MO MENTOS DE F LEX IO N EN LAS VI GAS SOBRE DOS A POYOS

I'OR MA NUEL THUCCO 1 FRANCISCO MAHDO~ES

Los momentos de flex ion que se desarrollan en las vigas de los puentes de ferroca­

rril son orijinndos (aparte de los que provienen de la carga permanente), por In accion de

un tren móvil de fuerzas aisladas.

Para determi na r la can tid11d de material de que deben ser constituidas las diversas

secciones de las cabezas el e tales vigas, lo mas racional, por ser lo que mas ~e aproxima

a la realidad , es establecer los cálculos de resistencia correspondientes, considerando ese sistema de fnerz¡\s móviles colocado en las posiciones que orijinen los esfuerzos máximos de flexion.

Pero los cálculos a. que tia lugar la consideracion del tren real de fuerzas en sus

posiciones mas desfiworable~ , son laboriosos i complicados; i solo por simplifi c•tr tales

operaciones se ha imajinndo sustituir el sistema efectivo de fuerzas ai~ladns por una

sobrecarga uniformemente repartida .¡_equivalente».

Cualesr¡uiera. r¡ue sean hts hipótesis qne se adopten parn. lijar esa sobrer:nrgn unifor·

memente repartiua, la cm·v•t representativa de los momentoR de flexion que el la orijina no se confunde con e l lugar de los momentos desarrollados por e l sistema de fu erzas con­

centradas; i en consecuencia la sustitucion de dicho t,ren de fuerzas por una sobrecarga

uniformement~ repartida conduce a una insuficiencia o a un exceso de metal en algunas

secciones.

Para poder determinar los esfuerzos efectivos, evitando así los inconvenientes seña· lados, hai, pues, interés en simplificar los cálculos a que da lugar In consideracion del

tren de fuerzas aisladas, que es lo que se ha hecho en otros paises para sus trenes t ipos respectivos. As!, por e jem plo, para el tren tipo frances, ex isten cuadros numéricos calcu­

lados por el inspector j eneral 1\Ir. E. Henry que facilitan nutublemente las aplicaciones,

i que en la priÍctica resul tan de uso mui sencillo.

Hemos rreido útil aplicar al tren tipo chi leno los mismos métouos de r¡ue Mr. Hcnry

se ha servido para formar los citados cuadt·os, tarea en la cual el seiíor Trueco ~e habia

empeñado hace nlgun tiempo, i cuyos resultudos se publicarán en los A~Al.F.S.

Posteriormente, dudo el probable incremento en el peso de los trenes cfecti1•os, ha

surjido la necesidad de revisar el actual cuaderno de «cláusulas i condiciones jenerales 15 MARZO

114 MA!IIUEJ. 'I'IWCCO 1 FHANCISCO MARDONES

para el cálculo i constrnccion de puentes de ferrocarril », (*) i se ha. debido, naturn.lmente, hacer el estudio de l o~ trenes tipos de los di versos paises, i su compar!l.Cion con los trenes

efecti vos correspondiente.-.

Coadyuvando a este propósito el señor Mardones, ha aplicado un método diverso del anterior para investigar el valor de los momentos de Aexion máximos desarrollados en

lai! diversas secciones de un puente ferroviario bajo la accion de un tren dado de fuerzas;

método que se espoudrá aplic¡\ndolo al tren mas desfavorable en actual circulacion en los

Ferrocarriles del E»tado de Chile.

Uno i otro mPtodo tienen por base el siguiente:

TEORE)!A. -En una t ·i,qct sobre dos apoyos, solicitada po1· u.n t1·en móvil ele n fne?·zas aisladas, el momento máximo en unct seccion ctutlquiera se r.lesa?"''ollct cuando «c·ie?·ta» fuerza está ct plomo ele la seccion.

Supongamos el s istema en nna posicion cualquiera, tal como en la figura 1, i sean

F: . ..... . . . . . . . . . '- . .. ... . .

