Ecuaciones Diferenciales y Modelos Matemáticos.

Las leyes del universo están escritas en el lenguaje de las matemáticas. El

álgebra es suficiente para resolver muchos problemas estáticos, pero la mayoría de los fenómenos naturales más interesantes involucra cambios descritos por ecuaciones que relacionan cantidades que cambian.Debido a que la derivada dx/dt = f.(t) de la función f es la razón a la cual la cantidad x _ f(t) está cambiando respecto de la variable t independiente, es natural que las ecuaciones que involucran derivadas se usen frecuentemente para describir el universo cambiante. Una ecuación que relaciona una función desconocida con una o más de sus derivadas se llama ecuación diferencial.

La ecuación diferencial

involucra tanto la función desconocida x(t) como su primera derivada x.(t) = dx/dt.La ecuación diferencial

incluye la función desconocida y de la variable independiente x y sus dos primeras derivadas..

El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene tres metas principales:

1. Descubrir la ecuación diferencial que describe una situación física específica.2. Encontrar —exacta o aproximadamente— la solución apropiada de esa ecuación.3. Interpretar la solución encontrada.

En álgebra, por lo regular se buscan números desconocidos que satisfagan una ecuación tal como x3 _ 7x2 _ 11x _ 41 _ 0. En contraste, en una ecuación diferencial el reto es encontrar funciones desconocidas y _ y(x), para las cuales una identidad tal como y.(x) _ 2xy(x), esto es, la ecuación diferencial

se cumple en algún intervalo de números reales. Regularmente queremos encontrar,de ser posible, todas las soluciones de la ecuación diferencial.

Así, cada función de y(x), de la forma de la ecuación (1) satisface —y de este modoes una solución de— la ecuación diferencial

para toda x. En particular, la ecuación (1) define una familia infinita de diversas soluciones de esta ecuación diferencial, una para cada asignación de la constante arbitraria C. Por el método de separación de variables (sección 1.4) se puede demostrar que cada solución de la ecuación diferencial en (2) es de la forma de la ecuación.

Ley de Enfriamiento de Newton

La ley de enfriamiento de Newton puede establecerse de esta manera: La razón de cambio del tiempo (la razón de cambio respecto del tiempo t) de la temperatura T(t) de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura A del medio ambiente .. Esto es,

donde k es una constante positiva. Obsérvese que si T _ A, entonces dT/dt _ 0, por lo que la temperatura es una función decreciente de t y el cuerpo se está enfriando. Pero si T _ A, entonces dT/dt _ 0, por tanto, T está aumentando.

Así, la ley física se traduce en una ecuación diferencial. Si damos valores a k y A, podremos encontrar una fórmula explícita para T(t), y entonces —con la ayuda de esta fórmula— será posible predecir la temperatura que tendrá el cuerpo.

Ley de drenado de Torricelli

La ley de Torricelli establece que la razón de cambio respecto del tiempo de unvolumen V de agua en un tanque de drenado (fi g. 1.1.2) es proporcional a la raízcuadrada de la profundidad y del agua en el tanque:

donde k es una constante. Si el tanque es un cilindro con paredes verticales y unasección transversal de área A, entonces V _ Ay, por lo que dV/dt _ A _ (dy/dt). Eneste caso la ecuación (4) toma la forma

donde h _ k/A es una constante.

Modelos matemáticos

Nuestra breve presentación del crecimiento de la población en los ejemplos 5 y 6ilustra el proceso crucial del modelado matemático (fi g. 1.1.4), el cual involucra losiguiente:

1. La formulación en términos matemáticos de un problema del mundo real; estoes, la construcción de un modelo matemático.2. El análisis o solución del problema matemático resultante.3. La interpretación de los resultados matemáticos en el contexto original de lasituación del mundo real; —por ejemplo, respondiendo la pregunta postuladainicialmente.

Un modelo matemático consiste en una lista de variables(P y t) que describen la situación dada, junto con una o más ecuaciones querelacionen esas variables (dP/dt _ kP, P(0) _ P0) que se conocen o que se asumeque son ciertas. El análisis matemático consiste en res olver esas ecuaciones (aquí,para P como una función de t). Finalmente, se aplican estos resultados matemáticospara tratar de dar una respuesta a la pregunta original en el mundo real.

