Modelo de selección adversa simple (ejemplo de los vinos)

Tenemos que maximizar la utilidad esperada dado que tenemos dos clientes de distintos tipos, por tanto nos planteamos el problema de maximización con restricciones de desigualdad.

Max. π ¿

SA θ1q1−t 1≥0

θ2q2−t 2≥o

θ2q2−t 2≥θ2q1−t 1

θ1q1−t 1≥θ1q 2−t 2

θ2−θ1>0 ; θ1 ,θ2>0 Estas restricciones no son estrictas por tanto no las incluiremos en el lagrangeano.

Planteamos el lagrangeano:

L=π ¿ β (θ2q2−t 2 )+γ (θ2q2−t 2−(θ2q1−t 1))+φ(θ1q1−t 1−(θ1q2−t 2))Dado que t 1 , t 2 , q1 , q2>0 No tiene sentido discutir esos parámetros por tanto la derivada respecto a esos parámetros debe ser cero.

Condiciones de holgura

Surgen de realizar

dLdqi≤0qi≥0

dLdqiqi=0

dLdti≤0 ti ≥0

dLdtiti=0

dLdα , β ,…

≥0α , β ,…≥0dLdαα=0; dL

dββ=0

Las condiciones de holgura son las siguientes:

π−α+γ−φ=0

1−π−β−γ+φ=0

−πc ´ (q1 )+αθ1−γθ2+θ1φ=0

(π−1 ) c ´ (q2 )+βθ2+γθ 2−φθ1=0

α (θ1q1−t 1 )=0

β (θ2q2−t 2 )=0

γ (θ2q2−t 2−(θ2q1−t 1 ) )=0

φ (θ1q1−t 1−(θ1q2−t 2 ) )=0

Discutamos según los parámetros para resolver el problema

1) Si los multiplicadores fueran todos cero sería absurdo, ya que sustituyéndolos en primera y segunda ecuación quedaría:

π=0

Y además 1=0 lo cual es absurdo.

2) Si suponemos que beta es diferente de cero.

θ2q2−t 2=0

Ya que el consumidor 1 participará debe por lo menos cumplirse: θ1q1−t 1=0

Entonces como θ1>θ2 Se cumple que θ2q1−t 1>0 ; con lo cual nuestro consumidor sofisticado se desviara hacia el contrato ordinario.

Por tanto beta es cero

3) Si β es cero planteando las otras ecuaciones obtenemos α.

π−α+γ−φ=0;1−π−γ+φ=0

Sumando ambas ecuaciones y despejando nos queda α=1 por tanto la restricción primera queda activa

θ1q1−t 1=0 Por tanto alfa diferente de cero.

4) Supongamos que la restricción de compatibilidad de incentivos de dos no está activa; esto es:

θ2q2−t 2>θ2q1−t 1

Esto implica que se cumplen todas las desigualdades ya que

θ2q1−t 1>θ1q1−t 1=0

Pero deberíamos observar si la igualdad cumple las condiciones, y si las cumple en que caso estaría mejor el vendedor.

θ2q2−t 2=θ2q1−t 1

Dado que θ2q2−t 2>0→θ2q1−t 1>0=θ1q1−t 1; con lo cual se cumplen las restricciones.

Si observamos la primera ecuación de este punto, su igualación, implica la reducción de q2 y/o la suba de t2. Lo primero implica un menor costo marginal, y lo segundo un mayor ingreso marginal. Por tanto la restricción debe ser activa para avanzar lo máximo posible con el objetivo de un mejor beneficio.

Entonces ϒ es diferente de cero.

5) Nos queda deducir la situación del último multiplicador. Supongamos que la restricción es activa.

θ1q1−t 1=θ1q2−t 2→θ1q2−t 2=0

De esto despejamos t 1=θ1q1 ; t 2=θ2q2

Tomando el resultado del punto anterior tenemos

θ2q2−t 2=θ2q1−t 1;θ2q2−θ1q2=θ2q1−θ1q1

Por tanto (θ2−θ1 )q1= (θ2−θ1 )q2→q1=q2 ; t 1=t 2

Existencia de un consumidor de tipo alto dispuesto a pagar más por un mejor vino.

Por tanto para mantener la consistencia del modelo: φ=0

Resolviendo el sistema

γ=1−π ; α=1 ; β=φ=0

Sustituyendo en las otras ecuaciones nos indica el punto óptimo de costo marginal ingreso marginal

c ´ (q2 )=θ2

Que es la condición en caso de info perfecta, por tanto la calidad del sofisticado es la óptima.

En tanto que la otra solución difiere de la óptima.

Podemos hallar la ecuación de la inversa de la demanda del consumidor sofisticado; ya que se cumple la restricción

θ2q2−t 2=θ2q1−t 2→t 2=θ2 (q2−q1)

Y t 1=θ1q1 Entonces planteando nuevamente la ecuación de beneficios y sustituyendo las demandas inversas

π (θ1q 1−c (q1 ) )+(1−π ) (θ2 (q2−q1 )−c (q2 ) )

Si derivamos respecto a q1 πθ1−πc ´ (q1 )−(1−π )θ2=0

Despejamos los costos marginales y nos queda c ´ (q1 )=θ1−[( 1−ππ )]θ2Como c´´(q1) es convexa respecto a q1 hemos hallado la mínima calidad posible que maximiza los beneficios, además esta calidad es peor que en el caso de info completa ya que:

c ´ ¿

Segundo orden

Debemos saber si dada la función objetivo y las restricciones se cumplen las condiciones suficientes para un máximo.

Las restricciones son lineales por lo cual son convexas.

La función objetivo la podemos derivar con respecto a q1 y t1

dydq1

=−c ´ (q1 ) dydq1q1

=−c ´ ´ (q1 ) ; dydq1q2

=0

dydt 1

=1 dydt 1

=0 ; dydt 1t 2

=0

Lo mismo se plantea con respecto a calidad y precio del sofisticado; y podemos plantear el hessiano

(H )=[−c ´ ´ (q1) ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ −c ´ ´ (q2)]

Dado que fuera de la diagonal los valores son cero; los valores propios son le negativo de las segundas derivadas de costos respecto a calidad; con lo cual la forma cuadrática es definida negativa, por tanto cóncava.

Se cumple K-T Condición necesaria y suficiente para un máximo.

CONCLUSIONES GENERALES DEL PROBLEMA

q1<q1∗; t 1< t 1∗;q 2=q2∗; t 2<t 2∗¿