... . ~ .... t" .. -~ ..

1'' 1

1'' 1

R.

¡' . ·'-

. - _.,; ..

p• ,

A e 1 .. ::::·.·.-: ~::: :~:-. ·. ·.-_·; : ~ ~::: : :::: ~: ·.·.::.·:: !: : .·;;,~; .. ~-:.:._:::.:~\!!•:::

C, Ja Secoion COII~Iderada.

P', las fuerzas a la izquierda d~ C. P" , las futrzas a la derecba de G. 1l', las d1stanciati de la< fue rza• p· al apoyo A de la izquierd>\, d '' , las distancia8 de las futrzas P ,. ni apo,ro A de la ir.qnierda. R, la resultante del ~istema, = LP. 0', In distancia ,ie R al apoyo A .

R' i R " , liUI reacc10ncs en A i B.

Consider·anrlo el trozo de la izquierd<\ riC, tenenlús, pam esa primera posicion :

M 'c = H ~\ - ~ P (a-d'>= R'a-a I l'' +I P' d '

La reaccion R' tiene por valor:

En consecuencia:

R' = . R 0._- ó'L 1

M 'c = Ra - a ~ P' - R1; 8~-+I P' d '

1•1 Por iniciativa del sefior Directo!' .Jeueml de Obras Públicas dtlu Clirlos Koning, se ha consti­tuido una comision, que él mi~mo preside, i de la cual forman parte los injeniero~ de aquella oficina, se•iores José Echaverría i Víctor Leon, i los injenieroJ sef10res Estani>lao Pardo D. i Fr~tnci•co 1\far. dones, de la seccion de Puentes del Departamento de h\ Vía i Edificios de los Ferrocarrile• del Estado, con el objeto de estudiar un nne\"O cuaderno de ~Cláusula~ i condiciones para el cálculo i con•truccion de puentes de fenocarril.n

)IO~n:NTOS DE fLE.X ION EN I,AS VIGAS SOBHE OOS Al'OYOS )) :)

Si ahora hacemos a vanzar el tren hácili el a poyo A eu una can tidad q, las d istan­

cias d' i ~· dism inu irán en esa can t idad q, i el momento de flexion en C Lomará el valor:

o sea

'1" l\1' Raq "" u· ,, · e = e + --~- - 'l - [

L•l \'ariacion c~pcrimcntada por el momen to de fl ex ion en C , a consecuencia del des­

plazamien to de l t.ren , <'~ pne~:

t. 1\1 = t(Rn - 1 ~ P')

Considem ndo, como lo hemos hecho, el troz•l de In izq u ierda Af:', los momento~ son

positivos; luego, para que J.\ t raslacion del ~ istema prod uzca un aumento en el valor de

l011 momen to~. es ncce~ar io q ue el valor de .ó M sea positi1•o: es cier.ir, debe tenerse:

,~ 1" < ...:__ .._. p - 1 - (1)

En otros términos; rniént ras subsista la cond icion ( 1) es po ible a umentar el valor

1lel momento en la seccion considenuht haciendo av>t nzar e l t ren hticia la izquie rda.: el mo­

?nenl o ntÚWÍ11tl'l en U 71tt RIWCÍOn C COI'1' e.r¡p071CÜ, 1JUP8, !t la l)t(t.~ ttWI'llZC.U{n ] 10,qii)Íon del

Ri~temn Uwút el (tpoyo A, r·ompatible con la cowlicio>l ( 1 ).

