Metodos Numericos 2013/14

3. Equacoes Nao Lineares

Universidade de Aveiro

Departamento de Matematica

MN 2013/14

Introducao

O objectivo deste captulo e o estudo de metodos numericos para a

resolucao de equacoes nao lineares f(x) = 0, sendo f uma funcao

contnua em I R.

Exemplos de equacoes nao lineares:

x6 x 3.1 = 0x4.5 3x+ 1 = 04x 5x+ 1 = 2

cosx ex = 0

Equacoes nao lineares ocorrem muitas vezes na resolucao de equacoes

diferenciais, integracao, determinacao de extremos, etc.

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Metodos iterativos

Seja I R uma raiz da equacao f(x) = 0 (diz-se tambem que eum zero de f).

Se for um zero de f e se f for m vezes continuamente diferenciavel em

, entao e um zero de multiplicidade m se e so se

f() = f () = f () = . . . = f (m1)() = 0 e f (m)() 6= 0.

Conhecendo uma aproximacao inicial x0 de (no caso dos metodos

dependentes de um so ponto) ou um intervalo [x0, x1] que contenha

(no caso dos metodos intervalares), um metodo iterativo gera uma

sucessao de aproximacoes {xk}kN, definida por

xk = g(xk1, . . .), k = 1, 2, . . . .

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Metodo iterativo e ordem de convergencia

E desejavel que a sucessao {xk}kN, gerada pelo metodo iterativo, sejaconvergente para a raiz da equacao, i. e., que lim

kxk = . Sendo

ek = xk o erro na iteracao de ordem k, tem-se que

limk

xk = limk

ek = 0.

Depois de estabelecida a convergencia do metodo iterativo, convem ter

uma ideia sobre a rapidez com que a sucessao de aproximacoes {xk}kNconverge para .

Definicao: i) Diz-se que p e a ordem de convergencia do metodo iterativo

se

m |ek+1||ek|pM,

k N, 0 < m M

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Metodo iterativo e ordem de convergencia

ii) Se, alem disso, existir uma constante c > 0 tal que

limk

|ek+1||ek|p

= c,

diz-se que c e a constante de erro assimptotico.

p = 1 convergencia linear p = 2 convergencia quadratica p > 1 convergencia supralinear

Quanto maior for a ordem de convergencia maior sera, em princpio, a

rapidez de convergencia do metodo iterativo. No entanto, esta rapidez

depende ainda do esforco computacional requerido em cada iteracao.

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Escolha das estimativas iniciais

Num metodo iterativo (local) as estimativas iniciais devem estar

suficientemente proximas da raiz. Assim, convem que a raiz que se

pretende aproximar seja localizada num intervalo de amplitude pequena.

Teorema de Bolzano: Se f e contnua em I = [a, b] R e sef(a)f(b) < 0, entao existe pelo menos uma raiz I da equacaof(x) = 0.

Alem disso, se f e diferenciavel em ]a, b[ e se f (x) 6= 0, x I, entao e o unico zero de f no intervalo I.

O intervalo I para a raiz pode ser obtido por localizacao grafica.

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Escolha das estimativas iniciais

Localizacao grafica das estimativas iniciais:

Podendo tracar-se o grafico de f , obtem-se estimativas iniciaisgeometricamente;

Senao, considerando

f(x) = 0 p(x) = q(x) ,

onde p e q sao funcoes mais simples de representar graficamente, os

pontos x tais que p(x) = q(x) verificam f(x) = 0, ou seja, sao as

razes de f(x) = 0.

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Exemplo

Localizacao da raiz real de f(x) = x3 2x 5 = 0:

Como f(2)f(3) < 0 e f (x) > 0, x I = [2, 3],entao 1 [2, 3] tal que f() = 0;

Localizacao grafica

p(x) = x3 , q(x) = 2x+ 5

p(x) = q(x) = x1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

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Criterios de paragem

O metodo iterativo convergente xk = g(xk1, . . .), k = 1, 2, . . ., e

aplicado repetidamente ate se obter uma aproximacao xk suficientemente

proxima de que satisfaca pelo menos um dos criterios:

|xk xk1| < 1 (tolerancia absoluta);

|xkxk1||xk| < 2 (tolerancia relativa);

|f(xk)| < 3;

um numero maximo de iteracoes k = kmax;

um majorante do erro absoluto, caso este se possa calcular.

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Majorante do erro absoluto

Majorante do erro absoluto de uma aproximacao xk de , raiz real simples

de f(x) = 0, obtida por um qualquer metodo iterativo:

Sendo f C[a, b] = I e f (x) 6= 0, x I, com I, aplicando oteorema do valor medio a f no intervalo int(, xk) I e, atendendo aque e um zero simples de f , obtem-se (exerccio!)

| xk| =f(xk)

f (k)

, k int(, xk).

Se m = minxI

|f (x)|, entao |f (k)| m > 0, pelo que

| xk| |f(xk)|m

, k = 0, 1, 2, . . .

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Metodo da bisseccao

Suponhamos que 1 I = [a, b] tal que f() = 0:

O metodo da bisseccao consiste em construir, por bisseccoes sucessivas,

uma sucessao de intervalos Ik = [ak, bk] a partir do intervalo inicial I,

de modo a que f(ak)f(bk) < 0. A sucessao de intervalos construdos

{Ik}kN0 e tal que I = I0 I1 I2 e Ik (k = 0, 1, 2, . . .).

