METODOS ESTADÍSTICOS

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UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPÁN CURSO: HIDROLOGIA TEMA: METODOS ESTADISTICOS METODOS ESTADÍSTICOS. Los métodos estadísticos, se basan en considerar que el caudal máximo anual, es una variable aleatoria que tiene una cierta distribución. Para utilizarlos se requiere tener como datos, el registro de caudales máximos anuales, cuanto mayor sea el tamaño del registro, mayor será también la aproximación del cálculo de caudal de diseño, el cual se calcula para un determinado periodo de retorno. Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseño, se cuenta con pocos años de registro por lo que la curva de distribución de probabilidades de los caudales máximos, se tiene que prolongar en su extremo si se requiere inferir un caudal con un periodo de retorno mayor al tamaño del registro. El problema se origina en que existen muchos tipos de distribuciones que se apegan a los datos, y sin embargo, difieren en los extremos. Esto ha dado lugar a diversos métodos estadísticos, dependiendo del tipo de distribución que considere. A continuación se explican los métodos de: Gumbel Nash Levediev Log-Pearson III Gumbel y Nash consideran una distribución de valores extremos, con la única diferencia, que el criterio de Nash es menos rígido que el de Gumbel, pues permite ajustar la distribución por mínimos cuadrados. Por otra parte, Levediev considera una distribución Pearson tipo III. En forma práctica, se recomienda escoger varias distribuciones y ver cual se ajusta mejor; esto requiere que se tengan los datos necesarios para poder aplicar alguna prueba estadística, como la prueba de bondad de ajuste. Docente: mgs. Ing° Arbulú ramos José del Carmen página 1
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    27-Oct-2014
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UNIVERSIDAD SEOR DE SIPNCURSO: HIDROLOGIATEMA: METODOS ESTADISTICOS

METODOS ESTADSTICOS.Los mtodos estadsticos, se basan en considerar que el caudal mximo anual, es una variable aleatoria que tiene una cierta distribucin. Para utilizarlos se requiere tener como datos, el registro de caudales mximos anuales, cuanto mayor sea el tamao del registro, mayor ser tambin la aproximacin del clculo de caudal de diseo, el cual se calcula para un determinado periodo de retorno.Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseo, se cuenta con pocos aos de registro por lo que la curva de distribucin de probabilidades de los caudales mximos, se tiene que prolongar en su extremo si se requiere inferir un caudal con un periodo de retorno mayor al tamao del registro. El problema se origina en que existen muchos tipos de distribuciones que se apegan a los datos, y sin embargo, difieren en los extremos. Esto ha dado lugar a diversos mtodos estadsticos, dependiendo del tipo de distribucin que considere.A continuacin se explican los mtodos de:GumbelNashLevedievLog-Pearson IIIGumbel y Nash consideran una distribucin de valores extremos, con la nica diferencia, que el criterio de Nash es menos rgido que el de Gumbel, pues permite ajustar la distribucin por mnimos cuadrados. Por otra parte, Levediev considera una distribucin Pearson tipo III. En forma prctica, se recomienda escoger varias distribuciones y ver cual se ajusta mejor; esto requiere que se tengan los datos necesarios para poder aplicar alguna prueba estadstica, como la prueba de bondad de ajuste.

MTODO DE GUMBEL.Para calcular el caudal mximo para un periodo de retorno determinado se usa la ecuacin: 1Siendo:2Donde:Caudal mximo para un periodo de retorno determinado, en m3/s.N= nmero de aos de registro.Qi =Caudales mximos anuales registrados, en m3/s., Caudal promedio, en m3/sT= Periodo de retorno.Constantes funcin de N, tabla 6.13 (Variables reducidas)= Desviacin estndar de los caudales.Para calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual puede variar dependiendo del registro disponible se hace lo siguiente:Si =1-1/T vara entre 0.20 y 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la frmula:

Donde:N= nmero de aos de registro=constante en funcin de , tabla 6.14.= Constantes funcin de N, tabla 6.13= Desviacin estndar de los caudales (ecuacin 2)

Tabla 6.13. Valores de y en funcin de N.

Tabla 6.14 Valores de en funcin de .

Si >0.90, el intervalo se calcula como:

La zona de comprendida entre 0.8 y 0.9 se considera la transicin, donde es proporcional al clculo con las ecuaciones 3 y 4, dependiendo del valor de .

