Modulo 7 Aplicaciones de la Derivada.pdf

UTN - FACULTAD REGIONAL C. DEL URUGUAY

ANÁLISIS MATEMÁTICO I

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Cátedra: Lic. BRUN, Jorge Manuel Mg. POCO. Adriana Noelia Lic. PONCE DE LEÓN, Julio Alejandro Lic. FARÍAS, Stella Maris Arq. PINTOS, Edith Susana Ing. SUÁREZ, Joaquín

Ciclo lectivo 2013

MMÓÓDDUULLOO 77

UTN FACULTAD REGIONAL C. DEL URUGUAY

2

ÍNDICE

ÍNDICE ............................................................................................................................................. 2

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA .................................. 3

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES ........................................................................ 5

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES ............................................................... 6

Teorema de Rolle.............................................................................................................................. 7

Teorema del valor medio del cálculo diferencial o teorema de Lagrange ........................................ 9

Consecuencias del teorema del valor medio .............................................................................. 12

Teorema de Cauchy ........................................................................................................................ 12

CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS - REGLA DE L’HOSPITAL .......................... 13

CONTACTO DE DOS CURVAS ................................................................................................. 19

APROXIMACIÓN DE FUNCIONES ........................................................................................... 20

Polinomio de Taylor ....................................................................................................................... 20

Fórmula de Taylor .......................................................................................................................... 22

EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN ................................................................................................ 25

Criterios para determinar extremos locales .................................................................................... 29

Criterio uno: Estudio de los valores de la función..................................................................... 29

Criterio dos: Variación del signo de la derivada primera ........................................................... 30

Criterio tres: Signo de la derivada segunda ................................................................................ 30

GENERALIZACIÓN ..................................................................................................................... 34

EXTREMOS ABSOLUTOS .......................................................................................................... 36

CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN .............................................................................. 39


3

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA

Según estudiamos en el módulo anterior, se interpreta geométricamente a la derivada

primera de una función f(x) en un punto como la pendiente de la recta tangente a la curva en

dicho punto.

Definición:

Recta tangente al gráfico de una función derivable f en el punto de abscisa a y ordenada f(a)

es la recta a la cual pertenece dicho punto y cuya pendiente es f ’( a ).

Si queremos hallar la ecuación de la recta tangente en el punto [a ; f(a)], basta considerar la

ecuación de la recta que pasa por dicho punto y tiene pendiente f ’( a).

y = t(x) Y P y = f(x) P0 α t(a) = f(a) a x X

( ) ( )tg '( )t x t a f ax a

α −= =

− como ( ) ( )t a f a= entonces ( ) ( )'( ) t x f af a

x a−

=−

( )'( ) ( ) ( )f a x a t x f a− = − así '( ) ( ) ( )ty f a x a f a= − + siendo yt = t(x)

Expresión que permite encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el

punto [a ; f(a)].


4

Asimismo puede definirse la recta normal a la curva y = f (x) como:

Definición:

Recta normal al gráfico de una función derivable , en un punto del mismo, como la recta que

pasa por dicho punto y es perpendicular a la tangente, es decir que tiene pendiente −1f a' ( )

si

f ‘(a) ≠ 0.

Su ecuación es entonces: 1 ( ) ( )'( )ny x a f a

f a=− − +

1) Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la curva y ln x= en el punto 3a = .

2) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente a la curva 3

6 54f ( x ) x x= − + es horizontal.

3) Indicar en qué puntos del gráfico la función 3 2

f ( x ) x - 9 x + 36 x = la recta tangente tiene pendiente 9.

4) La tangente al gráfico de 3

4g( x ) x= + en el punto (1;5) corta al gráfico en otro punto. Hallarlo.

5) Hallar la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a las curvas dadas en los

puntos indicados:

2

3 2

5 3 1

2 9

3 9 3 3

2 33

a ) f ( x ) x x en x

b ) f ( x ) x en x

c ) f ( x ) x x x en x

d ) f ( x ) cos x cotg x en x π

= − + =

= − =

= − − + =

= − + =


5

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Ya hemos definido las funciones monótonas en un conjunto en el Módulo 2, sin embargo,

veremos ahora como se pueden vincular esas definiciones con el signo de la derivada, cuando las

funciones que se consideran son derivables.

Y P Δy A P Δy Δx Δx a-Δx a a+Δx X

Como por definición la derivada de una función es:

0 0'( ) lim

x

yf xxΔ →

Δ=

Δ

Vemos en el gráfico que Δx > 0 y Δy > 0 por lo que f ‘ (a) es no negativa: f ‘( a) ≥ 0 Si Δx < 0 y Δy < 0 es también f ‘( a ) ≥ 0

Si una función derivable es creciente en un punto, su derivada es positiva o nula. En efecto,

en dicho punto la recta tangente forma en el semieje positivo de abscisas un ángulo agudo o nulo,

siendo por lo tanto su tangente positiva o nula respectivamente.

Una función es creciente en un intervalo si lo es en todos sus puntos.

1) Demuestre Ud., en forma análoga “función decreciente en un punto”. Interprete gráficamente.

2) Dé un ejemplo de función creciente y uno de decreciente y verifique el signo de la derivada primera.

1) Indicar en qué subconjuntos de su dominio las siguientes funciones son crecientes o decrecientes:

a) 2

3 2 5f ( x ) x x= − + b) 3 21xg( x )

x−

=−

c) h ( x ) ln x= d)

25 2s( x ) x= +

2) Dada la función 3

f ( x ) = x - 3 x + 2 = analizar su crecimiento en los intervalos dados: a) ( - 5 ; - 1 ) b) (1 ; 3 ) c) ( - 1 ; 1) d) (1; + ∞ )


6

Complete:

1) Si una función es estrictamente creciente en un punto ( )a; f ( a ) entonces su derivada primera en dicho punto es …………………….. y el ángulo que forma la recta tangente a la curva en el punto con el semieje positivo de las x es …………………

2) Si una función es estrictamente decreciente en un punto ( )a; f ( a ) entonces su derivada primera en dicho punto es …………………….. y el ángulo que forma la recta tangente a la curva en el punto con el semieje positivo de las x es ………………

3) En base a las premisas dadas anteriormente se formula una red conceptual para completar, la que le permitirá afianzar conceptos.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

Al graficar la curva correspondiente a una función derivable en un intervalo cerrado, se

verifica esta propiedad geométrica: si se traza la recta que pasa por los extremos de la curva, es

posible hallar un punto interior al intervalo donde la tangente al gráfico es paralela a dicha recta.

La figura (1) corresponde al caso particular en que la función alcanza valores iguales en los

extremos del intervalo. La figura (2) corresponde al caso general.

Función estrictamente

creciente

f '( x ) ………. La recta tangente en x= a tiene pendiente ………………

tg α es ………………

α es ……………. Función

estrictamente decreciente


7

La propiedad ilustrada en la primer figura se demuestra en el teorema de Rolle. La

propiedad general se prueba mediante el teorema del valor medio o de Lagrange.

a c b

f(a)=f(b)

f(c)

x

y

0

(1)

a bc

f(a)

f(c)

f(b)

0x

y

(2) En ambos teoremas exigiremos que la función sea derivable en el intervalo abierto y

continua en los extremos, es decir, no es necesario exigir que la función tenga derivada finita

(lateral) en los extremos del intervalo.

Teorema de Rolle

Si f es una función continua en el intervalo [a;b] , tiene derivada finita en (a;b) y

f(a) = f(b), entonces existe un punto c en el intervalo abierto (a;b) donde f′(c)=0.

Hipótesis : Sea :f A R A R→ ∧ ⊆

f es continua en [a;b]

f es derivable en ( a; b )

f(a) = f(b),

Tesis: ∃ c∈(a;b) ∧ a c b≤ ≤ / (́ ) 0f c = Demostración:

Al ser f continua en el intervalo [a;b], por el segundo teorema de Weierstrass, alcanza en

dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos.

Sea m el mínimo absoluto y M el máximo absoluto de f en [a;b].


