3.3. Modelado con ecuaciones diferenciales Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden de primer orden

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Objetivo del Tema

Conocer cuales son los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales que se emplean para modelar.

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Al final del tema el alumno será capaz de:

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3.1. Ecuaciones lineales

Una ecuación diferencial lineal debe tener presentes dos características o condiciones

1- La variable dependiente y sus derivadas deben tener potencia 1.

2- Los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas podían ser constantes o estar expresados sólo en función de la variable independiente.

Linealidad quiere decir que todos los coeficientes sólo son funciones de “x” y que “y” y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden.

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3.1. Ecuaciones lineales

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es lineal si puede escribirse de la forma

y' + A(x) y = B(x)

Donde A(x) y B(x) son funciones que sólo dependen de "x" o pueden ser constantes

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3.2. Ecuaciones no lineales

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Una ecuación diferencial no lineal debe tener presentes estas dos características o condiciones

1- La variable dependiente y sus derivadas no deben tener potencia 1.

2- Los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas no podían ser constantes o estar expresados sólo en función de la variable independiente.

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3.3. Sistemas de ecuaciones

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Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de una o más ecuaciones en las que aparecen una o más funciones incógnita, pero todas ellas dependiendo de una sola variable independiente.

3.3. ModeladoModelado

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Crecimiento y decaimiento

El problema de valor inicial

dx/dt = kx, x(t0) = x0,

en donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos donde intervienen crecimiento o decrecimiento (desintegración).

En biología, se ha observado que en cortos periodos de tiempo la tasa de crecimiento de algunas poblaciones (como las de bacterias o de animales pequeños) es proporcional a la población presente en cualquier momento.

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Crecimiento y decaimiento

Si conocemos una población en cierto momento inicial arbitrario, que podemos considerar definido por t = 0, la ecuación nos sirve para predecir la población en el futuro -esto es, para t > 0.

En física, un problema de valor inicial como las ecuaciones puede servir de modelo para calcular aproximadamente la cantidad residual de una sustancia que se desintegra o decae en forma radiactiva.

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Crecimiento y decaimiento

La ecuación diferencial también puede describir la temperatura de un objeto que se enfría.

En química, la cantidad residual de una sustancia en ciertas reacciones se apega a la ecuación. La constante de proporcionalidad k, se puede hallar resolviendo el problema de valor inicial, con una determinación de x en un momento tl > to.

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Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 de bacterias. Cuando t = 1 h, la cantidad medida de bacterias es 3/2N0.

Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos, considere que el comportamiento sigue la ecuacion :

dx/dt = kx

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Crecimiento bacteriano

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Primero se resuelve la ecuación diferencial

dN/dt = kN

Sujeta a N(0) = N0. A continuación se define la condición empírica N(1) = 2/3N0 para hallar la constante de proporcionalidad k.

La ecuación es separable y lineal, a la vez. Cuando se escribe en la forma

dN/dt – kN = 0

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Crecimiento bacteriano

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dNt/dt = kNt

Separando variables

dNt/Nt = kdt

Integrando en ambos lados

Ln(Nt) = kt + c

Tomando la condicion inicial

t=0 ; N = N0

Ln (N0) = k(0) + c

Quedando c = Ln(N0)

Ln(Nt) = kt + Ln(N0)

Ln(Nt) – Ln(N0) = kt

Ln (Nt/N0) = kt

Sacando inversa del Ln y despejando para N queda:

Nt = N0ekt

Ejemplo 1

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14

Sustituyendo los valores iniciales para obtener el valor de k:

t = 0 ; Nt = N0

t = 1 ; Nt = 3/2N0

Sutituydo en la ecuacion queda:

3/2 N0 = N0 ek1

1.5 = ek

Despejando para k queda:

Ln1.5 = k

k = 0.4055

Siendo la ecuacion final:

Nt = N0e0.4055t

Ejemplo 1

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15

Sustituyendo los valores de la pregunta:

t = ? ; Nt = 3N0

Sutituydo en la ecuacion queda:

Nt = N0e0.4055t

3N0 = N0 e0.4055t

3 = e0.4055t

Despejando para t Ln3 = 0.455t

1.0986 = 0.455t

t = 1.0986/0.455

t = 2.71 horas

Ejemplo 1

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Ejemplo 2: Periodo medio del plutonio

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Un reactor convierte al uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isótopo radiactivo.

Al cabo de 15 años, se ha desintegrado el 0.043% de la cantidad inicial, A0, de una muestra de plutonio.

Calcule el periodo medio de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad presente.

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17

Como en el ejemplo enterior la ecuacion sigue un comportamiento

dx/dt = kx

Por lo tanto la solucion es similar, la ecuacion que queda es del tipo

At = A0 ekt

Si se a desintegrado el 0.043% de A0 en 15 años

Queda el 99.957% de A0

Sustituyendo en la ecuacion estos datos queda

0.99957A0 = A0 e15k

Despejando para k queda:

Ln0.99957 = 15 k

k = -0.00002867

Siendo la ecuacion final:

At = A0e-0.00002867t

Ejemplo 2

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18

Sustituyendo los valores de la pregunta:

El periodo medio de vida del isotopo seria:

t = ? ; At = ½ A0

Sutituyedo en la ecuacion queda:

At = A0e-0.00002867t

½ A0 = A0 e-0.00002867t

½ = e0.00002867t

Despejando para t Ln ½ = -0.00002867t

-0.69314718 = -0.00002867t

t = -0.69314718/-0.00002867

t = 24,176.74 años

Ejemplo 2

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Datación con radiocarbono

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Alrededor de 1950, el químico Willard Libby inventó un método que emplea al carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de fósiles.

