Gómez‐Chacón,  I.  Mª  (Ed.)  (2011)  Modelizaciones  dinámicas  en  Matemáticas.  Usos  del  GeoGebra. 

Publicaciones  Instituto  GeoGebra  de  Madrid.  Cátedra  Miguel  de  Guzmán,  Facultad  de  Ciencias 

Matemáticas, Universidad Complutense de Madrid. Cd‐Rom.

 

MODELIZACIÓN, TECNOLOGÍA Y CONTENIDO MATEMÁTICO. ANÁLISIS DE PROYECTOS

Laura Elena Mateos Pérez

María José Lara Puente Inés Mª Gómez-Chacón

Facultad de Ciencias Matemáticas Universidad Complutense de Madrid

El objetivo de este artículo es presentar algunas ejemplificaciones de los procesos de modelización, poniendo de relieve los usos de GeoGebra. Se han seleccionado los módulos Pensamientos matemáticosiy Curvas de persecuciónii incluidos en la sección Modelización de la presente publicación.

Se expondrá no sólo el procedimiento, sino también las motivaciones de las autoras y autores al desarrollarlos y las diferentes transiciones que deben llevarse a cabo durante la modelización consideradas pertinentes para trabajar con los estudiantes de Secundaria y Bachillerato.

Las fases que se tendrá en cuenta para la descripción de la modelización se recogen en la Figura 1.

Figura 1: Proceso de Modelización Matemática

Para el lector interesado en más información sobre las fases y las transiciones entre fases de modelización remitimos al texto de Gómez-Chacón (2011) Modelización matemática en contextos tecnológicos.

A- Situación del Mundo Real

B- Modelo Matemático

C- Conclusiones Matemáticas

Interpretación

Análisis

Interpretación

D- Conclusiones Predicciones

Traslación

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1. Ejemplo 1: Pensamientos Matemáticos

El problema real a modelizar se enuncia como sigue:

Un jardinero debe plantar pensamientos en un jardín de 100 m2 de forma cuadrangular. El problema está en que no sabe cuántos van a caber, y por eso se decide a plantear un problema matemático: ¿Cuántos pensamientos caben en un jardín cuadrangular de 100m2?

Siguiendo el esquema de las fases se describen los procesos seguidos.

Fase A: Situación del mundo real

La primera fase de la modelización es describir una situación-problema de la realidad. El enunciado del problema nos indica el objetivo principal de este proyecto: calcular el número de pensamientos que pueden plantarse en un jardín de determinadas dimensiones. La necesidad de crear un modelo se hace presente nada más observar la flor: las formas de los pétalos no son figuras geométricas simples como circunferencias o elipses, y además, los pétalos laterales y el central guardan una relación de tamaño, que debe mantenerse sea cual sea la flor y sus dimensiones, como puede verse en la Figura 2.

Figura 2: Solución final del problema

El modelado es complejo y puede presentar dificultades a los estudiantes. Para simplificar la situación se comienza por modelizar una hoja, ya que es un elemento más sencillo y que nos ayudaría a conseguir una idea concisa e intuitiva de lo que realmente es la modelización. El acercamiento previo a la construcción del cálculo del área nos induce a pensar que, como las hojas tienen todas aproximadamente la misma forma, pero no el mismo tamaño, éste, y por tanto el área, deberá depender de algún elemento de la modelización.

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Fase B: Modelo matemático

En los Cuadros 1 y 2 se esquematiza las interacciones entre procesos de modelización, tecnología y Matemáticas para este problema.

Interacciones Ejemplo en el problema

Modelización ∩ Contenido matemático

Situación de la realidad: calcular el área de una hoja.

Modelización ∩ Tecnología

Se decide utilizar el programa GeoGebra para su construcción, al ser un problema geométrico.

Contenido Matemático ∩ Tecnología

Circunferencias, puntos de corte, intersección de figuras.

Visualización geométrica del problema, reconocimiento de simetrías.

Modelización ∩ Contenido Matemático ∩ Tecnología

Problema de homotecias. El aspecto de la hoja depende del radio de las circunferencias, pero debe mantenerse sea cual sea éste. Necesidad de utilizar objetos dependientes en GeoGebra.

