Modelos Lineales y Soluciones Graficas

7/27/2019 Modelos Lineales y Soluciones Graficas

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Modelos lineales ysoluciones grficas

Mg. Lord Barrera

Escuela de

Ingeniera Industrial

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Lord Barrera

1. Introduccin a la programacin lineal

La programacin lineal es una herramienta para resolver problemas de op-timizacin. En 1947, George Dantzig desarroll un mtodo efectivo, el algorit-mo simplex, para resolver problemas de programacin lineal (tambin conocidocomo PL). Desde que surgi dicho algoritmo, la PL se utiliza para resolver pro-blemas de optimizacin en industrias diversas, como los bancos, la educacin,petroqumica, pesquera y transportes de carga.

1.1. Qu es un problema de programacin lineal

En esta seccin se introduce la programacin lineal y se definen los trminosimportantes que se usan para explicar los problemas de programacin lineal.

Ejemplo 1.1. (Fabricacin de jugue-tes). Basa fabrica dostipos de juguetes: sol-dados y trenes. Un soldado se vende en 27soles y requiere 10 soles de materia prima.Cada soldado que se fabrica incrementa lamano de obra variable y los costos globa-les de Basa en 14 soles. Un tren se vendeen 21 soles y utiliza 9 soles de su valor enmateria prima. Todos los trenes fabricadosaumentan la mano de obra variable y los costos globales de Basa en 10 soles. La fa-bricacin de soldados y trenes requiere dos tipos de mano de obra especializada:prensado por calentamiento y acabado. Un soldado necesita dos horas de traba-jo de acabado y una hora de prensado. Un tren requiere una hora de acabado yuna hora de prensado. Todas las semanas, Basa consigue todo el material necesa-rio, pero solo 100 horas de trabajo de acabado y 80 de prensado. La demanda detrenes es ilimitada, pero se venden cuando mucho 40 soldados por semana. Basadesea maximizar las utilidades semanales (ingresos - costos). Disee un modelomatemtico para la situacin de Basa que se use para maximizar las utilidadessemanales de la empresa.

Solucin. Al desarrollar el modelo para Basa se hallan las caractersticas quecomparten todos los problemas de programacin lineal.


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Variables de decisin. Se empieza por definir las variables de decisin.

Definimos:

x1 = cantidad de soldados fabricados cada semana

x2 = cantidad de trenes fabricados cada semana

Funcin objetivo. Para hallar la funcin objetivo utilizamos la tabla

Soldado Tren Cap Mx

Horas de acabado 2 1 100

Horas de prensado 1 1 80Precio de venta 27 21

Costo de materia prima 10 9

Costo variable y de mano de obra 14 10

Entonces

Costos de la materia prima a la semana = 10x1 + 9x2

Otros costos variables a la semana = 14x1 + 10x2

Basa quiere maximizar

(27x1 + 21x2) (10x1 + 9x2) (14x1 + 10x2) = 3x1 + 2x2

La funcin objetivo esz = 3x1 + 2x2

Restricciones. Las restriccciones son

2x1 + x2 100 (Restriccin de acabado)x1 + x2 80 (Restriccin de prensado)

x1 40 (Restriccin de demanda de soldados)

x1 0 (Restriccin de signo)

x2 0 (Restriccin de signo)

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Antes de definir de modo formal un problema de programacin lineal, se es-

tablecen los conceptos de funcin lineal y desigualdad lineal.

Definicin 1.1. Una funcin f(x1, . . . , xn) en las variables x1, . . . , xn es una fun-cin lineal si y solo si para algn conjunto de constantes c1, . . . , cn, se tiene

f(x1, . . . , xn) = c1x1 + . . . + cnxn

Ejemplo 1.2. La funcin f(x1, x2) = 3x1 + 2x2 es una funcin lineal de x1 yx2, pero f(x1, x2) = x21 + 2x1x2 no es una funcin lineal de x1 y x2.

Definicin 1.2. Para cualquier funcin f(x1, . . . , xn) y cualquier nmero b, lasdesigualdades

f(x1, . . . , xn) b y f(x1, . . . , xn) b

se llaman desigualdades lineales.

Ejemplo 1.3. Las desigualdades 3x1 + 2x2 2 y x1 + 4x2 1 son desigual-

dades lineales, pero x1x2 + x22 3 no es una desigualdad lineal.

Definicin 1.3. Un problema de programacin lineal (PL) es un problema deoptimizacin para el cual se efecta lo siguiente:

1. Se intenta maximizar (minimizar) una funcin lineal de las variables de de-cisin. La funcin que se desea maximizar o minimizar se llama funcinobjetivo.

