Modelo de riesgo proporcional Introduccin: Elmodeloderiesgoproporcional,esunatcnicaquepermiteidentificary evaluarlarelacinentreunconjuntodevariablesexplicativasylatasade ocurrencia del suceso de inters. El modelo de regresin de Cox tambin permite predecir las probabilidadesdesupervivenciaparadeterminadosujetoapartirdel patrn de valores que presenten sus variables. Funciones de riesgo: Seaunavariablealeatorianonegativaquerepresentaeltiempode espera hasta que ocurra un evento. Ahoraconsideraremosqueesunavariablealeatoriacontinuaconuna funcin de densidad de una probabilidad (F.D.P) y con una funcin de la distribucin acumulada (F.D.A.), Pi , dndonos la probabilidad de que ocurra un evento con una duracin . Enocasionesserconvenienteusarelcomplementodelafuncindela distribucin F.D.A., la funcin de supervivencia Pi Lafuncindesupervivencianosdalaprobabilidadqueeleventodeintersno ocurra en el lapso . Otrarepresentacindeladistribucindesupervivenciaeslafuncinde riesgo, la cual evala el riesgo instantneo del evento en el tiempo . limPi Elnumeradoreslaprobabilidadcondicionaldequeocurraeleventodentrodel intervalo , dado que no haya ocurrido con anterioridad y el denominador es el ancho del intervalo. Al dividirlos, se obtiene la tasa de ocurrencia del evento por unidad. Laprobabilidadcondicionaldelnumeradopuedeserescritacomolatasadela probabilidadconjuntaenlaqueestenelintervalo ,y .Es decir, como para una pequea. Mientras que S() por definicin: Esto significa que la tasa de ocurrencia del evento durante es igual a la densidad del evento en , dividido por la probabilidad de supervivencia durante ese lapso sin la experimentacin del evento. Sabiendo que es la derivada de podemos rescribir la ecuacin anterior como: Ahora,siseintegrade0aeintroduciendoellmitecondicionalde (asegurando que el eventono ocurra en 0), podremos resolver la ecuacin de la funcindesupervivencia,obteniendolafrmulaparalaprobabilidadde supervivencia en el lapso enfuncin de riesgo de todos los lapso hasta . exp Notacin del modelo de la regresin de Cox La regresin de Cox est definida por la siguiente funcin: Dnde: Tasaderiesgodeunsujeto,convaloresX= ; enlas variables explicativas, en el instante . Es la variable respuesta que se modela. Representa el riesgo de que sucedaeleventoenelinstante,delossujetosquetienenun determinado patrn de valores X en las variables explicativas :Funcinderiesgomnimoodereferencia(baselineounderlyning hazardfunction),queslodependedeltiempo,llamadaasporque representa las tasas instantneas de riesgo de un sujeto hipottico con valor 0 en todas las variables predictivas (ya que el trmino exponencial es ). :Funcin exponencial cuyo exponente es la combinacin lineal, sin trmino constante de las k variables explicativas (Xi). EnelmodelodeCoxsedefine,paracadatiempoenquehayunevento,una funcin de riesgo mnima. ste es el riesgo de supervivencia independiente de los predictores(denominado)ydefineunperfilderiesgosegncadapredictor involucrado,queesdadoporelvalor*X.Elriesgodecadapredictores proporcindelriesgobase,muysimilaralriesgorelativo.Deahvieneel nombre modelo de riesgos proporcionales. Podemosencontrarqueelmodeloderiesgoproporcionalesunmodelo aditivo simple para el logaritmo de los riesgos, con: Donde esellogaritmodelriesgobasal.Comoentodoslos modelosaditivos,asumimosqueelefectodelascovariablesxsonlasmismas para todos los lapsos . Integrando la ecuacin del modelo de riesgo proporcional por ambos lados desde 0 hasta , para obtener los riesgos acumulativos tX texxkxk quetambinsonproporcionales.Cambiodesignosyexponenciandoobtenemos la funcin de supervivencia StX texxkxk dondet es la funcin de supervivencia basal. As, el efecto de los valores covariables X en la funcin de supervivencia es para elevar a una potencia dada por el riesgo relativoexxkxk Para la interpretacin del modelo y ejemplosde cmo las covariables Sea: . denota el conjunto de riesgos en el tiempo , es decir, el conjunto de eventos en virtuddeltiempoobservacin .Dado yqueeneltiempouneventoen ocurra, laprobabilidadqueseaprecisamenteeleventopuedesercalculado como: un factor (t) fue cancelado fuera del numerador y denominador. Po lo tanto Cox proponequelainterferenciaestadsticadepuedeserllevadofuera considerando: comounafuncindeverosimilitudpara,loscualeselnivel,conmuestras grandesestndar,lateoradeprobabilidadmximasepodraaplicar.Cada trminoenesteproductoeslaprobabilidadqueeneltiempodeunevento observado, sea precisamente el . Pruebas de hiptesis del modelo Una vez obtenida la expresin de verosimilitud parcial para el problema de estudio sta se resuelve como si fuera una expresin de verosimilitud ordinaria completa. Paraellosecalculaelvectordepuntuacionesovectordeprimerasderivadas determinado por: donde El vector tiene media=0 y matriz de covariancias denominada matriz de informacin esperada o de Fisher, cuyos elementos vienen dados por: La matriz de informacin observada tiene elementos definidos por: Bajo la hiptesis nula , el estadstico se distribuye asintticamente segn