Modelado matemático de una membrana de...

Modelado matemático de una membrana de diálisis

Aplicación de métodos de la Ingeniería Térmica a la Ingeniería Biomédica.

Manuel Prado Velasco

Grupo de Ingeniería Biomédica de la Universidad de Sevilla

Ciclo de conferencias 2000-2001.Grupo de estudiantes de Ingeniería Biomédica. EMBS-IEEE

Conferencias 2000-2001. Grupo de Estudiantes de Ingeniería Biomédica EMBS-IEEE

Objetivos

Desarrollo del modelo clásico de una membrana de diálisisRealización basada en analogía térmica

Diferencia de concentraciones logarítmica mediaEficienciaMétodo de la efectividad-NTUParámetros operativos y modo de funcionamiento

Comparación con resultados publicadosAplicación actual del modeloLimitaciones de la analogíaConclusiones y líneas de investigación actuales


Escenario (I)

Pacientes con función renal muy disminuida o casi nula. Efectos:

Uremia y Acidosis. Acumulación de toxinas, o productos resultantes del metabolismo: Urea, Creatinina, ácidos, ...Acumulación de líquidos: edema.Efectos secundarios ligados a la incapacidad de los riñones para producir encimas: Osteomalacia, anemia, etc.Efectos secundarios ligados a los sistemas de control fisiológico: hipertensión secundaria

Terapias de substitución renal:

Hemodiálisis: eliminación de toxinas por medio de un dispositivo de separación externo.Diálisis Peritoneal: eliminación de toxinas por medio de una membrana corporal (membrana peritoneal).Transplante renal


Escenario (II): Hemodiálisis

Mantener el equilibrio

homeostático

Esquema más usado en insuficiencia crónica:


Riñón artificial (I)

Dispositivo de separación basado en membrana semipermeableClasificación procesos de separación

Presión -> Microfiltración, Ultrafiltración, Nanofiltración, Ósmosis InversaPotencial eléctrico -> ElectrodiálisisPresión parcial -> PervaporaciónGradiente de concentraciones -> Diálisis

Principios físicos de esos dos procesos de separaciónDiálisis: Difusión FisicoquímicaUltrafiltración: Convección Dinámica de fluidos


Diametros característicos – Proceso separación controlado por TMP


Apuntes históricos – previos al NCDS

Thomas Graham, fisicoquímico escocés estudia la difusión de solutos en membranas semipermeables y acuña el término “diálisis” – 1860.Kolff y colaboradores describen el primer tratamiento médico efectivo de la uremia por diálisis – 1944. Primera evidencia de la importancia de las moléculas de peso molecular bajo en la manifestación clínica de la uremia. (Tambor rotatorio de celofán grueso).Scribner y colaboradores aplican con éxito la primera terapia de diálisisintermitente – 1960 (una vez por semana).1966 Eschbach. Scribener y otros describen los primeros tratamiento de HD en el hogar.Decada de los 70 se implanta la prescripción 3 veces por semana, con membranas de aclaramiento ureico 50% superior.Estudios de la dializancia de moleculas medias (MM)- referencia la B12. Membranas sintéticas de flujo elevado (high flux) 1970 – 1985.


Riñón artificial actual

Tipo más empleado en la actualidad: Dializador de fibras o tubos (hollow fiber).Proporciona una alta eficiencia y un volumen pequeño, con poca resistencia al flujo.


Leyes fenomenológicas

Jn = −DdCdzLey de Fick

Jv = −Lpdpdz

Ley de Darcy

Jq = −αdTdz

Ley de Fourier


Recuperador Calor– Régimen estacionario

PremisasRégimen estacionarioCoeficiente global de transferencia varia linealmente con la temperatura: U

Contracorriente

)ln(

)()(

etsTsteT

etsTsteTDTLM

DTLMAcUQ

−

−

−−−=

⋅=

Uc es U calculado para la temperatura “calorica”Las temperaturas calóricas para el fluido frío y caliente se calculan a partir de las temperaturas e y s, y el factor de “Colburn” FcFc se determina algebricamente con las temperaturas de entrada y salida y los valores de U de entrada y salida