El caudal mximo de diseo para un cierto periodo de retorno, ser igual al caudal mximo con la ecuacin (1), ms el intervalo de confianza, calculado con (3) (4).

EJEMPLO DEL METODO DE GUMBEL.Se tiene el registro de caudales mximos de 30 aos para la estacin 9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 6.15.En este ro se desea construir una presa de almacenamiento.Calcular el caudal de diseo para el vertedor de demasas, para perodos de retorno 50 y 100 aos respectivamente.Ao(1)Caudal m3/s(2)Ao(1)Caudal m3/s(2)

197016601985563

19719171986520

197238001987360

197314101988367

197422801989658

19756181990824

19766831991850

197793419921230

19787791993522

19799211994581

19808761995557

19817401996818

1982112019971030

19836101998418

198411501999953

SOLUCIN.Ao(1)Caudal m3/s(2)Q2(M3/S)

197016602755600

1971917840889

1972380014440000

197314101988100

197422805198400

1975618381924

1976683466489

1977934872356

1978779606841

1979921848241

1980876767376

1981740547600

198211201254400

1983610372100

198411501322500

1985563316969

1986520270400

1987360129600

1988367134689

1989658432964

1990824678976

1991850722500

199212301512900

1993522272484

1994581337561

1995557310249

1996818669124

199710301060900

1998418174724

1999953908209

SUMATORIA 2874940595065

Paso 1.Calcular el caudal promedio.

=958.3m3/s 918338.89Paso 2.Clculo de la Desviacin estndar de los caudales.

Paso 3.Clculo de los coeficientes N, YNN1.11238

YN 0.53622

Paso 4.Clculo del Caudal Mximo.

Para los periodos de retorno de 50 y 100 aos.Para T=50

m3/sPara T=100

m3/sPaso 5.Clculo de .=1-1/TPara T=50aos=1-1/50=0.98Para T=100aosT=1-1/100=0.99Paso 6.Clculo del intervalo de confianza. Como en ambos casos vemos que es mayor que 0.90, Utilizaremos la ecuacin:

m3/s

Paso 7.Clculo del caudal de diseo.

Para T=50

Para T=100

MTODO DE NASHNash considera que el valor del caudal para un determinado periodo de retorno se puede calcular con la ecuacin:

Donde:= constantes en funcin del registro de caudales mximos anuales.=caudal mximo para un periodo de retorno determinado, en m3/s=periodo de retorno, en aos.Los parmetros se estiman utilizando el mtodo de mnimos cuadrados, con la ecuacin lineal: , utilizando las siguientes ecuaciones:

Siendo:

Donde:N= nmero de aos de registro=caudales mximos anuales registrados, en m3/s, Caudal medio, en m3/s.= constante para cada caudal registrado, en funcin de su periodo de retorno correspondiente., valor medio de las Para calcular los valores de correspondientes a los se ordenan estos en forma decreciente, asignndole a cada uno nmero de orden ; al mximo le corresponder el valor 1, al inmediato siguiente 2, etc. Entonces, el valor del periodo de retorno para se calcular utilizando la formula de Weibull con la ecuacin:

Finalmente el valor de se obtiene sustituyendo el valor (10) en (9).El valor dentro del cual puede variar el calculado por la ecuacin (6), se obtiene como:

Siendo:

De la ecuacin (11), se ve que solo vara con X, la cual se calcula de la ecuacin (9), sustituyendo el valor del periodo de retorno para el cual se calcul el . Todos los dems trminos que intervienen en la ecuacin (11) se obtienen de los datos.El caudal mximo de diseo correspondiente a un determinado periodo de retorno ser igual al caudal mximo obtenido de la ecuacin (6), ms el intervalo de confianza calculado segn la ecuacin (11), es decir:

EJEMPLO DEL METODO DE NASH

Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseo utilizando el mtodo de Nash para periodo de retorno de 50 y 100 aos.TABLA 6.15. CAUDALES MXIMOS

Ao(1)Caudal m3/s(2)Ao(1)Caudal m3/s(2)

