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Modelado(tema 1)

Prof: Alberto [email protected]@comillas.eduIIT‐Despacho 3º‐3ª planta

Contenido• Optimización y ejemplos• Taxonomía• Problemas MLP característicos:

– Dieta, transporte, trasbordo y asignación (continuos)– Mochila, recubrimiento, partición, empaquetado y viajante (enteros)

• Modelado con variables enteras y binarias:• Modelado con variables enteras y binarias:– Modelado de restricciones especiales.– Modelado de implicaciones lógicas.p g– Modelado de dobles implicaciones.

• Modelado multiobjetivo– Introducción. Conjunto eficiente o de Pareto.– Programación por compromiso.P ió t

2Instituto de Investigación TecnológicaEscuela Técnica Superior de Ingeniería ICAI

Modelado

– Programación por metas.

11

Optimización y ejemplos

Optimización•• OptimizaciónOptimización:: DeterminaciónDeterminación dede unauna alternativaalternativa dede decisióndecisión concon lala

propiedadpropiedad dede serser mejormejor queque cualquiercualquier otraotra enen algúnalgún sentidosentido aa precisarprecisar

•• ElementosElementos dede unun problemaproblema dede optimizaciónoptimización::– Función objetivo: Medida cuantitativa del funcionamiento deljsistema que se desea optimizar (maximizar o minimizar)

– Variables: Representan las decisiones que se pueden tomar paraafectar el valor de la función objetivoafectar el valor de la función objetivo.

– Restricciones: Representan el conjunto de relaciones (ecuacionese inecuaciones) que las variables están obligadas a cumplir

• ResolverResolver:: EncontrarEncontrar valorvalor dede laslas variablesvariables queque optimizaoptimiza lala funciónfunción objetivoobjetivoyy satisfacesatisface todastodas laslas restriccionesrestricciones..yy satisfacesatisface todastodas laslas restriccionesrestricciones..


Modelado

Ejemplo (i): problema del camino mínimo


Modelado

Ejemplo (ii): tratamiento de cáncer de cerebro

• ¿Dónde aplicar radioterapia para maximizar el impacto en él l í i i i l d ñ t él l ?células cancerígenas y minimizar el daño a otras células?


Modelado

Ejemplo (iv): despacho de trenes: ecodriving• A. Ramos, M.T. Peña, A. Fernández, P. CucalaMathematical

programming approach to underground timetabling problem formaximizing time synchronization Revista de Dirección Organización ymaximizing time synchronization Revista de Dirección, Organización y Administración de Empresas CEPADE 35: 88‐95 Junio 2008(http://www.revistadyo.com/index.php/dyo/article/view/60/60)

http://www.antena3.com/noticias/economia/madrid‐presenta‐metrolinera‐estacion‐carga‐coches‐electricos‐que‐aprovecha‐frenada‐metro_2014031400210.html


Modelado

Ejemplo (v): programación de la generación

• Life itself is a matter of OR


Modelado

22

Taxonomía

Taxonomía (i)

• Atendiendo a la función objetivoLineal cuadrático no lineal no derivables– Lineal, cuadrático, no lineal, no derivables

• Atendiendo a las restricciones– Sin restricciones, lineales, no lineales, no derivables

• Atendiendo a las variables– Continuas, discretas, estocásticas


Modelado

Taxonomía (ii)

Métodos clásicos •Programación lineal•Programación lineal entera mixta•Programación cuadrática•Programación no lineal•Optimización estocásticaP ió di á i•Programación dinámica

•Teoría de grafos u optimización en redes

Otros métodos clásicos de decisión

•Teoría de la decisión•Teoría de juegos

Métodos metaheurísticos(Inteligencia Artificial)

•Algoritmos evolutivos (genéticos)•Recocido o templado simulado (simulated annealing)(Inteligencia Artificial) Recocido o templado simulado (simulated annealing)•Búsquedas tabú, aleatoria, avariciosa, dispersa (scatter search)•Enjambre de partículas (particle swarm). Sistemas


Modelado

j p (p )multiagente (colonias de hormigas)

Taxonomía (iii): métodos clásicos

• LP (linear programming)• MIP (mixed integer programming)• MILP (mixed integer linear programming)NLP ( li i )• NLP (non linear programming)

• QP (quadratic programming)DP (dynamic programming)• DP (dynamic programming)

• NF (network flow)


Modelado

Taxonomía (iv): formulación métodos clásicos

PROGRAMACIÓN PROGRAMACIÓN LINEAL PROGRAMACIÓNPROGRAMACIÓN LINEAL (CONTINUA) (LINEAR PROGRAMMING)

PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA MIXTA (MIXED LINEAR INTEGER PROGRAMMING)

PROGRAMACIÓN NO LINEAL (NON LINEAR PROGRAMMING)

LP

MLIP NLP

m in T

xc x min T Tc x d y min ( )

xf x

0

x

n n

A x bxx c

, 0

x

n l

Ax By bx y

( ) 0( ) 0

x

g xh xl x u

,,m n m

x cA b

,,

, ,

n l

n l

m n m l m

x y Zc dA B b

:, :

n

n m

fg h

, ,


Modelado

Taxonomía (v): métodos metaheurísticos

• GA (genetic algorithms)g g• TS (tabu search)• SA (simulated annealing)• SS (scatter search)• CE (cross entropy)• PS (particle swarm)• ACO (ant colony optimization)VNS ( i bl i hb h d h)• VNS (variable neighborhood search)


Modelado

33

Problemas MLP característicos

3.13.1

Problemas MLP continuos

Problema de la dieta (i)

•Las necesidades mínimas en la alimentación de una ternera son de 700 g de proteínas 28 g de calcio y 150 mg de vitaminas Los alimentosde proteínas, 28 g de calcio y 150 mg de vitaminas. Los alimentos disponibles son pienso y forraje con un coste unitario de 0.30 y 0.35 €/kg respectivamente. La composición nutritiva por kg:

Proteínas (g)

Calcio (g)

Vitaminas (mg)

Pienso 30 2 10 Forraje 45 1 5

Se trata de determinar la cantidad diaria óptima de cada alimento para minimizar el coste total de alimentación.S l ió

Forraje 45 1 5

Solución:•Índices:i indica el tipo de alimento {pienso,forraje} •Variables:xi: kgs de alimento i


Modelado

Problema de la dieta (ii)

NUNCA restricciones estrictas

Linealidad:Multiplicar números por

variables, NUNCA variables por

1 21 2,

1 2

min 0.30 0.35

30 45 700x x

x x

x x

+

+ ³mini

i ixi

c xå, p

variables

1 2

1 2

2 28

10 5 150

x x

x x

+ ³

+ ³

0

ij i ji

i

a x b j

x

³ "

³

ågeneral

1 20, 0x x³ ³0ix ³

Siendo en la formulación general:Si se suma en i

las restricciones Siendo en la formulación general:•Índices:j tipo de nutriente {proteínas, calcio, vitaminas}

se incluyen en j

•Parámetros (datos de partida, no variables):aij: g de nutriente j contenidos en 1 kg de alimento ibj: g mínimos de nutriente j requeridos


Modelado

j g j qci: coste unitario €/Kg de alimento i

Problema de transporte (i)• Minimizar el coste total de transporte de un producto desde unos orígenesa unos destinos, satisfaciendo la demanda de cada destino sin superar laf d bl doferta disponible en cada origen.

• Se supone todos los orígenes conectados con todos los destinos

11a 1

b1

2a

2b2 2

Parámetros:ai oferta en el origen i, bj demanda en el destino j

t it i d t t d d l i i l d ti j

manb

mn

cij coste unitario de transporte desde el origen i al destino j¿Cómo satisfacer la demanda sin superar la oferta con mínimo coste?


Modelado

Problema de transporte (ii)

Variables:X : cantidad transportada de origen i al destino jXij : cantidad transportada de origen i al destino j

m n

1 1

minij

ij ijX i j

n

c X

1 1, ,ij i

j

m

X a i m

1 1, ,

0

m

ij ji

X b j n

X i j

0 ,ijX i j


Modelado

Problema de trasbordo• Llevar un producto desde orígenes a destinos con puntos intermedios en una red de N nodos con mínimo costeÍndices: nodos i de la red• Índices: nodos i de la red

• Parámetros: cij coste unitario de transporte de nodo i a nodo j• Variables: Xij cantidad a transportar del nodo i al nodo j

1

24 7

b1=2

b 3

b7=-4b4=0bi>0 nodo origenb<0 nodo destino2

35 8

b2=3

b3=1 b8=-2b5=0

n n

bi<0 nodo destinobi=0 nodo trasbordo (ni genera ni consume)

1 1

1 2 31 1 1

min

2; 3; 1

ijij ijx i j

n n n

j j jj j j

c X

X X X

1 1

minij

n n

ij ijx i j

c X

l4 4 5 5

1 1 1 1

7 8

;

4; 2;

j j j

n n n n

j i j ij i j i

n n

i i

X X X X

X X

1 1

1, ,

0

n n

ij ji ij j

X X b i n

X i j

general


Modelado

7 81 1

4; 2;

0 ,

i ii i

ij

X X

X i j

0 ,ijX i j

3.23.2

Problemas MLP enteros

Problema de asignación

• El uso de variables enteras o binarias aumenta considerablemente las posibilidades de modelado respecto aconsiderablemente las posibilidades de modelado respecto a la programación lineal:

– Modelado de cantidades discretas (e.g. número de personas i t )que se asignan a una tarea).

– Modelado de decisiones que implican un coste fijo o de arranque:q

• Adquirir o no un activo (un edificio, una máquina, etc.)• Poner en marcha un proceso.

Modelado de decisiones que posibilitan la toma de otras– Modelado de decisiones que posibilitan la toma de otras decisiones:

• La compra de un determinado aparato (variable binaria) permite después tomar decisiones relativas a su operacióntomar decisiones relativas a su operación.

– Modelado de restricciones no lineales y no convexas.– Modelado de implicaciones y de condiciones lógicas.


Modelado

p y g

Problema de asignación• Asignar la realización de N tareas a N personas.• Índices y parámetros: cij coste de realizar la tarea i por la persona jObj ti Mi i i l t t t l d li l t j t• Objetivo: Minimizar el coste total de realizar las tareas sujeto a

– cada tarea debe ser hecha por una sola persona– cada persona debe realizar una única tarea.cada persona debe realizar una única tarea.

1 si se asigna la tarea a la persona ,

0 en cualquier otro casoij

i jX i j

0 en cualquier otro caso

1 1m in

ij

n n

ij ijx i jc X

11

j

n

ijj

X i

1

1

0 1

n

iji

X j

X


Modelado

0,1ijX

Problema de la mochila (i)• Supongamos una empresa que puede elegir entre nproyectos.

• Cada proyecto j (j=1,...,n) tiene un coste cj y supone un beneficio rj.L i á i d b• La empresa tiene un presupuesto máximo de b.

• El problema consiste en elegir aquellos proyectos que maximizan el beneficio respetando la restricción delmaximizan el beneficio respetando la restricción del presupuesto.


Modelado

Problema de la mochila (ii)

• Formulación:m B fi i d l

1max

j

m

j jx j

m

r x

Restricción de

Beneficio de los proyectos elegidos

1

s.a: ,m

j jj

c x b

Restricción de presupuesto

Variables binarias

• Aplicaciones:

0,1 , .jx j

– Asignación de presupuestos.– Organización de un almacén.– ...