8

Caso a) Si m = M, entonces f es constante en [a;b]. Luego , ∀x ∈ [a;b] : f ′(x) = 0, y la

tesis se verifica para cualquier punto c interior al intervalo.

Caso b) Si m ≠ M, entonces uno de los dos valores es distinto de f(a). Se presentan los tres

casos siguientes.

1) Si m ≠ f(a) y M = f(a), como m es el mínimo absoluto de f en [a;b], es m < f(a). Por

lo tanto, f alcanza el mínimo absoluto en un punto c, interior al intervalo.

Luego, f(c) es mínimo absoluto y también es mínimo local. Por un teorema anterior, como

f es derivable, es f ′(c) = 0.

Interprete gráficamente el enunciado anterior.

2) Si es M ≠ f(a) y m = f(a), como M es el máximo absoluto, es M > f(a). Por un

razonamiento análogo al anterior, f(c) = M es máximo absoluto y local y f ′(c) = 0.

Interprete gráficamente el caso 2).

3) Si m ≠ f(a) y también M ≠ f(a), la función f alcanza el mínimo m en un punto c

interior al intervalo y el máximo M en un punto c′, también interior al intervalo [a;b].

En esta situación, ambos extremos absolutos son también locales.

Luego, es f ′(c) = 0 y f ′(c′) = 0.

Interprete gráficamente el caso 3).


9

Ejemplo:

Hallar un punto c, correspondiente al teorema de Rolle, para 3 2f (x) = x - 3x en [0;3].

f ( x ) es una función racional entera, la cual ya sabemos que es continua y derivable en

todo punto de su dominio, además 0 0f ( ) = y 3 0f ( ) = . Luego f ( x ) cumple con la

hipótesis del Teorema de Rolle:

23f ' (x) = x -6 x ( )' ( ) 3 2f x x x= −

Resulta: '(2) 0f = . Luego, en c = 2 es '( ) 0f c = y además c ∈ [0;3].

La derivada también se anula en c′ = 0 pero c′ no es interior al intervalo considerado.

Encuentre los puntos del dominio de la funciones dadas, que verifican el teorema de Rolle para los intervalos indicados:

1) 3

12 0 2 3y x x en ;⎡ ⎤= − ⎣ ⎦

2) [ ]2

4 3 1 3y x x en ;= − +

3) [ ]2

2 2 1 2y x x en ;= − +

4) ( )( )( ) [ ]1 2 3 1 3y x x x en ;= − − −

Teorema del valor medio del cálculo diferencial o teorema de Lagrange

Si f es una función continua en el intervalo [a;b] y tiene derivada finita en (a;b), entonces

existe un punto c ∈ (a;b) tal que

′ =−−

f ( )( ) ( )

cf b f a

b a


10

y y = r(x) f(b) B y = f(x) r(x) f(c) G α f(a) A Q F 0 a c x b x Demostración:

Consideremos la recta secante AB, determinada por los puntos ( )A a; f ( a )≡ y

( )B b; f ( b )≡ . Llamemos sy a la función representada por la recta AB.

Su ecuación es:

( ) ( )( ) ( )Sf b f ay f a x a

b a−

− = −−

O sea, ∀x ∈ AB: ( ) ( )( ) ( )Sf b f ay f a x a

b a−

= + −−

Formemos una función auxiliar h (x) = y – ys = ( ) ( )( ) ( ) ( )f b f af x f a x ab a

⎡ ⎤−− + −⎢ ⎥−⎣ ⎦

(1)

La función h es derivable en (a;b) por ser la resta de dos funciones derivables y

h′(x) = f ′(x) – y ′S

Por razones análogas, h es continua en [a;b] y además

Si hacemos x = a en (1) h (a) = 0

Y para x = b en (1) h (b) = 0


11

Por lo tanto, la función h cumple con las condiciones exigidas por la hipótesis del teorema

de Rolle y entonces,

∃ ∈ ′ =x (a; b) / h (c) 0

Pero f(b) f(a)h (c) f (c) 0b a−′ ′= − =−

Luego, ∃ ∈ ′ =−−

c (a; b) / f (c) f(b) f(a)b a

Gráficamente puede observarse que la recta que une los puntos (a;f(a)) y (b;f(b)) es paralela

a la recta tangente a la curva en (c;f(c)). En efecto, según el teorema demostrado, ambas tienen

igual pendiente.

Ejemplo:

Hallar un punto c correspondiente al teorema del valor medio, para 22 3 4f ( x ) x x= − +

en el intervalo [ ] [ ]0 2a;b ;= .

f(0) = 4 , f(2) = 6 , ∀x: f ′(x) = 4x -3 ;

f(b) f(a)b a

f(2) f(0)2 0

; f (c) 4c 3−−

=−−

′ = −

Luego por el teorema indicado, ∃ ∈−−

= −c (0;2) / f(2) f(0)2 0

4c 3

Si reemplazamos valores y efectuamos operaciones:

6 42

4c 3 4c 3 1 c 1−= − ⇒ − = ⇒ =

Por lo tanto, la tangente al gráfico en el punto (1;3) es paralela a la recta que pasa por los

puntos (0;4) y (2;6).


12

Consecuencias del teorema del valor medio

1) Si f es una función derivable en un intervalo I, y en todos los puntos del intervalo la

derivada de f es nula, entonces f es constante en I.

2) Si dos funciones tienen la misma derivada en cada punto de un intervalo I, entonces

dichas funciones difieren en una constante.

Demuestre las dos propiedades enunciadas anteriormente.

Encuentre los puntos del dominio de la funciones dadas, que verifican el teorema de Lagrange para los intervalos indicados:

1) [ ]2

2 0 1y x x en ;= −

2) [ ]2

3 4 3 1 3y x x en ;= + −

3) [ ]3

0 6y x en ;=

4) [ ]2

1 2y x en ;=

Teorema de Cauchy

Si f y g son funciones continuas en el intervalo cerrado [a;b], tienen derivada finita en el

intervalo abierto (a;b) y ∀x ∈ (a;b), g′(x) ≠ 0, entonces :

∃ ∈−−

=′′

c (a; b) / f(b) f(a)g(b) g(a)

f (c)g (c)

.

Demostración: Definamos un número Q por la igualdad

( ) ( )( ) ( )

f b f aQg b g a

−=

−


13

Observemos que ( ) ( ) 0g b g a− ≠ , ya que si ( ) ( )g b g a= y según el Teorema de Rolle se

cumpliría que g´(x) = 0 en algún punto del intervalo, lo que contradice la hipótesis.

Formemos una función auxiliar F(x) = f (x) - f (a) – Q [g (x) – g (a)]

Si x = a , F(a) = 0

Si x = b, F(b) = 0.

Como la función satisface en el segmento [ ]a;b todas las condiciones del Teorema de

Rolle, entonces existe un valor x c / a c b= < < y donde F´(c) =0.

F´(c) = f ´ (c) – Q g´ (c) o sea

F´(c) = f ´ (c) – ( ) ( )( ) ( )

f b f ag b g a

−−

g´ (c) =0

Así concluimos que:

f(b) f(a)g(b) g(a)

f (c)g (c)

−−

=′′

Encuentre los puntos del dominio de la funciones dadas, que verifican el teorema de Cauchy para los intervalos indicados:

1) [ ]2

3 2 1 1 4f ( x ) x ; g( x ) x en ;= + = +

2) [ ]2 3

1 2f ( x ) x ; g( x ) x en ;= =

CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINADOS - REGLA DE L’HOSPITAL

REGLA DE L’HOSPITAL -Tipo 00

(Teorema)

Sea calcular ( )lim( )x a

f xg x→

tal que en x = a , f(a)=0 y f(b) = 0


14

La fórmula de Cauchy permite expresar el cociente de los incrementos de dos funciones

f(x) y g(x) mediante el cociente de las respectivas derivadas consideradas en un punto c

intermedio del intervalo.

f (b) f (a) f (c)g(b) g(a) g (c)

′−=

′− para a < x < b

Considerando el intervalo a < c < x, siendo el extremo derecho una variable resulta:

f x f ag x g a

f cg c

( ) ( )( ) ( )

' ( )' ( )

−−

=

Pero si las funciones f y g son nulas en el punto a es: f xg x

f cg c

( )( )

' ( )' ( )

=

Aplicando límite para x → a a la expresión 1 resulta:

lim f xg x

limf cg c

limf cg c

f ag a

limf xg xx a x a c a x a→ → → →

= = = =( )( )

' ( )' ( )

' ( )' ( )

' ( )' ( )

' ( )' ( )

Conclusión:

El límite del cociente de dos funciones que se anulan para x → a es igual al límite del cociente de sus derivadas cuando x → a.