197016601985563

19719171986520

197238001987360

197314101988367

197422801989658

19756181990824

19766831991850

197793419921230

19787791993522

19799211994581

19808761995557

19817401996818

1982112019971030

19836101998418

198411501999953

Solucin:1.- Ordenando en forma descendente, los valores de los caudales de la columna 2, de la tabla 6.15 se obtiene la tabla 6.162.- Clculos PreliminaresX= log log/m

m (1)Caudal m3/s(2)T (3)T/(T-1) (4)X (5)Q*X (6)Q2 (7)X2 (8)

1380031.00001.0333-1.8465-7016.61144400003.4095

2228015.50001.0690-1.5381-3506.9751984002.3659

3166010.33331.1071-1.3545-2248.5427556001.8348

414107.75001.1481-1.2219-1722.8319881001.4930

512306.20001.1923-1.1170-1373.8815129001.2476

611505.16671.2400-1.0296-1183.9913225001.0600

711204.42861.2917-0.9541-1068.5812544000.9103

810303.87501.3478-0.8873-913.9010609000.7873

99533.44441.4091-0.8270-788.129082090.6839

109343.10001.4762-0.7717-720.818723560.5956

119212.81821.5500-0.7205-663.578482410.5191

129172.58331.6316-0.6724-616.618408890.4521

138762.38461.7222-0.6269-549.197673760.3930

148502.21431.8235-0.5835-495.987225000.3405

158242.06671.9375-0.5418-446.406789760.2935

168181.93752.0667-0.5013-410.086691240.2513

177791.82352.2143-0.4619-359.816068410.2133

187401.72222.3846-0.4232-313.155476000.1791

196831.63162.5833-0.3849-262.904664890.1482

206581.55002.8182-0.3468-228.214329640.1203

216181.47623.1000-0.3086-190.713819240.0952

226101.40913.4444-0.2699-164.663721000.0729

235811.34783.8750-0.2304-133.883375610.0531

245631.29174.4286-0.1896-106.743169690.0359

255571.24005.1667-0.1468-81.763102490.0215

265221.19236.2000-0.1011-52.752724840.0102

275201.14817.7500-0.0510-26.492704000.0026

284181.107110.33330.00612.571747240.0000

293671.069015.50000.075727.771346890.0057

303601.033331.00000.173662.491296000.0301

SUMATORIA28749-17.8528-25554.284059506517.6256

3.- Calculo del Qm y Xm

Qm= 958.30m3/s.

Xm=-0.5951

4.- Calculo de los Parmetros a y b;

b=-1206.30

a=240.44

5.- Calculo del Caudal Mximo.

T=50aosQmax=2721.5684m3/s.

T=100aosQmax=3087.3544m3/s.

6.- Calculo de las desviaciones estndar y covarianza

Sxx=210.0451

Sqq=391346949

Sxq=-253378.0648

7.- Calculo del Intervalo de ConfianzaX= log log

El valor de X se calcula para cada periodo de retorno

T=50aosX=-2.0568

T=100aosX=-2.3600

T=50aosQ=429.5426m3/s.

T=100aosQ=491.4601m3/s.

8.- Calculo del Caudal de Diseo

T=50aosQd=3151.11m3/s.

T=100aosQd=3578.81m3/s.

MTODO DE LEVEDIEV.Este mtodo est basado en suponer que los caudales mximos anuales son variables aleatorias Pearson tipo III. El caudal de diseo se obtiene a partir de la frmula:

Donde:

Y

Los trminos que aparecen en las ecuaciones anteriores tienen el siguiente significado.A=Coeficiente que vara de 0.7 a 1.5, dependiendo del nmero de aos del registro. Cuantos ms aos de registro haya, menor ser el valor del coeficiente. Si N es mayor de 40aos, se toma el valor de 0.7.= coeficiente de asimetra, se calcula como:

Por otra parte, Levediev recomienda tomar los siguientes valores: Para avenidas producidas por deshielo. Para avenidas producidas por tormentas. Para avenidas producidas por tormentas en cuencas ciclnicas.Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuacin (15), se escoge el mayor= coeficiente de variacin, que se obtiene de la ecuacin:

=coeficiente que depende de los valores de (ecuacion16) y de la probabilidad P=1/T, su valor se encuentra de la figura 6.3N= Aos de observacin.=intervalo de confianza, en m3/s=caudal de diseo, en m3/s=caudales mximos anuales observados, en m3/s=caudal promedio, en m3/s, el cual se obtiene de:

=Caudal mximo probable obtenido para un periodo de retorno determinado, en m3/s.Figura 6.3 Valores de en funcin de y p.