La teoría de la datación (fechamiento o fechado) con radiocarbono, se basa en que el isótopo carbono 14 se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno.

La razón de la cantidad de C-14 al carbono ordinario en la atmósfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isótopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmósfera.

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Datación con radiocarbono

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Cuando muere un organismo la absorción del C-14, asi sea por respiración o alimentación cesa. Así, si se compara la cantidad proporcional de C- 14 presente, por ejemplo en un fósil, con la relación constante que existe en la atmosfera, es posible obtener una estimación razonable de su antigüedad.

El método se basa en que se sabe que el periodo medio de vida del C-14 radiactivo es, aproximadamente, 5,600 años. Por este trabajo, Libby ganó el Premio Nobel de química en 1960. Su método se usó para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias y las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto.

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Ejemplo 3,

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Antigüedad de un fósil Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la centésima parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil.

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Como en el ejemplo enterior la ecuación sigue un comportamiento

dx/dt = kx

Por lo tanto la solución es similar, la ecuación que queda es del tipo

At = A0 ekt

Para calcular el valor de la constante de decaimiento aplicamos el hecho que ½ A0 en 5,600 años

Sustituyendo en la ecuación estos datos queda

0.5A0 = A0 e5600t

Despejando para k queda:

Ln0.5 = 5600 k

k = -0.000123776

Siendo la ecuación final:

At = A0e-0.000123776t

Ejemplo 3

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23

Sustituyendo los valores de la pregunta:

La edad del fósil. seria:

t = ? ; At = 1/100 A0

Sutituyendo en la ecuación queda:

At = A0e-0.000123776t

1/100 A0 = A0 e-0.000123776t

0.01 = e-0.00012376t

Despejando para t Ln 0.01 = -0.000123776t

-4.60517 = -0.000123776t

t = -4.60517/-0.000123776

t = 37,206 años

Ejemplo 3

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Ley de Newton del enfriamiento

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La formulación matemática de la ley empírica de Newton, relativa al enfriamiento de un objeto, se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden

dT/dt = k (T – Ta)

Donde:

dT/dt = razón de cambio (el incremento).

T = temperatura del objeto.

Ta = temperatura del medio ambiente.

k = constante de proporcionalidad que depende de las características del cuerpo:

Si k > 0 la razón de cambio es positiva, por lo tanto la temperatura aumenta.

Si k < 0 la razón de cambio es negativa, por lo tanto la temperatura disminuye.

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Ley de Newton del enfriamiento

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Resolviendo la ecuación diferencial para encontrar el modelo que involucra la Ley de enfriamiento de Newton utilizamos separación de variables:

Empleando la condición inicial: T = T0 cuando t = 0 y despejando T, resultará la fórmula que nos permitirá resolver problemas que involucren la ley de enfriamiento mencionada.

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Ley de Newton del enfriamiento

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Empleando la condición inicial: T = T0 cuando t = 0 y despejando T, resultará la fórmula que nos permitirá resolver problemas que involucren la ley de enfriamiento mencionada.

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Ejemplo 4: Enfriamiento de un pastel

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Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F. Después de 3 minutos, 200 °F. ¿En cuanto tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de 70 °F?

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Ejemplo 4: Enfriamiento de un pastel

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Sustituyendo datos para obtener k

Datos Formula

Ta = 70 T = Ta + (t0 – Ta) ekt

T0 = 300 200 = 70 + (300 – 70) ek3

T = 200 (200 – 70)/(230) = ek3

t = 3 min Ln(130/230) = 3k

T = Ta -0.57054 = 3k

t = ? k = - 0.19018

70 = 70 + (300 – 70) e-0.19018t

la ecuación no tiene una solución finita a T(t) = 70 porque límite cuando T Ta es infinito.

Sustituyendo T = 71

Ln(71-70)/230 = - 0.19018t

t = 28.59 min

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Examen 3

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Un forense llega a la escena de un crimen en un departamento a las 8 AM, observa que la temperatura del cuarto es de 70°F, mide en ese momento la temperatura del cadáver y es de 82°F. A las 10 AM vuelve a medir la temperatura del cadaver y es de 78°F, Si la temperatura normal de una persona es de 37º C, establecer una hora aproximada de la muerte de la víctima, aplicando la ley de Newton del enfriamiento.

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Tarea 3

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1.- La población de una comunidad crece proporcional a la población en cualquier momento. Su población inicial es 500 y aumenta el 15% en 10 anos. ¿Cuál será la población pasados 30 años?

2.- En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Despues de 3 horas se observa que hay 400 bacterias. Pasadas 10 horas, hay 2000 bacterias. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?

3.- El isótopo radiactivo del plomo Pb-209, se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un vida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90%?

4.- La policía encontró el cuerpo de una persona asesinada en una casa a las 11:00 de la mañana en una habitación donde la temperatura estaba regulada a 22º C. Los investigadores forenses tomaron la temperatura de la persona a la hora del hallazgo (11:00 AM) y era de 35º C y dos horas más tarde era de 33º C. Si al momento del asesinato la persona tenía una temperatura normal de 37º C, ¿a qué hora ocurrió el asesinato?