UNIDAD 1: ELASTICIDAD Y MDULOS DE ELASTICIDADLOGRO DE LA UNIDAD:Al terminar la unidad, el estudiante resolver problemas relacionados a la deformacin de cuerpos identificando claramente los tipos de esfuerzos y haciendo uso adecuado de los mdulos de elasticidad lineal, de corte y volumtrico.Figura 1

INTRODUCCIN:Cuando un bate de beisbol golpea una pelota y esta cambia momentneamente su forma; cuando una pesa se coloca en el extremo de un resorte y este se estira cuando se retira regresa a su forma; cuando se estira la cuerda de un arco antes de lanzar una flecha; estos son ejemplos de objetos elsticos (GIANCOLI, 2009).La elasticidad es una propiedad de cambiar la forma cuando acta una fuerza de deformacin sobre un objeto, y ste regresa a su forma original cuando cesa la deformacin. Estos cambios dependen del arreglo de los tomos y su enlace en el material (TIPPENS, 2011). El cuerpo rgido es un modelo idealizado til, pero en muchos casos: los estiramientos, aplastamientos y torsiones de los cuerpos reales cuando se les aplican fuerzas son demasiado imponentes para despreciarse. La figura 2 muestra tres ejemplos. Nos interesa estudiar la relacin entre las fuerzas y los cambios de forma en cada caso (SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, & FREEDMAN, 2009).En esta unidad se estudiar la elasticidad, las fuerzas elsticas y los mdulos de deformacin, as mismo la energa que almacena un slido[footnoteRef:1] (cristalino[footnoteRef:2] o amorfo[footnoteRef:3]) cuando este se deforma por la accin de una fuerza (LEYVA NAVEROS, 2006). [1: Slido: se llama as a los objetos que tienen forma y volumen definidos. Luego para deformarlos, se puede cambiar su forma y su volumen.] [2: Slido Cristalino, tiene sus tomos situados en forma regular y que se repiten en forma peridica en el espacio. Una de las caractersticas es su propiedad, la anisotropa (todo cuerpo homogneo tiene diferentes propiedades en diferentes direcciones). As tenemos las propiedades mecnicas, pticas y elctricas; son diferentes segn las distintas direcciones (por ejemplo la dilatacin trmica).] [3: Slidos amorfos, son cuerpos istropos (tienen las mismas propiedades en todas las direcciones). Estos slidos tienen superficies irregulares de ruptura (por ejemplo el vidrio, si se rompe, los trozos tienen forma irregular).]

Figura 2PROPIEDADES ELSTICAS DE LA MATERIA:Definimos como cuerpo elstico aquel que recobra su tamao y su forma originales cuando deja de actuar sobre l una fuerza deformante. Las bandas de hule, las pelotas de golf, los trampolines, las camas elsticas, las pelotas de ftbol y los resortes son ejemplos comunes de cuerpos elsticos. La masilla, la pasta y la arcilla son ejemplos de cuerpos inelsticos. Para todos los cuerpos elsticos, conviene establecer relaciones de causa y efecto entre la deformacin y las fuerzas deformantes.Considere el resorte de longitud L en la figura 2. Podemos estudiar su elasticidad aadiendo pesas sucesivamente y observando el incremento en su longitud. Una pesa de 20 N alarga el resorte en 1 cm, una pesa de 40 N alarga el resorte 2 cm, y una pesa de 60 N alarga el resorte 3 cm. Es evidente que existe una relacin directa entre el estiramiento del resorte y la fuerza aplicada.Robert Hooke fue el primero en establecer esta relacin por medio de la invencin de un volante de resorte para reloj. En trminos generales, Hooke descubri que cuando una fuerza F acta sobre un resorte (figura 3) produce en l un alargamiento s que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza. La ley de Hooke se representa como:

La constante de proporcionalidad k vara mucho de acuerdo con el tipo de material y recibe el nombre de constante elstica. Para el ejemplo ilustrado en la figura 2, la constante elstica es:

La ley de Hooke no se limita al caso de los resortes en espiral; de hecho, se aplica a la deformacin de todos los cuerpos elsticos. Para que la ley se pueda aplicar de un modo ms general, es conveniente definir los trminos esfuerzo y deformacin. El esfuerzo se refiere a la causa de una deformacin elstica, mientras que la deformacin se refiere a su efecto, en otras palabras, a la alteracin de la forma en s misma (TIPPENS, 2011).