una distribucin de ji- cuadrado con k (nmero de covariables en el modelo) grados de libertad. EsteresultadopermiteprobarlahiptesisnulasegnlacualelvectorBde coeficientes de regresin es un vector nulo. Loscoeficientesderegresinindicanlarelacinexistenteentrelacovariable correspondientey lafuncindeazar.Unvalorpositivodelcoeficientesuponeun aumentoenelvalordelafuncindeazarparaelsujeto,loqueconllevauna relacinnegativaconeltiempodesupervivencia.Uncoeficientenegativotiene una interpretacin opuesta a la explicada. Relacinde f (t) con la distribucin exponencial. Supongamos que la tasa de riesgo no vara en el tiempo, es decir para . A partir de esta suposicin se obtiene siendolaconstantedeintegracin.Lacondicin implica necesariamente , y la solucin que se obtiene es Estaeslafuncindesupervivenciadeladistribucinexponencial,porquela funcin de densidad es: La distribucin exponencial queda caracterizada por la funcin de riesgo, sies grandeindicaaltoriesgoypequeasupervivencia,porlotanto,siespequea indica bajo riesgo y alta supervivencia. Se obtiene que el estimador mximo-verosmil de es: El intervalo de confianza para al nivel de confianza donde es el cuantil x de una con grados de libertad Relacinde f(t) con la distribucin gamma. El modelo gamma est definido por la funcin de probabilidad Siento la funcin gamma, definida como: Como =1, la funcin de probabilidad cuando es la exponencial. Otro caso particular de esta funcines , siendor un nmero natural, que recibe el nombre de ji-cuadrado con r grados de libertad. Del mismo modo que lavariabletiempohastaqueocurraelprimereventodeunprocesoesde Poisson es exponencial, la variable tiempo hasta que ocurra el evento k-simo es gamma con k. Relacinde f(t) con la distribucin de Poisson. Teniendo del modelo de riesgo proporcional: Podemos considerar una aproximacin de la funcin de riesgo basal basada enunadivisindelaescaladetiempoen intervalos donde . Los intervalos cubren todo el perodo, no se solapan y tienen una longitud distinta de cero. En cada intervalo se asume que el riesgo es constante. De esta forma, es aproximada por una funcin a trozos (step function): Porconsiguienteelmodeloderiesgosproporcionalesconsiderandoesta aproximacin para seria:

Aplicandologaritmosobservamosqueesunmodelolog-lineal(regresinde Poisson): donde Podemos ajustar un modelo Poisson tratando los indicadores de evento como si fuesen observaciones independientes de una Poisson con media donde es la funcin de riesgo del individuo i en el intervalo k. Por consiguiente, tendremos: log log log log donde log Sepuedeapreciarlasimilitudenlaexpresindelpiecewiseexponentialmodel definidoparaelmodeloderiesgosproporcionalesymodelolog-linealPoisson tomandocomorespuestaytrminooffsetlog Adems,Holford demostr que la verosimilitud para el modelo Poisson y la delmodelo de riesgos proporcionalespiecewiseexponentialeranproporcionales.Esdecir,eran semejantes excepto por un trmino constante que no afectara en la estimacin de losparmetros.Porlotanto,seobtendralasmismasestimacionesdelos parmetros si se utilizar el modelo Poisson.

Ilustracin 1Algunosmodelosmatemticosutilizadosparaanlisisdesupervivencia. Ilustracin1. Distribucin Gamma. Ilustracin 2. Distribucin Exponencial. Ilustracin 2 EJEMPLO: Estmese la funcin de supervivencia, asumiendo el modelo gamma, y realcese la prueba de la bondad de ajuste, para los datos de la tabla. La salida del PRESTA es (ntese que se denomina parmetro A a y parmetro B a ParmetroError Estndar A7.84341.85924 B.08169.00947 Matriz de Covarianzas AB A.73824.00772 B.00772.00009 LOGARITMO DE MAXIMA VEROSIMILITUD SIN MODELO -388.936400 LOGARITMO DE MAXIMA VEROSIMILITUD DEL MODELO -460.552600 JI-CUADRADO: 143.23240 G.L.: 64 p= .000000 TABLA DE VALORES OBSERVADOS Y ESPERADOS (SOLO CUENTAN LOS EVENTOS) INTERVALOOBSERVADOSESPERADOSCONT. JI2 160.20 3.00 4.36 .4233 RUEBA DE BONDAD DE AJUSTE JI-CUADRADO: 2.96491 G.L.: 7 p= .888640 Conambaspruebasdebondaddeajusteseaceptaelmodelogammayenlagrfica tambin se observa que el modelo es satisfactorio. AlhacerdeunabsquedasobreaplicacionesdelmodelodeCox,encontramos con artculos sobre esto los cuales estn en las siguientes ligas: -AplicacindelmodelodeCoxparaestimardeldesempeodeproveedoresde servicio de mantenimiento.Aqu -ModeloderegresindeCox:ejemplonumricodelprocesodeestimacinde parmetros. Aqu Bibliografa: COX,D.R.(1972).Regressionmodelsandlife-tables.JournaloftheRoyal Statistical Society, PALMER,A.(1988).Anlisisdelasupervivencia.Barcelona:Universidad Autnoma de Barcelona. D.Y.LIN(1994)Coxregressionanalysisofmultivariatefailuretimedata:the marginal approach, Seattle: university of Washington, U.S.A RICHARDD.GILLJournaloftheAmericanStatisticalAssociation,Volume79, issue 386 (Jun, 1984) pp 441-447 D.R COX Journal of the Royal Statistical Society, Series B, Vol. 34, No. 2(1972) pp 187-220 X.DDURANJORD,ComparacindelaregresinPoissonylaregresinde Cox, Universitat Pompeu Fabra, Octubre 2010 COLLETD..(1994),ModellingSurvivalDatainMedicalResearch,Chapmanand Hall: London