Un modelomatemático satisfactorio está sujeto a dos requerimientos contradictorios: debe sersuficientemente detallado para representar con relativa exactitud la situación real,también suficientemente simple para hacer práctico el análisis matemático. Si el modeloes muy detallado, de tal manera que representa por completo la situación física,entonces el análisis matemático puede ser difícil de aplicar. Si, por el contrario, elmodelo es muy simple, los resultados pueden ser tan imprecisos que no serían útiles.De este modo, hay una inevitable necesidad de equilibrar entre lo físicamente alcanzabley lo matemáticamente posible. La construcción de un modelo debe cubrir demanera adecuada este resquicio entre la realidad y lo posible, el paso más difícil ydelicado en el proceso. Por otra parte, deben encontrarse los caminos para simplificarel modelo matemáticamente sin sacrificar rasgos esenciales de la realidad.

Soluciones Generales y Particulares (implicitas).La ecuación K(x, y) _ 0 se llama comúnmente solución implícita de una ecuacióndiferencial si se satisface (en algún intervalo) con alguna solución y _ y(x) de laecuación diferencial. Pero obsérvese que una solución particular y _ y(x) de K(x, y)_ 0 puede satisfacer o no, la condición inicial dada. Por ejemplo, la derivación dex2 _ y2 _ 4 conduce a

de tal manera que x2 _ y2 _ 4 es una solución implícita de la ecuación diferencialx _ yy. _ 0, pero solamente la primera de las dos soluciones explícitas

satisface la condición inicial y(0) _ 2

Comentario 1. No debe asumirse que toda posible solución algebraicay _ y(x) de una solución implícita satisface la misma ecuación diferencial.

Comentario 2. De manera similar, las soluciones de una ecuación diferencialdada pueden ganarse o perderse cuando se multiplica o divide por un factoralgebraico.

Una solución de una ecuación diferencial que contiene una “constante arbitraria” se llama comúnmentesolución general de la ecuación diferencial; cualquier elección particular de un valorespecífico para C nos lleva a una sola solución particular de la ecuación.

Velocidad y aceleración

Una integración directa es sufi ciente para permitirnos resolver un importante númerode problemas relativos al movimiento de una partícula (o punto masa) en términos delas fuerzas que actúan sobre ella. El movimiento de una partícula a lo largo de unalínea recta (el eje x) es descrito por su función posición

conociendo su coordenada en el eje x para el t. La velocidad de la partícula se defi necomo

Su aceleración a(t) es a(t) _ v.(t) _ x..(t); en notación Leibniz,

La ecuación (6) puede aplicarse en forma de integral indefinida x(t) _ ∫ v(t)dto en forma de integral definida

la cual se reconocerá como un postulado del teorema fundamental de cálculo (precisamenteporque dx/dy _ v).

La segunda ley de movimiento de Newton dice que si una fuerza F(t) actúa enuna partícula y ésta la dirige a lo largo de su línea de movimiento, entonces

donde m es la masa de la partícula. Si se conoce la fuerza F, entonces la ecuaciónx..(t) _ F(t)/m se puede integrar dos veces para encontrar la función posición x(t) entérminos de sus dos constantes de integración. Estas dos constantes arbitrarias sonfrecuentemente determinadas por la posición inicial x0 _ x(0) y la velocidad inicialv0 _ v(0) de la partícula.

Aceleración constante. Por ejemplo, supóngase que la fuerza F, y por tanto laaceleración a _ F/m, son constantes. Entonces iniciamos con la ecuación

e integrando ambos lados de la ecuación, se obtiene

Se sabe que v _ v0 cuando t _ 0, y la sustitución de esta información dentro de laecuación anterior nos lleva al hecho de que C1 _ v0. Así

Una segunda integración da como resultado

y la sustitución de t _ 0, x _ x0 hace que C2 _ x0. Por tanto,

De este modo, con la ecuación (10) es posible encontrar la velocidad, y con laecuación (11) la posición de la partícula en cualquier tiempo t en términos de su

aceleración constante a su velocidad inicial v0 y su posición inicial x0.

Movimiento vertical y aceleración gravitacionalEl peso W de un cuerpo es la fuerza de la gravedad ejercida sobre el cuerpo. Así, lasustitución de a _ g y F _ W en la segunda ley de Newton F _ ma resulta en

para el peso W de la masa m en la superfi cie de la Tierra (donde g ≈ 32 ft/s2 ≈ 9.8m/s2). Por ejemplo, una masa de m _ 20 kg tiene un peso de W=(20 kg)(9.8 m/s2)= 196 N. De forma análoga, una masa m pesando 100 libras tiene un peso en el sistemamks de

Para estudiar el movimiento vertical es natural escoger el eje y como el sistemacoordenado para posición, donde frecuentemente y _ 0 corresponde al “nivel delpiso”. Si se selecciona la dirección hacia arriba como positiva, entonces el efecto dela gravedad en un movimiento vertical del cuerpo es para disminuir su altura y tambiénsu velocidad v _ dy/dt. En consecuencia, si se ignora la resistencia del aire,entonces la aceleración a _ dv/dt del cuerpo está dada po

Esta ecuación de aceleración proporciona un punto de inicio en muchos problemasque involucran un movimiento vertical. Integraciones sucesivas [como en las ecuaciones(10) y (11)] nos llevan a fórmulas de velocidad y de altura

Aquí y0 representa la altura inicial del cuerpo (t _ 0) y v0 su velocidad inicial.

