Modelización de Sistemas Biológicos (Parte...
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Modelización de Sistemas Biológicos (Parte I) Modelización de Sistemas Biológicos (Parte I) FIUNER
Transcript of Modelización de Sistemas Biológicos (Parte...
Modelizacioacuten de Sistemas Bioloacutegicos(Parte I)
Modelizacioacuten de Sistemas Bioloacutegicos(Parte I)
FIUNER
Organizacioacuten
bull Parte I
ndash Introduccioacuten concepto de modelo
ndash Etapas de la modelizacioacuten
ndashModelos Compartimentales
ndashModelos Poblacionales
ndashModelos por Analogiacuteas
Modelos por analogiacuteas
bull Repaso
bull Conceptos y definiciones
bull Etapas de la modelizacioacuten
bull Del modelo conceptual al fiacutesico
bull Del modelo fiacutesico al matemaacutetico
bull Ejemplo modelo de Hodgking-Huxley
Modelizacioacuten por analogiacuteas
bull Generalmente el conocimiento del
modelador en un campo o domino puede ayudarlo en la construccioacuten de un modelo para un campo anaacutelogo
bull En la naturaleza se pueden encontrar sistemas
de distintos tipos con dinaacutemicas similares
Dinaacutemicas similares
)(1
tEdtiC
RiLdt
di
)( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 1 El Modelo de Hodgkin-Huxley
0 totm Idt
dVC
Circuito equivalente de
la Membrana en Reposo
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID
(transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada
Gcn5 Acetyltransferase)] compiten para
ensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el
ADN via el el reclutamiento del promotorTBP
para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
I Ra Rpv Rdv
Rf
If Io
Ro
Vvs
IadCic
Vic
Pa
Ca
Vv = Vic
Va
Vic
Vc
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q
IC J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
dfLe
Kirchhoff
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
k
3
21-
4
)(
cmmW 36
)()(
)(
Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
apmm
gg
ngg
hmgg
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
tIEvgdt
dvC
4
3
)()(
Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Organizacioacuten
bull Parte I
ndash Introduccioacuten concepto de modelo
ndash Etapas de la modelizacioacuten
ndashModelos Compartimentales
ndashModelos Poblacionales
ndashModelos por Analogiacuteas
Modelos por analogiacuteas
bull Repaso
bull Conceptos y definiciones
bull Etapas de la modelizacioacuten
bull Del modelo conceptual al fiacutesico
bull Del modelo fiacutesico al matemaacutetico
bull Ejemplo modelo de Hodgking-Huxley
Modelizacioacuten por analogiacuteas
bull Generalmente el conocimiento del
modelador en un campo o domino puede ayudarlo en la construccioacuten de un modelo para un campo anaacutelogo
bull En la naturaleza se pueden encontrar sistemas
de distintos tipos con dinaacutemicas similares
Dinaacutemicas similares
)(1
tEdtiC
RiLdt
di
)( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 1 El Modelo de Hodgkin-Huxley
0 totm Idt
dVC
Circuito equivalente de
la Membrana en Reposo
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID
(transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada
Gcn5 Acetyltransferase)] compiten para
ensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el
ADN via el el reclutamiento del promotorTBP
para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
I Ra Rpv Rdv
Rf
If Io
Ro
Vvs
IadCic
Vic
Pa
Ca
Vv = Vic
Va
Vic
Vc
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q
IC J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
dfLe
Kirchhoff
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
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3
21-
4
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)(
Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
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dn
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mm
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gg
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ggg
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gggg
donde
tIEvgdt
dvC
4
3
)()(
Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Modelos por analogiacuteas
bull Repaso
bull Conceptos y definiciones
bull Etapas de la modelizacioacuten
bull Del modelo conceptual al fiacutesico
bull Del modelo fiacutesico al matemaacutetico
bull Ejemplo modelo de Hodgking-Huxley
Modelizacioacuten por analogiacuteas
bull Generalmente el conocimiento del
modelador en un campo o domino puede ayudarlo en la construccioacuten de un modelo para un campo anaacutelogo
bull En la naturaleza se pueden encontrar sistemas
de distintos tipos con dinaacutemicas similares
Dinaacutemicas similares
)(1
tEdtiC
RiLdt
di
)( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 1 El Modelo de Hodgkin-Huxley
0 totm Idt
dVC
Circuito equivalente de
la Membrana en Reposo
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID
(transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada
Gcn5 Acetyltransferase)] compiten para
ensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el
ADN via el el reclutamiento del promotorTBP
para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
I Ra Rpv Rdv
Rf
If Io
Ro
Vvs
IadCic
Vic
Pa
Ca
Vv = Vic
Va
Vic
Vc
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q
IC J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
dfLe
Kirchhoff
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
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3
21-
4
)(
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)()(
)(
Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
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LL
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NaNa
LKNa
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gggg
donde
tIEvgdt
dvC
4
3
)()(
Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Modelizacioacuten por analogiacuteas
bull Generalmente el conocimiento del
modelador en un campo o domino puede ayudarlo en la construccioacuten de un modelo para un campo anaacutelogo
bull En la naturaleza se pueden encontrar sistemas
de distintos tipos con dinaacutemicas similares
Dinaacutemicas similares
)(1
tEdtiC
RiLdt
di
)( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 1 El Modelo de Hodgkin-Huxley
0 totm Idt
dVC
Circuito equivalente de
la Membrana en Reposo
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID
(transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada
Gcn5 Acetyltransferase)] compiten para
ensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el
ADN via el el reclutamiento del promotorTBP
para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
I Ra Rpv Rdv
Rf
If Io
Ro
Vvs
IadCic
Vic
Pa
Ca
Vv = Vic
Va
Vic
Vc
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q
IC J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
dfLe
Kirchhoff
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