Cuadro 1: Interacciones entre procesos de modelización, tecnología y Matemáticas

Una vez modelada la hoja, podemos calcular su área, ya que conocemos los elementos geométricos que la forman, y su relación entre ellos. La necesidad de la modelización se hace aquí presente, ya que sin ella los elementos y sus dependencias no se conocerían, imposibilitando éste cálculo.

Fase C y D: Conclusiones Matemáticas y predicciones

Con un poco de manejo en trigonometría se calcula el área, aunque, como era previsible, ésta depende del radio de las circunferencias iniciales. Dado un radio, podemos conocer fácilmente el área de una hoja, y suponiendo que todas ellas tuvieran las mismas dimensiones, con los datos proporcionados, también podemos calcular el número de hojas que caben en el jardín. Sin embargo, implícitamente hemos supuesto que:

1. Todas las hojas tienen el mismo radio en su modelización. Esto en la naturaleza no ocurre (generalmente). Un problema interesante sería calcular cuántas hojas caben, pero dando diferentes radios para las circunferencias, es decir, con hojas de distintos tamaños.

2. El jardín está completamente cubierto, sin hueco entre hoja y hoja y además, sin que ninguna de ellas se solape con otra.

A la vista de estas dos suposiciones no es difícil entender por qué la solución del problema, 961,54 hojas, difícilmente será exacto.

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Descripción del proceso Interacción Contenido matemático ∩ Tecnología

La parte curva de la hoja se asemeja a una circunferencia, trazamos una y comprobamos que para completarla necesitamos otra (para la otra curva). Las trazamos en primer lugar independientes, pero nos damos cuenta de que si son independientes, la hoja no mantiene su relación de forma y tamaño. Para solucionarlo, fijamos un punto A y otro B, y dibujamos las circunferencias con centros A y B y que pasan por B y A respectivamente. De esta forma depende la una de la otra, y así mismo la forma de la hoja y su tamaño dependerán también de esta distancia.

Representación mental y gráfica. Relaciones entre las figuras que componen las hojas, objetos dependientes.

Manipulación tecnológica con ordenador.

Para conseguir la curva lateral de la hoja, es necesario trazar otra circunferencia. Ésta debe ser más pequeña, y debe quedar “pegada” simétricamente a las otras dos. Trazamos una “a ojo” para hacernos una idea de cómo debe ser, pero necesitamos más elementos para mantener la relación forma-tamaño de la hoja. Por eso, ya que la hoja en sí depende de la distancia de los puntos A y B, esta circunferencia también debe depender de ella para mantener la simetría y para que quede “pegada”.

Búsqueda de una imagen mental e intuitiva. Paralelismo modelo matemático- realidad. Simetrías.

Para garantizar esta relación utilizamos los comandos “intersección” y “simétrico” haciendo así que los puntos que marquemos dependan sistemáticamente de las dos primeras circunferencias. Calculamos su intersección. A continuación, se calcula el punto medio de AB, E, y el punto medio de EB, F, que estarán todos en la recta que une A con B. Se señala a continuación un punto G de la circunferencia de centro A y que pasa por B, y su simétrico respecto de la recta a. Se traza a continuación la circunferencia de centro F y que pasa por G y G’.

Manipulación tecnológica con ordenador.

Cuadro 2: Análisis de proceso de resolución del primer problema.

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Transiciones entre fases de modelización

Ahora volvemos de nuevo a la Situación del mundo real. El problema está resuelto, pero aún es necesario reflexionar acerca de la solución hallada, y si ésta se corresponde con la realidad. Sabemos que la naturaleza no sigue unos patrones fijos, y que además hay otras formas de modelizar la hoja que se nos van ocurriendo mientras seguimos trabajando, por tanto no podemos más que concluir que, aunque la aproximación sea buena, nunca será exacta. Esta exactitud, lejos de ser un error matemático, reafirma que la realidad no puede ser absolutamente modelada. Es decir, las Matemáticas, aunque son un instrumento muy útil y bello, no cubren todos los diferentes aspectos de un elemento real como es una hoja.