De lo antt! rior ~e ded uce inmed iata mente 'Jlle lit ¡Jo.~ ir.io?> dt!l si.~I1'11Ut lflU'. 7n-o<J.u ce el mornento mú:r.imo en U'IUt seccion C. se obtien e colocando ct pl0111 0 ele cliclw. 11eccion

cie-~·tn Jtte?·za Pm, tal , qtw lct sum,a de lu8 /tte>·zas q ue q Mden a 8tt i zqttie>·da realice l<t rm1rlici011 ( 1) i, q tte Hi .qe /mee p•tsttl' tnmhit' ll 1',., tt lo i : r¡ t•it•¡·r/rt de C. Re 'lltl·Vi.qlte

'f 1'' + 1' > ...:: 21' - 111 ! (t)

()/¡¡re>·•mr1mtell: l. - Si ~e obt uviera :

el incremen to ~l\1 :!ería nulo ; lo que im.lica r i>1 ' fllC h1Li du~ fuerza,; vecinas q ne J esarro­

lllln en e el mismo momento máx imo.

11.-Las consicieracioncs espuestas ~on apl icable~ t\ u u si~ te ma determinado de fuer­

zas. Cuando, como e:¡ el caso en los puen tes tle ft!r rocarril, el ~i -;tem>\ e~ ilimitado i las

fuerzas q ue lo componen t ien<.'n va lores i d istri bucio nes va ri11d1tS, los momentl1:! máx imos

pam el ~ i~ temn compuesto de un cier to número de esas fuc•·z,ls, pueden mni bien ser in­

feriores 11 los q ue se obtendrían cuando se modifica ra el ~i~tema haciendo entnn nuevas

fuerzas por la derecha, o salir otra~ por la izq uierda, o •Ímhas co~R.S a la vez.

MA N UEL 'ri\UCCO FRANCISCO MAROONES

116 ~lANUEL 'l'RUCCO 1 FRANCISCO ~lARDONES

TREN EFECTI VO

Uomo lo hemos espre~ado anteriormente, el presente trnbnjo ha tenido como orljen la necesidnd de estudiar el tren mas desfavorable en actual circulacion en los Ferrocu.rri· les del Estado i compararlo, bajo el punto de vista del cálculo de los puentes, con el tren tipo en vijencia.

Aquel mismo tren será, sin rlurla, el que deberá tomarse como tren de prueba en la recepcion de los puentes, i los cuadros que daremos podn\n util izarse, ademas, al hacer In comparacion entre los resultados que proporcione la verificacion esperimental i los que indique el cálculo.

El tren mas desfavorable que puede componerse con el material rodante en actual circulaeion en los FF. OO. del Estlldo, 5e forma: con dos locomotoras Baldwin con cua­tro ejes acoplados del tipo «Oonsolidnda», que llevan los números:¿¡¡ a 28'.2, i una serie de carros cajon, de acero, del tipo Belga.

Está demas esplicar que si no hemos recurrido a la formacion de cu'l.d t·os análogos a los que Mt·. Henry ha confeccionado para el tren tipo frances i a los cuales nos hemos referido, estimándolos de uso mui espedito, ha !'ido porque dichos cuadros no son direc­tamente utilizables para investigar el ralor de l momento máximum maxintórum, que es el que particularmente nos ha interesado en la investig¡~cion en que, como miembro de la referida comision, hemos estado empeftado.

Por otra parte, debiendo hacerse la investigacion para un cierto número de trenes, de diversos paises, nos ha in teresado la aplicacion de un método que reduzca al mlnimun posible el trabajo i el tie mpo empleado en ejecutarlo. I es esta consideracion, especial­mente, laque nos ha conducido a hacer abstraccion de los di versos proc~erl imientos en uso, tanto analíticos como gráficos, i a emplear el 'l"e pasamvs a esponer .