( ) '( )lim lim( ) '( )x a x a

f x f xg x g x→ →

=

La Regla de L’Hospital recibe su nombre en honor de un noble francés, el marqués de

L’Hospital, pero fue descubierta por un matemático suizo, John Bernoulli.

Generalización

Análogamente, si las derivadas f ’(x) y g ’(x) se anula para x → a, se puede aplicar el

mismo teorema y resulta:

limf xg x

limf xg xx a x a→ →

=' ( )' ( )

' ' ( )' ' ( )

1


15

Si así se continúan anulando las sucesivas derivadas hasta la de orden (n - 1) , se puede

escribir la generalización del Teorema de Cauchy:

limf xg x

limf xg xx a x a

n

n→ →=

( )( )

( )( )

( )

( )

Observaciones

1) El teorema es válido en el caso en que las funciones no están definidas en x = a pero sus

límites para ese punto son nulos.

2) El teorema es válido si todos los límites son por la derecha o todos son límites por la

izquierda.

Ilustraremos el uso de este teorema con algunos ejemplos:

Ejemplos:

1) limxx

x

→

−0

2 1 =0

2 ln 2lim1

x

x→= ln 2

2) 2

21 1 1

2 1) 1 1lim lim lim(1 )1 2 2 2x x x

x x xx x x→ → →

− −= = − =

−

3)0 0

sen coslim lim 11x x

x xx→ →

= =

4) lim x xx

lim xx

lim x xx

lim x x xx x x x→ → → →

−=

−= =

+= =

0 3 0

2

2 0

2

0

2 2 413

26

4 26

26

13

tg sec sec tg sec tg sec


16

5) La Regla de L’Hospital también es cierta si x crece sin límite o bien si x decrece sin

límite, pues haciendo la sustitución 1 zx= , llevaríamos la situación a variable tendiendo a cero

lim x

x

lim x x

x x

lim x

xx x x→+∞ →+∞ →+∞

=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=+

=+

=sen

arctg

cos . cos1

1

1 1

1

1 1 1

1

1 11

1 01

2

2 2

2

Tipo ∞∞

Supongamos que f(x) y g(x) son funciones continuas y derivables, para todos los valores de

x a≠ en el entorno reducido del punto a y que g´(x) no se hace cero en ese entorno.

Supongamos también que: lim ( ) lim ( )x a x a

f x g x→ →

=∞∧ =∞ y que existe el límite (́ )lim(́ )x a

f x Ng x→

= ,

entonces existe también el ( )lim( )x a

f xg x→

y se cumple ( ) (́ )lim lim( ) (́ )x a x a

f x f x Ng x g x→ →

= =

En efecto: 1

1

1( ) ( )( )lim lim lim1( ) ( )

( )x a x a x a

f x g xg xg x f x

f x

−

−→ → →= = que es de la forma 0

0aplicamos Regla de

L´Hospital

2

2

( ) ( ) (́ )lim lim( ) ( ) (́ )x a x a

f x g x g xg x f x f x

−

−→ →

−=

− ,

2

2

( ) ( ) (́ )lim lim( ) ( ) (́ )x a x a

f x f x g xg x g x f x→ →

= ,

2

2

(́ ) ( ) ( )lim lim(́ ) ( ) ( )x a x a

f x f x g xg x g x f x→ →

= en consecuencia ( ) (́ )lim lim( ) (́ )x a x a

f x f x Ng x g x→ →

= =


17

Ejemplo:

1) Si x>o, determinar lim x

xx→ +0 1

ln

( )lim x

x

lim x

x

lim xx x x→ → →+ + +

=−

= − =0 0

2

01

1

1 0ln

2) Hallar lim exx

x

→+∞

+ln( )23

lim ex

lim ee

lim ee

lim ee

limx

x

x

xx

x

x

x x

x

x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+= + =

+= = =

ln( )23

12

3 6 3 313

13

Tipos 0 0; 0 . ; 0 ; ; 1∞∞ − ∞ ∞ ∞

Si las funciones cumplen en el entorno reducido del punto las condiciones antes dichas,

podrían

Para encontrar el límite de estas formas indeterminadas es necesario cambiarla a la forma

0/0 o ±∞ / ±∞, antes de poder aplicar la regla de L’Hospital. Los ejercicios siguientes aclararán el

método.


18

Resolver:

a) 2

22 4

2xxlimx→

−=

− b)

2

214 3 1

1xx xlim

x→

− += −

− c)

11

1xln xlimx→

=−

d) 20

02xx tgxlimsen x→

−= e)

2

x

xlimln x→+∞

= +∞ f) 0x

ln x xlimx . ln x→∞

+=

g) 1

1 1 11 2x

limx lnx→

⎛ ⎞− =−⎜ ⎟

−⎝ ⎠ h)

0x

sennxlim

x→= i)

3

3 21

3 2

1x

x xlimx x x→

− +=

− − +

j) 0

2x x

x

e e xlimx senx

−

→

− −=

− k)

( )0

3

x

ln sen xlim

ln senx→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = l) ( )

2xlim sec x tg x

π→

− =

m) 0x

ln xlimcosecx→

= n) ( )2

5 3xlim cos x sec x

π→

⋅ = ñ) 30x

x arc senxlim

sen x→

−=

o) 2 50 3

x

x

e senx xlim

x x→

−=

+ p)

( )( )0x

ln senxlim

ln tg x→= q)

11

x

lnx

limarc cotg x→∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ =

r) ( )1

12x

xlim x tg π→

− ⋅ = s) 0

senx

xlim x→

= t) 21

2 111x

limxx→

⎛ ⎞⎜ ⎟− =⎜ ⎟−−⎝ ⎠

u)

2

0

3

2 1

senx

xlim

x→

⎛ ⎞=⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠ v) ( )

01

cotg x

xlim x→

+ = w) ( ) 21

2x

tg

xlim x

π

→−

x)

22

0

x x

xlim e x→

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

y) 2

1

1

1

x

xlim x −

→= z)

212 1

2 3

x

xxlim ex

−−

→+∞

⎛ ⎞+=⎜ ⎟

+⎝ ⎠


19

CONTACTO DE DOS CURVAS

Dos curvas, que representan a dos funciones escalares f y g , que tienen en común un

punto ( )a; f ( a ) se dice que tienen un contacto de orden cero, es decir que f ( a ) g( a )= . Sin

embargo para asegurarnos que el contacto sea de orden cero debe verificarse además:

f ' ( a ) g' ( a )≠ .

Si en el punto de contacto tienen además derivadas primeras iguales, es decir, si tienen

igual pendiente de la recta tangente, se dice que las curvas tienen un contacto de primer orden, es

decir que f ' ( a ) g' ( a )= ; debiendo ser f '' ( a ) g'' ( a )≠ .

En general, si dos funciones f ( x ) y g( x ) tienen igual valor en un cierto punto a, y

además en ese punto tienen iguales las derivadas primera, segunda, ..., n-ésima, siendo diferentes

las derivadas de orden ( )1n + , se dice que las curvas tienen un contacto de orden n.

Para asegurar que dos curvas tienen un contacto de orden n habrá que calcular las

derivadas sucesivas y verificar que en el punto común coinciden los valores de las derivadas

sucesivas hasta el orden n.

Definición:

Dos curvas, correspondientes a funciones que tienen derivadas de orden ( )1n + en el punto a,

tienen un contacto de orden n en el punto ( )a; f ( a ) si y sólo si coinciden los valores de las n

primeras derivadas en dicho punto y existen y son diferentes las derivadas de orden ( )1n + .