Modelo de membrana - diálisis

Bajo las mismas hipótesis

( ) ( )

ln( )

mU KA DCLM

DCLMC Cds Cs Cde

C CdsCs Cde

= ⋅

=− − −

−

−

00

Podemos extrapolar resultados y metodología para geometría a equicorriente o otras variantes: factores de corrección Q = KA F DCLMExtrapolación de conclusiones de operatividad como cruzamientos, ligados a diseños de membranas de varios pasos de tubos.Posibilidad de aplicar el método térmico: efectividad - NTU


Método efectividad - NTU

Balance + Ecuación transporte + Definición eficiencia

Qb C Cs Qd Cds CdeQb C Cs KA DCLM

C CsC Cde

⋅ − = ⋅ −⋅ − = ⋅

=−

−

( ) ( )( )

000

0ε

Definiendo los términos siguientes

QdQbR

QbKANTU

=

=

)1(

)1(1RNTU

RNTU

eRe

−

−

−−

=ε

Contracorriente


Modelo matemático - conclusiones

El modelo al que se ha llegado fue obtenido de forma directa en 1959 – 66La analogía presentada permite la extrapolación de resultados entre ambos dominios

Definiciones específicas en diálisis – Aclaramiento (dializancia)

mU = Qb (C0-Cs) = Qb ε (C0-Cde) = Kd (C0- Cde)

La expresión para el caudal de soluto filtrado se complica cuando se añade el mecanismo de ultrafiltrado.Para ese caso general no existen una solución exacta de parámetros concentrados (algébrica) y se acude a expresiones simplificadas:

mU = KdC0 = ε(QB - QUF)C0 + QUFC0 = KdεC0 + QUFC0


Modelo matemático – Operación (I)

En HD suele trabajarse con eficiencias para la urea entre 60% y 85% es fuente de problemas.El parámetro controlante del aclaramiento es el caudal de sangre, sin embargo las condición anterior no permite una relación lineal entre Kd y QbEl funcionamiento es muy sensible a variaciones en el Area (NTU), producidas por ejemplo, por atascamiento de tubos.El funcionamiento a Qb no excesivo reduce la posibilidad de recirculación en el acceso vascularUna eficiencia estable, mejora la precisión en el tratamiento del ultrafiltrado, al desacoplar ambos procesos de separaciónSimplificación del computo de un aclaramiento equivalente en HD con Qb escalonada: Qb ti Tm∑ ( )

KdT

= ε


Modelo matemático – Operación (II)

0

0.5

1

0 5 10

e ,NCUi Qr

NCUi

Eficiencia – NTU para R =1,2Tiende a 1/R. El “funcionamiento anómalo es debido a una definición de R no óptima (modelo directo)

0

2.5

5

7.5

10

0 0.25 0.5 0.75 1

8.61777

2.30259

l Qri

0.990 Qri

NTU – R para una eficiencia = 90%.La zona superior de la curva garantiza eficiencia > 90%.


Aplicaciones: Cinética de la Urea – NCDS (1983-85)

BUNpreBUNpostTBWTUF

G

Kdt/V spUKM

Kd = aclaramiento de urea (dializancia de urea)V = Volumen de distribución de ureaT = tiempo de duración de la sesión


Aplicaciones: Cinética de la Urea – Aportación GIB

Dialysis

[ ]

UFSP

RSP

SP

QTT

dtdVCKKG

TT

dtdCV

TTTt

−=+−=

−∈

,)(

,

ε

[ ]

UFR QTdtdVCKG

dtdCV

TTt

θ

θ

−= −=

+∈

,

,

Interdialysis

Model Dialysis interval

Aportación para compensar el rebote de urea asociado al efecto multicompartimentalSuministra un K más preciso