.flcnnento má..<timo en una seccion cualquiera

Sean:

O, la seccion considera ; tl, lA distancia del primer eje al apoyo de la izquierd:t. P', las fuerUlll a la izquierda de C. P" las fullrzas n ln derecha de C. o 0 , o 8 • • ••••••• On , las distancias de los ejes sucesivos a l eje J> 1 •

~P. la soma de las fuerzas sobre la viga. ~ P', la suma de las fuerzas a lA izquierda de C. ~ PA, la soma de los momentos de las fuerzas sobre la viga con respecto a P 1 •

~P'.l', la suma de los momentos de las fuerzas situadas a la izquierJn de e con respecto P

El momento de flex ion en O tiene por valor:

MOMENTOS DE FLEXION EN LAS VIGAS SOB!'.E DOS APOYOS 117

El vtrlor de la renccion R' es:

En consecuencia:

O sea:

R'= IP (1 - a - o) 1

Me =aiP+IP'~' - (a - o)IP' +a ---,.---[ I P6+

1 aiP J (3)

Hemo~ visto anteriormente e¡ u e para tener el mnmento máximo en unll seccion dada,

para un sistema determinado de fuerza•, es necesario colocar a plomo de dicha seccion

cierta fuerza P,. tal, que se 1·e•·ifiqucn simultáneamente las condiciones:

,- l' < ..:_l "P - 1 - (1)

I P' + Pm>-T IP.

Ahom bien, como el tren de fuerzas es ilimite.rlo, habrá, por lo jenera l, varios ejes

que sat isfagan las condiciones ( 1) i (2), i scní. necesario determinar: 1.0 cmíles son estos

ejes, i 2.• cuál de estos es el que colocado a plomo ue la seccion desarrolla el moment0 de Rexion máximo.

Para consegui r este objeto hemos dispuesto el cuadro A de la lámina l. Este cuadro con t iene e• •): 1.• La dist1·ibuciun rlc los ej es i sus pesos respectivos para el t ren considerado.

2.• Veinte columnas horizontales que corresponrlen a la colocacion de los vein te pri­

meros ejes a plomo de las Sl!cciones que se consideren. En cada col u mua horizontal se ha

inscri to las abcisas tic los cj t·~ rl e In derecha i de la izquierda referidas al ej e de que se

trata, i la suma de las cargas correspondientes, incl uyendo el eje considerado en las car­

gas de la derecha .

Para la mayor facilidad de comprension, indicare mos con un ej e mplo numérico el

modo de utilizar este cuadro.

Sea una viga de -l f> m . de luz i s upong•lmos que se t rata de determinu r el momento

de Rexion máximo e n la seccion de abcisa 9 m.

Tendremos: a 1

b = 36 .. 1=5

Con estas cifras entramos al cuadro A i allí averiguamos, colocando los ejes sucesi­

vos a plomo rle la seccion con~iderada, que de los di versos sistemas posibles sobre la viga,

los únicos que snti~facen la~ condiciones ( 1) i (2) son los que SP. indican e n el cuadro B.

( 00) I::ste cuadro es análogo a los que ha cons truido von Lelw r para hL determioacion de los mo menlos al l i al ! de un tramo; i <¡ne pueden co r~•ultarse en el n,. /l,tin du Co11yrl'• rln•cl.-mfn-• rlt .frr. - Vol. XIV.

11 8

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L 1- .t--1 f< [J !>- ~-:.!:! tu o - n- 2:1 IV li 10 :!.t. \' 1 ;1- 1 Ü- :!!l V 1 l.t- 1 7 -;~o

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MAN UEL 'rRUCCO 1 ~'HA NCISCO MARL\ONEH

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H.t.tHtLI:? l'Hi) 7 !>f>,:?t< l'H9B:!.t. 1 li H6R~:1:1.:?1" j 30:'>6:>.1 ).j j 1 f)-!61 . ;\(¡ 678:171iAO

Observando q ue I I'=IP' +IP" qu e l - a=b, las condidiones (1) i (2) se t ras­

forman en estas otras:

" 1' '> ~~ '~ P'>'- P' P ~ b- - + '" (4)

E l cuadro A permi te util izar la condicion ( .j ) en lugar de las (1) o (~),entrando con

los valores:

a a, b i b

Resta solo calcular el va lor de l momento a plumo de la secciun considerada para

cada uno de estos si~temas El m;\yor de los valores q ue resulten será el del momento de

Rexion máximo que puede desarrollarse a plomo rle dicha seccion. Como estos d t.lculos

deben efectua rse re petidas veces para las varias secciones elejidas de antemano sobre la

viga, conviene pensar en ~im pl i ncnl'los en cuanto sea po~i bl e.

