Modelacion de procesos-Motor CC con excitacion independiente

TP N°1 – Control Clásico y Moderno

Bajura, Carlos - 1 -

MODELACIÓN DE PROCESOS

Ejercicio N° 2:

A. Modelación matemática

1. Un motor de corriente continua con excitación independiente, cuyo circuito eléctrico está

representado en la Figura 1, es controlado por la corriente de armadura, manteniéndose la

corriente de campo 𝑖𝑓(𝑡) = 𝐼𝑓 = 𝑐𝑡𝑡𝑒. Este motor acciona una carga de momento de inercia J. En

este esquema se tiene:

Tm: par o torque mecánico producido por el motor.

Tc: par antagónico de carga.

b: coeficiente de rozamiento.

vb: fuerza contraelectromotriz.

Ra: resistencia de la armadura.

La: inductancia de la armadura.

Kt: constante de proporcionalidad entre el par motor y la corriente de armadura.

Kb: constante de proporcionalidad entre la velocidad angular y la tensión inducida.

ia: corriente en la armadura.

va: tensión aplicada a la armadura (acción de control).

θ: desplazamiento angular del eje del motor.

ω: velocidad angular del eje del motor.

a. Escriba las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico de este sistema

electromecánico.



b. Halle la relación en el domnio de Laplace, de la velocidad angular del eje del motor, Ω(s) respecto

de la tensión de entrada Va(s) y del par de carga Tc(s).

c. Siendo Ra=0,3Ω; La=5mH; Kt=1N·m/A; Kb=1V·s/rad; J=0,02N·m·s2/rad y b=0,01N·m·s/rad,

obtenga las funciones transferencia 𝐺𝑣(𝑠) =Ω(𝑠)

𝑉𝑎(𝑠) y 𝐺𝑑(𝑠) =

Ω(𝑠)

𝑇𝑐(𝑠). Calcular los polos y ceros de

ambas funciones de transferencia y trace las respuestas en frecuencia de magnitud y de fase

respectivas. Grafique también las respuestas al escalón de 𝐺𝑣(𝑠) y de 𝐺𝑑(𝑠). Analice y obtenga

las conclusiones sobre las mismas.

d. Considerando que la constante de tiempo eléctrica del motor es mucho menor que la que la

constante de tiempo mecánica, obtenga la función transferencia 𝐺𝑝(𝑠) =Θ(𝑠)

𝑉𝑎(𝑠), donde Θ(s) es la

transformada de Laplace de la posición angular del eje del motor. Calcule la ganancia Km y

la constante de tiempo del motor τm. En este punto considere que el par de carga Tc(s)=0.

e. Trazar la respuesta en frecuencia de magnitud y de fase y la respuesta al escalón de este

sistema. Analice y concluya sobre la misma.

B. Modelación experimental

2. Dados los gráficos de magnitud y de fase de la respuesta en frecuencia de un proceso, indicados

en las Figuras 2 y 3, identificar la función de transferencia del mismo. Trazar la respuesta al

escalón de esta función de transferencia y analizar que correspondencias encuentra entre esta

última y la respuesta de magnitud de la Figura 2.



RESOLVIENDO

A. Modelación matemática

a. Las ecuaciones matemáticas que modelan la dinámica del motor CC con excitación independiente

se presentan a continuación:

El par electromagnético generado está dado por la siguiente relación:

Considerando que la corriente de campo es constante:

Y haciendo la siguiente igualdad:

Sustituyendo estos resultados en la ecuación (1), resulta:

Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones al circuito de la armadura del motor y obtenemos la

siguiente expresión:

𝑇𝑒(𝑡) = 𝐾𝑖𝑓(𝑡)𝑖𝑎(𝑡) (1)

𝑖𝑓(𝑡) = 𝐼𝑓 = 𝑐𝑡𝑡𝑒 (2)

𝐾𝐼𝑓 = 𝐾𝑡 (3)

𝑇𝑒(𝑡) = 𝐾𝑡𝑖𝑎(𝑡) (4)

𝑣𝑎(𝑡) = 𝑖𝑎(𝑡)𝑅𝑎 + 𝐿𝑎

𝑑𝑖𝑎(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑣𝑏(𝑡) (5)