Modelado

Problema de recubrimiento (i)

• Consideremos un conjunto S de personas:– Por ejemplo: S={1 2 5}– Por ejemplo: S {1, 2, ..., 5}– Utilizamos el índice i para representar las personas: i =1, ..., 5.

• Supongamos que queremos organizar a estas personas en p g q q g pvarios equipos conocidos:

– El conjunto de equipos posibles es P j l {{1 2} {4 5} {1 3 5} {2 4 5} {1} {3}}– Por ejemplo: = {{1, 2}, {4, 5}, {1, 3, 5}, {2, 4, 5}, {1}, {3}}

– Utilizamos el índice j para representar los equipos: j =1, ..., 6.– Cada equipo j tiene un coste c :– Cada equipo j tiene un coste cj:

c1 = 1, c2 = 1, c3 = 1.5, c4 = 1, c5 = 0.5, c6 = 0.5.• Queremos elegir los equipos que permiten tener ocupadas a g q p q p ptodas las personas con coste mínimo.

– No importa que una misma persona esté en dos equipos.


Modelado

Problema de recubrimiento (ii)

• Hay múltiples soluciones factibles, pero sólo un óptimo:

1 2 1 21 2

33

4

3

45

3

45

5 5

1 2

3

1 2

33

45

45


Modelado

Problema de recubrimiento (iii)

• Para formular el problema definimos una matriz cuyos elementos aij indican si la persona i está en el equipo j de . ij p q p jSon parámetros:

aij = 1 si la persona i está en el equipo j.aij = 0 en caso contrario.

• Sean ahora las variables:L f l ió

si se elige el subconjunto 1

0 en cualquier otro casoj

jx

ìïï= íïï• La formulación es:

im

Coste de los equipos

0 en cualquier otro casoïî

1min

1

jj j

x j

m

c x

i

Cada persona i en al menos un equipo

formados

1

s.a: 1, ,

0,1 , .

ij jj

j

a x i

x j

menos un equipo.

Variables binarias


Modelado

, , .j j

Problema de partición (i)

• Consideremos un conjunto S de personas:– Por ejemplo: S={1 2 5}– Por ejemplo: S {1, 2, ..., 5}– Utilizamos el índice i para representar las personas: i =1, ..., 5.

• Supongamos que queremos organizar a estas personas en p g q q g pvarios equipos:

– El conjunto de equipos posibles es P j l {{1 2} {4 5} {1 3 5} {2 4 5} {1} {3}}– Por ejemplo: = {{1, 2}, {4, 5}, {1, 3, 5}, {2, 4, 5}, {1}, {3}}

– Utilizamos el índice j para representar los equipos: j =1, ..., 6.– Cada equipo j tiene un beneficio c :– Cada equipo j tiene un beneficio cj:

c1 = 1, c2 = 1, c3 = 1, c4 = 4, c5 = 1, c6 = 1.• Queremos elegir los equipos que proporcionan beneficio g q p q p pmáximo de forma que cada persona esté en un equipo y sólo un equipo.


Modelado

Problema de partición (ii)

• Hay múltiples soluciones factibles, pero sólo un óptimo:

1 2

3

45

1 2 1 2

5

1 2

33

44

5

45


Modelado

Problema de partición (iii)

• La formulación es:

1max

j

m

j jx j

c x

Cada persona i en

Beneficio de los equipos formados

1

s.a: 1, ,m

ij jj

a x i

Cada persona i en

uno y sólo un equipo.

Variables binarias 0,1 , .jx j Variables binarias


Modelado

Problema de empaquetamiento (i)• Consideremos un conjunto S de personas:

– Por ejemplo: S={1, 2, ..., 5}j p { , , , }– Utilizamos el índice i para representar las personas: i =1, ..., 5.

• Supongamos que queremos organizar a estas personas en varios equipos:

– El conjunto de equipos posibles es Por ejemplo: = {{1 2} {4 5} {1 3 5} {2 4 5} {1} {3}}– Por ejemplo: = {{1, 2}, {4, 5}, {1, 3, 5}, {2, 4, 5}, {1}, {3}}

– Utilizamos el índice j para representar los equipos: j =1, ..., 6.– Cada equipo j tiene un beneficio cj:q p j j

c1 = 1, c2 = 1, c3 = 4, c4 = 1, c5 = 1, c6 = 1.• Queremos elegir los equipos que proporcionan beneficio máximo sin que exista solape.

– No importa que una persona no esté en ningún equipo.


Modelado

Problema de empaquetamiento (ii)• Hay múltiples soluciones factibles, pero sólo un óptimo:

1 21 2

1 21

3

4

3

45

3

454

55 5

1 2

3

1 2

3

45

3

45


Modelado

Problema de empaquetamiento (iii)

• La formulación es:

m Beneficio de los

1max

j

m

j jx j

m

c x

Cada persona i en

Beneficio de los equipos formados

1

s.a: 1, ,

0 1

m

ij jj

a x i

j

p

sólo un equipo.

Variables binarias 0,1 , .jx j


Modelado

Problema del viajante (i)

• Objetivo:Hacer un recorrido que pase por n ciudades sin repetir ninguna– Hacer un recorrido que pase por n ciudades sin repetir ninguna y volviendo a la ciudad de partida, de manera que la distancia total recorrida sea mínima.

• En este problema se tienen varias dificultades:– ¿Cuál es la variable de control?¿Cómo se garantiza que por cada ciudad se pasa sólo una vez?– ¿Cómo se garantiza que por cada ciudad se pasa sólo una vez?

– ¿Cómo se impide que haya bucles incompletos?• Vamos a ir respondiendo a cada una de estas preguntasVamos a ir respondiendo a cada una de estas preguntas.