Problema del nadadorLa fi gura 1.2.5 muestra un río de w _ 2a de ancho que fl uye hacia el norte. Lasrectas x _ a representan las orillas del río y el eje y su centro. Supóngase que la

velocidad vR a la cual el agua fl uye se incrementa conforme se acerca al centro delrío, y en realidad está dada en términos de la distancia x desde el centro por

Se puede utilizar la ecuación (18) para verifi car que el agua fl uye más rápido en elcentro, donde vR _ v0, y que vR _ 0 en cada orilla del río.Supóngase que un nadador inicia en el punto (_a, 0) de la orilla oeste y nadahacia el este (en relación con el agua) con una velocidad constante vS. Como se indicaen la figura 1.2.5, su vector de velocidad (relativo al cauce del río) tiene unacomponente horizontal vS y una componente vertical vR. En consecuencia, el ángulode dirección a del nadador está dado por

Sustituyendo en (18), debido a que tan a _ dy/dx, se obtiene la ecuación diferencial

para la trayectoria del nadador y _ y(x) conforme éste cruza el río.

Existencia y Unicidad de las soluciones

 

 

  Existencia y unicidad

Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:

1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema ? 2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única ? 3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la

determinamos ?

En ésta sección nos ocuparemos de las dos primeras interrogantes: existencia y unicidad y dejamos la determinación de solución para el próximo capítulo.

 

Ejemplo Dado el problema de valor inicial

no resulta difícil comprobar que es solución, pues separando variables e integrando obtenemos que

Y usando la condición inicial obtenemos que , con lo cual la

solución sería . Observe que al resolver la ecuación diferencial

dividimos por lo cual supone que , pero podemos verificar que

es solución, en este caso una solución singular. En conclusión, el problema de valor inicial dado tiene solución pero no es única, como poder predecir este comportamiento sin tener que resolverlo; el siguiente teorema nos da una respuesta parcial.

 

 

   Teorema

 

Sea tal que . Si y son

continuas en , entonces existe un intervalo abierto , centrado en y una

función definida en , que satisface el problema de valor inicial

 

Ejemplo:

En el ejemplo anterior tenemos que y , las cuales

son continual en el semiplano definido por ; por consiguiente, el teorema

garantiza que para cada punto con de ese semiplano, hay un

intervalo centrado en en el cual la ecuación diferencial tiene una solución única. Así por ejemplo, sin resolverlo sabemos que el problema de valor inicial

tiene solución única, mientras que para los problemas en donde el teorema no garantiza nada, es decir, podría suceder cualquier cosa: que no tenga solución, que tenga solución única o varias soluciones, como sucedió en el ejemplo anterior.

 

Ejemplo:

Hallar los valores de y para los cuales el teorema de existencia y unicidad garantiza que el problema de valor inicial

tiene solución única.

Como la derivada parcial y son continua en todo punto

donde , el teorema garantiza que existe una solución en el

conjunto .

El teorema de existencia y unicidad nos da una condición suficiente. Por lo tanto el hecho de que no se cumplan las hipótesis no nos permite concluir nada. Por otro lado, aunque el teorema nos asegure la existencia no nos garantiza que exista un método para llegar a ella, quizás, lo mejor que podamos hacer sea aproximarla.

Isoclinas

Si es necesario trazar manualmente el campo direccional de la ecuación diferencial

y '=f (x , y ), es útil observar que la pendiente y ' de la solución tiene valor constante en

todos los puntos de la curva f ( x , y )=c . Estas curvas se denominan curvas isoclinas. Para

ecuaciones relativamente simples es posible trazar el campo direccional dibujando unas

cuantas isoclinas y luego insertar los segmentos rectilíneos tangentes a la solución en

varios puntos de cada una.