La tensión contraelectromotriz está dada por:

Sustituyendo esta última en (5), tenemos:

Partiendo de la segunda ley de Newton, obtenemos la siguiente relación de equilibrio:

Reemplazando la (4) en la (8) y despejando 𝐾𝑡𝑖𝑎(𝑡):

b. Pasamos las ecuaciones (7) y (9) al dominio de Laplace, obteniendo las siguientes expresiones:

Despejando 𝐼𝑎(𝑠) de la (10):

Y luego sustituyendo en la ecuación (11), tenemos:

Operando algebraicamente:

𝑣𝑏(𝑡) = 𝐾𝑏𝜔(𝑡) (6)

𝑣𝑎(𝑡) = 𝑖𝑎(𝑡)𝑅𝑎 + 𝐿𝑎

𝑑𝑖𝑎(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝐾𝑏𝜔(𝑡) (7)

𝑇𝑒(𝑡) − 𝑇𝑐(𝑡) − 𝑏𝜔(𝑡) = 𝐽𝑑𝜔(𝑡)

𝑑𝑡 (8)

𝐾𝑡𝑖𝑎(𝑡) = 𝐽𝑑𝜔(𝑡)

𝑑𝑡+ 𝑏𝜔(𝑡) + 𝑇𝑐(𝑡) (9)

𝑉𝑎(𝑠) = 𝑠𝐿𝑎𝐼𝑎(𝑠) + 𝑅𝑎𝐼𝑎(𝑠) + 𝐾𝑏𝛺(𝑠) (10)

𝐾𝑡𝐼𝑎(𝑠) = 𝑠𝐽𝛺(𝑠) + 𝑇𝑐(𝑠) + 𝑏𝛺(𝑠) (11)

𝐼𝑎(𝑠) =𝑉𝑎(𝑠) − 𝐾𝑏𝛺(𝑠)

𝐿𝑎𝑠 + 𝑅𝑎 (12)

𝐾𝑡 (𝑉𝑎(𝑠) − 𝐾𝑏𝛺(𝑠)

𝑠𝐿𝑎 + 𝑅𝑎) = (𝑠𝐽 + 𝑏)𝛺(𝑠) + 𝑇𝑐(𝑠) (13)

𝐾𝑡𝑉𝑎(𝑠)

𝑠𝐿𝑎 + 𝑅𝑎−

𝐾𝑡𝐾𝑏𝛺(𝑠)

𝑠𝐿𝑎 + 𝑅𝑎− (𝑠𝐽 + 𝑏)𝛺(𝑠) = 𝑇𝑐(𝑠) (14)

𝛺(𝑠) [𝐾𝑡𝐾𝑏

𝑠𝐿𝑎 + 𝑅𝑎+ (𝑠𝐽 + 𝑏)] =

𝐾𝑡𝑉𝑎(𝑠)

𝑠𝐿𝑎 + 𝑅𝑎− 𝑇𝑐(𝑠) (15)



Despejando 𝛺(𝑠), obtenemos la ecuación en función de dos tperminos:

En esta última ecuación podemos distinguir dos funciones de transferencia diferentes:

Y

Entonces la ecuación (17) la podemos escribir como:

Luego, la ecuacion (11) se convierte en:

Despejando 𝛺(𝑠):

𝛺(𝑠)𝑠2𝐽𝐿𝑎 + 𝑠(𝐽𝑅𝑎 + 𝑏𝐿𝑎) + 𝑏𝑅𝑎 + 𝐾𝑡𝐾𝑏

𝑠𝐿𝑎 + 𝑅𝑎=

𝐾𝑡

𝑠𝐿𝑎 + 𝑅𝑎𝑉𝑎(𝑠) − 𝑇𝑐(𝑠) (16)

𝛺(𝑠) =𝐾𝑡

[𝑠2𝐽𝐿𝑎 + 𝑠(𝐽𝑅𝑎 + 𝑏𝐿𝑎) + 𝑏𝑅𝑎 + 𝐾𝑡𝐾𝑏]𝑉𝑎(𝑠) −

(𝑠𝐿𝑎 + 𝑅𝑎)