Modelado

Problema del viajante (ii)

• Variable de control:Índices: vamos a utilizar los índices i y j para referirnos a las– Índices: vamos a utilizar los índices i y j para referirnos a las ciudades.

• i: ciudad origen.• j: ciudad destino.

– Parámetro de entrada: la distancia entre dos ciudades i y jviene dada por cij.p ij

– La variable de control es xij:

1 i j si se va de la ciudad a la ciudad1 0ij

i jx

si se va de la ciudad a la ciudaden otro caso


Modelado

Problema del viajante (iii)

• Formulación incompleta del problema:

minij

ij ijx i j i

c x Distancia recorrida

1, ,

ij i j i

iji j

x j

Cada ciudad j es destino de uno y sólo un tramo

1, ,

0

ijj i

x i

y

Cada ciudad i es origen de uno y sólo un tramo

0, ,0,1 .

ii

ij

x ix

No voy a la ciudad i desde i

Variables binarias


Modelado

Problema del viajante (iv)

• Es necesario añadir restricciones adicionales para evitar soluciones formadas por dos o más recorridos:p

4 6 7

13 8

23 5 8

4 6 74 6 7

1

23 5 8


Modelado

Problema del viajante (v)• Formulación 1:

– Consideramos todos los subconjuntos U de más de 1 y de j ymenos de n-1 ciudades.

– Añadimos una restricción para cada uno de estos subconjuntos U que impida que en él se forme un bucle:U que impida que en él se forme un bucle:

,

Card( ) 1 1,..., 2 Card( ) 2iji j U

x U U n U n

donde Card(U) es el cardinal del subconjunto U (número de elementos de U). Notese que la restricción no puede ser de igualdad pues en la solución puede haber subconjuntos U cuyasigualdad pues en la solución puede haber subconjuntos U cuyas variables sumen menos que card(U)‐1:

4 6 7

123

4

5

6 7

8

U


Modelado

2

Problema del viajante (vi)

• Formulación 2:– Cambiamos la elección de la variable de control:Cambiamos la elección de la variable de control:

• i: ciudad origen.• j: ciudad destino.

k: tramo de recorrido• k: tramo de recorrido.– La variable de control es xijk:

1 0ijk

i j kx

si se va de la ciudad a la ciudad en el tramo de recorridoen otro caso


Modelado

Problema del viajante (vii)• Ejemplo formulación 2:

1 2 3 4i j k

Mismas que formulación 1 si no se considera la ordenación

min

1) 1 4

ijkij ijkx i j i k

c x

j id j

, , 1,2,3,4i j k de la secuencia de recorrido

1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4

11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34

12 13 14 21 23

1) 1, 4,

2) 1, i 4,3)

j j j j j j j j j j j j

i i i i i i i i i i i i

k k k k k

x x x x x x x x x x x x j idem j

x x x x x x x x x x x x idem ix x x x x

24 31 32 34 41 42 43 1, k k k k k k kx x x x x x x k

1 2 3 1 1 2 1 3 14) , j=4, , ,(si k=4,sustituir k+1 por 1)

0,1 .jk jk jk j k j k j k

ijk

x x x x x x k idem j

x

24

Restricción 1) impide:

tramo 1 tramo 2 24


tramo 1 24


tramo 1

tramo 12

4


tramo 1

tramo 3

tramo 2

13

13

tramo 2 13

13

tramo 4

– Restricción 4) impide los subciclos de la formulación anterior


Modelado

– Restricción 4) impide los subciclos de la formulación anterior.

Problema del viajante (viii)

• Formulación 2:

minijk

ij ijkx i j i kc x

Cada ciudad j es destino sólo

Distancia recorrida

1, ,

1

ijki j k

x j

x i

Cada ciudad j es destino sólo una vez y en uno y sólo un tramo

C d i d d i i ól1, ,

1, ,

ijkj i k

ijk

x i

x k

Cada ciudad i es origen sólo una vez y en sólo un tramo

En cada tramo k sólo un

1, , ,

ijki j i

ijk jrki j r j

x x j k

En cada tramo k sólo un recorrido

Si j es destino del tramo kentonces es origen del k+1

0,1 .i j r j

ijkx

Variables binarias

entonces es origen del k+1.


Modelado

44

M d l d t i iModelado con restricciones enteras y binarias

4.14.1

M d l d d t i iModelado de restricciones especiales

Restricciones especiales (i)• DISYUNCIÓN: de 2 restricciones al menos una debe darse. Debe cumplirse una, no necesariamente las dos:

( ) 0 o ( ) 0f x g x

• Modelo lineal:– Variable binaria 1 obliga a ( ) 0 y relaja la otra

0 obliga a ( ) 0 y relaja la otrag xf x

– Restricciones:

0 obliga a ( ) 0 y relaja la otraf x

1

2

( )0,1

( ) (1 )f x Mg x M

– Ejemplo: 2( ) (1 )g x M

1 2 1 23 2 18 0 4 16 0x x o x x

1 2 1

1 2 2

3 2 180,1

4 16 (1 )x x M y

yx x M y


Modelado

1 2 26 ( )x x y

Restricciones especiales (ii)• CUMPLIR K DE N ECUACIONES: de N ecuaciones se han de cumplir al menos K, siendo K<N.

1 1( , , ) 0( ) 0

nf x xf

( )

( )1 1 1 1( , , ) 1

( ) 1

nN

f x x M y

f x x M y y k

ì £ -ïïïïï £ å

2 1( , , ) 0

( ) 0

nf x x

f x x

( )

( ){ }

2 1 2 21

( , , ) 1

0,1( ) 1

n ii

i

f x x M y y k

yf M

=

ï £ - =ïïíïï Îïïï £

å

• SELECCIONAR ENTRE N VALORES: Una ecuación con múltiples

1( , , ) 0N nf x x ( )1( , , ) 1N n N Nf x x M yï £ -ïïî

• SELECCIONAR ENTRE N VALORES: Una ecuación con múltiplesposibles valores.