Figura 3ELASTICIDAD:Se llama as a la propiedad que tiene los cuerpos de recuperar su forma y sus dimensiones originales cuando la fuerza aplicada cesa de actuar. Las deformaciones que se producen son reversibles y el trabajo realizado por la fuerza se transforma en energa potencial de deformacin. La elasticidad depende de la naturaleza del material, de la magnitud de la fuerza y de la historia previa del material (el tratamiento que se le haya dado y las condiciones de conservacin).ESFUEZO:Es la relacin entre la fuerza que genera la deformacin y el rea de seccin transversal del objeto a deformar. Podemos hablar de tres tipos de esfuerzo principalmente (figura 4); Un esfuerzo de tensin se presenta cuando fuerzas iguales y opuestas se apartan entre s. En un esfuerzo de compresin las fuerzas son iguales y opuestas y se acercan entre s. Un esfuerzo cortante ocurre cuando fuerzas iguales y opuestas no tienen la misma lnea de accin. Un patrn general para formular puede ser:

Figura 4Las unidades del esfuerzo estn dadas por Pascales (Newton/metro cuadrado) en el sistema internacional de unidades; libras por pulgada cuadrada; libras por pie cuadrado; bar; atmosfera o milmetro de mercurio si lo trabajamos en otros sistemas[footnoteRef:4]. [4: ]

DEFORMACIN:Es el cambio relativo de dimensiones o de la forma de un cuerpo por la accin de un esfuerzo; estas deformaciones pueden ser en longitud, rea o volumen. En el caso de una deformacin longitudinal la relacin sera:

Donde L es la longitud final, es la longitud inicial del objeto.En el caso de un esfuerzo de tensin o de compresin, la deformacin puede considerarse como un cambio en la longitud por unidad de longitud. Un esfuerzo cortante, por otra parte, puede alterar nicamente la forma de un cuerpo sin cambiar sus dimensiones. Generalmente el esfuerzo cortante se mide en funcin de un desplazamiento angular. El lmite elstico es el esfuerzo mximo que puede sufrir un cuerpo sin que la deformacin sea permanente. Por ejemplo, una varilla de aluminio cuya rea en seccin transversal es de 1 in2 se deforma permanentemente si se le aplica un esfuerzo de tensin mayor de 19000 lb. Esto no significa que la varilla de aluminio se romper en ese punto, sino nicamente que el cable no recuperar su tamao original. En realidad, se puede incrementar la tensin hasta casi 21 000 lb antes de que la varilla se rompa. Esta propiedad de los metales les permite ser convertidos en alambres de secciones transversales ms pequeas. El mayor esfuerzo al que se puede someter un alambre sin que se rompa recibe el nombre de resistencia lmite.Si no se excede el lmite elstico de un material, podemos aplicar la ley de Hooke a cualquier deformacin elstica. Dentro de los lmites para un material dado, se ha comprobado experimentalmente que la relacin de un esfuerzo determinado entre la deformacin que produce es una constante. En otras palabras, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformacin. (TIPPENS, 2011)Si llamamos a la constante de proporcionalidad el mdulo de elasticidad, podemos escribir la ley de Hooke en su forma ms general:

MDULO DE YOUNG:Tambin se le puede llamar mdulo de elasticidad longitudinal; se da cuando los esfuerzos y las deformaciones se dan de forma longitudinal o en una nica direccin. El efecto de tal esfuerzo es el alargamiento del alambre, o sea, un incremento en su longitud. Por tanto" la deformacin longitudinal puede representarse mediante el cambio de longitud por unidad de longitud.Figura 5