2. Los valores de las variables de decisin deben satisfacer un conjunto de

restricciones. Cada ecuacin debe ser una ecuacin lineal o una desigualdadlineal.

3. Se relaciona una restriccin de signo con cada variable. Para cualquier varia-ble xi, la restriccin de signo especifica que xi no debe ser negativa (xi 0)o no tener restricccin de signo.

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Como el objetivo de Basa es una funcin lineal de x1 y x2, y todas las res-

tricciones de Basa son desigualdades lineales, el problema de Basa es de progra-macin lineal.

Definicin 1.4. Una regin factible para una (PL) es el conjunto de todos lospuntos que satisfacen las limitaciones y las restricciones de signo de la PL.

Ejemplo 1.4. En el problema de Basa, el punto (x1 = 40, x2 = 20) est en laregin factible. Observe que x1 = 40 y x2 = 20 satisfacen el problema anterior.

2x1 + x2 100 cumple porque 2(40) + 20 100

x1 + x2 80 cumple porque 40 + 20 80

x1 40 cumple porque 40 40



Definicin 1.5. Para un problema de maximizacin, una solucin ptima para

una PL es un punto con el valor de la funcin objetivo ms grande en la reginfactible. De igual manera, para un problema de minimizacin, una solucin p-tima es un punto con el valor de la funcin objetivo ms pequeo en la reginfactible.

La mayor parte de PL tiene solo una solucin ptima. Sin embargo, algunasPL no tienen solucin ptima, y otras tienen una cantidad infinita de soluciones(estas situaciones veremos ms adelante).

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1.2. Actividades propuestas

Ejercicio 1. (Produciendo maz). Un agri-cultor debe decidir cuntas hectreas demaz y trigo debe plantar este ao. Unahectrea de trigo produce 25 sacos y re-quiere 10 horas de trabajo por semana.Una hectrea de maz produce 10 sacos demaz y requiere 4 horas de trabajo a la se-mana. Todo el trigo se vende a 4 soles el

saco, y el maz se vende a 3 soles el saco.Se dispone de siete hectreas de tierra y 40 horas de trabajo por semana. Lasregulaciones gubernamentales establecen que por lo menos 30 sacos de maz seproduzcan durante el ao actual. Sea x1 el nmero de hectreas con siembra demaz y x2 el nmero de hectreas con siembra de trigo. Utilice estas variables dedecisin y plantee una PL cuya solucin le indique al agricultor cmo maximizarel ingreso total a partir del trigo y el maz.

Ejercicio 2. Conteste estas preguntas relacionadas con el problema 1.

1. Est (x1 = 2 y x2 = 3) en la regin factible?




Ejercicio 3. Utilice las variables x1 = nmero de sacos de maz producido yx2 el nmero de sacos de trigo producidos para replantear la PL del agricultor.

Ejercicio 4. Volvo fabrica dos tipos de camiones: el 1 y el 2. cada camin debepasar por el taller de pintura y el taller de ensamblaje. Si el taller de pintura es-tuviera destinado del todo a pintar los camiones del tipo 1, entonces se podranpintar 800 por da; si el taller de pintura estuviera dedicado por completo a pin-

tar los camiones del tipo 2, entonces se podran pintar 700 por da. Si el taller deensamblaje se dedicara solo a ensamblar motores para los camiones del tipo 1,entonces se podran ensamblar 1500 por da; si el taller de ensamblaje se dedi-cara solo a ensamblar motores para los camiones del tipo 2, entonces se podranensamblar 1200 por da. Cada camin tipo 1 contribuye con 300 dlares a las uti-lidades; cada camin del tipo 2 contribuye con 500 dlares. Plantee una PL quemaximice als utilidades de Volvo.

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2. Solucin grfica de un problema de PL

Suponga que se desea graficar el conjunto de puntos (x1, x2) que satisface

2x1 + 3x2 6

El mismo conjunto de puntos (x1, x2) sa-tisface

3x2 6 2x1

que equivale a

x2 223

x1

graficando la recta x2 = 223

x1 tenemos1 2 3

1

1

2

3

x1

x2

-

x2= 2 - 2

3

x1

entonces la regin de puntos (x1, x2) quesatisface 2x1 + 3x2 6 es la regin que se

encuentra debajo de la recta x2 = 223

x1

o encima de la recta x2 = 22

3x1 . Pa-

ra determinar con exactitud es suficientecomprobar con un punto, digamos (0, 0)que satisface 2(0) + 3(0) 6. Entonces lospuntos se indican en la regin somreada