1d ( )

N

f x x d y2

1( , , )n

df x x

d

11

( , , )n i ii

f x x d y

1N

iy 0,1iy 1, ,i N


Modelado

Nd 1i

4.24.2

Modelado de implicaciones lógicas

Modelado de implicaciones• Vamos a estudiar cinco implicaciones posibles con restricciones lineales:

j jj

a x bj jj

a x b j jj

a x b• En lo que sigue supondremos que se conocen M y m tal que siempre se

verifican las siguientes condiciones:

b M Suponemos que M es unj j

ja x b M

Suponemos que M es un valor “muy grande”.

S lj j

ja x b m Suponemos que m es un valor

“muy pequeño” (posiblemente negativo).


Modelado

Modelado de implicaciones: binarias a restricciones (i)• Caso 1: De binarias a restricciones

1 a x b IF THEN

– Dicho de otra manera:

1 j jj

a x b IF THEN

La formulación es:

1 j jj

a x b

1b M– La formulación es:

de modo que hay dos situaciones posibles:

1j jj

a x b M q y p

0 j jj

a x b M No pasa nada: se cumple siempre.

1 j jj

a x b

j

Forzamos el cumplimiento de la restricción.


Modelado

Modelado de implicaciones: binarias a restricciones (ii)

– Como en los ejemplos anteriores, la formulación

1j jj

a x b M

además de modelar la implicación

1 a x b IF THEN

también modela la implicación (contra recíproca):

1 j jj

a x b IF THEN

también modela la implicación (contra recíproca):

0j jj

a x b IF THEN

(pues AB equivale a NO BNO A)

j


Modelado

Modelado de implicaciones: binarias a restricciones (iii)

• A restricciones 1 a x b

– La formulación es:

1 j jj

a x b

1b de modo que hay dos situaciones posibles:

1j jj

a x b m q y p

0 j jj

a x b m No pasa nada: se cumple siempre.

1 j jj

a x b Forzamos el cumplimiento de la restricción.


Modelado

Modelado de implicaciones: binarias a restricciones (iv)


1j jj

a x b m


1 j ja x b IF THEN

también modela la implicación:

1 j jj

a x b IF THEN


0j ja x b IF THEN j jj


Modelado

Modelado de implicaciones: restricciones a binarias (i)

• Caso 2 De restricciones a binarias

Sabiendo que las dos expresiones siguientes son

1j jj

a x b

– Sabiendo que las dos expresiones siguientes son equivalentes:

1 0j j j ja x b a x b equivale a

convertimos la implicación en la siguiente:

j j j jj j q

0 j jj

a x b


Modelado

Modelado de implicaciones: restricciones a binarias (ii)

– Hemos llegado a una implicación similar a la del Caso 1.La diferencia es que en lugar de estamos manejandoa x b– La diferencia es que en lugar de estamos manejando la expresión

– Por este motivo, en lugar de M hay que manejar M’=M + .j jj

a x b j jj

a x b

– La formulación de esta implicación es:'

j ja x b M


j jj


'1 j jj

a x b M No pasa nada: se cumple siempre.

0 j jj



Modelado

Modelado de implicaciones: restricciones a binarias (iii)

– Como en los ejemplos anteriores, la formulación'

j jj

a x b M


1a x b IF THEN

t bié d l l i li ió

1j jj

a x b IF THEN


0 j ja x b IF THEN j jj


Modelado

Modelado de implicaciones: restricciones a binarias (iv)• Con restricciones

1j jj

a x b

– Sabiendo que las dos expresiones siguientes son equivalentes:

1 0a x b a x b equivale a1 0j j j jj j

a x b a x b equivale a

basta modelar: 0 j jj

a x b


Modelado

Modelado de implicaciones: restricciones a binarias (v)

– Hemos llegado a una implicación similar a la del Caso 1.– La diferencia es que en lugar de estamos manejandoj ja x bLa diferencia es que en lugar de estamos manejando la expresión

– Por este motivo, en lugar de m hay que manejar m’=m – .j jj

a x b j jj

a x b

– La formulación de esta implicación es:

'j ja x b m


j jj

q y p

0 j jj


1 j jj

a x b m No pasa nada: se cumple siempre.


Modelado

Modelado de implicaciones: restricciones a binarias (vi)


'j j

ja x b m


1a x b IF THEN


1j jj

a x b IF THEN


0 j ja x b IF THEN j


Modelado

Modelado de implicaciones: binarias a restricciones • Caso 3 De binarias a restricciones de =

1 j ja x b que es equivalente a

1 j jj

a x b

j ja x b

1j j

j

j jj

a x b

– Este caso es una combinación de dos casos tipo 1.– La formulación es: 1j ja x b M

1

1

j jj

j j

a x b M

a x b m

– = 1 fuerza el cumplimiento de las dos restricciones simultáneamente.

j


Modelado

Modelado de implicaciones: restricciones = a binarias (i)• Caso 4 De restricciones = a binarias

1j ja x b dicho de otra manera:

j jj

a x b

1j j

ja x b

b

S l d l t í

j jj

a x b

– Se resuelve pasando al contra recíproco:j j

ja x b

0

j jj

óa x b


Modelado

j

Modelado de implicaciones: restricciones = a binarias (ii)

– Como existe una disyunción en el consecuente es necesario utilizar una variable 1 para detectar el cumplimiento de la 1primera implicación, y otra variable 2 para la segunda

0 a x b 1 0 1

2

0

0

j jj

j jj

a x b

a x b

1 00

0ó

Además deberá cumplirse

– El primer bloque es una par de casos tipo 2:

j 2 0

1j jj

a x b M

b

2j jj

a x b m


Modelado

Modelado de implicaciones: restricciones = a binarias (iii)

– En el segundo bloque tenemos que hacer que si = 0 entonces 0 ó 0 l l i i 1 = 0 ó 2 = 0, o lo que es lo mismo si 1 = 1 y 2 = 1 entonces = 1

1 2 1 Estamos modelando la siguiente proposición lógica:

– La formulación completa es:

Si 1 = 1 y 2 = 1 entonces = 1

a formulación completa es:

1j jj

a x b M 2

1

j jj

a x b m

1 2 1


Modelado

Modelado de implicaciones: restricciones a restricciones (i)• Caso 5 De restricciones a restricciones

siempre se ha de utilizar el hecho de que:

y luego modelar el resultado como disyunción

es equivalente a o no A B B A

y luego modelar el resultado como disyunción.