Por lo que podemos escribir la ecuacin del mdulo de Young como:

Las unidades del mdulo de Young son las mismas que las unidades de esfuerzo: libras por pulgada cuadrada o pascales. Esto es lgico, ya que la deformacin longitudinal es una cantidad que carece de unidades (adimensional). Los valores representativos correspondientes de algunos de los materiales ms comunes se muestran en la tabla:

MODULO DE CORTE:Los esfuerzos de compresin y de tensin producen un ligero cambio en las dimensiones lineales. Como se mencion antes, un esfuerzo cortante altera nicamente la forma del cuerpo, sin que cambie su volumen. Por ejemplo, considere las fuerzas paralelas no concurrentes que actan sobre el cubo que se ilustra en la figura 6. La fuerza aplicada provoca que cada capa sucesiva de tomos se deslice sobre la siguiente, en forma parecida a lo que les ocurre a las pginas de un libro bajo un esfuerzo similar. Las fuerzas interatmicas restituyen al cubo su forma original cuando cesa dicho esfuerzo.

Figura 6El esfuerzo cortante se define como la relacin de la fuerza tangencial F entre el rea A sobre la que se aplica. La deformacin cortante se define como el ngulo (en radianes), que se conoce como ngulo de corte (consulte la figura 6 b). Si se aplica la ley de Hooke, podemos ahora definir el S en la siguiente forma:

El ngulo por lo general es tan pequeo que es aproximadamente igual a tan . Aprovechando este hecho, podemos volver a escribir la ecuacin anterior de la siguiente forma:

Debido a que el valor de S nos da informacin sobre la rigidez de un cuerpo, a veces se le conoce como Mdulo de Rigidez.MDULO VOLUMTRICO:Hasta ahora hemos considerado los esfuerzos que causan un cambio en la forma de un objeto o que dan por resultado principalmente deformaciones en una sola dimensin. En esta seccin nos ocuparemos de los cambios en el volumen. Por ejemplo, considere el cubo de la figura 13.7 en el cual las fuerzas se aplican uniformemente sobre la superficie. El volumen inicial del cubo se indica como V y el rea de cada cara se representa por A. La fuerza resultante F que se aplica normalmente a cada una de las caras provoca un cambio en el volumen El signo menos indica que el cambio representa una reduccin de volumen. El esfuerzo de volumen FIA es la fuerza normal por unidad de rea, mientras que la deformacin de volumen es el cambio de volumen por unidad de volumen. Al aplicar la ley de Hooke, definimos el mdulo de elasticidad de volumen, o mdulo volumtrico, de la manera siguiente:

Este tipo de deformacin se aplica tanto a lquidos como a slidos. La tabla muestra los mdulos de volumen para algunos de los lquidos ms comunes. Cuando se trabaja con lquidos a veces es ms conveniente representar el esfuerzo como la presin P, que se define como la fuerza por unidad de rea FIA. Con esta definicin podemos escribir la ecuacin como:

Donde V es el volumen inicial y P es la presin.

Figura 7: el volumen del cubo se reduce por accin de la compresin que est actuando sobre cada una de sus caras.

Al valor recproco del mdulo volumtrico se le llama compresibilidad k. Con frecuencia conviene estudiar la elasticidad de los materiales midiendo sus respectivas compresibilidades. Por definicin:

La ecuacin indica la compresibilidad, es el cambio fraccional en el volumen por unidad de incremento en la presin.OTRAS PROPIEDADES FSICAS DE LOS METALES:Adems de la elasticidad, el esfuerzo de tensin y el esfuerzo cortante, los materiales presentan otras propiedades importantes. Un slido consiste en un conjunto de molculas tan cercanas unas a otras que se atraen fuertemente entre s. Esta atraccin, llamada cohesin, le imparte a un slido una forma y un tamao definidos. Tambin afecta su utilidad para la industria como material de trabajo. Es preciso comprender propiedades como la dureza, la ductilidad, la maleabilidad y la conductividad antes de elegir metales para aplicaciones especficas.Tres de estas propiedades se ilustran en la figura 8. Dureza es un trmino industrial utilizado para describir la capacidad de los metales para resistir a fuerzas que tienden a penetrados. Los materiales duros resisten rayaduras, desgastes, penetracin o cualquier otro dao fsico. Algunos metales, como el sodio y el potasio son blandos, mientras que el hierro y el acero son dos de los materiales ms duros. La dureza de los metales se prueba con mquinas que presionan una punta de diamante cnica contra los materiales que se van a probar. La penetracin se mide y la dureza se lee directamente en una cartula graduada.Las otras dos propiedades especiales de los materiales son la ductilidad y la maleabilidad. El significado de cada uno de estos trminos se puede apreciar en la figura 8. La ductilidad se define como la capacidad de un metal de ser convertido en alambre. El tungsteno y el cobre son sumamente dctiles. La maleabilidad es la propiedad que nos permite martillar o doblar los metales para darles la forma deseada o para laminarlos en forma de hojas. La mayora de los metales son maleables y el oro es el ms maleable de todos.La conductividad se refiere a la capacidad de los metales para permitir que fluya la electricidad a travs de ellos. Los mejores conductores son la plata, el cobre, el oro y el aluminio, en ese orden. Se examinar con mayor detalle esta propiedad en captulos posteriores.

Figura 8REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS:GIANCOLI, D. C. (2009). FSICA 1: PRINCIPIOS Y APLICACIONES (SEXTA EDICION ed.). MEXICO: PEARSON EDUCATION.LEYVA NAVEROS, H. (2006). FISICA II: TEORA Y PROBLEMAS RESUELTOS. LIMA: MOSHERA.SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, & FREEDMAN. (2009). FSICA UNIVERSITARIA (12 ed., Vol. 1). (R. F. Rivera, Ed.) MEXICO, MEXICO: PEARSON EDUCATION.TIPPENS, P. E. (2011). FSICA, CONCEPTOS Y APLICACIONES. MEXICO: Mc GRAW HILL EDUCATION.

SEMINARIO DE PROBLEMAS01.-

Dos varillas redondas, una de acero y otra de cobre, se unen por los extremos. Cada una tiene de longitud y de dimetro. La combinacin se somete a una tensin con magnitud de . Para cada varilla, determine la deformacin.

02.- Una varilla metlica de 4.00 m de longitud y rea transversal de 0.50cm2 se estira 0.20 cm al someterse a una tensin de 5000 N. Qu mdulo de Young tiene el metal?

03.- Una cuerda de nylon se alarga 1.10 m sometida al peso de una alpinista de 65.0 kg . Si la cuerda tiene 45.0m de longitud y 7.0 mm de dimetro, Qu mdulo de Young tiene el material?

04.- Un poste vertical de acero slido de 25 cm de dimetro y 2.50 m de longitud debe soportar una carga de 8000 kg. Puede despreciarse el peso del poste a) A qu esfuerzo se somete el poste? b) Qu deformacin sufre? c) Cmo cambia su longitud al aplicarse la carga?

05.- En un laboratorio de prueba de materiales, se determina que un alambre metlico hecho con una nueva aleacin se rompe cuando se aplica una fuerza de tensin de 90.8N perpendiculares a cada extremo. Si el dimetro del alambre es de 1.84 mm, Cul es el esfuerzo de rotura de la aleacin?

06.-

Para construir un mvil grande, un artista cuelga una esfera de aluminio con masa de de un alambre vertical de acero de 0.50 m de longitud y rea transversal de . En la base inferior de la esfera, el artista sujeta un alambre de acero similar del que cuelga un cubo de latn de . Para cada alambre, calcule: a) la deformacin por tensin y b) el alargamiento.

