo es el valor m#nimo de f.

Ejemplos.

1) 22312),( xyxyyxf = sujeta a 16=+ yx

2) Se va a construir un recipiente con forma de cilindro circular recto para un volumen de !EE3c) . (etermine la superficie m#nima del recipiente.

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TALLER.

!. Use Fultiplicadores de Lagrange para determinar/

a. Cul es el rea mima que un rectngulo puede tener si la longitud de la diagonal es "I

b. Se quiere construir un pentgono colocando un tringulo equiltero sobre un rectngulo. Siel pentgono tiene un per#metro fijo K, determinar las longitudes de los lados del pentgono

que maimizan su rea.

". -ara encerrar un campo rectangular %ay $"E metros de alambre de p*as. HCmo debeutilizarse el alambre para que el rea cercada sea la mima posibleI

3. Supongamos que se necesitan x unidades de mano de obra y y unidades de capital para

producir 4/14/3000.10),( yxyxf = unidades de cierto art#culo. Si cada unidad de mano de obracuesta "E.EEE y cada unidad de capital cuesta $E.EEE y se dispone de un total deB.EEE.EEE para la produccin0 debemos determinar cuntas unidades de mano de obra ycuntas de capital deben usarse para maimizar la produccin.

'. >allar el radio y la altura de un recipiente cil#ndrico, sin tapa, cuya rea superficial sea m#nimay sea capaz de contener un volumen de !B unidades c*bicas.

J. (adas las siguientes funciones, utilice el m&todo de Fultiplicadores de Lagrange para %allarlos puntos cr#ticos/

a. xyyxyxf 2023),( 22 += sujeta a la restriccin 100=+ yx

b. ( ) 22 2, yxyxf += sobre el circulo 122 =+ yxc.

222 2),,( zyxyxzyxf +++= sujeta a la restriccin 1643 = zyx

d. xyzzyxf =),,( sujeta a 1832 =++ zyx

B. Utilizando Fultiplicadores de Lagrange, encuentre las dimensiones de una caja rectangularcon volumen mimo, tal que la suma de sus !" aristas sea igual a una constante.

7. La ecuacin3232 44 =+ yx

representa el borde de la pantalla de un monitor. Si el campo

el&ctrico viene dado por la funcin 221

);(yx

yxf+

= , %allar los valores mimo y m#nimo de

&ste sobre el borde de la pantalla.

8. Use multiplicadores para encontrar las dimensiones de un cilindro circular recto tapado convolumen mimo, si su rea es de 24 unidades cuadradas.

9. Una sonda espacial con forma del elipsoide 1644 222 =++ zyx entra en la atmsfera de la

tierra y su superficie comienza a calentarse. -asada una %ora, la temperatura en el punto

),,( zyxP sobre la superficie de la sonda es 6001648),,( 2 ++= zyzxzyxT . (etermine elpunto ms caliente en la superficie de la sonda.

10. Utilizando Fultiplicadores de Lagrange, encuentre las dimensiones de una caja

rectangular con para que su superficie sea m#nima, tal que su volumen sea de 31 ) .

!!. >alle la mayor rea de todos los rectngulos cuyos per#metros son de !" cm.

44


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!". +ncuentre tres n*meros tales que la suma de esos tres n*meros sea igual a un numeropositivo A y el producto de los tres n*meros sea mimo.

!$. +ncuentre el volumen mimo de una caja rectangular con tapa inscrita en el elipsoide

12

2

2

2

2

2

=++c

z

b

y

a

x

14. Considere el modelo de produccin de CobbX(ouglas para un proceso de fabricacinque dependa de tres entradas x , y y z con costos unitarios a , b y c 0 dados por

zyxkP= , con 0,0,0 >>> , 1=++ 0 sujetos a la restriccin de costo

dczbyax =++ . (etermine x , y y zque maimizan la produccin -.