De restricciones > a restricciones ≤:

j j j jj j

a x b c x d

– Se resuelve con el modelado de la disyunción equivalente (ver modelado de restricciones especiales):

ó j j j jj j

c x d a x b


Modelado

Modelado de implicaciones: restricciones a restricciones (ii)

De restricciones ≥ a restricciones ≤:

j j j jj j

a x b c x d

–Se resuelve con el modelado de la disyunción equivalente:

óc x d a x b

que a su vez puede considerarse equivalente a la disyunción

ó j j j jj j

c x d a x b

q p q y(eliminación de la restricción estricta):

óc x d a x b

ó j j j jj j

c x d a x b


Modelado

Modelado de implicaciones: restricciones a restricciones (iii)

De restricciones = a restricciones ≥:

b d

S l l d l d d l di ió i l t

j j j jj j

a x b c x d


ó ó j j j j j jc x d a x b a x b

que a su vez puede considerarse equivalente a la disyunción triple

j j j j j jj j j

(eliminación de la restricción estricta):

ó ój j j j j jc x d a x b a x b

ó ó j j j j j jj j j

c x d a x b a x b


Modelado

Modelado de implicaciones: restricciones a restricciones (iv)

De restricciones ≥ a restricciones =:

b d

S l l d l d d l di ió i l t

j j j jj j

a x b c x d


ó j j j jc x d a x b

que a su vez puede considerarse equivalente a (eliminación de la

j j j jj j

restricción estricta):

y ó j j j j j jc x d c x d a x b yj j j j j j

j j j


Modelado

Modelado de implicaciones: restricciones a restricciones (v)

–Se trata como una disyunción doble pero en donde una de sus condiciones es el cumplimiento simultáneo de dos restricciones:

j jj

c x d K

1

j jj

c x d k

a x b M

1j jj

a x b M

Siendo k y K cotas que cumplen:

j jj

c x d M Suponemos que K es un valor “muy grande”.

j jj

c x d m Suponemos que k es un valor “muy pequeño” (posiblemente negativo).


Modelado

j negativo).

Modelado de implicaciones: resumen (i)

1 j jj

a x b IF THEN 1j jj

a x b M 1 j j

ja x b IF THEN

1 j ja x b IF THEN

1j jj

a x b m

1j ja x b M 1 j jj

a x b IF THEN

1

1

j jj

j jj

a x b M

a x b m

1j jj

a x b IF THEN j jj

a x b M

1j jj

a x b IF THEN

1j ja x b IF THEN

j jj

a x b m

1j ja x b M j jj

2

j jj

j jj

a x b m


Modelado

1 2 1

Modelado de implicaciones: resumen (ii)IF THEN j j j j

j ja x b c x d

1

j jj

c x d K

a x b M

1j jj

a x b M

IF THEN j j j jj j

a x b c x d j jj

c x d K 1j j

ja x b M

IF THEN j j j ja x b c x d 1j jc x d k j j j jj j

2

j

j jj

a x b m

a x b M

3

1 2 3 1

j jj

a x b M

IF THENj j j ja x b c x d c x d K IF THEN j j j jj j

a x b c x d j jj

j jj

c x d K

c x d k


Modelado

1j jj

a x b M

4.34.3

Modelado de dobles implicaciones

Modelado de dobles implicaciones (i)

• Modelar 1 j jj

a x b

1 j jj

a x b IF THEN

1a x b IF THEN

1j jj

a x b M

a x b m 1j jj

a x b IF THEN j jj

a x b m

j jj

a x b M

0j ja x b 0

No pasa nada: se cumple siempre.

Equivale a lo 1j ja x b j jj

que queríamosj j

j

0j ja x b Lo que queríamos0j jj

a x b

j jj

a x b m 1

Lo que queríamos.



Modelado

j

Modelado de dobles implicaciones (ii)• Modelar

j jj

c x d K j j j j

j ja x b c x d

1j

j jj

a x b M j j j jj j

a x b c x d IF THEN

c x d a x b IF THEN j ja x b m j j j jj j

c x d a x b IF THEN

Equivale a lo0d

1

j jj

j jj

c x d k

j jj

a x b

Equivale a lo que queríamos

0j jj

c x d

j jj

a x b 0 0j j

j

a x b No pasa nada: se j 1 M

j

j jj

c x d k p

cumple siempre.

Equivale a lo í

0j ja x b

j jj

c x d que queríamosj j

j

1

j jj

k

c x d

0 0j jj

c x d

b M



Modelado

jj j

j

a x b M cumple siempre.

Modelado de dobles implicaciones (iii)

• Modelar 1 j jj

a x b

1 j jj

a x b IF THEN

1a x b IF THEN

1j jj

a x b M

a x b m 1j jj

a x b IF THEN j jj

a x b m

j jj

a x b M

0j ja x b 0


Equivale a lo 1j ja x b j jj

que queríamosj j

j

0j ja x b Lo que queríamos0j jj

a x b

j jj

a x b m 1

Lo que queríamos.