3

x1

x2

x2= 2 - 23x1

1 2 3

1

2

1-

CMO DETERMINAR LA SOLUCIN FACTIBLE

Ahora se ilustra cmo resolver en forma grfica PL de dos variables mediantela resolucin del problema de Basa. La regin factible para el problema de Basa es

el conjunto de todos los puntos (x1, x2) que satisface

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Despus de trazar una sola recta de isoutilidad, es posible generar otras rec-

tas de isoutilidad desplazndose en forma paralela a la recta ya graficada en unadirecccin en que se incremente z (en el caso de un problema de maximizacin).La ltima recta de isoutilidad que corta (toca) la regin factible define el valor zms grande de cualquier punto en la regin factible, e indica la solucin ptimapara la PL. En el problema, la funcin objetivo 3x1 + 2x2 = z aumenta al des-plazarse en una direccin. En la figura anterior se puede observar que la rectade isoutilidad que pasa por el punto G es la ltima recta que interseca la reginfactible. Por consiguiente, G es el punto con el valor z ms grande en la reginfactible. Obsrvese que el punto G es donde se cortan las rectas 2x1 + x2 = 100y x1 + x2 = 80. Al resolver estas ecuaciones en forma simultnea se observa quex1 = 20 y x2 = 60 es la solucin ptima para el problema. El valor ptimo de

z se encuentra al sustituir estos valores de x1 = 20 y x2 = 60 en la funcinobjetivo. Entonces el valor ptimo de z es z = 3(20) + 2(60) = 180.

RESTRICCIONES ACTIVAS

Tras haber determinado la solucin ptima para una PL, es til clasificar cadarestriccin en restricciones activas (obligatorias) e inactivas.

Definicin 2.1. Una restriccin es activa u obligatoria si tanto el primero como el

segundo miembros de las restricciones son iguales cuando los valores ptimos delas variables de decisin se sustituyen en la restriccin.

Ejemplo 2.1. Para el problema anterior,

2x1 + x2 100 y x1 + x2 80

son restricciones activas.

Definicin 2.2. Una restriccin es inactiva si no son iguales el primero y el se-gundo miembro de la restriccin cuando los valores ptimos de las variables dedecisin se sustituyen en la restriccin.

Ejemplo 2.2. Como x1 = 20 es menor que 40, entonces x1 40 es unarestriccin inactiva.

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CONJUNTOS CONVEXOS, PUNTOS EXTREMOS Y PL

La regin factible para el problema de Basa es un ejemplo de conjunto conve-xo.

Definicin 2.3. Un conjunto de puntos S es un conjunto convexo si el segmentode recta que une cualquier par de puntos de S, est contenido completamente enS.

Conjuntos convexos Conjunto no convexo

Definicin 2.4. Para calquier conjunto convexo S, un punto P en S es un puntoextremo si para cada segmento de recta que est completamente en S y contiene

al punto P, ste es un extremo del segmento de recta.

SOLUCIN GRFICA DE PROBLEMAS DE MINIMIZACIN

Ejemplo 2.3. (Dorian Auto). DorianAuto fabrica automviles de lujo y camio-nes. La compaa opina que sus clientesms idneos son hombres y mujeres de

altos ingresos. Para llegar a estos grupos,Dorian Auto ha emprendido una ambicio-sa campaa publicitaria por TV, y decidicomprar comerciales de un minuto en dostipos de programas: programas de come-dia y juegos de futbol. Cada comercial en

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programas de comedia lo ven 7 millones de mujeres de altos ingresos y dos mi-

llones de hombres tambin de altos ingresos. Dos millones de mujeres de altosingresos y 12 millones de hombres de altos ingresos ven cada comercial en juegosde futbol. Un anuncio de un minuto en los programas de comedia cuesta 50 000dlares, y un comercial de un minuto en el juego de futbol cuesta 100 000 dlares.A Dorian le gustara que por lo menos 28 millones de mujeres de altos ingresos y24 millones de hombres de altos ingresos vieran sus comerciales. Utilice la PL pa-ra determinar cmo Dorian puede alcanzar sus objetivos publicitarios al mnimocosto.