Cuando se hace variar el parámetro c, obtenemos un conjunto de isoclinas en los

elementos lineales se constituyen adecuadamente. La totalidad de esos elementos

lineales se llama de diversos modos: campo de direcciones, campo direccional, campo

pendiente o campo de elementos lineales de la ecuación diferencial dx /dy=f (x , y), el

campo de direcciones recuerda las “líneas de flujo” de la familia de curvas de solución de

la ecuación diferencial de la cual obtenemos soluciones particulares como pueden ser los

puntos (0,1 ) ,(2,3) etc.

Ejemplos.

1. Para la ecuación y '=− y−sen (x)

Cuya solución general es y=sin ( x )+cos (x)

2+c e−x

El campo de direcciones se muestra en la figura

siguiente, junto con la gráfica de cuatro miembros de

la familia de soluciones (que llamamos curvas

isoclinas.) Se puede apreciar que tres de las curvas

convergen a una cuarta (onda verde en la pantalla).

Esta cuarta curva es la solución que se obtiene al

poner c=0, es decir y=¿)

2. En el caso de la ecuación y '=x−4 xy la solución general es

y= 14+c e−2 x2

Se ilustra el campo de direcciones y algunas curvas isóclinas: c=1 y c=−1.5

En resumen, en la gráfica del campo de direcciones de una ecuación diferencial se pueden

apreciar todas las soluciones de la ecuación dada. Por el teorema de existencia y unicidad,

cada curva solución se determina, ya sea dándole un valor a la constante c o de forma

equivalente, estipulando un punto (x¿¿0 , y0)¿ del plano por donde pasa la solución.

Representación gráfica de campo de direcciones (campo direccional, campo

pendiente o campo de elementos lineales)

Sea y '=x− y para los puntos (−1,1 ) , (0,1 ) y (1,1)

SOLUCIÓN

La pendiente de la curva en cualquier punto (x , y ) es

F ( x , y )=x− y. Asi:

La pendiente en el punto (−1,1 ) es y '=−1−1=−2;

La pendiente en (0,1) es y '=0−1=−1;

La pendiente en (1,1) es y '=1−1=0;

Identificar campos de pendientes para ecuaciones diferenciales

i ¿ y '=x+ y ii¿ y '=x iii¿ y '= y

SOLUCIÓN

a) En la figura “a)” se puede observar que la pendiente de cualquier punto a lo largo

del eje y es 0. La única ecuación que satisface esta condición es y '=x.

Así, la gráfica corresponde con ii¿.

b) En la figura “b)” se puede observar que la pendiente en el punto (1 ,−1 ) es0. La

única ecuación que satisface esta condición es y '=x+ y .

Así, la gráfica corresponde con i ¿ .

c) En la figura “c)” se puede observar que la pendiente de algún punto a lo largo del

eje x es 0. La única ecuación que satisface esta condición es y '= y .

Así, la gráfica corresponde con iii¿.

Mediante un campo de pendientes trazar una gráfica

Trazar un campo de pendientes para la ecuación diferencial

y '=2 x+ y

Usar un campo de pendientes para representar gráficamente la solución que pasa por

el punto (1,1 ).

SOLUCIÓN

Hacer una tabla que demuestre las pendientes en varios puntos. La tabla siguiente es un

pequeño ejemplo. Se deben calcular las pendientes de muchos puntos para el campo de

pendientes representativo.

x −2 −2 −1 −1 0 0 1 1 2 2

y −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1

y '=2 x+ y −5 −3 −3 −1 −1 1 1 3 3 5

A continuación, dibujar segmentos de rectas en los puntos con sus respectivas como se

muestra en la figura.

Duespues de dibujar el campo de pendientes, se comienza en el punto inicial (1,1) y se

mueve a la derecha en direccion del segmento.

A continuación, dibujar la curva solucion de (1,1)

Se puede notar que el campo de pendientes muestra que mientras x aumenta, y ' lo hace

hasta el infinito.

Ecuaciones diferenciales en variables separables

Suponga que puede escribir F(t,x) como el producto de dos funciones f(t) y g(x) que

dependen solo de t, una de ellas, y la otra depende de x. Esto es: f(t)g(x). Entonces, se

puede escribir

dxdt

=f ( t ) g( x ). Una expresión de esta forma es una ecuación diferencial de

variables separables.

Para resolver este tipo de ecuación se hace lo siguiente:

a) Se escribe

dxdt

=f ( t ) g( x )

b) Se separan las variables:

dxg ( x )

=f (t )dt

c) Se integra: ∫ dx

g( x )=∫ f ( t )dt

d) Se calculan las dos integrales

Nota: Todo cero (toda raíz) x = a de g(x) da lugar a la solución constante x(t) a

Ejemplo:

dxdt

= t3

x6+1

Se identifican las funciones: f(t) = t3; g( x )= 1

x6+1

Se separan las variables: (x6 + 1)dx = t3dt

Se integra: ∫ ( x6+1 ) dx=∫ t3dt

Queda

17

x7+x=14

t4+C

Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial y halle la curva integral que pasa por

(t, x) = (0 ,−1

2). Separo variables:

−dx

x2=2tdt

. Integro: −∫ dx

x2=2∫ tdt

. Queda

1x=t2+C

.