En el proceso de modelización de la hoja, es necesario hacer hincapié en las diferentes transiciones que se han llevado a cabo y las dificultades que han supuesto (Figura 3).

Fase A

Enunciado del problema.

Transición 1

De la realidad a las Matemáticas.

Fase B

Realización del modelo.

Transición 4

¿Tiene sentido?

Interpretación en la realidad. Mejoras y reflexión.

Transición 2

¿Tiene sentido?

Relaciones entre elementos matemáticos.

Fase D

Solución al problema.

Para el valor r=1.3cm, f(1.3)=1.32 (Π /3 - √3/4) =A≈1.04 cm2=0,000104 m2

Por tanto en un jardín de 100m2, cabrán: 100/0,000104≈ 961,54 hojas.

Transición 3

De las Matemáticas a la realidad.

Fase C

Cálculos algebraicos.

A= Π r2/3 – (√3r (r/2))/2 = = r2 (Π /3 - √3/4)

Figura 3. Pensamientos matemáticos: Fases y transiciones en la modelización.

Transición 1: Interpretación. Durante este proceso se hace relevante la utilización de objetos dependientes en GeoGebra, para pasar de “dibujar” o “representar icónicamente” la hoja de la fotografía a “construirla”. Para ello es necesario entrar en la

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estructura geométrica interna de la hoja, descuidando detalles de la hoja en particular y generalizando esta estructura para cualquier hoja, independientemente de la longitud, anchura o tamaño habitual de ésta. Cabe destacar la utilidad de GeoGebra para estas construcciones y para diferenciar la construcción de la representación, como se ha detallado anteriormente.

Por tanto, llegados aquí hemos pasado el problema de un caso particular (la hoja concreta del problema) a uno más global utilizando elementos matemáticos como la simetría de la hoja, las homotecias, elementos geométricos como circunferencias, rectas, puntos de corte, entre otros. Gracias a ellos, podemos entender la estructura geométrica interna de la hoja. De esa forma, se abandona la realidad y se transforma la hoja en ente matemático preparado para ser estudiado. Transición 2: Análisis. Una vez transportado el problema al mundo matemático, hay que analizarle pero desde una perspectiva matemática. La hoja en sí deja de ser relevante, para dar prioridad a la estructura hallada y a la propia construcción de ésta. Nos movemos por lo tanto en el mundo de las Matemáticas, en un punto paralelo a la realidad, pero con un nexo: el problema.

REALIDAD MATEMÁTICAS

Jardín.

Flores: pensamientos.

Hojas.

Problema: calcular el área de una hoja.

Elementos restrictivos para el jardín: dimensiones, presupuestos,…

Contenidos matemáticos: simetrías, homotecias, figuras,…

Problema: calcular el área de una figura dada (la modelización de la hoja).

Instrumentos o herramientas: operaciones, reglas, formas de expresión, tecnología…

Figura 4. Nexos Matemáticas y realidad durante las transiciones.

Transición 3: Interpretación. En este momento, habiendo ya calculado el área de la hoja y vista su relación con el radio, podemos volver al problema inicial, y preguntarnos cuál es el número de hojas que caben en el jardín. De esta manera, a partir de resultados matemáticos se ha dado una solución de un problema de la realidad.

Transición 4: Traslación. Después del proceso, se debe reflexionar a acerca de la solución de éste y de todo el proceso de pensamiento llevado a cabo, para dar un sentido en la realidad a la solución numérica obtenida y quizá ampliarla o mejorarla, y así cerrar el ciclo.

Modelización y 

tecnología.

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2. Ejemplo 2: Curvas de persecución

Seguramente has visto alguna vez a un perro persiguiendo a un coche o a un ciclista, pero, ¿te has parado a pensar en el camino que sigue? El perro no puede prever lo que va a ir ocurriendo y, en consecuencia, no corre hacia donde estaría el coche cuando él lo pudiera alcanzar, sino que suele correr hacia donde está el coche en el mismo instante que lo ve. ¡Atrévete a modelizar la trayectoria que describe el perro!