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21-
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cmmW 36
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Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
)1(
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LL
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NaNa
LKNa
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gg
ngg
hmgg
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
tIEvgdt
dvC
4
3
)()(
Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Dinaacutemicas similares
)(1
tEdtiC
RiLdt
di
)( tFdtvkhvMdt
dv
Ejemplo 1 El Modelo de Hodgkin-Huxley
0 totm Idt
dVC
Circuito equivalente de
la Membrana en Reposo
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID
(transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada
Gcn5 Acetyltransferase)] compiten para
ensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el
ADN via el el reclutamiento del promotorTBP
para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
I Ra Rpv Rdv
Rf
If Io
Ro
Vvs
IadCic
Vic
Pa
Ca
Vv = Vic
Va
Vic
Vc
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q
IC J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
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P IdQ
dt
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
dfLe
Kirchhoff
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
k
3
21-
4
)(
cmmW 36
)()(
)(
Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
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LL
kk
NaNa
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
apmm
gg
ngg
hmgg
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
tIEvgdt
dvC
4
3
)()(
Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 1 El Modelo de Hodgkin-Huxley
0 totm Idt
dVC
Circuito equivalente de
la Membrana en Reposo
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID
(transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada
Gcn5 Acetyltransferase)] compiten para
ensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el
ADN via el el reclutamiento del promotorTBP
para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
I Ra Rpv Rdv
Rf
If Io
Ro
Vvs
IadCic
Vic
Pa
Ca
Vv = Vic
Va
Vic
Vc
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q
IC J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
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P IdQ
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Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
dfLe
Kirchhoff
a
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b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
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0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
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NaNa
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21-
4
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cmmW 36
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Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
nbnadt
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mbmadt
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gg
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gggg
donde
tIEvgdt
dvC
4
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Dos complejos de proteiacutenas [TFIID
(transcription factor IID) y SAGA (Spt Ada
Gcn5 Acetyltransferase)] compiten para
ensamblar la maquinaria de transcripcioacuten en el
ADN via el el reclutamiento del promotorTBP
para formar el Complejo de PreIniciacioacuten
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
I Ra Rpv Rdv
Rf
If Io
Ro
Vvs
IadCic
Vic
Pa
Ca
Vv = Vic
Va
Vic
Vc
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q
IC J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
dfLe
Kirchhoff
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
k
3
21-
4
)(
cmmW 36
)()(
)(
Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
apmm
gg
ngg
hmgg
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
tIEvgdt
dvC
4
3
)()(
Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
bull La activacioacuten de una maquinaria de transcrip
vaacutelvulas
bull Los reguladores
presioacuten externa
(determinan el caudal)
bull Interconexioacuten entre los agentes de modulacioacuten (influencian la expresioacuten del ARNm)
Topologiacutea de la red
Ejemplo 2 Generacioacuten de mARNcomo Flujo en una Red de Tuberiacuteas
Ejemplo 3Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
I Ra Rpv Rdv
Rf
If Io
Ro
Vvs
IadCic
Vic
Pa
Ca
Vv = Vic
Va
Vic
Vc
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q
IC J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
dfLe
Kirchhoff
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
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3
21-
4
)(
cmmW 36
)()(
)(
Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
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mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
apmm
gg
ngg
hmgg
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
tIEvgdt
dvC
4
3
)()(
Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 3Modelo del Sist CardioVascular
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
I Ra Rpv Rdv
Rf
If Io
Ro
Vvs
IadCic
Vic
Pa
Ca
Vv = Vic
Va
Vic
Vc
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q
IC J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
dfLe
Kirchhoff
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
k
3
21-
4
)(
cmmW 36
)()(
)(
Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
apmm
gg
ngg
hmgg
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
tIEvgdt
dvC
4
3
)()(
Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ejemplo 4 Modelo de la Presioacuten IntraCraneal
DC
DC
I Ra Rpv Rdv
Rf
If Io
Ro
Vvs
IadCic
Vic
Pa
Ca
Vv = Vic
Va
Vic
Vc
2
1
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q
IC J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
dfLe
Kirchhoff
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
k
3
21-
4
)(
cmmW 36
)()(
)(
Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
apmm
gg
ngg
hmgg
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
tIEvgdt
dvC
4
3
)()(
Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Variables generalizadas
Para el anaacutelisis de la dinaacutemica de estos sistemas se consideran dos tipos de variables generalizadas
bull a) Las variables que fluyen a traveacutes de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente f
bull b) Las variables esfuerzo entre los extremos de un elemento del sistema las cuales se denominan geneacutericamente e
ΔP ΔV
ΔC
Q
IC J
ΔT
Fick
J flujo de un ion
D Coef de difusioacuten
Cx
DAJ
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
dfLe
Kirchhoff
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
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dnv
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NaNa
k
n
