Métodos Matemáticos

Métodos Matemáticos

INAOE CURSO PROPEDEUTICO PARA LA

MAESTRIA EN ELECTRONICA

Capítulo 2

2010

http://www-elec.inaoep.mx/~jmram/prope/prope.htm

• Ecuaciones Diferenciales I

• Introducción

• Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de orden 1

• EDO de orden 2

• EDO de orden sup.

• Sistemas de EDO

Ecuaciones Diferenciales

3

ecuación diferencial

21.0)( xexy 21.02.0 xex

dxdy

yxdxdy

2.0

Suponiendo que nos dan directamente esta ecuación (ED) el objetivo es obtener la función y(x) que la satisfaga

Ejemplo de ecuacióndiferencial

Función diferenciable en (-, ). Su derivada es:

4

¿Qué es una ecuación diferencial (ED)?

Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes.

yxdxdy

2.0

variable dependiente

variable independiente

Dónde se usan ?

6

Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2,...

Notación primada: y', y'', y'''… y(n),...

Notación de Newton:

Notación de subíndice: ux , uy , uxx , uyy , uxy , …

En la notación de Leibniz localizamos rápidamente cuál es la variable dependiente y la independiente:

Notaciones

...,,,......

xxx

5 ey dx

dy x

Las EDs se clasifican por:

•Tipo•Orden•Linealidad

8

Ecuación diferencial ordinaria (EDO): Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola variable independiente.

Ejemplo de EDO:

Una EDO puede contener más de una variable dependiente:

Clasificación por tipo:

5 ey dxdy x

yx dt

dy

dt

dx 2 )()(2

)()(t y tx

dttdy

dttdx

9

t

u

t

u

x

u

y

u

x

u

2 02

2

2

2

2

2

2

2

Ecuación diferencial parcial (EDP):

Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes.

Ejemplos:

10

xeydy

dx

dx

yd

45

3

2

2

Clasificación según el orden:

El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden mayor de la derivadas involucradas en la ecuación.

Ejemplo:segundo orden primer orden

Luego, es una EDO de segundo orden.

11

Nota: A veces se escriben las EDOs en forma diferencial

0),(),( dyyxNdxyxM

Por ejemplo, supongamos que y es la variable dependiente y x la independiente en la EDO en forma diferencial:

04)( xdydxxy

x

yx

dx

dydx

dyxxy

4

04

Forma general de orden n de una EDO:

Forma normal de orden n de una EDO: :

Por ejemplo, las formas general y normal de la EDO son:

12

0) , ,' , ,(variables2

)(

n

nyyyxF

) , ,' , ,(variables1

)1(

n

nn

n

yyyxfdx

yd

f(x, y)x (x – y)/y’

x y)/ y’ - (x –)F(x, y, y’

4

04

x, y xy’ 4

13

Grado

El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial.

Ejemplo:La siguiente ecuación diferencial:

es de tercer grado, dado que la primera derivada, que nos da el orden de la EDO, está elevada cubo.

87 53

xxydx

dy

14

EjerciciosDeterminar el grado de las siguientes ecuaciones:

a)

b)

735 25

2

22

4

4

x

dx

dy

dx

yd

dx

yd

3

2

22

6

2

2

7

dx

ydx

dx

dyx

dx

yd

NOTA: cuando alguna derivada esté dentro de un radical o en polinomio, que a su vez esté elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para determinar el grado de la ecuación diferencial.

17 2 xdx

dy3

2

2

dx

dyx

dx

yd

15

Ejercicios

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) b)

c)

d)

ydx

dyx

dx

yd53

3

3

5

3

33

3

3

818

dx

ydx

dx

yd

dx

dy

dx

dyx

dx

yd85

3

3

53

3

2

2

3dx

ydx

dx

yd

16

Clasificación según la linealidad:

Se dice que una EDO de orden n es lineal si F (en la forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n).

)()()()()( 011

1

1 xgyxadxdy

xadx

ydxa

dxyd

xa n

n

nn

n

n

)()()()( 012

2

2 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

)()()( 01 xgyxadx

dyxa Dos casos importantes

serán las EDOs lineales de primer y segundo orden.

17

Lineal homogénea:

El término independiente g(x) es cero.

Lineal con coeficientes constantes:

Los coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.

Lineal con coeficientes variables:

Enfatiza el hecho de que al menos uno de los coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante.

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

18

xeyyy 2')1(

0siny2

2

dx

yd

024

4

ydx

yd

Ejemplos de EDOs no lineales:

El coeficiente depende de y.

Función no lineal de y.

En una EDO lineal de orden n:1) y, y’, y”, …, y(n) son de primer grado.2) Coeficientes a0, a1, …, dependen solo de la variable independiente x.

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

19

Ejemplos: ¿Lineales o no lineales?