Seja (Ik) = bk ak a amplitude do intervalo Ik, para k = 0, 1, 2, . . . .Por construcao, Ik tem metade da amplitude do intervalo Ik1, i. e.,

(Ik) =(Ik1)

2=

(Ik2)

22= = (I0)

2k=

b a2k

e limk

(Ik) = 0 .

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Metodo da bisseccao: erros e convergencia

A aproximacao xk da raiz obtida pelo metodo da bisseccao apos k

iteracoes, e dada pelo ponto medio do intervalo Ik1, i. e.,

xk =ak1+bk1

2, k = 1, 2, . . . .

Sendo ek = xk o erro da aproximacao xk, entao

limk

ek = 0 e |ek| (Ik) =b a2k

.

O numero mnimo de iteracoes k que garante |ek| , e tal que

k ln(ba

)

ln 2.

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Aplicacao do metodo da bisseccao

Calculo da raiz real de f(x) = x3 2x 5 = 0, com [2, 3] = I0:

Pretende-se obter uma aproximacao xk de , tal que | xk| < 106;

O numero mnimo de iteracoes (bisseccoes) a efectuar e k = 20;

Apos k = 20 iteracoes, obtem-se os resultados

I20 = [2.09455108642578, 2.09455299377441],

x20 = 2.09455204010010 e | x20| < (0.954)106 .

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Metodo iterativo do ponto fixo

Suponha-se que 1 I = [a, b], tal que f() = 0. Consideremos

f(x) = 0 x = g(x),

onde g C1(I). Assim, um zero de f diz-se um ponto fixo de g, i. e.,satisfaz

= g().

Entao, o metodo iterativo do ponto fixo, definido por

xk = g(xk1), k = 1, 2, . . .,

calcula aproximacoes para o ponto fixo de g (raiz da equacao f(x) = 0).

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Metodo do ponto fixo: interpretacao geometrica

O algoritmo xk+1 = g(xk), k = 0, 1, 2, . . ., pode nao convergir para

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Metodo do ponto fixo: convergencia

Em que condicoes e que, dada uma aproximacao inicial x0, o metodo

iterativo xk = g(xk1), k = 1, 2, . . ., converge para a raiz de

f(x) = 0 no intervalo I = [a, b]?

Teorema: Seja g C1(I) e o unico zero de f em I.Se

g(I) I (i. e., x I, g(x) I)e

0 < M = maxxI

|g(x)| < 1,

entao g possui um unico ponto fixo no intervalo I e a sucessao de

aproximacoes {xk}kN gerada por xk = g(xk1), k = 1, 2, . . .,converge para , qualquer que seja a aproximacao inicial x0 I.

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Metodo do ponto fixo: erros e convergencia

Seja ek = xk o erro da aproximacao xk, obtida na iteracao de ordemk de um metodo de ponto fixo convergente.

Atendendo ao teorema anterior e possvel mostrar que (exerccio)

|ek| M |ek1| |ek| Mk|e0|, k = 1, 2, . . .

e que

limk

|ek||ek1|

= |g()| .

Entao, se g() 6= 0, a convergencia e linear e a constante de erroassimptotico e c = |g()|.

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Metodo do ponto fixo: erros e convergencia

Suponha-se que o metodo iterativo de ponto fixo xk = g(xk1),

k = 1, 2, . . ., e convergente para um ponto fixo de g Cp(V).Se, para p 2, se tem

g() = g() = g() = = g(p1)() = 0

e

g(p)() 6= 0, x V (vizinhanca de ),

entao, xk = g(xk1) tem ordem de convergencia p, x0 V.Alem disso, se

limk

| xk|| xk1|p

=|g(p)()|

p!,

entao, c = |g(p)()|p!

e a constante de erro assimptotico.

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Metodo do ponto fixo: observacoes importantes

Se |g(x)| > 1, x Dg (onde Dg e o domnio de g) e x0 6= , entaoo metodo iterativo xk+1 = g(xk), k = 0, 1, 2, . . ., diverge (exerccio!)

A forma geral da funcao iteradora de ponto fixo g e dada por

g(x) = x c(x)f(x) ,

onde c e uma funcao contnua, nao nula, em I = [a, b]; de facto, a partir

desta forma geral, e possvel mostrar que, se I e uma raiz def(x) = 0, entao e um ponto fixo de g e reciprocamente (exerccio).

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Metodo do ponto fixo: exemplos de aplicacao

Dado a R+, pretende-se calcular = a, onde e a raiz positiva daequacao f(x) = x2 a = 0:

Como x2 a = 0 x = x2 a+ x, pode considerar-se a funcaog(x) = x2 a+ x, a qual permite obter o metodo de ponto fixo

xk = x2k1 a+ xk1, k = 1, 2, . . . .

Mas, neste caso, verifica-se que |g()| = 2a+ 1 > 1, nao estandogarantida a convergencia deste metodo iterativo para ;

Consideremos, agora, g na sua forma geral g(x) = x c(x)f(x), comc(x) = c 6= 0;

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Metodo do ponto fixo: exemplos de aplicacao

Verifica-se que a condicao |g()| < 1 e equivalente a 0 < c