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k
3
21-
4
)(
cmmW 36
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Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
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)1(
)1(
LL
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NaNa
LKNa
LLKKNaNam
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gg
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gggg
donde
tIEvgdt
dvC
4
3
)()(
Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Variables generalizadas
Naturaleza del
sistema
Variable a traveacutes Variable entre
Eleacutectrico Corriente eleacutectrica
i
Diferencia de potencial V
Mecaacutenico Velocidad v Fuerza F
Hidraacuteulico Caudal Q Diferencia de presioacuten P
Teacutermico Flujo caloriacutefico q Diferencia de temperatura T
Quiacutemico Flujo molar q Diferencia de concentracioacuten C
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
dfLe
Kirchhoff
a
0
b
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E3
f1 f2
f3
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0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
k
3
21-
4
)(
cmmW 36
)()(
)(
Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
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mm
)1(
)1(
)1(
LL
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LKNa
LLKKNaNam
LKNa
apmm
gg
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gggg
donde
tIEvgdt
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4
3
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Variables generalizadas
bull En base a estas analogiacuteas se puede definir una ley generalizada que relaciona los dos tipos de variables
e = Zf
donde Z es una impedancia generalizada
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
t
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1
Elementos almacenan EC
V Ldi
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F mdv
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P IdQ
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Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
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Kirchhoff
a
0
b
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E3
f1 f2
f3
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0)0()0()( abba eeee
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Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
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m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
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4
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Tipos de elementos
bull Elementos que disipan energiacutea
bull Elementos que almacenan energiacutea potencial
bull Elementos que almacenan energiacutea cineacutetica
Asumiendo linealidad
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
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Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
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Elementos almacenan EC
V Ldi
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P IdQ
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Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
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Kirchhoff
a
0
b
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E3
f1 f2
f3
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0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
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ClPKPNaP
ClPKPNaP
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Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
k
3
21-
4
)(
cmmW 36
)()(
)(
Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
)1(
LL
kk
NaNa
LKNa
LLKKNaNam
LKNa
apmm
gg
ngg
hmgg
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
tIEvgdt
dvC
4
3
)()(
Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Elementos disipadores
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Resistencia eleacutectrica V = Ri
Mecaacutenico Rozamiento mecaacutenico F = Rmv
Hidraacuteulico Resistencia al flujo P = RhQ
Teacutermico Resistencia teacutermica T= Rtḉ
Quiacutemico Resistencia de difusioacuten
Ley que la
gobierna
Ohm
Poiseuille
Fourier
FickCx
DAJ
fZe
CCC 21
C2C1
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
dtqCT
1
Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
t
fdtC
e0
1
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
dt
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
dfLe
Kirchhoff
a
0
b
ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
f2
0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
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Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Capacitor
Mecaacutenico Resorte
Hidraacuteulico Compliancia
Teacutermico Masa teacutermica
Elementos almacenan EP (estaacutetica)
dtiC
V 1
dtvkF
dtQCoP
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Quiacutemico CapacitanciaCCdtJ m
ΔPΔV
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V Ldi
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Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
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Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
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i
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N
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Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
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El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
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ClPKPNaP
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Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
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N
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aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
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Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
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Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Elementos almacenan EC
V Ldi
dt
F mdv
dt
P IdQ
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Sistemas Elemento fiacutesico Siacutembolo Ecuacioacuten
Eleacutectrico Inductancia
Mecaacutenico Inercia (masa)
Hidraacuteulico Inertancia
dt
dfLe
Kirchhoff
a
0
b
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E3
f1 f2
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0)0()0()( abba eeee
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Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
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Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
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RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