1)

2)

3)

4)

5)

6)

)(1

)(1)(

tVRC

tvRCdt

tdvs

)( TTKdt

dTa

0 mgsenklml

y

yxx

dx

dy 22

1)sin(' 223 xyxyxy

0y'y)y1(''y 2

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

Solución de una EDOCualquier función , definida en un intervalo I y con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad, se considera solución de la ecuación en el intervalo.

20

Siempre se debe considerar una solución junto a su intervalo I de definición, también llamado intervalo de existencia, de validez o dominio de definición.

En otras palabras, posee al menos n derivadas y cumple:

IxxxxxF n 0))( , ),(' ),( ,( )(

21

Comprobar que la función indicada es la solución de la EDO dada en el intervalo (-, ):

(a) dy/dx = xy1/2. Solución: y = x4/16.

Solución: Existe la derivada dy/dx = x3/4 para todo x de (-, ).

(a) Lado izquierdo :

Lado derecho:

4164

33 xxdxdy

4416

322/142/1 xx

xx

xxy

Ejemplo: comprobación de una solución.

Y la igualdad se cumple para todo x de (-, ).

22

Solución:

(b) Derivando la solución dos veces: y' = xex + ex y'' = xex + 2ex :

Nótese que y(x) = 0 también es la solución tanto de este ejemplo como del anterior en el intervalo (-, ). Se conoce como solución trivial.

xxeyyyy ;02

0)(2)2(2 xxxxx xeexeexeyyy

Ejemplo (b)

23

Una EDO puede tener:

No. Inf. de soluciones:

Una única solución:

Ninguna solución:

tCexyxyy sin)(;cos'

0)(;0)'( 22 xyyy

0)'( 22 xy

)cos(xdx

dy

dxxdy )cos(

dxxdy )cos(

Cxy )sin(

EjemploNo. Inf. De Soluciones(familia de soluciones)

25

EjemploComprobar que la y = x2 + C no es solución de la ecuación diferencial:

xdx

dy

xdx

dy2

Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la ecuación diferencial tenemos:

Por lo tanto y = x2 + C no es solución de la ecuación diferencial

12

2

xx

SoluciónDerivando y = x2 + C tenemos

26

Ejercicios Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada:

yxdx

dyxCxxy

22 ;

025);5cos()5(2

2

ydx

ydxBxAseny

084; 23

2

y

dx

dyxy

dx

dyCxCy

2412 ''; yxxyyCxCy

senxysenxdx

dysenyCye x

cos;cos1cos

32

225 1606;38 x

dx

ydCxxy

27

Ejemplo:Encuentre la ED cuya solución general es y = x2 + C.

SoluciónObservemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y = x2 + C. Así

Como en esta derivada no aparecen constantes de integración, quiere decir que esta es la ED de la solución general presentada al inicio.

xdx

dy2

28

EjemploEncuentre la ED cuya solución general es y = C x2.

Cxdx

dy2

xx

y

dx

dy

222x

yC

Por lo tanto:

es la ED de la solución general, puesto que ya no aparecen constantes de integración.

x

y

dx

dy 2

SoluciónObservemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y = C x2. Así

Despejamos C de la solución general y se sustituye el valor encontrado en la ED.

29

Ejercicios Encuentre la ED de las siguientes soluciones generales de

xx eCeCy 21

)3tan( Cxy

22

221 CyCx

Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ejercicios.

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Ecuaciones diferenciales de primer orden: Ejercicios.


(a) y = 1/x considerada como una función, tiene dominio de definición (-, 0) U (0, ). Es discontinua y no diferenciable en x = 0.

(b) y = 1/x es también solución de xy’ + y = 0. Se entiende que es solución en algún intervalo I en el que es diferenciable y cumple la EDO. Por ejemplo, en (0, ).

32

La gráfica de una solución de una EDO se llama curva solución. Como debe ser una función diferenciable, debe ser continua en su intervalo de definición I. Puede, entonces, haber diferencias entre la gráfica de la función y la solución. Veamos un ejemplo:

Función vs solución e intervalo de definición

Solución explícita de una EDO: La variable dependiente está expresada solamente en términos de variables independientes y constantes.

Por ejemplo, la solución de xy' + y = 0 en (0, ) es y = (x) = 1/x.

Solución implícita de una EDOUna relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una EDO en un intervalo I, siempre que exista al menos una función y = (x) que satisface tanto la relación como la ED en I.

33ejemplo

34

x2 + y2 = 25 es una solución implícita de dy/dx = −x/y en el intervalo -5 < x < 5; puesto que al derivar de forma implícita respecto a x:dx2/dx + dy2/dx = (d/dx)(25), 2x + 2y(dy/dx) = 0; obtenemos la EDO:

dy/dx = -x/y.Despejando y de la solución implícita podemos encontrar dos soluciones explícitas:

Ejemplo: Comprobación de una solución implícita.