Persiguiendo este propósi to hemos escri to la ecuacion de momentos en la forma (:3) i hemos calculado e l cunr!J·o G en e l cmd ~'<e enr.uentran los val<.res de:

P, fue1·zas !lnce~'<ivns del t ren.

~ P, la s uma de estas fuerzas.

d, distancias entr<' e llas.

&, distancias acumulada~ con respecto al ej e P, .

P &, el momento de cada fuerza con respecto a l punto de aplica cion de P , . ~Pj,, suma de los momentos an teriores.

D, dis tancia a P 1 de la línea de accion de la resu ltante de l sistem!\.

Este cuadro queda directamen te a plicabl e para el caso en que e l primer eje de l s is·

tema sobre la vig;l sea P 1 . ~n el caso contrario, se tendrá cuidado, al aplicar la fórmu ·

la (3) de tomar como valor de u la distancia d el primer eje sobre la viga al apoyo d e la

izq uierda, i de introd uci r los valores efectivos de~ P, ~P ', ~P.:.l i ~P'.L\ '

Asi, si el sist~ma sobr~ hl viga. es: Pn '- Pm-Pn construiremos la tormul a. (3) con

los siguientes valores:

t\ ,:;

.~~

oc,r 'oq !lox·~t

L~t' Lt (,i(j J'!)t

9 ~¡¡~ 'tt ¡: \ C(·'l:'l't <ll - ,_ •

;- ) t!)(.'(.t :.:5 \ 6fJO' lt e L<-t'(i\: ;¡ \ GIT~I: e~ f .~

¡:¡:r·u: x)-1~'~1:

2 LZ.!:rtl: ~ 1 Q!)t'f(g

;- 1 1 !)0' (.\: -t o

~\ ~ ~ 2~ ... ~

~ ~ ":'l ' ~\ C:¡ '-- 1

-;::,

~l ~ { >=)

]( :0: \

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~\ ]1 "

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~ rG'x<: q¡;¡ 'u: mJG'<;:¡: t~L't(.

t.:W\:1-1 n~: ' ¡:¡: T L(-' 11-?-Q l 'O(. u:o'iil !)x)-1·~ 1 ¡: 1 ()'!:) 1 ¡: J(j' l3 l l.i\Yt l t:(.L'\:1 ~L t.: ' ¡: 1 !')(.<3' 1 1 n·o 1

(.(.(,'¡¡

t 6t!' L ~R?. ' ~ 9(.'9 Ll \

tGI:i' l : <.tt 6't; \:~W?. l)~\'' 1

G'RH?-LtiJQ(. 10'7-L~!)-f:_¡: _r_; 8t\l01 ¡¡'!)¡¡<:() 1 L t 1- IO'ttlilil1- 1 96'901 o·¡:¡¿¡:wh:z. lo'~xrüt.: J r n·ro1 ti 't HO<J:I:<-7- o·onx~:: 1 r Oif(i(i ¡;·to<-!lti 11?- \o·own r r <.:<:-L(i lrtl:ltxOO(. ill' (.fLtt iU l \ iO'!)Ij

1 1i'1- tii:G~üx L <)'Dl-IQ 11m lit'Oo 1 ir! lo.~ L <¿ Ij!. L o'x<.:<-t 1 o 1 w·x)oi li'l-ltlJI:tlifll < l'x!lt Lfil i 1-\l'!):-<

1 i ¡'O~Oflt.:()t.: l 11)'(1tl0Lfi 0 1 'q~ lfi 'Ot(i<.:Xlit l !IJ'ttlliHOii 1 ~lt.i'(i.!.