Ejemplo:

Las funciones f(x) = e x y g(x) = sen x + cos x, tienen un contacto de primer orden en a

= 0, pues f(0) = g(0) y f’(0) = g’(0), mientras que f ”(0) = 1 y g ”(0) = -1.


20

Verifique que las curvas y = Ch x e y x= +12

12 tienen un contacto de tercer orden

en el punto (0 ;1).

APROXIMACIÓN DE FUNCIONES

Los polinomios en una variable, con coeficientes reales, determinan funciones simples

que tienen la propiedad de ser derivables. Si el polinomio es de grado n, admite n polinomios, no

nulos que son sus derivadas sucesivas.

En muchas ocasiones, resulta conveniente aproximar una función derivable no

polinómica, mediante un polinomio particularmente elegido, y precisar la aproximación o error

que se comete al reemplazar el valor de la función en un punto cualquiera x de su dominio, por el

valor, en el mismo punto, del polinomio seleccionado. Es decir, si f es la función considerada y p

el polinomio que la reemplaza, interesa conocer, para el número x del dominio, el valor de la

diferencia

R(x) = f(x) - p(x)

Si una función f tiene n derivadas sucesivas finitas en un punto a, existe y es único el

polinomio de grado n cuyas derivadas sucesivas coinciden con las derivadas de la función f. Para

comprobarlo, consideramos previamente la expresión de los coeficientes de un polinomio

cualquiera, utilizando sus derivadas sucesivas.

Polinomio de Taylor

Sea p la función polinómica de grado n y coeficientes reales A0, A1, A2, .....An.

Es decir p x A A x A x A x A xnn( ) ....= + + + + +0 1 2

23

3

Si a es un número real cualquiera, siempre es posible expresar el polinomio p según

potencias del binomio ( )x a− , para lo cual basta efectuar las divisiones sucesivas por dicho

binomio.


21

Se obtiene así una expresión del tipo siguiente:

( )p x a a x a a x a a x a a x ann( ) ( ) ( ) ( ) ...= + − + − + − + + −0 1 2

23

3

O sea ∀ ∈ = + − + − + − + + −x R p x a a x a a x a a x a a x ann: ( ) ( ) ( ) ( ) .... ( )0 1 2

23

3 (1)

Calcularemos la n derivadas sucesivas:

′ = + − + − + − −p x a a x a a x a na x ann( ) ( ) ( ) .... ( )1 2 3

2 12 3

′′ = + − + + − − −p x a a x a n n a x ann( ) ! ( ) ... ( ) ( )2 3 12 3

2

′′′ = + + − − − −p x a n n n a x ann( ) ! .... ( )( ) ( )3 1 23

3

..........................

..........................

p x n ann

( ) ( ) !=

En el punto x a= , las funciones determinadas por las expresiones anteriores alcanzan los

valores siguientes:

p a a p a a p a a p a a p a n ann( ) , ( ) , ( ) ! , ( ) ! , ...... , ( ) !( )= ′ = ′′ = ′′′ = =0 1 2 32 3

Por lo tanto resulta:

a p a a p a a p a a p a a p a

nn

n

0 1 2 32 3= = ′ =

′′=

′′′=( ) , ( ) , ( )

!, ( )

!, ..... , ( )

!

( )

Reemplazando en (1), es:

p x p a p a x a p a x a p a x a p an

x an

n( ) ( ) ( )( ) ( )!

( ) ( )!

( ) ..... ( )!

( )( )

= + ′ − +′′

− +′′′

− + + −2 3

2 3

que recibe el nombre de Polinomio de Taylor.


22

Si se considera ( )0

f ( x ) f ( x )= y se recuerda que 0 1! = , la expresión anterior puede

considerarse de la siguiente manera :

p x

p a x ahh

n h h

( )( ) ( )

!

( )

= ∑−

= 0

Si se elige, en especial, 0a = , el polinomio queda expresado en la forma

p x p p x p x pn

xn

n( ) ( ) ( ) ( )!

.......!

( )

= + ′ +′′

+ +0 0 02

2

p x ph

xh

n hh( ) ( )

!

( )

= ∑=0

0 que recibe el nombre de Polinomio de Mac Laurin.

1) Escribir 3 2

p(x) = 3 x - 13 x + 14 x + 7 según potencias de ( )2x − 2) Desarrollar en potencias de x − 2b g el polinomio P x x x x x( ) = − + + +4 3 25 5 2. 3) Desarrollar en potencias de x +1b g el polinomio Q x x x x x( ) = + − + +5 4 22 1.

Fórmula de Taylor

Sea f una función con n derivadas sucesivas finitas en cualquier punto de un intervalo I. Si

a ∈ I, dichas derivadas finitas en a son :

′ ′′f a f a f an( ) , ( ) , . . . . . . , ( )( )

Y sea p(x) un polinomio de grado n, que tiene un contacto de orden n en x = a con f(x),

entonces su polinomio de Taylor correspondiente será :

p x p a p a x a p a x a p a x a p an

x an

n( ) ( ) ( )( ) ( )!

( ) ( )!

( ) ..... ( )!

( )( )

= + ′ − +′′

− +′′′

− + + −2 3

2 3 (2)

pero, por tener f(x) y p(x) un contacto de orden n en x = a es :


23

f a p a f a p a f a p a f a p an n( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ......, ( ) ( )( ) ( )= ′ = ′ ′′ = ′′ =

reemplazando en (2) se obtiene:

p x f a f a x a f a x a f a x a f an

x an

n( ) ( ) ( )( ) ( )!

( ) ( )!

( ) ..... ( )!

( )( )

= + ′ − +′′

− +′′′

− + + −2 3

2 3

que es el polinomio de Taylor correspondiente a la función f en el punto a. Sus n derivadas

sucesivas coinciden, en el punto a, con las derivadas de la función f.

Designemos por R(x) la diferencia entre los valores de la función dada, f(x), y del

polinomio calculado p(x) :

R (x) = f(x) - p(x)

de donde obtenemos : f(x) = p(x) + R(x)

en forma desarrollada

f x f a f a x a f a x a f a x a f an

x a R xn

n( ) ( ) ( )( ) ( )!

( ) ( )!

( ) ..... ( )!

( ) ( )( )

= + ′ − +′′

− +′′′

− + + − +2 3

2 3

El término R(x) se conoce como resto de Taylor o Término complementario y su valor

depende de n. Para aquellos valores en el que el término complementario R(x) es pequeño, el

polinomio p(x) da un valor aproximado de la función f(x). Así pues, la fórmula dada permite

sustituir la función y = f(x) por el polinomio y = p(x) con el grado correspondiente de precisión,

igual al valor del término complementario R(x). Si n = 1, es decir, si se considera el polinomio de

Taylor de primer grado, la aproximación obtenida se llama aproximación lineal, si n = 2, es

decir, si el polinomio es de segundo grado, la aproximación es cuadrática, etc.

La expresión del resto de Taylor es:

( )R x x a

nf c

nn( ) ( )

!( )

( )( )=

−+

++

11

1


24

Como c está comprendido entre x y a, puede ser representado c = a + θ (x - a)

donde , θ es un número comprendido entre 0 y 1, es decir, 0 < θ < 1. En este caso la

fórmula del término complementario toma la forma:

( ) ( )( )R x x an

f a x an

n( ) ( )!

( )( )=

−+

+ −+

+1

1

1θ

y la fórmula de Taylor con el resto será :

( ) ( )( )

f x f a f a x a f a x a f a x a f an

x a

x an

f a x a

nn

nn

( ) ( ) ( )( ) ( )!

( ) ( )!

( ) ..... ( )!

( )

( )!

( )

( )( )

= + ′ − +′′

− +′′′

− + + − +

+−+

+ −+

+

2 3

1

2 3

11 θ

Si a = 0, se tiene la fórmula de Mac Laurin con la expresión del resto:

( )f x f f x f x f x f

nx x

nf x

nn

nn( ) ( ) ( ) ( )

!( )!