• Familia de soluciones o solución general: Al resolver una EDO de primer orden F(x, y, y') = 0, en general, se obtiene una solución que contiene una constante arbitraria o parámetro c. Una solución así, G(x, y, c) = 0 representa en realidad a un conjunto de soluciones, llamada familia uniparamétrica de soluciones.

G(x, y, c1, c2, …, cn) = 0.

35

Observemos que el número de constantes arbitrarias en la solución general está determinado por el orden de la EDO.

)cos(xdx

dy

dxxdy )cos(

dxxdy )cos(

Cxy )sin(

EjemploNo. Inf. De Soluciones(familia de soluciones)

37

Solución particular: es una solución libre de parámetros arbitrarios.

Por ejemplo : y = cx – x cos x es la solución general de xy’ – y = x2 sin x en (-, ).

Tomando c = 0, tenemos: y = x cos x, una solución particular.

Ejemplo:

x = c1cos(4t) x = c2 sen(4t) con c1 y c2 constantes o parámetros arbitrarios, son ambas soluciones de la EDO:

x + 16x = 0.

Podemos comprobar fácilmente que la suma x = c1cos 4t + c2 sin 4t es también una solución.

38

Solución singular: Una solución que no puede obtenerse al especificar los valores de los parámetros de la familia de soluciones.Por ejemplo: y = (x2/4 + c)2 es la familia de soluciones de dy/dx = xy1/2 , sin embargo y(x) = 0 también es una solución de la ED anterior.No podemos encontrar ningún valor de c en la familia de soluciones y = (x2/4 + c)2 que nos proporcione la solución y = 0, así que llamamos a y = 0, solución singular.

39

Problemas con condiciones iniciales

Encontrar la solución y(x) de una ED que además satisfaga condiciones iniciales en y(x) y en sus derivadas.

en un intervalo I que contiene a xo

Resolver

con condiciones

40

) , ,' , ,( )1( nn

n

yyyxfdx

yd

10)1(

1000 )( , ,)(' ,)( n

n yxyyxyyxy

Resolver:

sujeta a:

41

PCIs de primer orden:

42

PCIs de segundo orden:

Resolver:

sujeta a:

Ejemplo: Sabemos que y = cex es una familia uniparamétrica de soluciones de la EDO: y’ = y en (-, ).

Si y(0) = 3, entonces 3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una solución de este problema de valor inicial.

Si queremos una solución que pase por (1, -2), entonces la condición es: y(1) = -2. De modo que -2 = ce, c = -2e-1. Y tenemos y = -(2/e)ex.

43

y = 3ex

y = -(2/e)ex

44

Ejemplo: vimos que x = c1cos(4t) + c2sen(4t) era una solución de x + 16x = 0.

Hallar una solución del siguiente PCI:x + 16x = 0, x( /2) = −2, x( /2) = 1.

Solución:Sustituimos: x( /2) = − 2 en x = c1cos(4t) + c2sen(4t),

y obtenemos c1 = −2.

De la misma manera, a partir de x( / 2) = 1 obtenemos c2 = ¼. La solución pedida es: x = −2 cos 4t + ¼ sen 4t

45

Ejemplo: la solución de y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c). Si imponemos y(0) = -1, obtenemos c = -1.

Considérense los siguientes casos:

1) Como función, el dominio de y = 1/(x2 - 1) es el conjunto de todos los números reales excepto -1 y 1.

46

Ejemplo: la solución de y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c). Si imponemos y(0) = -1, obtenemos c = -1.

Considérense los siguientes casos:

1) Como función, el dominio de y = 1/(x2 - 1) es el conjunto de todos los números reales excepto -1 y 1.

2) Como una solución: los intervalos de definición posibles son (-, 1), (-1, 1) y (1, ).

3) Como un problema de valor inicial, cony(0) = -1. El intervalo de definición es (-1, 1).

47

Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una red o malla de puntos rectangular en el plano xy, y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y) de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el campo de direcciones o campo de pendientes.

Campo direccionales

Ejemplo: dy/dx = 0.2 xy

xdx

dy

EJEMPLO:

xdx

dy

xdx

dy

dxxdy

dxxy

Cx

y 2

2

xedx

dy

xdx

dy

55

Ejemplo: Analizar campo direccional de

Ec. Dif: dy/dx = 0.2 xy

Solución general de la ecuación: 21.0 xeCy

yxdx

dy2.0

dxxy

dy2.0

dxxy

dy2.0

22.0ln

2

1

xCy

21 1.0ln xCy ee

21.02

xeyC 21.0

3xeCy

…Adelantándonos: Método de Separación de Variables

57

campo direccional dedy/dx = 0.2 xy Solución general de la ecuación:

21.0 xeCy

58


21.0 xeCy

59


21.0 xeCy

Solución de EDO de primer orden


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