l(j' !)%x W t l (J'fJQ!)Ii:-')'1 1 tO')ol!. (i1(Xl\:l il-IH~ 1 icr !l\1:->(.!1)'1 t\!l'<: .'. Wtl:f-!11-\:f. 1 1 J' :<\:1:<.:t)ol ~ 1 't !. rf%l-IOxt 1 1 < 1'1-~<l:(.)oi~ ::!1':-<!1 li'tf!,i:-'(j!JOI <l't!J )<3!1!. r t ' !.!J (i'O!)tt.:tili(j 'rrt!)C:l-l\: !. ' !IL 't!) ¡¡'!)(; f Lfi T li 10'!lf:li01-~ 1 t (. '\:9 o'091-~LW l<rox~ ~ <.:n J ll!.·u: G

10'1lt x LRL U'(.<Jt0t9 >l 1 '9Q

lj'R(.ü;i !. T!. lf(.Hxt l !J ti8' t;<¿ t:i'9m:tnc.:n o·tti:!'Hi!,i Ti-: '1-Q (J'(.t089()C.: O'x!. Tt1:<.: 1 ~L ' 9t 6'f-QRt\;t<: 0'00()(] 1 Q <.;(.'c;t ¡¡·t oornr:¡t {)'()901\xt , or;·¡:t trttl1()(.tt 1 1'(.\:L 1 ~ t x\:' 1 t

,¡¡'(.((.l'll.ili\: <J'!l!. <.:xOt tx·<J: li '!li:!Jijf<:(: 111')-( J-(. l li\: (.H'tl: r; ·xx\:x<.: 11-: ,!Hil-l!ltt 1t (.t' l :: \(1 il i!JI:<.: !.(. 1 l'!Wt:(.x\: 11!. ·¡ ;¡: n:~Jll H:(. t'1-l-I\:()H\; xli' !.1-U'OK!.O LOC: O'(i(.(¡¡:¡.¡: 1 t.:x'\:(. (i'l <J~ !. :-'9 1 (.'(¿(.()l;()t: ~~:· ¡:¡;

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Lt'l t ' tL!HifiO 1 !r xr-<-<.:!lf. t:iQ'(\ 1 .,.-' 'e-:tt" ' t' ' -:•)-: 1· 11 <,-:·' 1 t" <· - _( •. ~ 1" (. ( _(. - 1<()'1'

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120 MANUEL 'rRUCCO 1 ~'HANCISCO MARDONES

(( , distancin. de Pn ' al ap >)'•> de In. izr¡uierd:t=( ct - & ... - (J., ' )

n n'-1

): P = ~P-~P

m·t n'· t ~ P' =~P-~P

n n'·1 n ¿ P A = LPA-~PA - o~P

1 n n'

m-1 n'·r

L P' A' =~P - ~l'li - oi P n' n'

Si, por otra parte, ob>ervarnos qne:

~P~=D~P i ~p·~'= D'~ P'

podemos cscridir la ccuacion (3) en esta otrn forma:

rJ n' M = ~(1 u - D) LP-(a- a - D') ~l' '

1

Como para los sistemas que empiezan por P 1 el cuadro C cia los valores de D i D' se vé que para dichos sistemas los cálculos son mas senci llos si se aplica lu. fórmula (3)

en esta nueva fórmula.

MOMENTO DE FLEX I ON MÁXI MUM MAXIMORU M

Establezcamos ante todo, el siguiente:

TEOitEhlA.-E-n ·unct v iga sobre dos apoyos solicitnr.ltt por un tren móv·il de n ju~1·zas aislad!J,.S, el 1non~1nto m ·í..-vimtt m m'L:t:imorttm se desa¡·¡·olla ct plonw de «cie?·ta» jUe?·za cutmdo el sistcm·t está colocado d~ tal mane1·n e¡ uc elJmn lo medio de la viga dimiclict el espcwio que la separa de la linea de cwcion de let nsultante.