∫ −=∫T

SPTT

v T dttCdttC )()(0


Aplicaciones: Modelo de 3 pools – GIB

Estructura teórica basada:Principio de conservación de la masa

UreaAgua

Relación constitutiva flujo de urea -concentración de ureaAlgoritmo de cálculo de la distribución de líquidos corporales

Conocimiento de concentración de proteinas en sangreConocimiento del HematocritoRelaciones empíricas ligadas a la situación de equilibrio homeostático

Diagrama de bloques:


Aplicaciones: Prescripción de la dosis de Hemodiálisis

Prescripción

TAC

G

TBW

Diálisis aplicada

Kdt/V delivered

G measured

TAC measured

Muestras de BUN


Problemática actual

Discrepancias aclaramiento fabricante – aclaramiento efectivo de casi un 20% de media.KA (permeabilidad x Area) aumenta una media de un 14% al incrementarse el flujo de dializado un 60%. Leupoldt y colaboradores 1997- Estudio HEMO sobre 22 tipos de dializadores.Influencia del ensuciamiento de los tubos por la absorción de proteinas plasmáticas: fundamentalmente en medias y grandes moléculasInterrelación biocompatibilidad – eficiencia separación: channeling, polarización de la concentración, distribución de solutos entre fases, etc.


Limitaciones de la analogía térmica (I)

Asumiendo:Régimen estacionarioResistencia al transporte del soluto en los fluidos se encuentra localizada en una capa límite “estática” de espesor constante, gobernada por la difusiónEquilibrio del soluto en las tres fases

B

B

MM

M

D

D

DB

Dt

Dkt

Dt

CCJ++

−=D, M, B: 3 fasest = espesor faseD = coef. difusiónkM = coeficiente distribución soluto

entre la membrana y la solución


Limitaciones de la analogía térmica (II)

Conclusiones en base al análisis diapositiva anterior :

La eficiencia de la membrana puede no estar controlada por su coeficiente de transferenciaPara un tipo de membrana, la eficiencia puede variar enormemente con la anchura del canal fluido y con las velocidades locales del fluidoMejoras substanciales en las propiedades de permeabilidad de la membrana obligan a optimizar mucho el diseño de los conductos de sangre y dializante


Limitaciones de la analogía térmica (III)

Es suficiente el análisis anterior? NO

No es capaz de explicar la mayoría de los fenómenos nombrados en Problemática Actual.

laminar boundary layer

bulk solution

conc

entra

tion

Cw

Cb

pC

permea te

J v

J consJ

Jdiff

bZ

solute concentra tion profile in the in fee d solution at the membra ne surface

Cb

Cw

dista nce pe rpendicular to the membrane surface z

me mbrane

s

s

s

s

s

s

s

ks =DsZb

Ejemplo: el incremento de KA asociado al aumento de flujo dializante puede estar ligado a una reducción de la anchura de la capa límite asociada a la reducción en la polarización de la concentración, entre otros motivos.


Limitaciones de la analogía térmica (IV)

El régimen laminar-turbulento afecta al tratamiento de la polarización.

f low veloc ity (u)

lam in ar b ou nd ary layertu rb u len t f low f low veloc ity p rofile

ch an n el len gth (x)x= 0 ch an n el len gth (x)x= 0

ch an n el len gth (x)x= 0

la m inar f low f low ve loc ity p rof ile "b oun d ary layer"


Principio de generalización basado en la analogía

Matemático: Eliakim Hastings Moore We lay down a fundamental principle of

generalization by abstraction:The existence of analogies between centralfeatures of various theories implies the existence of a general theory which underlies the particular theories and unifies them withrespect to those central features...


RESUMEN

La aplicación presentada muestra como la ingeniería biomédica no solo está asentada fuertemente en los conocimientos y métodos de la ingeniería “clásica”, sino que puede aprovechar resultados científicos por medio de las analogíasSe ha mostrado brevemente el estado actual y la importancia de las membranas como elemento de eliminación de toxinasSe han mostrado las limitaciones de la analogía y las limitaciones actuales en el entendimiento y modelización de estos dispositivos

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