..... ( )! !

( )( ) ( )

( )= + ′ +′′

+′′′

+ + ++

++0 0 0

20

30

12 3

11 θ

donde es 0 < θ < 1, con lo cual resulta 0 < θ x < x.


25

1) Aplique la fórmula de Taylor a la función y x= cuando 1 3a ;n= = .

2) Obtener cuatro términos del desarrollo de y x= cos en serie de potencias de

x −FHGIKJ

π4

.

3) Desarrollar y x= sen en una serie de potencias de h cuando x pasa de

x x h0 0a + .

4) Obtener tres términos del desarrollo de y x= tg en una serie de potencias de

x −FHGIKJ

π4

.

5) Analizar si el desarrollo de la función dada es correcto:

1 12 8 16 1

2 3

52

+ = + − ++

x x x x

xθb g

6) Verificar el siguiente desarrollo en a = 0 :

ln 12 3 4 5 1

2 3 4 5

5+ = − + − ++

x x x x x xx

b g b gθ

7) Escribir el polinomio de Taylor de tercer grado de la función y x= cos en el

punto x = π6

, expresando el término complementario en la forma de Lagrange.

8) Obtenga el desarrolla de Mac Laurin para las funciones: y e y x y x e y xx= = = = +, sen , cos ln( )1 .

9) Represente en un mismo gráfico cartesiano la función y = e x y los polinomios de grado cero, primero, segundo y tercero que se aproximan a la función mediante la fórmula de Taylor.

EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN

Se llaman valores extremos de una función los máximos y mínimos locales o absolutos

de la misma.

Para encontrar los extremos locales de una función se puede recurrir a su definición,

investigando los valores que alcanza la función en distintas partes del dominio.


26


27

En algunos casos esto puede resultar sencillo, como sucede en el siguiente ejercicio:

Encuentre máximos y mínimos locales y absolutos de: f xx

( ) =+

1

42

Grafique.

En la mayoría de las funciones, sin embargo, no es posible localizar extremos por

comparación de valores.

Si en el ejercicio anterior encontramos la derivada primera de la función, vemos que su

extremo coincide con el punto que posee derivada primera nula.- Esta circunstancia hace pensar

que toda función alcanza un extremo en aquellos puntos donde la gráfica posee tangente

horizontal.

Esta idea no es correcta, pues una función puede alcanzar un máximo o un mínimo en un

punto donde no existe la derivada, es decir que no hay tangente, como sucede con f(x) = ⏐x⏐.

Puede suceder también que una función posea un extremo en un punto donde la tangente

sea vertical, es decir con derivada infinita.

Por lo tanto en este caso, igual que en el anterior, puede decirse que la función posee

extremos en puntos donde no tiene derivada finita.

Un punto anguloso y un punto cuspidal son extremos locales de una función.

También puede suceder que el gráfico tenga tangente horizontal en un punto del mismo y el

valor de la función no sea ni máximo ni mínimo local, como sucede con la función y = x 3 .-

Esta función tiene derivada nula en x = 0, pero no es este punto un extremo local.

Por lo tanto, la condición de derivada nula en un punto no asegura la existencia de extremo

en el mismo.- Pero si una función derivable tiene un extremo en un punto interior a su dominio,

entonces dicha derivada es nula.


28


29

La anulación de la derivada primera de una función es condición necesaria para la existencia de

un máximo o mínimo local si la función es derivable y el punto correspondiente es interior al

dominio de la misma.-

El recíproco no es cierto, es decir que la existencia de derivada primera nula en un punto no

indica la existencia de un extremo local en el mismo. Por lo tanto debemos buscar criterios que

permitan localizar extremos y aseguren la existencia de los mismos.

Criterios para determinar extremos locales

Criterio uno: Estudio de los valores de la función

?

¿Cómo define Ud. a un máximo local? ¿Y a un mínimo?

Si c es un punto interior al dominio de una función derivable f y 0f ' ( c ) = ,o donde la

función no posee derivada, para saber si f ( c ) es un máximo local pueden considerarse los

valores de f en un entorno de c y ver si satisfacen la definición.

La misma idea puede utilizarse para encontrar mínimos locales.

Encuentre máximos y mínimos locales utilizando el criterio anterior para la función: f x x x( ) = −3 12

En general este método no resulta sencillo, pues exige numerosos cálculos y además puede

guiar a conclusiones falsas si se toman solamente algunos puntos aislados del entorno.


30

Criterio dos: Variación del signo de la derivada primera

Si f es una función derivable, c es un punto interior a su dominio donde se anula f ' y

existe un entorno de c, tal que para todo x en el semientorno a izquierda de c es 0f ' ( x ) > , y

para todo x perteneciente al semientorno a derecha de c es 0f ' ( x )< , entonces f ( c ) es un

máximo local de f.

O sea,

∃ E(c,δ) / ∀x :[ (x ∈ (c - δ;c) ⇒ f ’(x)> 0) ∧ (x ∈(c;c + δ)⇒f ’(x)<0)]⇒f(c) es un máximo

local

Podemos resumir diciendo que si la derivada primera de la función pasa de positiva a

negativa cuando x pasa de izquierda a derecha del punto c , entonces f(c) es un máximo local.

1) Análogamente demuestre el criterio para determinar un mínimo local y

simbolice.

2) Encuentre por este método los extremos locales de 3 12f ( x ) x x= − .

3) Determine los extremos locales de las funciones dadas mediante el uso de

este criterio:

a) g x x x( ) = + 1 b) 2

11h( x )x

= −

c) x

t( x ) x .e−

= d)

35k( x ) x=

Criterio tres: Signo de la derivada segunda

Si f es una función derivable, c es un punto interior a su dominio, donde se anula f ' y

existe 0f '' ( c ) < , entonces f ( c ) es un máximo local en f.


31

Demostración:

Sea f c limf x f c

x cx c' ' ( )

' ( ) ' ( )==

−−

<→

0

Por una propiedad del límite finito sabemos que si una función tiende a un número distinto

de cero cuando x tiende a a , en un entorno reducido del punto la función posee el mismo signo

que el límite. (Ver propiedades del límite finito - Módulo 3)

Es, por lo tanto: ∃ ∀ ∈ ⇒−−

<E c x x E cf x f c

x c' ( ) / . ( ' ( )

' ( ) . ' ( )0

Como 0f ' ( c )= , es f xx c

' ( )−

< 0

Para que este cociente sea negativo, numerador y denominador deben tener signos

opuestos, o sea:

para x a izquierda de c, 0 0x c f ' ( x )− < ⇒ >

para x a derecha de c , 0 0x c f ' ( x )− > ⇒ <

Por el criterio de la primera derivada, f ( c ) es un máximo local.

1) Análogamente demuestre el criterio para determinar un mínimo local y

simbolice.

2) Encuentre por este método los extremos locales de f x x x( ) = −3 12 .

3) Obtenga extremos locales, usando este criterio, en las funciones:

a) r(x) = x 3 + x 2 - 5 x - 5 b) s (x) = x 5 - 5 x 3

c) t(x) = 1 - x 1 / 3

4) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

g x x x( ) = − +3 3 1


32

5) Determinar los extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento

de la función f x x x( ) = −4 26 .

6) Determinar los extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento

de la función 3 2

3 24 32f ( x ) x x x= − − + .

7) Encuentre extremos relativos de:

a) 3 2

6 9 8f ( x ) x x x= − + − b) 4 3 2

2 3 4 4g( x ) x x x x= + − − +

c) 3 3h( x ) x

x= + c)

3 23 24 32k( x ) x x x= − − +

d)

2

2

2

1 1

4 5 1 3

8 17 3

x si x

m( x ) x x si x

x x si x

⎧ + <⎪⎪⎪= − + ≤ ≤⎨⎪⎪ − + >⎪⎩

8) La resistencia de una viga rectangular es directamente proporcional al producto

del ancho por el cuadrado de la altura de su sección transversal. Halle las

dimensiones de la viga más resistente que se pueda extraer de un tronco circular

de radio a.