45


46/56

0n!egracin 8


47/56

Descripcin de una Regin R median!e %oordenadas Rec!angulares.

amos a describir algunas regiones planas mediante sus secciones transversales en t&rminos decoordenadas rectangulares.

1) egin rectangular R acotada por ( )dcybacondycybxax allar el volumen del slido bajo yxz 2+= y encima de la regin acotada por las parbolas22 1,2 xyxy +== .

TALLER DE 01TEGRALES D53LES.

1) >allar el volumen bajo22 yxz += y encima de la regin acotada por 2,2 xyxy == en el

plano xy .

2) >allar el volumen del slido del primer octante acotado por ( )2tan xz= y por los planos0,1, === yxyx .

3) >allar el volumen del slido del primer octante acotado por2xy= y por los planos

1,0,0 =+== yzzx .

4) +valu& R

d*xydonde R es la regin acotada por 62,1

2 +== xyxy .

5) >aciendo todo el procedimiento, plantear las integrales dobles de dos formas distintas paracalcular el rea de la regin en el primer cuadrante limitada por la parbola xy 42 = , lacircunferencia 522 =+ yx y el eje x .

6) +valuar ( ) 1

0

12

xdxdyysen .

47


48/56

K) Calcular la integral doble en la regin dada.

a. ( ) +R

d*xyx 32 46 donde ( ){ }41,20/, = yxyxR

b. ( ) +R

d*yxxsen donde ( )

=

30,

60/,

yxyxR

c. ( )( R

x d*ysene 542

donde R esta acotada por 4,0, === xyxy .

d. R

d*con R la regin acotada por yxyx == 2,2 .

e. ( )( ) +R

d*xyxy cos22 2

donde R esta acotada por 3,0, === yxxy .

f. ( ) R

d*ysen 3donde R es 2,0, === yxxy .

g. +R

d*x 21

2donde R es el triangulo con v&rtices en ( ) ( ) ( )2,02,2,0,0 y .

%. ( ) =R

y

xdydxed*yxf

1

0

1 2

,

i. 4

0

2

2

2

x

y dxdye

j. Use integrales dobles para %allar el volumen del slido acotado por los planos

coordenados y el plano 12463 =++ zyx .

k. Use integrales dobles para %allar el volumen del slido del primer octante( )0,0,0 zyx acotado por el paraboloide circular 22 yxz += , el cilindro

422 =+ yx y los planos coordenados.

l. Calcular R

yx dydxee 2 donde R es la regin limitada por el cuadrado 1=+ yx .

m. Calcular R

d*yx 22

9 donde R es la regin en el plano 922 =+ yx .

48


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0n!egrales Dobles en %oordenadas 7olares

;ndicaremos como determinar ( ) R

d*yxf , usando coordenadas polares0 este m&todo es apropiado

cuando la regin R tiene una descripcin simple en coordenadas polares, como por ejemplo, si es undisco.

Descripcin de R en %oordenadas 7olares. -ara la descripcin de R en polares, primero sedetermina el rango de y luego se observa como varia r para cualquier valor fijo de .

( ){ } 20,10/, = rrR ( ){ } = 0,21/, rrR ( ){ } cos4cos2,/, 22 = rrR

%ambio a coordenadas polares en una in!egral doble.

Si f es contin*a en una regin R dada por

,0 bra , entonces/

( ) ( ) =R

b

addrrsenrrfd*yxf

,cos,

-ara una regin ms complicada, es similar a la regin tipo ;;de la seccin anterior, as#/

Si fes contin*a en una regin polar de la forma ( ) ( ) ( ){ } 21,/, hrhrR = , entonces/

( ) ( )( )

( ) =R

h

hddrrsenrrfd*yxf

2

1

,cos, .

Ejemplos.

1) >allar ( ) +R

d*yx 243 donde R es una regin del semiplano superior acotado por los c#rculos

122 =+ yx y 422 =+ yx .

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2) >allar el volumen del slido acotado por el plano 0=z y el paraboloide 221 yxz = .