K=coeficiente que depende de la probabilidad P=1/T, expresada en porcentaje de que se repita el caudal de diseo y del coeficiente de asimetra (tabla 6.17)

EJEMPLO DEL MTODO DE LEVEDIEV.Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseo utilizando el mtodo de Levediev para periodo de retorno de 50 y 100 aos.TABLA 6.15. CAUDALES MXIMOS

Ao(1)Caudal m3/s(2)Ao(1)Caudal m3/s(2)

197016601985563

19719171986520

197238001987360

197314101988367

197422801989658

19756181990824

19766831991850

197793419921230

19787791993522

19799211994581

19808761995557

19817401996818

1982112019971030

19836101998418

198411501999953

SOLUCION1.- Obtencin del Caudal Medio

Qm=958.30m3/seg

2.- Clculos Previos

AOQ (m3/seg)

-1

197016600.73220.53620.3926

1971917-0.04310.0019-0.0001

197238002.96548.793326.0754

197314100.47140.22220.1047

197422801.37921.90222.6236

1975618-0.35510.1261-0.0448

1976683-0.28730.0825-0.0237

1977934-0.02540.00060.0000

1978779-0.18710.0350-0.0065

1979921-0.03890.0015-0.0001

1980876-0.08590.0074-0.0006

1981740-0.22780.0519-0.0118

198211200.16870.02850.0048

1983610-0.36350.1321-0.0480

198411500.20000.04000.0080

1985563-0.41250.1702-0.0702

1986520-0.45740.2092-0.0957

1987360-0.62430.3898-0.2434

1988367-0.61700.3807-0.2349

1989658-0.31340.0982-0.0308

1990824-0.14010.0196-0.0028

1991850-0.11300.0128-0.0014

199212300.28350.08040.0228

1993522-0.45530.2073-0.0944

1994581-0.39370.1550-0.0610

1995557-0.41880.1754-0.0734

1996818-0.14640.0214-0.0031

199710300.07480.00560.0004

1998418-0.56380.3179-0.1792

1999953-0.00550.00000.0000

SUMATORIA2874914.204928.0063

PROMEDIO958.30

N=30

3.- Calculo del coeficiente de Variacin Cv.

Cv=0.6881

4.- Determinacin del Coeficiente de Asimetra Cs.

Cs=2.8652

Por otra parte, Levediev recomienda tomar los siguientes valores:

Para avenidas producidas por deshielo.

Para avenidas producidas por tormentas.

Para avenidas producidas por tormentas en cuencas ciclnicas.

Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuacin (15), se escoge el mayor.

Consideramos que las avenidas es producida por tormentas

Cs=2.0643

De los dos coeficientes de asimetra se selecciona el mayor

Cs=2.8652

5.- Obtencin del coeficiente K

Nos vamos a la tabla con la probabilidad y coeficiente de asimetra y encontramos K.Periodo de RetornoprobabilidadCsK

T=50aos2.00%2.86523.12

T=100aos1.00%2.86523.98

6.- Calculo de Er Coeficiente que depende del coeficiente de variacin (Cv).

Nos vamos al grafico y con la probabilidad y el Cv y encontramos el Er.Periodo de RetornoprobabilidadCvEr

T=50aos2.00%0.68810.95

T=100aos1.00%0.68811.02

7.- Calculo del Caudal Mximo

Periodo de RetornoQmaxunidad

T=50aos3015.68m3/seg

T=100aos3582.78m3/seg

8.- Calculo del Intervalo de Confianza

A=Coeficiente que vara de 0.7 a 1.5, dependiendo del nmero de aos del registro. Cuantos ms aos de registro haya, menor ser el valor del coeficiente. Si N es mayor de 40aos, se toma el valor de 0.7.A=0.85

Periodo de Retornounidad

T=50aos444.60m3/seg

T=100aos567.12m3/seg

9.- Calculo del Caudal de Diseo

Periodo de RetornoQdunidad

T=50aos3460.28m3/seg

T=100aos4149.90m3/seg

MTODO LOG PEARSON TIPO IIIDistribucin estndar para anlisis de frecuencia de caudales mximos anuales en los Estados Unidos (Benson 1968).La transformacin Qd = Log QT se usa para reducir la asimetra; en caso de que la asimetra para esta situacin valga cero la distribucin log Pearson III se reduce a una log normal.