Modelado

j

55

Otras condiciones especiales

Restricciones especiales: costes fijos (i)• Coste con un término fijo si la variable toma un valor estrictamente

positivoLos esquemas son SÓLO aclaratorios NO son

0 0( )

0j

j j

xf x

k c x x

Los esquemas son SÓLO aclaratorios, NO son restricciones: HAY QUE MODELAR!

Costes totales

• Variable auxiliar binaria:

0j jj j j jk c x x

jkjc

totales

Variable auxiliar binaria:

1 0x

j

jx

Ó1 00 0

jj

j

xy

x

Cualquier esquema es una DEFINICIÓN y por tanto una DOBLE implicación A MODELAR:

Yj=1 Xj>0

, 1 1

min ( )j j

n n

j j j j j jx y j jf x k y c x


Modelado

, 1 1j jy j j

Restricciones especiales: costes fijos (ii)

• Modelado de (aunque se ha visto de manera general antes):

1 0j jy x

Por la equivalencia logica A B noB noA hayque modelar 0 0: j j j jy x x y M

No siempre se cumple de manera natural dado que tendremos una demanda a satisfacer:

j j j j

jx dj

Hay que modelar 0 0,que se cumple de manera natural j jx y

por minimizacion de costes (hay que imponer la activacion de no la

desactivacion)jy


Modelado

Restricciones especiales: costes unitarios (i)• Costes unitarios no lineales:

1Costes

2jc

1jc

3jc

unitarios

1pjx

2p 3pjp jp jp

11 i k k

•Asociar una variable binaria para cada tramo k

11 si ,

0 en otro caso

k kj j jk

j

x p p

Primera tentativa función objetivo:

k kj j jc x NO LINEAL!!!


Modelado

,j k

Restricciones especiales: costes unitarios (ii)

1si k kx x p p

•Asociar una variable continua a cada tramo para evitar lano linealidad

si ,

0 en otro casoj j j jk

j

x x p px

k kj jc x

Modelado lineal de la función objetivo:

k

,j j

j k

Modelado de la definición de las variables binarias y continuas:kj j

kx x

1k k k k kj j j j jp x p

Definición producción

Definición producción del

1kj

k

j j j j jp x p

Activación de un único tramo

tramo


Modelado

Necesario al ser el inicio del tramo un extremo abierto (pk-1, pk]

Restricciones especiales: minimax

Modelado lineal:Sustituye a f(x)

1 1,

,

c x d

c x d

ì üï ï+ï ïï ïï ï+ï ïï ï1 1

min z

z c x d³ +2 2

,min max

.............

p p

c x d

c x d

+ï ïï ïí ýï ïï ïï ïï ï+ï ïï ïî þ

2 2

..................

z c x d

z c x d

³ +

³ +

0

Ax b

x

=³

0

p pz c x d

Ax b

x

³ +

=

³

• Idem para maximizar el mínimo beneficio, pero esta técnica nox

Idem para maximizar el mínimo beneficio, pero esta técnica no puede emplearse para minimin o maximax


Modelado

Restricciones especiales: valor absoluto (i)

Valor absoluto en la función objetivo y las restricciones:

( )minc x

s a x x X

⋅

Î

x No lineal

( ). . ,s a x x X

x libre

Î

Modelado lineal:

ü

( )min

. . ,

c x

s a x x X

üï⋅ ïïïïÎ ïý

Nótese que por el criterio de minimización, las dos

( )( )

min

. . ,

c x x

s a x x x X

+ -

+ -

üï⋅ + ïïïï+ Î ïïý( )

, 0

x x x

x x

+ -

+ -

ýï= - ïïïï³ ïþ

variables x+ y x- no pueden hacerse positivas a la vez

( )

, 0

x x x

x x

+ -

+ -

ýï= - ïïïï³ ïïþ


Modelado

þ þ

Restricciones especiales: valor absoluto (ii)

minc x⋅

Valor absoluto sólo en las restricciones:

( )min

. . ,

c x

s a x x X

lib

Î ( )( )

minc x x x

X

e + -

+ -

üï⋅ + + ïïïï+ Î

Modelado lineal:

x libre ( ). . ,

, 0

s a x x x X

x x x

x x

+

+ -

+ -

ï+ Î ïïýï= - ïïïï³ ïï

( )minc x

s a x x X

üï⋅ ïïïïÎ

, 0³ ïïþ

minc x üï⋅ ïï( ). . ,s a x x X

x x x

x x x

+ -

+ -

ïÎ ïïï= - ýïïï= +

( ). . ,s a x x x X

x x x

+ -

+ -

ïï+ Î ïïïï= - ïïý

, 0

x x x

x x+ -

ï= + ïïï³ ïïþ ( ){ }

1

0 0 1

x w M

x w M

x x w

+

-

+ -

ýï£ ⋅ ïïï£ - ⋅ ïïïï³ Î ï


Modelado

{ }, 0, 0,1x x w³ Î ïïþ

66

Modelado multicriterio

6.16.1

Introducción

Ejemplo: ¿Cuál es el animal más rápido corriendo, volando y nadando simultáneamente?• El más veloz en tierra? El guepardo es el

animal terrestre más rápido

• El que mejor vuela? El halcón peregrino es el pájaro más lveloz

• El mejor nadador?

Pez espada es el pez á á id d lmás rápido del

mundo


Modelado

Ejemplo: Y el ganador es … el PATO• Es capaz de correr aunque menos que un guepardo

• Es capaz de volar aunque menos que un halcón peregrinohalcón peregrino

• Es capaz de nadar aunque menos que un pez espada


Modelado

Decisión multicriterio: clasificación y formulaciónMétodos multicriterio: • lo posible: infinito Programación paramétrica

Programación compromisoProgramación por metas (métodos satisfacientes)

• lo posible: finito Procesos Analíticos Jerarquizados (AHP)Métodos de sobreclasificación (Electre, Promethee )Promethee,...)