Ordenando da x= 1

t2+C .

Para hallar la curva integral que pasa por (t, x) = (0 ,−1

2).hay que hallar C. Entonces,

x=−12 para t = 0. Sustituyendo queda -

12= 1

0+C⇒C=−2∴ x= 1

t2−2

Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales por Variables Separables

Se utilizan cuando se considera que los cambios de la variable en cuestión se producen de manera continua o constante, las razones de cambio se presentan como derivadas y las ecuaciones que la contienen son las ecuaciones diferenciales. Un ejemplo sería;

La razón de crecimiento del volumen de ventas “y” a medida que el precio “x” decrece, es proporcional al volumen de ventas e inversamente proporcional a la diferencia entre el precio “x” y una constante b.

1. Exprese matematicamente el poblema planteado. Interprete el parametro de la contante “b”.

2. Halle la relación entre el volumen de ventas “y” y el precio “x”, es decir la relación general.3. Verifique la solución hallada.

Solución;

1. dy/dx = -ay / (x-b)2. Primero intercambiamos los tèrminos de “x” y “y” de cada lado con su respectivo

diferencial:

dy/y =-a/(x-b)dx

∫dy/y = -a∫dx/(x-b)

Ln|y| = -a Ln|x-b| + C

Ln|y| + a Ln|x-b| = C

Ln[y(x-b)a] = C

y(x-b)a = ℮C 

y = C1 / (x-b)a

3. Para comprobar la ecuación simplemente hay que volverla a derivar y si nos queda el resultado original nuestro resultado es correcto:

dy / dx = c1 (-a) (x-b) -a-1

dy / dx = -a c1 / (x-b) a+1

=[-a / (x-b) ] .c1 / (x-b)a

= – a y / (x-b)

Nuestra ecuación ya está acomodada de tal forma que satisface las condiciones planteadas de nuestro problema, sobra decir que solo hay que sustituir las variables de nuestro problema para obtener los resultados requeridos.

Solución implícita: Definición:

La relación G(x,y)=0 se denomina solución implícita de la ecuación

diferencial dn ydxn

=f ( x , y , y ´, . .. , y(n−1 )) en un

intervalo I, si es que la relación G(x,y)=0 define una o más soluciones explícitas de dicha ecuación diferencial en I .

Demostrar que x+y+exy=0 es una solución implícita de la ecuación diferencial:

(1+xexy ) dydx

+1+ yexy=0 (*)

x+y+exy=0

⇒(1+dydx

)+exy (xdydx

+ y )=0

⇒(1+xe xy)dydx

=−1− yexy

⇒dydx

=−1+ yexy

1+xexy

En(∗)

(1+xexy )∗(−1+ ye xy

1+xexy)+1+ ye xy=0

⇒−1− yexy+1+ yexy=0⇒0=0( identidad )

∴ x+yexy=0 es solución implícita de (*)  Soluciones singulares

 

   Definición  [ Solucion singular de una ecuación diferencial]

  Una solución de una ecuación diferencial se llama singular si no se puede

obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solución particular.

  

Ejemplo

La familia de rectas es la solución general de la ecuación diferencial

. La parábola es una solución singular.

No es difícil comprobar que ambas son solución de la ecuación diferencial dada. En la figura 3 se muestra la solución singular y varias soluciones particulares.

  

Figura 3

Observe que la parábola es tangente en cada uno de sus puntos a una curva de la familia de

rectas , cuando sucede esto decimos que la parábola es la

envolvente de la familia de rectas ; como se indica en la siguiente definición.

 

   Definición  [Envolvente]

 

Cualquier curva tangente a un número infinito de miembros de una familia infinita de curvas, y que por lo menos es tangente en cada uno de sus puntos a una de dichas curvas, es una parte, o el total, de la envolvente de la familia.

 

La envolvente de una familia de curvas satisface el sistema

lo cual nos permite hallarla.

 

Ejemplo

Para hallar la envolvente de la familia de circunferencias , resolvemos el sistema

obteniendo que . Al sustituir en la ecuación de la familia obtenemos que la

envolvente está formada por las rectas . La envolvente y algunos miembros de la familia se muestran en la figura 4 .