Esta sencilla situación puede plantearse millones de veces en un mismo día con distintos objetos y distintos objetivos, por lo que puede resultar interesante estudiarla matemáticamente. Es un caso muy sencillo y entretenido para ver lo que se puede hacer con matemática básica y la ayuda de una herramienta tecnológica como GeoGebra, aunque no exenta de complejidad a la hora de su resolución.

Vamos a comenzar con el estudio del modelo para dos objetos descritos en el enunciado. Suponiendo (caso más sencillo) que la presa (coche) sigue una trayectoria rectilínea, (aunque la trayectoria de ésta también podría ser circular o elíptica), y que la posición inicial del depredador (perro) puede variar. Es decir, el problema que nos planteamos es estudiar las curvas que describen dos objetos, cuando uno está persiguiendo al otro, que se pueden modelizar con un programa adecuado e incluso estudiar dichas curvas como ecuaciones Matemáticas, una vez explicada que relación guarda la posición del perro con la del coche, en el caso de nuestro ejemplo.

Siguiendo el esquema de las fases se describen los procesos seguidos.

Fase A: Situación del mundo real.

Ya hemos expuesto cual sería en nuestro ejemplo la situación- problema que queremos modelizar. Deseamos saber si la presa alcanzaría o no a su presa dependiendo de las posiciones iniciales y de las velocidades que mantengan tanto presa como depredador. Por tanto, vamos a distinguir dos casos:

Modelo en el cual la relación de velocidades entre ambos seres sea v1=2v2,

siendo v1 la velocidad que lleva el coche y v2 la velocidad del perro.

Modelo en el cual ambos llevan la misma velocidad.

Figura 5: Solución final del problema. 

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La razón para comenzar por dicho modelo es que entendiendo el proceso a seguir en el caso más sencillo, con algunas modificaciones y adquiriendo destrezas con el programa, se pueden resolver el resto de casos en los que intervienen hasta 6 objetos en la persecución, creando unas figuras basadas en polígonos de n lados (intervienen n objetos en la persecución). Estos casos pueden despertar un gran interés por las figuras que se obtienen (Figura 7).

Figura 6: Figuras resultantes cuando intervienen 3, 4,5 y 6 objetos en la persecución.

Fase B: Modelo matemático.

En los Cuadros 3 y 4 se esquematiza las interacciones entre procesos de modelización, tecnología y Matemáticas para este problema.

Interacciones Ejemplo en el problema

Modelización ∩ Contenido matemático

Estudiar si en cada caso la presa sería o no alcanzada, quedando representadas las posiciones por puntos o coordenadas, la trayectoria por trazos curvilíneos o rectilíneos…

Modelización ∩ Tecnología

Vamos a apoyarnos para la resolución del problema en el GeoGebra, ya que nos permite trabajar sobre cuestiones geométricas, obtenemos figuras geométricas, trabajamos con trazos, uniones…

Contenido Matemático ∩ Tecnología

Trazos curvilíneos, intersecciones, cambio de posición... modificando las coordenadas de los puntos iniciales, uniendo sucesivas posiciones de ambos objetos…

Modelización ∩ Contenido Matemático ∩ Tecnología

El programa nos permite ver con claridad la solución del problema, ya que, realizando todas las modificaciones pertinentes en cuanto a las posiciones iniciales y las velocidades de ambos, podemos estudiar si se produce o no alcance a la presa (coche).

Cuadro 3: Interacciones entre procesos de modelización, tecnología y Matemáticas.

A continuación se especifica la descripción del proceso para el caso en que la velocidad del coche es doble que la del perro.

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Descripción del proceso Interacción Contenido matemático ∩ Tecnología

Antes de comenzar a manipular el problema con GeoGebra, debemos pensar dónde y cómo debemos situar tanto al perro como al coche.

En este caso nos resultará sencillo situar al coche sobre el eje de abscisas, y el perro en su momento inicial sobre el eje de ordenadas.

La figura muestra la trayectoria que suele seguir un perro en A, desde el momento en que ve un coche en la posición B.