Formulación general: 1opt ( ( ),...., ( ))pz z x z x

F: espacio de decisiones o soluciones (región factible, )

x FnF F: espacio de decisiones o soluciones (región factible, )

: espacio de objetivos o resultados ( )

Nos centramos en los métodos multicriterio en donde lo posible es infinito

F ( ) pz F ( )z F


Modelado

Nos centramos en los métodos multicriterio en donde lo posible es infinito

6.26.2

Conjunto eficiente o de Pareto

Conjunto eficienteConcepto de solución: criterio de optimalidad paretianaUna alternativa es eficiente o pareto óptima si toda alternativa que

proporcione una mejora en un atributo produce un empeoramiento en alproporcione una mejora en un atributo produce un empeoramiento en al menos otro de los atributos

Alternativa dominada o no eficiente: hay otra con todos los atributos mejoresmejores

Espacio de objetivos 1 2max ( , )z z 2zConjunto eficiente o de ParetoAlternativas dominadas

Atributos numéricos, objetivos de maximización Conjunto eficiente:

1z Conjunto eficiente:

: ' tal que ( ) ( ) y ( ) ( ) para al menos un 1,...,k k t tx F x F z x z x k z x z x t p

S l ió j i l ió fi i t l i d d i


Modelado

Solución mejor compromiso: solución eficiente seleccionada por decisor

6.36.3

Programación paramétrica

Método de las ponderacionesMétodo de las ponderaciones (weighted‐sum method, Zadeh, 1963): multiplicar cada objetivo por peso o factor no negativo y agregar en una única funciónagregar en una única función

max ( )p

z x

1max ( )

( )i i

iz x

Px F

0

T Si t l i l ió ó ti d0 i Teorema: Si , entonces cualquier solución óptima de P() es eficiente.El recíproco es cierto bajo ciertas condiciones (p.ej. Linealidad)

0i i

Es un método de programación paramétrica porque variando los pesos se obtiene el conjunto eficiente (sin linealidad, parte del conjunto)


Modelado

Método de las epsilon‐restriccionesMétodo de las epsilon‐restricciones (Epsilon Constraint Method): optimizar uno de los objetivos e incorporar el resto como restricciones paramétricasrestricciones paramétricas

max ( )lz x ( )

( )l

k k

x F Pz x k l

Teorema: Si la solución es única entonces es eficienteTeorema: Si la solución es única, entonces es eficiente.Teorema: Si x* es eficiente, tal que x* es sol. óptima de ( )lP

é ó é l é

kl

Es un método de programación paramétrica porque variando los términos de la dcha. se obtiene conjunto eficiente


Modelado

Método simplex multiobjetivoMétodo simplex multiobjetivo (Zeleny, 1974)Sólo para objetivos y restricciones linealesObtiene todos los puntos extremos eficientesConjunto eficiente: combinaciones lineales de puntos extremos adyacentes

Se puede considerar un método de programación paramétrica porque variando los términos de las combinaciones lineales se obtiene conjunto eficiente

El método simplex mono‐objetivo se verá más adelante


Modelado

6.46.4

Programación por compromiso

Programación compromisoPunto o alternativa ideal: valores óptimos de objetivos individualmentetratados. Para un problema de maximización:

p nto ancla* * * *( )z z z z

* max ( )i iz z x *z : punto ancla1( ,..., ,..., )i pz z z z max ( )i ix Fz z x

iz *

**

( )( ) i ii

i i

z z xd xz z

Grado de proximidad al objetivo i-ésimo normalizado:i i

*iz anti-ideal o peor valor posible del objetivo en el conjunto eficiente

Solución óptima o mejor solución compromiso: solución eficiente más

1/* ( )p

2z

p j ppróxima al punto ideal (axioma de Zeleny, 1973)

Para un problema

*1 *

( )minp

i iix F i i i

z z xL wz z

* min ( )i ix Fz z x

Para un problema de maximización:

= Tchebychev o minimizar máxima distancia =1 agregación lineal de distancias ponderadas (lineal) 1z

x F


Modelado

Se le puede considerar un método de programación paramétrica

6.56.5

Programación por metas

Programación por metas (i)Lógica satisfaciente (Simon, 1955):

en los contextos actuales de decisión (información incompleta, recursosl fl ) l álimitados, conflictos de intereses,...) el decisor más que optimizar unasfunciones objetivo intenta que una serie de metas se aproximen lo másposible a unos niveles de aspiración prefijados.

Programación por metas (Goal Attainment Method) (Charnes y Cooper(61), Lee (72) e Ignizio (76)). No tiene porqué dar una solución eficiente en generalg

Atributo expresión matemática:Nivel de aspiración: nivel aceptable de logro para un atributoR t i ió M t (“ l ” l )

( )iz x

iz( ) ˆRestricción Meta: (“al menos” un valor)

Con variables de desviación:Variables de desviación no deseadas:

( )i iz x zˆ 0, 0( ) ii iii iz px npn z

Variables de desviación no deseadas:

t i i tmin

p

F in si meta es "al menos"


Modelado

restricciones meta 1x F i

Programación por metas (ii) Programación por metas ponderadas:

min ( )i

p

i i ipn 1

( )

( ) 1,...,ˆ

i

i

i ii

i

ii ízz x

p

pnF

i p

0, 0 1 . .,, .i ipF

pnx

i

min D

• Programación por metas MINIMAX o Tchebychev:

min1,...,

( ) 1,...,ˆi

i

i

i

i i

íi

i pz x i p

nn

DD p

p z ( )

0, 0 1,...,

ii

i i

íi px Fn

p

p i p


Modelado

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