El mome?to en el punLo de aplicacion de urm fuer za P ... de abcisa x es: (Fig. 2)

. ·;;· · ¡p' 1, .

. s, .

' .

A · - - - - ~- - -·

. p .. , f_[r f f P."

.: ~·; ~ __l~ - . .Á . ...

-1- . -' - . - - - - - - - . - -- .. . - -

(4)

MOMENTOS DE FLEX!O~ EN LAS VIO!S SOBRE DOS APOYOS 121 '

Si llamamos k la distancia del centro <le gr~vedad del sisteina a la fuerza P m que

se considera y la difcrenci 1~ (x - a) que es con-;Ln.nte para cada fuerza; i si ob~en·a ·

mos que:

podremos escribir:

El valor de x t¡uc hace má.xima esta esprcsion, resulta de escribir:

de donde:

2x~P±k¿P

1 =0

(fl)

Ahora bien, en un puu t,o situado a una di:!Lancia {3, a la izquier·da del eje con·!Íde­

mdo, el valor de l mo mento es:

M" = (x- f3)2: P + 1:l'';l '- \X- 11- ¡9)).:1'' + (x-¡9) -----,---[ 1:P.::\ +l ((1:P J

o sea:

Observando e¡ u e:

M" = M' + (3l 1: P'-(~ 1' - L Pñ ~u ¿p )]

pldemos escribir que la variacion c:;pcrimentada por el valor del momento es:

il~l= Bl 1:P' - l±k¿p J 1- :tl

Considerando, como lo hemos hecho, el Lrol:•> r!c la iz•ptierda, los momentos son po .

sitivos; luego para que el momento M' sea m'\yor que ~1" es neces~rio que ,i M sea ne­

gativo, es decir que:

1: P'< l±kL L' 21

(6)

De la misma manem, en un punto situado a una distancia f3 a la derecha de P"' el momento es:

¡•¡ .1<~ 1 doble signo de k proviene do la e >locacion de la result:mte con re~pecto al pun to medio de la viga : (+ ) si están la i..:¡uierda i (-)si es t.\:\ la derecha.

16 ~I ARZO

12~ ~IAN U F.L 'I'RUCCO 1 t'HANCJSCO MAHDONES

M"' = M'_+ ,a[l~k ~ 1' - (H+ 1',,) J I p11ru que M' ~ea m11yor l{lle M'" l'i-1 ueeesario l {lle

P+P >l±k~l' - lll !ti

( 7)

En consecuencin., el momento máximum Ol flX IIll üru nJ para un ~ i~tema dado de

fuerzn:< :>e ob tiene a plomo de aquella o de una el e ar¡ uellas fuerza~ que colocada en la

po~icion que define la rcln.cion (5), sati~fncc !:imult,ínenmcutc In~ condiciones (G) i (i l. Ob.qe¡·vaci0'11es. - I. Como !Se ha dicho tinte~. las consideraciones espuestas ~on aplica·

bies >l un sibtemn determinado de fuerzas. Cuando, como es el cn~o en los pueutes ferro ·

vin rio~ . e l sistemn es ilimitado i las fuerzas tienen valores i d istrib uciones variadas, el

momt-nto máximum maximorum de que es capaz un sistema. compuesto de un cierto

número de fuerzas, puede mui bien ser inferior a l que l:!e obtendría cuando 5e modific¡u·a

e l s i~tei !Ja hacil"ndo entra r uuevas fue rzas por In derecha o ~al ir otras por la izt¡uierda, o

1Ímbas cosas a la vez. H .-Puede suceder q ue nn ~ i stema dado no pueda colocnrse sobre In vigR en la pu­

l'icion que ind ica la relacion (f>) con respecto a l ej<' que satisface la.'! condicioues (ti)

i (i); ~ea: a) 'porq ue al darle esta posicion eu tren fuerzas por la derecha o salgan ot~>l'! por In iz·¡uierda; sen: b) porq ue salgan fuerzas por la derecha o entren por ¡,~izquierda.