Siendo:

Donde:= Mxima avenida correspondiente al periodo de retorno T.= promedio de los logaritmos de la serie Qi, siendo:K = factor de frecuencia correspondiente a un T dado. Log Q = desviacin estndar de los logaritmos de la serie Qi, cuya frmula es:

Este factor se obtiene de cuadro mediante el Coeficiente de Sesgo (Cs).El Coeficiente de sesgo, se calcula mediante la frmula:

Valores de K Mtodo de Log Pearson Tipo III

EJEMPLO DEL MTODO DE LOG PEARSON TIPO IIIPara los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseo utilizando el mtodo de Log - Pearson III, para periodo de retorno de 50 y 100 aos.TABLA 6.15. CAUDALES MXIMOS

Ao(1)Caudal m3/s(2)Ao(1)Caudal m3/s(2)

197016601985563

19719171986520

197238001987360

197314101988367

197422801989658

19756181990824

19766831991850

197793419921230

19787791993522

19799211994581

19808761995557

19817401996818

1982112019971030

19836101998418

198411501999953

SOLUCION

1.- Clculos PreviosmCAUDAL (m3/seg)log Q

138003.57980.43870.2906

222803.35790.19410.0855

316603.22010.09160.0277

414103.14920.05370.0125

512303.08990.02980.0051

611503.06070.02050.0029

711203.04920.01740.0023

810303.01280.00910.0009

99532.97910.00380.0002

109342.97030.00280.0001

119212.96430.00220.0001

129172.96240.00200.0001

138762.94250.00060.0000

148502.92940.00010.0000

158242.91590.00000.0000

168182.91280.00000.0000

177792.89150.00070.0000

187402.86920.0023-0.0001

196832.83440.0069-0.0006

206582.81820.0098-0.0010

216182.79100.0160-0.0020

226102.78530.0174-0.0023

235812.76420.0235-0.0036

245632.75050.0279-0.0046

255572.74590.0294-0.0050

265222.71770.0399-0.0080

275202.71600.0406-0.0082

284182.62120.0878-0.0260

293672.56470.1244-0.0439

303602.55630.1304-0.0471

sumatoria2874987.52251.42350.2757

2.- Calculo del promedio de los logaritmos de la serie Qi, siendo:

N=30

=

2.9174m3/seg

3.- Calculo de Desviacin estndar de los logaritmos de la serie Qi, cuya frmula es ( )

Log Q=0.2216

4.- Calculo del Coeficiente de sesgo (Sc)

Cs logQ0.9366

5.- Calculo de K (factor de frecuencia correspondiente a un T dado).P*100

Periodo de RetornoProbabilidadK

T=50aos2.00%2.5138

T=100aos1.00%2.9804

6.- Calculo del Caudal de Diseo

Periodo de Retorno

Qdunidad

T=50aos3.47442980.93m3/seg

T=100aos3.57773782.21m3/seg

AHORA DETERMINAS EL CAUDAL DE DISEO HACIENDO LA GRAFICA DE TODOS LOS DATOS OBTENIDOS DE CADA METO Y LO COMPARAMOS CON LOS CAUDALES D REGISTRO Y OBTENEMOS

En el grfico T vs. Q, se observa que la distribucin que ms se acerca a la distribucin registrada, es la distribucin por el Mtodo de Levediev, por lo cual asumiremos esta distribucin para calcular el Qd.

CAUDAL DE DISEO

T (aos)Qd (m3/s)

503460.28

1004149.90

BIBLIOGRAFAVilln Bejar, Mximo: hidrologa. Segunda Edicin: editorial Villn, Febrero del 2002. Lima-Per

http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:QFuPMyK8k50J:intranet.catie.ac.cr/intranet/posgrado/Hidro2006/Presentaciones/Capitulo%25206b.ppt

http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/climatologia-aplicada-a-la-ingenieria-y-medioambiente/contenidos/tema-7/METODO-DE-GUMBEL.pdf

Docente: mgs. Ing Arbul ramos Jos del Carmenpgina 26