3) >allar el volumen del slido que bajo el paraboloide22 yxz += , encima del plano xy y dentro

del cilindro xyx 222 =+ .

TALLER.

1) +valu& la integral dada cambiando a coordenadas polares.

a. R

d*xdonde R es el disco con centro en el origen y radio 5 .

b. R

d*y donde R es la regin en el . cuadrante acotada por el c#rculo 922 =+ yx y

las rectas 0, == yxy .

c. ( ) +R

d*yxsen 22

donde R es la regin anular .161 22

+ yx

d. +Rd*

yx 22

1donde R esta dentro de la cardioide senr += 1 y fuera del circulo

con ecuacin 1=r .

") Use coordenadas polares para calcular el volumen del slido dado.

a. =ajo el cono22 yxz += y encima del anillo 254 22 + yx .

b. Una esfera con radio a .

c. +l que esta acotado por el paraboloide22

3310 yxz = y el plano 4=z .

d. +l volumen que corta en 4222 =++ zyx el cilindro yyx 222 =+ .

e. +l volumen interior a229 yxz = , eterior a 422 =+ yx y encima del plano xy .

3) +valu& la integral convirti&ndola en coordenadas polares.

a. dxdyex

yx +1

0

1

0

222

b. 2

0

4

4

222

2

y

ydydxyx

c. ( ) dxdyyxxx

+1

1

1

0

22222

50


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0n!egrales Triples

amos a definir integrales triples para funciones de tres variables ( )zyxf ,, sobre regiones slidas.+l caso mas sencillo es aquel donde fse define sobre una caja rectangular/

( ){ }szrdycbxazyx' = ,,/,,

+l m&todo prctico para evaluar las integrales triples es epresarlas como integrales iteradas.

Teorema de Fubini para las 0n!egrales Triples:

Si fes contin*a sobre una caja rectangular [ ] [ ] [ ]srdcba' ,,, = , entonces/

( ) ( ) ='

s

r

d

c

b

adzdydxzyxfd"zyxf ,,,,

Descripcin de una regin slida:

-ara calcular integrales triples sobre regiones espaciales, es necesario describir dic%as regiones en

t&rminos de un sistema de coordenadas.

La descripcin de una regin slida en coordenadas rectangulares entonces tendr la forma/

( ) ( ) ( ) ( )yxzzyxzxyyxybxa ,,,, 2121

+sto para el orden zyx ,, . -ero, %ay seis rdenes posibles.

Las desigualdades en x y y describen la OsombraP o proyeccin de la regin en el plano xy . Lasdesigualdades para zindican entonces como varia zsobre una recta paralela al eje zque ademspasa por el punto ( )yx, en la proyeccin.

La integral triple se convierte en/

( ) ( )( )

( )

( )

( )

=/

b

a

xy

xy

yxz

yxzdxdydzzyxfd"zyxf

2

1

2

1

,

,,,,, .

+sta integral es similar a la que se uso para calcularintegrales sobre regiones planas. +sta implica tresintegraciones en lugar de dos. Los l#mites de integracin sedeterminan mediante la descripcin de + en cartesianas.

51


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Ejemplos.

1) describir mediante secciones transversales el tetraedro acotado por los planos 0=x , 0=y ,0=z y 1=++ zyx .

") (escribir en coordenadas rectangulares la bola cuyo centro esta en el origen y de radio '.

3) +valu&

d$zx/

+ 22

donde /es la regin acotada por

22 zxy

+= y el plano4=y

.

TALLER. +val*e la integral triple.

a) /

d$ydonde /est bajo el plano yxz 2+= y encima de la regin del plano xy acotada

por las curvas 2xy= , 0=y , 1=x .

b) /

d$xdonde /esta acotado por el paraboloide

2244 zyx += y el plano 4=x .

c) / d$xz donde /es el tetraedro slido con v&rtices ( )0,0,0 0 ( )0,1,0 0 ( )0,1,1 0 ( )1,1,0 .

0n!egrales Triples en %oordenadas Rec!angulares.