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3
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Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
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4
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Kirchhoff
a
0
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ea ebE1 E2
E3
f1 f2
f3
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0)0()0()( abba eeee
0)()( 321 fff
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
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i
en
N
N
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Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
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El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
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Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
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Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
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0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
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N
N
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Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
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Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
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Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Elementos en paralelo
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
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N
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Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
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ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
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Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
k
3
21-
4
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Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
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dn
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)1(
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LL
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
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ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
El Modelo de Hodgkin-Huxley de membrana de Axoacuten
Modelizacioacuten de sistemas bioloacutegicos
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
RTV ln
Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
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g
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Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
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bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
La Bomba Na+ K+
bull Ingreso de 2K+ por cada 3Na+ que salen
bull 13 de la energiacutea
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
en
N
N
zF
RTV ln
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
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Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
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N
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zF
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aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
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Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
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donde
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4
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
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bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Ecuacioacuten de Nernst
bull Describe coacutemo una diferencia en la concentracioacuten ioacutenica puede resultar en una diferencia de potencial
R constante universal de los gases
T temperatura absoluta
z carga en el ioacuten N
F constante de Faraday
i
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N
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Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
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ClPKPNaP
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F
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aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
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zF
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aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
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Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
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Modelo Matemaacutetico
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Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Fuerza de arrastre
Na+
X
Exterior(+) Interior(-)
Cl-Cl-
X
K+
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
eLiKiNam
ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
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Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
RTbPn
Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
dVC
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
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aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
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m n y h dinaacutem de 1deg orden
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EgEgEgE
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donde
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
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bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
El potencial de membranabull Estado de equilibrio
bull Control del volumen
bull Balance entre Difusioacuten y Diferencia de Potencial Eleacutectrico
bull No hay corriente neta a traveacutes de la membrana debido a que la difusioacuten es balanceada por la diferencia de potencial eleacutectrico
iLeKeNa
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ClPKPNaP
ClPKPNaP
F
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Ecuacioacuten de Goldman-Hodgkin-Katz
aF
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Pn permeab de la membrana al ioacutenmicro movilidad del ioacutenb coeficiente de particioacuten aceiteaguaa espesor de la membranaSustancia muy soluble en aceiteb grande
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
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Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
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aF
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Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
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cmmW 36