9) Una pila eléctrica que tiene un voltaje fijo V y una resistencia constante r se

conecta a un circuito que tiene resistencia variable R , según indica la figura. Por

la ley de Ohm, la corriente I en el circuito es ( )

VIR r

=+

. La potencia de salida

P está dada por 2

P I .R= . Demuestre que la potencia máxima se alcanza

cuando R r= .

R


33

10) Para un producto de un fabricante, la función de ingreso está dada por

2 3240 57r q q q= + − . Determinar la producción para que el ingreso sea

máximo.

11) La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es 80

4q

p−

= , en

donde q es el número de unidades y p es el precio por unidad. ¿Para qué valor de

q habrá un ingreso máximo, sabiendo que el ingreso es r p q= ⋅ ?.¿Cuál es

dicho ingreso máximo?

12) La función de costo total de un fabricante está dada por 2

3 4004

qC q= + + , en

donde q es el número de unidades que se fabrican. ¿A qué nivel de producción

los costos promedios por unidad serán mínimos? ¿Cuál es ese mínimo?

13) De acuerdo con el Distrito de Control de Calidad del aire, el nivel de dióxido de

nitrógeno, un gas oscuro que dificulta la respiración, presente en la atmósfera de

Los Ángeles está dado por ( )3 40 03 7 60 2A( t ) , t t ,= − + con 0 7t≤ ≤ ; donde

A( t ) se mide en un índice estándar de contaminación y t se mide en horas, con

0t = correspondiente a las 7 a.m. ¿En qué momento del día aumenta la

contaminación y en qué momento disminuye?

14) Un fabricante determina que m empleados de cierta línea de producción

fabricarán q unidades por mes, en donde 2 480 0,1q m m= − . Para lograr la

máxima producción mensual, ¿cuántos empleados se deben asignar a la línea de

producción?

15) La función de demanda para cierto bien está dada por la función 315.q

p e−

=

para 0 8q≤ ≤ , donde p es el precio por unidad y q la cantidad de unidades

pedidas. Determine el precio p y la cantidad q para los cuales el ingreso es

máximo.


34

16) Para el producto de un monopolista, la función de demanda es 72 0 04p , q= − y

la función de costo es 500 30c q= + . ¿A qué nivel de producción se maximiza

la utilidad? ¿A qué precio ocurre esto y cuál es dicha utilidad?

17) Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro.¿ Cuáles son las medidas de los lados

del rectángulo que dan el área máxima?

18) Doblar un trozo de alambre de longitud L, de manera que forme un rectángulo

cuya área sea la mayor posible.

19) Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un

triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 3 metros. ¿Cuál debe ser la

longitud de la base del rectángulo para que la ventana tenga el área máxima?

20) Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes

superior e inferior deben tener 2 cm. cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las

dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.

GENERALIZACIÓN

Supongamos que no solo son nulas la primera y la segunda derivada sino que se cumple

que:

'" IV ( n )f '( a ) f "( a ) f ( a ) f ( a ) ........ f ( a )= = = = = mientras que

10

( n )f ( a )

+≠

Siempre que f ( x ) tenga derivadas continuas hasta el orden ( )1n + inclusive, en el

entorno del punto x a= .

Se puede demostrar que: 1

Si la primer derivada no nula ( 1)( )nf a+ es de orden par y positiva, hay un mínimo relativo en

x a= .

1 N.Piscunov- Cálculo diferencial e integral 4ta edición-Tomo I –Editorial Mir-Moscu- Pág. 185


35

Si la primer derivada no nula ( 1)( )nf a+ es de orden par y negativa, hay un máximo relativo en

x a= .

Pero

Si la primer derivada no nula ( 1)( )nf a+ es de orden impar hay un punto de inflexión en x a=

Ejemplo: Analizar el máximo y el mínimo de la función 4 3 2

4 6 4 1f ( x ) x x x x= − + − +

Si derivamos 3 2 3 2

4 12 12 4 4 3 3 1f ' ( x ) x x x ( x x x )= − + − = − + −

Aplicamos condición necesaria para extremo:

3 24 3 3 1( x x x )− + − = 0 obtenemos el único punto crítico x = 1 (la ecuación tiene solo una

raíz real)

212 24 12f " ( x ) x x= − + pero 1 0f " ( ) =

24 24f ´´´ ( x ) x= − pero 1 0f ´´´ ( )=

24 0IV

f ( x )= > para todo x

Para x = 1 la función tiene un mínimo.

Esto se verifica realizando su representación gráfica:

-2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1


36

EXTREMOS ABSOLUTOS

En la mayoría de los problemas de matemática aplicada interesa obtener los extremos

absolutos que alcanza una función en su dominio o en algún intervalo, determinado generalmente

por las condiciones del problema.

Si el máximo o el mínimo absolutos corresponden a una función derivable y la función

alcanza dichos valores en puntos interiores al conjunto considerado, entonces los extremos

absolutos serán, al mismo tiempo, locales o relativos.- En este caso se obtendrán los extremos

locales por alguno de los métodos estudiados y después se analizará cuáles de ello son, a la vez,

absolutos.

Puntos críticos

Al buscar los extremos absolutos de un función definida en un conjunto acotado, puede

suceder que los locales no sean los valores máximos ni mínimos de la función en dicho conjunto;

pues la función puede tomar valores mayores o menores que los anteriores en los extremos del

intervalo.

Además si la función que se estudia no es derivable en algún punto, se debe tener en cuenta

el valor de la función en dicho punto.-(Ver f(x) = | x | )

Por ello , debemos considerar los distintos tipos de puntos en el análisis de los extremos

absolutos de una función, los que se denominan puntos críticos.

Definición:

Si f es una función continua, definida sobre un intervalo, el punto c es un punto crítico de f en

dicho intervalo si se cumple una de las siguientes condiciones:

1) c es interior al intervalo y f ’ existe y es nula en c

2) c es interior al intervalo y f no es derivable en c

3) c es uno de los extremos del intervalo


37

1) Encuentre los extremos absolutos de las funciones dadas en los intervalos

indicados:

a) f ( x ) = - x 2 + 6 x [ 1 ; 4 ]

b) f ( x ) = x 2 / 3 [ 2 ; 5 ]

c) f ( x ) = x 3 - 6 x 2 + 2 [ -3 ; 2 ]

d) f ( x ) = x 2 - 2 ⏐x⏐ [ - 2 ; 3 ]

2) Trace la gráfica aproximada de una función derivable f que satisfaga las

siguientes condiciones:

5 0 0 0 5 0 0 5 0 5f ' ( ) ; f ' ( ) ; f ' ( ) ; f ' ( x ) si x ; f ' ( x ) si x− = = = > > < <

3) Hallar un número que pertenezca al intervalo [ ]0 1; , tal que la diferencia entre el

número y su cuadrado sea un máximo.

4) Una larga lámina rectangular de metal de 12 pulgadas de ancho, se va a

convertir en un canalón para lluvia doblando dos lados hacia arriba, de manera

que queden perpendiculares al resto de la lámina. ¿De cuántas pulgadas debe ser

lo doblado para que el canalón tenga la máxima capacidad?

5) Los puntos A y B son opuestos entre sí en las márgenes de un río de cauce recto

y con 3 km. de ancho.- El punto C está en la misma margen de B, pero a 2 km.

río abajo respecto de dicho punto.- Una compañía de teléfonos desea tender un

cable desde A hasta C. Si el costo por kilómetro de cable es 25% mayor por

abajo del agua que por tierra, ¿qué línea de cable será la más económica para la

compañía?

2 km

3 km

B C

A


38

6) Un campo rectangular va a ser cercado a lo largo de la orilla de un río; por lo

que no se necesita cerca en ese lado. Si el material de la cerca cuesta $8 el metro

lineal para los dos extremos y $12 para el lado paralelo al río, hallar las

dimensiones del campo de mayor área posible que puede ser cercado con un

costo de $3600.

7) Una granja desea hacer tres corrales idénticos consecutivos con 80 metros de

tela de alambre. ¿Qué dimensiones debe tener el cercado total para que el área

de los corrales sea máxima?