 Figura 4

 

Ejemplo

La familia de parábolas es la solución general de la ecuación diferencial

y las rectas son soluciones singulares.

Fácilmente se comprueba que ambas son soluciones de ecuación diferencial. En la figura 5

se muestran las soluciones singulares y varias soluciones particulares. Las rectas

son la envolvente de la familia de parábolas .

 Figura 5

Crecimiento y decaimiento naturales.

Una interpretación de la derivada según su signo corresponde al crecimiento de la función, en el caso positivo, o al decrecimiento si el signo es negativo. Esto permite utilizar las ecuaciones diferenciales de primer orden para describir reacciones químicas de descomposición, poblaciones o crecimiento económico.

4.1. Descomposición reactiva

Se considera que una reacción química es de primer orden si una molécula se descompone espontáneamente en moléculas menores a un ritmo no afectado por la presencia de otras sustancias.

En estas condiciones es de esperarse que el número de moléculas que se descompondrán en una unidad de tiempo sea proporcional al número total actual.

Si hay inicialmente x0 gramos de una sustancia que se descomponen mediante una reacción de primer orden, y si x es la el número de gramos presente en un instante posterior t, obtendremos la ecuación diferencial

(4.1)−dx

dt=kx

, k>0donde el lado izquierdo representa el índice de decrecimiento (por ello el signo es negativo), el lado derecho expresa la proporcionalidad con la cantidad de sustancia a través del coeficiente de rapidez k>0.

La solución de (4.1) con la condición inicial x (0 )=x0 , mediante separación de variables es

(4.2) x=x0e−kt

Su gráfica corresponde a la Fig. 4.1.

Fig.4.1. Descomposición exponencial

Siendo la descomposición radioactiva la más importante de las pocas reacciones químicas de primer orden, es conveniente expresar la rapidez de la descomposición de un elemento radioactivo en términos de su vida media, que es el tiempo necesario para que una cantidad dada de elemento disminuya a la mitad.

Si se remplaza x por x0/2 y se denomina T a la vida media se halla

(4.3) kT=ln2

Si se conoce k o T, a partir de observaciones o experimentos, se puede encontrar mediante la última ecuación el otro término.

Estos cálculos permiten usar la información de elementos radioactivos con vidas medias conocidas que existen en la naturaleza para la datación en geología y arqueología.

Crecimiento Poblacional

Como el número de individuos de una especie es entero, parece imposible, en principio, usar ecuaciones diferenciales para describir su crecimiento. Entonces hay que asumir que poblaciones grandes cambian de manera continua y diferenciable con respecto al tiempo.

Denotaremos p(t) la población de una especie dada en el tiempo t y r(t,p) la diferencia entre las tasas de natalidad y de mortalidad. Supondremos también que la población es p0 en el tiempo t0.

a) Ley de crecimiento de Malthus

Bajo la hipótesis que la población está aislada , es decir que no existe emigración o inmigración, la tasa de variación de la población es proporcional a la población en ese tiempo.

(4.3)

dp( t )dt

=r ( t , p ) p ( t )

En el modelo más simple, Malthus consideraba que r(t,p) es igual a una constante a, es decir que r no depende del tiempo ni de la población. En este caso la solución del problema de valor inicial es:

(4.4) p( t )=p0 ea( t−t0)

El crecimiento resulta exponencial con el tiempo. Este modelo no es razonable para la población humana, pero se ajusta bien al pequeño roedor microtus arvallis pal.

b) Ley logística para la población

La ecuación (4.3) no da cuenta de la competencia que desarrollan entre sí los individuos de una misma especie por el limitado espacio vital, por recursos naturales y por el alimento disponible.

Hay que agregar un termino competitivo dado por -bp2 , donde b es una constante, ya que el promedio estadístico del número de encuentros por unidad de tiempo es proporcional a p2.

Entonces tenemos que resolver el problema de valor inicial:

(4.5)

dpdt

=ap−bp2

,p( t0 )=p0

Esta ecuación se conoce como la ley logística del crecimiento de una población y a los coeficientes a y b se le dice coeficientes vitales.

La solución de (4.5) mediante separación de variables resulta

(4.6)p( t )=

ap0

bp0+(a−bp0 )e−a( t−t0)

Vamos a examinar el tipo de población que predice.

Si t →∞ se tiene que p( t )→

ap0

bp0

=ab

Es decir que independientemente del valor inicial la población siempre tiende al valor límite a/b.

Un análisis de la segunda derivada de p(t) nos permite concluir que

dpdt es creciente si p(t)<a/2b y

que

dpdt es decreciente si p(t)>a/2b.