( ) ( )( )

( )

=

/ D

yxu

yxud*dzzyxfd$zyxf

,

,

2

1

,,,, ( ) ( )( )( )

( )

( )

=/

b

a

xg

xg

u

yxu

yx

dxdydzzyxfd$zyxf 2

1

,2

1 ,,,,,

52


53/56

( ) ( )( )

( )

( )

( )

=/

d

c

yh

yh

u

yxu

yx

dzdxdyzyxfd$zyxf 2

1

,2

1 ,,,,, ( ) ( )

( )

( )

=

/ D

zyu

zyud*dxzyxfd$zyxf

,

,

2

1

,,,,

( ) ( )( )

( )

=

/ D

zxu

zxud*dyzyxfd$zyxf

,

,

2

1

,,,,

%oordenadas %ilndricas

+n tres dimensiones eisten dos sistemas de coordenadas similares a las coordenadas polares yproporcionan descripciones apropiadas de los slidos y superficies ms comunes.

53


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55/56

0n!egrales !riples en coordenadas cilndricas $ esf/ricas

%oordenadas cilndricas.

Suponga que f es continua y que/

( ) ( ) ( ){ }yxfzyxfDxzyx/ ,,,,/,, 21 = (onde ( apareceen coordenadas polares mediante/

( ) ( ) ( ){ } 21,/, hrhrD = .

(eseamos escribir la integral triple ( ) /

d$zyxf ,, en

coordenadas cil#ndricas mediante.

( ) ( )( )

( )

( )

( )

=/

h

h

rsenrf

rsenrfrdzdrdzrsenrfd$zyxf

2

1

2

1

,cos

,cos,,cos,,

rmula para la integracin triple en coordenadas cil#ndricas.

1o!a: recuerde que las coordenadas cil#ndricas se aplican a regiones que presentan simetr#aalrededor del eje z y sobre todo cuando la funcin f1, y, z) comprende la epresin YZyY.

%oordenadas esf/ricas.

+ es un trozo esf&rico dado por/

( ){ }dcba/ = ,,/,,

amos a escribir la integral triple ( ) /

d$zyxf ,, en

coordenadas esf&ricas mediante/

( ) ( ) =/

d

c

b

adddsensensensenfd$zyxf

2cos,,cos,,

rmula para la integracin triple en coordenadas esf&ricas.

1o!a: las coordenadas esf&ricas se utilizan en las integrales triples cuando superficies como losconos y las esferas forman la frontera de la regin de integracin. 2ambi&n se usan en problemas enque eiste simetr#a alrededor del origen.

55


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TALLER. !. +valuar las siguientes integrales/

a. /

d$yzx 2 donde /es el slido dado por ( ){ }21,10,21/,, = zyxzyx/ .

b. ( ) ( ) dydzdxxzye

e 0

1

23

0tanln

c. ( ) / d$yzxysen donde /es la caja limitada por los planos 3,2, === zyx y los planoscoordenados.

d. dzdxdyz

y

z

xz

2

0

2

0cos

". +val*e las integrales triples dadas.

a) /

d$ydonde /est bajo el plano yxz 2+= y encima de la regin del plano xy acotada

por las curvas 2xy=

, 0=y , 1=

x .

b) /

d$xdonde /esta acotado por el paraboloide

22 44 zyx += y el plano 4=x .

c) /

d$xzdonde /es el tetraedro slido con v&rtices ( )0,0,0 0 ( )0,1,0 0 ( )0,1,1 0 ( )1,1,0 .

$. +value la integral triple de ( ) xyzzyxf 2,, = sobre la regin slida / limitada por el cilindro

22

2xz = y los planos 0,,0 === yxyz .

'. Use integrales triples para encontrar los siguientes vol*menes/

a. (el slido en el primer octante acotado por 22xy= y 84 =+ zy .

b. (el slido limitado por los cilindros 2xy= , 2zy= y el plano 1=y .

Modulo Mate 3

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