[𝑠2𝐽𝐿𝑎 + 𝑠(𝐽𝑅𝑎 + 𝑏𝐿𝑎) + 𝑏𝑅𝑎 + 𝐾𝑡𝐾𝑏]𝑇𝑐(𝑠) (17)

𝐺𝑣(𝑠) =𝛺(𝑠)

𝑉𝑎(𝑠)=

𝐾𝑡

[𝐽𝐿𝑎𝑠2 + 𝑠(𝐽𝑅𝑎 + 𝑏𝐿𝑎) + 𝑏𝑅𝑎 + 𝐾𝑡𝐾𝑏] (18)

𝐺𝑑(𝑠) =𝛺(𝑠)

𝑇𝑐(𝑠)=

(𝐿𝑎𝑠 + 𝑅𝑎)

[𝐽𝐿𝑎𝑠2 + 𝑠(𝐽𝑅𝑎 + 𝑏𝐿𝑎) + 𝑏𝑅𝑎 + 𝐾𝑡𝐾𝑏] (19)

𝛺(𝑠) = 𝐺𝑣(𝑠)𝑉𝑎(𝑠) − 𝐺𝑑(𝑠)𝑇𝑐(𝑠) (20)

𝐾𝑡𝐼𝑎(𝑠) − 𝑇𝑐(𝑠) = (𝑠𝐽 + 𝑏)𝛺(𝑠) (21)

𝛺(𝑠) =𝐾𝑡𝐼𝑎(𝑠) − 𝑇𝑐(𝑠)

(𝑠𝐽 + 𝑏)=

𝑇𝑒(𝑠) − 𝑇𝑐(𝑠)

(𝑠𝐽 + 𝑏)= (22)



Entonces, observando las escuaciones (12) y (22) podemos realizar el siguiente diagrama de

bloques:

Figura 4. Diagrama de bloques equivalente – Motor CC con excitación independiente

c. Reemplazando los valores de los parámetros en las ecuaciones (18) y (19) obtenemos las

expresiones para las FT:

Como podemos observar esta funcion no tiene ceros ya que el numerador es un parámetro

constante, por otro lado los polos serán:

Y para 𝐺𝑑(𝑠):

Los polos y ceros de esta FT serán:

𝐺𝑣(𝑠) =𝛺(𝑠)

𝑉𝑎(𝑠)=

1

𝑠20,1 + 𝑠0,056 + 1,003=

10

𝑠2 + 𝑠0,56 + 10,03 (23)

𝑠2 + 𝑠0,56 + 10,03 = 0 (24)

⇒ 𝑃 = −0,28 ± 3,15462𝑗 (25)

𝐺𝑑(𝑠) =𝛺(𝑠)

𝑇𝑐(𝑠)=

(0,3 + 𝑠5)

𝑠20,1 + 𝑠0,056 + 1,003=

50(𝑠 + 0,06)

𝑠2 + 𝑠0,56 + 10,03 (26)

𝑠2 + 𝑠0,56 + 10,03 = 0 (27)

⇒ 𝑃 = −0,28 ± 3,15462𝑗 (28)

50(𝑠 + 0,06) = 0 (29)

⇒ 𝑍 = −0,06 (30)

𝑉𝑎(𝑠)



Una vez obtenidas las FT respectivas podemos trazar las curvas de respuesta en frecuencia de

magnitud y fase para ambas funciones, del mismo modo, podemos graficar también las respuestas

al escalón. Esto realizamos con la ayuda de un script escrito en el software MATLAB. Los

resultados obtenidos se presentan en las Figuras 6 y 7.

Figura 6. Curvas de las respuestas en frecuencia de magnitud y fase de 𝐺𝑣(𝑠) y 𝐺𝑑(𝑠)

clear all; clc; s=tf('s'); % Establecemos las dos FT G1=10/(s^2+(0.56)*s+10.03) G2=(50*(s+0.06))/(s^2+(0.56)*s+10.03) % Trazamos la respuesta en frecuencia magnitud y fase (Bode) figure(1); bode(G1,'b', G2, 'g--'); legend('Gv(s)','Gd(s)'); grid on; % Trazamos la respuesta al escalon figure(2); step(G1,'b', G2,'g--'); legend('Gv(s)','Gd(s)'); grid on;