8) La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es 80

4q

p−

= , donde

q es el número de unidades producidas y p es el precio por unidad. Si el nivel de

producción de la fábrica no puede exceder las 80 unidades, para qué valor de q

se tendrá el ingreso máximo? ¿Cuál es dicho ingreso?

9) Una empresa de televisión por cable tiene actualmente 2000 suscriptores que

abonan una cuota mensual de $20. Una encuesta reveló que se tendrían 50

suscriptores más por cada $0,25 de disminución en la cuota. ¿Cuál es el monto

de la cuota que permite obtener el ingreso máximo y cuántos suscriptores se

tendrían entonces?

10) El costo por hora C de operación de un automóvil está dado por 2

0 12 0 0012 0 08C , s , s ,= − + , donde s es la velocidad en millas por hora. ¿Si la

reglamentación vigente no permite circular a más de 60 millas por hora, a qué

velocidad el costo de operación es mínimo?

11) Se desea armar un stand rectangular para una exposición. La superficie

disponible es de 2

50 m y se rodeará con paneles los dos extremos ( y ) y uno

de sus lados más largos ( x ). Si cada panel tiene un metro lineal de ancho y

cuesta $80, encontrar la expresión que da el costo fijo en función del lado de

mayor longitud. Sabiendo que la profundidad “y” del stand debe estar

comprendida entre 2 metros y 6,25 metros, determinar la longitud del mayor

lado x posible.


39

12) Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de

ellas un círculo y con la otra un cuadrado. ¿ Cómo debe ser cortado el alambre

para que:

a) la suma derivada las áreas de las dos figuras sea máxima?

b) la suma derivada las áreas de las dos figuras sea mínima?

13) En una carretera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A

hasta el oasis P situado a 500 kilómetros de distancia de A. Puede aprovecha

para ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una

velocidad de 100 Km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60

Km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las

ciudades A y B es de 300 Km., determina la ruta que deberá usar para ir de A a

P en el menor tiempo posible.

14) Un depósito abierto de latón con base cuadrada y capacidad para 4.000 litros,

¿qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica

posible?

CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXIÓN

El concepto de concavidad es útil para describir el comportamiento de la gráfica de una

función derivable f.

Si f ’(c) existe, entonces la gráfica de la función tiene una recta tangente t con pendiente

f ’(c) en el punto P ≡ (c ; f(c) ).- La siguiente figura ilustra tres casos que pueden ocurrir si

f ’(c )> 0, presentándose situaciones similares si f ’(c ) < 0 o bien f ’(c ) = 0.


40

y t y t y t P P P x x x a c b a c b a c b Fig.1 Fig.2 Fig.3

En la figura 1 se dice que en el intervalo ( a ; b ) la gráfica esta “arriba” de la recta tangente

en P. En la figura 2 la gráfica está “abajo” de la recta tangente. Y en la figura 3 no está ni “arriba”

ni “abajo” de dicha recta, sino que la corta en dicho punto.

Para describir las gráficas anteriores decimos:

Definición:

Sea f una función que es derivable en el punto c,

1) La gráfica de f tiene concavidad hacia arriba o positiva (es cóncava)en el punto P ≡ (c ; f(c) ),

si existe un intervalo abierto ( a ; b ) que contiene a c , tal que en ( a ; b ) la gráfica de f esté

por encima de la recta tangente en P.

2) La gráfica de f tiene concavidad hacia abajo o negativa (es convexa)en el punto P ≡(c ; f(c) ),

si existe un intervalo abierto ( a ; b ) que contiene a c , tal que en ( a ; b ) la gráfica de f esté por

debajo de la recta tangente en P.


41

Si analizamos las siguientes gráficas:

Vemos que en el intervalo ( )a;d la función y = f ( x ) es una función convexa, y su

derivada primera es una función decreciente, siendo por lo tanto su derivada segunda en cualquier

punto de dicho intervalo una función que toma valores negativos.

a b x

y y f ( x )=

c d e

A C

D E

B

a b x

y’ y f ' ( x )=

c d e

A C

D E

B

+

−

+

b x

y’’ y f '' ( x )=

c d e

A C D E B

a

− +


42

En el intervalo ( )d ;b , en cambio, la función y = f ( x ) es una función cóncava, y su

derivada primera es una función creciente, siendo por lo tanto su derivada segunda en cualquier

punto de dicho intervalo una función que toma valores positivos.

Conclusión:

Sea f una función derivable en un intervalo abierto que contiene a la abscisa c, tal que f ’’ existe:

1) Si f ’’ > 0, la gráfica tiene concavidad hacia arriba en P ≡ (c ; f(c) ).

2) Si f ’’< 0, la gráfica tiene concavidad hacia abajo en P ≡ (c ; f(c) ).

Un punto tal como el D en el cual la función pasa de convexa a cóncava, es decir que

invierte su concavidad pasando de negativa a positiva o viceversa, se denomina punto de

inflexión.

Como se observa en la gráfica la f ’’ en D ≡ ( d ; f (d)) es nula; pues el signo de la

derivada segunda se invierte al pasar de la izquierda a la derecha de D.

Definición:

Un punto D ≡ ( d ; f (d) ) en la gráfica de una función f es un punto de inflexión si f ’’ existe en

un intervalo cualquiera (h;k) que contiene a d y f ’’ cambia de signo en d. Esto implica que el

valor numérico de f ’’ en D es igual a cero.

El croquis de la siguiente figura muestra algunos puntos de inflexión típicos en una gráfica:

y B P Q A M N x a m n p q b


43

En el intervalo ( )a;b existe cuatro puntos de inflexión: M, N, P y Q, resultando de esta

manera:

intervalos de concavidad: ( ) ( ) ( )a;m n; p q;b∪ ∪

intervalos de convexidad: ( ) ( )m;n p;q∪

Obsérvese que un punto cuspidal puede ser o no un punto de inflexión y que un punto de

inflexión de una función puede ser un punto con derivada primera nula como el Q, o con derivada

infinita como el M y el N.

1) Determine los intervalos de concavidad positiva y negativa y halle los puntos de

inflexión, si existen de:

a)3 2

f(x) = x + x - 5 x - 5 b) 2 4

f ( x ) = 12 - 2 x - x

c)5 3

g ( x ) = x - 5 x d) f x xx

( ) = −22

27

e) 2

1

xf ( x )x

=⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

f) ( )33 4f ( x ) x= − +

g) 1f ( x )x

= h) 2

22

2 1

x xf ( x )x x

+ −=

− +

2) Demuestre que la gráfica de la ecuación de demanda 1002

pq

=+

es decreciente y

cóncava hacia arriba para 0q > .

3) Si 3 2

2 3 2f ( x ) x x x= + − + , halle f ' ( x ) y f '' ( x ) . Muestre que en el punto

donde f’ tiene un mínimo relativo, f cambia su curvatura. ¿Por qué?

4) Dada la función 2

1x

f ( x ) x .e−⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠, encontrar los puntos de inflexión y los

intervalos de concavidad y convexidad. Representar la función con ayuda del

software para los cálculos.


44

1) Hallar la pendiente de la recta tangente a la parábola y = 4 x2:

a) en el origen b) en el punto ( 2;16)

2) ¿Una tangente a la parábola cúbica y = x 3, puede formar un ángulo obtuso con

el semieje positivo de las x?

3) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva x 2 - y 2=7 en el

punto (- 4 ; 3 ).

4) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva 3x y+ = en el punto

( )4;1

5) ¿En qué puntos de la curva x2 + 4 x y + 16 y 2 = 27 la tangente es horizontal o

vertical.

6) Hallar en qué puntos la tangente a la curva y = x 3 + 5 es:

a) paralela ala recta 12 x - y = 17 b) perpendicular a la recta x + 3y

= 2

7) ¿En qué puntos de la curva y = 2 x 3 + 13 x 2 + 5 x + 9 sus tangentes pasan por el

origen.