La Fig. 4.2. muestra la curva logística (en S) si p0<a/2b . A partir de su forma se concluye que el tiempo anterior a que la población alcance la mitad de su valor límite es un período de crecimiento acelerado. Después de este punto, la tasa de crecimiento disminuye hasta ser cero.

Fig. 4.2. Curva logística

Una confirmación de esta ley logística se llevo a cabo experimentando con el protozoario Paramecium caudurum.Observaciones

a> Si se cambian los signos de a y b en la ecuación (4.5) se observa en la Fig. 4.3. que a partir de un umbral (“población crítica”) se puede ir hacia la extinción o crecer sin límite, dependiendo de los valores de a y de b.

b> Se podría enriquecer el modelo considerando, por una parte, una población crítica, de modo que partiendo de una población inferior a este valor crítico se vaya a la extinción, y por otra, una población máxima, de tal manera que con valores superiores el crecimiento sea sin límite. Esta situación aparece en la Fig.4.3. y supone que se deben considerar más coeficientes vitales.

Fig.4.3.Espacio de fases para una especie en aislamiento

En el caso de dos especies habrá que plantear un sistema de dos ecuaciones diferenciales.I NTERÉS COMPUESTO Para el interés compuesto, el interés acumulado para cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores (Blank, 1999).Entonces, en cada periodo de composición la tasa de intereses es r/n y se tienen nt periodos de composiciones en t años, de manera que el valor de la inversión es:

A(1+rn)ntSi hacemos que n→∞ , entonces componemos el interés en forma continua y el valor de la inversión será:

limn→∞ A01+rnrnrt

A0limn→∞ 1+rnmrt (Donde m=r/t)

At= A0ert

Derivando se obtiene

dAdt=rA0ert=rA(t)

(Stewart, 2002)

PROBLEMA-Si P (t) es la cantidad de dinero de una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés

anual de r% compuesto continuamente, entonces dPdt=r100P, t en añosSuponga que el interés es de 5% anual, P (0)=$1000 y que no hay retiros.a) ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 2 años?b) ¿En que momento tendrá la cuenta $4000?c) Si se agregan $1000 a la cuenta cada 12 meses, ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 312 años?SOLUCIONPara hallar la ecuación que nos permita determinar la cantidad de dinero después de un tiempo t 1) Definir variables

r= Tasa de interés anual.P= Cantidad de dinero.t= tiempo transcurrido.dPdt= Cantidad de dinero debido al tiempo transcurrido.

2) Resolver la ecuación diferencial dada anteriormente dPdt=r100P, t en años utilizando el método de variables separables.

dP=r100Pdt 1 S.V. Forma

diferencial

dPP=r100dt (2)

1PdP=r100dt 3 Integrar en ambos lados

lnP= r100t+C1 (4)P=er100t*C ;C=ec (5) Propiedades de logarítmicas y solución general ecuación.

P=er100t*C Solución general.1000= e5100(0)*C (6) Condición inicial P(0)=1000 para despejar C.C = 1000P=1000*er100t Solución particular.

a) Para determinar el monto del dinero en la cuenta cuando han pasado dos años se remplaza t=2 así.P=1000*e51002P=1105,7- El dinero en la cuenta al cabo de 2 años es de 1105,7

b) Para determinar cuando P=4000 debemos despejar t de la solución particular así:

ln4000=ln10005100t

t=20*ln40001000t=27.73 .Años que tarde el monto de dinero en alcanzar los 4000$c) Para determinar el monto de dinero alcanzado después de 3 ½ años depositando 1000$ cada 12 meses, debido al deposito realizado cada año y que el tiempo son 3½ años entonces i=0.53.5e5100i para que se pueda hacer un total del monto transcurrido el total del tiempo.

P=1000*i=0.53.5e5100i =4427.594427.59$ Es el dinero acumulado después de 3½ años.

Desintegración radiactiva:

para modelar el fenómeno de desintegración radiactiva se supone que la rapidez de dA/dt a la que se desintegra los núcleo de una sustancia es proporcional a la cantidad ( con más precisión, el numero de núcleos esta sería su ecuación diferencial:

dAdt

=KA

2; El einstenio 253 de cae con una rapidez proporcional a la cantidad que se tenga determine la vida media si este material pierde un tercio de masa en 11.7 días. Q :253 dQ/dt: rapidez d: razón de decaimiento:

dQdt

=−rQ ↔ separando variablesdQq

=−rdt ↔∫ dQq

−∫rdt

integrnadon (q )=−rt+c ↔aplicando proiedades de logaritmosQ=c e−RT

Q (0)=QO cantidad inicial del elemento en tiempo 0

Sustituyendo se obtiene:

QO=c e−r 0↔ c=Qo

Sustituyendo otra vez:

Q=Q o e−rt ↔ t=11.7↔ Q=Q0−13

Q0↔ Q=23

Q 0

Sustituyendo:

23

QO=QO e−11.7↔23=e−11.7↔ ln

23=−11.7 r↔ R ↔t=−0.405461081

−11.7=r .03465

Sustituyendo:

12

Q0=Q 0e−0.03456 ↔12

e−0.03456 ↔ ln (0.5 )=−0.03456 ↔ t=−06931.03456

=t ≈ 20 dias

Ley de enfriamiento y calentamiento

La ley empírica de Newton del enfriamiento o calentamiento de un objeto está dada por

, donde es una constante de proporcionalidad, es la temperatura del

objeto para  y  es la temperatura ambiente; es decir, la temperatura del medio en torno al objeto.

a) Determine qué tipo de ecuación modela esta situación.

b) Si la temperatura ambiente es de 60ºF, determine la solución general de la ecuación diferencial que representa el enfriamiento o calentamiento de un objeto por  factor integrante.

c) Cuando se saca una taza de café de un horno, se mide su temperatura en 350ºF. Tres minutos después su temperatura es de 180ºF. Si la temperatura ambiente es de 70ºF, determine la solución general de la ecuación diferencial que representa el enfriamiento o calentamiento de un objeto por el método de separación de variables.

d) Cuando se saca una taza de café de un horno, se mide su temperatura en 305ºF. Cinco minutos después su temperatura es de 200ºF. Si la temperatura ambiente es de 70ºF, determine la solución general de la ecuación diferencial que representa el enfriamiento o calentamiento de un objeto por el método de separación de variables. ¿Cuánto tarda el pastel en alcanzar una temperatura ambiente de 90ºF?

 

Solución

 

a) El tipo de ecuación diferencial que modela esta situación es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. 

b) La ecuación que representa esta situación es

 

 

Aplicando el factor integrante tenemos que de la ecuación

el factor integrante es

 

ahora multiplicamos la ecuación por el factor integrante

 

escribiendo esta ecuación como la derivada de un producto tenemos

 

integrando esta última ecuación obtenemos

despejando se obtiene

 

 

c) La ecuación que representa esta situación es

 

 

Aplicando el método de separación de variables tenemos

integrando 

obtenemos  que

de donde 

Si  entonces

por lo tanto tenemos

si en  se tiene

 

entonces al despejar de esta ecuación el valor de la constante se obtiene que

Por consiguiente

 

d) La ecuación que representa esta situación es

 

Aplicando el método de separación de variables tenemos

integrando 

obtenemos que

de donde 

Si  entonces

por lo tanto tenemos

si en  se tiene

 

entonces al despejar de esta ecuación el valor de la constante se obtiene que

Por consiguiente

 

Para determinar el tiempo en que el café alcanza una temperatura ambiente de 90ºF, se resuelve

para y se obtiene

minutos.

TEOREMA DE TORRICELLI

El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio":

Donde:

Vt es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio.V0 es la velocidad de aproximación.h es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio.g es la aceleración de la gravedad.

Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresión anterior se transforma en:

Donde:

Vr es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio.Cv es el coeficiente de velocidad.

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad

del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de velocidad.

Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de 1 pulgada de diámetro, ¿Cuándo se vaciara el tanque?

Primero se debe convertir la unidad de área del orificio a pies, el diámetro de este es de 1 pulgada, por lo tanto su radio es de ½ pulgada; 1 pulgada es igual a 1/12 pies. Dado que el orificio es una circunferencia, su área es igual a (π(radio)2), entonces el área del orificio de salida es:

Así mismo, el área de la sección transversal, A(h)= π(10)2= 100 π 2

El coeficiente de descarga no está dado, por lo tanto se asume que c= 1, la gravedad g= 32pies/ seg2

Sustituyendo todos los valores en la ecuación asociada a los problemas de vaciado de tanque, se obtiene:

* (1/ π)

Esta ecuación debe resolverse sujeta a la condición que para t=0, h0=20pies.

* Luego se integra

y

Se sustituyen los resultados en la ecuación

Para hallar el valor de la constante de integración, se sustituyen los valores iniciales del problema.

*

Para determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, se debe sustituir h=0 en la anterior ecuación

Así, el tanque logra vaciarse en un tiempo de 64398.75 segundos, es decir, 17horas 53 min 19seg.