Relaciones entre presa y depredador con los ejes de coordenadas. Representaciones tanto mentales como gráficas.

Debemos fijarnos y modificar poco a poco las distintas posiciones del perro, que modifica su trayectoria dependiendo de la posición del coche en cada instante.

Unimos por una recta los puntos A y B. Ésta es la dirección en la que el perro empieza a correr. Observamos que ningún perro puede cambiar fácilmente de dirección dando un salto en el aire, así que se moverá en esta misma dirección durante una corta distancia AC. Pero mientras el perro corre de A a C, el coche se desplaza de B a D. Al llegar a C, el perro cambia de dirección hacia el coche, que ahora está en B, y corre en esa dirección mientras el coche se desplaza de D a F.

Es importante en la construcción de nuestro modelo que todos los elementos dependan de los

Manipulación de posiciones, variando coordenadas de los puntos. (Es un proceso muy sencillo de realizar con el programa).

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dos puntos que representan las posiciones iniciales. Así también podemos obtener nuestra solución manipulando a nuestro antojo dichas posiciones iniciales definiendo el punto A como la intersección de dos rectas: una horizontal y otra vertical.

Reiteración del proceso para llegar a la solución final, es decir a la trayectoria que sigue el perro.

Cuadro 4: Análisis de proceso de resolución del primer problema.

¿Qué ocurre si ambos objetos llevan la misma velocidad?

Como muestra la Figura 7, no se produce el alcance entre el perro y el coche. El proceso sería análogo pero sin llegarse a producir el encuentro entre ambos.

Figura 7

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Fase C: Conclusiones Matemáticas

Con ciertos conceptos matemáticos y una adecuada herramienta tecnológica, hemos conseguido modelizar una situación real, que podemos observar diariamente, sabiendo tan sólo situar correctamente una serie de puntos, uniones entre ambos, estudiando intersecciones. Además, GeoGebra nos ha permitido visualizar y probar las conjeturas planteadas.

Fase D: Conclusiones y predicciones

Hemos obtenido la solución a nuestro problema, pero ésta no es la solución óptima. Hemos impuesto condiciones: las velocidades que deben llevar y las posiciones iniciales tanto del coche como del perro. Esto ha sido un supuesto que realmente no podemos aseverar. Hemos precisado que la relación de velocidades entre ambos sean exactamente éstas, lo que puede dar una buena solución pero quizás no la mejor.

Si pasamos a utilizar niveles superiores de matemática, podemos introducir ecuaciones diferenciales y otro programa de cálculo (Matlab) que nos ayudarían a precisar las soluciones. Con estos contenidos y herramientas se pueden realizar todas estas modificaciones y estudiar con pequeños cambios todos los “subproblemas” que pueden derivar a raíz del problema propuesto al inicio de esta ejemplificación. (Ver la sección curvas de persecución y ecuaciones diferenciales del módulo de aprendizaje Curvas de persecución).

Fase A

Enunciado del problema.

Transición 1

De la realidad a las Matemáticas.

Fase B

Realización del modelo.

Transición 4 ¿Tiene sentido? Interpretación en la realidad. Mejoras y reflexión.

Transición 2 ¿Tiene sentido? Relaciones entre elementos matemáticos.

Fase D

Solución al problema, pero no solución óptima, por la imposición inicial de ciertas velocidades.

Transición 3

De las Matemáticas a la realidad.

Fase C

Solución correcta para nuestro enunciado particular, relacionando posiciones iniciales con el resto de puntos.

Figura 8. Curvas de persecución: Fases y transiciones en la modelización.

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Transiciones entre fases de modelización

Ahora volvemos de nuevo a la Situación del mundo real. Ya hemos encontrado una solución, pero como hemos indicado anteriormente, ésta no es óptima, porque estamos poniendo restricciones a los elementos que intervienen en el problema, mientras que en la vida real no podemos controlar que el coche vaya a la misma velocidad que el perro que lo persigue, o que ambos siempre avancen a velocidades constantes.

Por tanto, la modelización es una herramienta matemática muy útil para resolver cualquier problema planteado, pero debemos tener en cuenta que en la mayoría de los casos se obtienen soluciones aproximadas.