Solucin. Sean

x1 = nmero de anuncios de un minuto en programas de comedia

x2 = nmero de anuncios de un minuto en juegos de futbol

Programas de comedia Juegos de futbol Cap Mn

Mujeres alto ingreso 7 2 28

Hombres alto ingreso 2 12 24

Costo 50 100

La funcin a minimizar es

z = 50x1 + 100x2

y las restricciones son

7x1 + 2x2 28 (1)

2x1 + 12x2 24 (2)

x1 0

x2 0

Este problema es caracterstico de una gran diversidad de aplicaciones de PL,en la cuales el que toma la decisin desea minimizar el costo de cumplir un ciertoconjunto de exigencias. Con el fin de resolver en forma grfica este PL, se empiezapor graficar la regin factible (ver figura de abajo). Observe que que los puntosque se encuentran en la recta AB o arriba de ella (AB es una parte de la recta7x1 + 2x2 = 28) satisface (1) y que los puntos que se encuentran en la recta CDo arriba de ella (CD es una parte de la recta 2x1 + 12x2 = 24) satisface (2).

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En la figura de abajo, se observa que los nicos puntos del primer cuadran-

te que satisfacen tanto a (1) como a (2), son los puntos de la regin sombreadalimitada por el eje x1, CEB, y por el eje x2.

2 4 6

2

4

6

x1

x2

8 10 12 14

8

10

12

14 B

E

CA

D

El problema de Dorian tiene una regin factible convexa, pero la regin facti-ble de Dorian contiene puntos para los cuales el valor de al menos una variablepuede ser arbitrariamente grande. Una regin factible de este tipo es llama reginfactible no acotada.

Dado que Dorian desea minimizar el costo total de los anuncios, la solucinptima del problema es el punto que tenga el valor z ms pequeo en la regin fac-tible. Para encontrar la solucin ptima, es necesario trazar una recta de isocostosque cruza la regin factible. Una recta de isocostos es cualquier recta en la cualtodos los puntos tienen el mismo valor z (el mismo costo). Se escoge en formaarbitraria la recta de isocostos que pasa por x1 = 4 y x2 = 4. Para este puntotenemos z = 50(4) + 100(4) y se grafica en la recta de isocostos

z = 50x1 + 100x2 = 600

Se consideran las rectas paralelas a la recta de isocostos 50x1 + 100x2 = 600 enla direccin en que decrece z. El ltimo punto en la regin factible que cruzauna recta de isocostos ser el punto en la regin factible que tiene el valor mspequeo de z.

En la figura de arriba se puede ver que el punto E tiene el valor z ms pe-queo que cualquier punto en la regin factible. sta es la solucin ptima pa-ra el problema de Dorian. El punto E es el punto de interseccin de las rectas

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7x1 + 2x2 = 2 8 y 2x1 + 12x2 = 24. La solucin nos da el punto x1 = 3.6 yx2 = 1.4. Entonces el valor ptimo de z es

z = 50(3.6) + 100(1.4) = 320 = 320 000 dlares

2.1. Actividades propuestas

Ejercicio 1. Leary Chemical fabrica tres productos qumicos: A, B y C. Estosproductos se obtienen mediante dos procesos de produccin: 1 y 2. El desarrollodel proceso 1 durante una hora cuesta 4 soles y produce 3 unidades de A,unade By una de C. Efectuar el proceso 2 durante una hora cuesta un dlar y se obtienenuna unidad de A y una de B. Para cumplir con la demanda de los clientes setienen que producir todos los das por lo menos 10 unidades de A, 5 de B y 3de C. Determine en forma grfica un plan de produccin diario que minimice elcosto de cumplir las demandas diarias de Leary Chemical.

Ejercicio 2. Para cada una de las siguientes funciones, determine la direccinen la cual la funcin objetivo se incrementa.

(i) z = 4x1 x2 (ii) z = x1 + 2x2 (iii) z = x1 3x2

Ejercicio 3. Una fbrica de muebles fabrica escritorios y sillas. Cada escritorioutiliza cuatro unidades de madera y las sillas utilizan 3. Un escritorio contribuyecon 40 soles a la utilidad, y una silla contribuye con 25 soles. Las restricciones delmercado requieren que la cantidad de sillas fabricada sea por lo menos el dobledel nmero de escritorios producidos. Si se dispone de 20 unidades de madera,plantee una PL para maximizar la utilidad de la fbrica. Luego resuelva en formagrfica la PL.

Ejercicio 4. Jane es duea de una granja de 45 hectreas. En ellas va a sem-brar trigo y maz. Cada hectrea sembrada con trigo rinde 200 soles de utilidad;cada hectrea sembrada con maz proporciona 300 soles de utilidad. La mano deobra y el fertilizante que se utiliza para cada hectrea aparece en la tabla de aba-jo. Se dispone de 100 trabajadores y de 120 toneladas de fertilizante. Medianteprogramacin lineal determine cmo Jane puede maximizar las utilidades.

Trigo Maz

Mano de obra 3 trabajadores 2 trabajadores

Fertilizante 2 t 4 t

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