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Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Modelo del circuito eleacutectrico de la membrana
bull La membrana separa cargas Capacitor
bull Hay difusioacuten pasiva (escape) de iones Resistencia
0 totm Idt
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Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
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Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
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Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
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Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
k
3
21-
4
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cmmW 36
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Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
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dh
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dn
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hh
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LL
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
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ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Circuito Equivalente de la Membrana en Reposo
i
en
N
N
zF
RTV ln
aF
RTbPn
Ioacuten Permeabilidad Potenc de Nernst
K+ 6x10-6 -72 mV
Na+ 8x10-9 55 mV
L- 1 -50 mV
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
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Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Membrana en reposo
In IL Em
Em=rnIn+En
In=gn(Em-En)gK=0367 mScm2
gNa=001 mScm2
gL=030 mScm2
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
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Modelo Matemaacutetico
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
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ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Potencial de accioacuten
bull Tejidos exitables
bull Saca del estado de equilibrio
bull Sentildealiza
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
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bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Hodgkin y Huxley (1939)
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
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bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Hodgkin y Huxley (1939)
1mm
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
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Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
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Potencial de Accioacuten
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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Modelo del cable
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Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
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bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Hodgkin-Huxleybull Existe un umbral
bull Existe un periacuteodo refractario
bull El potencial de accioacuten puede propagarse (de 20 a 120 mseg)
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
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Potencial de Accioacuten
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Potencial de accioacuten
Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
bull Pinzado de voltaje (voltage clampldquo)
bull Humbral
bull Corrientes selectivas
ndash Corriente explosiva de entrada de Na+
ndash Corriente lenta de salida de K+
bull Permeabilidades (gn) son funcioacuten de Vm y t
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
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an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
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bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
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Conduccioacuten saltatoria
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bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
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Hodgkin-Huxley(1957 premio Nobel 1963)
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Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
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bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Potencial de accioacuten
Variacioacuten de Vm
Variacutean Conductancias
Variacutean Potenciales de Nernst
Potencial de Accioacuten
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
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bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Potencial de Accioacuten
hmgvg
g
nvndt
dnv
ngg
tvfdt
dg
NaNa
k
n
kk
k
3
21-
4
)(
cmmW 36
)()(
)(
Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
hbhadt
dh
nbnadt
dn
mbmadt
dm
hh
nn
mm
)1(
)1(
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LL
kk
NaNa
LKNa
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apmm
gg
ngg
hmgg
ggg
EgEgEgE
gggg
donde
tIEvgdt
dvC
4
3
)()(
Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
hmgvg
g
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dnv
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Modelo Matemaacutetico
m n y h dinaacutem de 1deg orden
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
hbhadt
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dn
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Modelo Matemaacutetico
am(v) = 01(45+v)(1-e-((45+v)10))
bm(v) = 4e-((70+v)18)
an(v) = 001(v+60)(1-e-((60+v)10))
bn(v) = 0125e-((70+v)80)
ah(v) = 007 e-((70+v)20)
bh(v) = 1(1+e-((40+v)10))
Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
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bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
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Modelo del cable
Error de la graacutefica seguacuten el modelo de H-H las conductancias estaacuten en serie con los potenciales de Nernst
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Conduccioacuten saltatoria
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
Bibliografiacutea
bull ldquoPhysiological Control Systemsrdquo Michael C Khoo IEEE Press 2000
bull Introduccioacuten a la Bioingenieria Marcombo-Boixareu Editores 1988
bull ldquoMathematical Physiologyrdquo J Keener ndash J Sneyd Volume 8 Springer 1988
bull Modelling with Diferencial Equations Burghes-Borrie
bull An introduction to Mathematical Modelling Bender
bull Elementos de Biomatematica Engel Sec Gral de la OEA Programa Regional de Desarrollo Cientifico 1979
bull Modelling and Control in Biomedical Systems Cobelli-Mariani 1988
bull Dynamics of Physical systems R Cannon McGraw-Hill
bull Farmacocineacutetica Cliacutenica John G Wagner Ed Reverteacute SA 1983
bull Drugs and Pharmaceutical Sciences Gibaldi