En tal c;aso el sistemll en referencia nu desarrolla sobre In viga el momento máximo <.le

que es cnpaz; pero podría sucedet' •¡ue a plomo de otra de sus fue rzas dcs>tnolhll'a un mo­

meuto superior al que proporcionan los rlemas sistemas posi bles sobrl'\ la viga. Deberá

entónccs considerarse el icho sistema en la posicion que defi ne la relacion (fl) con respecto

a la fuerza que precede a la CJU e satisface las coudicionC!l ( fil i (í), en el C>lso n l, o con

rellpeclo a la que le ~igue, en el caso b ). E.; claro que si pnrn esta segunda po~iciou el >!Íst,cma no se couser va >!obre la ,·ig>l ,

e~ porque está mal e lej ido: no es un sistema posible.

S e deduce de lo r¡ne hemos e~pucstu que <:ada ~isLema posible dPflf,ro de la viga

detot\rrolla a plomo de una de sus fuerzn.~ un momento de flexion mt\ximo: i e l mnyor de

todos e!ltos se•·á el máximum maximoru m c¡ue se busca.

Pnm fijar los sistemas posibles sobre la viga porl rlamos utilizar e l cuadro C; pero

simplificamos muchísimo la in vestigacion s i nos auxiliamos de un cuaclro esquemático

como e l r¡uc se ve en la lámina 1, fácil de comprender a la simple inspeccion.

Para fijar bien las ideas, esplicaremos la manera de usarlo, con un ejemplo nu­

mérico.

T .. memos unn viga de t fl 111. de luz.

Subre una regla de lonjitud mínima de 2;j m a la escala del esquema, marcamos los

puntos estremos i el punto central, e iremos colocándola par~ cada uno de los sistemas

MOMENTOS DE FJ.;EXION EN I.AS VWAS SOBRE DOS APOYO!! 123

que pueden estar sobre la viga en la posicion que resulta de la relacion (5) con respecto a aquellas fuen:as para lns cuales sea posible sin que el sistema sobre la viga cambie.

Con los datos así obtenidos llenamos la col u mua (1) del cuadro D que complet.amos con los datos correspondientes, proporcionados por el cuadro G Calcu 1ando la columna (fl) encontraremos cuales son los sistemas i los ejes qne pueden dar el momento máx imum maximorum . I no resta mas c:ue calcular la columna 9, c.mstruyendo la fórmula (3¡

pa.ra dichos di versos s ist.ema~, s in olvidar las consideraciones espnestas al tmtar del mo­mento máximo en nna seccion cualquiem.

Encontramos en el ejemplo propuesto, que el momento máximum maximórum lo desarrolla el eje número 11 estando (·l sistema() a 16 sobre la viga.

- ¡¡ , 1

J Ll lll IY V VI

1

1- o--1'2 '2- 7- 1:1 2- 8- 13 ¡¡_ 9- 1-1: ()-- 10-J() Ü-·11- 16

LP

1-ioi\'20: 1 f>H-U 0 ' 163-!10 l f:Jiióol 1:mmoJ 1:17M90

1

CUA DRO D

14l 101

GU610 70HH0.6 670-tOI 746Hfl.2 7m)20 7!l!J60.8 7~260; ~'2'28:1.4 .!;)090¡ G-!640.6 586;)01 6R71!Hi

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Procediendo de e~ta misma manera se ha calculado el valor del momento máximum maximornm que deRarrolla el t ren efectivo a que nos hemos venido refiriendo en vigas de luces variables de !i en !í metros hasta 40 m., i de 1 O en 1 O m. hasta 1 O 1 m .

.-Los resultados obtenidos de este estudio forman parte de los anteced e n te~ qne ser­virán de base al nnevo cuaderno de cláusulas i condiciones j enerales pa1:a el cálcuio i la construccion de los puentes de ferrocarri l, antecedentes que se darán a la publicidad en época oportuna.