8) Dada la curva y = xx

−−

12

determinar las ecuaciones de las rectas tangente y

normal a ella en (3 ; - 2).

9) Determine las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las curvas dadas en

los puntos indicados:

a) x ty t en t== + =

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

1 2 b)

x ty t en t== =

⎧⎨⎩

sencos /

23π

10) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 2 11

x ty t

⎧ = −⎨= +⎩

( t ≠ -1), en el punto

de la misma que tienen iguales su abscisa y ordenada.


45

11) Escribir las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva 2

12

txt

y t t

−⎧ =⎪ +⎨⎪ = −⎩

para

2t = .

12) Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva 3 32 2 9 0x y xy+ − = en el

punto ( )2;1

13) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva ( )2

2 2 216

sen x y y x π− + = − en

el punto 2,4π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

.

14) Determinar el valor de k que hace que la función 2( )xef x

x k=

+ tenga un único

punto de tangente horizontal.

15) Calcular un punto del intervalo[ ]1;3 en el que la tangente a la curva

3 2 2y x x= − + sea paralela a la recta determinada por los puntos (1,2)A = y

(3,20)A = . ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?

16) Verifique el teorema de Rolle para las siguientes funciones en los intervalos

dados:

[ ] [ ][ ]

a f x x x en b f x en

c f x x x en

x) ( ) ; ) ( ) ;

) ( ) ;

sen= − + =

= − +

2

23

6 5 1 5 4 0

3 2 1 2

π

17) Aplique el Teorema de Rolle:

La temperatura (en grados centígrados) de un pequeño animal sometido a un proceso

infeccioso varía en un lapso de 4 horas de acuerdo con la siguiente ley: 2( ) 30 4T t t t= + − , donde T es la temperatura y t el tiempo medido en horas.

Demuestre que en algún instante del lapso [0; 4] la velocidad de variación de T fue

nula. ¿Cuál es ese instante de tiempo.


46

18) Dada 3( ) 9 1h x x x= − + que cumple con las hipótesis del Teorema de Rolle en

[ ]0;b , hallar b y el punto c que verifica el teorema.

19) Verificar la fórmula de Lagrange para las funciones dadas en los intervalos

indicados:

[ ] ( ) [ ][ ]

a f x x en b f x x x en

c g x x en e

) ( ) ; ) ( ) . ln ;

) ( ) ln ;

= − = −

=

3 1 5 1 1 4

1

20) Verificar el Teorema de Cauchy para:

[ ]5 4 13

f ( x ) x en ;g( x ) x

⎧ = +⎪ − −⎨= +⎪⎩

21) Resolver aplicando regla de L’Hospital:

( )

( )

2

20 0 0

10 0

1 2 2

0

111

1 1 11 12

2

x

xx x x

sen x/ xxx x x

xtga /

ln xx ax

sen x ln(cos ax ) a a ln aa ) lim b ) lim c ) limarc tg x ln(cos bx ) ln bb b

d ) lim x( e ) e ) lim f ) lim cot gxx e

xg ) lim x e h ) lim ea+

→ → →

→∞ → →

π⎛ ⎞⎜ ⎟ π⎝ ⎠

→→

−= = =

−⎛ ⎞

− = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

22) Aplica la regla de L’Hospital:

a) 2 40lim

2 4

x

x

e senx xx x→

−=

+ b )

1ln 1lim 1x

xx

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

→∞=

c) ( )cos

2

1 x

xlím senx

π→

− = d) 0

1lim cot ( )x

g xx→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

− =

23) Desarrollar el polinomio x 3 + 3 x 2 - 2 x + 4 en potencias del binomio 1x + .


47

24) Encontrar el polinomio de Taylor de grado n para las funciones dadas, en los

puntos indicados y escribir el resto según la expresión de Lagrange:

( )

a f xx

a n b f x e a n

c f x x a n d g x x e a n

x

x

) ( ) ; ; ) ( ) ; ;

) ( ) ln cos ; ; ) ( ) . ; ;

=−

= = = = =

= = = = = =

−12

1 3 1 3

33 1

24π

25) Desarrollar la función y = e x por fórmula de Mac-Laurin.- Graficar en un

mismo sistema de ejes cartesianos la función exponencial y los polinomios

obtenidos a partir del desarrollo desde el de grado cero hasta el de grado 5.

Extraer conclusiones a partir de las gráficas.

26) Calcular el polinomio de Taylor de grado 4 para ( ) ( )f x xsen x= en 2

x π= .

27) Determine el polinomio de Taylor de orden 4 de ( )( ) cos 2f x sen x= para 0x = .

28) Sea { }: 0f − → tal que ( )24( )

x kf x

x+

= donde k es una constante.

a) Hallar los valores de k para los cuales f tiene un punto crítico en 3x = .

b) Para los valores de k hallados en el inciso anterior, determinar si f alcanza

un extremo relativo en 3x = y en caso afirmativo indicar de que tipo es.

29) La función 3 2( ) 2f x x x ax b= + + + presenta un máximo relativo en ( )1,6− .

Hallar a y b y averiguar si tiene algún otro extremo relativo.

30) Calcule los extremos relativos de la función ( )3 2( ) . 5 2f x x x= −


48

31) Realizar un estudio completo de las funciones:

( ) ( )( )

a f x x x x b g x x ex

c h x x x d j x x x

e k x xx

f z x x

g s x x arc x r x xex

) ( ) ) ( ) .ln

) ( ) cos ln cos ) ( )

) ( ) ) ( )

) ( ) tg ( )

/

/

= + − = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − = −

=+

= − +

= − =

3 2

2 3 2

22 3

5 1

8

49

8 1

2

32) La función de costo total para una planta de energía eléctrica se estima

mediante: c=16,68 + 0,125 q + 0,00439 q 2 , 20 ≤ q ≤ 90

en donde q es la producción total de 8 horas y c es el costo total del combustible

en pesos. Obtenga la ecuación del costo marginal y evalúela si q = 70.

33) Para una empresa la producción diaria q en el t-ésimo día de una corrida de

producción está por: q = 5000 ( )1 0 2− −e t, Obtenga la tasa de cambio de la

producción q con respecto a t en el décimo día.

34) La ecuación de demanda para un juguete es : p 2 x = 5000 . donde se venden x

juguetes por mes si el precio es de p unidades monetarias donde:

20 p = t 2 + 7 t + 100

¿Cuál será la intensidad esperada de cambio de la demanda después de 5 meses?

35) Un grupo de biólogos estudió los ingresos nutritivos que se observaron en ratas

a las que alimentó de acuerdo a una dieta que contenía un 10% de proteína. La

proteína estaba formada por yema de huevo y harina de semillas de algodón.

Variando el porcentaje p de yema en la mezcla de proteínas el grupo descubrió

que el aumento de peso promedio (en gramos) de una rata en un período era:

900( ) 16010

f p pp

= − −+ si 0 100p≤ ≤ .


49

Calcule:

a) El aumento máximo de peso y el porcentaje de yema necesario para

alcanzarlo.

b) El aumento mínimo de peso y el valor de p para el cual se produce.

36) Una decisión importante para muchas organizaciones es determinar el momento

óptimo para reemplazar su equipo. El costo de los mismos se compone, a

menudo, del costo de capital y el costo de operación. El primero es el costo de

compra menos el costo de recuperación y el segundo incluye chofer,

combustible y demás gastos de mantenimiento. Una compañía de taxis de una

gran ciudad quiere determinar cuánto tiempo debería conservar sus vehículos.

Cada taxi totalmente equipado cuesta $18.000, y la compañía estima que los

costos son función de x, o sea del número de kms. recorridos. El valor de

recuperación del automóvil se expresa mediante: S(x)=16.000 - 0,1 x

Ello significa que el automóvil disminuye su valor en $2000 tan pronto empieza

a ser conducido y luego su valor disminuye a una tasa de $0,10 por km. El costo

promedio de operación se estima mediante: O(x)=0,0000003 x + 0,15

Determine el nº de kms. que debe recorrer el taxi antes de ser reemplazado si se

desea minimizar la suma de los costos promedio de capital y de operación.-

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