Figura 5. Script en MATLAB para graficar las respuestas en frecuencia y las respuestas

al escalón



Figura 7. Curvas de las respuestas al escalón de 𝐺𝑣(𝑠) y 𝐺𝑑(𝑠)

En la Figura 6 se presentan las curvas de la respuesta en frecuencia de magbitud y fase para ambas

funciones de transferencias de las ecuaciones (23) y (26), como podemos ver cuando conectamos la carga

al motor tenemos una ganancia negativa de -10dB lo cual manifiesta el esfuerzo contrario que ejerce la

carga sobre el motor. Las dos funciones presentan un pico de resonancia a una frecuencia de

arpoximadamente 3,19 rad/s. Podemos observar ademas que se trata de un sistema amortiguado con un

par de polos complejos conjugados con parte real negativa.

En la Figura 7, la cual representa la respuesta al escalón para las dos FT, Podemos apreciar

nuevamente que se trata de dos sitemas amortiguados con un tiempo de asentamiento bastante elevado,

el cual aumenta aún más cuando se conecta la carga. También podemos ver que al conectar dicha carga,

los valores de amplitudes de las oscilaciones para la respuesta son mucho más elevados que en el caso

en que está sin carga.



d. Considerando que la constante de tiempo eléctrica del motor es mucho menor que la que la

constante de tiempo mecánica:

Y Sabiendo que:

Pasando esta última al dominio de Laplace, considerando 𝜃(0) = 0:

Remplazando el resultado de la (33) en 𝐺𝑝(𝑠):

Y con 𝐿𝑎 ≈ 0, la 3cuación (34) nos queda:

Luego, Factorizando el denominador, obtenemos:

De la ecuación (36) obtenemos que la contante de tiempo del motor es:

Y la ganancia estática es:

𝜏𝑒 ≪ 𝜏𝑚 ⇒ 𝐿𝑎 ≈ 0 (31)

𝜃(𝑡) = ∫ 𝜔(𝑡)𝑑𝑡𝑡

0

+ 𝜃(0) (32)

Θ(𝑠) =1

𝑠Ω(𝑠) ⇒ Ω(𝑠) = 𝑠Θ(𝑠) (33)

𝐺𝑝(𝑠) =Θ(𝑠)

𝑉𝑎(𝑠)=

Ω(𝑠)

𝑠𝑉𝑎(𝑠)=

𝐾𝑡

𝐽𝐿𝑎𝑠3 + 𝑠2(𝐽𝑅𝑎 + 𝑏𝐿𝑎) + 𝑠(𝑏𝑅𝑎 + 𝐾𝑡𝐾𝑏) (34)

𝐺𝑝(𝑠) =𝐾𝑡

𝑠2𝐽𝑅𝑎 + 𝑠(𝑏𝑅𝑎 + 𝐾𝑡𝐾𝑏) (35)

𝐺𝑝(𝑠) =𝐾𝑡

[𝑠𝐽𝑅𝑎

(𝑏𝑅𝑎 + 𝐾𝑡𝐾𝑏)+ 1] 𝑠(𝑏𝑅𝑎 + 𝐾𝑡𝐾𝑏)

(36)

𝜏𝑀 =𝐽𝑅𝑎

(𝑏𝑅𝑎 + 𝐾𝑡𝐾𝑏) (37)

𝐾𝑚 =𝐾𝑡

(𝑏𝑅𝑎 + 𝐾𝑡𝐾𝑏) (38)



Reemplazando los valores de los parámetros en las ecuaciones (37) y (38), llegamos a los

siguientes resultados:

Y

De forma similar, reemplazando los valores e los parámetros en la ecuación (35), llegamos a:

Como podemos ver, esta FT no posee ceros, pero si posee dos polos:

e. A partir de estos resultados podemos trazar la respuesta en frecuencia de magnitud y fase, como

también la respuesta al escalón de 𝐺𝑝(𝑠). Mediante un script en MATLAB obtuvimos las gráficas,

las cuales se ilustran en las Figuras 8 y 9.