Con este módulo de aprendizaje se pone de relieve que las Matemáticas son algo más que meras fórmulas abstractas y que pueden ser muy útiles en la resolución de problemas.

Transición 1: Interpretación

En este primer paso tenemos que pensar la mejor manera de pasar de la imagen mental de la situación planteada, a dibujarla en lápiz y papel, y posteriormente realizar una construcción del problema, haciendo depender los elementos que fuesen necesarios, en nuestro caso las posiciones iniciales. En este caso realizamos nexos entre los elementos de la realidad y los elementos matemáticos empleados, perro y coche, con puntos o coordenadas, la trayectoria de ambos con trazos curvilíneos o rectilíneos. Así pasamos de una situación cotidiana que podemos estar visualizando a un problema meramente geométrico, sin perder de vista hacia lo que queremos llegar, responder si se produce alcance.

Transición 2: Análisis

Ya tenemos el problema matemático (geométrico) planteado, y queremos ver si tiene sentido la manera de resolverlo, olvidándonos de la situación de partida.

Todo el proceso seguido para estudiar las dos situaciones planteadas es el correcto y nos ofrece dos soluciones distintas pero claramente válidas al problema, tanto para velocidades iguales como para velocidad del coche doble que la del perro. (Solución correcta para estos dos casos particulares).

Transición 3: Interpretación

Una vez obtenida una solución coherente y con total sentido para nuestro caso particular, nos planteamos qué ocurriría si la relación de velocidades entre el perro y el coche no se encuentra en ninguno de nuestros casos.

Transición 4: Traslación

En este momento deberemos reflexionar sobre el proceso seguido y ver posibles modificaciones que nos permitan mejorar nuestra solución, o al menos, poder generalizarla. Para ello en nuestro módulo de aprendizaje pensamos la idea de introducir ecuaciones diferenciales y el manejo del Matlab, aunque para alumnos de Secundaria y Bachillerato esto último resultaría demasiado complejo para su nivel.

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3. Conclusión

La resolución de problemas geométricos constituye uno de los ejes principales del proceso de enseñanza/aprendizaje de las Matemáticas, ayudando a fomentar la creatividad de los estudiantes y permitiendo desarrollar la capacidad de aprender por sí mismos. En estos módulos se despierta también el interés del alumno por lo desconocido y la capacidad de enfrentarse a problemas novedosos que anteriormente no se habían tratado.

Por otro lado, la introducción de las nuevas tecnologías para la resolución de este tipo de problemas, supone un aliciente más para enfrentarse al problema, ya que agiliza la resolución, ofrece la posibilidad de estudiar distintas posibles soluciones optimizando el tiempo de resolución de las mismas, y, sobre todo en esta nueva era en la que los alumnos cada vez se relacionan con las tecnologías a edades más tempranas, resulta interesante hacerles ver que la resolución de problemas con el ordenador puede ser entretenida y efectiva. El uso de herramientas como GeoGebra constituye un elemento clave no sólo para la construcción meramente técnica o procedimental, sino también para las transiciones entre las distintas fases de la modelización. Además, para los casos como los expuestos permite al resolutor establecer un vínculo fuerte entre la vida real y las Matemáticas; permitiendo modelizar realidades.

Es por esto que la interacción entre contenido matemático, modelización y tecnología puede ser ampliamente útil en la Educación Secundaria, abriendo además un nuevo horizonte a la enseñanza de las Matemáticas como un elemento interdisciplinar en el aula.

En síntesis, la modelización matemática no sólo permitiría a los alumnos y profesores un aprendizaje más profundo y motivador de las Matemáticas; sino que también reforzaría competencias básicas prescritas en el Diseño Curricular y haría de las Matemáticas una asignatura más atractiva, y posiblemente mejoraría la valoración positiva del alumnado.                                                             

i Patricia Blázquez Esquinas, Eva Kleinehollenhorst, Laura Elena Mateos Pérez.  ii Mª José Lara puente, Roberto Perales Torres, Elena Romero Román