07.- Un alambre de acero de 4.00 m de largo tiene un rea transversal de 0.050 m2, y un lmite proporcional igual a 0.0016 veces su mdulo de Young (). El esfuerzo de rotura tiene un valor igual a 0.0065 veces su mdulo de Young. El alambre est sujeto por arriba y cuelga verticalmente. a) Qu peso puede colgarse del alambre sin exceder el lmite proporcional (elstico)? b) Cunto se estira el alambre con esta carga? c) Qu peso mximo puede soportar?

08.- Una muestra de aceite con un volumen inicial de 600 cm3 se somete a un aumento de presin de y el volumen disminuye 0,45 cm3. Qu mdulo de volumen tiene el material? Qu compresibilidad tiene?

09.-

Se somete a una muestra de cobre de forma cbica con 10 cm de arista a una compresin uniforme, aplicando una tensin equivalente a una tonelada perpendicularmente a cada una de sus caras. La variacin relativa de volumen que se observa es de Determinar el mdulo de compresibilidad del Cu en el sistema internacional, sabiendo que el mdulo de Young del cobre es .010.-

Se tiene una barra cilndrica de aluminio de 1 metro de longitud. Si se le somete a una traccin longitudinal, calcular el periodo de las oscilaciones elsticas que experimentar al cesar la traccin. (Considere la densidad del aluminio y el mdulo de Young del aluminio ).

011.-

El anclaje de la parte superior y el bloque de 300 kg de la figura son perfectamente rgidos, soportando al bloque tres cables verticales de la misma seccin, siendo los laterales de acero y el central de hierro fundido. Determinar las fuerzas que ejercen cada uno de los cables sobre el bloque. (Considere mdulo de Young del acero y el modulo del hierro fundido es de )

012.- Sobre un tubo vertical de acero, de 20 m de largo y 16 cm de dimetro exterior y 1 cm de espesor, se pone un bloque de granito de 14 toneladas. Si el mdulo de Young del acero es de , determinar el acortamiento experimentado por el tubo.

013.- Se cuelga una viga de 8 metros de longitud de 4 000 kg de dos cables de la misma longitud y seccin, uno de aluminio situado a un metro de uno de sus extremos y otro de acero. Al suspenderla, ambos cables se estiran lo mismo. (a) Calcular la tensin que soporta cada uno. (b) Calcular la distancia entre los cables. Sabiendo que los mdulos de Young: del acero es:200 GPA y del aluminio es 70 GPa.

014.- Calcular cunto se comprime el bloque mostrado en la figura, cuando se le aplica una fuerza P. Mdulo de elasticidad E.

015.- Determine la deformacin debido a la fuerza F, sin considerar el peso. El Solido mostrado de modulo elstico E tiene altura H y bases circulares de radio R y 2R.

016.-

La presin hidrosttica en las profundidades ocenicas de una sima es . Determinar la densidad de un trozo de hierro en tal lugar. (considere la densidad del hierro y el modulo volumtrico del hierro )

017.- Se somete a un cuerpo de cobre de forma cubica y de 1 dm de arista a una fuerza de una tonelada tangencialmente a la superficie de una de sus caras. Averiguar el ngulo de deslizamiento. (Considere el mdulo de Corte del cobre )

018.- El brazo ABC con forma de L que se muestra en la figura se encuentra en un plano vertical y tiene una articulacin que gira con respecto a un pasador horizontal en A. El brazo tiene un rea de seccin transversal constante y un peso total W. Un resorte vertical con rigidez k soporta el brazo en el punto B. Obtenga una frmula para el alargamiento del resorte debido al peso del brazo.

019.- Tres varillas de acero (E = 200 GPa) soportan una carga P de 36 kN. Cada una de las varillas AB y CD tiene un rea de seccin transversal de 200 mm2 y la varilla EF tiene un rea de seccin transversal de 625 mm2. Despreciando la deformacin de la varilla BED determine: a) el cambio de longitud en la varilla EF y b) el esfuerzo en cada varilla.

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