𝜏𝑀 =0,02 ∙ 0,3

(0,01 ∙ 0,3 + 1)= 5,98 𝑚𝑠 (39)

𝐾𝑚 =1

(0,01 ∙ 0,3 + 1)= 0,997

𝑟𝑎𝑑

𝑉 ∙ 𝑠 (40)

𝐺𝑝(𝑠) =1/0,006

𝑠20,02 ∙ 0,3 + 𝑠(0,01 ∙ 0,3 + 1)=

500/3

𝑠(𝑠 + 1003/6) (41)

𝑠(𝑠 + 1003/6) = 0 (42)

⇒ 𝑃1 = 0

(43)

⇒ 𝑃2 = −1003

6= −167.166 (44)



Figura 8. Curva de la respuesta en frecuencia de magnitud y fase de 𝐺𝑝(𝑠)

Figura 9. Curva de la respuesta al escalón de 𝐺𝑝(𝑠)



En la Figura 8, la cual representa la respuesta en frecuencia de la FT 𝐺𝑝(𝑠), vemos que al principio

la curva de magnitud presenta una inclinación de -20dB por década lo cual es debido al polo que está

ubicado en el origen, luego para la parte de frecuencias un poco más altas la curva toma una inclinación

de -40dB por década lo cual se debe, además del polo ubicado en el origen, a otro polo real negativo

ubicado sobre el eje.

B. Modelación experimental

Figura 10. Curva de la respuesta en frecuencia de magnitud y fase

ωc

-45°

ωc

7 -3dB



Analizando el gráfico de magnitud podemos observar que la curva está desplazada

aproximadamente 7𝑑𝐵 hacia arriba, con lo cual obtenemos:

En el gráfico de fase tenemos que la fase para la constante es cero, entonces:

Trazando una recta horizontal a partir de valor de 45° hasta cortar la curva en el gráfico de fase,

en ese punto obtenemos la frecuencia de corte de la función de transferencia. El valor obtenido es:

Pasamos a rad/s:

Volviendo sobre la curva de magnitud, vemos que a partir de este valor de frecuencia la curva

comienza a descender. Tomando dos puntos sobre la parte lineal de la curva con una separación de una

década obtenemos un valor de pendiente de -20dB por década, esto nos indica que tenemos un polo

simple real negativo en nuestra función de transferencia.

La función de transferencia para este caso está determinada por siguiente ecuación:

Reemplazando los datos obtenidos de los gráficos, nos queda:

Que es la expresión final de la función de transferencia.

7𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔|𝐾| ⇒ |𝐾| = 107/20 = 2.238

(45)

𝜃𝐾 = 0° ⇒ K es un valor positivo

𝑓𝑐 = 0.9 𝐻𝑧

(46)

𝜔𝑐 = 2𝜋𝑓𝑐 = 2𝜋0.9 𝐻𝑧 =9

5𝜋

𝑟𝑎𝑑

𝑠= 5,651

𝑟𝑎𝑑

𝑠

(47)

𝐺(𝑠) =𝐾

1 + 𝑠1/𝜔0 (48)

𝐺(𝑠) =2.238

1 + 𝑠1

5,651

(49)



Utilizando el software MATLAB, realizamos el trazado de los gráficos de la respuesta en frecuencia de

magnitud y fase y la comparamos con los gráficos de la guía, también graficamos la correspondiente

respuesta al escalón para la FT.

Figura 11. Curva de la respuesta en frecuencia de magnitud de 𝐺(𝑠)

Superposición de las curvas original y la obtenida con los cálculos.

clear all; clc; num=[ 0 0 2.238]; den= [0 5/(9*pi) 1]; G=tf(num,den) figure(1); % Graficamos la respuesta en frecuencia de la FT bode (G); grid on; figure(2); % Graficamos la respuesta al escalon de la FT step (G); grid on;



Figura 12. Curva de la respuesta al escalón de 𝐺(𝑠)

Como podemos apreciar en la Figura 11, la gráfica de la curva obtenida por el método

experimental no presenta diferencias considerables con respecto a la curva original, por lo que podemos

concluir que el resultado de la función de tranferencia allada es bastante acertado.

En la Figura 12, que es la respuesta al escalón de este sistema, podemos apreciar que se trata de

un sistema sobreamortiguado con untiempo de asentamiento relativamente bajo.

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